Sul FÍSICA (19) O ELITE RESOLVE IME 2014 DISCURSIVAS

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2 (9) 5- O ELITE ESOLVE IME 4 DISCUSIVS FÍSIC QUESTÃO O cérebro humao determia a direção de ode provém um som por meio da difereça de fase etre as odas sooras que chegam ao ouvido. Um carro que se aproima de um pedestre a uma velocidade de 6 m/h fa soar cotiuamete a buia, cuja frequêcia é H. Calcule a difereça de fase, em graus, etre o som que chega ao ouvido direito e o som que chega ao ouvido esquerdo do pedestre. velocidade do som o local: 4 m/s; distâcia etre os ouvidos do pedestre: cm; o pedestre está voltado para o orte; o carro se move o setido leste-oeste diretamete para o local ode se ecotra o pedestre Calculado a frequêcia ouvida pelo observador devido ao efeito Doppler: fobs femit femit fobs vsom v v v v v som som som f 4 obs f 4 obs 6 H QUESTÃO Dois músicos com seus respectivos violões afiados participam de um dueto. No iício do cocerto, é ligado um aparelho de ar codicioado próimo a um deles e, após algus miutos, percebe-se uma frequêcia de batimeto f bat produida pela quita corda dos violões, o modo fudametal. Cosiderado que ambas as cordas permaeçam com o comprimeto iicial L, determie a variação de temperatura sofrida pela corda do violão próimo ao ar codicioado. costate elástica da corda: ; massa específica liear da corda: ; coeficiete de dilatação liear: ; frequêcia da quita corda do violão afiado: f. Observação: despree o efeito da temperatura o outro violão. No harmôico fudametal, temos a seguite relação para a força F de tração a corda: F F F v f Lf F 4 L f eq. () Oeste cm Norte v Leste gora, observe a figura e a sua descrição abaio: F L Sul difereça de fase se deve ao itervalo de tempo que o som leva para percorrer a distâcia de cm etre as orelhas do observador, assim:, t t s 4 7 difereça de fase pode ser calculada de duas maeiras: Solução : é determiada pelo produto da frequêcia agular οbs f obs pelo tempo t : t f t 6 6 rad 7 Como a resposta foi pedida em graus: 6 8 6º οbs SOLUÇÃO LTENTIV: Calculado-se o comprimeto de oda observado: 6 v obs fobs 4 obs,75 m or uma relação de proporção etre difereça de camiho e difereça de fase:,75 m 6 o, m 6 obs ara calcular a tração a corda, é ecessário imagiar que, à temperatura, ates de ser afiada (força de tração F ula), ela possuiria um comprimeto L. o sofrer uma força F L ( ), a corda se distede até o comprimeto L. Da mesma forma, à temperatura, ates de ser afiada ( F ' ), ela possuiria um comprimeto e, ao sofrer uma força F ' L ( ), a corda se distede também até o comprimeto L. Observação: é egativo, pois há um resfriameto. Da eq (), temos: ( ) L F ' F 4 L f ( L ) 4 Lf L eq () F ' 4 L f ' ( L ) L 4 L f ' L ( ) F L ( ) F ' L ( ) Substituido a eq ():

3 (9) 5- O ELITE ESOLVE IME 4 DISCUSIVS 4 Lf 4 Lf ' L L ( ) 4 Lf ' L L 4 Lf ( ) 4 L f ' L L L 4L f 4L f 4L f 4 L f ' L L f 4 L f f eq () ( 4 ) 4 ( ' ) Lf ara cocluir, vale lembrar que, como a corda se resfria, a força elástica é maior, devido a uma distesão maior, logo de acordo com eq. (): f ' f f f ' f Substituido a eq (): esposta: bat f ' f f bat 4 L ( f ( fbat f) ) ( 4 Lf ) 4 L ( f fbat fbat ) ( 4 Lf ) teção! Nesta prova, muitos aluos podem ter utiliado erroeamete L ( ) o lugar de ( ), chegado 4 L ( f fbat fbat ) equivocadamete à resposta. QUESTÃO Uma partícula de carga Q e massa m move-se pelo espaço presa a um carriho. Esse movimeto é regido pelas seguites equações de posição os três eios, para, e costates: t set set t t t 4 t se t cos cos Durate todo o movimeto, um campo elétrico atua a partícula, o que provoca uma força que tede a arracá-la do carriho. Dado: coordeadas os três eios do campo elétrico:,,e. ortato: a) mostre que a partícula se move com velocidade escalar costate; b) determie os istates em que a força provocada pelo campo elétrico a partícula é ortogoal à sua trajetória; c) determie as equações dos vetores aceleração tagecial e aceleração ormal decompostos os três eios; d) supodo que em t a partícula se solte do carriho, determie as acelerações ormal e tagecial da partícula imediatamete após t. a) Lembrado que a velocidade escalar de uma particular é epressa por * vt ( ) v( t) v( t) v( t) devemos mostrar que a soma dos quadrados das compoetes da velocidade é costate. Sabe-se que: d v () t cos t cos t dt v ( t) cos t cos t cos t cos t d v () t se t se t dt v ( t) se t se t se t se t d v() t cos tv () t 4 cos t dt cos t ( ) v () t 4 v () t cos t ( ) Daí, segue que v ( t) cos t cos t cos t cos t v ( t) se t se t se t se t v () t cos t ( ) () () () 4 v () t v () t v () t cos t( ) cos t( ) v () t v () t v () t v t v t v t Substituido em *, temos vt v t v t v t vt vt () () () () () 4 () (ote que pode ser uma costate egativa) b) Como a força é perpedicular à trajetória, etão o vetor força é perpedicular ao vetor velocidade, logo, o produto itero etre esses vetores deve ser ulo. Logo, v,,,,,, v v FE v v v QE QEv v v cos t t, t, c) Como a velocidade escalar é costate, temos que a aceleração tagecial é ula. at,, Como a aceleração tagecial é ula, etão a aceleração ormal, a, correspode à aceleração vetorial total do corpo, sedo epressa por d d d a a, a, a,, dt dt dt Deste modo, suas compoetes são: d a se t se t dt d a cos t cos t dt a se t dt d d) pós soltar-se, a partícula estará sujeita à força elétrica

4 (9) 5- O ELITE ESOLVE IME 4 DISCUSIVS Q E F QE F,, Q E a,,. m Sabe-se que at // v e a v, assim, para aalisarmos as compoetes de a a direção tagecial e radial devemos aalisar a direção da velocidade o istate t. Observado a semelhaça etre o argumeto de t, calcularemos iicialmete v ( t ): t e v cos v cos v Sedo v( t) v( t), etão v( t) v( t), coforme comprovaremos matematicamete a seguir: v cos cos v se se v se se v v se se v se cos v se cos v a) a itesidade, em N, e o setido da carga horiotal o ó C; b) as reações de apoio, em N, os ós e, idicado suas direções e setidos; c) as barras que estão tracioadas, idicado suas magitudes em N; d) as barras que estão comprimidas, idicado suas magitudes em N. alisado o equilíbrio de forças do sistema como um todo, isto é, cosiderado apeas as forças eteras, temos: X N N D E Y X F X F Y Y N C H H alisado o equilíbrio de mometos o poto : F H 4 FH em N. alisado agora cada uma das juções de osso problema, podemos obter as forças evolvidas. s figuras abaio represetam as forças que cada barra aplica sobre a jução à qual está ligada. Observe que uma força a direção da jução, tais como os esquemas abaio, represeta uma força de compressão a barra, equato uma força que apota saido da jução represeta uma força de tração (par ação e reação). F H Deste modo, v t,, Logo, podemos otar que a velocidade é paralela à aceleração esse istate, portato, a aceleração ormal é ula. Sedo assim, a aceleração tagecial é a própria aceleração a calculada. D 5N F F E F D N F CD D F ED F CD F EC N C F H QUESTÃO 4 a,, Q E e at,, m N N F E F ED F E E F EC,5 m,5 m, m D E, m C carga horiotal figura acima mostra uma estrutura em equilíbrio de peso despreível em relação ao carregameto etero. s barras desta estrutura só resistem aos esforços ormais de tração ou de compressão. Sobre o ó D há uma carga vertical cocetrada de N, equato o ó C há uma carga vertical cocetrada de N e uma carga horiotal. Sabedo que o apoio ão restrige o deslocameto vertical e a força de compressão a barra é 5 N, determie: 5N X oto : F E Y F 5 5 F N E E FE cos 5 5 FD FE se 4 D E D oto D: FD FCD FED N oto C: F F F 5

5 (9) 5- O ELITE ESOLVE IME 4 DISCUSIVS FEC sefcd FH 5 FEC N FEC cos N oto E: FEC cosfed FE cosfe cos FE 5 N FE sefe sefec se oto : Y 5FE cos N FE se Uma ve que já utiliamos todas as juções do osso sistema, é possível mostrar que sempre obteremos a relação F H para a força horiotal F H e para a reação o poto. Com isso a resposta do item a e parte do b ão é umérica. a) Se a reação o poto for, etão a carga horiotal será dada por FH, em N. Se F H >, seu setido será a horiotal para a esquerda e se F H <, horiotal para a direita. b) elo que já foi resolvido acima: N Y N Com a horiotal para a direita e Y a vertical para cima. Coforme discutido ateriormete, a reação o apoio depede da carga horiotal o poto C. F H Se, seu setido será a horiotal para a direita e se, horiotal para a esquerda. 5 c) barra E está tracioada e o módulo da tração é F E N. barra C estará tracioada se F D, o módulo da tração é FD N d) s barras DE, CE, e E estão comprimidas e o valor das forças de compressão são, respectivamete, N, 5/ N, 5 N e 5 N. barra C estará comprimida se F D, o módulo da tração é FD N QUESTÃO 5 5 V V V 5 cursores solidários,5 V figura acima apreseta um circuito elétrico composto de quatro baterias, dois resistores fios e dois resistores variáveis (reostatos) lieares. Os dois reostatos são iguais e os dois cursores (que ajustam os valores das resistêcias) são solidários. Um dos reostatos é imerso em litros de água a uma temperatura iicial de ºC e um capacitor é coectado etre os ós e. Sabedo que o potecial de é maior que o potecial de e que o capacitor está com uma carga de,65 C, determie a temperatura da água após uma hora de fucioameto do circuito. Massa específica da água: capacitor:. μf ; g L ; calor específico da água: J 4. gºc ; redimeto do processo de aquecimeto: 95% resistêcia total do reostato:,5. Observação: despree o tempo de carga do capacitor. ara facilitar a resolução podemos redesehar o circuito já icluido o capacitor e estabelecedo o setido que adotaremos para as corretes coforme a figura a seguir: i i i i V V μf 5 V 5 i i,5 V o redesehar o circuito percebemos que o euciado os dá, a verdade, dois circuitos acoplados por um ó em comum. Dessa forma podemos resolver o circuito de cima isoladamete do circuito de baio apeas para a obteção do valor de, o qual ecessitamos para ecotrar a potêcia dissipada o resistor imerso em água. ara ecotrarmos a tesão etre os potos e podemos utiliar as iformações que possuímos a respeito do capacitor. Ele tem capacitâcia. μf e carga,65 C. Q C V,65 V V 6,5 V Etão a parte de cima do circuito fica: ramo : ramo : ramo : i i i i V V 6,5 V 5 V 5 6 i i Qualquer dos camihos que os leve de para deve os dar a difereça de potecial de 6,5 V. NOT : Não há, o circuito proposto, eplicação para a difereça de potecial que se matém o capacitor. O que houve, provavelmete, foi algum erro por parte da baca eamiadora ao dimesioar os compoetes utiliados. Note que a tesão o capacitor após a carga (isto é, a regime) é maior do que a soma das tesões das baterias, o que é impossível fisicamete. Vamos etão às equações: No ramo : 5 i 6,5 i 8,5 No ramo : i 6,5 i 7,5 ssim: ii 5,75 No ramo : 5 5,75 6,5 4,9 NOT : O valor egativo ecotrado para a resistêcia só reafirma o mau dimesioameto dos compoetes. ara prosseguir com a resolução adotaremos 4,9. 4

6 (9) 5- O ELITE ESOLVE IME 4 DISCUSIVS Se 4,9 etão a parte de baio do circuito fica: 8, V Dessa forma a potêcia dissipada o resistor é tal que: U 8 W r 8, Se aproveitarmos 95% dessa potêcia o aquecimeto da água etão mc,95 t 4,95 8 6,4 ºC Se o líquido está a ºC o iício do aquecimeto etão sua temperatura fial seria de,4 ºC. NOT : O resultado calculado acima serve apeas como eercício matemático, uma ve que a situação descrita o euciado é fisicamete impossível. QUESTÃO 6 Um corpo lumioso ecotra-se posicioado sobre o eio óptico de uma lete esférica covergete de distâcia focal f, distado d do vértice da lete. Esse corpo se ecotra sob a ação da gravidade e é laçado com velocidade v, formado um âgulo com a horiotal. O movimeto parabólico do objeto pode ser descrito da seguite forma: Vertical: Horiotal: mpliação liear da lete: g t v set t 4set t t 4se 5 eq () p d p v cos t p 4 cos t 4cos t eq () ' f f p Substituido (), () e f, m o aumeto, vem que: ', 4,8 se t 6 t ' 4 set 5 t, ( 4 cos t) 4 cost,8 Corpo lumioso v g eio óptico Mas queremos ' variado liearmete com t, ou seja, K é uma costate. Logo: 4,8 set 6 t 4cost,8 K t 4,8 se 6 4 cos,8 ' t t K t K t K t, ode d Determie o âgulo de laçameto ecessário para que a distâcia etre esse eio e a imagem do corpo lumioso produida pela lete varie liearmete com o tempo, até o istate aterior ao de seu retoro ao eio óptico. m g ; s m v 4 ; s Observe a figura: f, m ; d m. or ser uma idetidade poliomial, válida para todo istate de tempo t, devemos impor que os coeficietes correspodetes em cada membro da equação sejam iguais, isto é: Isolado K e igualado: 4,8 se,8 K 6 4 K cos 4,8 se 6 K,8 4 cos secos se( ) Soluções trigoométricas, para : 6 58 ou v g ela motagem física da questão, só fa setido pertecer ao primeiro quadrate trigoométrico, pois, segudo o euciado, o corpo retora ao eio óptico. lém disso, vamos descartar 6º. ssim, temos: d p p 5º ou 75º. d 5

7 (9) 5- O ELITE ESOLVE IME 4 DISCUSIVS QUESTÃO 7 Situação Situação mbiete gf/cm F F EL F No iterior de um ambiete submetido à pressão atmosférica, ecotra-se um cilidro que cotém ml de um determiado gás ideal. Esse gás é matido o iterior do cilidro por um êmbolo móvel de área igual a cm, coforme apresetado a figura acima. Iicialmete a mola ão eerce força sobre o êmbolo. Em seguida, o gás recebe uma quatidade de calor igual a 5% daquele rejeitado por uma máquia térmica, operado em um ciclo termodiâmico, cujas características técicas se ecotram listadas abaio. Como cosequêcia do processo de epasão, observa-se que a mola foi comprimida em cm. O rótulo de idetificação do gás está ilegível, mas sabe-se que eistem apeas duas opções o gás é hélio ou oigêio. aseado em uma aálise termodiâmica da situação descrita, idetifique o gás. gás ideal temperaturas da fote quete e da fote fria da máquia térmica: 6 K e 45 K; raão etre o redimeto da máquia térmica e o do ciclo de Carot associado:,8; quatidade de calor recebido pela máquia térmica: 5 J; 4 N costate da mola: ; m gf pressão atmosférica: ; cm gf N; peso do êmbolo: despreível. Sedo,8 a raão etre o redimeto da máquia térmica e o do ciclo de Carot associado, operado etre as temperaturas de 6 K e 45 K, temos: QH QC TC,8,8 C QH TH QC 45,8 QC 84 J 5 6 Como o calor recebido pelo gás é igual a 5% do calor rejeitado pela máquia térmica, temos: 5 Q 84 Q 4 J gora, em cada situação (iicial e fial), vamos represetar as forças que atuam sobre o êmbolo: Q cm gás ideal Sedo: F : força eercida pelo ar devido à pressão atmosférica; F : força eercida pelo gás a primeira situação; F : força eercida pelo gás a seguda situação; F EL : força eercida pela mola a seguda situação. Como o êmbolo está em equilíbrio em cada situação, vamos impor que em cada caso a força resultate sobre ele deve ser ula. ssim: F TM F p p p ptm F p ptm p F F EL ptm 5 p a 5 p a p p 4 a O volume ocupado pelo gás o primeiro caso é: Já o segudo caso: F F V ml m 5 V V 7 m Etre a primeira situação e a seguda, vamos utiliar agora o teorema do trabalho-eergia ciética: "O trabalho da força resultate é igual à variação da eergia ciética do corpo". Lembrado que das três forças que atuaram sobre o êmbolo, somete a força que o gás ideal eerce atua a favor do deslocameto (força motri), equato as outras duas atuam cotra o deslocameto (forças resistivas): E ES C GÁS MOL ptm GÁS J GÁS GÁS Da rimeira Lei da Termodiâmica, vem que: Q U 4 U U J GÁS Sedo f o úmero de graus de cada molécula do gás ideal, temos: f f U p V pv f ssim, sedo f, o gás é mooatômico, tratado-se, portato, do hélio. 6

8 (9) 5- O ELITE ESOLVE IME 4 DISCUSIVS QUESTÃO 8 g raio de lu quado a lu teta se propagar do meio mais refrigete para o meos refrigete. ssim, sedo o meio meos refrigete o ar (ídice de refração ) e o meio mais refrigete a água (ídice de refração ), vem que: b se b g b ÁGU g b g b g b b r Observação: a rigor, ão há um meor valor de b para o qual ocorre refleão total, mas sim um máimo valor de b para o qual aida ocorre a refração do raio lumioso, voltado para o ar após passar pela água. QUESTÃO 9 fote lumiosa Um raio de lu moocromática icide perpedicularmete o fudo trasparete de um balde cilídrico, iicialmete em repouso. Cotiuado a sua trajetória, o raio de lu atravessa a água a uma distâcia b do eio (eio de simetria do balde) até ser trasmitido para o ar, de acordo com a figura acima. Se o balde e a água giram em toro do eio a uma velocidade agular costate, calcule o meor valor de b para o qual a lu sofre refleão total. ídice de refração da água: ; ídice de refração do ar: ; raio do balde: b. o girar o balde em toro do eio, temos a cofiguração a seguir, com a aceleração (cetrípeta) a que uma molécula do líquido a sua superfície fica sujeita: Utiliado o ricípio da Equivalêcia, para passar para o referecial (acelerado) do líquido em rotação, vem que: g a C g a C se ac g g b b gora, pela lei de Sell-Descartes, a refleão itera total ocorre para os âgulos de icidêcia tais que: b r Uma placa rígida e homogêea de massa M e espessura despreível está apoiada a quia de um degrau sem atrito e em equilíbrio, como mostrado a figura. Sobre a placa, ecotra-se fiado um cubo de aresta L e massa m, a uma distâcia do etremo esquerdo da placa. O etremo direito da placa está preso por um fio a um cojuto de polias, que susteta uma esfera totalmete imersa em um líquido. Determie: a) o valor de, cosiderado que tato o fio quato a placa faem um âgulo com a horiotal; b) o valor do raio da esfera. massa específica da esfera: e ; massa específica do líquido: L ; aceleração da gravidade: g. distâcia da quia ao etremo esquerdo da barra: a; distâcia da quia ao etremo direito da barra: b. Observação: Cosidere o fio ideal e despree a massa das polias. a) No euciado temos a iformação de que se trata de uma placa, equato os dados forecidos se fala em etremos de uma barra. Embora isso ão faça muita difereça, a resolução cosideraremos que se trata de uma barra. Cosidere o diagrama de forças a barra, e também as distâcias idicadas: L L a N a b b a b meor se, maior L 7

9 (9) 5- O ELITE ESOLVE IME 4 DISCUSIVS Sedo: : peso da barra; : peso do bloco; T : tração; N : reação ormal a quia (a reação deve ser ormal porque ão há atrito a quia, logo ão pode haver ehuma compoete da força de cotato a direção paralela à barra). s compoetes dos pesos (da barra e do bloco) as direções paralela e ormal à barra têm suas itesidades dadas por: M g se e M g cos m g se m g cos ortato: 4 VL V 4 4 M m g sel g e g M mse e L M mse QUESTÃO MT e L G G Impodo o equilíbrio dos torques em relação ao poto de apoio a quia, temos (T e têm suas lihas de ação passado por esse poto, por isso ão eercem torque em relação a ele): etrada MT G G saída V L L a b a b L L b a m g se m g cosa M g cos Dividido toda a igualdade por m g cos, temos: tg L L M a b a m tg M b a a L m b) Impodo que a força resultate a direção paralela à barra deve ser ula, temos: T M g sem g se M m g se gora, aalisado as forças atuado sobre a polia móvel e sobre a esfera, temos o seguite diagrama: Tesão Termial (V) 4 5 Figura Gerador G Gerador G Correte do gerador () Figura Figura apreseta a plata de uma usia térmica de ciclo combiado. s saídas das máquias térmicas e (MT e MT) alimetam os geradores G e G, forecedo-lhes, respectivamete, as potêcias G e G. s curvas de Tesão Termial versus Correte do Gerador dos dois geradores são apresetadas a Figura. Os dois geradores estão coectados em paralelo forecedo uma potêcia de saída ( saida ) de. W, com uma tesão de V. Determie: T T T E a) a resistêcia itera de cada gerador; b) o percetual da carga total forecida por cada gerador; c) a perda a resistêcia de cada gerador; d) as potêcias G e G forecidas aos geradores; e) o redimeto do sistema T a máquia térmica MT opera etre as temperaturas de 8 ºC e ºC e seu redimeto é 5% do redimeto máimo do ciclo de Carot a ela associado; a máquia termia MT opera etre as temperaturas de 5 ºC e 5 ºC e o seu redimeto é 4% do redimeto máimo do ciclo de Carot a ela associado. Sedo ula também a força resultate sobre a esfera, vem que: T E M m g sel g VD e g V, ode V D é o volume de fluido deslocado pela esfera e V é o volume da esfera. Como ela se ecotra completamete imersa, temos que: Observação: Cosidere os geradores somete as perdas em suas resistêcias iteras. a) ara determiarmos as resistêcias iteras dos geradores ecessitamos das iformações do gráfico apresetado a Figura. Os geradores apresetados seguem a equação U r i. Gerador : Coeficiete liear do gráfico 4 V. plicado os valores de 6 para a correte e 5 V para a tesão etre os termiais: 8

10 (9) 5- O ELITE ESOLVE IME 4 DISCUSIVS U r i 5 4 r 6 r 5 Gerador : G útil dis Gerador : Coeficiete liear do gráfico V. plicado os valores de 4 para a correte e V para a tesão etre os termiais: U r i r 4 r 5 b) Ecotraremos primeiramete a correte total forecida a saída dos geradores: saída USaída itotal itotal i total Se, do gráfico, o Gerador forece uma correte i 4, etão o o que falta para i total advêm do Gerador. ortato, 8 itotal ii i4 i. G O percetual de carga total do Gerador é dado por: i 4 G G itotal G 6% O restate correspode à porcetagem forecida pelo Gerador. G G % 6 % G 4% 8 G G W Gerador : G 4 8 G 48 W e) O redimeto do sistema é a raão etre a potêcia de saída e a potêcia de etrada. ara calcularmos a potêcia de etrada devemos utiliar os dados a respeito da máquia térmica MT. É importate otar que o redimeto da máquia térmica MT ão iflui o redimeto total do sistema, visto que MT é alimetada pela eergia desperdiçada em MT. O redimeto da maquia térmica MT é dado por: T F 7 MT,5 T MT,5 Q 8 7 MT,6 Desse modo, sabe-se que: G MT etrada,6 etrada 9 W etrada Etão, o redimeto total da plata é: saída,9 9 etrada Equipe desta resolução c) potêcia dissipada em cada resistêcia itera pode ser calculada da seguite forma: dis i r Gerador : 8 dis i rdis 5 dis W Gerador : dis i r dis 4 5 dis 8 W d) ara ecotrarmos as potêcias forecidas aos geradores pelas máquias térmicas ecessitamos ecotrar agora as potêcias forecidas pelos geradores para a saída. útil U i Gerador : 8 8 W útil útil Física Dailo José de Lima Lui Salles de Carvalho Viício Merço oltroieri evisão Edso Vilela Gadbem Eliel arbosa da Silva Fabiao Goçalves Lopes Felipe Eboli Sotorilli Digitação, Diagramação e ublicação lla Cavalcati de Moura Lucas ubi osa Gerador : 4 4 W útil útil s potêcias recebidas pelos geradores é a soma das potêcias forecidas por eles à saída com as potêcias dissipadas em suas resistêcias iteras: 9