ANÁLISE DE UM PORTFÓLIO: OTIMIZAÇÃO DA RENTABILIDADE DO INVESTIDOR

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1 ISSN ANÁLISE DE UM PORTFÓLIO: OTIMIZAÇÃO DA RENTABILIDADE DO INVESTIDOR Mauro Rezende Filho (UGF/COPPE) Ana Carolina Ataide de Azevedo (UGF) Camila Carneiro Labarba (UGF) Rodrigo de Vilhena Vidal (UGF) Resumo Em economias estabilizadas, o mercado de capitais é uma das alternativas para que o investidor obtenha um retorno superior ao oferecido pelo mercado financeiro. Entretanto, no mercado de capitais, face à volatilidade dos ativos, onde a tomaada de decisão é baseada na dicotomia risco-retorno, a aplicação neste mercado ainda é para muitos um grande problema, uma vez que diversificam seu portfólio sem critérios muito lógicos. O investidor espera que o risco de seu portfólio de investimentos seja minimizado pela diversificação, entretanto, que esta diversificação não comprometa a retorno desejado. A diversificação perfeita é aquela em que o risco é minimizado, sem prejuízo ao retorno. O uso de programação linear pode ser uma ferramenta para dimensionamento de um portfólio, pois além de determinar o investimento otimizado, também possibilita a análise da sensibilidade de variáveis restritivas. Através desta análise o investidor pode determinar o seu portfólio baseado nos seus critérios de risco e de retorno esperado. O objetivo deste trabalho é apresentar uma modelagem matemática que ofereça ao investidor a opção de analisar um portfólio levando em consideração o risco e retorno de cada ativo, de modo o obter um retorno desejado com risco controlado. Palavras-chaves: portfolio; modelo de decisão; programação linear

2 1. Introdução O problema financeiro clássico para qualquer tipo de empresa, seja esta grande, média ou pequena, bem como para pessoas físicas, é o fato de surgir uma grande oportunidade de investimento, mas estas entidades não possuem capital para efetuar o investimento. A solução então é captar o capital necessário no mercado, seja através da contratação de empréstimo em uma instituição financeira ou pela emissão de papéis ao público. Todos os papéis são aceitos visando benefícios econômicos futuros, tornando clara a importância do fator tempo nos instrumentos financeiros. Além disso, os papéis financeiros são caracterizados por dois outros importantes fatores : Retorno e Risco. Para garantir as necessidades monetárias futuras ou fazer o capital crescer, aumentando sua riqueza, o investidor aceita correr certo risco, e historicamente os retornos de ativos com maior risco têm sido superiores àqueles de menor risco ou livres de risco (Goetzmann, 1997). A taxa de retorno é, então, a medida do crescimento da riqueza resultante de um investimento. Os acionistas exigem das empresas, para projetos de investimento com risco, um retorno igual ou superior àquele que conseguiriam aplicando no mercado financeiro com risco equivalente. O custo de capital próprio da empresa em princípio será a média ponderada do retorno exigido por cada um dos acionistas da empresa. A avaliação de risco x retorno de uma empresa sempre foi visto como algo complexo e que dependia de uma análise completa da empresa, ou seja, a análise de sua saúde financeira, seus competidores no mercado, seu market share, sua política de distribuição de dividendos, sua estrutura de capital, dentre outros. A Teoria de Portfólio proposta por H. Markowitz (195) introduziu a estatística para avaliar o valor de papéis. Através da análise da média, do desvio padrão (DP) e das correlações com outros papéis, tornou-se mais simples relacionar risco e retorno de qualquer seleção histórica de ativos. Contudo, a análise da Teoria de Portfólio, mais as

3 condições macroeconômicas, continuam ainda sendo válidas para possamos ter uma ideia da tendência futura dos papéis de determinada empresa.. Diversificação de portfólio A diferença entre o DP de um ativo e de uma carteira de ativos (portfólio) é um fenômeno conhecido como diversificação. Com a diversificação, ativos podem ser combinados de modo que o conjunto dos ativos tenha menor risco que aqueles individualmente considerados. A diversificação reduz parte do risco, entretanto sem eliminá-lo completamente. A parte que pode ser eliminada é chamada de risco não sistemático, que é um risco que afeta especificamente um único ativo ou um pequeno grupo de ativos. A outra parte, que não pode ser eliminada, é o risco sistemático, que é qualquer risco que afeta praticamente todos os ativos em maior, ou menor grau Whitehurst (003). Supondo uma carteira formada por dois ativos A e B, tem-se o valor esperado do retorno (VE) para esta carteira e o risco (variância) calculado da seguinte forma: _ C A A B _ VE(R ) R R.1 C A A B B A B A B AB B. A B 1.3 onde; _ R A B é o retorno médio esperado de cada ativo e são proporções de cada ativo na formação da carteira AB é a correlação entre os ativos A e B é a variância de cada ativo é o desvio padrão de cada ativo Graficamente temos a seguinte representação: 3

4 VE(R C ) _ RB ρ = -1 B ρ = 0 _ RA A ρ = 1 A Figura 1 Combinação de ativos B Na Figura 1, A e B são ativos com seus respectivos retorno esperados e desvio padrão (risco), estão representados pelas linhas pontilhadas. Qualquer proporção combinada dos ativos A e B estará sobre uma das três curvas representadas (para ρ A,B = -1, ρ A,B = 0 e ρ A,B = 1) e terá seus retorno e risco diferentes daqueles individuais de A e B. Genericamente, para uma carteira contendo n ativos temos: n VE(R ) R R... R R.4 C A A B B n n i i i1 n n m C i i i j i j ij i 1 i 1 j1.5 n i 1.6 i1 Desta forma, o risco de uma carteira de ativos pode ser escrita como: 4

5 Risco total da carteira = Risco não sistemático + Risco sistemático.7 A variância apresentada na equação.5 pode ser representada por uma matriz (Tabela 1), com a soma dos elementos de sua diagonal sendo o primeiro termo da equação e a soma dos elementos fora da diagonal, sendo o segundo termo. 1 1, n ,... 1 n 1,n... n,n n n n,1 n n,... n n Tabela 1 - Matriz de cálculo da variância do retorno de uma carteira de ativos Para efeito de simplificação, vamos admitir: Todos os ativos têm pesos iguais: ω i = 1/n; Todos os ativos têm mesma variância i Todas as covariâncias são iguais i,n teremos: 1 1 C n i n n i,n n n.8 Quando temos o n tendendo a infinito, obtemos: C.9 i,n Graficamente temos: 5

6 Risco total Risco não sistemático Risco sistemático n Figura - Efeito da diversificação do portfólio Portanto, teoricamente a medida que o número de ativos (n) de uma carteira cresce, o risco não sistemático tende a desaparecer (fenômeno da diversificação). Na diversificação de Markowitz (195), todos os portfólios possíveis estariam dominados pela fronteira eficiente (FE) que representa o portfólio de menor risco e maior retorno. Sharpe (1964) ampliou esta conceituação permitindo a inclusão de ativos livres de risco (R F ). A linha reta tangente à fronteira eficiente, partindo do ativo livre de risco, caracteriza o portfólio eficiente (também chamado de Linha de Mercado de Capitais ou Capital Market Line - CML), ou seja, aquele que combina uma carteira com apenas o risco sistemático e o ativo livre de risco (Figura 3). 6

7 VE(R) CML M FE R F σ Figura 3 - Fronteira Eficiente (Gitman 005) 3. Capital Asset Pricing Model (CAPM) William Sharpe recebeu o prêmio Nobel de Economia em 1990 por ter desenvolvido na década de 60, o CAPM, um modelo que mostra que a taxa de retorno esperada de um ativo com risco é função de sua covariância com a carteira de mercado. Um ativo com alto DP não tem grande impacto sobre o risco de uma ampla carteira de ativos, mas um ativo com DP reduzido tem impacto substancial sobre o risco de uma carteira ampla. Este aparente paradoxo é base do CAPM, onde o coeficiente beta (β) e não o DP é a medida apropriada de risco numa carteira de ativos. A contribuição do risco de um ativo ao risco da carteira de mercado é medida pela covariância entre o retorno do ativo com o retorno da carteira de mercado. Esta contribuição dividida pelo quadrado do DP (variância) do retorno da carteira de mercado é o beta..10 i,c i c 7

8 A equação do CAPM é dada pela seguinte expressão matemática: A F M F R R R R.11 onde: R A R F R M β valor esperado do retorno do ativo retorno de um ativo livre de risco retorno médio esperado do mercado beta do ativo Segundo Assaf Neto, (005) algumas hipóteses têm que ser levadas em consideração para o desenvolvimento do CAPM: Assume-se uma grande eficiência informativa do mercado, atingindo igualmente a todos os investidores; Não há impostos, taxas ou quaisquer outras restrições para os investimentos do mercado; Todos os investidores apresentam a mesma percepção com relação ao desempenho dos ativos, formando carteiras eficientes a partir de idênticas expectativas; Existe uma taxa de juros de mercado definida como livre de risco. Assim sendo, o CAPM começa pôr dividir o risco em duas partes principais: risco diversificável e risco não-diversificável. O coeficiente β é uma medida de risco não diversificável. Um índice do grau de movimento do retorno de um ativo em resposta à mudança de retorno do mercado. Quando os títulos da carteira do investidor variam na mesma proporção do mercado o β = 1. Coeficiente Beta e suas Interpretações: Beta Interpretação,0 Duas vezes com maior reação ou risco que o mercado. 1,0 Mesma reação ou risco que o mercado. 0,5 Apenas a metade da reação ou risco que o mercado. 0,0 Não afetado pelos movimentos do mercado. 8

9 Retorno esperado IX CONGRESSO NACIONAL DE EXCELÊNCIA EM GESTÃO -0,5 Apenas a metade da reação ou risco que o mercado. -1,0 Mesma reação ou risco que o mercado. -,0 Duas vezes com maior reação ou risco que o mercado Tabela Interpretação do beta É importante lembrar que o retorno esperado e, portanto, o prêmio de risco de um ativo, depende apenas do risco sistemático. Como ativos com betas maiores têm riscos sistemáticos mais altos, têm também retornos esperados maiores. Dessa forma, conhecendo-se as características de risco (beta) de uma ação, é possível estimar-se o preço justo (ou valor intrínseco), tendo-se a indicação se o título é, ou não, uma boa opção de compra. Com o modelo (equação.11) do CAPM plotamos a SML (Security Market Line) e a partir dela, estimamos em função do beta de uma determinada ação o valor esperado retorno. Todo investidor quer ser remunerado pelo o risco que corre, ou seja, o risco sistemático que é medido pelo coeficiente beta da reta (figura 4) Reta SML Retorno esperado R F Prêmio de risco 0 0,5 0,5 0,75 1 1,5 1,5 1,75,5 beta beta Figura 4 Reta SML Segundo Assaf Neto (005), o CAPM pode ser aplicado nas seguintes áreas de negócio: 9

10 Empresas que atuam com várias unidades de negócios com diferentes riscos, assim o CAPM estima o valor esperado para cada risco separadamente avaliando o desempenho econômico de cada negócio, avaliando assim, a agregação de riqueza pelos negócios avaliados; Decisões que envolvem orçamento de capital, definindo o retorno exigido em cada projeto em função dos diferentes riscos assumidos, ou seja, para cada investimento, o CAPM define uma taxa mínima de retorno requerida; O custo do capital próprio da empresa, ou seja, ao se traçar a linha característica a taxa requerida de retorno que cada sócio da empresa exige será demonstrada; O retorno esperado do risco de um ativo. 4. Proposta de um modelo para diversificação de um portfólio As recentes quedas da taxa básica de juros da economia brasileira têm oferecido ao mercado crédito mais barato, tornando-se mais fácil investir e administrar as dívidas. Entretanto, para quem investe, a queda de juros vem proporcionando um fenômeno totalmente novo, ou seja, poupar ficou mais complicado. Os brasileiros acostumaram-se ao longo das últimas décadas a ganhar muito colocando dinheiro nas aplicações mais seguras do mercado, os fundos de renda fixa lastreados em títulos do governo. Em uma economia normal, risco baixo significa retorno baixo. No Brasil, o funcionamento desta lógica é outra. Por aqui, à medida que os juros caem, quem não faz esforço para buscar alternativas mais rentáveis, acaba perdendo dinheiro. Este é o caso de uma grande parcela de investidores no mercado brasileiro, que investem em fundos que cobram altas taxas de administração, Ou seja, pagas as taxas, descontando o imposto e a inflação, o patrimônio destes investidores está diminuindo. Os ganhos atuais comprados com outras economias ainda são altos. Os fundos atrelados à taxa Selic, ditada pelo Banco Central, está em 10,5% no acumulado dos últimos 1 meses. De acordo com dados oficiais dos respectivos países, na economia chilena foi de 5%, na peruana de 3% e na norte-americana de 0,%. O que tem dificultado a vida dos investidores no mercado brasileiro é a nossa inflação, bem como as elevadas taxas de administração. 10

11 Até 011 as maiorias dos analistas do mercado calculavam um juro real, ou seja, descontada a inflação, de 3% para os próximos anos. Em 01 este percentual caiu para 1,5%. Isto significa que quem poupa R$ 5.000,00 por mês, e esperava chegar a R$ 1,6 milhões em 0 anos, hoje vai juntar apenas R$ 00 mil. Com esta expectativa, os investidores já começaram a mudar seus investimentos. Nos grandes bancos, como Itaú/Unibanco, que tem o maior private banco do país, as aplicações atreladas ao DI, que representavam em torno de 60% do patrimônio dos clientes em 008, respondem por 35% hoje. No varejão, entretanto, quase nada ocorreu. Segundo a Anbima, associação que reúne informações sobre o setor de fundos, os fundos DI com os fundos de renda fixa representam em torno de 60% do mercado, enquanto a média mundial é de 43%. Recentemente as regras da poupança foram modificadas no tocante ao seu rendimento, entretanto continuam a ser um canal para os investidores. Segundo o Banco Central, somente em julho/01, a poupança recebeu R$ 8 bilhões em investimentos. Ocorre que estes recursos vão render apenas 70% dos juros de mercado, praticamente o mesmo da inflação projetada para os próximos 1 meses. Segundo Ross (005), muitos investidores têm tentado diversificar suas aplicações, entretanto diversificar não é fácil. O investidor que precisa diversificar suas aplicações olha para a bolsa e vê certa estagnação. Olha para os multimercados e se depara com altas taxas de risco e taxas de administração. Olha para os fundos de crédito privado e não entende nada. Ou seja, acaba deixando o dinheiro na renda fixa. A Figura 5 a seguir apresenta o rendimento dos fundos, onde o juro médio anual em 003 foi de 3% ao ano e em 01 tem uma expectativa de 8,5%: 11

12 Figura 5 - Rendimento de fundos. Fonte: Os Autores. Entretanto, a bolsa de valores continua sendo um canal que pode propiciar bons retorno para o investidor. Vejamos o caso da Cemig, empresa geradora e distribuidora de energia elétrica. Que investiu R$ ,00 no começo de 011, recebeu quase R$ 1.700,00 de dividendos, que foram distribuídos semestralmente. Além deste rendimento, as ações subiram neste período 75%, ou seja, os R$ ,00 viraram R$ 19.8,00, em menos de dois anos. Neste mesmo período o Ibovespa rendeu quase 0% e as aplicações conservadoras em renda fixa renderam 18%. Assim como a Cemig, diversas empresas pagam dividendos elevados. Bastante difundida no exterior, esta estratégia de investir em ações de empresas que pagam dividendos é relativamente nova no nosso mercado. Os americanos e europeus encaram os dividendos como uma espécie de renda fixa na bolsa, segundo Eduardo Forestieri, superintendente de investimento do Citi no Brasil. A lógica é simples: se a empresa dá lucro, distribui parte dele aos acionistas, mesmo que a cotação das ações caia. Segundo o gestor americano Robert Half, os dividendos pagos pelas empresas na bolsa de Nova York deram um retorno anual de 5% nos últimos 00 anos, além da 1

13 valorização das ações que foi de 3% ao ano no período. Quem aplicou nestes papéis, ganhou 8,% ao ano, enquanto os títulos do tesouro americano renderam em média 6,6%. O objetivo deste trabalho é fazer uma modelagem matemática, que auxilie o investidor a montar e/ou diversificar uma carteira de investimentos, levando em consideração os seguintes aspectos: Estimar um retorno anual esperado; Considerar a valorização ou não da ação neste retorno; Estimar a exposição ao risco da carteira. Para atender nossos objetivos, os dados utilizados foram coletados do site da BM&F BOVESPA, e foram selecionados utilizando os seguintes critérios para a seleção de dados dos investimentos a serem analisados. De forma aleatória, foram selecionadas as ações a seguir: VALE5 Vale PNA OGXP3 OGX Petróleo ON BBDC4 Bradesco PN BBAS3 Brasil ON BVMF3 BMF Bovespa ON VIVT4 Telef. Brasil PN CSNA3 Sid. Nacional ON CYRE3 Cyrela Realty ON BRAP4 Bradespar PN LAME4 Lojas Americanas PN TBLE3 Tractebel ON PETR4 Petrobras PN TUB4 ItauUnibanco PN VALE3 Vale ON PETR3 Petrobras ON NATU3 Natura ON CTIP3 CETIP Mercados Organizados ON CMIG4 Cemig PN RENT3 Localiza ON EMBR3 Embraer ON RADL3 Raia Drogasil ON CESP6 Cia Energética De São Paulo PNB Todas as ações possuíam cotação entre de 1 de Janeiro de 01 a 08 de Agosto de 01, período em que todos os investimentos tinham a sua cotação listada diariamente. A Figura 6 apresenta os retornos das ações no período de 0/01/01 a 08/08/01: 13

14 Figura 6 - Retorno diário dos ativos. Fonte: Os Autores O modelo matemático de otimização proposto é o seguinte: Variáveis: Dados: Pi porcentagemdeaplicaçãonoativoi R i - retorno diário do ativo i CVi - covariância do ativo i índice de risco do ativo i i M i retorno do mercado no dia i (Ibovespa) PO i porcentagem máxima de aplicação em um determinado título BE valor máximo do beta para o portfólio s - variância do mercado sp - variância do portfólio 14

15 índice de risco do carteira c R p - retorno do portfólio Objetivo: minimizar o risco (variância do portfólio) e maximizar o retorno esperado Maximizar: (1 )R - s c p c p.1 Sujeito a: m Pi 1.13 i 1 n n s M n M n 1 i i.14 i 1 i 1 n n n n CVi Mi n Mi Ri n Ri n 1 i 1 i 1 i 1 i 1.15 CVi i.16 s n P.17 c i i i1 n n R p Ri n Pi i 1 i 1.18 P i PO i.19 n i BE.0 i1 P i 0.1 i=1,,..., n. Na equação.1 apresenta-se a função objetivo, onde no seu primeiro termo busca-se a maximização do retorno do portfólio, e no segundo a minimização do risco. As demais equações tem a seguinte finalidade: 15

16 Equação Finalidade.13 Impor que a soma das porcentagens seja 100%.14 Calcular a variância do mercado (IBOVESPA).15 Calcular a covariância dos ativos com o mercado.16 Calcular o beta de cada ativo.17 Calcular o beta do portfólio.18 Calcular o retorno do portfólio.19 Impor a limitação de aplicação por ativo.0 Impor um limite de exposição ao risco do portfólio.1 Impor soluções positivas Tabela 3 Interpretação do modelo proposto Para a aplicação modelo matemático, foi utilizado o Solver do Microsoft Excel, sendo que na Figura 7 apresentamos a estruturação da planilha: Figura 7 Estruturação do problema no Microsoft Excel Podemos observar: 16

17 Na coluna C será apresentado o resultado da carteira, ou seja, que percentual deverá ser aplicado em cada ativo de modo a satisfazer as restrições impostas; Na coluna D temos o beta de cada ativo calculado de acordo com a expressão básica do CAPM (fórmula.10); Na coluna E temos o retorno médio de cada ativo, e na coluna F a variância no período considerado: de 0/01/01 a 08/08/01; Na célula K temos a função objetivo do problema, dado no Excel pela seguinte formulação: =(1-N6)*N7-(N6*SOMARPRODUTO(C3:C4;F3:F4)) ; A restrição Soma dos ativos da carteira impõe que o total aplicado deve ser maior do que zero e menor ou igual a 100%; A restrição Beta da carteira apresenta na coluna RHS a limitação do risco aceitável pelo investidor, e na coluna LHS o seu cálculo (=SOMARPRODUTO(C3:C4;D3:D4); A restrição Retorno médio da carteira apresenta na coluna RHS a limitação do retorno mínimo requerido pelo investidor, e na coluna LHS o seu cálculo (=SOMARPRODUTO(C3:C4;E3:E4); A restrição Aplicação por ativo impõe os limites percentuais de aplicação em cada ativo, imposto pelo investidor. A figura 8 a seguir, apresenta a montagem do problema no Solver: 17

18 Clicando no botão Resolver obtemos: Figura 8 Parâmetros do Solver 18

19 Figura 9 Solução do problema Podemos observar que as restrições impostas foram atendidas, e o modelo sugere em quais ativos o investidor deveria aplicar seu capital. Uma grande contribuição de modelagem matemática é permitir análise de sensibilidade, ou seja, alterando-se as restrições analisar um novo cenário resultante. A tabela 4 a seguir, apresenta uma série de análises realizadas: Portfólio Restrições A B C D D Número de ativos Beta da carteira 0,770 0,7303 0,7818 0,6737 1,0000 Retorno médio da carteira 0,0501% 0,0504% 0,0709% 0,0509% 0,0500% Aplicação máxima em cada ativo 15,00% 10,00% 0,00% 1,00% 0,00% Tabela 4 Sensibilidade do modelo proposto 5. Conclusão Com a aplicação de modelos matemáticos em problemas reais, é possível analisar soluções que atendam aos nossos objetivos e fazer experimentações, no que se refere às variáveis existentes, ou introduzir novas variáveis que ainda não fazem parte do contexto, assim flexibilizando as respostas envolvidas nos processos. Tal flexibilização faz com que a Pesquisa Operacional se torne uma ferramenta extremamente útil na solução de problemas. Atualmente os investimentos realizados devem ser devidamente estudados, a diversificação perfeita dos investimentos minimiza o risco, sem prejudicar o retorno esperado. A programação linear torna-se um instrumento muito útil ao investidor, na tentativa de compor a carteira ótima de investimento, além de abrir a possibilidade analisar a sensibilidades das variáveis restritivas do mercado. Quanto mais diversificada a carteira de investimentos, menor é o risco de perda já que a correlação entre os ativos que a possuem é mínima, em paralelo. 19

20 A diversificação perfeita dos ativos traz um retorno esperado mínimo bem maior do que investimento na poupança, considerada sem risco, o que demonstra uma ótima oportunidade de investimento. Mas, em nenhum momento foram levados em consideração os dividendos gerados pelas empresas (dividend yield). Assim, ainda é possível acrescentar ao modelo de decisão restrições quando ao dividend yield e dessa forma aumentando o retorno em relação à carteira utilizada. Esta é uma sugestão para gerar um retorno real. Deve-se ressaltar, entretanto, que o desempenho atingido no período analisado não garante o desempenho futuro dos ativos, e, portanto não é recomendado restringir o processo de tomada de decisão somente à otimização de carteiras. A pesar do estudo ter sido feito em cima de ativos escolhidos aleatoriamente para comprovar a aplicabilidade genérica do modelo, toda uma análise fundamentalista detalhada dos ativos para uma melhor escolha é recomendada que seja feita em conjunto. É bastante razoável essa afirmação, uma vez que o desempenho de um ativo está ligado a diversos fatores que não só o comportamento passado, devido ao dinamismo do mercado em geral. 6. Bibliografia ASSAF NETO, Alexandre. Mercado Financeiro. 6.ed. São Paulo: Atlas, 005; ROSS, S., WESTERFIELD, R., JAFFE, J., Corporate Finance. 6.ed, New York: McGraw- Hill, 005 GOETZMANN, W. N., An Introduction to Investment Theory, Yale School of Management, GUITMAN, L.J., Principles of Managerial Finance, 10.ed. New York: McGraw-Hill, 005. SHARPE, W. F., Capital Asset Prices : A Theory of Market Equilibrium Under Conditions of Risk, The Journal of Finance, Vol. XIX, No.3, pp.45-44, Sep

21 MARKOWITZ, H., Portfolio Selection, Journal of Finance, pp.44-58, March,195. WHITEHURST, D., Fundamentals of Corporate Finance. 6.ed. New York: McGraw- Hill/Irwin,