COMPOSIÇÃO DE UMA CARTEIRA DE AÇÕES COM RISCO MÍNIMO E RETORNO ESPECIFICADO: UM ESTUDO UTILIZANDO ALGORITMO GENÉTICO E A FUNÇÃO SOLVER

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1 UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO ESCOLA DE ARTES, CIÊNCIAS E HUMANIDADES SISTEMAS DE INFORMAÇÃO COMPOSIÇÃO DE UMA CARTEIRA DE AÇÕES COM RISCO MÍNIMO E RETORNO ESPECIFICADO: UM ESTUDO UTILIZANDO ALGORITMO GENÉTICO E A FUNÇÃO SOLVER Disciplina: ACH2036 Métodos Quantitativos Aplicados à Administração de Empresas Orientador: Fernando Fagundes Ferreira Autores: Mário Januário Filho Pedro Felipe do Prado

2 São Paulo Dezembro / 2009 Sumário 2. Composição do portfólio com risco mínimo Seleção dos dados Indicadores Capital Asset Price Model - CAPM Seleção das Empresas que irão compor o Portfólio Utilização do Solver Resultados Solver Algoritmo Genético Operadores Genéticos Taxas de Crossover e Mutação População inicial e numero de gerações Modos de seleção Roleta Torneio Modos de crossover Um ponto Dois pontos Uniforme Modos de mutação Um bit Elitismo Análise dos resultados Considerações finais Referencias Bibliográficas Bibliografia...24 Anexo A...25 ACH2016 Métodos Quantitativos Aplicados à Administração de Empresas 2

3 1. Introdução O presente trabalho visa calcular a composição de uma carteira de ações que minimiza o risco para um retorno especificado. Para tal, são realizadas comparações entre a função solver do Microsoft Excel e a codificação, em linguagem Java, de um Algoritmo Genético (AG). A primeira parte do trabalho apresenta o pré-processamento, ou seja, a seleção dos ativos através de cálculos do risco, retorno e de indicadores que quantificam os valores e comportamentos financeiros. Estão detalhadas e justificadas as técnicas utilizadas de modelagem de cromossomo e de função fitness consideradas adequadas ao problema. São apresentados e confrontados os diferentes resultados obtidos através da aplicação de diferentes técnicas de seleção, mutação e técnicas de crossover, uso de diferentes percentuais de mutação e crossover, além da utilização da estratégia de elitismo para a preservação dos elementos mais aptos de uma população após os ciclos de recombinação. Assim o presente trabalho tem por objetivo comparar e estudar os resultados obtidos com o cálculo da carteira ótima pela função solver e pelo AG. ACH2016 Métodos Quantitativos Aplicados à Administração de Empresas 3

4 2. Composição do portfólio com risco mínimo 2.1 Seleção dos dados Para a seleção das empresas foram realizadas pesquisas bibliográficas e selecionadas empresas que obtiveram um bom desempenho na bolsa de valores de São Paulo em 2008, conforme SALLES (2008) e CAMARGO (2009). Os dados foram coletados no sítio O período selecionado para a realização deste trabalho foi de 01/agosto/2008 a 01/setembro/2009, onde foram considerados os valores de fechamento ajustados mensais das empresas citadas, conforme tabela 1. Tabela 1. Valores de fechamento das empresas e índice bovespa. Date ibovespa Close* Brasil Telecom Close* Cosan Close* CSN Close* Eletrobrás Close* Natura Close* Nossa Caixa Close* Petrobrás Close* Souza Cruz Close* Telesp Close* Usiminas Close* 01/09/ ,5 20,81 48,6 27,23 30,4 75,4 37,15 59,25 42,77 44,5 03/08/ ,65 21,11 49,02 27,55 30,49 75,73 37,35 59,84 43,49 44,44 01/07/ ,4 17,01 48,06 28,7 26,65 74,72 38,36 61,06 43,18 45,93 01/06/ ,05 14,4 43,62 28,65 25,81 73,32 39,58 53,67 43,85 41,3 04/05/ ,85 48,5 26,84 25,84 73,06 42,61 49,42 45,59 37,59 01/04/ ,53 13,46 39,92 28,8 25,94 71,72 36,37 44,99 47,78 30,19 02/03/ ,9 9,64 34,1 25,92 22,6 70,85 34,6 41,98 48,19 26,4 02/02/ ,69 10,29 30,26 26,2 21,06 69,9 31,98 43,97 44,19 24,06 02/01/ ,88 10,49 33,96 26,16 19,32 68,45 29,7 42,87 44,3 26,39 01/12/ ,64 11, ,89 18,43 67,71 26,89 40,4 45,71 25,27 03/11/ ,8 11,19 24, ,99 62,97 23,19 41,86 44,5 20,31 01/10/ ,58 10,54 27,72 26,25 18,15 32,03 27,94 36, ,16 01/09/ ,74 12,69 39,34 28,3 17,96 39,57 41,23 41,57 44,69 36,4 01/08/ ,76 25,96 54,54 29,5 18,42 38,12 41,66 38,89 46,5 53,25 Fonte: Yahoo Finance (2009) Mediante aos dados da tabela 1, calculou-se a variação percentual mensal de cada empresa, conforme tabela 2. ACH2016 Métodos Quantitativos Aplicados à Administração de Empresas 4

5 Tabela 2. Variação Percentual. ibovespa Brasil Telecom Cosan CSN Eletrobrás Natura Nossa Caixa Petrobrás Souza Cruz Telesp Usiminas 1,21% 1,11% 1,44% 0,86% 1,18% 0,30% 0,44% 0,54% 1,00% 1,68% -0,13% -3,05% -1,83% -19,42% -1,96% 4,17% -12,59% -1,33% 2,70% 2,04% -0,71% 3,35% -6,03% -2,61% -15,34% -9,24% -0,17% -3,15% -1,87% 3,18% -12,10% 1,55% -10,08% 3,37% 7,28% 10,07% 11,19% -6,32% 0,12% -0,35% 7,66% -7,92% 3,97% -8,98% -11,11% -3,36% -15,08% - 17,69% 7,30% 0,39% -1,83% -14,64% -8,96% 4,80% -19,69% -13,46% -4,66% -28,38% - 14,58% -10,00% -12,88% -1,21% -4,87% -6,69% 0,86% -12,55% -6,70% -9,38% 6,74% - 11,26% 1,08% -6,81% -1,34% -7,57% 4,74% -8,30% -8,86% 2,93% 1,63% 1,94% 12,23% -0,15% -8,26% -2,07% -7,13% -2,50% 0,25% 9,68% -4,46% 14,81% 7,05% - 17,55% -1,03% -4,61% -1,08% -9,46% -5,76% 3,18% -4,24% -2,54% 8,50% -0,36% - 10,75% 4,29% 8,46% -7,00% -13,76% 3,61% -2,65% -19,63% 1,81% -15,00% -5,81% 10,92% -2,78% -9,20% - 49,13% 20,48% -12,71% 7,87% 18,96% 32,97% 25,12% 20,40% 41,92% 7,81% -1,05% 23,54% 47,57% 13,77% -6,90% 50,66% 12,39% 6,48% 104,57% 38,64% 4,24% 2,56% -3,66% 1,04% -6,45% 4,05% 46,29% 2.2 Indicadores Com os dados levantados foram calculados os indicadores que serviram como base para o estudo do desempenho dos papeis das empresas. A tabela 3 apresenta o retorno esperado (E(R)), risco (desvio-padrão) e o índice Beta (β). Tabela 3. Indicadores - E(R), Risco e índice Beta (β). Brasil Telecom Cosan CSN Eletrobrás Natura Nossa Caixa Petrobrás Souza Cruz Telesp Usiminas E(R) 2,16% 5,22% 2,52% 0,74% -3,59% -3,61% 1,98% -2,92% 0,74% 3,44% Risco 10,48% 32,76% 19,85% 5,10% 6,24% 15,49% 16,67% 7,62% 4,56% 22,78% Beta (β) 0,6958 0,1854 0,5022 0,9091 0,5037 0,2390 0,5366 0,7698-0,6504 0,4175 Os retornos de mercado podem ser representados pelo retorno de um índice de ações, no caso o índice Bovespa. O β de mercado é igual a 1. Ativos com β maior que 1 possuem risco maior que o de mercado, e conseqüentemente maior retorno esperado, sendo denominados ativos agressivos. Ativos com β menor que 1 possuem risco menor que o do mercado, e conseqüentemente menor retorno esperado, sendo denominados ativos defensivos (ROSS, 2002 apud OLIVEIRA, 2004). Todos os ativos selecionados para este trabalho possuem β menor que 1, portanto todos os ativos são defensivos, conforme demonstra a tabela 4. ACH2016 Métodos Quantitativos Aplicados à Administração de Empresas 5

6 Tabela 4. Ativos defensivos. Ativos Defensivos Brasil Telecom Cosan CSN Eletrobrás Natura Nossa Caixa Petrobrás Souza Cruz Telesp Usiminas Beta (β) 0, , , , , , , , , , Capital Asset Price Model - CAPM A teoria básica que associa o risco e o retorno para todos os ativos é comumente chamada de modelo de formação de preços de ativos de capital (CAPM) (GITMAN, 2002 apud OLIVEIRA, 2004). Esse modelo é baseado em valores esperados (modelo expectacional) em que o retorno esperado do ativo é a soma de dois fatores. O primeiro refere-se à rentabilidade dos ativos ou das aplicações sem risco, e o segundo, ao chamado prêmio de risco. O CAPM considera que os investidores sejam racionais e diversifiquem seus investimentos, a fim de evitar o risco especifico (diversificado), que pode ser cancelado por meio da diversificação primária da carteira de investimentos (SAMANEZ, 2006). Partindo deste principio, o modelo foi calculado neste trabalho da seguinte forma: Rmi = Rf + βi(rm Rf) Onde: Rmi = retorno esperado do ativo i; Rf = rentabilidade dos ativos sem risco; Rm = rentabilidade esperada da carteira de mercado; βi = beta do ativo i. A taxa livre de risco utilizada foi de 0,6% (HSBC, 2009) e assim foi aplicada a equação do CAPM, conforme tabela 5. ACH2016 Métodos Quantitativos Aplicados à Administração de Empresas 6

7 Tabela 5. Retorno exigido através do CAPM. CAPM Brasil Telecom Cosan CSN Eletrobrás Natura Nossa Caixa Petrobrás Souza Cruz Telesp Usiminas 0,57% 0,59% 0,58% 0,57% 0,58% 0,59% 0,58% 0,57% 0,62% 0,58% 2.4 Seleção das Empresas que irão compor o Portfólio O primeiro critério para seleção das empresas que irão compor o portfólio, foi a análise do retorno esperado (E(R)). Nota-se que algumas das empresas selecionadas possuem retorno esperado negativo, o que não é desejável, conforme tabela 6. Tabela 6. Análise do retorno esperado E(R) Brasil Telecom Cosan CSN Eletrobrás Natura Nossa Caixa Petrobrás Souza Cruz Telesp Usiminas 2,16% 5,22% 2,52% 0,74% -3,59% -3,61% 1,98% -2,92% 0,74% 3,44% Assim os papeis das empresas Natura, Nossa Caixa e Souza Cruz foram eliminados na faze de pré-seleção, por apresentarem retornos esperado negativo. Vale citar, que foi comparado o retorno esperado E(R) com o retorno exigido (CAPM) com as empresas restantes, contudo nenhuma empresa foi eliminada com este critério, pois todos os papéis apresentaram retorno esperado superior ao retorno exigido, conforme tabela 7. Tabela 7. Análise do retorno esperado Retorno Esperado E(R ) X Retorno Exigido CAPM Brasil Cosan CSN Eletrobrás Petrobrás Telesp Usiminas Telecom E(R) 2,16% 5,22% 2,52% 0,74% 1,98% 0,74% 3,44% CAPM 0,57% 0,59% 0,58% 0,57% 0,58% 0,62% 0,58% ACH2016 Métodos Quantitativos Aplicados à Administração de Empresas 7

8 O segundo critério para seleção das empresas para compor o portfólio, foi uma análise do E(R), Risco (desvio-padrão) e a covariância entre as empresas. Analisando a Tabela 3, nota-se que a Eletrobrás possui o mesmo retorno esperado que a Telesp, contudo apresenta um risco maior. Analisando a Tabela 8, observa-se que a Telesp possui covariância negativa (o que é desejável em uma carteira com risco reduzido) com 5 empresa, enquanto a Eletrobrás apenas com uma. Tabela 8. Matriz de Covariância Matriz de Covariância Brasil Telecom Cosan CSN Eletrobrás Petrobrás Telesp Usiminas Brasil Telecom 0, , , , , , ,00877 Cosan 0, , , , , , ,04707 CSN 0, , , , , , ,03867 Eletrobrás 0, , , , , , ,00361 Petrobrás 0, , , , , , ,02557 Telesp -0, , , , , , ,00070 Usiminas 0, , , , , , ,04792 Assim o papel da empresa Eletrobrás foi eliminado na faze de pré-seleção, por não ser rentável no conjunto da carteira. O ultimo critério para seleção das empresas para compor o portfólio, foi o cálculo e análise dos indicadores de Sharpe, Treynor. Dentre os ativos restantes, a Telesp é o que apresenta os índices de Sharpe e Treynor menores, conforme tabela 9. Tabela 9. Indicadores de Sharpe e Treynor Brasil Telecom Cosan CSN Petrobrás Telesp Usiminas Sharpe 14,93% 14,10% 9,68% 8,29% 3,18% 12,49% Treynor 2,25% 24,92% 3,82% 2,58% -0,22% 6,82% ACH2016 Métodos Quantitativos Aplicados à Administração de Empresas 8

9 Assim o papel da empresa Telesp foi eliminado, compondo por fim a carteira com as empresas cinco empresas: Brasil Telecom; Cosan; CSN; Petrobrás e Usiminas. 3. Utilização do Solver Após a pré-seleção dos das empresas utilizando heurísticas, este item abordará a utilização da função Solver do MS Excel para efetuar o cálculo de minimização do risco da carteira baseados em restrições adotadas. A Função Objetivo será minimizar o risco conjunto entre as ações dado retorno esperado, com as restrições de que a soma das porcentagens das ações na carteira é igual a 100%, o retorno encontrado deve ser maior ou igual ao desejado e o valor percentual de cada empresa que faz parte do portfólio deve ser maior ou igual a zero. As Células variáveis serão as referentes à composição percentual de ações de cada empresa no portfólio. Assim será considerada a matriz de covariância apenas com as empresas restantes, conforme tabela 10. Tabela 10. Matriz de covariância das empresas restantes Brasil Telecom Cosan CSN Eletrobrás Petrobrás Usiminas Brasil Telecom 0, , , , , ,00877 Cosan 0, , , , , ,04707 CSN 0, , , , , ,03867 Eletrobrás 0, , , , , ,00361 Petrobrás 0, , , , , ,02557 Usiminas 0, , , , , ,04792 ACH2016 Métodos Quantitativos Aplicados à Administração de Empresas 9

10 Os termos de variância e de retorno são cálculos necessários para encontrar a variância e o retorno da carteira. A somatória dos termos de variância de cada empresa resulta na variância da carteira, enquanto a somatória dos termos de retorno resulta retorno da carteira (OLIVEIRA, 2004), conforme tabela 11. Tabela 11. Termos de variância e de retorno Brasil Telecom Cosan CSN Petrobrás Usiminas Termos de Variância 0,77% 0,00% 0,00% 0,17% 0,00% Termos do Retorno 7,88% 0,00% 0,00% 0,72% 0,00% 3.1 Resultados Solver Com os dados das Tabelas 10 e 11, foi possível chegar a um resultado com a função solver. A tabela 12 demonstra a composição do portfólio, com a porcentagem de cada empresa na carteira e o seu retorno médio. Tabela 12. Termos de variância e de retorno Brasil Telecom Cosan CSN Petrobrás Usiminas TOTAL Portfolio % 82,12% 0,00% 0,00% 17,88% 0,00% 100,00% E(R) Medio 9,59% 5,18% 3,76% 4,01% 4,20% Por fim foram obtidos os dados da carteira através da função solver para um retorno especificado de 6%, conforme tabela 13. Tabela 13. Dados da carteira Variância 0, Desv. Padrão 9,67% Retorno Desejado 6,00% Retorno 6,00% Conforme o escopo proposto do trabalho, a análise do resultado será feita mais adiante quando comparada com o retorno do algoritmo genético. ACH2016 Métodos Quantitativos Aplicados à Administração de Empresas 10

11 4. Algoritmo Genético 4.1 Operadores Genéticos Taxas de Crossover e Mutação MIRANDA (1998), cita que na maioria das literaturas os valores encontrados estão na faixa de 60% a 65% para a probabilidade de crossover e entre 0,1 e 5% para a taxa de mutação. Neste trabalho adota-se essa faixa para probabilidade de crossover e taxa de mutação População inicial e numero de gerações Para os casos de teste o grupo acordou em variar a quantidade de gerações entre 500 e 1000 gerações. Já a população inicial o grupo decidiu usar como mínimo 50 indivíduos, conforme citado em MIRANDA (1998), e máximo Modos de seleção Roleta O primeiro método de seleção de pais codificado neste trabalho é a maneira clássica que a grande maioria dos pesquisadores de GA utiliza que é o método da roleta viciada (LIDEN, 2008) Torneio LINDEN (2008), cita que existe a possibilidade de n elementos serem selecionados para torneio, porém o método de seleção por torneio utilizado neste trabalho foi o clássico, onde são selecionados dois elementos aleatoriamente da população, sendo que todos os elementos possuem igual probabilidade de serem escolhidos, e o elemento selecionado com melhor avaliação é escolhido para o crossover. 4.3 Modos de crossover Um ponto O crossover de um ponto utilizado divide o cromossomo em duas partes a partir de uma posição aleatória e cria filhos com os dados dos pais anteriores á posição de corte e com os dados posteriores invertidos, evitando assim que os filhos sejam cópias exatas dos pais. ACH2016 Métodos Quantitativos Aplicados à Administração de Empresas 11

12 4.3.2 Dois pontos O crossover de dois pontos codificado corta os cromossomos pais em dois pontos aleatórios, o primeiro ponto varia de zero ao tamanho do cromossomo menos um, e o segundo ponto varia entre a posição do primeiro corte e a posição igual ao tamanho do cromossomo menos um. Os cromossomos filhos gerados possuem as partes anteriores ao primeiro corte e posteriores ao segundo idênticas às dos pais, sendo que as posições entre o intervalo dos cortes são invertidas, criando assim novos elementos Uniforme O crossover uniforme implementado percorre um a um os genes dos cromossomos pai atribuindo aleatoriamente um valor entre 0 e 1, os cromossomos filhos serão formados da seguinte forma, quando for atribuído valor 1 ao gene do pai 1 este será o gene de mesma posição do filho 1, enquanto o gene do pai 2 será utilizado no filho 2, quando o valor atribuído ao gene do pai 1 for igual a 0 o filho 1 irá receber o gene do pai 2 e o filho 2 irá receber o gene do pai Modos de mutação Um bit O modo de mutação de um bit atribui um valor aleatório a um cromossomo e caso este valor seja maior que a probabilidade de mutação ele irá escolher uma posição aleatória do cromossomo e substituí-la por um valor também aleatório. 4.3 Elitismo De acordo com os resultados obtidos em trabalhos anteriores utilizando algoritmos genéticos, os quais demonstraram resultados superiores utilizando a estratégia de elitismo, o grupo acordou em utilizar essa estratégia para todos os casos de teste selecionados. 5. Análise dos resultados Foram realizados diversos casos de testes, variando: (i) número de gerações; (ii) tamanho da população; (iii) taxa de crossover; (iv) probabilidade de mutação e (v) ACH2016 Métodos Quantitativos Aplicados à Administração de Empresas 12

13 método de seleção. É importante frisar que para todos os testes executados, foi definido um retorno mínimo de 6%, exatamente como foi feito para a função Solver. Esse retorno mínimo é passado como parâmetro para a execução do algoritmo genético, que continua sua iteração até que o resultado do melhor elemento da última geração atenda ao retorno mínimo especificado. As tabelas contendo todos os casos de testes, com todos os elementos de cada teste (não apenas o melhor de cada teste) podem ser visualizadas no Anexo I. Em todos os casos de teste executados, os parâmetros variaram de forma igual e seus domínios podem ser observados na Tabela 14: Tabela 14 Parâmetros dos casos de teste Parâmetro Domínio Número de gerações [ 500, 1000 ] Tamanho da população [ 50, 100 ] Taxa de crossover [ 60%, 65% ] Probabilidade de mutação [ 1%, 5% ] Método de seleção Tipo de crossover {roleta, torneio} {um ponto, dois pontos, uniforme} Retorno mínimo 6% O primeiro conjunto de testes foi realizado fixando-se os parâmetros: (i) crossover de um ponto e (ii) método da roleta viciada. Os dados do melhor elemento desse caso de teste podem ser observados na Tabela 15: ACH2016 Métodos Quantitativos Aplicados à Administração de Empresas 13

14 Tabela 15 Melhor elemento usando-se crossover de um ponto e roleta viciada. Risco 0,11200 Retorno 0,0677 Brasil Telecom 0,4896 Cosan 0,0618 CSN 0,1443 Petrobrás 0,3041 Usiminas 0,0000 Índice de Sharpe 0,5516 Índice de Treynor 0,0770 O segundo conjunto de testes foi realizado fixando-se os parâmetros: (i) crossover de dois pontos e (ii) método da roleta viciada. Os dados do melhor elemento desse caso de teste podem ser observados na Tabela 16: ACH2016 Métodos Quantitativos Aplicados à Administração de Empresas 14

15 Tabela 16 Melhor elemento usando-se crossover de um ponto e roleta viciada Risco 0,11311 Retorno 0,0705 Brasil Telecom 0,5569 Cosan 0,0000 CSN 0,2658 Petrobrás 0,1329 Usiminas 0,0443 Índice de Sharpe 0,5710 Índice de Treynor 0,0805 O terceiro conjunto de testes foi realizado fixando-se os parâmetros: (i) crossover uniforme e (ii) método da roleta viciada. Os dados do melhor elemento desse caso de teste podem ser observados na Tabela 17: ACH2016 Métodos Quantitativos Aplicados à Administração de Empresas 15

16 Tabela 17 Melhor elemento usando-se crossover uniforme e roleta viciada Risco 0,10543 Retorno 0,07575 Brasil Telecom 0,6356 Cosan 0,0000 CSN 0,0232 Petrobrás 0,2170 Usiminas 0,1240 Índice de Sharpe 0, Índice de Treynor 0, O quarto conjunto de testes foi realizado fixando-se os parâmetros: (i) crossover de um ponto e (ii) seleção por torneio. Os dados do melhor elemento desse caso de teste podem ser observados na Tabela 18: ACH2016 Métodos Quantitativos Aplicados à Administração de Empresas 16

17 Tabela 18 Melhor elemento usando-se crossover de um ponto e seleção por torneio Risco 0,10261 Retorno 0,0742 Brasil Telecom 0,6124 Cosan 0,0155 CSN 0,0697 Petrobrás 0,3023 Usiminas 0,0000 Índice de Sharpe 0, Índice de Treynor 0, O quinto conjunto de testes foi realizado fixando-se os parâmetros: (i) crossover de dois pontos e (ii) seleção por torneio. Os dados do melhor elemento desse caso de teste podem ser observados na Tabela 19: ACH2016 Métodos Quantitativos Aplicados à Administração de Empresas 17

18 Tabela 19 Melhor elemento usando-se crossover de dois pontos e seleção por torneio Risco 0,10219 Retorno 0,0786 Brasil Telecom 0,6789 Cosan 0,0550 CSN 0,0183 Petrobrás 0,2110 Usiminas 0,0367 Índice de Sharpe 0, Índice de Treynor 0, O sexto conjunto de testes foi realizado fixando-se os parâmetros: (i) crossover uniforme e (ii) seleção por torneio. Os dados do melhor elemento desse caso de teste podem ser observados na Tabela 20: ACH2016 Métodos Quantitativos Aplicados à Administração de Empresas 18

19 Tabela 20 Melhor elemento usando-se crossover uniforme e seleção por torneio Risco 0,11228 Retorno 0,06684 Brasil Telecom 0,4850 Cosan 0,0100 CSN 0,1850 Petrobrás 0,3100 Usiminas 0,0100 Índice de Sharpe 0, Índice de Treynor 0, Para o sétimo conjunto de testes, foram utilizados os parâmetros dos seis melhores elementos dos testes anteriores e foi-lhes aplicada à mutação dirigida. Os resultados do melhor elemento podem ser observados na Tabela 21: ACH2016 Métodos Quantitativos Aplicados à Administração de Empresas 19

20 Tabela 21: Melhor elemento utilizando-se os parâmetros dos testes anteriores e aplicando-se mutação dirigida Risco 0,11293 Retorno 0,06929 Tipo de crossover Método de seleção Crossover uniforme Roleta Índice de Sharpe 0, Observando-se uma comparação entre o melhor resultado obtido utilizando-se os algoritmos genéticos e a resposta da função Solver, temos os seguintes valores que podem ser visualizados na Figura 1: Solver 0,0967 AG 0, ,093 0,094 0,095 0,096 0,097 0,098 0,099 0,1 0,101 0,102 0,103 Figura 1 Risco da Carteira definida pelo AG e Risco da Carteira definida pela função Solver do Microsoft Excel Através desse gráfico, observa-se que o Solver obteve um desempenho melhor na tarefa de minimizar o risco, que no problema em questão, trata-se da função objetivo. Entretanto, é interessante utilizar alguns índices de avaliação de desempenho de carteiras, como Índice de Sharpe e Índice de Treynor. A Figura 2 mostra a comparação ACH2016 Métodos Quantitativos Aplicados à Administração de Empresas 20

21 do Índice de Sharpe da carteira gerada pelo algoritmo genético e da carteira gerada pela função Solver: Solver 0, AG 0, ,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 Figura 2 Índices de Sharpe da carteira gerada pelo algoritmo genético e da carteira gerada pela função Solver Pôde-se observar através da Figura 2 que o algoritmo genético obteve um desempenho melhor, de acordo com o Índice de Sharpe, do que a função Solver. Na Figura 3, podemos observar o desempenho das carteiras em relação ao Índice de Treynor: ACH2016 Métodos Quantitativos Aplicados à Administração de Empresas 21

22 Solver 0, AG 0, ,078 0,08 0,082 0,084 0,086 0,088 0,09 0,092 0,094 0,096 0,098 Figura 3 Índices de Treynor da carteira gerada pelo algoritmo genético e da carteira gerada pela função Solver Assim como o índice de Sharpe, o índice de Treynor também aponta para um melhor desempenho da carteira gerada pelo algoritmo genético. O VaR (value at risk) determina a perda máxima de uma carteira, dado uma confiança definida. Para realizar uma comparação, este trabalho utilizou uma confiança de 97,5% e um investimento inicial unidades monetárias. A perda máxima para as carteiras do Algoritmo Genético e da função Solver podem ser visualizados na Figura 4: ,2 Solver ,63121 AG Figura 4: Value at Risk para as carteiras geradas pelo algoritmo genético e pela função Solver ACH2016 Métodos Quantitativos Aplicados à Administração de Empresas 22

23 6. Considerações finais A carteira ótima de ativos pode ser calculada de diferentes formas. O trabalho de pré-processamento executado em uma planilha eletrônica permitiu restringir o número de ativos que seriam analisados para a composição da carteira ótima, utilizando-se de parâmetros como o retorno esperado até índices de avaliação de desempenho de ativos como Sharpe e Treynor. Depois de selecionados quais seriam os ativos que fariam parte da carteira, a segunda tarefa executada foi a utilização da função Solver do Microsoft Excel para o cálculo da carteira ótima, que minimiza o risco, dada uma restrição de retorno mínimo igual à 6%. Neste trabalho também foi desenvolvido um algoritmo genético, modelado para encontrar a carteira ótima, sendo necessário fornecer-lhe dados sobre o retorno dos ativos, risco de cada ativo, entre outros dados, exatamente como foi feito para a função Solver do Microsoft Excel. É importante frisar que ele foi codificado de forma a encontrar a carteira que minimiza o risco e atende a um retorno mínimo especificado. O melhor resultado obtido utilizando-se o algoritmo genético (a carteira que possui o menor desvio-padrão) obteve um risco maior do que o encontrado pelo Solver, porém também obteve um melhor retorno. As duas carteiras (a melhor gerada pelo algoritmo genético e a carteira gerada pelo Solver) foram comparadas utilizando-se o índice de Sharpe e o índice de Treynor. Em ambos os casos, a carteira desenvolvida pelo algoritmo genético mostrou-se superior a carteira desenvolvida pelo Solver. O Var também foi calculado para a carteira gerada pelo algoritmo genético e a carteira gerada pela função Solver, demonstrando que a perda máxima da carteira gerada pelo algoritmo genético é maior do que a perda máxima da carteira gerada pela função Solver, já que o ultimo método encontrou um risco menor. Levando-se em conta tais fatos, podemos dizer que o perfil do investidor deve ser levado em conta na avaliação dos resultados obtidos pelo algoritmo genético e a função Solver. Se o investidor é totalmente avesso ao risco, o resultado obtido utilizando a função Solver será mais satisfatório, pois o risco da carteira gerada pelo Solver é menor. Por outro lado, se o investidor busca um equilíbrio entre risco e retorno, ACH2016 Métodos Quantitativos Aplicados à Administração de Empresas 23

24 o resultado obtido pelo algoritmo genético é melhor, tendo em vista melhor desempenho segundo os índices de Sharpe e Treynor. 7. Referencias Bibliográficas SAMANEZ, C. P. Gestão de investimentos e geração de valor. São Paulo: Pearson, SALLES, Y. Onze ações do Ibovespa se salvam das perdas em Disponível em: < Acesso em: 29 de outubro SALLES, Y. Ações que dispararam em 2008 perdem fôlego em Disponível em: < Acesso em: 29 de outubro LINDEN, R. Algoritmos Genéticos. Rio de Janeiro: Brasport, MIRANDA, M. N.Algoritmos Genéticos: Fundamentos e Aplicações. Disponível em: < Acesso em: 20 outubro OLIVEIRA, M. H. F. Cálculo da Composição de uma Carteira de Ações que Minimiza o Risco para um Retorno Especificado. Minas Gerais: Universidade Federal de Itajubá, Bibliografia GOLDSCHMIDT, R. & PASSOS, E. Data Mining: um Guia Prático. São Paulo: Campus, LIMA, E. O. Algoritmo Genético híbrido aplicado à otimização de funções. Lavras: Universidade Federal de Lavras, ACH2016 Métodos Quantitativos Aplicados à Administração de Empresas 24

25 Anexo A ACH2016 Métodos Quantitativos Aplicados à Administração de Empresas 25