Carteiras de Variância Mínima no Brasil

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1 no Brasil Itaú-Unibanco Abril de 2012 no Brasil

2 Agenda Conceitos básicos em Finanças 1 Conceitos básicos em Finanças no Brasil

3 Seleção de carteiras de investimento Suponha N ativos de risco, com retornos médios µ = (µ 1,, µ N ) e matriz de variância Σ Uma carteira de investimento consiste em um vetor de alocações w = (w 1,, w N ) T, tal que o retorno médio e variância da carteira são µ P = w µ e σ 2 P = w Σw Considere o problema de encontrar a carteira de ações com o menor risco, para um dado nível de retorno esperado µ P fixado (problema de Markowitz [6]). Este problema pode ser expresso matematicamente como : min w w Σw sujeito a µ P = w µ 1 = w 1 no Brasil

4 Seleção de carteiras de investimento A solução do problema de Markowitz para vários níveis de retorno esperado gera a chamada Fronteira Eficiente, que contém as carteiras com menor risco para um dado nível de retorno ou, equivalentemente, as carteiras com maior retorno para um dado nível de risco. no Brasil

5 Seleção de carteiras de investimento A inclusão de um ativo livre de risco (eg: títulos do governo), com volatilidade 0 e retorno esperado r f, leva a uma nova fronteira eficiente, a qual é uma reta com equação r p = r f + σ P r m r f σ m no Brasil

6 CAPM Conceitos básicos em Finanças Usando argumentos de equilíbrio (ou manipulando a solução analítica do problema de Markowitz), podemos derivar também a equação do modelo CAPM (Capital Asset Pricing Model): r i = r f + β i (r m r f ), onde β i = Cov(r i,r m ) σ 2 m é o beta de mercado do ativo i. no Brasil

7 Risco e retorno em Finanças Sumarizando: Teoria de seleção de carteiras leva à uma relação linear positiva entre risco (volatilidade)e retorno: r p = r f + σ P r m r f σ m CAPM leva à uma relação linear positiva entre risco (beta) e retorno: r i = r f + β i (r m r f ) no Brasil

8 Otimização de carteiras na prática Na prática, µ e Σ são desconhecidos e precisam ser estimados a partir de uma amostra de séries temporais dos preços dos ativos. A estimação da matriz de covariância é relativamente simples. Até mesmo o estimador amostral padrão pode ser utilizado No entanto, o erro cometido ao estimar o vetor de médias, µ, pela média histórica na amostra, é muito grande... Caso não esteja disponível um método mais sofisticado (eg modelos multifatorias) para estimar µ, só é possível determinar uma carteira na fronteira eficiente: a carteira de variância mínima global (CVM) Empiricamente, verifica-se que esta carteira possui desempenho superior ao de outras carteiras na fronteira eficiente, superando facilmente benchmarks de mercado. no Brasil

9 Motivação Um exercício simples de formação de carteiras para avaliar possível relação risco-retorno: Formar carteiras baseadas em risco realizado, e averiguar seu desempenho no futuro (fora da amostra) Risco é definido como risco total (volatilidade realizada) ou risco sistemático (β) no Brasil

10 Motivação no Brasil

11 Motivação no Brasil

12 Superioridade da CVM amplamente documentada em mercados desenvolvidos: Jorion(1985, 1992) [4, 5] Jagannathan e Ma (2003) [3] Clark, De Silva e Thorley (2006) [7] Blitz e van Vliett (2007) [1] Falken (2009) [2]...e muitos outros. No Brasil, apenas um trabalho, com evidência relativamente fraca: Thomé e Leal(2010) [8] - investigam CVMs formadas com ações do IBOVESPA - concluem que CVM supera IBOVESPA, mas não uma carteira igualmente ponderada das ações no Brasil

13 Nosso trabalho: Avaliar o desempenho fora-da-amostra de CVMs formadas com todas ações disponíveis que atendem a critérios de volume e liquidez Comparações com: Carteira que maximiza a razão de Sharpe (CRS) Carteira que maximiza a média geométrica dos retornos (CMG) Carteira igualmente ponderada (CIP) Índice IBOVESPA CDI Avaliação de carteiras otimizadas com possibilidade de alavancagem 130/30 no Brasil

14 Carteira de variância mínima (CVM) min w w Σw Carteira que maximiza a razão de Sharpe (CRS) max w max w w µ w Σw Carteira que maximiza o retorno geométrico (CMG) ( ) log (1 + w µ) Carteira igualmente ponderada (CIP) w Σw 2(1 + w µ) 2 w i = 1 N no Brasil

15 Procedimento de simulação (backtest) No início de cada mês, determinar quais ações passam nos filtros: Pelo menos 3 anos de histórico Volume mediano positivo Pelo menos 75% dos dias com retornos não nulos Calcular médias e matriz de covariância usando últimos 3 anos de histórico Otimizar carteiras (fixar pesos para o próximo mês) Calcular retornos, giro, custos etc no Brasil

16 Principais conclusões: CVMs superam todos as demais carteiras, obtendo retornos mais altos e risco menor CVMs 130/30 apresentam ganhos modestos em relação à versão long-only CVMs concentram investimentos em um número relativamente pequeno de ações com betas baixos CVMs são uma alternativa de investimento interessante, facilmente replicável até por investidores individuais Otimização com médias de retorno históricas não funcionam bem fora da amostra, conforme esperado A carteira igualmente ponderada apresenta resultados razoáveis, porém bem inferiores aos da CVM são robustos ao número de ações e alocações máximas permitidas no Brasil

17 Desempenho das carteiras ao longo do tempo no Brasil

18 Estatísticas de desempenho das carteiras no Brasil

19 Estatísticas de desempenho das carteiras 130/30 no Brasil

20 Número de ações e alocação média na CVM no Brasil

21 Gráfico de dispersão dos βs das ações vs alocações na CVM (meados 2011) no Brasil

22 Value-at-Risk da CVM e do IBOVESPA no Brasil

23 Por que a CVM apresentam resultados tão superiores? Falta de associação entre risco e retorno Crítica ao CAPM (ações com βs baixos apresentam retornos relativamente altos) - eg Black, Jensen e Scholes (1972), Fama e French (1992) Vieses comportamentais - eg visão de ativos de alto risco como potenciais de enriquecimento ou bilhetes de loteria - tornaria estes ativos muito caros ( wish I had bought Microsoft in the 80s ) Investidores institucionais tem restrições de mandato para seguir benchmark, o que limita arbitragem Falken (2009) propõe uma teoria radical - se os investidores só se preocupam com dispersão em torno de um banchmark, não existiria prêmio de risco no Brasil

24 Implicações Crítica ao modelo de benchmarking de investimento a índices Um índice de variância mínima parece mais relevante Estratégia de investimento facilmente replicável até por investidores individuais Importância para fundos de pensão! no Brasil

25 Implicações Crítica ao modelo de benchmarking de investimento a índices Um índice de variância mínima parece mais relevante Estratégia de investimento facilmente replicável até por investidores individuais Importância para fundos de pensão! Obrigado! no Brasil

26 Referências D. Blitz and P. V. Vliet. The volatility effect. Journal of Portfolio Management, (7), E. G Falkenstein. Return in general: Theory and evidence. Technical report, R. Jagannathan and T. Ma. Risk reduction in large portfolios: Why imposing the wrong constraints helps. Journal of Finance, (58), P. Jorion. International portfolio diversification with estimation risk. Journal of Business, (58), P. Jorion. Bayesian and capm estimators of the means: Implications for portfolio selection. Journal of Banking & Finance, (58), Harry Markowitz. Portfolio selection. The Journal of Finance, 1(7), H. De Silva R. Clark and S. Thorley. Minimum-variance portfolios in the us equity market. Journal of Portfolio Management, C. N. Thomé and R. P. C. Leal. Alexandre Um índice Rubesam de mínima e André variância L. Beltrame de ações brasileiras. no Brasil

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