Análise da Curvatura de Modulações Não-Lineares Associadas a Curvas

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1 XXVI SIMPÓSIO BRASILEIRO DE TELECOMUNICAÇÕES - SBrT 8, 2- DE SETEMBRO DE 28, RIO DE JANEIRO, RJ Análise da Curvatura de Modulações Não-Lineares Associadas a Curvas Rodrigo Guão Cavalcante e Reginaldo Palazzo Jr. Resuo Neste trabalho usaos ua interpretação geoétrica que associa esqueas de odulação a curvas no espaço Euclidiano para construir e analisar novas odulações nãolineares. Co isso, foi possível verificar que alé do copriento da curva, a curvatura é u outro parâetro de grande relevância no projeto de odulações não-lineares, pois influencia diretaente e seu desepenho, ais precisaente no valor do erro quadrático édio. Co o objetivo de iniizar a ocorrência de erro de liiar ua condição entre a energia édia de ruído e a curvatura da odulação foi deterinada. Alé disso, ua odulação não-linear foi proposta e seu desepenho foi coparada ao desepenho da odulação associada à curva espiral de Arquiedes. Neste caso, a influência da curvatura no desepenho de odulações não-lineares foi evidenciada. Palavras-Chave Modulação não-linear, curvatura, erro quadrático édio, análise de desepenho. Abstract In this paper we use a geoetrical interpretation which associates odulation schees to curves in Euclidean space to design and analyze new twisted odulations. Fro this, it was possible to verify that besides the length of a curve, the curvature is another paraeter of great relevance in the design of nonlinear odulations, since this paraeter affects the perforance under the ean-square error criterion. In order to iniize the threshold error a condition had to be established involving the noise average energy and the curvature of the odulation. In addition to this, a non-linear odulation is proposed and its perforance is copared with the perforance of a odulation aking use of the Archiedean spiral curve. In this case the influence of the curvature in the perforance of non-linear odulations is brought to light. Keywords Twisted odulation, curvature, ean-square error, perforance analysis. I. INTRODUÇÃO Neste trabalho considere o sistea de counicações apresentado de fora siplificada na Figura. Neste sistea a variável aleatória, co função densidade de probabilidade a priori p, é tranitida pelo sinal odulado s (t) através de u canal co ruído aditivo, n(t). Alé disso, após a observação do sinal recebido, r(t), o receptor estia ua saída, de. E [3], as técnicas de odulação fora associadas a curvas no R N. Tal interpretação geoétrica possibilitou e [7] e [8] o projeto e a análise de desepenho de odulações usando alguas ferraentas da geoetria diferencial [] e, ais geralente, da geoetria Rieanniana [6]. A interpretação geoétrica para a técnica de odulação proposta e [3] é baseada na possibilidade do sinal odulado Rodrigo Guão Cavalcante e Reginaldo Palazzo Jr., Departaento de Teleática (DT), Faculdade de Engenharia Elétrica e de Coputação (FEEC), Universidade Estadual de Capinas (UNICAMP), eails: rgc@dt.fee.unicap.br e palazzo@dt.fee.unicap.br. n(t) s (t) Tranissor Σ r(t) Receptor Fig.. Exeplo de u diagraa de blocos de sistea de counicações para a tranissão de ua variável aleatória contínua. s (t) ser decoposto e ua base de sinais ortogonais de energia unitária, ϕ i (t), i =,...,N, da seguinte fora s (t) = s ()ϕ (t)+s 2 ()ϕ 2 (t)+ +s N ()ϕ N (t). () Neste caso, as portadoras ϕ i (t) pode ser interpretadas coo u conjunto de vetores ortonorais {ϕ i }, gerando ua base para o R N. Co isso, o sinal odulado s (t) pode ser representado nessa base vetorial da seguinte aneira s = s ()ϕ + s 2 ()ϕ s N ()ϕ N = [s (), s 2 (),..., s N ()]. (2) Isto é, o sinal odulado s (t), representado vetorialente por s, pode ser interpretado coo ua curva paraetrizada s : I R R N, I. Neste trabalho, o parâetro considerado para edir o desepenho do sistea de counicações da Figura é o erro quadrático édio, definido coo ǫ 2 E [ ( ) 2] = ( ) 2, (3) onde E[ ] é o operador esperança, edido conjuntaente para todas as entradas peritidas e todas as possíveis estiativas ˆ deterinadas pelo receptor após a ação do ruído. Alé disso, para u elhor entendiento dos resultados descritos neste trabalho, os desepenhos das odulações propostas fora apresentados e função de gráficos da relação sinal ruído do canal de tranissão (CSNR) versus a relação sinal ruído da inforação tranitida (SNR), definidos coo CSNR E N e SNR 2 ǫ 2, (4) onde 2 é a energia édia (ou variância) da variável aleatória de édia nula, N é a energia édia de ruído presente no canal de tranissão e E é a energia édia de tranissão do sinal s (t), definida coo E E [ s 2] = E s 2 (t)dt, () onde o operador esperança, neste caso, é edido para todos

2 XXVI SIMPÓSIO BRASILEIRO DE TELECOMUNICAÇÕES - SBrT 8, 2- DE SETEMBRO DE 28, RIO DE JANEIRO, RJ os possíveis valores de e é a nora de u vetor. Neste trabalho, as curvas de desepenho (CSNR versus SNR) dos sisteas propostos fora coparadas à curva de u sistea ótio, denotada pela sigla OPTA e definida e [2] pela seguinte relação SNR = ( + CSNR) N/M, (6) onde (N/M) é a razão entre as diensões dos sinais odulado e não odulado, respectivaente. Por exeplo, para o caso particular de odulações associadas a curvas planares essa razão vale 2, pois neste caso s R N=2 e R M=. E [3] a interpretação geoétrica que associa odulações a curvas no R N foi utilizada para verificar que o erro quadrático édio é inversaente proporcional ao quadrado do copriento de arco da curva associada à odulação. Tal fato é válido quando a energia édia do ruído é suficienteente pequena, de aneira que s possa ser aproxiado, co o auxílio da série de Taylor, da seguinte fora s s + ( )s, co s = ds d, (7) = onde s é a derivada de s e relação a no ponto. A Figura 2 ilustra a recepção por áxia verossiilhança (ML) de ua odulação não-linear usando essa aproxiação quando s é tranitido e o ruído é AWGN. Nesse caso, o receptor obté a estiativa ˆ pela iniização de r s, isto é, projetando o sinal recebido r na direção da reta tangente à curva s e s, equação (7). influencia no desepenho do sistea de counicações apresentado na Figura. Na Seção III propoos u novo esquea de odulação não-linear e seu desepenho foi analisado e coparado ao desepenho da odulação associada à curva espiral de Arquiedes. Nesta caso, a influência da curvatura no desepenho da odulação proposta foi evidenciada. Finalente, na Seção IV as conclusões são apresentadas. II. INFLUÊNCIA DA CURVATURA NO PROJETO DE MODULAÇÕES Sabe-se que a curvatura está associada à variação do vetor tangente de ua curva, então a curvatura de ua odulação linear é nula. Alé disso, o uso de odulações não-lineares deonstra ser ua alternativa para auentar o desepenho dos sisteas de counicações. Portanto, coo a curva associada a ua odulação não-linear possui curvatura diferente de zero, então a existência de curvatura pode influenciar no desepenho do sistea de counicação. Contudo, antes de quantificar a influência da curvatura no projeto de odulações é necessário introduzir o conceito de erro de liiar (threshold) definido e [3]. Para tanto, inicialente considere a odulação linear apresentada na Figura 3(a), co s tranitido e r recebido. A Figura 3(b) exeplifica o processo de deodulação usando u receptor ML considerando que o sinal r pertença a u dos círculos c, ou, que caracteriza a região de ação de u ruído AWGN co diferentes valores de energia édia. Neste caso, note que o receptor deterina três regiões para os possíveis valores de ˆ, sendo cada ua delas associada a u dos círculos considerados. s r s s ˆ n Ì Ò ÒØ Ñ s r = c n s = ϕ c Ö Ó > 3 N /2 (a) Exeplo na odulação linear. = = = (b) Possíveis valores para ˆ. Fig. 2. Recepção por áxia verossiilhança de u sistea de counicações usando ua odulação não-linear quando o ruído de tranissão é AWGN e sua energia édia é suficienteente pequena. Neste contexto, a relação verificada e [3] para o erro quadrático édio dado que foi enviado é dada por ǫ 2 ( ) = N /2 s 2 = N /2 S 2, (8) onde o parâetro S é chaado de fator de expansão da odulação. Geoetricaente, o fator de expansão está associado ao copriento da curva associada a odulação, isto é, L = s d, (9) que é igual a 2S caso o fator de expansão seja unifore (constante). Este trabalho está organizado da seguinte fora. Na Seção II deterinaos que o valor da curvatura de ua odulação Fig. 3. Interpretação geoétrica do erro de liiar e ua odulação linear sob a ação de u ruído AWGN. E seguida, considere a odulação não-linear ilustrada na Figura 4(a), tabé co s tranitido e r recebido. Nesta odulação, a ação do ruído pode caracterizar ua região de liiar de decisão, Figura 4(b), be diferente da região de liiar de ua odulação linear, Figura 3(b). Este fato iplica que sinais odulados sobre curvas co grande copriento (enor ǫ 2 ), pode possuir sinais próxios e teros da distância Euclidiana e u novo tipo de erro pode existir na recepção, o erro de liiar, causando ua espécie de confusão no receptor, coo ilustra a região de decisão da Figura 4(b). Alé disso, deveos ressaltar que tal erro é certaente o principal responsável por ipedir que o copriento da curva seja auentado indefinidaente co o objetivo de elhorar o desepenho da odulação. Co isso, é interessante observar que para a odulação linear não há erro de liiar. Este fato será associado a seguir ao valor da curvatura da curva associada a essa odulação,

3 XXVI SIMPÓSIO BRASILEIRO DE TELECOMUNICAÇÕES - SBrT 8, 2- DE SETEMBRO DE 28, RIO DE JANEIRO, RJ E = c ϕ 2 s n = (a) Exeplo na odulação não-linear. c = = = (b) Possíveis valores para ˆ. Fig. 4. Interpretação geoétrica do erro de liiar e ua odulação nãolinear sob a ação de u ruído AWGN. que no caso é nula. Alé disso, quando o ruído for AWGN e o receptor for ML, então o erro de liiar é influenciado pela distância Euclidiana entre os sinais. Para edir a influência da curvatura no projeto de odulações considere que a Figura (a) represente ua odulação linear e a Figura (b) ua odulação não-linear, abas sob a ação de u ruído AWGN. Alé disso, considere que os círculos apresentados nessas figuras represente a região de ação do ruído dado que cada u dos sinais s i, s i e s i+, onde i = i e i+ = i +, seja tranitidos. Assua tabé que o fator de expansão é unifore e abas as odulações, o que iplica que a diferença de copriento entre os sinais é igual a s = S. Fig.. s i s = d s i (a) Modulação linear. s r s i s d s i ϕ s i+ s (b) Modulação não-linear. Análise da influência da curvatura de s no erro de liiar. Portanto, fazendo uso de tais considerações, é possível realizar ua coparação geoétrica entre essas duas odulações e verificar que a distância Euclidiana ( d) entre os sinais da odulação não-linear é, e geral, enor do que a distância Euclidiana na odulação linear. Tal idéia pode ser elhor copreendida verificando que na odulação não-linear existe ua região de interseção entre os círculos, fato que não ocorre na odulação linear, ou sipleente notando que d < s na Figura (b). A seguir será ostrado que o fado de d é enor que s na odulação não-linear por causa do valor de sua curvatura. A curvatura depende da paraetrização da curva associada a odulação. Se a curva for paraetrizada pelo copriento de arco (p.p.c.a), s =, então caso contrário k = k = s, s s 2 s 2 s [(s )2 + (s 2 )2 ]. (3/2) (a) (b) Para ostrar a influência da curvatura no desepenho das técnicas de odulação, considere a aproxiação para s dada e [6], co fator de expansão unifore e expressa e função de sua curvatura, dada por s = s + [ s k2 6 ( s)3, k 2 ( s)2 + k 6 ( s)3 ], () onde s = S. Coo o interesse é edir o quanto a distância Euclidiana entre os sinais diinui de ua odulação não-linear para ua odulação linear, a equação () foi usada co d = s s, para obter a seguinte relação d s = k2 2 ( s)2 + kk 6 ( s)3 + (k ) 2 + k 4 36 ( s) 4. (2) Portanto, alé da verificação geoétrica realizada co o auxílio da Figura, é provado ateaticaente a partir de (2) que se a curvatura for zero, então d = s. Contudo, se a curvatura for diferente de zero, então localente d < s, para s suficienteente pequeno. Neste caso, quanto enor for o valor de d/ s ais provável será a ocorrência de erro de liiar. Portanto, a curvatura influencia no desepenho dos sisteas de counicações considerados. Contudo, a perda de desepenho decorrente da existência de erros de liiar, geralente, é copensada pela diinuição da energia édia ou do auento do fator de expansão propiciado pelo uso de ua odulação não-linear. Co o intuito de diinuir a ocorrência de erro de liiar, a seguir será deterinado u liitante superior para o valor da curvatura e função da energia édia do ruído. Para tanto, considere u receptor de áxia verossiilhança, no qual ˆ é u ponto de ínio local de r s se satisfaz s ˆ 2 (r s ˆ ) s ˆ >, quando (r s ˆ) s ˆ =. (3) Co isso, usando a aproxiação (7) e a expressão (b), o fato do ruído (n) ser igual ao sinal recebido (r) enos o sinal tranitido (s ) e considerando que a odulação possua fator de expansão unifore, isto é s s =, então a condição (3) pode ser reescrita coo s ˆ s ˆ 2 ( n s ˆ s ˆ ) > k ( n N 2 < k 2 N 2 in (,) s ˆ ) s ˆ > }, (4) { k 2 onde k = s ˆ / s ˆ 2 e n s ˆ / s ˆ é a projeção do ruído AWGN e ua direção (diensão), cuja energia édia de

4 XXVI SIMPÓSIO BRASILEIRO DE TELECOMUNICAÇÕES - SBrT 8, 2- DE SETEMBRO DE 28, RIO DE JANEIRO, RJ ruído é igual a N /2. Dessa fora, pode-se usar (4) para projetar geoetricaente ua odulação co tolerância satisfatória ao erro de liiar, caso o quadrado do raio de curvatura seja sepre enor ou igual a energia édia de ruído por diensão (N /2). 2 sin(3π) sin(4π) sin(π) III. MODULAÇÃO SENOIDAL A odulação não-linear apresentada a seguir, chaada de odulação senoidal, foi projetada geoetricaente co o auxílio de (2), (8) e (4). Para que o desepenho dessa odulação seja satisfatório foi considerado que a curva associada a essa odulação apresentasse alguas características geoétricas iportantes, tais coo: u copriento elevado para diinuir o erro quadrático édio, não possuir autointerseção e ter ua curvatura pequena para iniizar as ocorrências de erros de liiar. Alé disso, a curva associada à odulação foi restrita a u círculo para que a energia édia de tranissão pudesse ser reduzida. Co isso, deterinaos epiricaente que a curva associada à odulação senoidal possui paraetrização dada por s = A[, 2 sin γ (β)], (, ), () onde β R e γ {, /3, /, /7,...} são constantes desse esquea de odulação que influencia e seu desepenho. A Figura 6 apresenta alguas dessas curvas para β = 3π, 4π, π e γ =. Neste caso, observe que essas curvas são senoides de diferentes freqüências e aplitude liitada por u círculo de raio A. Por esse otivo, a odulação e questão foi denoinada de odulação senoidal (a) β = 3π (b) β = 4π (c) β = π. Fig. 7. Representação geoétrica para a odulação senoidal, quando β = 3π, 4π e π, γ = /7 e A =. Alé disso, observe que geoetricaente o valor de β indica a quantidade de picos da senoide. Conseqüenteente, quanto aior for o valor de β aior será o copriento da respectiva curva. Co isso, o erro quadrático édio de u sistea de counicações usando essa odulação pode ser diinuído co o auento de β, pois ǫ 2 é inversaente proporcional ao quadrado do fator de expansão da curva, coo indica a equação (8). Contudo, caso o valor de A seja antido constante e o valor de β seja auentado, então a distância entre dois raos consecutivos da senoide certaente irá diinuir (d = πa/β), auentando assi a ocorrência de erro de liiar. Tal fato pode ser elhor copreendido co o auxílio da Figura 8 que representa o envio de = /3 e u canal ruidoso, cujo raio de ação do ruído é caracterizado pelo círculo tracejado da Figura 8(a). Neste caso, o sinal enviado possui grande probabilidade de ser estiado por ˆ =, ˆ = /3 ou ˆ = 2/3, coo sugere p( ˆ = /3) na Figura 8(b). ϕ 2 7 p( ˆ = /3) 6 2 sin(3π) sin(π) sin(π). -. A = N/2 = 3 A ϕ Densidade de Probabilidade (a) β = 3π (b) β = 4π (c) β = π. Fig. 6. Representação geoétrica da odulação senoidal, para β = 3π, 4π e π, γ = e A =. A Figura 7 apresenta alguas outras curvas associadas à odulação senoidal calculadas usando a paraetrização () para β = 3π, 4π, π e γ = /7. Coparando a Figura 7 co a Figura 6, pode-se observar que as curvas co γ = /7 apresenta aior copriento e enor curvatura que as curvas co γ =. Tais fatos são iportantes para explicar a diferença de desepenho entre essas odulações usando as expressões (8) e (4). No decorrer da análise de desepenho da odulação senoidal, as constantes β e γ serão associadas à largura de banda de tranissão, ao erro quadrático édio e ao erro de liiar. Contudo, prieiraente, é interessante notar de () que quando β =, essa odulação é seelhante a odulação linear (a curva é ua reta) e quando γ =, essa odulação é seelhante a odulação PM, cuja curva associada é u círculo. (a) s co = / (b) p( ˆ = /3) e ǫ 2 =.73. Fig. 8. Análise de erro de liiar para ua odulação senoidal quando β = 3π, γ =, N = A 2 /2 e = /3. Para efeito de coparação da largura de banda de tranissão da odulação senoidal co a largura de banda de outras odulações, considere o sinal odulante de ua única freqüência definido por (t) = A cos(2πf t), (6) onde A é a aplitude do sinal odulante, que no nosso caso vale, pois foi considerado que (, ). Neste caso, o sinal odulado usando a odulação senoidal é dado por s (t) = Acos(2πf t)ϕ (t) + A sin(2πf t) sin γ (β cos(2πf t))ϕ 2 (t). (7) onde ϕ (t) = cos(2πf c t) e ϕ 2 (t) = sin(2πf c t) são portadoras do tranissor..2 ˆ.4.6.8

5 XXVI SIMPÓSIO BRASILEIRO DE TELECOMUNICAÇÕES - SBrT 8, 2- DE SETEMBRO DE 28, RIO DE JANEIRO, RJ Ipulso f/f (a) β = π e B t = f. Ipulso 6 Ipulso f/f (b) β = 2π e B t = 8f. Ipulso Coo indicado anteriorente, u outro parâetro geoétrico de desepenho é a curvatura da odulação. Contudo, devido a coplexidade de sua expressão analítica para a odulação senoidal, é ais interessante para efeitos de análise de desepenho apresentar apenas alguas de suas curvas, coo ostra a Figura para β = 3π e γ = e /7. Neste caso, observe que u valor de γ enor do que, diinui a curvatura da odulação, fato extreaente desejável para diinuir a perda de desepenho causada pelo erro de liiar f/f (c) β = 3π e B t = 26f f/f (d) β = π e B t = 38f. Fig. 9. Espectros de aplitudes discretas de u sinal associado à odulação senoidal, noralizados e relação à aplitude A, para o caso do sinal odulante senoidal de freqüência fixa f. São ostrados soente os espectros correspondentes às freqüências positivas. Co o auxílio da transforada discreta de Fourier foi realizada ua siulação coputacional para obter a análise espectral do sinal (7) considerando f c = f e γ =, veja Figura 9. Note que, o valor de β altera a largura de banda de tranissão da odulação senoidal. Alé disso, para u eo valor de β a largura de banda dessa odulação é aproxiadaente igual a largura de banda da odulação e freqüência (FM), veja []. Deve-se chaar a atenção para o fato dessa análise ter sido apresentada apenas para γ =, poré foi verificado que quando este valor diinui, então o valor da largura de banda de tranissão auenta. Entretanto, quando a análise espectral é realizada considerando u fator de expansão unifore, então o parâetro γ não influencia tanto no cálculo de B t. Para realizar ua análise de desepenho da odulação senoidal, é necessário deterinar o fator de expansão dessa odulação, pois de acordo co 8 o erro quadrático édio é inversaente proporcional ao quadrado de seu valor. 2 Curvatura (k) γ = γ = /7 Fig.. Curvatura da odulação senoidal para β = 3π e γ = e /7. O desepenho da odulação senoidal foi calculado por siulação coputacional e coparado ao desepenho da odulação associada à curva espiral de Arquiedes considerada e [2] e e [9]. A curva espiral de Arquiedes unifore é paraetrizada por s = A[cos(k p ), sin(k p )], (9) onde k p é ua constante que ede o desvio da odulação e relação à fase. A representação gráfica para essa odulação é ostrada na Figura para alguns valores de k p. sin(3π ). -. sin(4π ). -. sin(π ). -.. ) 2 S 2 = +sin(β) ( 2γ + γβ 2. (8) 2 tan(β) cos(3π ) (a) k p = 3π cos(4π ) (b) k p = 4π cos(π ) (c) k p = π. A análise de desepenho dessa odulação foi realizada considerando u fator de expansão unifore, poré não apresentaos neste trabalho ua reparaetrização para () nesta condição (S constante), então alguns valores de S = L/2 fora calculados e apresentados na Tabela I co o auxílio de (9), para β = π, 3π,..., 9π e γ = e /7. TABELA I ALGUNS VALORES PARA O FATOR DE EXPANSÃO UNIFORME DA MODULAÇÃO SENOIDAL PARA ALGUNS VALORES DE β E γ = E /7. S β = π β = 3π β = π β = 7π β = 9π γ = γ = / Fig.. Representação geoétrica da odulação espiral de Arquiedes, para k p = π, 2π,3π e A =. Neste caso, note que a ocorrência de erro de liiar na odulação espiral de Arquiedes, geralente, iplica e ua estiativa ˆ de sinal contrário ao do valor enviado, fato que noralente não ocorre na odulação senoidal, pois o segento da curva referente a > está totalente contida no seiplano x >. Portanto, quando ocorre u erro de liiar na odulação senoidal, e geral o valor de ( ˆ ) 2 é enor do que o eo valor na odulação espiral de Arquiedes, fato que sugere u elhor desepenho da odulação senoidal e relação à odulação espiral de Arquiedes, quando a energia édia de ruído não é suficienteente pequena.

6 XXVI SIMPÓSIO BRASILEIRO DE TELECOMUNICAÇÕES - SBrT 8, 2- DE SETEMBRO DE 28, RIO DE JANEIRO, RJ Coparando as curvas de desepenho das Figuras 2 e 3 podeos verificar que os pontos ótios de desepenho da odulação senoidal são aproxiadaente iguais aos apresentados na odulação espiral de Arquiedes. Contudo, analisando as curvas de desepenho da odulação senoidal, note que seus desepenhos abaixo dos pontos ótios não cae tão rapidaente coo na odulação espiral de Arquiedes. Tal fato está associado a influência do erro de liiar no ǫ 2, coo explicado anteriorente. SNR (db) OPTA Senoidal (γ = /7) Senoidal (γ = ) Espiral de Arquiedes SNR (db) OPTA k p/π =, 3,, 7, 9 k p/π = 2, 4,6, 8, Pontos ótios 2 CSNR (db) kp =π. kp =2π kp =π Fig. 2. Curvas de desepenho da odulação espiral de Arquiedes para k p = π,2π,...,π. A Figura 4 ostra as curvas ótias de desepenho das odulações espiral de Arquiedes e senoidal co o objetivo de coparar seus desepenhos. Neste caso, o desepenho da odulação senoidal tabé foi calculado tabé para γ =. Neste oento, é iportante chaar a atenção para o fato de que a diferença de desepenho entre as odulações co γ = e γ = /7 ser decorrente, principalente, da variação dos valores de suas curvaturas, coo ilustra a Figura. Pois a diferença entre seus fatores de expansão não é significante, coo indica a Tabela I. Este fato, novaente coprova a iportância de se considerar a curvatura coo u parâetro relevante no projeto de odulações. SNR (db) OPTA β/π =, 3,, 7, 9 β/π = 2, 4,6, 8, Pontos ótios 2 CSNR (db) β=π. β=2π β =π Fig. 3. Curvas de desepenho da odulação senoidal para β = π,2π,...,π e γ = / CSNR (db) Fig. 4. Curvas de desepenhos ótias das odulações espiral de Arquiedes e senoidal co γ = e γ = /7. 2 IV. CONCLUSÕES A interpretação geoétrica que associa odulações a curvas do espaço Euclidiano peritiu o uso de conceitos da geoetria diferencial no contexto de projetos de odulações. Co isso, foi possível definir o conceito de curvatura de técnicas de odulação e verificar que esse parâetro influencia no desepenho das odulações. Neste caso, ua condição entre a curvatura e a energia édia de ruído foi derivada co o intuito de reduzir a ocorrência de erro de liiar. Alé disso, u novo esquea de odulação não-linear foi proposto geoetricaente, apresentando u bo desepenho e evidenciando a influência da curvatura no desepenho das odulações. AGRADECIMENTOS Os autores agradece à FAPESP, ao CNPq e à CAPES pelo suporte financeiro recebido durante o período da realização desta pesquisa. REFERÊNCIAS [] A.L. Garcia, Probability and Rando Processes for Electrical Enginnering, Addison Wesley Longan, 2nd ed., 994. [2] C.M. Thoas, C. L. May and G. R. Welti, Hybride aplitude-andphase odulation for analog data tranission, IEEE Transactions on Counications, vol. COM-23, no. 6, pp June 97. [3] J.M. Wozencraft and I. M. Jacobs, Principles of Counication Engineering, New York: John Wiley & Sons, Inc, 96. [4] K.H. Lee and D. P. Petersen, Optial linear coding for vector channels, IEEE Transactions on Counications, vol. COM-24, n. 2, pp , Deceber 976. [] M.P. do Caro, Differential Geoetry of Curves and Surfaces, Prentice- Hall Inc., New Jersey, 976. [6] M.P. do Caro, Rieannian Geoetry nd ed. (Birkhäuser, Boston 992). [7] R.G. Cavalcante, Ua Análise da Influência da Curvatura do Espaço e Sisteas de Counicações, Tese de Doutorado, FEEC-UNICAMP, Capinas, Brasil, 28. [8] R.G. Cavalcante, e R. Palazzo Jr. Esqueas de odulação nãolineares associadas a superfícies ínias, XXV Sipósio Brasileiro de Telecounicações-SBrT 8, Rio de Janeiro, 28. [9] P.A. Floor, and T. A. Rastad, Noise analysis for diension expanding appings in souce-channel conding, IEEE - Seventh Workshop on Signal Processing Advances in Wireless Counications, Cannes, France, July, 2-, 26. [] S. Haykin, Sisteas de Counicações: Analógicos e Digitais, Porto Alegre: Bookan, 4.ed.,