Códigos Espaço-Temporais de Treliça Baseados na Teoria de Reticulados

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1 Códigos Espaço-Teporais de Treliça Baseados na Teoria de Reticulados Dijiani Ludovino Guanais, Edson Donizete de Carvalho e Jozué Vieira Filho Resuo Neste trabalho é proposto u procediento para desenvolviento de códigos espaço-teporal de treliça, co diversidade de odulação áxia, a partir de ua generalização da técnica de geração de quadrados latinos. Essa extensão é baseada e resultados da teoria de reticulados e de constelações de sinais casadas a grupos aditivos. Palavras-Chave códigos espaço-teporal, constelações de sinais rotacionadas e diversidade de odulação. Abstract This work proposes a systeatic procedure for developing space-tie trellis codes with full diversity odulation which is based on the technique used for generating latin square. The proposed procedure is an extension of several results obtained fro lattices theory and signals constellations atched to additive groups. Keywords space-tie codes, rotation signals constellations, odulation diversity. I. INTRODUÇÃO O estudo de novos códigos é algo fundaental para o desenvolviento de sisteas de counicações se fio cada vez ais eficientes, seja na capacidade de uso de canais, otiização no uso de espectro ou siplesente robustez nas transissões co baixa potência. Considere u sistea de counicação óvel co odelo de canal do tipo Rayleigh e desvaneciento plano quase-estático configurado co n t antenas transissoras e n r antenas receptoras. Tarokh et. al. [1] deonstrara que a codificação espacial-teporal, obtida a partir dos estados de ua treliça, perite obter-se u sistea de counicação eficiente, tanto e teros de potência coo tabé e teros de largura de banda, considerando u canal ruidoso. Na literatura estes códigos são denoinados de códigos espaço-teporal de treliça (CETT), pois considera siultaneaente diversidade espacial e teporal. Esta técnica te despertado cada vez ais o interesse da counidade da teoria de inforação porque perite explorar de fora copleta diversidade na transissão e na recepção. A codificação na diensão do tepo garante que o ganho de diversidade seja atingido se coproeter a taxa de transissão. A cada instante de tepo t, n t palavras-códigos coplexas são transitidas siultaneaente através de blocos de copriento l, dados por n t (c t 1,, c t n t ), para t = 1,, n t. O sinal recebido pela antena j, j = 1,,, n t, corropido pelo desvaneciento do canal é obtido pela seguinte equação: r j n t = i=1 i,j c i j E s + η j t, (1) Departaento de Engenharia Elétrica, Feis-Unesp, CEP , Ilha Solteira-SP, Brasil, eail: dijiani@yahoo.co.br Departaento de Mateática, Feis Unesp, CEP , Ilha Solteira-SP, Brasil, eail: edson@at.feis.unesp.br Departaento de Engenharia Elétrica, Feis-Unesp, CEP , Ilha Solteira-SP, Brasil, eail: jozue@dee.feis.unesp.br onde E s representa a energia édia do sinal transitido; η t j é o ruído aditivo Gaussiano branco coplexo (do inglês: Additive White Gaussian Noise - AWGN) co édia zero e variância No/ por diensão; α i,j denota o desvaneciento presente ao longo do cainho da i-ésia antena transissora a j-ésia antena receptora. Considerando que os CETT são definidos por estruturas de treliças, pode-se ipleentar ua decodificação usando o algorito de Viterbi, o qual faz uso da étrica Euclidiana. O ganho de codificação entre a i-ésia antena transissora e a j-ésia antena receptora peranece constante durante u quadro de transissão, as uda de fora independente de u quadro para o outro. Dado u par de palavras c e e, considere P(c e) coo sendo a probabilidade de u decodificador de áxia verossiilhança decidir erroneaente pela palavra código e = e 1 1 e 1 e 1 n e 1 e. e n e l 1 e l e l n, dado que a palavra transitida tenha sido c = c 1 1 c 1 c 1 n c 1 c. c n c l 1 c l c l n. Assuindo que os parâetros associados ao desvaneciento α i,j seja conhecidos, então pode-se ostrar que o liite superior da probabilidade P c e α i,j, i = 1,,, n, j = 1,,, é exponencial e igual a: 1 exp d (c, e)e s 4N 0, () Da equação () te-se: l n (3) d (c, e) = t=1 α i,j ct i et i Desenvolvendo a Equação () obté-se d (c, e) na fora: d n (c, e) = n α i,j α c i ı,ȷ t e i t (c ı t e ı t ), (4) i=1 k=1 onde a barra superior, coo e a, representa coplexo conjugado do eleento a. A equação (4) pode ser reescrita atricialente coo: d (c, e) = Ω j AΩ, ȷ (5) onde Ω = α 1,j, α,j,, α n,j e Ω = α 1,ȷ, α,ȷ, α n,ȷ. As entradas A p,q da atriz A são obtidas pelos produtos internos A p,q = l c p t e p t=1 t c q q t e t ). Ao substituir d (c, e) na Equação (5), verifica-se que a probabilidade de erro co relação ao par P c e α i,j, i = 1,,, n, j = 1,,, é liitada superiorente de acordo co a equação ().

2 O ganho de diversidade é definido coo o expoente da relação sinal/ruído (SNR) E s 4N 0, e representa a inclinação da curva de probabilidade de erro versus a SNR. E [], os autores obtivera diversidade de odulação áxia para canais de counicação do tipo Rayleigh co desvaneciento plano quase-estático via codificação espaçoteporal. Tal codificação foi realizada através de ua sequência de rótulos q t i dos estados de ua treliça dados por q t 1 q t q t n T, que são eleentos de u grupo aditivo H de cardinalidade pria. Tais grupos fora denoinados pelos autores de código de grupo. Já a decodificação foi feita através da étrica Euclidiana definida na Equação (3). Neste trabalho ostra-se que o procediento proposto e [] é obtido coo ua consequência natural dos rótulos dos estados da treliça sere provenientes de u código de grupo aditivo de cardinalidade pria, cujos eleentos são identificados por sinais de ua constelação rotacionada provenientes dos reticulados Z e A. Coo consequência a diversidade de odulação áxia é atingida. Através de resultados da teoria de reticulados e de constelações de sinais casadas a grupos aditivos provenientes dos reticulados Z e A [3] é proposta ua sisteatização do procediento de geração de códigos de grupos. Por fi, ostra-se que o procediento é verificado quando p = ou p 1 od 4 para as constelações de sinais que seja provenientes do reticulado Z, ou quando p = 3 ou p 1 od 6, para as constelações de sinais que seja provenientes do reticulado A. II. A. Reticulados RETICULADOS E CONSTELAÇÃO DE SINAIS U reticulado Λ é u conjunto infinito de pontos e R n que herda ua estrutura de grupo aditivo, o que representa ua ferraenta algébrica-geoétrico iportante no estudo da teoria de inforação, principalente e probleas relacionados à teoria de códigos. Diz-se que Λ é u reticulado de diensão n copleto e R n, se existe u conjunto de vetores dado por β = {v 1,, v n } linearente independente e R n, tal que, Λ seja gerado por β, isto é, Λ = {x = i=1 λ i v i, λ i Z n }. O conjunto β é chaado de base do reticulado. Neste trabalho, são considerados apenas os reticulados copletos. Associada a ua base β existe ua atriz geradora M de orde n n, onde as n colunas são foradas pelos n vetores de base β e as n linhas são obtidas a partir das n coordenadas dos vetores da base β. Cada vetor x = (x 1,, x n ) Λ pode ser escrito na fora x = ξ 1 v ξ n v n = ξm, onde os eleentos ξ i são inteiros e ξ = (ξ 1,, ξ n ). Define-se a nora N de u vetor x Λ da seguinte fora: n n N(x) = (ξ 1 v ξ n v n ) = ξ i ξ j v i v j i=1 = ξ. G. ξ tr = f(ξ), (6) onde G = M. M tr e M tr representa a atriz transposta conjugada de M. A função f(ξ) de n variáveis ξ 1,, ξ n é chaada de fora quadrática associada ao reticulado Λ. Exeplo II.1: O reticulado Λ = Z é gerado pela base β = {v 1, v }, onde v 1 = (1,0) e v = (0,1) te coo atriz geradora M = A fora quadrática associada a cada eleento ξ Z é dada por f(ξ) = ξ 1 + ξ. O reticulado Z é identificado de fora natural pelos inteiros de Gauss Z[i] = {x + iy x, y Z}, onde i = 1. Cada eleento (x, y) Z corresponde de fora biunívoca a u único eleento x + iy Z[i]. Exeplo II.: O reticulado Λ = A ( tabé, conhecido por reticulado hexagonal) é gerado pela base β = {v 1, v }, onde v 1 = (1,0) e v = 1, 3 e te coo atriz geradora 1 0 M = 1 3. A fora quadrática associada a cada eleento ξ A é dada por f(ξ) = ξ 1 + ξ 1 ξ +ξ. O reticulado A é identificado de fora natural pelos inteiros de Eisenstein-Jacobi Z[ω] = {x + ωy x, y Z}, onde ω = 1+i 3. Cada eleento (x, y) A corresponde de fora biunívoca a u único eleento x + ωy Z[ω]. B. Constelação de Sinais Ua constelação de sinais U é u subconjunto discreto de pontos e R n. A diversidade de u sistea de counicações pode ser auentada, usando-se constelações específicas de sinais, por eio de diversidade de odulação [3]. Tal diversidade pode ser definida coo sendo o núero ínio de coponentes distintas entre dois vetores de ua constelação de sinais S ndiensional, ou seja, a distância ínia de Haing e S. Geoetricaente, a diversidade de odulação é caracterizada pela ação de ua rotação na constelação S, de odo que o núero de coponentes distintas seja áxio. A Fig. 1 ilustra be este procediento para ua constelação de sinais bidiensional co 4 sinais [3]. Fig. 1. Exeplo de constelação de sinais As constelações de sinais obtidas via rotação são conhecidas por constelações de sinais rotacionadas. E espaços euclidianos n-diensionais, as constelações pode ser caracterizadas coo u reticulado na fora cúbica do tipo Z n. Assi, u ponto x da constelação rotacionada é obtido pela ação de ua atriz M e u,ou seja, é o conjunto dos pontos {x = um, u Z n }. No caso, bidiensional a atriz de rotação te a fora M = a b, co a, b Z, satisfazendo a condição b a a + b = 1. Outra versão das constelações de sinais rotacionadas existentes e espaços euclidianos, as apenas para os casos

3 que seja da fora n-diensionais, são as constelações caracterizadas coo u reticulado da fora A n. Assi, u ponto x da constelação rotacionada é obtido pela ação de ua atriz M e u, ou seja, é o conjunto dos pontos {x = um, u A n }. No caso, bidiensional a atriz de rotação te a fora: M = a b a+b,coa, b Z, satisfazendo a b+a condição a + ab + b = 1. Huber e [4], [5] e Nobrega et.al. e [6] propusera procedientos algébricos para se obter constelações de sinais casadas a grupos aditivos provenientes da estrutura aditiva dos corpos de Galois GF(p). Esses procedientos fora baseados e resultados clássicos da teoria dos núeros, na qual te-se: se u inteiro prio p é escrito coo soa de quadrados de inteiros, isto é, se p = a + b, co a, b Z, ou se p é escrito da fora p = a + ab + b, co a, b Z, então, dado u inteiro prio p, existe ua constelação de sinais U de cardinalidade p proveniente do reticulado Z[i] casada ao grupo aditivo G do corpo de Galois GF(p) se p = ou p 1 od 4 [4] e [6]; dado u inteiro prio p, existe ua constelação de sinais U de cardinalidade p proveniente do reticulado Z[ω] casada ao grupo aditivo de GF(p) se p = 3 ou p 1 od 6 [5] e [6]. Carvalho et. al. [7] estendeu os resultados apresentados e [4],[5] e [6], ostrando que: dado u inteiro prio p, existe ua constelação de sinais U de cardinalidade p n (n 1) casada a u grupo aditivo G de cardinalidade p n, se p = e p 1 od 4 ou se p = 3 e p 1 od 6 a partir dos reticulados Z[i] e Z[ω], respectivaente. O procediento proposto e [7] para se estabelecer u étodo de construção de ua constelação de sinais U de cardinalidade p n, casada a u grupo aditivo G de cardinalidade p n, equivale do ponto de vista algébrico, deterinar ideais I e Z[θ] (para θ = i ou ω) de nora relativa p n, que satisfaça à condição de que G Z[θ]/I. Assi, os eleentos de G pode ser vistos coo classes de equivalências de Z[θ], cujos representantes são dados por 0,, p n 1 1. Desde que θ Z[θ], segue-se então que θ pertence a algua classe lateral s Z[θ]/I, co 0 s p n 1, onde a nora relativa de θ é s. Ao toar-se u dado eleento x + yθ pertence a algua classe lateral l Z[θ]/I, co nora relativa l, onde 0 s p n 1, obte-se, x + yθ = x + ys = x + ys = l. Então, te-se que: x + yθ l(odi) x + ys l(odi) (7) Assi, u eleento l G é u rótulo de u ponto x + yθ Z[θ], se a equação x + yr l(odp n ) for satisfeita. Para tal, basta encontrar ua única solução r Z para a equação x + ys 0(odp n ), onde 0 s p n 1 [4]. Exeplo II.1: Considere p = 5. Nota-se que existe u par de inteiros (,1) tal que + 1 = 5. Logo, existe u ideal I = + i Z[i] e ua constelação de S de cardinalidade 5 proveniente do reticulado Z[i], casada ao grupo aditivo do corpo de Galois GF(5) isorofo ao grupo quociente Z[i]/I. Nota-se que r = 3 é ua solução inteira de + s = 5. Então, o rótulo do eleento x + yi e Z[i] é obtido a partir da equação x + 3y lod5. De fora análoga, considerando p = 7, encontra-se u par de inteiros (,1) tal que = 7. Para este caso, obté-se ua constelação de sinais S de cardinalidade 7 a partir do reticulado Z[ω], poré, casada ao grupo aditivo proveniente do corpo de Galois GF(7) isoorfo ao grupo quociente Z[ω]/I, onde I = + ω. Motivados por aplicações e CETT, são consideradas constelações especiais de sinais de cardinalidade (co sendo ua potência de u inteiro prio) a partir de reticulado Z[θ](para θ = i ou ω). Poré, os pontos precisa ser rotulados por eleentos de grupos quocientes aditivos G de cardinalidade p n, coo proposto e [7]. E outros teros, assue-se S = {j + kθ Z[θ], j {0,, p n 1}; k {0,, p n 1}}. A representação geoétrica de S pode ser vista coo u paralelograo co p n linhas e p n colunas, onde os eleentos da t-ésia linha são escritos na fora j + tθ co j {0,, p n 1}. Já os eleentos da t-ésia coluna são escritos na fora t + kθ co k {0,, p n 1}. Proposição II.1: Considere ua constelação de sinais S na qual os sinais seja rotulados por eleentos do grupo aditivo de G de cardinalidade p n (co n 1), onde p é u inteiro prio da fora p =, 3 ou p 1 (od 4) ou p 1 (od 6) provenientes dos reticulados Z[i] e Z[ω], respectivaente. Então: 1) O dc(p n, r) = 1, onde r é o inteiro obtido coo solução da Equação (7), através do qual rotula-se u eleento x + yθ S no grupo G através da equação x + yr l(odp n ). ) Todos os p n eleentos distintos de ua linha qualquer de S recebe rótulos distintos no grupo G. 3) Todos os p n eleentos distintos de ua coluna qualquer de S recebe rótulos distintos no grupo G. Deonstração: 1) Considere, inicialente, p = ou p 1 (od 4). De acordo co [4], existe u conjunto de sinais de cardinalidade p n casado ao grupo aditivo G isoorfo de grupo quociente Z[i]/I. O ideal I é gerado por I = u + iv = (a + bi) n, onde o par de inteiros (a, b) é solução da fora quadrática x + y = p e o par de inteiros (u, v) é solução da fora quadrática x + y = p n. U eleento l G (de orde p n ) é u rótulo de u eleento x + yi Z[i] se x + yr l od p n, onde r Z, é a única solução ( e s) da equação x + ys 0 od p n, onde 0 s p n 1. Supondo a relação r/p n, deve existir algu t Z tal que r = p t. Nota-se que se r satisfaz à desigualdade 0 < r < p n e, tabé, é solução da equação: u + p t v 0 odp t, então, conclui-se que u + p t v 0odp t, ou seja, u 0 odp t. Mas, p t v 0odp t. Dessa fora, obté-se u + p t v 0odp t. Por outro lado, p n 0odp t. Por eio da Equação (7), conclui-se que r = p r é de fora siultânea solução inteira das equações u + vr = p t e u + vr = p n. Poré, isto ocorre se, e soente se, p t = p n, ou

4 elhor, se t = n. Voltando na equação u + p n v = p n, obtêse coo par de soluções inteiras de fora quadrática f(x, y) = x + y = p n. Isso leva a ua contradição do tipo = p n. Conclui-se, assi, que r não divide p n. Coo 0 r p n 1, segue-se então que dc(p n, r) = 1. No caso de p 1 (od6), por eio de ua arguentação análoga ao caso de p 1 (od4), deterinase ua constelação de sinais S e ostra-se que dc(p n, r) = 1. Poré, neste caso o reticulado é Z[ω]. ) Pela equação (7), o rótulo de u eleento x + yθ Z[θ] por u eleento l Gé realizado através da equação x + yr 0odp n, onde 0 < r p n 1. Nota-se que os p n eleentos de ua linha qualquer de S são escritos na fora j + tθ, para u certo índice j fixo, que pode assuir valores entre j {0,, p n 1}. Suponha que dois eleentos quaisquer de ua linha de S, e + tθ e d + tθ, recebe o eso rótulo l e G, onde e, d {0,, p n 1}. Então e + tr d + tr lodp n. Isso iplica p n /(e d). Desde que 0 e, d p n 1, segue-se então que d = e. Logo, conclui-se que dois eleentos quaisquer distintos de ua linha de S recebe rótulos distintos e G, o que prova o ite (). 3) Esta prova é be siilar à feita no ite (). Suponha que dois eleentos quaisquer de ua coluna de S, t + eθ e t + dθ receba o eso rótulo l e G, onde e, d {0,, p n 1}. Então, te-se t + er t + dr lodp n. Segue-se, então que p n /r(e d). Portanto, p n /r ou p n / (e d). Mas, sabe-se que o dc(p n, r) = 1, já que p é u inteiro prio e que r {0,, p n 1}. Assi, conclui-se que p n / (e d). Por outro lado, 0 e, d p n 1, então e = d. Logo, a conclusão é que dois eleentos quaisquer distintos de ua linha de S recebe rótulos distintos e G. Exeplo II. : A Fig. ilustra o rotulaento dos sinais de ua constelação S Z[i] de cardinalidade 5 (coo definida na Proposição II.1) por eleentos do grupo aditivo G de cardinalidade 5 proveniente do corpo de Galois GF(5). Observação II.1 Fig.. Exeplo de constelação Deve-se observar que S pode ser visto coo u conjunto forado por p n vetores v t, tal que, cada vetor v t, seja forado pelas t-ésias linhas da constelação de sinais e as coordenadas coplexas j dada pelos pontos coplexos j + ti, para j {0,, p n 1}. Se a distância de Haing for calculada a cada dois vetores de S, ostra-se facilente que será igual a p n. III. CÓDIGOS ESPAÇO-TEMPORAIS PROVENIENTES DE RETICULADOS U quadrado latino pode ser caracterizado via u grupo aditivo H, onde e cada linha e coluna distinta e S há apenas u único eleento de H. E [], os autores ostrara que a existência dos quadrados latinos é ua consequência natural dos grupos aditivos ódulo prio p sere cíclicos. Estes grupos fora denoinados de códigos de grupo e, por eio desta técnica, a diversidade obtida é sepre áxia e igual a no grupo H proveniente de ua constelação de sinais e Z[θ]. Exeplo III.1: Para p = 5, e de acordo co o exeplo II.1, existe u par de inteiros (,1) tal que + 1 = 5. Toando a operação aditiva ódulo 5, ostra-se facilente que o grupo aditivo H = {(0,0), (,1), (4,), (1,3), (3,4)} é cíclico e gerado pelo eleento (,1), forando u quadrado latino, coo ilustrado na Fig. 3. Fig. 3. Quadrado latino E cada transição foi realizada u rotulaento de sequências de n T sinais da constelação S, denotada por q t 1 q t q t n T por eio dos eleentos do código de grupo H. Na decodificação foi utilizado o algorito de Viterbi para se calcular o cainho que gera a enor étrica acuulada. Neste sentido, te-se: n n T i=1 R (8) y t j ij q t i Quando o sinal y t j é recebido na j-ésia antena de instante de tepo t, te-se a sequência de rótulos q t 1 q t q t n T, assuindo que a inforação a respeito do canal é conhecida, ou seja, que os ganhos de percursos são conhecidos pelo decodificador. E geral, coo os rótulos das transições desses códigos de treliças apresenta duas coponentes, o sistea de counicação possui duas antenas de transissão, sendo que cada ua delas é usada para transitir ua coponente. Apresenta-se a seguir o algorito proposto e [] para estabelecer o aior d free (distância livre na treliça obtida pela sequência de rótulos) e, consequenteente, obter a aior diversidade de odulação para os CETT a partir das constelações de sinais do tipo na treliça S. Algoríto de Construção []

5 Passo1) Deve-se aplicar a técnica de recobriento espacial baseado e reticulados e, assi, obter código de grupo co a aior diversidade possível, isto é, será obtido u quadrado latino. Caso contrário ir para o passo 3. Passo ) A segunda coponente da palavra-código será usada coo referência no rotulaento dos raos da treliça co os eleentos do código de grupo H do código espaçoteporal associado. Nesta situação, quando subetido a canais co desvaneciento do tipo Rayleigh a d free >, o código apresentará u elhor desepenho coparado co o caso trivial e que u quadrado latino não é obtido. Passo 3) As transições da treliça que parte do i-ésio estado terão a prieira coponente igual a i e a segunda coponente será rotulada sucessivaente co os eleentos de H. Neste caso, quando subetidos a canais co desvaneciento do tipo Rayleigh a d free =, não se obté quadrado latino e a solução será sepre trivial. Pelo procediento de codificação proposto e [], a partir dos grupos cíclicos de cardinalidade, obtese palavras. Se duas palavras fore coparadas, os rótulos das transições desses códigos de treliças nua esa posição difere e apenas ua posição e nunca e duas. Nesta situação, os autores obtinha diversidade áxia para os CETT. Exeplo III.1: Para o caso p=5, após a aplicação da técnica dos quadrados latinos, obté-se o diagraa apresentado na Fig. 4. Fig. 4 Ilustração do exeplo III.1 Denoteos por K o quadrado latino. Note K pode ser visto coo u subconjunto de ua constelação S coo definida na Proposição II.1, onde cada eleento do quadrado latino da fora (a, b) é identificado pelo eleento da fora a + bθ do reticulado Z[θ]. Coo consequência desta identificação, estabelece-se o seguinte resultado. Proposição III.1: Seja S ua constelação de sinais S coo definida na Proposição II.1 casada a u grupo aditivo G de cardinalidade, onde é a potência de inteiro prio. Então, o conjunto dos sinais K de S que recebe coo rótulos o eleento 0 do grupo aditivo G fora u grupo aditivo cíclico sob a operação ódulo. Mostra-se que toando a soa odulo obté-se u grupo aditivo cíclico H =< a + b θ > de cardinalidade. Identificando o eleento a + b θ por (a, b) e realizando a adição (a, b) od, ao se considerar a soa de fora separada para cada coordenada od, obté-se eleentos distintos. coo consequência do fato do dc(a, ) = 1 e de que o dc(b, ) = 1. Assi, obté-se eleentos distintos e cada coordenada que forarão u grupo cíclico H. Observe que cada eleentoc + d θ H é obtido da fora c + d θ = q(a + b θ) para algu q {1,, 1}. Logo, se for considerada a função de rotulaento definida pela Equação (5), obté-se c + dr q(a + br)(od) q0(od), 0(od) Corolário III.1: A constelação de sinais K de cardinalidade = p n coo definida na Proposição III.1 para os casos e que p =, ou p 1 (od 4) a partir do reticulado Z[i], ou se p = 3 ou p 1 (od 6) a partir do reticulado Z[ω], obté-se ua constelação de sinais rotacionada e, consequenteente, os códigos CEET gerados apresenta diversidade de odulação áxia. Deonstração: É ua consequência iediata das Proposições II.1 e III.1 e da Observação II.1. IV CONCLUSÕES Coo consequência dos resultados obtidos e [7] via a técnica de casaento de constelações de sinais por grupos aditivos provenientes dos reticulados Z e A, propôs-se u procediento de construção de CETT co diversidade de odulação áxia, coo proposto e [], cujos resultados pode ser usados coo ferraenta útil nos estudos de novos códigos. REFERÊNCIAS [1] V. Tarokh, N. Seshadri and A. R. Calderbank, ''Space-tie codes for high data rate wireless counication: perforance criterion and code construction,''ieee Trans. Infor. Theory, vol.it-44, No., pp , [] R. V. Dutra and R. Palazzo Jr., Construction of optiu space-tie convolutional trellis codes based on cyclic codes over groups and fields, IEEE International Syposiu on Inforation Theory, Vol. 1, pp.1-1, Switzerland, 00. [3] J.Boutros, E. Viterbo, ''Signal space diversity: a power and bandwidth - efficient diversity technique for the Rayleigh fading channel," IEEE Trans. Infor.Theory, vol.it-44, pp , July [4] K. Huber, ''Codes over Gaussian integers,''ieee Trans. Infor. Theory, vol.it-40, pp , Jan [5] K. Huber, ''Codes over Eisenstein-Jacobi integers,''conteporary Matheatics, vol.168, pp , [6] T.P. NóbregaNeto, J.C. Interlando, O.M. Favareto,M. Elia, and R. Palazzo Jr, ''Lattice constellations and codes fro quadratic nuber fields, "IEEE Trans. Infor. Theory, vol.it-47, pp , May 001. [7] E.D. Carvalho, R. Palazzo Jr. and M. Firer, On the Construction and Labelling of Geoetrically Unifor Signal Sets in in R Matched to Additive Quotient Groups, J. Appl.Math and Coputing,vol.7 (008), 1-6. Deonstração: Seja a + bθ Z[θ] obtida das soluções inteiras da fora quadrática f x 1, x = x 1 + x =, se θ = i, ou da fora quadrática f x 1, x = x 1 + x 1 x +x =, se θ = ω.