ESTUDO DA APLICAÇÃO DA EQUAÇÃO DE DIFERENÇAS EM FINANCIAMENTOS HABITACIONAIS

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1 Colegio Militar de Curitiba-Livreto 60 pgs - 3aV - Pritjob => 04/06/200 => :30:07 => (Medida : = 7 x 24) ESTUDO DA APLICAÇÃO DA EQUAÇÃO DE DIFERENÇAS EM FINANCIAMENTOS HABITACIONAIS º Te OTT Paulo Amaro Velloso Heriques dos Satos Colegio Militar de Curitiba-Livreto 60 pgs - 3aV - Pritjob => 04/06/200 => :30:07 => (Medida : = 7 x 24) Resumo: O artigo está dividido em três partes A primeira parte cosiste o desevolvimeto do coteúdo matemático de Aálise Real, Séries Ifiitas e Geométricas, para situar o leitor do tema que será trabalhado e desevolver este coteúdo até a dedução das Equações de Difereças Na seguda parte são abordados os plaos de amortização para fiaciametos e mais especificamete os fiaciametos habitacioais da Caixa Ecoômica Federal, demostrado as situações e formas de amortizar um fiaciameto, para aumetar a compreesão sobre o caso a ser estudado e também cohecer os métodos utilizados pela Caixa Ecoômica Federal para modelagem das situações de fiaciametos Na terceira parte é aplicada uma Equação de Difereças o processo de amortização das dívidas de um fiaciameto habitacioal da Caixa Ecoômica Federal Ao fial, é realizado um comparativo etre o método que utiliza a Equação de Difereças e o método hoje utilizado pela Caixa Ecoômica Federal Palavras-chave: Equação de Difereças; Fiaciameto; Amortização Abstract: The article is divided ito three parts The first part is the developmet of the mathematical cotet of Real Aalysis, ad ifiite geometric series, to locate the reader of the topic that will be workig ad developig this cotet to the deductio of equatios of differeces I the secod part of the project addressed the plas for fudig of depreciatio ad more specifically the fiacig of a housig of the Caixa Ecoômica Federal, showig the situatio ad ways to repay the fiacig, to icrease uderstadig about the case to be studied ad also kow the methods used for Caixa Ecoômica Federal to the modelig of situatios of fudig I the third part of the project is applied Equatio of Differeces i amortizatio of debt fiacig of a housig of the Caixa Ecoômica Federal I the ed, we coducted a compariso betwee the method usig the equatio of differeces ad the method ow used by the Caixa Ecoômica Federal Keywords: Equatio of Differeces; Fiacig; Amortizatio Professor de Matemática o Colégio Militar de Curitiba Especialista em Docêcia o Esio Superior pauloamaro@hotmailcom 7 7

2 Colegio Militar de Curitiba-Livreto 60 pgs - 3aV - Pritjob => 04/06/200 => :30:07 => (Medida : = 7 x 24) Séries Numéricas Séries Numéricas, ou Séries Ifiitas são somas com um úmero ifiito de termos Na Matemática, o exemplo clássico é a utilização de séries para represetar dízimas periódicas, como 2 = 0,222 = 0,2 + 0,02 + 0, , Colegio Militar de Curitiba-Livreto 60 pgs - 3aV - Pritjob => 04/06/200 => :30:07 => (Medida : = 7 x 24) 8 Mas ão é apeas em tópicos de matemática pura que o assuto de Séries é aplicado Séries ifiitas são utilizadas em vários casos da Ecoomia, Biologia, Medicia, Farmacologia, etre outras ciêcias exatas, biológicas e tecológicas Como se verá este trabalho, a utilização de Séries Ifiitas é importate para várias áreas do cohecimeto humao Porém, o primeiro objetivo é defiir o que chamamos de Série Numérica ou Série Ifiita Segudo Ato (999, p4), série são somas de um úmero ifiito de úmeros reais e pode ser escrita a forma = a = a + a2 + a3 + + a + e uma vez que é impossível somar diretamete um úmero ifiito de úmeros, as somas de séries ifiitas são defiidas e calculadas por um processo de limite idireto Segudo Lima (2004, p 37), uma série é uma soma S a + a + + a com um úmero ifiito de parcelas que pode descrito = 2 + como S = ( a + + a ) lim Por ser um limite, cai a codição de que este pode existir ou ão existir, e com isso se pode classificar as séries como séries covergetes ou séries divergetes Dada uma seqüêcia (a ) de úmeros reais, pode-se formar com ela uma ova seqüêcia (S ) que é defiida pelas somas parciais da série a, ode a parcela a é o termo geral: S = a S = a + a,, S = a + a + + a Se existir o limite S ( S ), = lim, diremos que a série a é covergete e se o limite ão existir diz-se que a série é divergete Em algus casos, além de a série a ser covergete, pode-se observar 8

3 Colegio Militar de Curitiba-Livreto 60 pgs - 3aV - Pritjob => 04/06/200 => :30:07 => (Medida : = 7 x 24) que a série do módulo do termo geral ( a ) iicial também é covergete, e quado isso acotece, pode-se chamar a série de absolutamete covergete Para provar-se a covergêcia, ou divergêcia, de uma série ifiita, utilizam-se testes que são realizados com o termo geral da série Dois dos testes utilizados são: o Teste de d Alembert e o Teste de Cauchy Colegio Militar de Curitiba-Livreto 60 pgs - 3aV - Pritjob => 04/06/200 => :30:07 => (Medida : = 7 x 24) a O Teste de d Alembert propõe que se lim + < a, etão a série a é covergete Já o Teste de Cauchy propõe que se lim a <, etão a série a será covergete Séries Geométricas Uma série geométrica é toda a série que se puder ser descrita pela otação 2 3 k ar = a + ar + ar + ar + + ar + em que cada termo após o primeiro é obtido pela multiplicação de seu predecessor imediato por uma costate multiplicativa r Já que r é a razão etre qualquer termo (depois do primeiro) e seu predecessor imediato, pode-se referir à série como série geométrica de razão r Nota-se que uma série geométrica fica completamete especificada através de seu primeiro termo a e sua razão r Por exemplo, especificado a série geométrica de termo iicial a = e razão r =, temos k Uma razão egativa r produz uma alterâcia de siais algébricos, como, por exemplo, a série geométrica que tem primeiro termo a = 3 e razão r = 3 Através de um hábil artifício, é possível obter uma fórmula simples para a -ésima soma parcial S de uma série geométrica ar Começado com 2 S = a + ar + ar + + ar (), e multiplicado por r, 9 9

4 Colegio Militar de Curitiba-Livreto 60 pgs - 3aV - Pritjob => 04/06/200 => :30:07 => (Medida : = 7 x 24) 2 3 obtém-se S r = ar + ar + ar + + ar (), tem-se S Sr = a ar ou S( r) = a( r ) Sabe-se que se < (2) Subtraido a equação (2) da equação r Portato, S = a r r r, etão lim r = 0 ; daí lim S = lim a r se r = a r Colegio Militar de Curitiba-Livreto 60 pgs - 3aV - Pritjob => 04/06/200 => :30:07 => (Medida : = 7 x 24) 60 se r Por outro lado, se r >, etão a série geométrica acima diverge No caso restate em que r =, ou seja, r = ou r =, é fácil ver que a seqüêcia das somas parciais diverge iicial Assim tem-se o seguite teorema: A série geométrica ar com termo a o e razão r coverge se e somete se a ar = r Aplicações de Séries Geométricas Se r <, etão Séries Geométricas possuem várias aplicações práticas tato a Matemática, expressado dízimas periódicas em frações ou o estudo de probabilidades, como em muitos ramos da Medicia e da Ecoomia A seguir, algus exemplos extraídos das referêcias bibliográficas Exemplo Valor presete de uma auidade Ecotre a quatia que você deve ivestir hoje a uma taxa de juros aual de 0%, capitalizados cotiuamete, de modo que, começado o próximo ao, você pudesse fazer retiradas auais de $400 por toda a vida Solução: A quatia que se deve ivestir hoje para gerar a seqüêcia desejada de retiradas é a soma dos valores presetes de cada uma das retiradas idividuais Calcula-se o valor presete de cada retirada usado a fórmula P rt = Be, com = 400 é feita Dessa forma, B, r = 0,, e t sedo o tempo, em aos, o qual a retirada 60 r

5 Colegio Militar de Curitiba-Livreto 60 pgs - 3aV - Pritjob => 04/06/200 => :30:07 => (Medida : = 7 x 24) P = 400e P = 400e 2 P = 400e 0, 0,2 0,( ) e assim por diate A quatia que se deveria ivestir hoje é a soma desses ifiitos valores presetes Isto é Colegio Militar de Curitiba-Livreto 60 pgs - 3aV - Pritjob => 04/06/200 => :30:07 => (Medida : = 7 x 24) Recohecedo esta série como uma série geométrica com e Como, a série coverge com soma Desta forma, deve-se ivestir $ 3803,33 de maeira a atigir o objetivo estabelecido Exemplo 2 Acúmulo de Medicação o Corpo Um paciete recebe uma ijeção de 0 uidades de uma determiada droga a cada 24 horas A droga é elimiada expoecialmete, de modo que a fração remaescete o corpo do paciete após t dias é Se o tratameto cotiuar idefiidamete, aproximadamete, quatas uidades da droga existirão o corpo do paciete exatamete ates de uma ijeção? Solução: Da dose origial de 0 uidades, somete uidades permaecem o corpo do paciete após dia A medicação o corpo do paciete após 2 dias cosiste o que permaeceu das duas primeiras doses Da dose origial, somete uidades restam, e da seguda, restam uidades Assim S S 2 = 0e S = 0e = 0e + 0e 2 + 0e e 6 6

6 Colegio Militar de Curitiba-Livreto 60 pgs - 3aV - Pritjob => 04/06/200 => :30:07 => (Medida : = 7 x 24) Logo, a quatidade S de medicação o corpo do paciete a logo prazo é o limite de S quado tede ao ifiito Isto é, = 0e S = lim S = e = = 0e = 0e = = e 0 e = 4,7 uidades Colegio Militar de Curitiba-Livreto 60 pgs - 3aV - Pritjob => 04/06/200 => :30:07 => (Medida : = 7 x 24) 62 Equações de Difereças As equações difereciais podem ser usadas para modelar diversas situações diâmicas evolvedo comportametos cotíuos Cotudo é freqüetemete mais atural ou coveiete descrever certas situações em virtude do comportameto de uma série de potos discretos, em vez de um feômeo cotíuo, por exemplo, cesos populacioais de aos em aos, biólogos estudado colôias de bactérias a cada hora, ecoomista observado boletis semaais de oferta e demada As equações de difereças represetam o mesmo papel que as equações difereciais exercem o estudo de feômeos cotíuos, porém são trabalhadas em situações diâmicas discretas Uma fução discreta f(k) é uma fução que tem uma seqüêcia de potos em seu domíio, represetado pelo ídice k, e uma equação de difereças é uma equação relacioado f(k) com valores de f para ídices k Uma solução de uma equação de difereças é uma fução específica que satisfaz a equação, e uma solução geral é uma fórmula que caracteriza todas as soluções possíveis Equações de difereças da forma f ( k ) = af ( k) + b + em que a e b são costates, aparecem em diversas aplicações e uma solução geral de uma equação deste tipo pode ser obtida usado o que cohecemos sobre séries geométricas Supodo que f ( 0) = C, para algum úmero C, etão obtém-se 62

7 Colegio Militar de Curitiba-Livreto 60 pgs - 3aV - Pritjob => 04/06/200 => :30:07 => (Medida : = 7 x 24) f (3) = a f (2) = a [ ac + b] 2 [ a C + ab + b] f (0) = C f () = ac + b 2 + b = a C + ab + b b = a C + a b + ab + b k k k 2 f ( k) = a C + [ a + a + + a + ]b Colegio Militar de Curitiba-Livreto 60 pgs - 3aV - Pritjob => 04/06/200 => :30:07 => (Medida : = 7 x 24) Sedo a, e usado a fórmula obtida para a soma parcial de uma série k a a k k k 2 k geométrica, ecotramos f ( k) = a C + [ a + a + + a + ] b = a C + b que é a solução geral da equação de difereças Ou seja, a solução da equação da difereça, ode f ( 0) = C, é C + kb f ( k) = k a a C + b a se a = se a k Pode-se utilizar o exemplo abaixo para ilustrar a utilização de tal equação Exemplo 3 Crescimeto populacioal Há 2000 pessoas a cidade de São José A cada ao, 3% das pessoas da cidade morrem e 720 bebês ascem a) Qual será a população em aos? b)qual será a população a logo prazo? Solução: a) Seja P() a população após aos Como 0,03P() pessoas morrem o próximo ao, segue-se que 0,97P() sobrevivem, e a população após ( + ) aos satisfaz P ( + ) = 0,97P( ) Substituido a = 0,97, b = 720 e C = 2000 a fórmula apresetada como f k + = af k +, obtemos solução da equação ( ) ( ) b ( 0,97) P ( ) = ( 0,97) ( 2000) Assim, quado =, a população é de 0,97 ( 0,97) P () = ( 0,97) ( 2000) = 369habitates 0,

8 Colegio Militar de Curitiba-Livreto 60 pgs - 3aV - Pritjob => 04/06/200 => :30:07 => (Medida : = 7 x 24) b) Para ecotrar a população de logo prazo, calcula-se o limite ( 0,97) 0 lim P( ) = lim( 0,97) ( 2000) = = 24000habitates 0,97 0,03 Assim, após um logo período de tempo, a população tede a se estabilizar em habitates Colegio Militar de Curitiba-Livreto 60 pgs - 3aV - Pritjob => 04/06/200 => :30:07 => (Medida : = 7 x 24) Sistemas de Amortização Como este trabalho visa aplicar a Equação de Difereças aos fiaciametos imobiliários, é preciso tratar dos sistemas de amortização possíveis para estes fiaciametos Para isso observar-se-á o fucioameto dos sistemas SAC, PRICE, SAM e SACRE Sistema de Amortização Costate (SAC) Esse sistema, amplamete utilizado o Brasil os fiaciametos imobiliários, cosiste, como o próprio ome diz, em amortizar o pricipal da dívida pelo meio de parcelas costates e sucessivas, obtidas pela divisão do valor do empréstimo pelo úmero de prestações do cotrato O valor de cada prestação sucessiva o SAC é composto por uma parcela de juros vecidos, calculados sobre o saldo devedor, e outra correspodete a uma parcela fixa a título de amortização de capital No SAC, o saldo devedor do empréstimo decresce em progressão aritmética e, em coseqüêcia disto os valores dos juros e da prestação também decrescem com uma razão fixa Para calcular o saldo devedor o sistema SAC, sem termos que utilizar um quadro demostrativo, pode-se usar a fórmula SD = P, em que t SD é o saldo devedor do empréstimo após o pagameto de parcelas, P é o valor pricipal emprestado, é o úmero de parcelas pagas e t é o úmero total de parcelas do fiaciameto Para calcular a parcela a ser paga o sistema SAC, sem utilizar um quadro 64 64

9 Colegio Militar de Curitiba-Livreto 60 pgs - 3aV - Pritjob => 04/06/200 => :30:07 => (Medida : = 7 x 24) demostrativo, pode-se usar a fórmula P PMT = + SD i em que PMT é o t valor da prestação que desejamos ecotrar, P é o valor pricipal emprestado, t é o úmero total de parcelas do fiaciameto, SD é o saldo devedor do empréstimo após o pagameto da prestação aterior que desejamos ecotrar e i é a taxa de juros a forma decimal Sistema PRICE ou Fracês de Amortização Colegio Militar de Curitiba-Livreto 60 pgs - 3aV - Pritjob => 04/06/200 => :30:07 => (Medida : = 7 x 24) Este sistema cosiste o pagameto da dívida por meio de prestações de valores iguais, com periodicidade costate e com termos vecidos Nesse sistema, cada prestação cotém uma parcela de juros e outra de pricipal amortizado Como as parcelas são todas do mesmo valor, à medida que elas vão sedo quitadas, as quotas de amortização são progressivamete maiores, fazedo com que o saldo devedor, ao logo do tempo, fique meor e coseqüetemete os juros torem-se meores O valor das prestações o sistema PRICE é obtido por meio da fórmula ( + i) ( + i) i PMT = P ode PMT é o valor da prestação que se deseja ecotrar, P é o valor pricipal emprestado, é o úmero total de parcelas do fiaciameto e i é a taxa de juros a forma decimal Sistema de Amortização Misto (SAM) Aalisado os dois sistemas estudados ateriormete, ota-se que para um mesmo prazo, uma mesma taxa de juros e um mesmo capital fiaciado, as prestações iiciais do sistema PRICE são meores que as do sistema SAC Por outro lado, a amortização do SAC é mais rápida e por isso o total de juros acumulados, quado é adotado o sistema PRICE, é maior que se fosse utilizado o sistema SAC 6 6

10 Colegio Militar de Curitiba-Livreto 60 pgs - 3aV - Pritjob => 04/06/200 => :30:07 => (Medida : = 7 x 24) Para buscar um equilíbrio, o extito Baco Nacioal da Habitação 2 criou e utilizou o passado o Sistema de Amortização Mista (SAM) Nesse sistema, os valores das prestações, juros, amortizações e saldo devedores são obtidos pela média aritmética etre os valores resultates do sistema SAC e do sistema PRICE, daí a origem do ome Sistema Misto O exemplo abaixo possibilita uma melhor compreesão do fucioameto do SAM: Colegio Militar de Curitiba-Livreto 60 pgs - 3aV - Pritjob => 04/06/200 => :30:07 => (Medida : = 7 x 24) 66 Exemplo 4 Um empréstimo de $ 40000,00 deverá ser pago por meio de 8 parcelas mesais e sucessivas, vecedo a primeira 30 dias após a cotratação, segudo o sistema SAM Sabedo que a taxa de juros cobrada em tal operação foi de 0% ao mês, costrua uma tabela mostrado mesalmete o comportameto da dívida Primeiramete deve-se costruir uma tabela para o sistema SAC Tabela Sistema de amortização Costate Prazo Pricipal Prestação Juros pagos (meses) Amortizado Saldo Devedor 0 $ 0,00 $ 0,00 $ 0,00 $ ,00 $ 9 000,00 $ 4 000,00 $ 000,00 $ 3 000,00 2 $ 8 00,00 $ 3 00,00 $ 000,00 $ ,00 3 $ 8 000,00 $ 3 000,00 $ 000,00 $ 2 000,00 4 $ 7 00,00 $ 2 00,00 $ 000,00 $ ,00 $ 7 000,00 $ 2 000,00 $ 000,00 $ 000,00 6 $ 6 00,00 $ 00,00 $ 000,00 $ 0 000,00 7 $ 6 000,00 $ 000,00 $ 000,00 $ 000,00 8 $ 00,00 $ 00,00 $ 000,00 $ 0,00 Total $ 8 000,00 $ 8 000,00 $ ,00 $ 0,00 Logo após deve-se costruir uma tabela para o sistema PRICE 2 Criado em 964, o BNH era um baco de seguda liha, ou seja, ão operava diretamete com o público Sua fução era realizar operações de crédito e gerir o Fudo de Garatia do Tempo de Serviço (FGTS), por itermédio de bacos privados e/ou públicos e de agetes promotores, como as compahias habitacioais e as compahias de água e esgoto O BNH foi a pricipal istituição federal de desevolvimeto urbao da história brasileira, a qualidade de gestor do FGTS e da formulação e implemetação do Sistema Fiaceiro da Habitação (SFH) e do Sistema Fiaceiro do Saeameto (SFS) Foi extito, por decreto presidecial, em

11 Colegio Militar de Curitiba-Livreto 60 pgs - 3aV - Pritjob => 04/06/200 => :30:07 => (Medida : = 7 x 24) Colegio Militar de Curitiba-Livreto 60 pgs - 3aV - Pritjob => 04/06/200 => :30:07 => (Medida : = 7 x 24) Prazo (meses) Tabela 2 - Sistema PRICE Pricipal Prestação Juros pagos Saldo Devedor Amortizado 0 $ 0,00 $ 0,00 $ 0,00 $ ,00 $ 7 497,76 $ 4 000,00 $ 3 497,76 $ 36 02,24 2 $ 7 497,76 $ 3 60,22 $ 3 847,4 $ 32 64,70 3 $ 7 497,76 $ 3 26,47 $ 4 232,29 $ ,4 4 $ 7 497,76 $ 2 842,24 $ 4 6,2 $ ,90 $ 7 497,76 $ 2 376,69 $ 2,07 $ 8 64,83 6 $ 7 497,76 $ 864,8 $ 633,8 $ 3 02,6 7 $ 7 497,76 $ 30,26 $ 6 96,0 $ 6 86, 8 $ 7 497,76 $ 68,62 $ 6 86,4 $ 0,0 Total $ 9 982,08 $ 9 982,09 $ ,99 $ 0,0 Para obter-se a tabela do sistema SAM, deve-se calcular a média aritmética etre os valores das prestações, juros, amortizações e saldo devedor Prazo (meses) Tabela 3 - Sistema de Amortização Misto Pricipal Prestação Juros pagos Saldo Devedor Amortizado 0 $ 0,00 $ 0,00 $ 0,00 $ ,00 $ 8 248,88 $ 4 000,00 $ 4 248,88 $ 3 7,2 2 $ 7 998,88 $ 3 7, $ 4 423,77 $ 3 327,3 3 $ 7 748,88 $ 3 32,74 $ 4 66,4 $ 26 7,2 4 $ 7 498,88 $ 2 67,2 $ 4 827,76 $ 2 883,4 $ 7 248,88 $ 2 88,34 $ 060,4 $ 6 822,9 6 $ 6 998,88 $ 682,29 $ 36,9 $ 06,32 7 $ 6 748,88 $ 0,63 $ 98,2 $ 908,08 8 $ 6 498,88 $ 90,8 $ 908,07 $ 0,00 Total $ 8 99,04 $ 8 99,04 $ ,00 $ 0,00 Sistema de Amortização Crescete (SACRE) Este sistema foi desevolvido pela Caixa Ecoômica Federal com o objetivo de permitir, os fiaciametos de logo prazo para aquisição de casas próprias, uma amortização mais rápida, reduzido a parcela de juros sobre o saldo devedor Na realidade, esse sistema é baseado o sistema SAC, utilizado a metodologia deste para o cálculo e recálculo aual das prestações 67 67

12 Colegio Militar de Curitiba-Livreto 60 pgs - 3aV - Pritjob => 04/06/200 => :30:07 => (Medida : = 7 x 24) O cálculo da primeira parcela o sistema SACRE assemelha-se ao do sistema SAC, em que o pricípio é parecido A primeira parcela o sistema P SACRE é calculada por PMT = + P i em que PMT é o valor da primeira prestação que desejamos ecotrar, P é o valor pricipal emprestado, é o úmero total de parcelas do fiaciameto e i é a taxa de juros a forma decimal Colegio Militar de Curitiba-Livreto 60 pgs - 3aV - Pritjob => 04/06/200 => :30:07 => (Medida : = 7 x 24) 68 Os fiaciametos da Caixa Ecoômica Federal que seguem esse sistema têm as seguites características e metodologias de cálculo: a) No SACRE, o primeiro e segudo aos de cotrato, o cálculo da prestação é feito uma vez por ao, a partir do terceiro ao, poderá ser trimestral, caso haja um aumeto cosiderável os ídices de atualização moetária b) O valor das doze primeiras parcelas é fixo e, após esse período, a prestação será recalculada para o próximo período de doze meses (TR) c) O saldo devedor é reajustado mesalmete pela Taxa Referecial d) O dia da assiatura da miuta cotratual (aiversário do cotrato) é o dia que passa a vecer e a ser calculada a prestação mesal e) Sobre o valor iicial das prestações serão somadas as importâcias a serem pagas mesalmete a título de seguros e tarifas de admiistração f) Por esse sistema, a prestação iicial pode comprometer até 30% da reda do fiaciado g) O cálculo do valor da primeira prestação é feito segudo a metodologia do sistema SAC, ou seja, divide-se o valor fiaciado pelo úmero total de parcelas do cotrato e logo após soma-se o valor dos juros calculado sobre o valor do saldo devedor O fiaciado irá pagar durate um ao o valor dessas prestações fixas h) Mesalmete, o saldo devedor é corrigido pela TR e o valor dos juros será calculado sobre esse saldo atualizado Uma vez obtido o valor dos juros, este descotado do valor da prestação fixa, resultado a parcela de 68

13 Colegio Militar de Curitiba-Livreto 60 pgs - 3aV - Pritjob => 04/06/200 => :30:07 => (Medida : = 7 x 24) amortização que dimiuirá o saldo devedor existete a cada período i) Imediatamete, após o pagameto da 2ª prestação, apura-se o saldo devedor e recalcula-se o valor da prestação que vigorará para os próximos 2 meses, seguido o mesmo método de cálculo do iício do cotrato, lembrado que o úmero total de parcelas ficou reduzido em 2 Ver-se-á um exemplo para melhorar a assimilação sobre o sistema SACRE: Colegio Militar de Curitiba-Livreto 60 pgs - 3aV - Pritjob => 04/06/200 => :30:07 => (Medida : = 7 x 24) Exemplo Um imóvel o valor de $ 00000,00 foi fiaciado para pagameto em 80 prestações iguais e mesais, com a primeira vecedo 30 dias após a cotratação, segudo o sistema SACRE Sabedo que a taxa de juros cobrada foi de % ao mês e o valor das parcelas será corrigido mesalmete pela Taxa Referecial (TR), perguta-se: a) Qual o valor da primeira parcela? b) Qual o valor da décima terceira parcela a ser paga, cosiderado uma projeção para a TR de 0,2% ao mês costate P Solução: a) PMT = + P i PMT = ,0 = $, 6 80 b) Essa questão será resolvida com a ajuda de uma tabela, e para facilitar a compreesão, será passada a metodologia de motagem da tabela Calcular-se-á separadamete os valores dos juros (J) da primeira parcela, a partir do saldo devedor atualizado (SDA) pela TR TR SDA = SD ,2 SDA = = $0020,00 00 J = SDA i J = ,0 = $002,0 Com o valor dos juros e da primeira parcela, calculou-se a amortização da primeira parcela e o saldo devedor logo após o pagameto desta parcela A =,6 002,0 = $3,06 e SD = 0020,00 3,06 = $99696,

14 Colegio Militar de Curitiba-Livreto 60 pgs - 3aV - Pritjob => 04/06/200 => :30:07 => (Medida : = 7 x 24) Colegio Militar de Curitiba-Livreto 60 pgs - 3aV - Pritjob => 04/06/200 => :30:07 => (Medida : = 7 x 24) 70 Após calculou-se o valor do saldo devedor atualizado pela TR e o valor dos juros da seguda parcela TR SDA = SD ,2 SDA = 99696,94 + = $99946,8 00 J = SDA i J = 99946,8 0,0 = $999,46 E faz-se assim por diate até o fim da 2ª parcela Após esta parcela, o valor da 3ª deve ser recalculado, visto que o sistema SACRE a parcela é recalculada a cada 2 meses Portato, a 3ª parcela é calculada utilizado o saldo devedor como base do valor pricipal do empréstimo e descosiderado os meses que já foram pagos Parcela P PMT = + P i 9602,0 PMT = ,0 0,0 = $33,06 68 E, assim, pode-se completar a tabela TR (%) Tabela 4 - Sistema SACRE SD Atualizado Amortização Juros Valor da Parcela SD após o pagameto 0 0,2% $ ,00 $ 0,00 $ 0,00 $ 0,00 $ ,00 0,2% $ 00 20,00 $ 3,06 $ 002,0 $,6 $ ,94 2 0,2% $ ,9 $ 6,09 $ 999,46 $,6 $ ,09 3 0,2% $ ,7 $ 9,7 $ 996,39 $,6 $ ,40 4 0,2% $ ,0 $ 62,28 $ 993,27 $,6 $ ,8 0,2% $ 99 0,72 $ 6,44 $ 990,2 $,6 $ ,29 6 0,2% $ ,40 $ 68,63 $ 986,92 $,6 $ 98 23,77 7 0,2% $ ,08 $ 7,86 $ 983,69 $,6 $ ,2 8 0,2% $ 98 04,7 $ 7,4 $ 980,42 $,6 $ ,7 9 0,2% $ 97 70,24 $ 78,4 $ 977,0 $,6 $ 97 3,78 0 0,2% $ ,6 $ 8,8 $ 973,7 $,6 $ ,80 0,2% $ ,78 $ 8,2 $ 970,3 $,6 $ ,8 2 0,2% $ ,70 $ 88,6 $ 966,9 $,6 $ 96 02,0 3 0,2% $ ,3 $ 69,63 $ 963,42 $ 33,06 $ 9 772,67 Observa-se etão que a 3ª parcela vale $33,06 70

15 Colegio Militar de Curitiba-Livreto 60 pgs - 3aV - Pritjob => 04/06/200 => :30:07 => (Medida : = 7 x 24) Fiaciametos Habitacioais da Caixa Ecoômica Federal Atualmete, a Caixa Ecoômica Federal tem feito seus fiaciametos habitacioais utilizado apeas o sistema SAC, porém a istituição já utilizou outros sistemas de amortização, como mostra a orma HH0800 (2000, p 6 e 7) da CEF Colegio Militar de Curitiba-Livreto 60 pgs - 3aV - Pritjob => 04/06/200 => :30:07 => (Medida : = 7 x 24) Segudo esta orma, os sistemas SAM, PRICE e SACRE já foram utilizados pela istituição, porém estão em desuso atualmete O sistema PRICE, também cohecido por SFA (Sistema Fracês de Amortização) foi utilizado, pois sua prestação era composta por uma parcela de juros decrescete ao logo do prazo e outra de amortização que cresce de forma expoecial (HH0800, 2000, p 6) Aplicação da Equação de Difereças em fiaciametos Ates da aálise da fucioalidade da Equação de Difereças os fiaciametos Habitacioais da Caixa Ecoômica Federal, segue um exemplo que demostra a utilização desta fórmula um fiaciameto qualquer Exemplo 6 Uma pessoa toma $0000,00 a % de juros capitalizados aualmete A dívida deve ser paga em prestações iguais de $ A ao fim de cada ao, durate 8 aos Usado uma equação de difereças, ecotre o valor de A Solução: Seja P(k) a quatidade aida devida ao fim de k aos, para k = 0,, 2,, 8 Etão, exatamete após o pagameto, ao fim do (k + )-ésimo ao, a dívida será de P( k + ) =,0P( k) A Substituido a =,0, b = A e C = 0000 a fórmula para solução geral de equação de difereças ( k ) = af ( k) b f + +, obtém-se k k ( ) ( ) (,0) P( k) =, ( A),0 Como a dívida deve ser quitada em 8 aos, tem-se que P(8) = 0 Assim, (,0) 8 8 P(8) = 0 = (,0) ( 0000) + ( A),0 Isolado A, coclui-se que a prestação aual deve ser 7 7

16 Colegio Militar de Curitiba-Livreto 60 pgs - 3aV - Pritjob => 04/06/200 => :30:07 => (Medida : = 7 x 24) (,0) 8 (,0) 0000 A =,0 8 = $47,2 Colegio Militar de Curitiba-Livreto 60 pgs - 3aV - Pritjob => 04/06/200 => :30:07 => (Medida : = 7 x 24) Este exemplo mostrou como utilizar tal equação o movimeto fiaceiro deomiado fiaciameto, que cosiste em a pessoa, física ou jurídica, emprestar diheiro de uma istituição fiaceira para uma determiada aplicação e pagá-lo em um determiado úmero de tempo acrescido de certa taxa de juros Durate o pagameto das parcelas, parte destas destia-se aos juros cobrados pelo empréstimo e outra parte destia-se a abater a quatia que foi emprestada Tal ato deomia-se amortização Como abordado o capítulo aterior, os sistemas de amortização de dívidas em fiaciametos habitacioais variam em suas determiações de como pagar, quato pagar por parcela, quato pagar de juros E estas variates é que caracterizam cada um dos sistemas Observado o exemplo acima, ota-se que o uso da Equação de Difereças é destiado a um tipo específico de fiaciameto, que é o fiaciameto que utiliza o sistema PRICE como sistema de amortização Isto porque a Equação de Difereças trabalha com um sistema de amortização de parcelas iguais, e este é o pricípio do Sistema PRICE de Amortização O exemplo abaixo será resolvido das duas maeiras, pela Equação de Difereças e pela equação mostrada o sistema PRICE, e mostrará como fucioam semelhatemete Exemplo 7 Uma empresa adquiriu um imóvel de $ ,00 pagado 0% à vista e fiaciado o restate em 36 parcelas iguais, com taxa de juros de 4% capitalizados mesalmete a) Calcule, utilizado uma equação de difereças, o valor da parcela a ser paga b) Calcule, utilizado a o sistema PRICE, o valor da parcela a ser paga Solução: a) Seja Q(k) a quatidade aida devida ao fim de k meses, para 72 72

17 Colegio Militar de Curitiba-Livreto 60 pgs - 3aV - Pritjob => 04/06/200 => :30:07 => (Medida : = 7 x 24) Colegio Militar de Curitiba-Livreto 60 pgs - 3aV - Pritjob => 04/06/200 => :30:07 => (Medida : = 7 x 24) k = 0,, 2,, 36 Etão, exatamete após o pagameto, ao fim do (k + )-ésimo mês, a dívida será de P( k + ) =,04 P( k) A Substituido a =,04, b = A e C = a fórmula para solução geral de equação de difereças k ( k + ) = af ( k) b, obtém-se P k) = (,04 ) ( ) f + (,04) k ( + ( A),04 Como a dívida deve ser quitada em 36 meses, tem-se que P(36) = 0 36 Assim, (36) = 0 = (,04 ) ( ) (,04 ) 36 P + ( A),04 Isolado A, coclui-se que a prestação mesal deve ser (,04) 36 (,04) A =,04 36 = $2886,88 b) Utilizado o sistema PRICE para fazer o cálculo da parcela a ser paga, pode-se recorrer à utilização da equação de tal sistema ( + i) ( + i) i PMT = P Nesta equação, tem-se que o valor da prestação que desejamos ecotrar, represetado por PMT, é calculado em fução de P = , = 36 e i = 0,04 e ecotra-se etão 36 ( + 0,04) ( + 0,04) 0,04 PMT = = $2886,88 36 Com a resolução destes exercícios, mostra-se que a utilização da equação do sistema PRICE já é um uso simplificado e mais direto que a aplicação de uma equação de difereças A equação de difereças fucioou semelhate à equação do sistema PRICE, calculado uma parcela idêtica à parcela calculada pela equação deste sistema Com isso, demostra-se etão a utilização de tal equação os fiaciametos habitacioais Coclusão Como a Caixa Ecoômica Federal utiliza-se atualmete do sistema SAC, e por já ter utilizado há tempos o sistema PRICE, é desacoselhável a utilização de Equações de Difereças para o cálculo das parcelas destes fiaciametos 73 73

18 Colegio Militar de Curitiba-Livreto 60 pgs - 3aV - Pritjob => 04/06/200 => :30:07 => (Medida : = 7 x 24) E mesmo que a Caixa Ecoômica Federal volte a utilizar o sistema PRICE, ou Sistema Fracês de Amortização, para seus fiaciametos habitacioais, aida assim, é acoselhável a utilização da equação proposta o sistema para o cálculo da parcela a ser paga, levado em cota sua praticidade e objetividade Colegio Militar de Curitiba-Livreto 60 pgs - 3aV - Pritjob => 04/06/200 => :30:07 => (Medida : = 7 x 24) Abre-se aida um poto positivo do artigo, em que se mostra como um tópico da matemática pura, o estudo de Séries Geométricas, ode se mostrou as Equações de Difereças, pode ser aplicado a situações cotidiaas como um fiaciameto habitacioal, e assim demostrado sua validade quato a ser um tópico relevate o uiverso matemático Espera-se que este estudo possa servir de motivação para a busca icessate de ovas aplicações de tópicos de matemática pura em situações cotidiaas, fazedo assim com que as pessoas teham mais facilidade e familiaridade com a matemática 74 74

19 Colegio Militar de Curitiba-Livreto 60 pgs - 3aV - Pritjob => 04/06/200 => :30:07 => (Medida : = 7 x 24) REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ANTON, H Cálculo Diferecial e Itegral, Volume 2, São Paulo: Bookma Compahia Editora 6ª Edição 999 CAIXA ECONÔMICA FEDERAL HH 0800 Plaos de Reajuste e Sistemas de Amortização o Crédito Imobiliário 2000 DE FRANCISCO, W Matemática Fiaceira, São Paulo: Editora Atlas SA 7ª Edição 99 Colegio Militar de Curitiba-Livreto 60 pgs - 3aV - Pritjob => 04/06/200 => :30:07 => (Medida : = 7 x 24) HOFFMAN, L D Cálculo: Um Curso Modero e Suas Aplicações, Rio de Jaeiro: Livros Técicos e Cietíficos Editora SA 6ª edição 999 LIMA, E L Aálise Real, Volume, Rio de Jaeiro: Istituto Nacioal de Matemática Pura e Aplicada Coleção Matemática Uiversitária 8ª Edição 2004 MUNEM, M A e FOULIS, D J Cálculo, Volume 2, Rio de Jaeiro: Livros Técicos e Cietíficos Editora SA 982 TOSI, A T Matemática Fiaceira com Êfase em Produtos Bacários, São Paulo: Editora Atlas SA ª Edição