Escola de verão em Computação Aplicada LAC-INPE 2008 Introdução aos Problemas Inversos: Aplicações em Pesquisa Espacial

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1 Escola de verão e Coputação Aplicada LAC-INPE 8 Introdução aos Probleas Inversos: Aplicações e Pesquisa Espacial Haroldo Fraga de Capos Velho Laboratório Associado de Coputação e Mateática Aplicada Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais LAC-INPE Caixa Postal São José dos Capos (SP) E-ail: haroldo@lac.inpe.br hoe-page:

2 INRODUÇÃO AOS PROBLEMAS INVERSOS E APLICAÇÕES EM PESQUISA ESPACIAL Haroldo F. de Capos Velho RESUMO O Mini-Curso apresenta ua introdução sucinta aos probleas inversos. Prieiraente, conceito e classificação de probleas inversos são descritos, para então sere discutidas a técnica de regularização (alguns operadores são apresentados, be coo técnicas de solução de otiização), técnica variacional e redes neurais artificiais. Exeplos de probleas inversos e várias áreas da pesquisa espacial são apresentados e discutidos: ciência espacial (apas de radiação cósica de fundo, geofísica espacial), engenharia espacial (detecção de danos e estruturas aero-espaciais, proeto ótio de radiadores espaciais), oceanografia (propriedade óticas de oceanos), eteorologia (teperatura e uidade atosféricas a partir de dados de satélites). EMENA. Introdução.... Métodos Mateáticos para Solução de Probleas Inversos..... écnicas de regularização Regularização de ihonov Regularização entrópica Deterinação do parâetro de regularização..... écnicas de Otiização Deterinística: Newton e quase-newton Deterinística: Levengerg-Marquardt Deterinística: Gradiente conugado Estocástica: Recoziento siulado co ciclos téricos Estocástica: Algorito genético epidêico Método Variacional Redes Neurais Artificiais Aplicações de Probleas Inversos e Pesquisa Espacial Ciência Espacial: Inversão Magnetotelúrica Engenharia Espacial Proeto de radiadores espaciais Detecção de danos e estruturais espaciais Aplicações Espaciais: Oceanografia Aplicações Espaciais: Meteorologia Considerações Finais... Referências

3 . Introdução A partir de certo estágio do desenvolviento da sociedade huana, o conheciento tornou-se cada vez ais copartientado, prieiraente a ciência é separada e grandes áreas: culturais, bioédicas e exatas. Estas por sua vez se subdivide e dois grandes grupos: ciências básicas e aplicadas; para se subdividire ais ainda. Por exeplo, nas áreas de ciências exatas te-se a ateática, a física e a quíica coo exeplos de ciências básicas e as engenharias, geociências e astronoia pode ser encaradas coo áreas de aplicação destas ciências. odavia, cada ua destas ciências, sea básicas e/ou aplicadas, tabé pode ser subdivididas e pura e tecnológica, teórica e experiental. O conheciento huano é hoe u grande osaico de especialidades. Há, poré, áreas de estudo que requere conheciento de várias especialidades: são as áreas (ciências) ultidisciplinares. Probleas inversos (PIs) são exeplos de área ultidisciplinar. A distinção entre o que sea u problea direto ou inverso para u dado fenôeno, está ligada a nossa cultura, isto é, trata-se do que se interpreta coo causa e efeito! É atribuído a Oleg Miailivitch Alifanov ( proeinente pesquisador russo na área de probleas inversos, a afiração a solução de u problea inverso consiste e deterinar causas baseado na observação dos seus efeitos. Do ponto de vista prático, convenciona-se chaar problea direto àquele e que o estudo antecedeu-se historicaente. al abigüidade (direto/inverso), pode ser exeplificada do seguinte odo, se o odelo ateático é expresso por A(u) = f, o odelo inverso pode ser representado por: A - (f) = u. Por outro lado, definindo-se B A -, o par problea direto-inverso torna-se: B(f) = u B - (u) = f! Coo se percebe, a própria definição de PI pode apresentar controvérsias. Entretanto, nestas notas, a observação de Oleg M. Alifanov é a base para a conceituação de PIs. Ua definição, be coo classificações de PIs, é apresentada na próxia seção. Alguas técnicas de solução de probleas inversos são apresentadas. Estes étodos são exeplificados e alguas aplicações: geofísica, eteorologia, oceanografia e transferência de calor. As últias seções deste texto estão voltadas a técnicas novas, coo redes neurais e algorito genético. Este texto é forteente baseado na experiência do autor na área e no Curso de Probleas Inversos, disciplina regular do Curso de Pós-graduação e Coputação Aplicada (CAP) do Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais (INPE) ( - inistrada pelo Dr. Fernando M. Raos. A prieira versão deste texto (ais resuida) foi apresentada coo u inicurso do Encontro de Modelage Coputacional e, prooção do Instituto Politécnico da Universidade do Estado do Rio de Janeiro (IPRJ-UERJ, Nova Friburgo), a convite do Prof. Antônio José da Silva Neto. exto e slides do ini-curso do IPRJ-UERJ estão disponíveis na internet ( - este aterial do inicurso tornara-se disponíveis graças ao trabalho voluntário de Élcio H. Shigueori e Ana Paula Abrantes de Castro (na época, estudantes de doutorado e estrado, respectivaente, do curso de pós-graduação e Coputação Aplicada do INPE). Durante os anos de pesquisa na área, uitos colegas do INPE e de outras instituições estão associados ao trabalho desenvolvido: Alexandre Martinez (USP, São José do Rio Preto), Atair Rios Neto (INPE e Ebraer), Antônio José da Silva Neto (IPRJ-UERJ), Doenico Anfossi (ISAC-CNR), Ezzat S. Chalhoub (LAC- INPE), Fernando Manuel Raos (LAC-INPE), Gervásio A. Degrazia (Física, UFSM), João Batista C. Silva (Geofísica, UFPA), José Deísio S. da Silva (LAC-INPE), Julio Cezar Ruiz Claeyssen (Instituto de Mateática, UFRGS), Liliane B. Barichello (Instituto de Mateática, UFRGS), Mariângela Aendola (FEAGRI-UNICAMP), Marco ulio de Vilhena (Instituto de Mateática, UFRGS), Nandaudi L. Viayuar (LAC-INPE), Nelson J. Ferreira (CPEC-INPE), Pedro P. B. de Oliveira (Universidade McKenzie), Stephan Stephany (LAC-INPE), Valéria Cristina F. Barbosa (ON-MC); be coo estudantes de pós-graduação (atuais ou á forados) que trabalha (ou trabalhara) sob inha supervisão ou unto ao grupo de probleas inversos do INPE: Ana Paula C. Cuco, Alexandre G. Nowosad, Cláudio Faria, Cristiano Strieder, Débora R. Roberti, Eduardo Fávero P. da Luz, Elcio H. Shigueori, Fabiana F. Paes, Fabiano L. de Sousa, Fabrício P. Härter, Helaine Cristina M. Furtado, João C. Carvalho, Leonardo D. Chiwiacowsy, Marcelo R. de Moraes, Mario R. Retaoso, Renata S. da Rocha, Ricardo Varela Correa, Roberto Afonso da Costa Júnior, Roberto L. Galsi, Rosangela S. C. Cintra, Sabrina B. M. Sabatti, Wagner B. Muniz. A todos, eu especial agradeciento. Deixo claro, entretanto, que soente ao autor deve ser creditados quaisquer erros ou iperfeições no texto. As contribuições do grupo de Probleas Inversos do INPE não se refere soente às aplicações da etodologia de probleas inversos e pesquisas espaciais. O grupo te contribuído tabé co o desenvolviento da teoria de probleas inversos (concepção de novas técnicas de regularização), be coo e novos desenvolvientos e eta-heurísticas e no étodo variacional. 3

4 . Métodos Mateáticos para Solução de Probleas Inversos Considera-se o astrofísico georgiano Vitor Aazaspovich Abartsuian (para ais inforações sobre este cientista consultar: coo aquele que cunhou a expressão problea inverso (PI). Ua definição bastante abrangente, poré, é apresentada no livro de Engl et al. (996): Resolver u problea inverso é deterinar causas desconhecidas a partir de efeitos deseados ou observados. Note-se que a área de proeto ótio ou proeto inverso (inverse design) tabé está incluída nesta definição. E geral, as observações são iprecisas (dados containados co ruídos ou erros experientais) e incopletas. Diferenteente, probleas diretos requere u conheciento copleto e preciso das causas para a deterinação dos efeitos. A Figura abaixo ostra de aneira pictórica a relação entre problea direto e inverso. Causas, nu odelo ateático, são as condições iniciais e de contorno, tero de fontes/suidouro e propriedades do sistea (aterial). Efeitos são as propriedades calculadas a partir de u odelo ateático (direto), coo o capo de teperatura, concentração de partículas, corrente elétrica e propriedades vetoriais, coo capo de velocidade. Fig. - Representação esqueática de probleas direto e inverso. Aliás, o tipo de causa a ser deterinada pode ser usado para classificar PI. Contudo, outras classificações são possíveis:. Quanto à natureza ateática do étodo: Explícito (inversão direta) Iplícito. Quanto à natureza estatística do étodo: Deterinista Estocástico 3. Quanto à natureza da propriedade estiada: Condição inicial Condição de contorno ero de fonte/suidouro Propriedades do sistea 4. Quanto à natureza da solução (Bec): Estiação de parâetros Estiação de função 5. Quanto à natureza da diensão do problea (Silva Neto / Moura Neto): ipo- (PD f e PI f ) ipo- (PD e PI f ) ipo-3 (PD e PI ) Nota-se que a classificação dos itens e estão ligadas aos étodos de solução do PI; segundo a do ite 3, coo á falado, tipifica-se o problea inverso pela causa a ser deterinada. A classificação do ite 4 foi forulada pelo Prof. J. V. Bec. Ao que parece, o autor desta classificação tinha e ente coo estiativa de função a noção de função contínua, desta fora a deterinação de coeficientes c da expansão de ua função f(t) = Σ c φ (t) caracterizar-se-ia coo estiação de parâetros e não estiação de função. Por outro lado, estiar propriedades características e constantes de u sistea (coo a condutividade térica de u aterial, ou a intensidade S de ua fonte pontual de calor estacionária), 4

5 é u problea de estiação de parâetros. Nu caso, o vetor de parâetros desconhecidos é X=[c c... c K ], noutro caso X=[, S]. U caso distinto é estiar ua função aostrada: f(t i ) f i (i=,,..., N), nesse caso: X=[f f... f N ]. A classificação indicada no ite 5 foi proposta recenteente (999) e está baseada na diensão do odelo do fenôeno físico (problea direto PD) e na diensão da quantidade a ser estiada (problea inverso PI) se finita (f) ou infinita ( ) a expressão diensão infinita está ligada ao conceito de função contínua (ou contínua por partes): esta classificação, entretanto, não é ua idéia de exclusão. Probleas inversos do tipo reconstrução de iagens são exeplos de PI do ipo-, estiação de parâetros pode ser classificada coo do ipo- ou ipo-3, enquanto estiação de função contínua é sepre u problea do ipo-3. Mateaticaente, probleas inversos pertence à classe de probleas alpostos. No início deste século, o ateático francês Jacques Hadaard definiu u problea ateaticaente be-posto coo sendo aquele que cupre as três condições abaixo: (i) (ii) (iii) A solução existe; A solução é única; A solução te ua dependência contínua (suave) co os dados de entrada. Assi, o problea é dito alposto se algua das condições acia não é satisfeita. Probleas discretos e finitos são chaados al condicionados, se a condição (iii) não se cupre. E geral, nenhua das condições de Hadaard é satisfeita nu problea inverso! Exeplos siples pode ser usados para ilustrar os conceitos acia. Por exeplo, considere a solução da equação do o grau: x 4 =. () O problea (direto) algébrico acia te solução única: x=. O problea algébrico inverso ax + b =, () co x =, não apresenta solução única. O problea de estabilidade é exeplificado por ua equação algébrica do o grau: ax x + = (3) o qual para a =, possui as seguintes soluções: x = x =. Introduzindo u erro de % no coeficiente a, isto é, a =, a solução da Eq. (3) torna-se: x, = ±,i, sendo i a unidade dos núeros iaginários. Ou sea, % de ruído e a, faz co que a Eq. (3) não tenha ais solução no capo dos núeros reais. Meso sendo ua área e franco desenvolviento, PI é u capítulo relativaente recente na ciência. Há legítios PI que não era reconhecidos coo tais. Contudo, existe várias outras áreas da ciência que estão correlacionadas co esta nova área, sea pela natureza do obetivo de estudo, sea pelo ponto de vista etodológico. A lista a seguir apresenta as áreas correlatas aos PI: Identificação de sisteas; Controle ótio e sisteas estocásticos; Álgebra linear coputacional e probleas de posto incopleto; Restauração de iagens; eoria de filtrage; Assiilação/iniciação de dados; eoria da estiação. Porque PI eergira coo ua nova área da ciência? Devido a sua iportância científica, econôica, social e eso política. Por exeplo, ondas de so constitue u dos resultados ais significativos a partir de apas da radiação cósica de fundo e icroondas (Hu, ), ou RCFM, sendo ua previsão de odelos de instabilidade gravitacional da teoria da relatividade geral. Mapa de RCFM é u odelo ateático, onde o padrão de flutuações de teperatura é dado por ua expansão e harônicos esféricos. Outro exeplo, o telescópio espacial Hubble levou cerca de anos para ser construído e custou bilhões de dólares: depois de seu lançaento, notou-se que as iagens produzidas não tinha a nitidez deseada (proetada). O problea apresentado na fabricação das lentes do telescópio te sido solucionado por software (étodos ateáticos de Ps ver Hanisch e White, 993). Centenas de exeplos pode ser citados, as não se pode deixar de citar a revolução na edicina (e na sociedade) desde a introdução da 5

6 toografia coputadorizada, u clássico problea inverso. Para finalizar, lebraos a discussão sobre o aqueciento global: a etodologia de probleas inversos é até agora o único procediento para identificar o ciclo bio-geo-quíico dos gases do efeito estufa (Kasibhatla et al., )... écnicas de regularização Não vaos tratar da teoria ateática de equações diferenciais parciais. Ebora as propriedades ateáticas sea relevantes na exposição e desenvolviento da etodologia, optou-se por ua apresentação se uitos detalhes ateáticos, onde as técnicas são aplicadas e, espera-se, copreendidas co os exeplos do texto. Ua lista não exaustiva de étodos de solução de PI segue: Inversão direta; Decoposição e valores singulares; Mínios quadrados e variantes (ínios quadrados ponderados); Métodos de regularização; Métodos variacionais; Outros (olificação, étodos bayesianos, filtros digitais, redes neurais, etc). Métodos explícitos, ou de inversão direta, não são étodos gerais. Há u interesse acadêico nua inversão direta, as não se constitui nu esquea etodológico geral a ser seguido. Para exeplificar e para apresentar u problea que foi usado para testar novas técnicas, sea o problea inverso de identificação da condição inicial e condução do calor: t = α ; e t >, x (, L) ; (4) xx condição inicial : ( x,) = f ( x), condições de contorno : (, t) = ( L, t) =, x x Para o qual a solução exata do problea direto é ( x, t) = = β t X ( β, x) e X ( β, x') f ( x') dx', (5) N( β ) onde X(β,x) e N(β ) são autofunção e nora características do problea (Ösizi, 98; Muniz et al, 999). A solução exata do problea inverso para u perfil de teperatura (x,t) edida nu tepo t=τ é: = β X (, x) τ β f ( x) e X ( β, x' ) ( x', τ ) dx'. (6) = N( β ) Pode-se ostrar que a solução (6) define o PI coo u problea al posto, pois viola a 3 a condição de Hadaard (Muniz et al., 999). Outro problea resolvido explicitaente é a solução de Burgraff para identificação de fluxo superficial e probleas de condução de calor (ver Bec et al., 985, página 67). No caso particular de alguns sisteas lineares indeterinados (co núero de incógnitas inferior ao núero de equações), ua solução estudada foi a abordage de ínios quadrados de nora ínia, isto é, existe u tero adicional (a nora do vetor de incógnitas) associado ao tero de discrepância quadrática. Isso pode ser generalizado. A idéia é a seguinte: para resolver probleas alpostos, é necessário fornecer inforação adicional. Na década de 6, vários pesquisadores tabé notara este fato. Noes coo V.K. Ivanov (96), D.L. Phillips (96) e S. woey (963) erece destaque, as foi co o trabalho de Andrei Niolaevich ihonov e 963, o início de ua forulação geral para probleas alpostos, chaada regularização ou étodo de regularização. O Prof. ihonov foi u ateático proeinente e trabalhou no prestigioso Instituto de Mateática Stelov da Acadeia Russa de Ciências (ateáticos coo A.N. Krylov, D.K. Faddeev, L.S. Pontryagin, S.L. Sobolev, A.N. Kologorov e A.A. Marov, fora ua pequena lista de iportantes cientistas do eso Instituto), tendo trabalhos iportantes e topologia, análise funcional, ateática coputacional e física-ateática. O étodo da regularização consiste na deterinação da solução aproxiada ais suave, copatível co os dados de observação, para certo nível de ruído. A busca da solução ais suave (regular) é ua inforação adicional, que transfora o problea alposto nu problea be-posto (ver Figura ). 6

7 Problea alposto + Inforação a priori Problea be-posto Realidade física Fig. - Idéia básica para solução de probleas al-postos: inforação adicional (a priori) é incorporada ao problea e o problea odificado (uito siilar ao problea original) é u problea be-posto! Na ipleentação ateática do étodo, o PI é forulado coo u problea de otiização co restrições: in u U δ ( ) f sueito a : Ω[] u ρ A u, (4) onde A(u)=f δ representa o odelo direto e Ω[u] é o operador de regularização (ihonov e Arsenin, 977). A técnica dos ultiplicadores de Lagrange perite colocar na esa função custo os obetivos de fidelidade dos parâetros co o odelo direto prieiro tero da expressão (5) - e de regularidade (suavidade) segundo tero da expressão abaixo - exigida da quantidade desconhecida: δ in{ A( u) f []} + α Ω u, (5) u U onde α é o parâetro de regularização. Note que, para α, o tero de fidelidade dos dados na função obetivo é superestiado, enquanto que para α toda a inforação contida no odelo ateático é perdida. Vários tipos de operadores de regularização tê sido investigados desde o trabalho dos pioneiros na área. Aqui soente serão coentadas duas classes destes operadores de regularização.... Regularização de ihonov Aqui o operador é expresso por: p [] u = = ( ) u Ω µ (6) onde u () denota a -ésia derivada (diferença) e µ >. E geral, µ =δ (delta de Kronecer), e o operador torna-se [] ( ) Ω u = u ; e a técnica é chaada de regularização de ihonov de orde-. O efeito da regularização de ihonov- é reduzir oscilações na função u (busca por funções suaves). Já na regularização de a orde, toa-se u (), ou sea, u é aproxiadaente constante.... Regularização entrópica De aneira siilar à técnica de ihonov, o étodo da áxia entropia busca regularidade global, produzindo as reconstruções ais suaves de acordo co os dados disponíveis (edidos). O princípio da áxia entropia foi proposto por Jaynes (957) coo u critério geral de inferência, baseado na teoria ateática da inforação de Shannon (Shanon e Weaver, 949). A Figura 3 ostra diferentes probabilidades nu fenôeno e que 8 estados são possíveis. A condição de áxia entropia ocorre quando todos os estados são igualente prováveis (Figura 3a), enquanto o estado de ínia 7

8 entropia é ilustrado na Figura 3b: todos os estados tê probabilidade nula de ocorrer, co exceção de u único estado. Da esa fora que a regularização de ihonov, pode ser estabelecidos operadores de entropia de várias ordens. Ua expressão genérica para regularização entrópica é: N N ( ) ( ) S ( u) = s log( s ), co s = r r ; (7) q q= q q q q q= válida para o caso discreto. Neste contexto, as diferentes ordens do operador são (Capos Velho e Raos, 997; Raos et al.,, Capos Velho et al., ): r ( ) q u = u u q q+ q+ u q u + q ( uax uin ) + ς u + ( u u ) + q ax in + ς para = para = para = (8) () onde r q representa a -ésia diferença (derivada) da quantidade a ser estiada. A função de entropia atinge seu valor áxio, S ax = log(n q ), quando a função de densidade de probabilidade é unifore, e te seu valor ínio, S in =, se os valores de r q estivere distribuídos por ua delta de Dirac (Muniz et al., ). (a) (b) Fig. 3 (a) estados igualente prováveis, (b) todos estados te probabilidade nula de ocorrência exceto u único estado co probabilidade de % de ocorrência...3. Deterinação do Parâetro de Regularização. Para se ter ua teoria de regularização copleta, é necessário u étodo para calcular o parâetro α na Eq. (5). O parâetro de regularização é que vai realizar o balanço entre o tero da diferença quadrática entre os dados e o odelo tero de fidelidade dos dados - e o tero de regularização, tero de suavidade dos dados. A literatura registra vários étodos para a deterinação do ultiplicador de Langrange (Bertero e Bocaccio, 998), coo o étodo da curva L e o da validação cruzada. Outra etodologia epregada está baseada no critério da discrepância de Morosov. O critério de Morosov baseia-se no fato de que a diferença, ou discrepância, entre os dados de observação e os dados do odelo deve ter a esa agnitude do erro de edida. Dessa aneira, se δ é erro no processo de edida, α * é a raiz da equação δ A ( u) f = δ. (9) * α O critério da discrepância foi validado tabé para o caso do operador de entropia de alta orde (Muniz et al., )... écnicas de Otiização A solução inversa no étodo de regularização é obtida resolvendo-se o problea de otiização expresso pela Eq. (5). Há ua grande variedade de étodos na literatura, divididos e grandes grupos: étodos deterinísticos e étodos estocásticos: - Deterinisticos: áxia descida, étodo de Newton, quase-newton, Gradiente Conugado, Método de Levenberg-Marquadt, Método Siplex. 8

9 - Estocásticos: Recoziento siulado (AS: Siulated Annealing), Algoritos genéticos (GA: Genetic Algorith), busca abu, otiização extrea, otiização por colônia de forigas (ACO: Ant Colony Optiization), otiização por enxae de partículas (SPO: Swar Particle Optiization), etc. - Métodos híbridos: Cobina a estratégia de busca global dos étodos estocásticos co busca local dos étodos deterinistas (GAPlex: GA + Siplex, SAPlex: AS + Siplex, GAGC: GA + Gradiente Conugado).... Método de Newton e quase-newton (MNe, MQNe) O obetivo de u étodo de otiização é encontrar o ínio/áxio de ua função escalar J(X) sendo X u vetor de u espaço de diensão ( X R ). Poré, deterinar o ínio da função J(X) é equivalente a encontrar o ponto X tal que J ( X ) =. O gradiente de ua função escalar é u vetor. Denotando este gradiente por Q( X ) J ( X ), a série de aylor da função vetorial Q(X) é dada por: 3 Q( X + X ) = Q( X ) + Q( X ) X + [ Q( X ) X ] X + O( X ). ()! Realizando truncaento de ª orde na expressão acia e adotando-se a aproxiação: Q ( X + X ), chega-se a relação de recorrência do étodo de Newton ( X = X X ): + + [ J ( X )] J ( X ) X = X +. () + Do ponto de vista coputacional não calculaos explicitaente a inversa da atriz hessiana da função F(X), ao invés disso resolve-se o sistea associado de equações lineares e avalia-se sua convergência - a precisão é definida previaente por ua quantidade ε. De fora algorítica, o étodo de Newton pode ser descrito da seguinte fora:. Resolva o sistea linear de equações algébricas: [ J X )] X = J ( X ). Atualize o vetor de parâetros: X + = X + + X + ( () 3. Avaliação da convergência : X + X X K+ K si : processo finaliza < ε não: retorna ao passo E notação indicial, a atriz hessiana (N N) é calculada coo segue (X = [X, X,..., X N ] : vetor de parâetros desconhecidos de diensão N): J ( i =. X X [ J X )] i O cálculo da atriz hessiana, e geral, é o processo coputacionalente ais custoso (pode-se usar técnicas nuéricas para o cálculo da atriz). Várias estratégias são propostas para iniizar o custo coputacional, evitando o cálculo da atriz hessiana. Estes são os étodos quase-newton, ou ainda, étodos de étrica variável, coo uitas vezes é denoinado na literatura (Luenberger, 973). O processo ipleentado na rotina E4UCF da biblioteca nuérica NAG (995) é o seguinte:. Resolve o problea direto para X e calcula o valor da função obetivo J(X ).. Calcula o gradiente por diferenças finitas: J X ). 3. Calcula a aproxiação quase-newton positiva-definida H para a atriz hessiana ( [ J ]): ( onde H b ( b ) H u ( u ) H = H + (3) ( b ) u ( u ) H u 9

10 b = X X = X u J X ) J ( X ). = ( 4. Calcula a direção de busca Miniize [ ] d coo a solução do seguinte sub-problea de prograação quadrática: J ( X ) d + ( d ) ( H ) d, sueito a: l n n n q pq d q u p. q 5. Fixe, X + = X + β d, onde o passo de copriento β iniiza J ( X + β d ). 6. esta a convergência: finaliza ou retorna ao Passo. É possível deonstrar que a solução ótia do processo acia, converge para solução do étodo de Newton (Luenberger, 973). Antes de finalizar esta seção, é pertinente inforar que o étodo de Newton te ua convergência quadrática, poré pode não convergir, dependendo se a estiativa inicial X estiver fora de ua região de convergência (região próxia ao áxio/ínio). U étodo ais robusto e relação à escolha da estiativa inicial é o étodo da áxia descida, que te convergência linear (Luenberger, 973).... Método de Levenberg Marquardt (MLM) Confore encionado anteriorente, os étodos de Newton e quase-newton pode apresentar probleas de convergência: alé disso, a atriz associada no algorito de solução do étodo de Newton pode ser singular ou quase singular - que pode apresentar características de ua atriz singular, devido às aproxiações nuéricas. O étodo da áxia descida,por sua vez, alé de apresentar ua convergência lenta, não te ua estratégia definida para a escolha da prieira estiativa do processo iterativo. Estes probleas pode ser inorados pelo étodo de Levenberg (944) e Marquardt (963), que cobina as estratégias de áxia descida co o étodo de Newton. Denotando J(X) [A(X)-f δ ], onde A(.) representa o odelo direto, f δ representa os dados experientais e Q J (isto é: Qi = J i X ), e assuindo a seguinte aproxiação: J ( X + x) = J ( X ) + J X + O( X ) J ( X ) + Q X as equações norais pode ser escritas coo: ou sea: [ J ( X ) + Q ] Q J ( X + X ) Q X = Q Q X = Q J., A idéia do MLM é odificar a atriz do sistea M Q Q, da seguinte aneira: M M ˆ ; onde: Mˆ = M + λm δ. (4) i i ii i Se λ é grande (λ ), os teros da diagonal irão doinar a expressão, que é ustaente o étodo da áxia descida. Quando λ, o étodo torna-se siilar ao étodo de Newton. Assi, a abordage do MLM atualiza o cálculo para os parâetros desconhecidos através da fórula: [ Q Q I] Q J X + = X + λ. (5) A rotina DBCLSF da biblioteca nuérica IMSL (99) ipleenta ua versão do étodo de Levenberg- Marquardt.

11 ..3. Método do Gradiente Conugado (MGC) Há ua extensa literatura sobre o Método do Gradiente Conugado, devido à grande pesquisa dedicada a esta técnica é considerada u dos algoritos ais iportantes da coputação científica! O eprego de direções conugadas para a busca da solução ótia é utilizado co o obetivo de acelerar a convergência do étodo da áxia descida. Diferenteente do étodo da áxia descida, que na versão clássica assue passos e direções de busca idênticas a direções de busca anteriores, o MGC assue outra estratégia, epregando direções ortogonais conugadas. odavia, assi coo o étodo da áxia descida, o MGC tabé eprega apenas inforação referente ao gradiente (acobiano) da função obetivo (ao invés de inforações da derivada segunda a hessiana da função obetivo). Aqui vaos dar soente a versão algorítica do étodo. A dedução dos passos do MGC é be descrita na literatura especializada coo, por exeplo, e Luenberger (973). Outra referência a ser encionada é Chiwiacowsy (5): alé da dedução do MGC, o étodo variacional é descrito co detalhes na sua aplicação a probleas inversos (será tratado ais adiante neste texto). U algorito para o MGC pode ser descrito coo:. Escolher ua estiativa inicial para X ;. Calculo do odelo direto A X ) e da função obetivo J X ) ; ( 3. Calcular o gradiente da função obetivo: J X ) ; 4. Cálculo do coeficiente conugado (versão Fletcher-Reeves): γ J X ) J ( X ; 5. Cálculo da direção de busca: p J( X ) J( X ( = ) + γ p 6. Realizar ua busca e linha na direção 7. Atualize o vetor de parâetros X = X + β p ( para = para > = ( ) p para calcular β inβ { J( X + βp )} ; + 8. este de convergência: finaliza ou retorna ao passo-. ; = ; A expressão gradiente conugado deriva do fato de que as direções consecutivas de busca são A-ortogonais ou A-conugadas: ( p ) Ap =...4. Recoziento Siulado (SA) Esta técnica foi o prieiro étodo de otiização estocástica inspirado e eular u processo natural de otiização de funções, no caso, iniizar a energia interna de ligação entre átoos de ua rede cristalina. A técnica é uito conhecida pela expressão e inglês: Siulated Annealing (SA): é ua etaheurística para o problea de otiização global. O noe da técnica foi cunhado a partir do processo e etalurgia de aqueciento e resfriaento controlado de u aterial para a obtenção de ua rede cristalina co o ínio de defeitos o recoziento (annealing). O aqueciento altera a energia interna de ligação entre os átoos da rede cristalina, peritindo que o sistea se desloque aleatoriaente através de estados de energia ais alta (novas configurações da rede cristalina); o resfriaento lento torna o sistea capaz de se acoodar nua configuração co energia interna ais baixa do que a energia inicial, ou sea, nua configuração ais estável (enor energia) e a rede cristalina será ais be estruturada, ou ainda, co enos iperfeições. E analogia co o processo físico, no algorito SA a energia interna é identificada coo a função obetivo do problea de otiização. E cada passo a solução atual é atualizada, sendo substituída por ua outra solução grosseiraente aleatória, escolhida co ua probabilidade que depende dos valores da função obetivo entre a solução anterior e a solução atual e de u parâetro global ( teperatura ), que vai gradualente reduzindo seu valor durante o processo iterativo. Quando o parâetro é grande, praticaente qualquer solução é peritida, as, à edida que se aproxia de zero, soente soluções que reduza o valor da função obetivo são consideradas. O estágio do processo iterativo que perite soluções co valor da função obetivo acia do valor obtido na iteração anterior torna o étodo efetivo e evitar estacionar e ínios locais. Outra vantage do SA é que neste étodo não é necessário o cálculo do gradiente da função obetivo, ne a exigência de continuidade da função obetivo e de suas derivadas.

12 O étodo foi descrito por Kirpatric et al. (983) e é ua adaptação do algoríto de Metropolis, u étodo de Monte Carlo epregado e sisteas tero-dinâicos (Metropolis et al, 953). O algoríto a seguir foi ipleentado por Press et al. (99):. Definir a teperatura inicial e u conunto inicial de M soluções: X ( =,, K, ) ;. Cálculo da função obetivo de cada solução candidata da iteração: J ( ) ; M 3. Escolher novas soluções candidatas aleatoriaente e recalcular a função obetivo associado (se o valor da função obetivo coincidir e alguas das soluções geradas ou co soluções candidatas no passo da iteração anterior, escolhe-se outras); 4. Avaliação das soluções candidatas: se J X ) < J( X ) a solução é aceita, caso contrário se u valor ( t t X t aleatório rand satisfizer: rand E / t > e, onde E J( X t ) J( X t ), a solução é aceita; 5. Redução da teperatura : t+ =r* t (r é o fator de redução); 6. este de convergência: finaliza ou retorna ao passo-. Há uitas variantes do algorito AS: fast SA, very fast SA, siulared re-annealing (ou SA co ciclos téricos)...5. Algorito Genético Epidêico (EGA) Algoritos genéticos são étodos de otiização baseados na teoria da evolução proposta por Charles Darwin e Alfred Russel Wallace. Darwin e Wallace coletara evidências para sua teoria evolucionária a partir de viagens que abos fizera na Aérica do Sul. Darwin foi o naturalista convidado durante a viage do navio Beagle, e expedição para apear a costa da Aérica do Sul, e Wallace foi u naturalista que viveu na região Aazônica por 4 anos. Abos concebera o ecaniso da seleção natural após tere lido o livro de hoas Malthus: An Essay on the Principle of Population, onde Malthus afira que a população huana cresce ais rápido do que a produção de alientos. A teoria de Darwin-Wallace é a idéia principal da oderna teoria da evolução, as a proposta original tinha probleas. Por exeplo, não estava uito claro co a especiação funcionava (ais ainda, coo ocorria explosões de bio-diversidade, coo identificado no período Cabriano): tabé não estava claro coo se dava as pequenas udanças entre indivíduos de ua esa espécie. U noe central para a síntese da oderna teoria evolucionária é Ernst Mayr. Ele é identificado co o principal responsável pela grande síntese, que integra a teoria da hereditariedade de Mendel co a teoria da evolução de Darwin-Wallace (e o processo de seleção natural). A teoria da evolução ainda está e desenvolviento. As propostas do equilíbrio pontuado e da endo-sibiose são dois exeplos de idéias novas no capo. Os procedientos nos GA são concebidos a partir da versão oderna da teoria da evolução a grande síntese (Holland, 975). No contexto da otiização, a função obetivo (chaada de função de aptidão) funciona coo o abiente (o ecaniso da pressão evolutiva). Seguindo a seleção natural, soente os indivíduos ais aptos na população serão selecionados para sere os pais dos indivíduos da nova geração. A nova geração será leveente distinta da geração anterior por ua variação aleatória e algu ou ais itens do genótipo. Na versão clássica de GA, há 3 operadores fundaentais: (i) seleção, (ii) cruzaento, (iii) utação. Na versão epregada neste inicurso, u novo operador genético, denoinado epidêico, é ipleentado (Chiwiacowsy e Capos Velho, 3; Medeiros, 5). O operador epidêico é ativado quando u núero específico de gerações é atingido se alteração do elhor indivíduo (ais apto) durante alguas iterações. Assi, a população é afetada por ua praga e soente os indivíduos co elhor aptidão (u percentual pré-definido de % a %) irão sobreviver. Os indivíduos extintos serão substituídos por novos indivíduos (coo iigrantes recé chegados) gerados aleatoriaente. Assi, dois novos parâetros são necessários para a versão do EGA (Epideic GA): o núero de gerações se elhoria do elhor indivíduo para ativar o operador epidêico e a quantidade de indivíduos que sobreviverão à praga. Outro ponto iportante na codificação do GA clássico é a descrição dos indivíduos (núeros ou funções) e codificação binária. Esta descrição perite ua siilaridade aparenteente ais nítida co

13 o apa gênico de u indivíduo para as operações de cruzaento e de utação. Assi, o problea era codificado para estrutura binária e o resultado final, decodificado para núeros reais deciais. Na verdade esta codificação/decodificação binária não é necessária. Há uitas foras de se aplicare os operadores genéticos co núeros reais. Aqui só será descrito o algorito do EGA usado nas aplicações espaciais descritas na próxia seção.. Geração aleatória da população de M indivíduos (possíveis soluções): X ( =,, K, M ) ;. Cálculo da aptidão (função obetivo) de cada indivíduo: J ( X ) ; 3. Ativa operador de seleção (estratégia torneio, ver: Chiwiacowsy e Capos Velho, 3); µ µ 4. Ativa o operador de cruzaento: z i = xi y (x i i e y i são pais selecionados ( xi, yi X ) e z i u indivíduo da nova geração, µ=,5 é o parâetro usado, que equivale igual peso para abos os pais); 5. Ativa operador de utação: zi + ( t, lsup-zi ) se : dígito aleatório binário é z ' = ; i zi ( t, zi linf ) se : dígito aleatório binário é b ( t / ) onde: ( t, y) y[ rand ] (rand=núero aleatório [,), t é passo da iteração atual, é o núero áxio de iterações e b=5); 6. este de convergência: finaliza ou avalia aplicação do operador epidêico se a epideia não acontece, retorna ao passo-. A estratégia da epideia te ua siilaridade co a estratégia dos ciclos téricos (ou re-anneling) do SA. O EGA é uito siilar a ipleentação do icro-ga (Krishnauar, 989). Cuco et al. (8) discute a siilaridade entre as duas abordagens..3. Método Variacional A técnica variacional foi prieiraente desenvolvida pelo pesquisador russo Oleg M. Alifanov, especialista de probleas inversos co aplicações e transferência de calor da área espacial. Basicaente o esquea consiste e associar o étodo do gradiente conugado à equação adunta. É devido ao uso do MGC que esta técnica de resolução de probleas inversos é apresentada após a seção de otiização. O étodo variacional foi desenvolvido para se deterinare extreos de funcionais. Ua função é ua transforação (ou apeaento) que relaciona núero (e tabé vetores e/ou tensores) co núeros (ou vetores/tensores). Funcionais são apeaentos que relaciona funções co núeros. No caso de funções, usaos propriedades das derivadas para o cálculo de extreos de funções. No caso de funcionais, usa-se a variação (ao invés da diferenciação) para se deterinar extreos de funcionais (ou ainda, pontos estacionários do funcional). Nua descrição pouco técnica, se duas funções difere ua da outra pela soa de outra função uˆ ( x) = u( x) + εη( x), a variação da função u(x) é dada por: δ u = uˆ ( x) u( x) = εη( x), (6) onde η(x) é ua função arbitrária (as que se anula na fronteira) e ε é u parâetro pequeno. A diferença entre o operador variacional δ e o operador diferencial d é clara: δu e du são abos udanças diferenciais da função u(x). De fora ais explícita: du se refere a ua udança infinitesial de u(x) causada pela variação infinitesial do arguento dx, isto é, du=u(x+dx)-u(x); enquanto que δu é ua variação infinitesial de u(x) que produz ua nova função: δu=εη(x). O cerne da teoria do étodo variacional é ua etodologia para se deterinar o extreo de u funcional J toando-se a prieira variação deste funcional e igualando-se a zero: δj= siilar ao estudo de funções do cálculo diferencial. Não será apresentada a teoria do cálculo variacional. Poré, soente para ilustrar o procediento, vaos considerar a variação da integral I abaixo, onde as funções u(x), sua derivada e a variável x estão relacionadas por ua função F(.): 3

14 b b b F F δ I = δ F[ u( x), u'( x), x] dx = δfdx = ε η + η' dx, x ( a, b); (7) u u' a a onde u (x) é a derivada da função u(x). Integrando por partes a expressão acia: a b a b F d F F δ I = ε η dx + εη( x). (8) u dx u' u' a Para deterinar o ponto estacionário do funcional ( δi ε = ), lebraos que a função η(x) é arbitrária e anula-se nos extreos (η(x)=, para x=a e x=b), assi, a condição para tornar nula a expressão acia é: F u d dx F u' =. (9) A equação (9) é a condição necessária e suficiente para anular δj e é conhecida coo a equação de Euler-Lagrange, e hoenage aos dois grandes ateáticos que trabalhara no desenvolviento do cálculo variacional. Entretanto, diferenteente da técnica de regularização, não é possível gerar ua forulação variacional para qualquer problea. A dedução da equação de Euler-Lagrange é calculada caso a caso. O caso de iniização de u funcional co certos vínculos pode ser holoônico (quando o vínculo é dado a partir de u outro funcional da relação entre as funções do funcional original a ser iniizado), ou não holoônicos (equações que relaciona funções do funcional a ser iniizado). Vínculos são equações adicionais que ipõe certo coportaento ou propriedade da função que iniiza o funcional. Neste caso, o problea pode ser forulado pela iniização de u novo funcional se restrições, onde as restrições são incorporadas ao novo funcional co a auda de ultiplicadores de Lagrange, que são funções desconhecidas. As equações para os ultiplicadores de Lagrange são as equações aduntas..4. Redes Neurais Artificiais Redes neurais artificiais (RNAs) são arranos de eleentos de processaento chaados neurônios (Figura b). O odelo de neurônio artificial consiste de ua cobinação linear seguida de ua função de ativação (ver Figura 4a): y n = ϕ ( v = ) ϕ w x + b (3) = onde w são os pesos das conexões e b é o viés (Hayin, 993). A função de ativação pode assuir várias foras funcionais. As ais usadas são as funções sigóide e tangente hiperbólica: ax + e (a) ϕ ( x) =. (3) (b) ( ) ( ax = )( ax tanh( x) e + e ) As redes pode ser supervisionadas ou não supervisionadas. Nas redes supervisionadas, os pesos das conexões são deterinados de tal aneira que a saída da rede neural produz u resultado siilar ao do obetivo alvo. Assi, para as redes supervisionadas, te-se conuntos Y alvo e Y rede (W), onde W é a atriz dos pesos das conexões. Para deterinar a atriz, o obetivo é iniizar a diferença quadrática: alvo RN J( W) = Y Y ( W). (3) i i U étodo não uito eficiente, as uito usado, é o algorito de retro-alientação (bacpropagation), onde a atualização da atriz W é dada pela regra δ: 4

15 W = W + W ; onde: E W = η = ηδ x, (33) w alvo RN [ yn y ( W )] n E =, E w n saida da RN E = Y RN Y RN w E = Y RN E x δ. Y RN Aqui η é chaada de taxa de aprendizage. A quantidade E representa na verdade o erro entre o valor de saída da rede (Y RN ) e o valor de referência (Y alvo ). Na verdade, qualquer técnica de otiização estudada até aqui (coo aquelas vistas nas seções anteriores) pode ser usada para encontrar a atriz de pesos de conexão W. (a) (b) Fig. 4 (a) neurônio artificial siples, (b) rede neural de últiplas caadas. Porque a regra δ funciona? A resposta é siples. Se a direção de busca ( W) na equação (33) fosse dada e teros do étodo de Newton, na expressão ter-se-ia o produto da inversa da atriz hessiana H pelo o gradiente do erro. Coo vios no étodo quase-newton, a atriz hessiana não é calculada explicitaente: a inversa da atriz hessiana é aproxiada por outra expressão. Assi, nu extreo de siplificação, a inversa da atriz hessiana poderia ser dada pela atriz diagonal hoogênea: H - =ηi, onde I é a atriz identidade. 3. Aplicações de Probleas Inversos e Pesquisa Espacial A área espacial te 4 grandes pilares: (i) ciência espacial; (ii) engenharia ou tecnologia espacial; (iii) aplicações espaciais (sensoriaento reoto, eteorologia por satélites, sisteas globais de navegação por satélites - GNSS: Global Navigation Satellite Systes, telefonia celular e uitas outras), (iv) edicina espacial. O INPE atua e 3 das áreas encionadas e existe u grupo de estudos e edicina espacial no Brasil na PUC do Rio Grande do Sul. O grupo de probleas inversos realiza pesquisa e desenvolviento e todas as áreas de atuação do INPE. Coo exeplos de aplicações de PI no INPE, citaos os seguintes: - Ciência espacial: inversão agnetotelúrica (geofísica espacial), produção de apas da radiação cósica de fundo (astrofísica), proeto de configuração da distribuição de antenas de radio-telescópio interferoétrico; - ecnologia espacial: proeto ótio de radiadores espaciais, proeto ótio do controle térico da platafora ulti-issão (PMM) de satélites do INPE, detecção de danos e estruturas espaciais; - Meterologia: identificação de perfis de teperatura e uidade atosféricas a partir de dados de satétiles, detecção de fontes de poluição atosféricas, estiação de propriedades turbulentas e fluxo da caada liite atosférica; - Oceanografia: propriedades óticas de águas naturais; - Assiilação de dados: aplicações e eteorologia, oceanografia e clia espacial. Não serão tratados todos os exeplos citados acia. Selecionaos alguns para ilustrar a aplicação das etodologias de probleas inversos. 5

16 3.. Ciência Espacial: Inversão Magnetotelúrica (IM) Áreas clássicas de probleas inversos são: geofísica, transferência de calor, reconstrução de iagens. A área de geofísica está ligada ao aior negócio do planeta, a área do petróleo, e particular e prospecção de petróleo. Há outras aplicações relevantes e geofísica, coo ineração e busca de água subterrânea. A etodologia ais epregada nesta área é o uso de étodos sísicos, onde cargas (excitação artificial no sistea) são detonadas e registros são captados por geofones. Inversão agnetotelúrica está baseada e fontes eletroagnéticas naturais raios cósicos, por exeplo onde agnetôetros são usados para registrar o capo geoagnético na superfície da erra. A forulação ateática do problea direto é estabelecida pelas equações de Maxwell do eletroagnetiso nu doínio bidiensional (D) co condições de contorno adequadas (Raos e Capos Velho, 996; Capos Velho e Raos, 997). O doínio do problea físico é esboçado na Figura 5, onde Ω + e Ω - corresponde às zonas condutiva (z<) e de espaço livre (z>), respectivaente. O capo oscila co u período πω, suficienteente longo para peritir que correntes de deslocaento possa ser ignoradas. A pereabilidade é toada coo unitária. As equações do eletroagnetiso torna-se: r r H = 4πσE (34a) r r E = iωh (34b) O fator exp(iωt) é assuido e todas as quantidades de capo: Φ ( y, z, t) = exp( iωt) φ( y, z) (Ф=E, H) e σ= σ(y,z) é a condutividade elétrica. Visto que H e E não depende da direção-x, as equações acia são reduzidas a u conunto de equações de Poisson independentes (polarização-h e polarização-e) o desenvolviento detalhado pode ser visto e Capos Velho e Raos (997). Por siplicidade, considerase soente o problea da polarização-h na análise inversa: H x H x H x = + = iη H ; onde: η ` = 4πσω. (35) x y z Figura 5: Geoetria e condições de contorno do problea direto. 6

17 O problea inverso para se deterinar o capo de condutividade elétrica σ(y,z) é forulado coo u problea de otiização co restrições. O operador de regularização é ua cobinação da áxia entropia de orde-zero co a iniização da entropia de a orde equações (7) e (8) (Raos e Capos Velho, 996; Capos Velho e Raos, 997). A solução inversa é obtida co a solução ótia do seguinte funcional: Exp Mod [ H ( y, z = ) H ( y, z =, σ )] γ ( S ( σ ) S ) γ ( S ( σ ) ) J( σ ) = + S. (36) x x A Figura 6 ostra os resultados da inversão se regularização e (6b), ínia entropia de ª orde e (6c) e áxia entropia de orde-zero e (6d) para coparação, a solução verdadeira é ostrada e figura 6a. ax ax Figura 6: Mapas de condutividade elétrica e IM: (a) odelo verdadeiro, (b) inversão se regularização, (c) regularização MinEnt-, (d) regularização MaxEnt-, (e) e (f) inversões co tipos de entropia. 3.. ecnologia Espacial 3... Proeto de radiadores espaciais Radiadores espaciais são dispositivos usados para eficiente reoção de calor do interior de satélites ou de estações espaciais para o espaço exterior. Sua função é essencial para o controle térico de qualquer veículo espacial. E geral, o radiador consiste de pinturas ou faixas especiais co propriedades tero- 7

18 óticas específicas. A área e o núero de radiadores pode variar, dependendo do taanho da estrutura espacial, entretanto o radiador pode ser proetado independente da estrutura espacial, coo na ISS (International Space Station). No problea tratado aqui, o proetista busca por ua cobinação adequada de pintura ou faixas adesivas para cobrir diferentes áreas do radiador, de fora que a eissividade efetiva obtida deste arrano deve estar próxia da eissividade de proeto, ou sea, desea-se deterinar a solução ótia do seguinte funcional (Souza e Raos, ): N N J( E) = ε pro ε i Ai Ai, co a restrição: i= i= N A i = i= A R, (37) onde ε pro é a eissividade de proeto e E=[ε ε... ε N ]. No artigo de Souza e Raos () dois étodos são usados para iniizar o funcional (37): siulated annealing (SA) e otiização extrea (EO: extree optiization). A solução encontrada é ostrada na figura 7. (a) (b) Fig. 7: (a) configuração de referência; (b) configuração obtida para in J(E) por SA Detecção de danos e estruturas espaciais O problea de detecção de danos é o problea inverso ais iportante e teoria de vibrações ecânicas e, por isso, te sido extensivaente estudado. O uso da técnica variacional nesse tipo de problea é uito recente. Os prieiros trabalhos fora desenvolvidos por Huang (; ) e Chiwiacowsy & Capos Velho (3). Os passos para aplicação da técnica variacional no problea de detecção de danos são os seguintes:. Escolher ua configuração inicial para a atriz de rigidez K ;. Deterine as deforações do sistea (problea direto) e a função obetivo J ( K ) ;. Resolva a equação de sensitividade: odelo direto: MX&& + CX& + KX = f ( t) equação sensitividade: M X&& + C X& + K X = K 3. Resolver a equação adunta para calcular o gradiente da função obetivo: Mod [ X X ( )] Exp Mλ ( t) Cλ( t) + Kλ( t) = K co a codição final: & λ ( t ) λ( t ) =, λ(t) é o vetor dos ultiplicadores de Lagrange; 4. Deterine a direção de busca do MGC: J( K p J( K onde: γ = J ( K ) J ( K ), sendo: = ) ) + γ p t f f = f para =, para > J( K) = λ K Xdt ; e K [ K] t f t f 5. Deterina o taanho do passo: Exp Mod β = [ X ( X X )] dt [ X X ] 6. Atualiza a atriz de rigidez: K = K t= + β p + ; 7. este de convergência (princípio da discrepância de Morosov). t= dt K X ( t) 8

19 Ebora Huang (; ) afire que esta técnica é totalente adequada para resolver o problea de identificação de danos co atriz de rigidez dependente do tepo, Chiwiacowsy e Capos Velho (3) ostrara que a técnica não funciona para probleas co u núero de graus de liberdade aior do que 5 ou quando o sistea não é tão rígido por exeplo, toando-se estruturas e aluínio ao invés de aço (Chiwiacowsy, 5): co ou se ruído nos dados experientais. O problea é que, partindo da configuração não danificada, o étodo variacional a per se não consegue calcular ua boa solução inversa. Desta fora, torna-se necessário deterinar ua estiativa inicial ais adequada para o passo- do algorito anterior. Desta fora, Chiwiacowsy e Capos Velho (3) propusera ua técnica híbrida, onde o algorito genético co epideia é usado para deterinar ua configuração inicial para o processo variacional. A técnica híbrida foi testada co sucesso e vários sisteas (assa-ola, treliça, vigas) e usando diferentes dados experientais (para doínio do tepo e doínio da freqüência) co vários níveis de ruído nestes dados. Aqui vaos aplicar a técnica nu exeplo de detecção de danos na estação espacial internacional. A Figura 8 ostra ua foto da ISS e sua representação coo ua estrutura co 68 graus de liberdade. Na Figura 8c, os eleentos e verelho são os eleentos danificados da estrutura. (a) (b) (c) Fig. 8: (a) foto da ISS; (b) representação da estrutura da ISS, (c) danos (verelho) na ISS. A Figura 9 ostra a rigidez identificada para cada eleento da representação da ISS através do étodo híbrido: EGA + variacional (Capos Velho e Chiwiacowsy, 5; Chiwiacowsy, 5; Gasbarri et al., 7). A identificação da rigidez é perfeita no caso de dados se ruído (Figura 9a) e produz u excelente resultado no caso de dados co ruído (Figura 9b). É iportante ressaltar que, no caso de dados co ruído, e todos os casos trabalhados a técnica identificou todas as partes danificadas da estrutura, isto é, até agora não teos u caso registrado e que a estrutura tenha u dano não identificado pela técnica híbrida. Fig. 9: Identificação da rigidez: (a) dados se ruído; (b) dados co ruído de % Oceanografia: identificação de propriedades óticas e águas naturais Há duas descrições físicas para a transissão da luz: (i) da teoria eletroagnética, onde a luz é pensada coo ua onda; (ii) da teoria de transporte de partículas se cargas, se a luz é copreendida coo u feixe de partículas (fótons). A segunda forulação é considerada aqui. A equação linear de Boltzann, tabé conhecida coo a equação de transporte ou equação de transporte radioativo (ER), para u dado copriento de onda λ, descreve a distribuição de fótons, expressa por: 9