UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO CENTRO DE CIÊNCIAS AGRÁRIAS E ENGENHARIAS PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA QUÍMICA

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO CENTRO DE CIÊNCIAS AGRÁRIAS E ENGENHARIAS PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA QUÍMICA ANÁLISE DA DISPERSÃO DE POLUENTES EM RIOS VIA APROXIMAÇÃO BAYESIANA RUAN DE REZENDE FARIA ALEGRE, ES 219

2 UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO CENTRO DE CIÊNCAS AGRÁRIAS E ENGENHARIAS PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA QUÍMICA ANÁLISE DA DISPERSÃO DE POLUENTES EM RIOS VIA APROXIMAÇÃO BAYESIANA RUAN DE REZENDE FARIA ALEGRE, ES 219

3 Ruan de Rezende Fara ANÁLISE DA DISPERSÃO DE POLUENTES EM RIOS VIA APROXIMAÇÃO BAYESIANA Dsseração de mesrado apresenada ao Programa de Pós-graduação em Engenhara Químca do Cenro de Cêncas Agráras e Engenharas da Unversdade Federal do Espíro Sano, como pare das egêncas para obenção do Tíulo de Mesre em Engenhara Químca. Área de Concenração: Engenhara Químca Lnha de Pesqusa: Modelagem, Omzação e Análse de Processos Orenador: Prof. D. Sc. Julo Cesar Sampao Dura Coorenadores: Prof. D. Sc. Wellngon Beencure da Slva Prof. D. Sc. Icaro Panca Gudoln ALEGRE, ES Feverero, 219

4 Fcha caalográfca dsponblzada pelo Ssema Inegrado de Bbloecas - SIBI/UFES e elaborada pelo auor D278a de Rezende Fara, Ruan, Análse da dspersão de poluenes em ros va apromação Bayesana / Ruan de Rezende Fara f. : l. Orenador: Julo Cesar Sampao Dura. Coorenadores: Wellngon Beencure da Slva, Icaro Panca Gudoln. Dsseração (Mesrado em Engenhara Químca) - Unversdade Federal do Espíro Sano, Cenro de Cêncas Agráras e Engenharas. 1. Flro de Parículas. 2. Problemas Inversos. 3. Modelagem Ambenal. 4. Méodos Heuríscos. 5. Apromação Bayesana. I. Sampao Dura, Julo Cesar. II. Beencure da Slva, Wellngon. III. Panca Gudoln, Icaro. IV. Unversdade Federal do Espíro Sano. Cenro de Cêncas Agráras e Engenharas. V. Tíulo. CDU: 66.

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6 AGRADECIMENTOS Prmeramene agradeço a Deus por odas as graças conceddas durane a realzação do mesrado. Ese período fo muo mporane para o meu crescmeno profssonal e pessoal. Também quero agradecer aos meus orenadores, Julo, Wellngon e Icaro, por odos os quesonamenos e sugesões dadas, que conrbuíram muo para o melhorameno desa dsseração de mesrado. Esendo os agradecmenos ambém aos meus famlares, especalmene, aos meus pas, os quas são eemplos para mm. E, por fm, agradeço a Coordenação de Aperfeçoameno de Pessoal de Nível Superor (CAPES) códgo de fnancameno 1, a qual fnancou em pare ese esudo.

7 RESUMO FARIA, Ruan de Rezende. Análse da Dspersão de Poluenes em Ros va Apromação Bayesana Dsseração (Mesrado em Engenhara Químca) Unversdade Federal do Espíro Sano, Alegre, ES. Orenador: Julo Cesar Sampao Dura. Coorenadores: Wellngon B. da Slva e Icaro Panca Gudoln. O esudo da dspersão de poluenes em ros esá vnculado à análse da carga de poluenes conservavos lançados nsananeamene (fones dfusas de polução) ou de manera conínua (fones ponuas) em um dado ro. Eses problemas foram abordados nesa dsseração de mesrado por meo de dados epermenas com raçador conservavo njeado em pulso e connuamene. Objevou-se denfcar as caraeríscas do raçador (so é, magnude, dsrbução espacal e duração do lançameno). A abordagem da dnâmca desses problemas fo realzada por meo de apromação de problemas nversos, sendo compuada pelo méodo Smulaed Annealng (SA) e pela assmlação de dados baseada nos méodos Bayesanos de Parcle Flerng (PF). O méodo SA permu ober resulados sasfaóros na represenação da dnâmca do ssema de modo off-lne. Esses resulados foram avalados esascamene ao se empregar 12 repeções do algormo e dferenes níves de ncereza. Conudo, uma lmação mporane fo o empo compuaconal para apromar em empo real. Por esse movo, ulzou-se o PF para quanfcação de ncerezas em dferenes condções de dsrbução a pror e número de parículas, observando sequencalmene o desempenho dos flros SIR e SIR com suavzador de Kernel em relação ao erro quadráco médo (RMS), coefcene de deermnação (R 2 ), coefcene de auocorrelação do resíduo (SC) e coefcene de reamosragem mínmo (REA mn ). A écnca de suavzação de Kernel, responsável por reduzr o empobrecmeno da amosra do flro de parículas SIR, propcou os melhores resulados. Com sso, a ulzação do flro SIR com o suavzador de Kernel confrmou-se como uma alernava para possíves aplcações de conrole de polução de ros, nferênca vrual e alarme. Palavras-chave: Modelagem ambenal, Flro de Parículas, Problemas Inversos, Suavzador de Kernel, Méodos Heuríscos.

8 ABSTRACT FARIA, Ruan de Rezende. Analyss of Polluan Dsperson n Rvers va Bayesan Appromaon Dsseraon. (Maser degree n Chemcal Engneerng) Federal Unversy of Espíro Sano, Alegre, ES. Advser: Julo Cesar Sampao Dura. Co-advser: Wellngon Beencure da Slva and Icaro Panca Gudoln. Sudy of he dsperson of polluans n rvers s relaed o he analyss of he load of conservave polluans released nsananeously (dffuse sources of polluon) or of connuous way (pon sources) n a gven rver. These problems were addressed n hs maser's dsseraon by means of epermenal daa wh conservave racer njeced n pulse and connuously. The objecve was o denfy racer characerscs (.e., magnude, spaal dsrbuon and duraon of acvy). The approach o he dynamcs of hese problems was carred ou by means of appromaon of nverse problems, beng compued by he Smulaed Annealng (SA) mehod and he assmlaon of daa based on he Bayesan mehods of Parcle Flerng (PF). The SA mehod allowed obanng sasfacory resuls n he represenaon of he dynamcs of he sysem off-lne. These resuls were sascally evaluaed by usng 12 algorhm repeons and dfferen levels of uncerany. However, one mporan lmaon was he compuaonal me o appromae on-lne. For hs reason, he PF (parcle flerng) has been used o quanfy he unceranes n dfferen condons of pror dsrbuon and number of parcles, observng sequenally he performance of he SIR and SIR parcle fler wh Kernel smoohng n relaon o he Roo Mean Square (RMS), coeffcen of deermnaon (R 2 ), auocorrelaon coeffcen of he resdue (SC) and mnmum resamplng coeffcen (REA mn ). Beer resuls were obaned hrough he Kernel smoohng echnque, responsble for reducng sample depleon of he SIR parcle fler. Therefore, he use of he SIR fler wh he Kernel smoohng has been confrmed as an alernave for possble applcaons of rver polluon conrol, vrual nference and alarm. Keywords: Envronmenal Modelng, Parcles Fler, Inverse Problems, Kernel Smoohng and Heursc Mehods.

9 LISTA DE FIGURAS Fgura 1 Volume de conrole ddydz. Fone: BIRD e al. (26), modfcado pelo auor Fgura 2 Dagrama conceual dos ponos de monorameno. Fone: LIU e al. (28), modfcado pelo auor Fgura 3 Dagrama conceual do epermeno com njeção em pulso. Fone: auor Fgura 4 Dagrama esquemáco dos componenes do ssema. Fone: HUTTON e al. (21), modfcado pelo auor Fgura 5 Pseudocódgo do PF, orgnal para esmavas de esados. Fone: DA SILVA (212), modfcado pelo auor Fgura 6 Pseudocódgo do flro de Parículas SIR. Fone: DA SILVA (212), modfcado pelo auor Fgura 7 - Pseudocódgo do flro de Parículas SIR, com Kernel smoohng. Fone: DA SILVA (212), modfcado pelo auor Fgura 8 - Pseudocódgo do flro de Parículas ASIR. Fone: DA SILVA (212), modfcado pelo auor Fgura 9 Represenação esquemáca do esudo de caso. Fone: auor Fgura 1 Concenração de poluene na posção de deecção Fgura 11 Caracerzação da dsrbução de probabldade dos valores de massa (a) e dsânca da fone poludora (b), consderando 12 repeções do algormo Smulaed Annealng. Fone: auor Fgura 12 Análse dealhada das amosras de massa ajusada pelo algormo Smulaed Annealng: (a) Hsograma com ajuse pela curva normal; (b) análse Bo Plo. Fone: auor Fgura 13 Análse dealhada das amosras de dsânca da fone poludora ajusada pelo algormo Smulaed Annealng: (a) Hsograma com ajuse pela curva normal; (b) análse Bo Plo. Fone: auor Fgura 14 Valores de RMS obdos consderando 12 repeções do algormo Smulaed Annealng em relação à condção ncal. Fone: auor Fgura 15 Ajuse da concenração de poluene, esmando a massa do poluene e a posção de lançameno pelo algormo Smulaed Annealng. Fone: auor Fgura 16 Caracerzação da dsrbução de probabldade dos valores de massa (a), dsânca da fone poludora (b), dspersão longudnal (c) e velocdade (d), consderando 12 repeções do algormo Smulaed Annealng. Fone: auor Fgura 17 Análse dealhada das amosras de massa ajusada pelo algormo Smulaed Annealng: (a) Hsograma com ajuse pela curva normal; (b) análse Bo Plo. Fone: auor Fgura 18 Análse dealhada das amosras de dsânca da fone poludora ajusada pelo algormo Smulaed Annealng: (a) Hsograma com ajuse pela curva normal; (b) análse Bo Plo. Fone: auor Fgura 19 Análse dealhada das amosras de dspersão longudnal ajusada pelo algormo Smulaed Annealng: (a) Hsograma com ajuse pela curva normal; (b) análse Bo Plo. Fone: auor Fgura 2 Análse dealhada das amosras de velocdade ajusada pelo algormo Smulaed Annealng: (a) Hsograma com ajuse pela curva normal; (b) análse Bo Plo. Fone: auor Fgura 21 Ajuse da concenração de poluene, esmando a massa do poluene, a posção de lançameno, dspersão longudnal e velocdade pelo algormo Smulaed Annealng. Fone: auor

10 Fgura 22 Valores de RMS obdos consderando 12 repeções do algormo Smulaed Annealng em relação à condção ncal. Fone: auor Fgura 23 Esmavas da concenração em empo real (a), carga de poluene conservavo (b) e dsânca da fone poludora (c), consderando a por condção eamnada da Tabela 4: N par = 1 e P / P 25%. Fone: auor Fgura 24 Esmavas da concenração em empo real (a), carga de poluene conservavo (b) e dsânca da fone poludora (c), consderando a melhor condção eamnada da Tabela 4: N par = 1 e P 6%. Fone: auor P / Fgura 25 Análse do REA para N par = 1 e P 25% (a) e N par = 1 e P / P / P 6% (b). Fone: auor Fgura 26 Análse da auocorrelação do resíduo de esmação para N par = 1 e P / P 25% (a) e N par = 1 e P / P 6% (b). Fone: auor Fgura 27 Esmavas da concenração em empo real (a), carga de poluene conservavo (b), dsânca da fone poludora (c), dspersão longudnal (d) e velocdade (e), consderando a por condção eamnada da Tabela 5: N par = 1 e P / P 25%. Fone: auor Fgura 28 Esmavas da concenração em empo real (a), carga de poluene conservavo (b), dsânca da fone poludora (c), dspersão longudnal (d) e velocdade (e), consderando a melhor condção da Tabela 5: N par = 1 e P 6% Fone: auor P / Fgura 29 Análse do REA para N par = 1 e P 25% (a) e N par = 1 e P / P / P 6% (b). Fone: auor Fgura 3 Análse da auocorrelação do resíduo de esmação para N par = 1 e P / P 25% (a) e N par = 1 e P / P 6% (b). Fone: auor Fgura 31 Análse do REA para o flro de parículas SIR com Kernel Smoohng (a) e flro de parículas SIR (b), consderando N par = 1 e P / P 6%. Fone: auor... 8 Fgura 32 Concenração esmada em empo real, consderando méodo de Kernel Smoohng para E e U, N par = 1 e P / P 6%. Fone: auor Fgura 33 Ajuse em empo real da massa (a), dsânca da fone de polução (b), velocdade (c), dspersão longudnal (d) e empo de duração do lançameno (e), consderando Kernel Smoohng para E e U, N par = 1 e P / P 6%. Fone: auor... 81

11 SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO Apresenação da Pesqusa Jusfcas da Escolha do Tema de Pesqusa Objevos Geral e específcos Trabalhos Prelmnares MODELAGEM DO TRANSPORTE DE POLUENTES EM RIOS Equação Geral do Transpore de Poluenes em Ros (EGTPR) Advecção e Dfusão em Ros Transformações na Água: Reações Químcas e Bológcas Conrbuções Eernas: Fones Ponuas e dfusas Comenáros Fnas TÉCNICAS PARA ANÁLISE DA DISPERSÃO DE POLUENTES EM RIOS Problemas Inversos Assmlação de dados Fludodnâmca Compuaconal Comenáros fnas ESTIMAÇÃO VIA APROXIMAÇÃO BAYESIANA Amosragem de Mone Carlo Sequencal (Parcle Flerng - PF) Esmação conjuna de parâmeros e esados Amosragem de Mone Carlo Sequencal ulzando mporânca aular ASIR Comenáros Fnas METODOLOGIA Problema de Lançameno Insanâneo Descrção do Esudo de Caso meddas epermenas Formulação Maemáca e solução analíca do problema físco Problema de Esmação Off-lne Problema de Esmação em Tempo Real Problema de Lançameno Conínuo Descrção do Esudo de Caso meddas snécas Ssema Físco e Formulação Maemáca Meddas snécas Problema de Esmação em empo real Comenáros Fnas RESULTADOS E DISCUSSÃO Problema de Lançameno Insanâneo Análse com Smulaed Annealng (Esmação Off-lne)... 59

12 6.1.2 Análse com Flro de Parículas (Esmação On-lne) Cenáro 1: apenas M e são desconhecdos Cenáro 2: Méodo Kernel smoohng para E e U Problema de Lançameno Conínuo Análse com Flro de Parículas (Esmação On-lne) CONCLUSÕES E SUGESTÕES REFERÊNCIAS... 85

13 1 INTRODUÇÃO Apresenação da Pesqusa Os ros sempre foram os recepores das descargas de água resduas de avdades humanas, sejam elas fones doméscas, efluenes ndusras ou agrícolas, ou águas de processo de mneração, enre ouras fones. Nos úlmos dos séculos, desde a era da ndusralzação, o aumeno macço da produção ndusral acompanhado pelo crescmeno de grandes populações urbanas levou a graves problemas de polução da água em muos ros (BENEDINI; TSAKARIS, 213; JIRKA; WEITBRECHT, 25). A qualdade da água de um pono de vsa local, com seus arbuos de dsrbução espacal e emporal, é o resulado de város processos físcos, químcos e bológcos que ocorrem devdo às múlplas cargas de poluenes lançados em um recho do ro. Uma sólda compreensão e descrção desses processos são necessáras para que os engenheros de projeo e as auordades de água possam desenvolver soluções de descarga apropradas e esraégas de conrole que aendam às les e objevos de qualdade de água aplcáves (SOCOLOFSKY; JIRKA, 25; JIRKA; WEITBRECHT, 25). É úl dsngur dos pos de problemas de descarga de poluenes, uma vez que eses possuem dferenes caraceríscas de resposa físca, bem como dferenes esraégas de conrole de polução que são usadas pelas auordades de água. São os problemas de descarga conínua e problemas de lberação nsanânea. A dsnção básca enre os dos problemas é a forma como o efeo da duração da descarga afea como o poluene se msura ao longo do ro (JI, 217). As dferenes meodologas possíves para analsar os fenômenos menconados acma apresenam em comum o fao de dependerem do enendmeno da dspersão de poluenes em ros. Esse fenômeno é o mas mporane, endo nerferênca sgnfcava na dnâmca do poluene. Por esse movo, dversas são as alernavas apresenadas na leraura para sua modelagem, sendo a ulzação de raçadores conservavos para a represenação do poluene as mas ulzadas (LAUNAY e al., 215; LUGON e al., 28; RODRIGUES e. al, 213; ZENG e al., 214).

14 14 Normalmene, o emprego de al écnca objeva esmar o coefcene de dspersão conhecda a dsrbução da grandeza em um pono à jusane de um ro parcular. Apesar de uma alernava neressane, consando em dversos rabalhos na leraura (méodos deermníscos e heuríscos), não é relaada a possbldade de denfcação da magnude do raçador njeado, posção njeada e a dnâmca va monorameno em empo real (ou onlne). Deve-se somar a udo sso, a denfcação de ncerezas nos parâmeros dos modelos, esruura, enradas e dados de calbração. Dane dese cenáro novador, as écncas Bayesanas para monorameno êm sdo cada vez mas aplcadas por sua capacdade de ldar com a ncereza e ncorporar nformações a pror, o que perme o uso de eperêncas anerores e fornece a avalação probablísca necessára para apoar a omada de decsões. Em comparação com as abordagens radconas de modelagem, os parâmeros esmados do modelo na abordagem Bayesana são apresenados em ermos de uma dsrbução conjuna poseror; assm, podem-se prever melhor as volações do padrão de qualdade da água e fornecer mas nformações sobre a ncereza. Além dsso, os nervalos de credbldade Bayesanos (correlaos aos nervalos de confança da esaísca frequensa) resulanes podem enão ser ransmdos dreamene para o supervsor do ssema de gesão da qualdade da água com cero nível de rsco probablísco (YONG e al., 28; MANSOURI e al., 213). 1.2 Jusfcas da Escolha do Tema de Pesqusa As jusfcavas para abordagem da análse da dspersão de poluenes em ros podem sem melhor coneualzadas ao menconar o relaóro mundal da Organzação das Nações Undas (ONU - 217) sobre Desenvolvmeno dos Recursos Hídrcos. Desacou-se, em conformdade com ese relaóro: um erço dos ros do planea esá poluído; mas de 8% das águas resduas vão parar nos ros e oceanos do planea; mas de 8 ml pessoas morreram em decorrênca da fala de saneameno básco em 212; de 181 países pesqusados, apenas 55 nham dados a respeo do raameno e ulzação de águas resduas; e, no Brasl, 6% do esgoo não é raado.

15 15 Nese coneo, ambém vale ressalar a ocorrênca de desasres ambenas, por eemplo, resulanes de: (1) Avdades de mneração de mnéro de ferro - O colapso de uma barragem de mneração em Marana, Brasl, em 215: fo responsável por lançar uma quandade esmada de m 3 de rejeos da eração de mnéro de ferro, resulando na desrução oal de Beno Rodrgues e desrução parcal de algumas ouras aldeas, vmando um oal de 19 pessoas (Mara-Almeda e al., 216; Neves e al., 216; Segura e al., 216); (2) Eploração de peróleo - derrame de peróleo no Dela do Níger, Ngéra: fo relaado que desde 1958, a quandade oal que fo derramada no ambene do Dela do Níger é enre 9 mlhões e 13 mlhões de barrs (Ab e Nwosu, 29; Allson e al., 217); e (3) descarga de esgoo a céu abero - A polução do ro em Guangzhou, Chna: fo descra a polução do ro Donghaochong em espaços urbanos por ransbordameno de esgoo e desasre de nundação (Wu e al., 216; Zhou e al., 216). Todas essas nformações desacam a relevânca e muldscplnardade dos problemas envolvendo recursos hídrcos, encaando-se nesse coneo os assunos abordados nesa Dsseração de Mesrado. 1.3 Objevos Geral e específcos O objevo geral dessa Dsseração de Mesrado é propor uma nova meodologa, baseada na écnca Bayesana de flros de parículas com amosragem e reamosragem, para a avalação da dspersão de poluenes em ros. Uma vez realzada uma revsão bblográfca sobre o ema, percebeu-se a ausênca de maeras que descrevessem a dnâmca do poluene em empo real. Isso é eremamene necessáro, prncpalmene para o gerencameno de cargas de poluenes lançados de modo nsanâneo ou conínuo em ros, nos quas a presença do poluene deve ser pronamene denfcada. Para que o objevo geral descro acma possa ser alcançado, os segunes objevos específcos devem ser conemplados, a saber: 1. Descrção de écncas pernenes à análse da carga de poluenes lançados nsananeamene e connuamene em ros;

16 16 2. Modelagem da dnâmca do fenômeno com fns de monorameno off-lne e em empo real, bem como a obenção das meddas necessáras para a deermnação dos parâmeros do modelo maemáco; 3. Implemenação compuaconal de um méodo off-lne, como a écnca heurísca Smulaed Annealng, para fns de comparação e dos flros de parículas SIR e SIR com suavzador de Kernel; 4. Análse de desempenho das duas écncas menconadas acma quano aos parâmeros assocados à dnâmca da dspersão de poluenes em ros, e comparação dos resulados obdos. Um cenáro de nvesgações eórco-compuaconas é eplorado nesa Dsseração, cuja apresenação é esruurada nos segunes capíulos: Revsão Bblográfca, Fundamenos Teórcos, Meodologa, Resulados e Dscussões, Conclusão e Referêncas. 1.4 Trabalhos Prelmnares Esa pesqusa de dsseração fo desenvolvda no Laboraóro de Modelagem e Omzação de Processos (MOP), no Cenro de Cêncas Agráras e Engenharas da UFES. Os rabalhos dese laboraóro êm se dedcado a análse de processos químcos empregando dferenes meodologas para modelagem, omzação e análse de processos, o que propcou bases eórcas e compuaconas mporanes para esa dsseração. A revsão da leraura proporconada por esa pesqusa de dsseração possblou a realzação de dos rabalhos acadêmcos. O prmero focou-se no ajuse dos parâmeros de dspersão do Ro Macaé ulzando o méodo Smulaed Annealng, empregado com propóso de nvesgar novas opções de avalação da dspersão de poluenes em ros. O ouro rabalho nvesgou a análse de desempenho do flro de parículas SIR usando a auocorrelação do resíduo, ermo esse anda pouco eplorado em problemas soluconados sequencalmene. Ambos os rabalhos resularam em argos que foram submedos e apresenados no XXI Enconro Naconal de Modelagem Compuaconal realzado em Búzos (FARIA e al., 218). Todo ese aprendzado, junamene com os resulados obdos nesa Dsseração de

17 Mesrado, vablzou a submssão de um novo argo em uma mporane revsa nernaconal. 17

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19 2 MODELAGEM DO TRANSPORTE DE POLUENTES EM RIOS 19 A modelagem da dspersão de poluenes em ros é uma manera maemáca de nerprear as possíves modfcações que o poluene poderá sofrer ao enrar em conao com a água do ro. Tal análse com o modelo requer o enendmeno dos fenômenos de ranspore do ro e ransferênca de massa do poluene, os quas são nfluencados pelas caraceríscas meeorológcas, geográfcas e bológcas do ambene em que se enconram, ornando dessa forma a modelagem de ros uma arefa complea (JI, 217; BENEDINI; TSAKARIS, 213). Além dsso, a varedade de poluenes e ros esenes a serem modelados é eensa, em vrude dsso o objevo dese capíulo é apresenar a equação geral do ranspore de poluenes em ros mas ulzada na leraura consulada (JI, 217; BENEDINI; TSAKARIS, 213; SOCOLOFSKY; JIRKA, 25). 2.1 Equação Geral do Transpore de Poluenes em Ros (EGTPR) A EGTPR é uma equação de ransferênca de massa que depende de dos mecansmos: a ransferênca de massa molecular E ) e a ransferênca de ( massa convecva ( v), em que E é o coefcene de dfusão, ρ é a densdade, é a fração mássca do componene e v é a velocdade. A equação de ransferênca de massa é obda aravés da conservação do fluo oal ( n v E ) sobre um volume elemenar de água do ro ddydz (Fgura 1), fo no espaço, aravés do qual crcula o poluene (JI, 217). O aumeno de massa no neror do volume de conrole da Fgura 1 é gual à aa de enrada menos a aa de saída de massa do poluene aravés da superfíce de conrole. Consdera-se a varação de massa na dreção, como: n dydz na enrada (face ) e n ddydz na saída (face d). As aas de massa nas dreções y e z são defndas de manera análoga. Já o aumeno de massa com o empo () no neror do volume de conrole é ddydz balanço de maéra para o volume de conrole é dado pela Equação 1.. Consequenemene, o

20 2 Fgura 1 Volume de conrole ddydz. Fone: BIRD e al. (26), modfcado pelo auor. dz z z dy y y d n n ddy n n ddz n n dydz ddydz (1) Dvdndo oda a equação por ddydz e aplcando o lme quando ddydz ende a zero, obém-se a parr da defnção das dervadas parcas a Equação 2. z n y n n,z,y, (2) Subsundo o ermo n na Equação 2, obém-se a Equação 3 que relacona os efeos dfusvos e advecvos para odas as dmensões espacas. z E z y E y E z v y v v z y z y (3) A Equação 3 descreve os processos de enrada e saída de massa no neror do volume de conrole. Ouras varanes anda podem ser menconadas, a saber: a carga de fones eernas de polução (S); e geração e consumo por reações que

21 podem ser de orgem químca ou bológca (R). Dessa forma, a epressão complea é descra pela Equação v v y v E y E y z y z E z z S R (4) A Equação 4 é o modelo base para o desenvolvmeno desa Dsseração de Mesrado, assm é necessáro um esudo sobre o que cada ermo sgnfca e como assocá-los a caracerzação dos prncpas pos de poluenes. 2.2 Advecção e Dfusão em Ros A advecção e dfusão em ros são os mecansmos de ranspore de poluenes mas esudados na leraura (BENEDINI; TSAKARIS, 213; JI, 217) e esão presenes na equação aneror. O prmero ermo à drea da gualdade refere-se aos efeos advecvos ( v ), que caracerzam o ranspore do poluene devdo ao movmeno macroscópco da água do ro. Enre as varáves que o compõe, o veor de velocdade, y,z, v,v, v v é o componene mas dfícl de ser nerpreado y z em decorrênca da geomera rregular dos ros, ndcando-se para os casos mas compleos (fluo urbuleno) a ulzação de equações de conservação de momeno acopladas à equação geral do ranspore de poluenes em ros (SOCOLOFSKY; JIRKA, 25). O ouro ermo da equação refere-se ao ranspore por dfusão E ( w )). Nese ( caso, o prncpal componene esudado é o veor do coefcene de dfusão,y,z, E,E, E E devdo à mpossbldade de obenção de meddas y z dreamene no campo e varedades de fenômenos que podem nfluencá-lo. Eses fenômenos em ordem decrescene de magnude, segundo Benedn e Tsakrs (213), englobam os efeos combnados de msura urbulena, dfusão molecular e msura devdo ao csalhameno vercal e laeral. Quando combnados, de acordo com a leraura consulada (ABDERREZZAK e al., 215; ANI e al., 29; BAEK;

22 22 SEO, 216; DUARTE; BOAVENTURA, 28), redefnem a nomenclaura de coefcene de dfusão para coefcene de dspersão Transformações na Água: Reações Químcas e Bológcas Inerprear o ermo R de uma forma maemáca para ncorporar na Equação 4 depende do enendmeno das caraceríscas do poluene e a forma como nerage com a água. Traando-se de ransformações na água, o símbolo maemáco R é apenas uma abrevação represenando os mas varados pos de modfcações químcas que podem ocorrer e descrevem a varação da concenração do poluene, segudo um mecansmo que é assumdo ser uma função do empo e ser proporconal à concenração ncal (BENEDINI; TSAKIRIS, 213). Por eemplo, supondo uma cnéca smples para a ransformação de um poluene na água, a represenação para o ermo R pode ser dada pela Equação 5. dc d m R kc (5) Nesa equação, m é a ordem da reação, C é a concenração do poluene e k é a consane de decameno da reação de ordem m. Segundo J (217), as ocasões mas comuns em que pode ser aplcada a Equação 5 quano à ordem de reação e sua solução maemáca são sumarzadas de acordo com o Quadro 1. Os processos afeando o desno e o decameno de subsâncas ócas são resulados de ransformações químcas e bológcas. Além desses faores, ncluemse os processos de mneralzação e decomposção, hdrólse, foólse, bodegradação, boconcenração e volalzação. Segundo J (217), esses processos de ransformação podem ser descros por reações de cnéca de prmera ordem, e as consanes de decameno para cada um dos processos menconados acma, respecvamene, são advas e podem ser lnearmene combnadas para formar uma nova consane de decameno conforme a Equação 6. k k k k k k k (6) m h p bd bc v

23 Quadro 1 Caracerzação das reações cnécas mas comuns em ros. 23 Ordem Solução Eemplos Produção de meano e lançameno de C C k produos de hdrólse de sedmenos anaeróbcos. 1 C C ep( k) Taa de more e respração de bacéras, demanda de ogêno boquímco e reação de produção de algas, além de ser a mas ulzada para a maora dos processos k C C Reações de gases amosfércos, subsâncas ócas, meas pesados e aa de more de zooplâncon. Fone: J, 217, modfcado pelo auor. Ao fnal dessa subseção, percebe-se que a compledade de ransformação dos maeras, que podem degradar o ambene aquáco, é muo varada. Algumas sugesões podem ser dadas, porém, apenas aravés da aqusção de uma quandade sgnfcava de dados, pode-se eplorar o problema de uma forma adequada. E, sso é eplcado pelo fao de que as condções em um ambene real podem mudar a qualquer momeno, gerando uma grande ncereza assocada ao problema. Resumndo, enende-se que não é possível afrmar que um processo descro na leraura como de prmera ordem, será dessa forma para odas as condções e em odos os ambenes (BENEDINI; TSAKARIS, 213; JI, 217) Conrbuções Eernas: Fones Ponuas e dfusas As conrbuções eernas são possíves fones de polução adconadas no ro (volume de conrole) que conrbuem para o aumeno da massa do poluene. Quando se orgnam de locas em que a ncdênca e perodcdade de lançameno do poluene no ro são conhecdas, como aconece no desno fnal de planas de raameno de esgoo e resíduos ndusras, nomeam-se fones ponuas de forma dferene das fones de polução resulanes de derramamenos, vazamenos de avdades ndusras e eploração de recursos mneras, que são as fones dfusas. O Quadro 2, adapado de J (217), sumarza as prncpas dferenças enre elas

24 24 quano às segunes caraceríscas mporanes para modelagem: varação do empo, magnude do fluo, mpaco e prevsbldade, e ndcam que as fones dfusas são as mas dfíces de serem denfcadas e modeladas devdo ao desconhecmeno do que possa esar nfluencando o processo (JI, 217; BENEDINI; TSAKIRIS, 213). Quadro 2 Dferenças enre as conrbuções eernas, mporanes para modelagem. Caraceríscas Fones ponuas Fones dfusas Varação no empo Relavamene Alamene varável esaconáro Magnude do fluo Impaco Varação menor do que uma ordem de magnude Mas severos durane fluo bao Varação a algumas ordens de magnude Mas severos durane ou após evenos de empesade Prevsbldade Basane prevsível Menos prevsível Fone: J, 217, modfcado pelo auor. Fnalzando, fones dfusas e ponuas podem ser modeladas ulzando a Equação 4, no enano, os efeos predomnanes em ambas são, respecvamene, dfusão e advecção (SOCOLOFSKY; JIRKA, 25). 2.3 Comenáros Fnas Ao fnal dese capíulo, percebeu-se que apesar de relavamene smples a EGTPR possa parecer, deve-se nerprear a nfluênca das condções de escoameno e os processos de ransformação nas dferenes varáves que a compõe. No prómo capíulo, denomnado como écncas para análse da dspersão de poluenes em ros, é fea uma revsão da leraura sobre sua ulzação em problemas nversos, fludodnâmca compuaconal e assmlação de dados.

25 3 TÉCNICAS PARA ANÁLISE DA DISPERSÃO DE POLUENTES EM RIOS 25 As TADPR em ros conceuam-se como maneras de analsar a dspersão de poluenes em ros com supore da EGTPR. Iso sgnfca dzer que essas écncas podem nclur abordagens como Problemas Inversos, Fludodnâmca Compuaconal e Assmlação de Dados, e depender dreamene da sua ulzação. Por meo de uma revsão da leraura, podem-se perceber as númeras aplcações possíves com essas écncas. Nese capíulo, cada uma é analsada em uma seção respecva, objevando-se demosrar a écnca, aplcações e modelagem. De qualquer modo, o objevo prncpal da revsão de leraura é coneualzar a aplcação conjuna de problemas nversos e assmlação de dados. 3.1 Problemas Inversos Os problemas nversos são écncas de esmação de parâmeros e esados desenvolvdos para análse de problemas cuja caracerzação por nsrumenos de meddas pode ser nvável ou cusoso. As prmeras aplcações referem-se aos problemas de ransferênca de calor para ldar com a esmação de fluos de calor nas froneras do ssema, usando meddas de emperaura omadas em ouro pono do domíno. Dessa forma, raa-se de uma écnca que perme predzer, a parr de um efeo, a causa por rás de um problema ( 1993; ORLANDE e al., 212; TARANTOLA, 1987). Tendo como referênca a EGTPR, enconram-se aplcações semelhanes na análse da dspersão de poluenes em ros, que ncluem a calbração (ou ajuse) de parâmeros e esmação de esados. Para a calbração de parâmeros da EGTPR, os problemas de esmação se baseam no hsórco de meddas de concenração do poluene em dferenes locas de monorameno ou em dados obdos em epermenos com perurbação em pulso (BENEDINI; TSAKARIS, 213; JI, 217). Nese coneo, é muo comum o gerencameno sazonal de fones de polução múlpla em segmenos de ros (hsórco de meddas). Os rabalhos de Chen e al. (212), Lu e al. (28) e Zhao e al. (214) ulzaram apromação bayesana, méodo de Mone Carlo va cadeas de Markov, como écnca para solução nversa do problema e obveram esmavas das cargas de fones eernas de polução (S)

26 26 e consane de decameno (k) para odos os segmenos do ro. A modelagem fo realzada para o domíno absrao represenado pela Fgura 2, em que se realzaram as segunes smplfcações na EGTPR: regme de fluo esaconáro do ro (velocdade méda na dreção de escoameno gual a U), fones de polução ponuas e reagene smples com dnâmca de prmera ordem, resulando na Equação 7. dc U kc S (7) d Fgura 2 Dagrama conceual dos ponos de monorameno. Fone: LIU e al. (28), modfcado pelo auor O ouro problema de calbração da EGTPR depende de dados obdos em campo aravés de eses com raçador. A Fgura 3 lusra as modfcações do perfl de concenração do poluene enre o pono de njeção e deecção. Esa meodologa é ulzada para valdar aplcações de dferenes modelos de ranspore de poluenes em ros (ANI e al., 29; BAEK; SEO, 216; ABDERREZAK e al., 215), apromações de problemas nversos usando méodos deermníscos e meaheuríscas (RODRIGUES e al., 213; LUGON e al., 28) e amosragem de Mone Carlo Sequencal (LUGAO e al., 215). Enre os dversos rechos de ros eamnados por meo desa écnca, vale ressalar os eses realzados no Ro Macaé, localzado na cdade do Ro de Janero, alvo de publcações de Rodrgues e al. (213), Lugon e al. (28), Telles e al. (213) e Paroln e al. (214), por subsdar avdades que vão desde a agrculura aé a eração de peróleo, alamene alarmanes para a qualdade dos recursos hídrcos.

27 27 Apesar de odas as aplcações desa meodologa, segundo Webrech e Jrka (25), as medções de campo podem ser dspendosas, muas vezes dfíces de eecuar e geralmene lmadas a deermnadas condções ambenas. Por esses movos, na próma seção são abordadas as écncas baseadas em assmlação de dados, as quas permem abordar sequencalmene o problema, sem necessdade do planejameno de um ensao com raçador conservavo. Fgura 3 Dagrama conceual do epermeno com njeção em pulso. Fone: auor. 3.2 Assmlação de dados Segundo Huon e al. (21), a assmlação de dados é um nome dado a uma classe de méodos que busca combnar a ncereza do modelo às ncerezas dos dados para fornecer a melhor esmava do esado do ssema em um deermnado nsane do empo no qual as observações esão dsponíves. Iso se raa de uma análse em empo real, em que dados referenes a um ssema são analsados e aualzados à aa na qual são recebdos. Podem ser enconradas aplcações em monorameno, melhorando a acuráca das predções dos esados do ssema (X) e das saídas (Y) baseando-se nos dados recebdos (real-me modellng). De uma perspecva eórca, a Fgura 4 lusra os dferenes componenes da modelagem em empo real e possíves fones de ncerezas para a assmlação de dados, em que: B é o conorno de ssema; U u,, e Y y,, 1 u n 1 y n represenam as enradas e saídas do modelo, com dmensão n; represena as condções ncas do modelo;, dmensão m; X,, 1 n são os parâmeros do modelo, com 1, m represenam os esados do modelo, os quas dependem da dnâmca do ssema, e junamene com Y, evoluem no empo quando as

28 28 equações represenando a modelagem do ssema (f) são condconadas aos parâmeros do modelo e às enradas. Fgura 4 Dagrama esquemáco dos componenes do ssema. Fone: HUTTON e al. (21), modfcado pelo auor. Para análse da dspersão de poluenes em ros, nas suações em que se deseja esmar os parâmeros, esados ou o própro valor da grandeza em empo real, a assmlação de dados sequencas baseada em méodos Bayesanos é uma alernava para denfcar as ncerezas nos parâmeros dos modelos, esruura, enradas e dados de calbração (MANSOURI e al., 213). As écncas de flragem de dados mas ulzadas para esse fm são conhecdas como flro de Kalman (Kalman Flerng - KF) e amosragem de Mone Carlo sequencal (Parcle Flerng - PF) (HUTTON e al., 21; BENEDINI; TSAKIRIS, 213; JI, 217; HUTTON e al., 211). Nesa conjunura, Lesenrng e Moradkhan (212) analsaram as ncerezas da predção de fones de polução sedmenar em um recho da baca do lago Tahoe, localzado na Calfórna, Esados Undos da Amérca (EUA), aravés de assmlação de dados sequencal com o flro de parículas amosragem e reamosragem por mporânca sequencal (Sequenal Imporance Resamplng - SIR). Oparam pela ulzação desa meodologa devdo à possbldade de avalar a fone de polução em empo real ao nvés de apenas evenos parculares. Ao fnal do rabalho, concluíram raar-se de uma écnca de modelagem efcene, permndo conrolar e enender os mpacos do poluene na regão esudada. Além dsso, ambém menconaram que os

29 29 méodos compuaconas desenvolvdos e aplcados na sua pesqusa poderam servr como base para esudos smlares. Samuel e al. (214) analsaram a umdade do solo e varações de fluo na baca hdrográfca Spencer Creek, localzada no sudoese de Onaro, Canadá, aravés de assmlação de dados sequencal usando o Ensemble Kalman Fler (EnKF) para esmação conjuna de parâmeros e esados. Esa análse fo fea devdo à mpossbldade de se ober meddas da umdade do solo dreamene, combnando assm a esmação do parâmero (fluo) e do esado do ssema (umdade do solo). Fo concluído que, apesar de esmavas em empo real da umdade do solo ser dfíces de ober quando o desconhecmeno sobre o seu valor é grande, resulados sasfaóros anda podem ser alcançados. Dechan e Moradkhan (212) eamnaram a efevdade e robusez de méodos de assmlação sequencal de dados, flro de parículas (SIR) e o flro de Kalman (EnKF), para quanfcação da ncereza de predção de fones de polução sedmenar na baca hdrográfca do Ro Leaf, localzado no sudese de Mssssp, EUA. Jusfcaram essa escolha devdo à ausênca de rabalhos que comparassem as meodologas e aponassem qual o melhor momeno de ulzá-las. Ao fnal do rabalho concluíram que, se a quanfcação da ncereza da predção for mporane, o flro de parículas SIR é uma escolha melhor. Salamon e Feyen (29) analsaram ncerezas na modelagem hdrológca dsrbuída usando modelos de erro mulplcavos e assmlação sequencal de dados, aravés do flro de parículas SIR combnado com a écnca de suavzação de Kernel (Kernel smoohng). Jusfcaram a escolha dessa meodologa devdo ao flro de parículas SIR er mosrado ser compuaconalmene efcene, e o méodo Kernel smoohng reduzr a dspersão dos parâmeros. Aplcaram a um modelo dsrbuído de grande escala e alcançaram resulados sasfaóros represenando a dnâmca do ranspore de poluenes na baca hdrográfca do ro Rhne, localzado prómo à cdade de Bauk, Alemanha. Ouro problema mporane, e pouco referencado na leraura, é a assmlação de dados para predção de fones de polução dfusas (lançamenos nsanâneos), modeladas como um epermeno por meo de uma perurbação em pulso. Normalmene, as pesqusas realzadas apenas avalam um eveno parcular para a calbração de parâmeros, mas não eploram sua ulzação para monorameno em empo real (ANI e al., 29; ABDERREZZAK e al., 215; ZHAO e al., 214; CHEN

30 3 e al., 212). Dessa forma, não se consegue superar a prncpal desvanagem da modelagem de fones dfusas, a mprevsbldade de ocorrênca e a mpossbldade de se ober meddas do coefcene de dspersão longudnal dreamene no ro, além da compuação do empo moro enre a fone poludora e o pono de colea (JI, 217). A manera de superar esas desvanagens e aplcar o monorameno em empo real concenra-se na ulzação da écnca de assmlação de dados conjunamene com análse de problemas nversos, combnando a calbração dos parâmeros com a modelagem em empo real. Nese coneo, eses para jusfcar a ulzação dessa abordagem podem ser realzados na modelagem de epermenos com raçador em pulso comparando-se às écncas de esmação off-lne mas ulzadas na leraura, como, por eemplo, o méodo heurísco Smulaed Annealng, ulzado com frequênca na denfcação de fones poludoras que afeam a qualdade de águas suberrâneas (groundwaer resouces) (NEWMAN e al., 25; YEH e al., 27; JHA; DATTA, 213; DATTA e al., 214). Depos de feo sso, e conforme as poencaldades de cada méodo, pode-se empregar a assmlação de dados como um snalzador para omada de decsões, alarme, conrole e nferênca vrual (HUTTON e al., 21; SOCOLOFSKY; JIRKA, 25). 3.3 Fludodnâmca Compuaconal A Mecânca dos Fludos é uma dscplna mporane em dversas áreas do conhecmeno relaconadas ao movmeno de fludos. No que dz respeo à avalação da dspersão de poluenes em ros, ornou-se mporane nos úlmos anos, como consequênca da necessdade de esudar cenfcamene o fluo de fludos que afeam a qualdade ambenal da água. O prncpal parâmero do fludo lançado a ser avalado é a forma como ele se dspersará, a qual é nfluencada prncpalmene pela urbulênca, que favorece a sua rápda dspersão e dlução (BLOCKEN; GUALTIERI, 212). Apesar de uma écnca muo úl, pos perme avalar a forma como o movmeno dos fludos nfluenca na dspersão dos poluenes, a geomera pode nfluencar de manera drásca os resulados por se raar da análse de um ssema físco real. Em função dsso, alguns auores êm ulzado pacoes compuaconas de smulação

31 31 rdmensonal, pelo fao de que permem smular qualquer geomera, ndependenemene das suas condções de conorno, além de apresenarem écncas de solução numércas efcenes para as equações que descrevem o movmeno dos fludos (ARDEJANI e al., 211; KALDI e al., 215; SCHATZMANN e LEITL, 211). A maora das pesqusas na área ambenal, baseadas em fludodnâmca compuaconal, esá relaconada (1) à predção de parâmeros da qualdade da água, como o coefcene de dspersão, e (2) ao processo de decsão, vso que os dados predos podem fornecer nformações úes, uma vez que podem ser smulados dversos Cenáros dferenes (BLOCKEN; GUALTIERI, 212). Em relação à predção, para esmar um deermnado parâmero, faz-se necessáro conhecer a dnâmca do processo real. Isso é possível aravés da aqusção de dados epermenas. A solução drea por um pacoe compuaconal ambém deve ser realzada, pos, como suas equações se baseam em fenômenos (modelagem fenomenológca), esem parâmeros nerenes do modelo a serem deermnados pela comparação com os dados epermenas. O modelo ajusado perme fazer prevsões para odos os ponos do domíno (BLOCKEN; GUALTIERI, 212). Os rabalhos de Ardejan e al. (211) e Hamza e al. (215) ulzam al abordagem. A decsão é ambém ouro ópco a se desacar, o qual, apesar de ser nerpreado como uma consequênca da predção, pode ser analsado separadamene. Isso é eplcado pelo fao de que se podem smular dversos Cenáros hpoécos mporanes, que aulam no gerencameno dos recursos hídrcos, sem a necessdade de se realzar epermenos reas, como vso nos rabalhos de Kald e al. (215) e Pnhero e al. (213). Apesar de odas as vanagens da Mecânca dos fludos ambenal, a precsão e a confabldade dos sofwares são preocupanes e os esudos de verfcação e valdação são mperavos. Como resulado, epermenos de ala qualdade para fornecer dados para esudos de valdação ambém são ndspensáves (BLOCKEN; GUALTIERI, 212).

32 Comenáros fnas A análse da dspersão de poluenes em ros pode ser realzada de dferenes maneras, desacando-se a assmlação de dados como uma écnca mporane para o monorameno em empo real. A assmlação de dados sequencal baseada em méodos Bayesanos, apesar de ser um campo de pesqusa promssor em modelagem hdrológca, sua ulzação combnada com problemas nversos anda é pouco eplorada. Por ese movo, o prómo capíulo fundamena as écncas de assmlação de dados mas conhecdas na leraura, as quas são aplcadas poserormene em um problema nverso de dspersão de poluenes em ros.

33 4 ESTIMAÇÃO VIA APROXIMAÇÃO BAYESIANA 33 O foco dese capíulo concenra-se na eora do méodo Bayesano para assmlação de dados para ssemas dnâmcos não lneares, conhecdo na leraura como amosragem de Mone Carlo Sequencal (Parcle Flerng). Ulzam-se como referêncas os rabalhos de Arulampalam e al. (22), Douce e al. (21), Gusafsson (21) e Lu e Wes (21), os quas apresenam uma fundamenação eórca dealhada sobre o méodo. O objevo dese capíulo é servr como uma fundamenação eórca para aplcação da écnca menconada acma em um problema de dspersão de poluenes com fone dfusa e ponual, nos quas os dados referenes ao ssema são analsados e aualzados à mesma frequênca em que são recebdos. 4.1 Amosragem de Mone Carlo Sequencal (Parcle Flerng - PF) O PF é uma écnca de assmlação de dados sequencal baseada em méodos Bayesanos usada para aualzar os esados de um modelo dnâmco X fu,,,b quando novas observações ornam-se dsponíves (Y). Iso sgnfca dzer que a dnâmca dos esados e das observações deve ser mapeada para aplcação em empo real. As Equações 8 e 9 são ulzadas para esse fm e represenam um espaço de esados genérco de um modelo esocásco (GUSTAFSSON, 21; HUTTON e al., 21).,,u ~ N, R f 1 (8) * ~ N, R y h (9) Nesas equações, e 1 represenam veores dos esados do ssema nos empos e 1; * denoa o esado verdadero do modelo; f represena a esruura do modelo propagando o ssema de 1 a em resposa ao veor de enrada u, e é

34 34 um veor de parâmeros do modelo, nvarane no empo. A observação y esá relaconada aos esados do modelo aravés de um operador de mapeameno h ; represena o erro do modelo e represena o erro de medda, ambos segundo uma dsrbução normal com méda zero e varânca guas a, respecvamene, R e R. Após defndas as formulações para o mapeameno dos esados e observações, a prncpal vanagem do PF resde na modelagem de odos os componenes como varáves aleaóras, de forma que as ncerezas nos parâmeros dos modelos, esruura, enradas e dados de calbração são levados em cona. Como consequênca dsso, o cômpuo do esado aual, condconado a observação uma função de dsrbução de probabldade (PDF) a poseror y y, é, e a sua evolução com o empo é descra de acordo com o eorema de Bayes (Equação 1), com as segunes hpóeses: problema de flragem (esmação em empo real); e modelo de Markov de prmera ordem, so é, depende apenas da nformação medaamene aneror para apromação da PDF a poseror (DOUCET e al., 21; ARULAMPALAM e al., 22). y y 1 y (1) Nesa equação, a dsrbução de probabldade a pror é modelada com a 1 nformação dsponível sobre o que se deseja avalar. O grau de confança (ou mporânca) das hpóeses é fornecdo pela função de verossmlhança y que corrge e ncorpora mas nformações à dsrbução a pror. E, a função y é a dsrbução margnal das meddas, que aua como uma consane de normalzação. Após defndo o problema de esmação (modelagem de esados em empo real), vso que o modelo é esocásco e aualzado no empo conforme o eorema de Bayes, anda é necessáro enconrar uma alernava para amosragem da PDF a poseror de manera sequencal. A dea chave é represenar a PDF a poseror por um conjuno de amosras randômcas, w y as parículas (N) com peso w,, onde, 1,,N são 1,,N. Quando o número de parículas orna-se grande, uma represenação equvalene para a PDF a poseror é defnda de acordo

35 35 com a Equação 11. Nesa equação, é a função dela de Drac; e os pesos são N normalzados para que w 1 (ARULAMPALAM e al., 22). 1 N y w (11) 1 Enreano, em vrude da dfculdade de amosrar-se dreamene da PDF a poseror, as amosras são eraídas de uma densdade de mporânca conhecda q y e os pesos são defndos conforme a Equação 12. w y (12) q y Usando essa relação pode ser mosrado que a aualzação recursva dos pesos em um caso sequencal pode ser reescra conforme a Equação 13, baseada na eora do eorema de Bayes (DOUCET e al., 21). w y 1 w 1 (13) q 1,y Esa equação anda pode ser smplfcada, e de acordo com Gusafsson (21), a escolha mas smples para ela é ulzar a PDF a pror como apromação para 1 q, y, resulando na Equação 14. w 1 w y (14) Assumndo que os erros de medda são varáves aleaóras que seguem uma dsrbução Gaussana, com méda zero e marz de covarânca conhecda L, a função de verossmlhança pode ser epressa pela Equação 15 (KAIPIO; * SOMERSALO, 24). Nesa função, h ŷ é o veor conendo a solução do problema dreo e ND é o número de dados meddos dsponíves.

36 36 ND / 2 1/ 2 1 T 1 y 2 L ep y ŷ L y ŷ (15) 2 Dessa forma, o PF ocorre recursvamene aravés da aplcação da Equação 8, e aualzando os pesos das parículas usando as Equações 9, 14 e 15. Ese procedmeno é orgnal para esmavas de esados, sendo proposo ncalmene por Hammersley e Hanscomb (1964), conhecdo como flro amosragem por mporânca sequencal (Sequenal Imporance Samplng - SIS). O pseudocódgo para o PF é lusrado de acordo com a Fgura 5, a qual esboça de uma manera sequencal as eapas de aualzação empregando as equações menconadas acma. Fgura 5 Pseudocódgo do PF, orgnal para esmavas de esados. Fone: DA SILVA (212), modfcado pelo auor. Apesar do PF ser um méodo para esmavas de esados em empo real, Gordon e al. (1993) consaaram um problema na eapa de apromação da PDF a poseror. Após poucos passos de aualzação, mesmo em ssemas de baa dmensão, apenas poucas parículas recebem pesos sgnfcavos, enquano o resane recebe pesos prómos a zero. Iso sgnfca que a nformação esaísca para esmação é

37 37 baa e que grande esforço compuaconal é dedcado para aualzar parículas que conrbuem pouco para a esmava da PDF a poseror. Ese problema é denomnado como degeneração das parículas, sendo ndcado para reduzr o seu efeo a aplcação de uma eapa adconal no PF orgnal, conhecda como reamosragem (GORDON e al., 1993). O Quadro 3, adapado de Rpley (1988), sumarza o procedmeno aravés de um algormo, cujo objevo consse em duplcar parículas endo alo peso normalzado e descarar parículas com bao peso, enquano o número oal de parículas permanece nalerado. Quadro 3 Méodo de Rpley (1988) para reamosragem 1. Reamosragem 1) Cálculo da soma dos pesos cumulavos (CSW): c c w para 1,, N e c 1 2) Tome 1 e gere 1 3) Para j 1,,N, faça Calcule N 1 j 1 j Enquano j c faça 1 Desgne as parículas Desgne os pesos para 1 1 de uma dsrbução unforme U,N j j 1 w N Ese procedmeno adconal, no pseudocódgo do flro de parículas SIS, é esquemazado de acordo com a Fgura 6 (flro de parículas SIR), cuja eapa de reamosragem depende de um parâmero conhecdo como amanho efevo da amosra Nˆ eff. Ese parâmero fo nroduzdo por Kong e al. (2), e é uma medda da degeneração das parículas, cujo valor deve ser nferor a Nˆ eff 2N/ 3 para avar a reamosragem (GUSTAFSSON, 21). Adconalmene, o seu cálculo é eecuado conforme a Equação 16. Nˆ eff N w (16)

38 38 Fgura 6 Pseudocódgo do flro de Parículas SIR. Fone: DA SILVA (212), modfcado pelo auor. Depos de fundamenado o funconameno do flro de parículas SIR, uma possível dfculdade com a reamosragem é o empobrecmeno da amosra. Iso é, algumas parículas serão dêncas após a eapa de reamosragem e a dversdade enre elas pode ser perdda quando o erro do ssema é pequeno. Esa desvanagem pode ser amenzada ao perurbar as parículas, parâmeros do modelo e varáves de esado após o passo de aualzação. As soluções ndcadas para esse propóso são: (1) a ulzação de mporânca aular (flro de parículas aular ou amosragem e reamosragem por mporânca aular, conhecdo como Aulary Samplng Imporance Resamplng - ASIR); e (2) a esmação conjuna de parâmeros e esados, ulzando Kernel smoohng (SALAMON; FEYEN, 29; GORDON e al., 1993).

39 4.2 Esmação conjuna de parâmeros e esados 39 A esmação de esados em empo real conforme alguns rabalhos consulados na leraura sobre modelagem hdrológca assumem que um parâmero ómo já é conhecdo. Iso pode ser uma desvanagem, mesmo em ssemas em que a dnâmca dos parâmeros seja nferor a do esado, por não levar-se em consderação a ncereza paramérca (HUTTON e al., 21; SALAMON; FEYEN, 29). Segundo Huon e al. (21), esa meodologa pode ser classfcada em apromações que aplcam assmlação de dados sobre uma sére de empo usada para calbração (parâmeros esácos), e apromações que consderem parâmeros varanes no empo ulzando a écnca Kernel smoohng. O foco, nesa seção, concenra-se na esmação conjuna de parâmeros e esados empregando a amosragem de Mone Carlo sequencal (PF) e Kernel smoohng, conrbundo para uma melhor esmava do flro de parículas SIR (LIU; WEST, 21). A écnca é bem smlar à esmação de esados com parâmeros fos, ocorrendo ambém recursvamene aravés da aplcação da Equação 8 para aualzação dos esados, e aualzando os pesos das parículas usando as Equações 9, 14 e 15. Enreano, a amosragem da PDF a poseror, y conjuno de amosras combnadas,, w, onde, 1,,N é represenada por um são as parículas represenando a evolução arfcal dos parâmeros (LIU; WEST, 21). A dfculdade de nerpreação dessa écnca esá na apromação da PDF a poseror e amosragem dos parâmeros y 1. A Fgura 7 lusra o procedmeno adconal no flro de parículas SIR, que, após cada aualzação sucessva, os parâmeros reamosrados são perurbados adconando um ruído randômco, ndependene, com méda zero e varânca gual a W. Infelzmene, em vrude dese ruído ser adconado na PDF a poseror dos parâmeros y que em méda e varânca V acaba resulando em uma perda de nformação da amosra, que arfcalmene êm a varânca a poseror aumenada em W V. Esa perda de nformação pode ser amenzada usando a função densdade de Kernel relava à PDF a poseror, que preserva a méda do parâmero orgnal e