Henrique M. J. Barbosa Instituto de Física USP

Transcrição

1 Henrque M. J. Barbosa Insuo de Físca USP

2 Conservação A equação de conservação de massa é semelhane a conservação de momeno: S F D v q q q S F q D q q v g v v v v P

3 Equações Dferencas Classfcação quano ao número de varáves Ordnáras = só em uma varável ndependene dg( ) F( ) d Parcas = em mas de uma varável ndependene G(, ) ug(, ) 0

4 Equações Dferencas Classfcação quano ao grau e ordem Ordem = nível da dervada mas ala Grau = poênca da dervada mas ala G ug G D ª ordem e º grau

5 Equações Dferencas Classfcação quando a homogenedade Homogêneas = não aparecem as varáves ndependenes eplcamene G G D ão homogêneas = varáves ndependenes eplícas G 3

6 Equações Dferencas Classfcação quando a lneardade Lneares = a varável dependene e suas dervadas só aparecem em ermos de º grau e não há produo enre elas G ug 0 ão lneares = esem ermos de º ou maor grau e/ou produos enre varáves dependenes e suas dervadas u u u 0

7 Para a amosfera Eq. da conservação e ermodnâmca Parcal º ordem º grau Homogênea Lnear Eq de momeno (aver-sokes) v vv v P g Parcal º ordem º grau Homogênea ÃO-Lnear

8 Solução de uma Eq. Df. Para resolver uma equação dferencal é precso de condções de conorno. As CC podem ser de város pos e depende de qual problema esamos resolvendo Eemplo: Podemos resolver d/d=f() se soubermos 0 =(=0) Ese po de CC é uma condção ncal (C.I.) de um problema de valor ncal.

9 Solução de uma Eq. Df. Quando precsamos da CC nas duas eremdades do domíno, emos um problema de valor de conorno. Eemplo: Para resolver u u u 0 Precsamos de u(,=0) e ambém u(0,) e u(l,) Problema de C.I. em e problema de CC em Eemplo: o nudgng do BRAMS nas froneras do domíno

10 Dfculdades a frene... Como resolver uma equação complcada? v D F S De uma vez só, ou seja, enconrar (,y,z,)? Quando emos város processos físcos aconecendo ao mesmo empo? Dadas as lmações auas dos compuadores?

11 Separação de Operadores O que se faz é resolver separadamene cada um dos processos. Por eemplo, um modelo numérco calcula separadamene: dnâmca, radação, convecção, ec... T T+Δ T+Δ

12 Separação de Operadores Eemplo, a equação de advecção-dfusão v D F S Operaor-spl nos ermos de advecção-dfusão v D Operaor-spl nos ermos forçanes e, n R n F S

13 Separação de Operadores ( v ) D e, n R n F S Resolver esas equações seqüencalmene é uma apromação da solução complea! Ese méodo em parcular é chamado de méodo dos nervalos fraconáros. Alguns modelos rocam a ordem em,y,z enre dos me-seps para consegur uma solução mas ndependene da separação dos operadores.

14 Separação de Operadores Em alguns modelos, como o CPTEC-AGCM, a equação é separada anda mas: ( v) D Transpore Dfusão Molecular e, n R n F S Físca sub-grade

15 Como resolver as eq. da amos.? São les de conservação da físca. São equações dferencas e represenam uma conservação local! São conínuas e váldas em odos os ponos do espaço físco (,y,z,) O que aconece quando dscrezamos as equações?

16 Lmações Quando dscrezamos no empo e no espaço emos que usar nervalos fnos e por sso a solução numérca não represena odos os movmenos da amosfera. Escala Δ Δ Meso escala 5 5 km 5 s Regonal km mn Global km 30 mn

17 Samplng Theorem Seja h() uma função conínua no empo. Se medmos h() a cada Δ segundos, ese uma freqüênca críca f c, freqde yqus Máma que pode ser observada com essa amosragem. Mnmamene amosrado com o dobro da freqüênca do fenômeno

18 ... Ou eorema de yqus Seja h() uma função conínua no empo. Se medmos h() a cada Δ segundos, ese uma freqüênca críca f c, freqde yqus Máma que pode ser observada com essa amosragem. Caso de subamosragem (freq menor)

19 Teorema Seja h() e sua ransformada de Fourer H(f), se H(f)=0 qualquer que seja f >fc, enão h() é compleamene deermnada se for amosrada em nervalos Δ<=/fc. Eemplo: f c 30mn 0.0Hz T hora f c 00km 0.005km 00km

20 Amosfera Esem odas as freqüêncas e odas podem ser mporanes devdo as nerações não lneares E.: vórces urbulenos e convecção aconecem em escalas muo menores e mas rápdas que 00km ou hora Em modelos clmácos é bom flrar as alas freqüênca para elmnar o ruído (queremos o comporameno médo) Resulados de Raupp & Slva Das mosram que é mporane a neração enre escalas (durna->madden Julan). E.: Super-paramerzação => MJ, El no,...

21 Turbulênca A equação de aver-sokes é não lnear v vv v P Isso produz caos na solução U(,) e mplca em escoameno urbuleno. Apenas em condções especas o fluo é lamnar. U(,) fluua aleaoramene em escalas menores que mm e mas rápdas que 0Hz! Impossível de resolver nos modelos (aé mesmo em um L.E.S.) g

22 Anemômero sônco

23 A méda de Reynolds A concenração eaa em (, y, z, ) Onde a méda no volume do grd-bo e no me-sep é V V ( r, ddvol Vol ) V

24 A méda de Reynolds depende do grd-bo e do passo de empo e é o valor prevso/calculado pelo modelo! Por defnção fluua em orno de 0 e =0 Podemos fazer a mesma decomposção para a velocdade: V V V E enão subsuímos ambas nas equações orgnas ' ( ')( v v') D ( ' )

25 Epandndo a equação Epandndo e omando a méda ( e ), para o º ermo: Fazendo o mesmo para os demas ermos, emos: S F D ') ' ( ) ( v v ' ' ' Advecção pelo veno médo Fluo urbuleno cnemáco. É o efeo sub-grade!!

26 Epansão urbulena A dfusão urbulena é muo maor que a molecular, enão sobra apenas: ( v ) ( v' ' ) Para a equação da connudade concenração específca q vq a vq F S Para a equação da connudade em densdade v v 0 a a F S Precsamos paramerzar!!

27 Paramerzação O modelo resolve e conhece apenas os valores médos em cada grd-bo, v e q, como enão podemos esmar o fluo urbuleno <v q >?? Fazendo uma analoga com a le de Fck Fψ D Assume-se que o fluo urbuleno é proporconal ao gradene (eora K ou eora do ranspore dos gradenes) u' q' q

28 Teora K O fluo urbuleno de um parâmero é relaconado ao gradene do valor médo do parâmero. Assm, os ermos do fluo cnemáco urbuleno fcam: u K h, em Onde K h é um coefcene de dfusão urbulena (Para energa e momeno: cm s - ). Assm, q v K F S v q q F S a h, ak h

29 Marz de dfusão Kh é a marz de dfusão e K, Ky e Kz são os coefcenes de dfusão urbulena. K h K h, K h,yy K h,zz Os ermos cruzados dão uma covarânca enre o ranspore urbuleno em dreções dferenes e em geral são assumdos nulos. A dagonal dá o ranspore do gradene devdo a msura urbulena

30 O que fala? OK separamos as varáves ndependenes, fzemos a méda sobre os grd-boes,...mas anda emos uma EDP conínua. Para resolvê-la numercamene, emos que dscrezar!

31 Dferenças Fnas Trocamos os valores conínuos por dscreos nas equações u??

32 Dferenças Fnas Defnmos as dferenças Δu no pono u u u u u u u u u dferença cenrada dferença avançada dferença arasada Esamos apromando a dervada pela angene: u u u u

33 Dferenças Fnas Cenrada (AC) Avançada (BC) Arasada (AB)

34 Epandndo em Taylor em orno do pono, calculamos o valor em + Epansão em sére de Taylor Ou em orno de Iguas de snas oposos

35 Assm, emos que Epansão em sére de Taylor Que pode ser rearranjado para Desprezando ermos de a ordem e superores É apromação de a ordem para a segunda dervada O O

36 Agora vamos subrar as duas equações. Os ermos pares cancelam... Epansão em sére de Taylor Rearranjando, emos Onde runcamos da mesma manera É uma apromação de segunda ordem para a prmera dervada O O

37 Dferenças fnas ª dervada em Apromação de ª ordem arasada em Apromação de ª ordem avançada em

38 Dferenças fnas Dervada no empo () O h h h O() h h O() h h

39 Créros Uma solução numérca para uma equação dferencal reproduz a solução analíca apenas se város créros forem sasfeos Convergênca Conssênca Ordem da apromação Convergênca geral Esabldade numérca

40 () Convergênca A epressão em dferenças fnas deve convergr para a forma dferencal no sendo do eorema cenral do lme: lm 0

41 () Conssênca Ao fazer a epansão em sére de Taylor, jogamos fora ermos de ala ordem... Para a apromação em dferenças fnas ser válda, o erro no runcameno deve r para zero: lm T.E. 0 0 Maemacamene, se () enão () e vce-versa

42 (3) Convergênca geral Além de que as epressões em dferenças fnas convergem para as dferencas, precsamos que a solução numérca convrja para a solução analíca lm e,, f,,, 0 0

43 (4) Ordem da apromação A ordem da apromação é a menor poênca em Δ ou Δ deada de for a na epansão de Taylor. É precso que a apromação seja da mesma ordem em odas as varáves para haver esabldade e convergênca.

44 Esabldade As dferenças enre a solução numérca e analíca não deve crescer com o empo lm e,, f,, C Condconalmene esável Esável para Δ < Δ Tma Incondconalmene esável: É sempre esável qualquer que seja o Δ Incondconalmene nsável: Insável qualquer que seja o Δ Convergênca e esabldade de pare da solução (splng) não garane convergênca geral!

45 Eemplo Equação de advecção dfusão apenas em (u) Uma possível represenação em dferenças fnas, fazendo eplíco no empo, sera u u k+ k - + A manera como dscrezamos deermna a esabldade. k-

46 Problemas numércos Dfusão numérca Um pco se espalha arfcalmene pelos grdboes Osclação numérca Podem surgr ondas dspersas arás ou na frene de um pco ão-monoônco Os gradenes não são preservados durane o ranspore

47 Dscrezação Queremos negrar a equação numercamene,.e., enconrar (+Δ) em função de () (u) Há rês maneras dferenes de fazer a dscrezação no empo que levam a soluções conceualmene dferenes: Eplíca calcula-se + em função apenas dos valores pré calculados:, -,... Implíca calcula-se + em função apenas dos valores desconhecdos em + Sem-mplíco calcula-se + com base ano em +, quano, -,...

48 Esquema eplíco o lado dreo da equação aparecem apenas ermos no empo () E a solução para + é rval: Com apenas um laço =,ma resolvemos o problema! K u u K u u K u ) (

49 ( u) K Esquema eplíco u u K Essa solução é de ª ordem avançada no empo e de ª ordem cenrada no espaço. O problema é que esa solução é Condconalmene esável apenas para K pequeno Incondconalmene nsável para K=0 ou K grande

50 Esquema mplíco o lado dreo da equação aparecem apenas ermos no empo (+) E a solução para + é não-rval e acopla, - e +. Agrupando os ermos, emos K u ) ( K u u K u

51 Esquema mplíco Fazendo o mesmo para os ouros ermos, emos Que é um ssema de equações dferencas acopladas. Que podem ser resolvdas na forma marcal... u K K u K C B A A B C

52 Solução Marcal Onde já ncluímos a condção de conorno devdo ao fluo de superfíce (é precso dscrezar de uma manera um pouco dferene na nerface) M sfc M M M M M M M M M F B A C B A C B A C B A C B A C B Ssema rdagonal. Resolvdo com elmnação de Gauss

53 Dscrezação As soluções da equação de dfusão são, em geral: Condconalmene esáves, se o esquema é eplco ou sem-mplíco Condconalmene ou ncondconalmene esáves, se o esquema é mplíco

54 Créro de Esabldade O créro de esabldade de Couran-Fredrchs-Lewy deermna qual é o espaçameno de grade mámo para haver esabldade na equação de dfusão: V ma, ou número de Couran V ma / K ma Fácl de enender: Em Δ a parcela não pode aravessar mas do que grd-bo

55 Créro de Esabldade Dependendo do espaçameno espacal, há um lme para o espaçameno no empo! Eemplo: V z w ma 5km 0m / 00m ma m / s s 50s 00s