Henrique M. J. Barbosa Instituto de Física USP

Transcrição

1 Henrique M. J. Barbosa Insiuo de Física USP UFRJ - Curso Projeo CHUVA - Ou/0

2 Quem sou eu? Sou professor e pesquisador do IF-USP. Anes da USP, rabalhei como pesquisador do CPTEC- IPE enre 004 e 008. Minha formação foi na UICAMP: bacharelado (998), o mesrado (000) e o douorado em Física (004). Trabalho com física da amosfera: Modelagem numérica do sisema erresre radiação, convecção e aerossóis. Sensoriameno remoo com laser Monção/Vapor de água na América do Sul

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4 Aula de modelagem Visão geral sobre meeorologia e climaologia Equações da amosfera e méodos numéricos Discreização e paramerizações Turbulência, Convecção Química e aerossóis Eemplos do que não sabemos Pesquisa no campo

5 Um pouco de Hisória... As previsões de empo começaram baseadas na observação de padrões repeiivos: Em 650 AC os babilônios previam o empo a parir do padrão de nuvens e da posição dos asros Em 340 AC, Arisóeles descreveu uma série de siuações meeorológicas no livro Meeorológica Desde pelo menos 300 AC que os chineses faziam algum ipo de previsão de empo Le us now eplain lighning and hunder ( ). There are wo kinds of ehalaion, mois and dry ( ). Mois condenses ino cloud ( ). Hea when radiaed disperses ino he upper region. Bu any of he dry ehalaion ha ges rapped when he air is in process of cooling is forcibly ejeced as he clouds condense and in is course srikes he surrounding clouds, and he noise caused by he impac is wha we call hunder. Arisoeles Meeorologica

6 Leonardo da Vinci Observe he moion of he surface of he waer, which resembles ha of hair, which has wo moions, of which one is caused by he weigh of he hair, he oher by he direcion of he curls; hus he waer has eddying moions, one par of which is due o he principal curren, he oher o random and irreverse moion. (Lumley, J.L., 997. Phys. Fluids A, 4, 03) 6

7 Hisória da Meeorologia 400's Hygromeer - Cryfs (450) Anemomeer - Alberi (450) 500's Thermoscope - Galileo 600's Baromeer - Torricelli (643) Les Meeores - Descare (637) 700's Trade winds - Hadley (730) 800's Three-cell model - Ferrel (855) Weaher maps of surface pressure 900's Weaher predicion from maps - Bjerknes (903) Polar fron heory - Bjerknes (9) umerical weaher predicion - Richardson (9) Firs compuer forecas - Charney / von eumann (948) Daily balloon observaions (940's) Weaher saellies (Tiros I, 960)

8 Previsão para a Europa 9 e 0 de dezembro de 887

9 Previsão umérica de Tempo Durane a ª guerra, os EUA financiaram a consrução do primeiro compuador (em segredo) Em 946 o EIAC foi apresenado ao mundo Em 950, Charney, von eumann e ouros cienisas usaram o EIAC para fazer a ª previsão numérica de empo A parir de 955 as previsões de empo ornaram-se sisemáicas

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12 Radiação Solar A energia do sol vem na forma de radiação eleromagnéica Ulra-violea Visível Infra-vermelho A energia é reparida: 30% é refleida pelas nuvens, pela amosfera ou pela superfície e vola para o espaço 50% aravessa a amosfera e é absorvida na superfície 0% é absorvida na amosfera pelos gases e nuvens

13 Efeio Esufa A superfície aquecida perde energia na forma de calor, mas: Os gases do efeio esufa: Transparenes para a radiação do Sol Opacos para a radiação (calor) emiido pela Terra

14 Efeio Esufa ~50% da energia é absorvida na superfície Sem o efeio esufa, a emperaura média seria de apenas -8 o C Com o efeio esufa, fica em orno de +5 o C

15 Convecção e uvens Como a maior pare da energia é absorvida na superfície, esamos esquenando a amosfera por baio! O ar quene é menos denso e sobe, pois o ar frio que esá em cima é mais pesado.

16 uvens e Frenes Uma oura maneira muio comum de formar nuvens é quando uma frene fria enconra uma massa de ar quene

17 Disribuição de energia A energia absorvida na superfície não é disribuída igualmene em odo o planea!

18 o equador Em média o equador recebe muio mais energia do que as ouras laiudes! Em média o ar nessa região esá sempre subindo! O ar acaba descendo mais frio em laiudes mais alas

19 Circulação de grande escala Onde o ar sobe há muias nuvens e precipiação Onde o ar desce há deseros

20 Localização dos grandes deseros as laiudes onde o ar desce seco e frio, há pouca precipiação e as regiões são deséricas. Os subrópicos da AS são úmidos!

21 Circulação global Como a erra gira, por inércia, a amosfera acaba ficando para raz. A célula de Hadley fica inclinada no equador, formando os Alísios. Já o ar que desce em laiudes mais alas esá girando mais rápido que a chão (ele esava no EQ), e a circulação é ao conrário

22 Circulação Global Os venos próimos da superfície forçam o surgimeno de correnes oceânicas 9

23 Circulação Oceânica As correnes oceânicas eisem não só na superfície, mas ambém em águas profundas. É como um grande cinurão. As água superficiais são aquecidas pelo sol e levam a energia para oura regiões Por causa dessa correne, a Europa é bem mais quene que o Canadá.

24 Circulação de Walker Devido a presença consane dos venos alísios, a água mais quene vai sendo empurrada para oese. Esa região de águas quenes força uma convecção consane... Esas células formam a circulação de Walker.

25 Precipiação A disribuição global dos venos, e principalmene de onde eles sobem e descem, deerminam em grande pare a disribuição da precipiação

26 Resumo: Circulação da Amosfera e dos Oceano A erra recebe energia do sol, a maior pare chega na região ropical e é absorvida na superfície. Esse aquecimeno desigual força o surgimeno de venos na amosfera e de correnes no oceano. Esa circulação redisribui a energia! A eoria que eplica o movimenos dos fluídos é chamada de dinâmica dos fluídos.

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28 Equações de Din. dos Fluídos A principal equação de dinâmica dos fluídos é a de avier-sokes. Derivada a parir da ª lei de ewon, esabelece a conservação do momeno v v v v P g Difusão Fones e sumidouros de momeno: ª lei de ewon

29 Conservação de Massa A massa é conservada, enão dρ/d=0, onde q vq Dq v v v d d v q Difusão moleluclar F q P v S g q Transpore do gradiene Em ermos da concenração específica, a equação de conservação Lagrangeano resula semelhane a conservação de momeno: Euleriano Fones e sumidouros de vapor Fones e sumidouros de momeno: ª lei de ewon

30 Para o vapor de água D 0. cm /s a roposfera e na esraosfera, o ermo de difusão é desprezível pois o livre caminho médio das moléculas é muio pequeno. Mov. Browniano (Einsein) Assim: (m ). 5dias D 0.cm / s dq d F A forma lagrangeana (d/d) muio simples é o que esá nas bases dos modelos de parcela. S

31 Vapor pressure (hpa) Equação de Clausius-Clapeyron A pressão de vapor de sauração varia com a emperaura: d p v, s v, s dt E podemos enconrar uma epressão para ela: T L e 0 p v, s 7.67Tc 6.ep Tc Over liquid waer Temperaure ( o C)

32 Condensação/Evaporação Condensação para p v > p v,s Evaporação para p v < p v,s

33 Vapor Vapor pressure (hpa) Formaion of Rain in Cold Clouds Ice Crysal (Bergeron) Process Over liquid waer Over ice waer drople gas molecules ice crysal Temperaure ( o C) p v,s sobre gelo é menor que sobre água As goas evaporam e o vapor flui para os crisais

34 a lei da ermodinâmica ão vamos mosrar oda a dedução, mas podemos definir uma emperaura poencial virual v T v 000 hpa pa Que já inclui a variação com a pressão e escrever a equação ermodinâmica resolvida pelos modelos dv d c d p T v v dq d

35 Temperaura Virual Assim, a equação de esado para o ar úmido pode ser escria de duas maneira: Tv é a emperaura necessário para o ar seco er a mesma pressão e densidade do ar úmido. v v v v m v T T T R R T T q q v a m a a T R T R p

36 Equação de esado do ar úmido Pressão oal é dada pela soma da pressão de ar seco e vapor: Junando os ermos, emos: onde: a v v d a v v d v d a R R R T R T R T p p p E assim podemos escrever a pessão oal como: v v v m R R R q Onde a consane dos gases par ao ar úmido é: T R p m a a v v a a T R p R v R d v v

37 Equação Hidrosáica É a equação de movimeno na ausência de aceleração vericais. É dada pelo equilíbrio enre a força gradiene de pressão e a gravidade dp g a dz a

38 Algumas Equações da amosfera z p a g a d d v a a T R p v v T T q d dq T c d d v v d p v a v v p T 000 hpa g V V V V P + Reações químicas + Aerossóis

39 Equações de Din. dos Fluídos Diferenciais! Esas equações junas podem descrever o movimeno da amosfera, das correnes oceânicas, da água em um cano, do ar passando sobre uma asa das esrelas em uma galáia

40 Equações Diferenciais

41 Equações Diferenciais Classificação quano ao número de variáveis Ordinárias = só em uma variável independene dg( ) d F( ) Parciais = em mais de uma variável independene G(, ) ug(, ) 0

42 Equações Diferenciais Classificação quano ao grau e ordem Ordem = nível da derivada mais ala Grau = poência da derivada mais ala G ug G D ª ordem e º grau

43 Equações Diferenciais Classificação quando a homogeneidade Homogêneas = não aparecem as variáveis independenes epliciamene G G D ão homogêneas = variáveis independenes eplícias G 3

44 Equações Diferenciais Classificação quando a linearidade Lineares = a variável dependene e suas derivadas só aparecem em ermos de º grau e não há produo enre elas G ug 0 ão lineares = eisem ermos de º ou maior grau e/ou produos enre variáveis dependenes e suas derivadas u u u 0

45 Eemplo: amosfera Eq. da conservação e ermodinâmica q vq Dq q F q S q Parcial º ordem º grau Homogênea Linear Eq de momeno (avier-sokes) v v v j v j v j j v P g CAOS Parcial º ordem º grau Homogênea ÃO-Linear

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47 Previsão de Tempo Global Precisamos: Equações que descrevem a física da amosfera Escrever um programa para resolvê-las Um bom compuador Compilador Código fone: um eo escrio em uma linguagem de programação Programa eecuável: Linguagem de máquina

48 Previsão de Tempo Global Precisamos: Equações que descrevem a física da amosfera Escrever um programa para resolvê-las Um bom compuador

49 Equações Diferenciais: Solução

50 Dificuldades a frene... Como resolver uma equação complicada? v D F S De uma vez só, ou seja, enconrar (,y,z,)? Quando emos vários processos físicos aconecendo ao mesmo empo? Dadas as limiações auais dos compuadores?

51 Separação de Operadores O que se faz é resolver separadamene cada um dos processos. Por eemplo, um modelo numérico calcula separadamene: dinâmica, radiação, convecção, ec... T T+Δ T+Δ

52 Separação de Operadores Eemplo, a equação de advecção-difusão v D F S Operaor-spli nos ermos de advecção-difusão v D Operaor-spli nos ermos forçanes e, n R n F S

53 Separação de Operadores ( v ) D e, n R n F S Resolver esas equações seqüencialmene é uma aproimação da solução complea! Ese méodo em paricular é chamado de méodo dos inervalos fracionários. Alguns modelos rocam a ordem em,y,z enre dois ime-seps para conseguir uma solução mais independene da separação dos operadores.

54 Separação de Operadores Em alguns modelos, como o CPTEC-AGCM, a equação é separada ainda mais: ( v) D Transpore Difusão Molecular e, n R n F S Física sub-grade

55 Equações Diferenciais: Solução Mesmo para esas equações simples, a solução ainda não é rivial.

56 Solução de uma Eq. Dif. Para resolvê-las precisamos de condições de conorno. As CC podem ser de vários ipos e depende de qual problema esamos resolvendo Eemplo: Podemos resolver d/d=f() se soubermos 0 =(=0) Ese ipo de CC é uma condição inicial (C.I.) de um problema de valor inicial.

57 Solução de uma Eq. Dif. Quando precisamos da CC nas duas eremidades do domínio, emos um problema de valor de conorno. Eemplo: Para resolver u u u 0 Precisamos de u(,=0) e ambém u(0,) e u(l,) Problema de C.I. em e problema de CC em Eemplo: o nudging do BRAMS nas froneiras do domínio

58 Equações Diferenciais: Solução São equações diferenciais e represenam uma conservação local! São conínuas e válidas em odos os ponos do espaço físico (,y,z,) Como resolver numericamene?

59 Discreização

60 Discreização: Limiações Quando discreizamos no empo e no espaço emos que usar inervalos finios e por isso a solução numérica não represena odos os movimenos da amosfera. Escala Δ Δ Meso escala 5 5 km 5 s Regional km min Global km 30 min

61 Sampling Theorem Seja h() uma função conínua no empo. Se medimos h() a cada Δ segundos, eise uma freqüência críica f c, freq de yquis Máima que pode ser observada com essa amosragem. Minimamene amosrado com o dobro da freqüência do fenômeno

62 ... Ou eorema de yquis Seja h() uma função conínua no empo. Se medimos h() a cada Δ segundos, eise uma freqüência críica f c, freq de yquis Máima que pode ser observada com essa amosragem. Caso de subamosragem (freq menor)

63 Modelo Climáico Teorema Seja h() e sua ransformada de Fourier H(f), se H(f)=0 qualquer que seja f >fc, enão h() é compleamene deerminada se for amosrada em inervalos Δ<=/fc. Eemplo: f c 30min 0.0Hz T hora f c 00km 0.005km 00km

64 Turbulência A equação de avier-sokes é não linear v v v v P Isso produz caos na solução U(,) e implica em escoameno urbuleno. Apenas em condições especiais o fluo é laminar. U(,) fluua aleaoriamene em escalas menores que mm e mais rápidas que 0Hz! Impossível de resolver nos modelos (aé mesmo em um L.E.S.) g

65 Anemômero sônico

66 A média de Reynolds A concenração eaa em (, y, z, ) Onde a média no volume do grid-bo e no ime V V sep é ( r, d Vol ) V dvol

67 A média de Reynolds depende do grid-bo e do passo de empo e é o valor previso/calculado pelo modelo! Por definição fluua em orno de 0 e =0 Podemos fazer a mesma decomposição para a velocidade: V V V E enão subsiuímos ambas nas equações originais ' ( ')( v v') D ( ' )

68 Epandindo a equação Epandindo e omando a média ( e ), para o º ermo: Fazendo o mesmo para os demais ermos, emos: S F D ') ' ( ) ( v v ' ' ' Advecção pelo veno médio Fluo urbuleno cinemáico. É o efeio sub-grade!!

69 Epansão urbulena A difusão urbulena é muio maior que a molecular, enão sobra apenas: ( v ) ( v' ' ) Para a equação da coninuidade concenração específica q v q a vq F S Para a equação da coninuidade em densidade v v 0 a a F S Precisamos paramerizar!!

70 Paramerização O modelo resolve e conhece apenas os valores médios em cada grid-bo, v e q, como enão podemos esimar o fluo urbuleno <v q >?? Fazendo uma analogia com a lei de Fick Fψ D Assume-se que o fluo urbuleno é proporcional ao gradiene (eoria K ou eoria do ranspore dos gradienes) u' q' q

71 Teoria K O fluo urbuleno de um parâmero é relacionado ao gradiene do valor médio do parâmero. Assim, os ermos do fluo cinemáico urbuleno ficam: u Kh,, em Onde K h é um coeficiene de difusão urbulena (Para energia e momeno: cm s - ). Assim, q v K F S v q K q F S a h a h

72 Mariz de difusão Kh é a mariz de difusão e K, Ky e Kz são os coeficienes de difusão urbulena. K h K h, K h,yy K h,zz Os ermos cruzados dão uma covariância enre o ranspore urbuleno em direções diferenes e em geral são assumidos nulos. A diagonal dá o ranspore do gradiene devido a misura urbulena

73 O que fala? Decompomos o fluo em orno da média do gridbo......mas ainda emos uma EDP conínua. Como resolver as derivadas? q v q K q F S a a h

74 Diferenças Finias Trocamos os valores conínuos por discreos nas equações u??

75 Diferenças Finias Definimos as diferenças Δu no pono i u i u i u i u i u i u i u i u i u i diferença cenrada diferença avançada diferença arasada Esamos aproimando a derivada pela angene: u u i i u i u i i i

76 Diferenças Finias Cenrada (AC) Avançada (BC) Arasada (AB)

77 Epandindo em Taylor em orno do pono, calculamos o valor em + Epansão em série de Taylor Ou em orno de Iguais de sinais oposos

78 Assim, emos que Epansão em série de Taylor Que pode ser rearranjado para Desprezando ermos de a ordem e superiores É aproimação de a ordem para a segunda derivada O O

79 Agora vamos subrair as duas equações. Os ermos pares cancelam... Epansão em série de Taylor Rearranjando, emos Onde runcamos da mesma maneira É uma aproimação de segunda ordem para a primeira derivada O O i i

80 Diferenças finias ª derivada em Aproimação de ª ordem arasada em Aproimação de ª ordem avançada em i i i i

81 Diferenças finias Derivada no empo () O h h h O() h h O() h h

82 Resumo Equação complicada v D F S +Reynolds Difusão v K F S h Operaor Spliing v Diferenças finias i i u i u i

83 E essa solução funciona?!? i i u i u i

84 Criérios Uma solução numérica para uma equação diferencial reproduz a solução analíica apenas se vários criérios forem saisfeios Convergência Consisência Ordem da aproimação Convergência geral Esabilidade numérica

85 () Convergência A epressão em diferenças finias deve convergir para a forma diferencial no senido do eorema cenral do limie: lim 0

86 () Consisência Ao fazer a epansão em série de Taylor, jogamos fora ermos de ala ordem... Para a aproimação em diferenças finias ser válida, o erro no runcameno deve ir para zero: lim 0 T.E. 0 Maemaicamene, se () enão () e vice-versa

87 (3) Convergência geral Além de que as epressões em diferenças finias convergem para as diferenciais, precisamos que a solução numérica convirja para a solução analíica lim e,, f,,, 0 0

88 (4) Ordem da aproimação A ordem da aproimação é a menor poência em Δ ou Δ deiada de for a na epansão de Taylor. É preciso que a aproimação seja da mesma ordem em odas as variáveis para haver esabilidade e convergência.

89 Esabilidade A diferença enre a solução numérica e analíica não deve crescer com o empo lim e,, f,, C Condicionalmene esável Esável para Δ < Δ Tma Incondicionalmene esável: É sempre esável qualquer que seja o Δ Incondicionalmene insável: Insável qualquer que seja o Δ Convergência e esabilidade de pare da solução (spliing) não garane convergência geral!

90 Eemplo Equação de advecção difusão apenas em (u) Uma possível represenação em diferenças finias, fazendo eplício no empo, seria i i u i u i k+ k i- i i+ A maneira como discreizamos deermina a esabilidade. k-

91 Problemas numéricos Difusão numérica Um pico se espalha arificialmene pelos gridboes Oscilação numérica Podem surgir ondas dispersas arás ou na frene de um pico ão-monoônico Os gradienes não são preservados durane o ranspore

92 Discreização Queremos inegrar a equação numericamene, i.e., enconrar (+Δ) em função de () (u) Há rês maneiras diferenes de fazer a discreização no empo que levam a soluções conceiualmene diferenes: Eplícia calcula-se + em função apenas dos valores pré calculados:, -,... Implícia calcula-se + em função apenas dos valores desconhecidos em + Semi-implício calcula-se + com base ano em +, quano, -,...

93 Esquema eplício o lado direio da equação aparecem apenas ermos no empo () E a solução para + i é rivial: Com apenas um laço i=,ima resolvemos o problema! K u u i i i i i i i K u u i i i i i i i K u ) (

94 ( u) K Esquema eplício i i i i i u u K Essa solução é de ª ordem avançada no empo e de ª ordem cenrada no espaço. O problema é que esa solução é Condicionalmene esável apenas para K pequeno Incondicionalmene insável para K=0 ou K grande i i

95 Esquema implício o lado direio da equação aparecem apenas ermos no empo (+) E a solução para + i é não-rivial e acopla i, i- e i+. Agrupando os ermos, emos K u ) ( K u u i i i i i i i K u i i

96 Esquema implício Fazendo o mesmo para os ouros ermos, emos Que é um sisema de equações diferenciais acopladas. Que podem ser resolvidas na forma maricial... i i i i i i u K K u K i i i i i i i C B A A i B i C i

97 Solução Maricial Onde já incluímos a condição de conorno devido ao fluo de superfície (é preciso discreizar de uma maneira um pouco diferene na inerface) M sfc M M M M M M M M M F B A C B A C B A C B A C B A C B Sisema ridiagonal. Resolvido com eliminação de Gauss

98 Discreização As soluções da equação de difusão são, em geral: Condicionalmene esáveis, se o esquema é eplicio ou semi-implício Condicionalmene ou incondicionalmene esáveis, se o esquema é implício

99 Criério de Esabilidade O criério de esabilidade de Couran-Friedrichs-Lewy deermina qual é o espaçameno de grade máimo para haver esabilidade na equação de difusão: V ma, ou número de Couran V ma / K ma Fácil de enender: Em Δ a parcela não pode aravessar mais do que grid-bo

100 Criério de Esabilidade Dependendo do espaçameno, há um limie para a resolução emporal! Eemplo: V z w ma 5km 0m / 00m ma m / s s 50s 00s

101 Equações Diferenciais: Solução Ok. Agora já sabemos resolver equações diferenciais numericamene!

102 Compleidade Compuacional A ala compleidade de um modelo amosférico requer muios pesquisadores e muios anos para o seu desenvolvimeno. PROGRAM PARES DO I=,5 PRIT I* EDDO ED PROGRAM Amosfera Oceano Superfície 00k 80k 60k Programa de 3 linhas para escrever na ela os 5 primeiros números pares Química 50k Modelo Climáico MIL linhas de código

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