QuVis: Energy Uncertainty of Quantum States. Responda a todos os 5 challenges

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1 Praticando sobre E e E = E 2 E 2 QuVis: Energy Uncertainty of Quantum States Responda a todos os 5 challenges Clique em TODOS os botões?

2 Problemas de Autovalor ES independente do tempo

3 H ψ E = E ψ E () H = ħ2 2m d 2 d 2 + U() ħ2 2m ψ E + U ψ E () = E ψ E () 1. Equação Diferencial Ordinária, Linear, de 2ª ordem... de autovalor

4 Você já viu muitas EDOs de 2ª ordem... m t = mg m t = k(t) m t = b (t) k(t) l θ t = g sin θ(t)... mas nunca de autovalor.

5 porém, apenas certos E s têm φ 1 e/ou φ 2 contínuos e não divergentes Uma analogia ψ E = E ψ E E = 3, ψ E=3 = 1 1 E = 1, ψ E= 1 = 1 1 ħ2 2m d 2 d 2 + U() ψ E = E ψ E () Tem solução geral ψ E = Aφ 1 + Bφ 2 PARA QUALQUER valor de E

6 Protocolo para resolver a ES independente do tempo 1. Obter a solução geral da EDO para um E qualquer 2. As soluções tem que ser contínuas e não-divergentes 3. Os E s que não conseguem satisfazer o ponto 2, não são considerados autovalores de H

7 Nossa (modesta) tabela de EDOs EDO ψ = k 2 ψ() ψ = +q 2 ψ() Solução Geral ψ = A cos k + B sin k ou ψ = A e ik + B e ik ψ = A e q + B e q ou ψ = A cosh q + B sinh q

8 Partícula Livre U 0

9 Solução geral para qualquer E: ħ2 2m ψ E + U ψ E () = E ψ E () ψ E = 2m ħ 2 (E U 0 ) ψ E () E > U 0 U 0 E < U 0

10 (E > U 0 ) k = 2m ħ 2 (E U 0 ) ψ E = 2m ħ 2 (E U 0 ) ψ E () k 2 ψ E = A e ik + B e ik (E < U 0 ) ψ E = 2m ħ 2 (E U 0 ) ψ E () +q 2 q = 2m ħ 2 (U 0 E) ψ E = A e q + B e q

11 k = 2m ħ 2 (E U 0 ) Espectro da partícula livre E = ħ2 k 2 2m + U 0 ψ E = A e ik + B e ik (k 0) (2 autoestados para cada E > U 0 ) E U0 0 U 0

12 Applet phy2.jar tab 2.1

13 Evolução Temporal de um pacote gaussiano livre

14 Protocolo para determinar a evolução de ψ, 0 1. Resolver a ES independente do tempo da situação física em que se encontra a partícula Hψ E = Eψ E () 2. Escrever o estado inicial como combinação linear dos autoestados de H: ψ, 0 = E c E ψ E () 3. ψ, t = E c E e iet/ħ ψ E ()

15 O estado inicial mais parecido com uma partícula ψ, 0 = e ( 0) 2 /Δ 2 e ik 0 = ψ k, 0 e ik dk 2π Δ v = ħk 0 m ± ħ mδ 0 ψ k, 0 = Δ 2 e k k 0 2 Δ 2 /4 e i(k k 0) 0 ψ(, 0) 2 ψ(k, 0) 2 Δ 2/Δ 0 k 0

16 Evolução de um pacote Gaussiano livre E E U0 0 U 0 e ( 0) 2 /Δ 2 e ik 0 = E ~ ħ2 k 0 2 2m E c E ψ E ()

17 quantum-tunneling.jar Contrastar evolução de pacote com evolução de autoestado Contrastar comportamento do pacote com <E> grande e pequeno

18 Potencial Degrau U 0

19 Sobre potenciais descontínuos V U() q E qv 0

20 Solução geral para qualquer E: ħ2 2m ψ E + U ψ E () = E ψ E () ψ E = 2m ħ 2 (E) ψ E () ψ E = 2m ħ 2 (E U 0 ) ψ E () E > U 0 0 < E < U 0 E < 0 U 0

21 ( < 0) ( > 0) ψ E = 2m ħ 2 (E) ψ E () ψ E = 2m ħ 2 (E U 0 ) ψ E () E > U 0 Ae ik + Be ik Ce ik + De ik ψ E = k 2 ψ E () 0 < E < U 0 Ae ik + Be ik Ce q + De q E < 0 Ae q + Be q ψ E = +q 2 ψ E () Ce q + De q

22 Sobre a necessidade de ψ () ser contínua ψ E = 2m ħ 2 U E ψ E () SEMPRE contínua Quando U() apresenta descontinuidade finita: ψ E ψ E ψ E

23 E U 0 k = 2m E > k = 2m (E U ħ 2 ħ 2 0 ) Ae ik + Be ik Ce ik + De ik Re ψ E () 0 A + B = C + D A(ik) + B( ik) = C(ik ) + D( ik ) Escolhemos A e D como variáveis independentes

24 2 autoestados independentes para cada E > U 0 Ae ik + A k k k+k e ik A 2k k+k eik D 2k k+k e ik D k k k+k e ik + De ik Re ψ E () 0

25 E U 0 k = 2m ħ 2 E q = 2m ħ 2 (U 0 E) Ae ik + Be ik Ce q Re ψ E () 0 A + B = C A(ik) + B( ik) = C( q ) Escolhemos A como variável independente

26 1 autoestado para cada 0 < E < U 0 Ae ik + A k iq k+iq e ik A 2k k+iq e q Re ψ E () 0

27 E U 0 q = < 2m ħ 2 ( E) q = 2m ħ 2 (U 0 E) Ae q De q Re ψ E () 0 A = D A(q) = D( q ) Não há solução contínua possível

28 Espectro do Potencial Degrau E U 0 0 U 0

29 Applet phy2.jar tab 2.2

30 Evolução Temporal de um pacote gaussiano no potencial degrau

31 Evolução do pacote gaussiano E E hi E lo U 0 0 e ( 0) 2 /Δ 2 e ik 0 = c E ψ E () U 0 E ~ ħ2 k 0 2 2m E

32 Applet phy2.jar tab 1.4 Contrastar comportamento do pacote com <E> menor e maior que U 0

33 quantum-tunneling.jar