I Seminário da Pós-graduação em Engenharia Elétrica

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1 NÁLISES DS TENSÕES E ORRENTES DE UM SISTEM TRIFÁSIO OM RS NÃO LINERES TRVÉS D TEORI DS OMPONENTES SIMÉTRIS ENERLIZDS Leandr Luiz Húngar sa lun d Prgrama de Pós-raduaçã em Engenharia Elérica UNESP auru Pr. Dr. Paul Jsé maral Serni Orienadr Dep de Engenharia Elérica UNESP auru RESUMO Ese rabalh apresena esud das cmpnenes siméricas generalizadas, prpsa pr Teni e. al., para análise de desequilíbri de sisemas riásics periódics nã senidais. m resulad, é pssível esabelecer uma relaçã a écnica das cmpnenes siméricas generalizadas e as cmpnenes siméricas de Frescue para as reqüências harmônicas que cmpõem um sisema riásic qualquer. PLVRS-HVE: mpnenes siméricas; mpnenes siméricas generalizadas; Desequilíbri; Harmônicas; Nã senidal. INTRODUÇÃO uilizaçã das cmpnenes siméricas de Frescue para análise de desequilíbri de sinais riásics senidais (crrenes u ensões é uma erramena clássica de análise []. O sinal riásic é decmps em rês sisemas riásics simérics e equilibrads rmads pelas cmpnenes de seqüência psiiva, negaiva e zer. N enan, a presença de cargas nã-lineares em sisemas de energia implica a pssibilidade de disrções ns sinais riásics, an das crrenes cm das ensões. ssim, é necessári esudar impac desas disrções na análise de desequilíbris de sisemas riásics periódics nã senidais. Para esud d prblema de desequilíbri de sinais nã senidais, nvs méds sã necessáris [2]-[4]. Nese rabalh, méd das cmpnenes siméricas generalizadas, prps pr Teni e. al. [4], para análise de desequilíbri de sisemas riásics periódics nã senidais é avaliada cm bjeiv de esabelecer uma relaçã cm s cmpnenes siméricas de Frescue. Será demnsrad a relaçã enre s cmpnenes siméricas generalizadas e cmpnenes siméricas de Frescue de cada reqüência harmônica de um dad sisema riásic nã sinusidal. 2 OMPONENTES SIMÉTRIS ENERLIZDS O méd das cmpnenes siméricas generalizadas apresena uma generalizaçã das deinições de seqüência psiiva, seqüência negaiva e seqüência zer, para sisemas riásics periódics nã senidais. s principais cnribuições prpsas nese méd sã a presença de uma nva cmpnene de seqüência, denminada cmpnene generalizada residual e uma pequena aleraçã n cálcul das cmpnenes de seqüência negaiva e psiiva. lém dis, desaca-se que méd prps pr Teni e. al. pde ser inegralmene implemenad n dmíni d emp, dierenemene da prpsa clássica de Frescue, a qual deve ser

2 implemenada aravés de erramenas n dmíni da reqüência, ais cm asres e a Transrmada de Furier. Em suma, méd das cmpnenes siméricas generalizadas decmpõe um sisema riásic periódic qualquer, em quar sisemas riásics, a saber,(. ~ Z ( ( ~ ( = Z ( ( ( ( ( ~ Z ( Onde: Z ( Z ( ( = cmpnenes hmplares Z ~ ( ~ ( = ~ ( cmpnenes heerplares Dessa rma, as equações que expressam as cmpnenes de seqüência psiiva, negaiva e zer esã escrias em (2. Z = 3 ~ ~ ~ P 3 T T = ( 3 ( 3 ~ ~ ~ N 3 T T = ( 3 ( 3 (2 N enan, méd das cmpnenes generalizadas prpõe a inrduçã de mais uma cmpnene, denminada cmpnene residual. s cmpnenes residuais pssuem uma expressã para cada ase, as quais esã apresenadas em (3. ~ ~ ~ R 3 T T = ( 3 ( 3 ~ ~ ~ R 3 T T = ( 3 ( 3 ~ ~ ~ R 3 T T = ( 3 ( 3 (3 3 NÁLISE DE DESEQUILÍRIO EM SISTEM TRIFÁSIO PERIÓDIO NÃO SENOIDL TRVÉS DE FOURIER E FORTESUE nsidere um sisema riásic periódic nã senidal qualquer (4.

3 ( k ( k ( = F sen( ω θ K F sen ( k ω ϕ k = ( k ( k 3φ ( = F sen( ω θ K F sen ( k ω ϕ k = ( k ( k ( = F sen( ω θ K F sen ( k ω ϕ k = (4 É pssível dividir sisema riásic (4 em quar dierenes sisemas riásics. Tal sisema pssui harmônicas cm rês caracerísicas disinas: Harmônicas ípicas hmplares, harmônicas ípicas de seqüência psiiva e harmônicas ípicas de seqüência negaiva. Ou seja, haverá um sisema riásic equivalene à reqüência undamenal, um sisema riásic equivalene às harmônicas ípicas hmplares, um sisema riásic equivalene às harmônicas ípicas de seqüência psiiva e, inalmene, um sisema riásic equivalene às harmônicas ípicas de seqüência negaiva. É pssível aplicar erema de Frescue, de rma independene para cada um ds sisemas riásics resulanes d sisema (4. ssim, há cmpnenes de seqüência psiiva, negaiva e zer para cada reqüência harmônica. 3. Freqüência Fundamenal 3 ( ω θ F sen( ω θ F sen( ω θ Z h = F sen Ph = F 3 sen F sen F sen Nh = F 3 sen F sen F sen ( ω θ ( ω θ 20 ( ω θ 20 ( ω θ ( ω θ 20 ( ω θ 20 (5 3.2 Harmônicas Típicas Hmplares { 3k 3k ZZh K ( 3 3 F sen k ω ϕ = K F sen ( ω ϕ K F sen( ω ϕ } ( 3 ( 3 k k PZh = { K (( 3 3 F sen k ω ϕ K F sen( ω ϕ 20 K F sen( ω ϕ 20 } NZh = 3 { K F sen( ω ϕ K F sen( ω ϕ 20 K F sen ( ω ϕ 20 } (6

4 3.3 Harmônicas Típicas Seqüência Psiiva { 3k 3k ZPh K ( 3 3 F sen k ω ϕ = K F sen( ω ϕ K F sen( ω ϕ } ( 3 ( 3 k k PPh = { K (( 3 3 F sen k ω ϕ K F sen( ω ϕ 20 K F sen( ω ϕ 20 } 3k 3k NPh = { (( 3 3 K F sen k ω ϕ K F sen ( ω ϕ 20 K F sen( ω ϕ 20 } 3.3 Harmônicas Típicas Seqüência Negaiva { 3k 3k ZNh K ( 3 3 F sen k ω ϕ = K F sen( ω ϕ K F sen( ω ϕ } ( 3 ( 3 k k PNh = { K (( 3 3 F sen k ω ϕ K F sen( ω ϕ 20 K F sen ( ω ϕ 20 } 3k 3k NNh = { (( 3 3 K F sen k ω ϕ K F sen( ω ϕ 20 K F sen( ω ϕ 20 } (7 (8 s cmpnenes de seqüência psiiva e negaiva apresenada em (5, (6, (7 e (8 crrespndem à ase. Da mesma rma, as cmpnenes de seqüência psiiva e negaiva das ases e pdem ser acilmene bidas. 4 NÁLISE DE DESEQUILÍRIO EM SISTEM TRIFÁSIO PERIÓDIO NÃO SENOIDL TRVÉS DS OMPONENTES SIMÉTRIS ENERLIZDS 4. mpnene eneralizada de Seqüência Zer primeira cmpnene generalizada a ser calculada é a cmpnene generalizada de seqüência zer, u seja, as cmpnenes hmplares d sisema (4.

5 { ( ω θ 3 F sen( ω θ F sen( ω θ } = F sen Z { ( 3 3 K F sen k ω ϕ ( ( } K F sen 3k ω ϕ K F sen 3k ω ϕ { ( 3 3 K F sen k ω ϕ K F sen 3k ω ϕ K ( ( } F sen 3k ω ϕ { ( 3 3 K F sen k ω ϕ ( ( } K F sen 3k ω ϕ K F sen 3k ω ϕ (9 plicand a prpriedade disribuiva e agrupand s erms relacinads a cada caracerísica harmônica em (9, bêm (0. = (0 Z Zh ZZh ZPh ZNh Em uras palavras, a cmpnene generalizada de seqüência zer ( Z ( é a sma das cmpnenes de seqüência zer de cada uma das reqüências harmônicas presenes n sisema riásic (4. Para cálcul das cmpnenes generalizadas de seqüência psiiva, negaiva e residual, haverá uma separaçã para cada reqüência harmônica, a im de haver uma visã melhr. 4.2 mpnene eneralizada de Seqüência Psiiva pare da cmpnene generalizada de seqüência psiiva devid à reqüência undamenal pde ser escria cm Onde: P h ( P h ( ( Ph = ( Ph P h 3 Ph Ph P h = cmpnene de sequência psiiva da ase = cmpnene de sequência psiiva da ase = cmpnene de sequência psiiva da ase m sisema rmad pelas cmpnenes de seqüência psiiva ; ; é siméric e equilibrad, enã é pssível aplicar a ( Ph Ph Ph simpliicaçã apresenada em (2. = (2 Ph Ph Ph 0

6 Pran, a expressã para a parcela da cmpnene generalizada de seqüência psiiva devid à reqüência undamenal é (3. = (3 Ph Ph parcela da cmpnene generalizada de seqüência psiiva devid às harmônicas ípicas hmplares, após simpliicações, pde ser escria (4. = (4 PZh ZZh 3 ZZh ZZh ZZh Um aspec imprane da prçã das harmônicas ípicas hmplares é a presença de apenas cmpnenes de seqüência zer. ssim, simpliicand (4, a cnribuiçã das reqüências harmônicas ípicas hmplares na cmpnene generalizada de seqüência psiiva é nula, expressa em (5. ( = 0 (5 PZh parcela da cmpnene generalizada de seqüência psiiva devid às harmônicas ípicas de seqüência psiiva, após simpliicações, pde ser escria (6. = (6 PPh PPh 3 PPh PPh PPh m sisema rmad pelas cmpnenes de seqüência psiiva ; ; é siméric e equilibrad, enã é pssível aplicar a ( PPh PPh PPh simpliicaçã apresenada em (7. = 0 (7 PPh PPh PPh Pran, a expressã para a parcela da cmpnene generalizada de seqüência psiiva devid às harmônicas ípicas de seqüência psiiva é (8. PPh = (8 parcela da cmpnene generalizada de seqüência psiiva devid às harmônicas ípicas de seqüência negaiva, após simpliicações, pde ser escria (9. PPh = (9 PNh NNh 3 NNh NNh NNh m sisema rmad pelas cmpnenes de seqüência negaiva ; ; é siméric e equilibrad, enã é pssível aplicar a ( NNh NNh NNh simpliicaçã apresenada em (20. = 0 (20 NNh NNh NNh Pran, a expressã para a parcela da cmpnene generalizada de seqüência psiiva devid às harmônicas ípicas de seqüência negaiva é (2.

7 PNh = (2 ssim, é pssível escrever uma expressã da cmpnene generalizada de seqüência psiiva para a ase e pr analgia para as ases e. Fase : Fase : Fase : NNh = (22 P Ph PPh NNh = (23 P Ph PPh NNh = (24 P Ph PPh NNh 4.3 mpnene eneralizada de Seqüência Negaiva De maneira análga a desenvlvimen das equações das cmpnenes generalizadas de seqüência psiiva, é pssível escrever expressões que descrevem as cmpnenes generalizadas de seqüência negaiva. Esas expressões esã apresenadas em (25, (26 e (27 para as ases, e, respecivamene. Fase : Fase : Fase : = (25 N Nh NPh PNh = (26 N Nh NPh PNh = (27 N Nh NPh PNh 4.4 mpnene eneralizada Residual s cmpnenes generalizadas residuais pssuem um cmpramen mui paricular prque nã há presença de reqüências harmônicas além das ípicas hmplares. Pran, nese cas, as cmpnenes residuais sã cmpsas unicamene pr cmpnenes siméricas das harmônicas ípicas hmplares. s expressões das cmpnenes generalizadas residuais para as ases, e pdem ser bservads em (28, (29 e (30, respecivamene.

8 Fase : Fase : Fase : 5 RESULTDOS E DISUSSÕES = (28 R PZh NZh = (29 R PZh NZh = (30 R PZh NZh Para a análise de desequilíbri de um sisema riásic periódic nã senidal, i simulad um inversr de ensã riásic de nda quadrada, cujas ases e esã desequilibradas pr mei de uma resisência em série cm a linha. ravés d inversr, uma carga equilibrada em esrela, à quar is, i alimenada. O diagrama d circui simulad esá apresenad na Figura. Figura - Inversr de ensã riásic de nda quadrada s rmas de nda de ensã resulanes d inversr esã apresenadas na Figura 2.

9 Figura 2 - Tensã insanânea - Fases, e Figura 3 apresena a rma de nda da ensã da ase e seu respeciv cneúd harmônic. Figura 3 - Sinal de ensã e cneúd harmônic da ase cmpnene generalizada de seqüência zer esá apresenada na. Observand-se ambém seu respeciv cneúd harmônic na-se que al cmpnene é cmpsa pr das as reqüências d especr harmônic, cnrme s resulads bids em (0. Is é, a cmpsiçã da cmpnene generalizada de seqüência zer é dada pelas reqüências undamenal, erceir harmônic, quin harmônic e séim harmônic, crrespndenes às suas respecivas cmpnenes de seqüência zer de Frescue.

10 Figura 4 - Sinal e cneúd harmônic da cmpnene generalizada de seqüência zer Na Figura 5 e na Figura 6 em-se, respecivamene, as rmas de nda e cneúds harmônics da cmpnene generalizada de seqüência psiiva e da cmpnene generalizada de seqüência negaiva, da ase. Figura 5 - Sinal e cneúd harmônic da cmpnene generalizada de seqüência psiiva - Fase

11 Figura 6 - Sinal e cneúd harmônic da cmpnene generalizada de seqüência negaiva - Fase Na-se que nã há a presença de erceira harmônica an na cmpnene generalizada de seqüência psiiva quan na cmpnene generalizada de seqüência negaiva. Esse cmpramen era esperad, cnrme i demnsrad em (22 e (25. Is é, as cmpnenes generalizadas de seqüência psiiva e negaiva sã cmpsas apenas pelas reqüências undamenal, e harmônicas ípicas de seqüência psiiva e harmônicas ípicas de seqüência negaiva. Pr im, na Figura 7 esá apresenada a rma de nda da cmpnene generalizada residual da ase e seu respeciv cneúd harmônic. Figura 7 - Sinal e cneúd harmônic da cmpnene generalizada residual - Fase Na-se, pran, que a cmpnene generalizada residual apresena uma caracerísica paricular em relaçã às demais cmpnenes. Iss se deve à presença apenas das harmônicas ípicas hmplares. m express em (28, a cmpnene generalizada residual, é cmpsa unicamene pela sma das cmpnenes de seqüência psiiva e negaiva de Frescue das harmônicas ípicas hmplares d sisema riásic. 6 ONLUSÕES

12 s cmpnenes siméricas generalizadas apresenam-se cm uma erramena basane ineressane para análise de desequilíbri de sisemas riásics periódics nã senidais. Fi demnsrad que há uma relaçã maemáica enre as cmpnenes siméricas generalizadas e as cmpnenes siméricas de Frescue para cada reqüência harmônica que cmpõe um sisema riásic periódic. Um ar imprane a ser ressalad é que para sinais riásics periódics cmpss unicamene pela reqüência undamenal, s resulads bids n cálcul das cmpnenes siméricas generalizadas sã iguais as resulads bids nas cmpnenes siméricas de Frescue. Ns desenvlvimens eeuads cnsau-se a presença das cmpnenes de seqüência negaiva da reqüência de quina harmônica na cmpsiçã da cmpnene generalizada de seqüência psiiva, bem cm a presença das cmpnenes de seqüência psiiva da reqüência de quina harmônica, na cmpsiçã da cmpnene generalizada de seqüência negaiva. Pran, uma reavaliaçã sbre a nmenclaura a ser uilizada n cálcul das cmpnenes siméricas generalizadas deverá ser prpsa em uurs rabalhs. REFERÊNIS ILIORÁFIS []. L. Frescue, Mehd Symmerical rdinaes pplied he Sluin Plyphase Newrks. IEE Transacin, 37:027-40, 98. [2] W. V. Lyn, Transien nalysis lernaing urren Machinery. Jhn Wiley, New Yrk - US, 954. haper 2. [3] M. Depenbrck, eneralized Symmerical mpnens 4-Wire Vlages. Sixh Inernainal Wrkshp n Pwer Deiniins and Measuremens under Nn-Sinusidal ndiins, Ocber 0-5, 2003, Milan. [4] P. Teni, J. L. Willems, P. Maavelli, E. Tedeschi, eneralized Symmerical mpnens r Peridic Nn-Sinusidal Three-Phase Signals. Sevenh Inernainal Wrkshp n Pwer Deiniins and Measuremens under Nn-Sinusidal ndiins, July 0-2, 2006, agliari. [5] P. Teni, H. K. M. Paredes, F. P. Maraã, P. Maavelli, ccunabiliy and Revenue Meering in Smar Micr-rids Inernainal Wrkshp pplied Measuremens r Pwer Sysems (MPS, Sepember 22-24, 200, chen.