Soluções da Lista (Lógica)
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- Joana Melgaço
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1 Soluçõs d List (Lógic) ) A sguit süêci rsolv o probl ( lih d ci rprst u stá d u ldo do rio d bio u stá do tro ldo os prêtss ostr u cb d trvssr o rio): 5 6 ABbCc ABC AB(b)C ABC A()BC A (bc) c (b)c bc (BC)bc A(Bb) b b(c) (b) Cc (AB)Cc ABC ABC(bc) ABCc ABC(b)c No cso u A é polígo solução é álog; priiro lugr lv tods s sposs pr o tro ldo do rio u u (coo os pssos - ci); té chgr : 5 6 ABC ABC(c) Cc (Bb)Cc bc bc... 9 b (AB)... 9 b A... 9 A... 9 (BC) Agor ulur spos d A pod ir buscr b c vigs d brco coo os pssos 8- do it trior. ) A chv do probl é prcbr u A B são uito ltos dv vijr jutos pr cooizr tpo s hu dls dv voltr co ltr! Assi udo A B cruzr pot C D já dv str lá pr trzr ltr d volt. E su sguit süêci rsolv o probl: Tpo: i i i 5 i 7 i ABCD AB AB(C) C C(D) (CD) D (AB)D AB AB(CD) ). is são suficits ( pior hipóts s priirs is trão cors distits s trcir t d cobir co lgu ds priirs). b. 5 is ( pior hipóts s priirs is são d s cor). c. 6 is ( pior hipóts s priirs são zuis prcisos d is dus). ) Rtir u frut d ci u t o rótulo lrjs bs. Supoh u frut rtird é u lrj:. Etão st é ci ds lrjs; ão pod sr bs (pois tiros u lrj d lá) lrjs bs (o rótulo t d str rrdo crto?); b. Portto ci co o rótulo bs t d tr lrjs bs (ão pod sr ds lrjs pois já cotros ão pod sr bs poru su rótulo stá rrdo); c. Efi ci co o rótulo lrjs t d tr bs. Cso frut rtird sj u b o rciocíio é álogo trocdo s plvrs bs lrjs. 5) Há váris soluçõs. Por plo coc colocdo 6 dits cd prto; o prto is lv crtt t o dit flso. N sgud psg divid sts 6 dois grupos d pr dscobrir u grupo d stá o dit flso. Efi dsts dits ps o priiro co o sgudo; o is lv é o flso os u ls th o so pso udo o trciro é o flso. E trs plvrs s E rprst (o prto d surd é is lv) D rprst (o prto d surd é is lv) = rprst (prtos uilibr)... são os dits strtégi é: Psr 56 cotr 789 S E ps cotr 56 S E ps cotr S E é o flso. S D é flso. S = é flso. S D ps cotr 5 S E é flso. S D 5 é flso. S = 6 é flso. S D ps 789 cotr S E ps 7 cotr 8 S E 7 é o flso. S D 8 é flso. S = 9 é flso. S D ps cotr S E é flso. S D é flso. S = é flso.
2 Est strtégi udo lvd cbo gr sguit tbl d possibilidds: Dit Flso Rsultdo ds EEE EED EE= EDE EDD ED= DEE DED DE= DDE DDD DD= psgs Vl p otr u trs possibilidds coo por plo D=D =EE siplst jis ocorr co st strtégi.. Colou 9 dits cd prto dido 9 d for. O prto is lv coté o dit flso bos tê o so pso o grupo d for cotê o dit flso. D ulur for pós u psg liitos o probl u grupo d 9 dits. Dsts 9 colou cd prto (dido d for). Novt o prto is lv coté o dit flso tão o cso d uilíbrio o grupo u fic d for é u o coté. D ulur for pós sgud psg o probl fic liitdo dits. Efi ps u dsts co tro pr dtrir o dit is lv ( cso d iguldd o u fic d for é o flso). Co s otção do it trior st strtégi udo lvd cbo dtri u tbl u ssoci às cobiçõs EEE EED EE= tc. os úros d 7. Co urção corrt tríos sguit tbl d possibilidds: Dit Flso Rsultdo ds EEE EED EE= EDE EDD ED= E=E E=D E==... ==D === psgs 6) Sj ABCDEFGHIJKL os dits. Idiuos por + o fto d u o dit flso é is psdo por - o fto d l sr is lv. Há d fto hipótss possívis: A+ B+ C+... L+ A- B- C-... L- ( ps u dls é vrddir). Coc psdo ABCD cotr EFGH. Tos dus hipótss sscilt distits:. Os prtos ps o so Nst cso o dit flso é u dos d for ficos ps co s possibilidds I+ I- J+ J- K+ K- L+ L-. Ps IJ cotr AK (já sbos u A é u dos dits vrddiros). S os prtos psr o so L é o dit flso (L+ L-). Bst psá-lo cotr u tro pr dscobrir s l é is lv is psdo u os dis. S IJ for is psdos sobr ps I+ J+ K-. Ps I cotr J. O is psdo dos dois é o flso os u ls uilibr cso u tos K- (K é flso is lv). S IJ for is lvs sobr I- J- K+. Ps I cotr J. O is lv é o flso os prtos s uilibr tão K+. b. Os prtos s dsuilibr S prd d grlidd supoh u ABCD sj is psdos do u EFGH ( tr hipóts é álog). Ficos ssi co s possibilidds A+ B+ C+ D+ E- F- G- H-. Ps ABE cotr CDF. S os prtos uilibr G H é flso (G- H-). Ps G cotr H o is lv é o flso. S ABE é is psdo tos A+ B+ F-. Ps A cotr B o is psdo é o flso ( o uilíbrio F-: F é o flso is lv). S CDF é is psdo tos C+ D+ E-. Ps C cotr D o is psdo é o flso ( o uilíbrio E-: E é o flso is lv). 7) Sj os úros u Mrcos ps (digos ). Fç u tbl co tods s possibilidds pr cosidr covrs u Alcids tri co Btriz cd cso (dotros por s frs Eu si u são os úros por frs Aid ão si u são.). Alcids vê so. S l for Alcids sb os úros ( o priiro cso o sgudo). Qulur tr so fz co u Alcids fiu dúvid pois ulur so ior u pod sr lcçd d váris irs. A tbl coç tão ssi:
3 s s A sguir Btriz olh o produto. S o produto for u úro prio p Btriz sbrá u os úros são p rspctivt. Cso cotrário Btriz id é icpz d dcidir ulur cois pois hvrá váris opçõs tods ls vê co u do Alcids. A tbl d covrs fic ssi: ss ss s s s Coo cotiur tbl? Nos csos ss covrs cb. Nos csos s Alcids srá cpz d dduzir u os úros são p portto dscobri-los prtir d so u t ãos (ssi os csos corrspodts p co p prio ior do u lv à covrs ss ). Efi todos os tros csos do tipo Alcids vê so u t ãos id é icpz d dcidir u cs l stá tbl ci co u cção: s so foss Alcids dcidiri u ()=() ()=() sri cpz d distiguir tr s dus opçõs bsdo covrs té ui (u o priiro cso é s s o sgudo é ss ). Assi co rspost d Alcids tbl s tor: ss ss ss ss ss... s Agor é vz d Btriz. S o produto for prio já sbos o u cotc. S Btriz t lgu tro produto ãos l t d cosidrr váris hipótss coo ostr tbl ci tods ls covrs foi té ui co u cção: s o produto for Btriz t coo dcidir tr s úics possibilidds ()=() () obsrvdo tbl ci (u idic covrs s o priiro cso o sgudo). Etão tos: ss ss ss s ss ss... ss
4 Agor Alcids olh sus váris hipótss provvlt tods ls tê s covrs Alcids srá icpz d dcidir u são. As pcs cçõs (vj s digois sobrds) são os csos od lgué já dscobriu lgu úro. E prticulr s so for 5 s úics possibilidds ()=() () tê diálogos distitos té ui! Nst cso Alcids diri u sb u são os úros! ss ss ss ss ss ss... ss s Efi o próio psso Btriz ão sbrá cois lgu os u o produto sj 6 (s possibilidds d ()=(6) () são difrcids plo diálogo). A prtir dí Alcids Btriz sri cpzs d lcçr coclusõs ovs. A tbl fil é: sis ss ss ss ss ss ss ss ss Coo covrs foi ss os úros são. 8). b. c. A B AUB (AUB) c A c B c A c B c V V V F F F F V F V F F V F F V V F V F F F F F V V V V A B AUB B c (AUB) B c A B c V V V F F F V F V V V V F V V F F F F F F V F F A B C B C AU(B C) AUB AUC (AUB) (BUC) V V V V V V V V V V F F V V V V V F V F V V V V V F F F V V V V F V V V V V V V F V F F F V F F F F V F F F V F F F F F F F F F
5 d.. A B C A c A c B C c A C c (A c B)U(A C c ) AUB A C (A C) c (AUB) (A C) c V V V F F F F F V V F F V V F F F V V V V F V V V F V F F F F F V V F F V F F F F V V V V F V V F V V V V F F V V F V V F V F V V V F V V F V V F F V V F F F F F F V F F F F V F V F F F F V F p r s pv rvs (pv)(rvs) pr ps r s pr v ps v r v s V V V V V V V V V V V V V V V F V V V V F V F V V V F V V V V F V F V V V V F F V F F F F F F F V F V V V V V V V F F V V F V F V V V V F F F V V F F V V V V F V F F V V F F F V F F F F F F F F V V V V V V F F V V V F V V F V V V F F V F V F V F V V V V F F F V V F V F F V F F F F F F F F F V V F V F F F F F F F F V F F V F F F F F F F F F V F V F F F F F F F F F F F F F F F F F F Os digrs d V fic por cot do litor. 9) Coc por u digr co cojutos fç u lih u divid tods s 8 rgiõs istts o io. Coo fzr isto? A critério do litor... ). Sócrts ão é lto ão é ortl. b. Pltão ão é grgo ão é roo. c. Stbro (às vzs) ão chov cor rã ão fz sur. d. Não jtos vos o ci.. Eu cohço td d vocês td do u u gostri ão gosto d os d td d vocês td do u vocês rc. ). Escrvros s soluçõs coo prs orddos (): S
6 b. ) ( ) ( S c. Coo são ão-ulos podos cclá-los s dus últis uçõs: Tstdo st solução vos u l d fto rsolv o probl. Etão S. d. É is sipls dividir o probl dois csos ts d coçr: Cso : Etão o sist s tor: Cso : Nst cso podos cclr o ds dus priirs uçõs obtdo: Efi scrvdo solução for tos b b S. 8 6 S f. A lhor ir d rgr sts codiçõs é dshá-ls o plo crtsio. S você rlt ur fzr brido s 8 possibilidds você vi scrvr: Cso : (< >) < (< <) isto é < <<. Cso : (< >) < (> >) é ipossívl (fil < >). Csos : (< >) > blá-blá são ipossívis. Cso 5: (> <) < (< <) isto é << <. Cso 6: (> <) < (> >) é ipossívl (< >).
7 Cso 7: (> <) > (< <) é ipossívl (> <). Cso 8: (> <) > (> >) é ipossívl (< >). Jutdo tudo tos (< <<) (< <<). No plo crtsio srão dus fis rtgulrs u horizotl (vértics () () iliitd à surd) u vrticl (vértics () () iliitd pr bio). ) Jutdo s dus priirs uçõs tos: (E. ()). Há csos cosidrr:. Cso =. Etão o sist é uivlt 5 ddo solução (5). b. Cso =. Etão o sist é uivlt 5 ddo solução (5). c. Cso cotrário isto é Etão podos cclr dos dois ldos d ução () ci obtdo isto é. Substituido últi 5 ()() 8. Não é difícil vr u (8) é d fto solução do sist. S Jutdo tudo coclui-s u ) D ulur u ds dus priirs uçõs ot-s u λ. Etão. Substituido trcir t-s == ( portto λ=) ==- ( portto λ=-). Vrific-s u bs s trics ordds S (s trics stão ord ( λ)). srv tão ). A priir ução é ipossívl (dlt<) portto o sist é ipossívl. S. b. A sgud ução é uivlt = =5. Assi: i.cso = d priir ução t-s cujo dlt é gtivo ão t soluçõs. ii.cso =5 d priir ução t-s 5 u é ipossívl (dlt<). Etão S. c. A trcir ução é uivlt =z =-z. i.cso =z s dus priirs uçõs são uivlts pois sgud ução grt u pod sr ccldo priir. Est cso gr solução (). ii.cso =-z s dus priirs uçõs são uivlts pois ovt sgud ução grt u. Est cso gr solução (-). S. Efi d. A priir ução é u idtidd crsct rstrição lgu o sist. A sgud pod sr scrit coo isto é. A solução do sist é o cojuto d todos os prs u stisfz o os u dsts uçõs: R b b S b. Grfict o plo - são s bisstrizs dos udrts pricipis uião co circufrêci d ctro orig rio.
8 . Od sgud uivlêci é válid pois sgud ução grt u. No plo - solução é u fi rtgulr ifiit: R S. f. A sgud ução uivl (pois todo udrdo é ão-gtivo). A trcir os dá: Tstdo bs s rízs vê-s u =- é úic solução. Sob sts hipótss priir ução é uivlt u é válid pr todo. Assi R S. 5) O tto diz u s hu ds codiçõs ocorrr (iclusiv ivsão do Rio) uião ão itrvirá. O rtigo ão diz d sobr o u pod cotcr cso lgu ds codiçõs ocorr! Assi Uião ão t obrigção lgl d itrvir (s pod fzê-lo). 6) Coo tods s iplicçõs são rvrsívis id ão sbos s bs s soluçõs são válids! Not u iplicção problátic é rvrsívl tt udo - é ão gtivo tão bst vrificr uis ds soluçõs stisfz. D fto pr ulur positivo tos s. Portto úic solução é. 7). portto S. b. z z z z Not u s = +z= tods s três uçõs são stisfits. Assi R b b S. 8). p p p p p p V V V F F F V V V F F F F V V F V V V V V V F V V V V V b. p r p r r p r p r p r p V V V V V V V V V V F V F F F V V F V F V F V V V F F F V V F V F V V V V V V V F V F V F F V V F F V V V V V V F F F V V V V V
9 c. A B C B C AU(B C) AUB (AUB) C AU(B C)=(AUB) C A C V V V V V V V V V V V F F V V F F F V F V F V V V V V V F F F V V F F F F V V V V V V V V F V F F F V F V V F F V F F F F V V F F F F F F F V V 9) Pl cotr-positiv: C.Q.D. 7 8 z z 5 ) Por cotrdição: supoh u z z. Etão substituido s priirs uçõs z z z 8 8 z z ABSURDO. Portto. 5 z z z z z z ). Às vzs chov u ão olho. b. Todos os políticos do Brsil são dsostos. c. Todo tático us óculos. d. Há lgué u ão sb lógic pss st curso. ). VERDADEIRA bst tor =. b. VERDADEIRA bst tor =. c. VERDADEIRA bst tor =. d. FALSA. S foss vrddir tríos (todo =) = (todo =) = siultt o u é bsurdo. ). FALSA. Pr todo úro rl b. FALSA. Eist u úro itiro tl u (d fto = por plo). c. FALSA. Eist u rl tl u.(d fto =- por plo). d. VERDADEIRA. A gção sri: Eist úro rl tl u pr todo turl t-s.. FALSA. Pr todo turl ist úro rl tl u. ). FALSA. Cotr-plo: =-5. Eist u rl tl u. b. VERDADEIRA (ccl bos os ldos). c. VERDADEIRA. d. FALSA. Cotr-plo: =. Eist u turl tl u é pr s é prio.. VERDADEIRA. f. VERDADEIRA (por plo =).
10 5). FALSA. Pr todo rl. b. FALSA. Eist u rl tl u (d fto =). c. VERDADEIRA. Por plo =. d. VERDADEIRA. Por plo =.. VERDADEIRA. S N bst tor =. Cso cotrio to por plo f. VERDADEIRA. Bst tor. 6 N. g. FALSA. Eist u rl tl u pr todo rl. (Por plo =5). h. VERDADEIRA. Bst tor. 6) Supoh u há N brsiliros o udo. A cd u dls ssocios o su úro d igos u clrt srá u úro tr N-. Not u u brsiliro co igos ão cohc igué uto u brsiliro co N- igos cohc tods s trs pssos do grupo. Poré s há u brsiliro rit ( igos) ão pod hvr u brsiliro supr-populr (N- igos) já u sts ão s cohcri! Assi o cosidrr fução f u lv cd brsiliro su úro d igos há ps dus hipótss cosidrr:. A ig d f stá cotid {...N-}. b. A ig d f stá cotid {...N-}. E ulur cso tos N brsiliros ps N- possibilidds pr o vlor d f. Assi há dois brsiliros u tê o so úro d igos ( s você prfrir f ão é ijtiv)! 7) Supoh por cotrdição u há fiitos úros prios digos p p... p. Cosidr o úro N p p... p. Not u N di rsto divisão por cd u duls prios. Portto N ão possui ftors prios o u é u bsurdo (todo turl ior u possui dcoposição úic ftors prios). Coclusão: há ifiitos úros prios. 8) Supoh por cotrdição u Q. Clrt tão é possívl scrvr od são itiros prios tr si. Etão é pr é pr k pr lgu k itiro. Portto k k é pr é pr. Ms são prs prios tr si! ABSURDO! Coclusão: Q 9) Supoh por bsurdo u p+ é rciol. Etão podos scolhr b itiros (b ão ulo) tis u p. Aliás coo p são rciois difrt d zro podos scrvr p=c/d =/f od cdf são b itiros (d f ão ulos). Portto (ot coo usos u o dividir por ): c c b d f d bc d f b bd f sri u frção co itiros o urdor doidor isto é sri rciol o u é u bsurdo. Coclusão: p+ dv sr irrciol. ) Sj u itiro ípr ulur. Etão podos scrvr k pr lgu k itiro. Assi k k k k. Coo k k+ são itiros coscutivos plo os u dls é pr! Assi é divisívl por 8 isto é di rsto divisão por 8.
11 b b c ) Cosidr gor ução b c cujs rízs são. Não é difícil vr u sts rízs são rciois s sot s o dtrit b c for u udrdo prfito. Ms b di rsto divisão por 8 coo c são íprs c di rsto divisão por 8. Portto b c é u úro ípr u di rsto 5 divisão por 8. Coo o rsto ão é o úro ípr b c ão pod sr u udrdo prfito! Tst Fv ). Eist u rl tl u 8 5. VERDADEIRA. D fto = rsolv ução. b. Pr todo rl. VERDADEIRA. u é vrddir pr ulur rl. c. Pr todo turl si. VERDADEIRA. Os âgulos d for são côgruos os âgulos d 8 grus cujos sos são ulos. d. Pr uisur ris t-s. FALSA. D fto ist ris tis u ; bst tor por plo = =-.. Pr uisur ris t-s. FALSA. D fto ist ris tis u ; bst tor por plo = =/. f. Pr todo rl ist rl tl u. VERDADEIRA. Bst tor = =+ (u são s rízs d ução ci). g. Eist rl tl u pr todo rl 5. FALSA. Pr todo rl ist rl tl u 5. D fto ução ci é uivlt = =; ssi coo cotr-plo bst tor. (Not: ão podos tor = co ituito d provr u firção é vrddir pois ão pod dpdr d cuiddo co ord!) ). z D sgud ução. CASO : S = substituido priir ução tos u. Efi substituido bos trcir tos u z z. Portto tos dus trs st cso: () (-). CASO : S = substituido priir ução tos u u ão t solução rl. Efi jutdo tudo cocluíos u: S b. 6 8 z z Coços pl sgud ução. Tos:
12 Tstdo bs s rsposts vê-s u =-6 ão srv uto =- é solução. Substituido priir ução coclui-s u =- tbé. Efi colocdo os vlors d últi ução t-s z z portto ão há codição ipost z. Efi: S z ; z R ). S Buos Airs é cpitl do Brsil tão Mus é cpitl do Azos. VERDADEIRA (pois hipóts d iplicção é fls). b. Eist u rl tl u. VERDADEIRA. Eplo: =. c. Pr todo turl é pr é prio. FALSA. Cotr-plo: =9. d. Pr uisur ris t-s. VERDADEIRA já u cotr-positiv é clrt vrddir.. Pr uisur ris t-s. VERDADEIRA já u. f. Pr todo rl ist rl tl u. FALSA. Cotr-plo: = (pr o ul ão ist corrspodt). g. Eist rl tl u pr todo rl l. FALSA. Tríos pr todo o u iplic tl ão ist. l l ). l l l D priir ução bos tê d sr positivos (pr u os logritos ist); ssi podos cclr d bos os ldos cocluir u. Substituido sgud ução dscobrios u l l l l. Ms ulur u dsts csos tr vriávl tri d sr (já u +=) o u é bsurdo (pois l ão ist). Assi o sist ão t solução! 5) S o sist tivss soluçõs ris d priir ução cocluiri-s u (usdo propridd dd dus vzs co dpois co =). Alogt d sgud coclui-s u >. Etão tos u ABSURDO! Coclusão: o sist ão t soluçõs! C.Q.D.
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