UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA Centro de Ciências Exatas CCE Departamento de Matemática MAT099. Roteiro de Estudo

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA Centro de Ciências Exatas CCE Departamento de Matemática MAT099 Tutoria em Introdução à Matemática Roteiro de Estudo DMA - UFV 5 de março de 018

2 Sumário 1 Conjuntos Numéricos Teoria de Conjuntos Conceitos Primitivos Notação Subconjuntos Definições Especiais de Conjuntos Operações com Conjuntos Números Racionais Simplificação de frações Operações com frações Números Reais Intervalos de Números Reais Potenciação Logaritmo Radiciação Racionalização de denominadores Valor Absoluto ou módulo de um Número Real Somatório e Produtório Expressões Algébricas Operações com Expressões Algébricas Produtos Notáveis e Fatoração Videoaulas Polinômios 9.1 Definição e propriedades Divisão de polinômios Divisão de um polinômio por um binômio (x a) Dispositivo prático de Briot-Ruffini Relações de Girard Raízes Racionais Decomposição em frações parciais Videoaulas ii

3 3 Equações e Inequações Equações e Inequações polinomiais Equações e Inequações Racionais Equações e Inequações Modulares Equações e Inequações exponenciais Equações e Inequações logarítmicas Sistemas de Inequações polinomiais Inequação Produto e Inequação Quociente Videoaulas Função Definição Gráfico de Funções Reais Translação, Contração e Expansão Funções Básicas Função Polinomial Função Racional Função Definida por Partes Função Modular Álgebra de Funções Comportamento de uma função Funções injetoras, sobrejetoras e bijetoras Função Inversa Funções transcendentes Função Exponencial Função Logarítmica Modelagem de Problemas de Otimização Videoaulas Trigonometria Relações trigonométricas em um triângulo Retângulo Ciclo trigonométrico As funções trigonométricas Identidades Trigonométricas Relações Métricas num Triângulo qualquer Funções Trigonométricas Inversas Substituições Trigonométricas Substituição do tipo x = a.sen(θ) Substituição do tipo x = a.tg(θ) Substituição do tipo x = a. sec(θ) Videoaulas iii

4 6 Noção de Limites Idéia Intuitiva de Limite Definição de Limite Assíntotas Verticais e Horizontais Videoaulas Construção de Gráficos Regiões no plano Interseção entre duas retas Cálculo de áreas limitadas por retas Regiões limitadas por funções iv

5 . O principal objetivo da disciplina MAT Tutoria em Matemática é rever conteúdos básicos de Matemática a fim de sedimentar o conhecimento necessário ao desenvolvimento de disciplinas de nível superior tais como Cálculo Diferencial e Integral. Nesta apostila recordamos de maneira bastante informal e brevemente os principais conteúdos que formam a base para disciplina Cálculo I. Para cada tópico selecionamos um pequeno conjunto de exercícios - insuficientes no entanto para nível de compreensão exigido para a disciplina. Para alguns exercícios selecionados exibimos um comando do software de geometria dinâmica GeoGebra para auxiliar na resolução do exercício. Ao final de cada capítulo sugerimos um conjunto de videoaulas com os conteúdos do capítulo. Mas atenção, a lista de vídeos foi elaborada por alunos de matemática e alguns vídeos podem conter erros ou pouco rigor matemático. Se tiver qualquer dúvida sobre algum vídeo, nos ajude a melhorar esta lista enviando sugestões de vídeos gratuitos ou sugerindo a retirada de algum. Esperamos que este roteiro seja útil, mas ele certamente não dispensa uma participação efetiva nas aulas presenciais e nas tutorias e muito menos um bom livro didático com os conteúdos abordados.

6 Capítulo 1 Conjuntos Numéricos 1.1 Teoria de Conjuntos Conceitos Primitivos Notação Subconjuntos Definições Especiais de Conjuntos Operações com Conjuntos Números Racionais Simplificação de frações Operações com frações Números Reais Intervalos de Números Reais Potenciação Logaritmo Radiciação Racionalização de denominadores Valor Absoluto ou módulo de um Número Real Somatório e Produtório Expressões Algébricas Operações com Expressões Algébricas Produtos Notáveis e Fatoração Videoaulas

7 1.1 Teoria de Conjuntos Conceitos Primitivos Podemos definir um conjunto como uma coleção bem definida de objetos. Se, em particular, esses elementos são números, temos um conjunto numérico. Assumiremos conhecidos neste roteiro os conjuntos numéricos dos números naturais N, o conjunto dos números inteiros Z, o conjunto dos números racionais Q, o conjunto dos números reais R e as operações nestes conjuntos. Nas próximas seções recordaremos brevemente os conjuntos Q e R e as princiais propriedades envolvendo operações nestes conjuntos. Exemplos de conjuntos: 1. O conjunto de todos os automóveis.. O conjunto de todos os números naturais (N). 3. O conjunto de todos os números reais tal que x 9 = 0. (Observe que aqui as possíveis respostas são 3 e 3. Por quê?) Na maioria dos casos, um conjunto é denotado por uma letra maiúscula do alfabeto: A, B, C, D, E..., Z. Elemento É um dos componentes que formam um conjunto. Exemplos: 1. Abelha é um elemento do conjunto dos insetos.. O número 8 é um elemento do conjunto dos números naturais é um elemento do conjunto dos números reais que satisfaz à equação x 5. (Por quê) Em geral, um elemento de um conjunto, é representado por uma letra minúscula do alfabeto: a, b, c, d, e..., z. Pertinência É a característica (Pertencer) associada a um elemento que faz parte de um conjunto. Uma Xícara pode pertencer a um conjunto de xícaras devidamente selecionado. 7 pertence ao conjunto dos números naturais. -7 pertence ao conjunto de números reais que satisfaz à equação x 49. Símbolo Se um elemento pertence a um conjunto utilizamos o símbolo que se lê: pertence. Para afirmar que 1 é um número natural ou que 1 pertence ao conjunto dos números naturais, escrevemos: 1 N. Para afirmar que 0 não é um número natural ou que 0 não pertence ao conjunto dos

8 3 números naturais, escrevemos: 0 / N. O símbolo da barra (/) traçada sobre o símbolo normal (/ não pertence ) é muito utilizado para uma negação Notação Existem várias maneiras de representar um conjunto. Uma das maneiras é representá-lo com os seus elementos dentro de duas chaves {e} através de duas formas básicas e de uma terceira forma geométrica: Apresentação: Os elementos do conjunto estão dentro de duas chaves {e}. A = {a, e, i, o, u} (Conjunto das vogais) N = {1,, 3, 4,... } (Conjunto dos números naturais) M={João, Maria, José} Descrição: O conjunto é descrito por uma ou mais propriedades. A = {x : x é uma vogal}. N = {x : x é um número natural}. M={x : x é uma pessoa da família de Maria}. Diagrama de Venn-Euler: Os conjuntos são mostrados graficamente Subconjuntos Dados dois conjuntos A e B, dizemos que A está contido em B, e é representado por A B, quando todos os elementos de A também estão em B ( lê-se como subconjunto). Algumas vezes diremos que um conjunto A está propriamente contido em B, quando o conjunto B, além de conter os elementos de A, contém também outros elementos. Desta forma o conjunto A é chamado de subconjunto de B e o conjunto B é o superconjunto que contém A Definições Especiais de Conjuntos Conjunto Vazio É um conjunto que não possui elementos. É representado por {} ou pelo símbolo.

9 4 O conjunto vazio está contido em todos os conjuntos. Conjunto Universo É um conjunto que contém todos os elementos do contexto no qual estamos trabalhando e também contém todos os conjuntos desse contexto. O conjunto universo é representado por uma letra U. Conjunto Unitário É o conjunto que apenas possui um único elemento Operações com Conjuntos União ou Reunião A reunião dos conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A ou ao conjunto B. A B = {x : x A ou x B}. Exemplo: Se A = {a, e, i, o} e B = {1, 3} então A B = {a, e, i, o, 1, 3}. Intersecção A interseção dos conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A e ao conjunto B. A B = {x : x A e x B} Exemplo: Se A = {a, e, i, o, u} e B = {1,, 3, 4} então A B =. Quando a interseção de dois conjuntos A e B é o conjunto vazio, dizemos que estes conjuntos são disjuntos. Diferença A diferença entre os conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A e não pertencem ao conjunto B. A B = {x : x A e x / B}. Do ponto de vista gráfico, a diferença pode ser vista como: Completamento O complemento do conjunto B contido no conjunto A, representado por C A B (Lê-se Complementar de B em relação a A) é a diferença entre os conjuntos A e B, ou seja, é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A e não pertencem ao conjunto B. Ou você pode pensar: O que falta ao conjunto B para que ele se tornasse o conjunto A. C A B = A B = {x : x A e x / B}.

10 5 Graficamente, o complemento do conjunto B no conjunto A, é dado por: Quando não há dúvida sobre o universo U em que estamos trabalhando, simplesmente utilizamos a letra c posta como expoente no conjunto, para indicar o complemento deste conjunto. Muitas vezes usamos a palavra complementar no lugar de complemento. Exemplos: c = U e U c =. (O Complementar do universo é o conjunto vazio e vice-versa.) Diferença Simétrica A diferença simétrica entre os conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem à reunião dos conjuntos A e B e não pertencem à interseção dos conjuntos A e B. A B = {x : x A B e x / A B}. O diagrama de Venn-Euler para a diferença simétrica é: Leis i) Fechamento: Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, a reunião de A e B, denotada por A B e a interseção de A e B, denotada por A B, ainda são conjuntos no universo. ii) Reflexiva: Qualquer que seja o conjunto A, tem-se que: A A = A e A A = A. iii) Inclusão: Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, tem-se que: A A B, B A B, A B A, A B B. iv) Inclusão relacionada: Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, tem-se que: A B equivale a A B = A; A B equivale a A B = A.

11 6 v) Associativa: Quaisquer que sejam os conjuntos A, B e C, tem-se que: A (B C) = (A B) C; A (B C) = (A B) C. vi) Comutativa: Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, tem-se que: A B = B A; A B = B A. vii) Elemento neutro para a reunião: O conjunto vazio é o elemento neutro para a reunião de conjuntos, tal que para todo conjunto A, se tem: A = A. viii) Elemento nulo para a interseção: A interseção do conjunto vazio com qualquer outro conjunto A, fornece o próprio conjunto vazio, isto é, A =. ix) Elemento neutro para a interseção: O conjunto universo U é o elemento neutro para a interseção de conjuntos, tal que para todo conjunto A, se tem: A U = A. x) Distributiva: Quaisquer que sejam os conjuntos A, B e C, tem-se que: A (B C) = (A B) (A C); A (B C) = (A B) (A C). Os gráficos abaixo mostram a distributividade. Exercícios 1. Reescreva as proposições abaixo usando as notações da Teoria de Conjuntos: (a) x não pertence a B (b) b pertence a A e b não pertence a B. (c) G não é subconjunto de A. (d) D excluindo os elementos de B contém A. (e) A reunião de A com B esta contido em C.. Considere os seguintes conjuntos A = {..., 1 3, 1 8, 1, 1 4, 1 16, 1 } 64,... e B = {x Z x divide 40}.

12 7 (a) Descreva o conjunto A por uma propriedade que determine os seus elementos. (b) Descreva os elementos do conjunto B. 3. Descreva em linguagem corrente e designe os elementos dos conjuntos abaixo: (a) A = {x R : x = 16} (b) B = {x Z : x = } (c) C = {x R : x < 1} (d) D = {x N : x = 16} Gabarito 1. (a) x / B (b) b A e b / B (c) G / A (d) A (D B) (e) (A B) C. (a) A = {( 1 )n /n N} (b) { 40, 10, 140, 150, 84, 70, 60, 4, 35, 30, 8, 1, 0, 15, 14, 1, 10, 7, 6, 5, 4, 3,, 1, +1, +, +3, +4, +5, +6, +7, +10, +1, +14, +15, +0, +1, +8, +30, +35, +4, +60, +70, +84, +105, +140, +10, +40} 3. (a) x pertencente aos reais tal que o quadrado de x é igual a 16 = { 4, 4} (b) x pertencente aos inteiros tal que o quadrado de x é igual a = (c) x pertencente aos reais tal que o quadrado de x é menor que 1 = (d) x pertencente aos naturais tal que o quadrado de x é igual a 16 = {4} 1. Números Racionais Uma fração a com a, b Z, b 0 é uma razão entre números inteiros. Chamamos o b número a de numerador e ao número inteiro não nulo b de denominador da fração. Isto é, O conjunto de todas as frações é chamado conjunto Q dos números racionais. { a } Q = b ; a Z, b Z e mdc(a, b) = 1, onde Z denota o conjunto dos inteiros excluindo o zero. (Em geral, o símbolo exclui o zero de um conjunto). Dois números racionais a b e c são equivalentes (iguais) quando ad = bc. d

13 Simplificação de frações Simplificar uma fração é representar o mesmo número racional por uma outra fração equivalente mais simples (números ou expressões menores). Para simplificar uma fração basta dividir o numerador e o denominador pelo seu máximo divisor comum. Exemplos: (a) (b) = = 3 4 = = 1 5 (c) = = 7 9 (d) 1 7 = = Operações com frações Adição Só é permitido somar (ou subtrair) frações com mesmo denominador. Quando necessário, devemos reduzir as frações ao mesmo denominador ao trabalhar com essas operações. a b + c b = a + c, onde b 0 e b a b + c d ad + bc =, onde b, d 0 bd Exemplos: (a) (b) = = = 15 = (c) = = (d) = = Multiplicação Na multiplicação de frações, multiplica-se os numeradores e os denominadores entre si. Exemplos: a b. c d = ac bd onde b, d 0 (a) = = 10 1 (b) = = 3.5 = 3 10 (c) = 40 99

14 9 Divisão Na divisão de frações, multiplica-se a fração do numerador pelo inverso da fração do denominador. a b c d = a b.d c = ad bc, onde b,c,d 0 ou a b c d = a b.d c = ad bc Exemplos: 3 (a) 4 = 4 = = 3.4 = 1 3. = 1 6 (b) = = = 5 4 Atenção: Abaixo são listados erros muito comuns. Tente encontrá-los e fique atento para não cometê-los: x + y = x y ERRADO 1 a + 1 b = 1 a + b ERRADO a b = b a ERRADO x.y y = x CERT O 1 a + 1 b = b + a a.b CERT O a b = 1 b a a CERT O Exercícios 1. Efetue e simplifique o resultado, se possível: (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) Efetue: (a) (b)

15 10 (c) [( ) ] (e) (d) Gabarito 1. (a) 9 3 (b) 9 10 (c) (a) 16 (b) 7 (d) (e) 31 4 (f) (c) 9 (d) 6 (g) (h) (e) Comandos GeoGebra: 1h) Caixa de Entrada: Simplificar[9/(4/7)-(/5)/4] e) Caixa de Entrada: Simplificar[(3/8)/(4/3)+(1/)/(1/5)-(1/6)/(/3)] Números Reais Sabemos que uma reta possui infinitos pontos. Definimos o conjunto dos números reais, denotado por R, como um conjunto numérico no qual seus elementos estão em correspondência biunívoca (um-a-um) com os pontos de uma reta. Construindo um triângulo retângulo com um de seus vértices em 0, e seus catetos unitários, temos: A hipotenusa do triângulo mede e está sobre a reta, ou seja, o número pertence à reta r, e conseqüentemente, R. Já vimos que não é racional. Assim, definimos os números irracionais como sendo o conjunto dos números que são reais e não são racionais, denotado por R\Q. A união dos números racionais e irracionais forma o conjunto dos números reais.

16 Intervalos de Números Reais Intervalos são subconjuntos de números reais como nos casos descritos abaixo. Podese fazer uma representação gráfica desses conjuntos. Notação Definição (a, b) {x R : a < x < b} [a, b) {x R : a x < b} [a, b] {x R : a x b} (a, b] {x R : a < x b} (a, ) {x R : x > a} [a, ) {x R : x a} (, b) {x R : x < b} (, b] {x R : x b} (, ) R 1.3. Potenciação A operação de potenciação é definida da seguinte forma: dados a R e n N, definimos a n = a.a.a...a. Por definição temos ainda a 0 = 1. Chamamos a de base e n de expoente. Podemos estender a definição para expoentes inteiros fazendo a n = 1 a. No n caso de bases racionais a definição é análoga. Exemplos: ( ) 7a 4 1 (a) = 7a4 b b ( (b) 7 ) 1 = (c) ( 3) = ( 3).( 3) = 9 (d) 5 = 1.5 = 5 (e) ( 5) = ( 5).( 5) = 5 (f) ( 4) 3 = ( 4).( 4).( 4) = 64 ( (g) 5) 4 ( = 5 ( = 4) 5 ) (. 5 ) 4 4 Propriedades: = 5 16 Se a, b Q e se m, n Z então valem as seguintes propriedades: 1) a m.a n = a m+n ) am a n = am a n = a m n, a 0. 3) (a m ) n = a m.n

17 1 4) ( a b ) n = a n b n, b 0 Exemplos: (a) ( 4xy 3 ) = ( 4xy 3 ).( 4xy 3 ) = 16x y 6 (b) 5x3 y 7xy = 5x3 y 7xy = 5 7 x y 1 = 5x 7y ) 3 (c) (x. y = 8.x 3. y6 3 7 = 8x3 y 6 7 ( ) 4x ( ) 3b 3 (d) = = (3b3 ) 3b 3 4x (4x ) = 9b6 16x 4 Exercícios 1. Sabendo que x é um número inteiro, escreva na forma de uma só potência cada uma das expressões: (a) 10 x.10 3 x (b) 3 (c) 3 x x (d) (10 x ) 3 5 x (e) 5 3x (f) (x + 4).(x + 4) 3 (g) ( x.4 ) 1 (h) (6 x.6 4 ) 1 4 (i) (j) (k) ( xy ) 3 (l) ( a b c) 5 (m) ( 3) (n) ( 5 ) 4 + ( 1 5 ) Calcule: (a) 1 (b) 5 1 (c) 3 5 (d) (e) Gabarito 1. (a) 10 x 3 (b) x+3 (c) 3 (d) 10 3x (e) 5 4x. (a) 1 (b) 5 (f) (x + 4) 1 (g) x+4 (h) 6 x+ 4 (i) 5 (j) (c) 5 3 (d) 35 3 (k) x 3 y 6 (l) 5 a 10 b 10 c 5 (m) 3 (n) 4 (e) 13 36

18 Comandos GeoGebra: 1n) Caixa de Entrada: ((-5^)-4^+(1/5)^0)/(3^+1) e) Janela CAS: (3^-4-^-4)/(3^--^-) Logaritmo Seja a e b números reais positivos, com a 0. Chama-se logaritmo de b na base a, o expoente que deve ter a para que a potência obtida seja b. Isto é, log a b = c a c = b Como conseqüência da definição, segue para 0 < a 1, e para b, c > 0, as seguintes propriedades: log a 1 = 0 log a a = 1 log a (b.c) = log a b + log a c log a (b/c) = log a b log a c log a b m = m. log a b a log a b = b log a b = log k b log k a ; k = constante Notações: 1. Escrevemos apenas log(b) quando a base for 10, isto é, log(b) = log 10 (b).. Escrevemos ln(b) quando a base for e, onde e é um número irracional aproximadamente igual à, chamado número de Euler. Este caso particular de logaritmo é chamado logaritmo natural ou logaritmo neperiano Radiciação A operação de radiciação é a inversa da operação de potenciação, ou seja, q a = b b q = a. OBS.: 1- Note que se q é um número par então a é um número positivo ou nulo.

19 14 q - Dados a, q N, a pode não ser racional, isto é, nem sempre existe m n tal que q a = m. Tais números (não racionais) são chamados números irracionais. n Um número irracional tem representação decimal ilimitada e não-periódica. Centenas de anos antes de Cristo os pitagóricos já sabiam que não é um número racional. De fato, suponha que seja racional. Assim, = a onde a,b b Z, b 0 e mdc(a, b) = 1. Daí, b = a b = a. Como b é um número par, para todo b Z, temos que a é par, e conseqüêntemente, a é par. Assim, a = p, onde p Z. Logo, b = (p) b = 4p b = p. Daí, b é um número par, e então b é par. Como a e b são pares, o mdc(a, b) 1, o que é um absurdo já que tomamos a e b tais que mdc(a, b) = 1. Exemplos: Números não-racionais: = 1, , π = 3, , e =, Principais propriedades da radiciação: 1.. n an = a se a 0 n a.b = n a. n b 3. a b = a b 4. ( a x m ) n = ( a x m.n ) m 5. n a = m.n a Atenção: Pode acontecer de a.b > 0 e a/b > 0 mesmo a e b não sendo positivos (Como?). Como isso afeta as propriedades de 1 a 4? em que essas igualdades não se verificam? É possível encontrar exemplos Exemplos: (a) 3 =. = (b) 6 4 = 6 4 = 3 (c) 4.5 = 4. 5 =.5 = 10

20 15 (d) 5 9 = 5 9 = 5 3 (e) ( 7 ) 5 = 7 5 (f) ( 5 3 ) = 5 6 = = (g) a = 3. a = 6 a 5 (h) a a 3 = 5 a.a 3 = 10 a 5 = a Observação: Para introduzir um termo numa raiz eleva-se o número na potência correspondente ao índice da raiz onde ele será introduzido. Exemplo: x x + x = x (x + x ) = x 3 + x 4 Exercícios 1. Sabendo que x = então ache o valor para x 6 [x 4 (x 1)].. Simplifique: 10 (a) 4 1 (b) (c) (a.b) 10 8 (d) 3. Observe: ( 5 3 )6 4 (e) 0, 1 (f) 10 (g) 5 4 (h) 3 5 n a1.a.a 3...a m = n a 1. n a. n a 3... n a m. Conclusão: A raiz de um produto é igual ao produto das raízes, desde que a raiz de cada fator que compõem o produto original exista. Exemplo: 9.4 = 9. 4 = 3. = 6 (a) Mostre com um exemplo que, em geral: n a + b n a + n b (b) Por que, em matemática, um exemplo não é suficiente para mostrar uma afirmativa, mas um contra-exemplo basta para não validá-la? 4. Quanto vale? a 4.3 b c d ( 4).( 16) Gabarito 1. 3.

21 16 (a) (b) (c) (ab) (d) 4 ( 5 3 )3 (e) 0, 1 (f) 4 10 (g) (h) (a) (b) O exemplo mostra um caso, mas para que a afirmação seja verdadeira, tem que ser para todos os casos. Porém para invalida-la um contraexemplo já mostra o que se pede, um caso em que a afirmação é falsa. 4. (a) 1 (b) 1 1 (c) 7 (d) Comandos GeoGebra: 1) Caixa de Entrada: sqrt()^6*(sqrt()^4*(sqrt()^ - 1)) h) Janela CAS: (5^(1/3))^(1/4) 4a) Caixa de Entrada: sqrt(^4*3^) Racionalização de denominadores Muitos procedimentos algébricos (nos cursos de cálculo) tornam-se mais simples quando no denominador de uma fração não aparecem radicais. Racionalizar o denominador consiste em eliminar os radicais do denominador. Primeiro caso: No denominador aparece somente um termo com radical. Neste caso efetuamos uma multiplicação por um fator conveniente de forma a eliminar o radical. 3 (i) 7 = = = (ii) 1 3 = = 3 4 Segundo caso: O denominador é a soma de dois termos, contendo ao menos um deles um radical. Sejam a e b dois números reais. Os números (a + b) e (a b) são chamados conjugados. Usando esse fato e o fato de que (a + b)(a b) = a b (Verifique!!), podemos racionalizar denominadores de frações em que aparecem raízes quadradas. Veja os exemplos seguintes:

22 17 (1) 1 = ( 3 + 5)( 3 5) = = 3 5 ( ) = 3 5 = () (3) ) =... = 3( =... = 5( 7 + ) 7 (4) = ( + 3) + 5 = [( + 3) 5] [( + 3) + 5][( + 3) 5] = 6( + 3 5)... = 6 Esses exemplos permitem observar que se no denominador de uma fração aparece uma soma ou uma diferença de raízes quadradas, então o conjugado do denominador 3 é o fator racionalizante. O mesmo acontece com ? Uma outra propriedade permite associar raízes com potência de números racionais. q ap = a p q, sendo q. Exemplos: 1. (x 7) 3 = 1 (x 7) 3 = 1 3 (x 7) ( ) 1 ( ) x 3 y 3. = x ( ) 1 = = 7 + x 3 y 7 + x y y Atenção: Abaixo são listados erros muito comuns. Tente descobrir onde houve falhas e fique atento para não cometê-las: x x + x = x + x 3 ERRADO x x + x = x (x + x ) = x 3 + x 4 CERT O x + y = x + y ERRADO x.y = x. y, se x 0 e y 0 CERT O x 1 3 = 1 x 3 ERRADO x 1 3 = 1 Exercícios x 1 3 = 1 3 x CERT O 1. Faça o produto dos fatores abaixo para verificar que: O fator racionalizante de 3 x + 3 y é 3 x 3 xy + 3 y O fator racionalizante de 3 x 3 y é 3 x + 3 xy + 3 y Então, racionalize:

23 18 (a) (b) (c) (d) Racionalize: (a) 3 6 (e) (b) (c) (d) (f) (g) Gabarito (a) 7 (b) (a) (b) 3 (c) ( ) 5 (d) 3 3 (c) (d) (e) (f) (g) Comandos GeoGebra: 1a) Janela CAS: a:5^(1/3)+^(1/3) b:(5^)^(1/3)-10^(1/3)+(^)^(1/3) b/expandir[a*b] a) Janela CAS: rationalize(3/(sqrt(6)-sqrt())) Valor Absoluto ou módulo de um Número Real Dado um número real x, o módulo (ou valor absoluto) de x, que se indica por x, é definido por: { x, se x 0 x = x, se x < 0 Então:

24 19 se x é positivo ou zero, x é igual a x: 3 = 3, 1 = 1, =, 0 = 0 se x é negativo, x é igual a x: 3 = ( 3) = 3, = ( ) = Da definição vemos que: O módulo de um número real nunca é negativo. Geometricamente, o módulo de um número real x é igual à distância do ponto que representa, na reta real, o número x ao ponto 0 de origem, independentemente de suas posições relativas. Assim: a proposição x < a ( sendo a > 0) significa que a distância entre x e a origem é menor que a, isto é, x deve estar entre a e a na reta real. x < a a < x < a a proposição x > a (com a < 0) significa que a distância entre x e a origem é maior que a, isto é, x deve estar à direita de a ou à esquerda de a na reta real. x > a x > a ou x < a Exercícios 1. Discuta se as questões abaixo são verdadeiras ou falsas: (a) a é sempre positivo. (b) a é sempre negativo. (c) a pode ser nulo. (d) a = a para todo a real. (e) abc = a b c para quaisquer a, b, c reais. (f) ab < a b para quaisquer a, b reais. (g) a + b = a + b para quaisquer a, b reais. (h) a = a = a para todo a real. (i) ( ) + c = + c para todo c 0. (j) a b a b para quaisquer a, b reais.. Elimine o símbolo de valor absoluto: (a) ( 5). 3 6 (b) 6 ( ) (c) (d) (e) (f) 4x (g) x (h) 3 + x se x < 3 (i) 5 x se x < 5

25 0 3. Aplicando a definição,determine: (a) 4x + 1 quando x = 1 (b) 5 x quando x = 1 (c) x 3x + 1 x 3 + x quando x = 4. Considere, em R, a expressão x x. Determine o valor numérico desta expressão para: (a) x = 4 (b) x = Calcule: (a) x 3 + x 1, com x > 3 (b) x 4 x 6, com x < 4 Gabarito 1. (a) F (c) V (e) V (g) F (i) F (b) F (d) F (f) F (h) V (j) V. (a) ( 5).3 6 (b) ( ) (c) (d) 5 (e) (f) 4x, se x 0 ou 4x, se x < 0 (g) x (h) (3 + x) (i) 5 x 3. (a) 3 (b) 3 (c) (a) 1 (b) (a) x 4 (b) Comandos GeoGebra: a) Caixa de Entrada: Simplificar[ -6 /(-)] 3a) Caixa de Entrada: Simplificar[ 4*(-1)+1 ] 4b) Caixa de Entrada: Simplificar[*10-10 ] 5a) Caixa de Entrada: Se[ x>3, x-3 + x-1 ]

26 Somatório e Produtório Somatório: Dado a k uma sequência de números reais. Definimos o somatório de a k de 1 até n como sendo a função n k=1 a k : N R que satisfaz as seguintes propriedades: 1. 1 i=1 a i = a 1. n i=1 a i = a i + n 1 i=1, para todo n > 1 3. n i=m k = (n m + 1)k para k constante 4. n i=m kf(i) = k n i=m f(i) para k constante 5. n i=m (f(i) + g(i)) = n i=m f(i) + n i=m g(i) 6. n i=m a i a i+1 = a m a n+1 Exemplos: 1. 5 k=1 k = = k= k = = k=1 + 3k = 3 k=1 + 3 k=1 3k = k=1 k = = 4 Produtório: Dado a k uma sequência de números reais. Definimos o produtório de a k de 1 até n como sendo a função Π n k=1 a k : N R que satisfaz as seguintes propriedades: 1. Π 1 k=1 a k = a 1. Π n k=1 a k = a n Π n 1 k=1, para todo n > 1 Exemplos: 1. Π 5 k=1 k = = 10. Π 3 k= k = 3 = 3 Exercícios 1. Utilizando o simbolo de somatório ou produtório, represente as seguintes expressões: (a) z 1 + z z 7 (b) x 1 y 1 + x y x 10 y 10 (c) b 0 + b 1 x + b x + b 3 x 3 + b 4 x 4 (d) (e) cx 1 cx... cx n 1 cx n (f) (X 1 Y 1 )(X Y )(X 3 Y 3 )... (X n Y n ). Sabendo-se que n x=1 n(n + 1) x =, calcule 00 x=1 (x 100).

27 Gabarito 1. (a) 7 k=1 z k (b) 10 k=1 x ky k (c) 4 k=0 b kx k. 50 (d) 5 k=1 kk (e) Π n k=1 cx i = c n Π n k=1 X i (f) Π n k=1 X iy i Comandos GeoGebra: ) Caixa de Entrada: (00*(01)-00*100)/ Expressões Algébricas As expressões algébricas são expressões (frases matemáticas) que envolvem variáveis. coeficiente {}}{ 4. x y 3 }{{} parte literal As expressões algébricas formam os monômios, binômios e polinômios. Monômio é uma expressão algébrica formal cuja parte literal é um produto de variáveis com expoentes naturais. Exemplo: 3x y; 1 4 xy3 z; xy. Obs.: 1 x não é um monômio pois o expoente de x 1 não é natural. Polinômio é uma soma formal finita de monômios. Exemplo: P (x) = x 5 x 3 + 4, P (x) = x 3 y + 3x y x + 5 Estudaremos sobre os polinômios no próximo capítulo.

28 Operações com Expressões Algébricas Adição e multiplicação. Vamos revê-las através de exercícios. Exercícios 1. Reduza os termos semelhantes: (a) 5x 3 y + x 3 y 5 4xy 3 + 3x 3 y x 3 y 5 4 (b) 3 x3 + 4x y 3 5 x3 y x3 5x y x3 y 5. Efetue e reduza os termos semelhantes: (a) 3x (4xy 3 5x 3 y) (b) (x + )(x + 3) (c) (3x y)(3x + y) (d) (a + b) 3 3. Efetue e simplifique o resultado, observando a condição de existência: (a) 5 x + 8x (b) x (c) + 1 x 1 (x + 3).(x ) + 1 x + 3 (d) (e) 1 1 x x 3 x + 1 x + + x + 3 (f) x3 + x x 1 x 1 x 4 x (x + 1)(x + ) 4. Simplifique as expressões: (Obs.:Não se esqueça da condição de existência.) (a) x 8x 4x (b) x + x + x (c) a 1 a + 1 t 4 (d) t t (e) x x + (f) y + 1 y 1 (g) x + 1x + 35 x + 7 (h) a + a 35 a + 7 Gabarito 1. (a) 8x 3 y 4xy 3 4. (a) 1x 3 y 3 15x 5 y (b) x + 5x (a) 8x + 5 ; x 0 x (b) x + 5x + 3 ; x 0 3x (b) x3 y 5 x y x 3 (c) 9x 4y (d) a 3 + 3a b + 3ab + b 3 (c) x 1 x + x 6 ; x 3oux (d) 3x + 16x + 18 ; x 3x + 6

29 4 (e) 3x + 5 x 4 ; x oux (f) x + 5 x + 1 ; x 1 4. (a) x3 4x ; x 0 (b) x ; x 1 (c) a 1; a 1 (d) t + ; t 0 e t (e) x ; x 1 (f) y 1 ; y 1 e y 1 (g) x + 5; x 7 (h) a 5; a Comandos GeoGebra: 1a) Caixa de Entrada: Simplificar[5x^3y^+x^3y^5-4xy^3+3x^3y^-x^3y^5-4] a) Caixa de Entrada: Simplificar[3x^(4xy^3-5x^3y)] 3f) Caixa de Entrada: Simplificar[(x^3+x^-x-1)/(x^-1)+(x^3+8)/((x+1)*(x+))] 4a) Caixa de Entrada: Simplificar[(x^-8x)/4x] Produtos Notáveis e Fatoração Ao operar com expressões algébricas ocorrem com bastante freqüência certos produtos que recebem, por esse motivo, o nome de notáveis. Alguns deles, relacionados em seguida, são de grande utilidade na fatoração e em certas racionalizações. Você irá utilizá-las bastante no curso de Cálculo, assim procure memorizá-las. Sejam a e b dois números; quadrado de uma soma: (a + b) = a + ab + b quadrado de uma diferença: (a b) = a ab + b produto da soma pela diferença: (a + b)(a b) = a b cubo da soma: (a + b) 3 = a 3 + 3a b + 3ab + b 3 cubo da diferença: (a b) 3 = a 3 3a b + 3ab b 3 As expressões acima são obtidas aplicando-se as propriedades de soma e multiplicação de polinômios. Observe que não há fórmula para a expressão a + b, pois ela não pode ser fatorada utilizando números reais.

30 5 Uma expressão algébrica se diz fatorada se puder ser escrita na forma de um produto. Isto pode ser muito útil para operar com frações algébricas. Essencialmente, a fatoração pode ser aplicada quando: (1) Existe um fator comum. Por exemplo: 1. 7xy 3 x y + 8x 4 y 3 x 3 y 5 Como xy é o fator comum a todos os termos da expressão, 7xy 3 x y + 8x 4 y 3 x 3 y 5 = xy (7y x + 8x 3 y x y 3 ). 6ab x 4a bx + abx = abx(3b ax + x) () Outra expressão que, em geral, pode ser fatorada é a do tipo ax + bx + c, que se transforma no produto de dois binômios, a(x x 1 )(x x ). Por exemplo, x x + 8 pode ser fatorado como: (x 4)(x + ) Os termos x 1 e x podem ser encontrados resolvendo-se a equação ax +bx+c = 0 através da fórmula x = b ± b 4ac a Exemplos: 1. x x 15 Temos, x x 15 = 0. Daí, x = ± Logo, x 1 = 5 e x = 3. = ± 8. Então x x 15 = (x 5)(x + 3) (Multipliquem os parênteses e verifique a igualdade!!!). x 6 16 Temos que, x 6 16 = (x 3 ) 4. Daí, x 6 16 = (x 3 + 4)(x 3 4) a 3 7b 3 = (4a) 3 (3b) 3 Temos 4a 3 7b 3 = (4a) 3 (3b) 3 = (4a 3b)(16a + 1ab + 9b ). (3) Estiver presente algum produto notável. Exemplos: 1. 4x + 8x + 4 = 4(x + x + 1) = 4(x + 1)

31 6. x y = (x + y)(x y) 3. 16m + 8m + 1 = (4m + 1) (4) Se puder fazer a reunião dos termos em grupos, fatorar esses grupos e recair em um dos casos anteriores. Exemplos: 1. a 5 a 3 +a 1 = a 3 (a 1)+(a 1) = (a 1)(a 3 +1) = (a+1)(a 1)(a 3 +1). mx + ny + my + nx = x(m + n) + y(m + n) = (m + n)(x + y) Exercícios 1. Fatore: (a) 4x 1x + 9 (b) x + ax + a (c) 16x 4 b 4 (d) 7m 3 n + 9m n 4 18mn. Fatore os polinômios: (a) x 5 (b) 1 9 y 1 4 (c) x 10x + 5 (d) x 1x Escreva como um produto de fatores do 1 grau os seguintes polinômios: (a) x x 0 (b) x + 6x 7 (c) x + 13x + 30 (d) x 10x 9 Gabarito 1. (a) (x 3) (b) x + ax + a (c) (x b)(x + b)(4x + b ) (d) 9n m(3m + mn ). (a) (x + 5)(x 5) (b) ( y 3 1 )(y ) (c) (x 5) (d) (x 3) 3. (a) (x 5)(x + 4) (b) (x 1)(x + 7) (c) (x + 3)(x + 10) (d) (x + 1)(x + 9) Comandos GeoGebra: 1a) Caixa de Entrada: Fatorar[4x^-1x+9] d) Caixa de Entrada:

32 7 Fatorar[x^-1x+18] 3d) Caixa de Entrada: Fatorar[-x^-10x-9]

33 8 1.5 Videoaulas Conjuntos numéricos: parte 1: parte : parte 3: Potenciação e radiciação: parte 1: parte : parte 3: parte 4: Números reais: propriedades e operações: qj4vo&in dex=10&list=pl6846f4c75ffba3ec intervalos: Valor absoluto: definição e exemplos: propriedades: Produtos notáveis: parte 1: parte : parte 3: Fatoração: Simplificação de frações: Operações com frações: Racionalização de denominadores:

34 9 Expressões algébricas: Operações com expressões algébricas: Logaritmo: parte 1: parte : parte 3: parte 4:

35 Capítulo Polinômios.1 Definição e propriedades Divisão de polinômios Divisão de um polinômio por um binômio (x a) Dispositivo prático de Briot-Ruffini Relações de Girard Raízes Racionais Decomposição em frações parciais Videoaulas Definição e propriedades Dados um número natural n e os números reais a n, a n 1, a n,..., a 1 e a 0, denominase função polinomial ou polinômio em R a função definida por: P (x) = a n x n + a n 1 x n 1 + a n x n a x + a 1 x 1 + a 0 x 0 Em que: { a n, a n 1, a n,..., a 1, a 0 são números reais chamados coeficientes. x R é a variável. n. Se a n 0, o expoente máximo n é dito grau do polinômio e indicamos gr(p ) = Exemplos: 1. P (x) = 7 ou P (x) = 7.x 0 é um polinômio constante, isto é, gr(p ) = 0.. P (x) = x 1 é um polinômio do 1 grau, isto é, gr(p ) = P (x) = 3x 5 + ix 4 é um polinômio do 5 grau, isto é, gr(p ) = P (x) = 0, não se define o grau do polinômio. 30

36 31 Valor Numérico O valor numérico de um polinômio P (x), para x = a, é o número que se obtém substituindo x por a e efetuando todas as operações indicadas pela relação que define o polinômio. Exemplo: Se P (x) = x 3 + x x 1, o valor numérico de P (x), para x =, é: P (x) = x 3 + x x 1 P () = P () = P () = 13 Observações: 1. O valor numérico de P (x), em x =, é 13, ou seja 13 é a imagem do pela função polinomial P (x). P : R R 13. Se P (a) = 0, o número a é denominado raiz ou zero de P (x). a é raiz de P (x) P (a) = 0 No polinômio P (x) = x 5x + 6, temos P () = 0 (Verifique!); logo, é raiz ou zero do polinômio. Exercício 1. Determine o valor numérico dos polinômios abaixo para x = a: (a) P (x) = x 3x + 5, para a = 1; (b) P (x) = x 4 x 3 + 5x x + 1, para a = ; (c) P (x) = x 3 6x + x + 4, para a = 3; (d) P (x) = x 5 + x 4 + 4x 3 x + x 1, para a = 0; (e) P (x) = x x + 1, para a = 1. Gabarito 1. (a) 3 (b) 19 (c) 17 (d) 1 (e) Comandos GeoGebra: a) Caixa de Entrada:

37 3 P(1)=1^-3* Divisão de polinômios Efetuar a divisão de um polinômio P (x) por outro polinômio D(x) não nulo, significa determinar um único par de polinômios Q(x) e R(x) que satisfazem às condições: 1. P (x) = D(x).Q(x) + R(x);. grr(x) < grd(x). Notas: 1. Se R(x) = 0, então dizemos que P (x) é divisível por D(x).. Não se esqueça que o grau do resto é sempre menor que o grau do divisor (esta condição é necessária para garantir a unicidade). O algoritmo da divisão de polinômios será revisto na forma de exercícios. Exercícios 1. Efetue: (a) (7x 3 y z 5 ) (9xyz) (b) (5x 3 y 3 z 3 ) (9x y z ) (c) (6x x + 18x + 8) (x + 3x + 4) (d) (x 4 1) (x 1) (e) 6(x 5x + 8) (x 3) (f) (x 3 + 3x + 3x + 1) (x + 1). Determine o quociente e resto da divisão de f(x) = x 3 + x x + por g(x) = x + 3x Determine Q(x) e R(x) na divisão de A(x) = x 4 1 por B(x) = x + 1. Gabarito 1. (a) 3x yz 4 (b) 5xyz 9 (c) 3x + (d) x 3 + x + x + 1 (e) 6x 1, resto: 1 (f) x + x + 1. Q(x) = x 5, R(x) = 1x Q(x) = x 3 x + x 1, R(x) = Comandos GeoGebra: 1f) Caixa de Entrada:

38 33 Simplificar[(x^3+3x^+3x+1)/(x+1)] ) Caixa de Entrada: Divis~aoEuclidiana[x^3+x^-x+,x^+3x+1] Divisão de um polinômio por um binômio (x a) Efetuando a divisão de P (x) por (x a), temos: P (x) x a P (x) = (x a)q(x) + r r Q(x) Fazendo-se x = a, vem: P (a) = (a a)q(a) + r P (a) = r Note que x = a é a raiz do divisor. Do exposto podemos enunciar o Teorema do resto: O resto da divisão de um polinômio P (x) pela diferença (x a) é igual a P (a). Exemplos: 1. Calcular o resto da divisão de P (x) = x + 4x + 5 pelo binômio B(x) = x 1. Resolução: Efetuando a divisão, temos: x + 4x + 5 x 1 x + x x + 5 5x + 5 5x Logo, R(x) = 10. A raiz do divisor B(x) é: x 1 = 0 x = 1. Calcule P (x) para x = 1: P (1) = Observe que R(x) = P (1) = 10. P (1) = 10. Determinar o valor de p para que o polinômio P (x) = x 3 + 5x px + seja divisível por x. Resolução: Se P (x) é divisível por x, então P () = 0 P () = p + = p + = 0 p = 19

39 34 Teorema de D Alembert Como consequência imediata do teorema do resto, temos: Teorema de D Alembert: Dado um polinômio P (x) qualquer, o mesmo será divisível por (x a), ou seja, o resto da divisão será 0 se P (a) = 0. Com isso percebe-se que não é preciso resolver toda divisão para saber se o resto é igual ou diferente de 0. Exemplos: 1. P (x) = x 5 x 4 + x 3 + x é divisível por x 1? P (1) = 1 5 (1 4 ) P (1) = 1 Como P (1) = 1 que é diferente de 0 então P (x) não é divisível por x 1.. P (x) = x 3 x + 1 é divisível por x 1? P (1) = 1 3 (1 ) + 1 P (1) = 0 Como P (1) = 0 então P (x) é divisível por x 1. Exercícios 1. Determine o resto da divisão de: (a) x + x + por x 1 (b) 5x 3 + x x + 4 por x (c) x 7 x 6 por x + 1 (d) x 6 x 4 + x por x +. Determine a de modo que: (a) x 3 + ax (a + 1)x seja divisível por (x 1); (b) (a + 3)x x + a seja divisível por x Determine o resto da divisão do polinômio P (x) = x 8 5x 3 + x 1 por x Mostre que o polinômio P (x) = x 3 + 4x x 1 é divisível por (x + 3).

40 35 Gabarito 1. (a) 4 (b) 4 (c) (d) 5. (a) a = 0 (b) a = Como P ( 3) = ( 3) 3 + 4( 3) ( 3) 1 = 0, P (x) é divisível por Comandos GeoGebra: 1d) Caixa de Entrada: Divis~aoEuclidiana[x^6-x^4+x^,x+] 3) Caixa de Entrada: Divis~aoEuclidiana[x^8-5x^3+x^-1,x+1/] Dispositivo prático de Briot-Ruffini Observe a seguinte divisão: 3x 3 5x + x x 3x 3 + 6x 3x + x + 3 x + x x + x 3x 3x Neste item vamos utilizar um dispositivo muito simples e prático para efetuar a divisão de um polinômio P (x) por um binômio da forma (ax + b). É o chamado dispositivo de Briot-Ruffini. Vejamos o roteiro desse dispositivo. 1 ) Colocamos a raiz do divisor e os coeficientes do dividendo (ordenadamente) no seguinte dispositivo. raiz do divisor {}}{ coeficientes do dividendo {}}{ 3 5 1

41 36 Observação: Se o polinômio P (x) não tivesse o termo x, por exemplo, o coeficiente desse termo seria igual a 0 (zero). ) Repetimos (abaixamos) o primeiro coeficiente do dividendo ) Multiplicamos a raiz do divisor pelo coeficiente repetido e somamos o produto com o segundo coeficiente do dividendo, colocando o resultado abaixo deste = 1 4 ) Multiplicamos a raiz do divisor pelo número colocado abaixo do coeficiente e somamos o produto com o 3 coeficiente, colocando o resultado abaixo deste, e assim sucessivamente =3 5 ) Separamos o último número formado, que é igual ao resto da divisão; os números que ficam à esquerda deste são os coeficientes do quociente }{{} coeficientes do quociente Logo, Q(x) = 3x + x + 3 e R(x) = 4. Exemplos: 4 }{{} resto 1. Determinar o quociente e o resto da divisão de x 6 1 por x + 1. Resolução: Utilizando-se o dispositivo de Briot-Ruffini, vem:

42 37 Resposta: Q(x) = x 5 x 4 + x 3 x + x 1 e R(x) = 0.. Determinar o quociente e o resto da divisão de P (x) = 5x 4x+ por (3x 1). Resolução: Observe que o coeficiente de x no binômio não é igual a 1; fizemos, então a divisão de P (x) por (x 1 ) e para termos os coeficientes de Q(x) devemos dividir os 3 coeficientes obtidos no dispositivo prático por 3. Resposta: Q(x) = 5 3 x 7 9 e R(x) = Exercícios 1. Nos esquemas abaixo, foi aplicado o dispositivo prático de Briot-Ruffini; calcule o valor dos elementos desconhecidos em cada um deles: a b c d (a) a b c d (b) Ache o quociente e o resto da divisão de: (a) P (x) = x 6 x 4 por x 1 (b) P (x) = x 7 + x 3 + x por x + 3. Aplicando o dispositivo prático de Briot-Ruffini, calcule o quociente e o resto da divisão de: (a) P (x) = x 4 5x 3 + x + 3x 1 por (x ) (b) P (x) = x 3 x 1 por (x 1) (c) P (x) = 5x 3x + por (x + 3) (d) P (x) = 4x 5 5x por (x 1) (e) P (x) = x 3 3x + x + por (x 1) (f) P (x) = x x + 1 por (x 3) Gabarito 1. (a) a = 1, b = 1, c = 8, d = 5 (b) a = 4, b = 10, c = 3, d =. (a) Q(x) = x 5 + x 4 e R(x) = 0 (b) Q(x) = x 6 + 4x 5 8x x 3 31x + 6x 13 e R(x) = (a) Q(x) = x 3 3x 4x 5 e R(x) = 11 (b) Q(x) = x + x + 1 e R(x) = 0

43 38 (c) Q(x) = 5x 18 e R(x) = 56 (d) Q(x) = 4x 4 x 3 x x 1 e R(x) = 0 (e) Q(x) = x x e R(x) = (f) Q(x) = x 1 4 e R(x) = Relações de Girard Nesta seção vamos mostrar as relações existentes entre os coeficientes de uma equação algébrica e as suas raízes. Vejamos alguns casos: 1 caso: Equação do grau ax + bx + c = 0 ax + bx + c = a(x α 1 )(x α ) (com a 0) x + b a x + c a = (x α 1)(x α ) Igualando os coeficientes, obtemos: x + b a x + c a = x (α 1 + α )x + α 1 α α 1 + α = b a α 1 α = c a caso: Equação do 3 grau ax 3 + bx + cx + d = 0 ax 3 + bx + cx + d = a(x α 1 )(x α )(x α 3 ) (com a 0) x 3 + b a x + c a x + d a = (x α 1)(x α )(x α 3 ) x 3 + b a x + c a x + d a = x3 (α 1 + α + α 3 )x + (α 1 α + α 1 α 3 + α α 3 )x α 1 α α 3 Igualando os coeficientes, obtemos: α 1 + α + α 3 = b a α 1 α + α 1 α 3 + α α 3 = c a α 1 α α 3 = d a Para os caso geral de uma equação algébrica de grau n > 3, a demonstração é análoga às anteriores. Se a n x n +a n 1 x n 1 +a n x n +...+a x +a 1 x 1 +a 0 = 0 é uma equação algébrica de grau n, n 1 com a n 0 e de raízes α 1, α, α,..., α n, temos:

44 39 α 1 + α + α α n = a n 1 a n α 1 α + α 1 α α n 1 α n = a n a n. α 1 α... α n = a 0 a n Para a resolução de uma equação algébrica, utilizando as relações de Girard, precisamos de alguns dados auxiliares a respeito das raízes da equação, pois apesar de termos n equações a n incógnitas, ao resolver o sistema formado por essas equações, recaímos na equação de grau n, dada inicialmente. Exemplos: Sejam a, b e c as raízes da equação polinomial x 3 x 4x + 1 = 0. Calcule: (a) 1 a + 1 b + 1 c (b) a + b + c Resolução: (a) Utilizando as relações de Girard, temos: a + b + c = ab + ac + bc = 4 abc = 1 Logo: 1 a + 1 b + 1 c = bc + ac + ab abc = 4 1 = 4 (b) Elevando ao quadrado a expressão (a + b + c), temos: (a + b + c) = a + b + c + (ab + ac + bc) = a + b + c + ( 4) a + b + c = 1 Exercícios 1. Escreva as relações de Girard para cada equação a seguir: (a) x 5x + 7 = 0 (b) x 3 4x 5x + 6 = 0 (c) x 3 6x + 5x 8 = 0 (d) x 4 x 3 + 4x + 5x 7 = 0

45 40. Dada a equação polinomial x 3 4x + 3x 1 = 0, de raízes a, b, c, calcule o valor de : 1 (a) ab + 1 ac + 1 bc (b) a 1 + b 1 + c 1 (c) a bc + b ac + c ab (d) a + b + c 3. Ache o conjunto solução da equação x 4 + 3x 3 + 3x = 0, sabendo que a soma de duas de suas raízes é 1. Gabarito 1. (a) α 1 + α = 5 ; α 1α = 7 (b) α 1 + α + α 3 = 4; α 1 α + α 1 α 3 + α α 3 = 5; α 1 α α 3 = 6 (c) α 1 + α + α 3 = 3; α 1 α + α 1 α 3 + α α 3 = 5 ; α 1α α 3 = 4 (d) α 1 + α + α 3 + α 4 = ; α 1 α + α 1 α 3 + α 1 α 4 + α α 3 + α α 4 + α 3 α 4 = 4; α 1 α α 3 + α 1 α α 4 + α 1 α 3 α 4 + α α 3 α 4 = 5; α 1 α α 3 α 4 = 7. (a) 4 (b) 3 (c) (d) 1 { } 3. S =,.4 Raízes Racionais Neste item, estudaremos uma propriedade que nos permitirá fazer uma previsão sobre as possíveis raízes racionais de uma equação algébrica. Propriedade: Se a fração racional irredutível p q de coeficientes inteiros, for raiz da equação algébrica de grau n e a n x n + a n 1 x n 1 + a n x n a x + a 1 x 1 + a 0 = 0, então p é um divisor de a 0 e q é um divisor de a n. Exemplo: Determine as raízes reais da equação x 5 + x 4 x 3 + x 3x = 0.

46 41 Resolução: Colocando x em evidência, temos: x(x 4 + x 3 x + x 3) = 0 Portanto, uma raiz é x = 0 e as outras raízes são soluções da equação 1x 4 + x 3 x + x 3 = 0 Usando o resultado anterior, como a 0 = 3 e a n = 1, temos p = ±1 ou p = ±3 e q = ±1. Assim, as possíveis raízes da equação estão no conjunto { 3, 1, 1, 3}. Fazendo a verificação, encontramos a raízes 3 e 1. As raízes racionais da equação são { 3, 0, 1}. Portanto a equação pode ser colocada na forma fatorada x(x + 3)(x 1)Q(x) = 0. Aplicando-se Briot-Ruffini, temos: Assim, Q(x) = x + 1, que não possui raízes reais. Observação: O Teorema visto acima não garante a existência de raízes racionais mas, no caso delas existirem, indica uma forma de obtê-las. Por exemplo, a equação algébrica de coeficientes inteiros x x 1 = 0 não possui raízes racionais. Exercícios 1. Resolva as equações: (a) x 3 6x x + 30 = 0 (b) x 3 x x + 1 = 0 (c) 4x 4 4x 3 3x + 4x 1 = 0 (d) x(x 4) + 10x(x ) 8 = 0. Determine o conjunto solução da equação x 4 3x 3 + 4x x = Resolva a equação x 4 x 3 7x + 8x + 1 = Ache o conjunto solução da equação x 3 7x + 6 = Determine as raízes da equação 3x 3 13x + 13x 3 = Determine o conjunto solução da equação x 4 + x 3 7x x + 6 = 0. Gabarito { 1. (a) S = {, 3, 5} { (b) S = 1, 1 } (c) S = 1, 1 }, 1, 1 (d) S = {, }

47 4. S = {0, 1} 3. S = {, 1,, 3} 4. S = { 3, 1, } { 1 } 5. S = 3, 1, 3 6. S = { 3, 1, 1, } Comandos GeoGebra: 1d) Janela CAS: Resolver[x(x-4)^+10x(x-)-8=0] ) Janela CAS: Resolver[x^4-3x^3+4x^-x=0] 3) Janela CAS: Resolver[x^4-x^3-7x^+8x+1=0] 4) Janela CAS: Resolver[x^3-7x+6=0] 5) Janela CAS: Resolver[3x^3-13x^+13x-3=0] 6) Janela CAS: Resolver[x^4-x^3-7x^-x+6=0] Decomposição em frações parciais Expressões racionais são da forma p, em que p, q são polinômios e q 0. Suponhamos que o grau de p seja menor que o grau de q. A idéia do método de q frações parciais é decompor p em soma de funções racionais mais simples. q Por exemplo, é fácil verificar que vale a identidade 5x + 1 x 1 = 3 x 1 + x + 1 O seguinte teorema fornece subsídios para o método decomposição parcial. Teorema.1 Todo polinômio pode ser decomposto como um produto de fatores lineares e/ou quadráticos irredutíveis.

48 43 A decomposição de expressões racionais em frações mais simples, depende do modo como o polinômio q se decompõe em fatores lineares e/ou quadráticos. Podemos dividir a decomposição de um polinômio q em três casos: 1. Se q tem um fator da forma (x r) n. Podemos escrever p q = a 1 (x a) + a (x a) a n (x a) n, a 1, a,..., a n R... Se Se q tem um parcela s n, em que s é um polinômio de grau irredutível. Podemos escrever p q = a 1 + b 1 x + a + b x s s a n + b n x, a s n i, b i R, i.. 3. Se q tem fatores lineares e/ou quadráticos, basta somar as parcelas obtidas em cada situação. Exemplos: x 1 = a x 1 + b x (x 1) (x + ) = a x 1 + b (x 1) + c x + 1 x(x + 1) = a x + bx + c x x 3 (x + 1) = a x + b x + c x + dx + e 3 x fx + g (x + 1) Verifique que: 1 1. x 1 = 1 (x 1) 1 (x + 1) (x 1) (x + ) = 1 9(x 1) (x 1) 9(x + ) 1 x(x + 1) = 1 x x x x 3 (x + 1) = 1 x + 1 x 3 + x x fx + g (x + 1) De maneira geral, um procedimento para decompor p q (quando possível) é: em fatores irredutíveis 1. Decomponha q em fatores irredutíveis.. Reduza as parcelas ao mesmo denominador. 3. Iguale o numerador e resolva o sistema linear obtido.

49 44 Exemplo:Seja p q = 1 x 1, então como x 1 = (x 1)(x + 1) existem a e b reais tais que p q = a x 1 + b x + 1. De fato, como 1 x 1 = 1 (x 1)(x + 1) = a x 1 + b x + 1, reduzindo ambas as parcelas ao mesmo denominador, obtemos: 1 (x 1)(x + 1) a(x + 1) + b(x 1) =. (x 1)(x + 1) Com o denominador igual, o numerador precisa ser igual também. Portanto, a(x + 1) + b(x 1) = 1. Para determinar a e b neste caso existem várias possibilidades. Uma delas é atribuir valores para x que zerem uma das parcelas. Por exemplo, fazendo x = 1, obtemos a = 1 e fazendo x = 1, obtemos b = 1. Exercício 1. Decomponha em frações parciais: (a) (b) 3 4 x x + 3 (x + 1) (x ) (c) (d) x 1 x(x + 3) x 3 + x x 3 (x + 1) Gabarito 1. (a) (b) 3 4(x + ) 3 4(x ) 5 9(x ) 5 9(x + 1) 3(x + 1) (c) (d) 4x 3(x + 3) 1 3x 1 x 1 x Comandos GeoGebra: 1a) Janela CAS: Fraç~oesParciais[3/(4-x^)]

50 45.6 Videoaulas Definição e propriedades: Divisão de polinômios: Dispositivo pratico de Briot Ruffini: parte 1: parte : parte 3: Teorema da decomposição: parte 1: 3PSsaEucwexfKwZaAK4d&index=4 parte : 4hR_ZLSF3PSsaEucwexfKwZaAK4d parte 3: 3PSsaEucwexfKwZaAK4d&index=6 Relações de Girard: parte 1: 4hR_ZLSF3PSsaEucwexfKwZaAK4d parte : 3PSsaEucwexfKwZaAK4d&index=7 Raízes racionais: Decomposição em frações parciais: parte 1: parte : parte 3:

51 Capítulo 3 Equações e Inequações 3.1 Equações e Inequações polinomiais Equações e Inequações Racionais Equações e Inequações Modulares Equações e Inequações exponenciais Equações e Inequações logarítmicas Sistemas de Inequações polinomiais Inequação Produto e Inequação Quociente Videoaulas Equações e Inequações polinomiais Denomina-se equação polinomial ou equação algébrica de grau n, na variável x R, toda equação que pode ser reduzida à forma: a n x n + a n 1 x n 1 + a n x n a x + a 1 x 1 + a 0 x 0 = 0 { Em que: a n, a n 1, a n,..., a 1, a 0 são números reais chamados coeficientes; x R, n N Exemplos: x 1 é uma equação algébrica do 1 grau. 5x + x 3 = 0 é uma equação algébrica do grau. x 5 + ix = 0 é uma equação algébrica do 5 grau. Denomina-se raiz ou zero de uma equação polinomial P (x) = 0 todo número real α tal que P (α) = 0. 46

52 47 Conjunto solução ou conjunto verdade É o conjunto formado por todas as raízes da equação algébrica. O conjunto solução da equação x 5x + 6 = 0 é o conjunto S = {, 3}. Exemplos: 1. Resolver a equação x 3 5x + 6x = 0. Resolução: x 3 5x + 6x x(x 5x + 6) = 0 x(x 3)(x ) = 0 x = 0 ou x = 3 ou x = Resposta: S = {0,, 3}. Resolver a equação x 3 + x 4x 4 = 0. Resolução: x 3 +x 4x 4 = 0 x (x+1) 4(x+1) = 0 (x+1)(x 4) = 0 Logo, x + 1 = 0 ou x 4 = 0, ou seja, x = 1 ou x = ou x =. Resposta: S = {, 1, } Observe que nem todo polinômio possui raízes reais. Por exemplo, x +1 = 0 não possui raízes reais. Neste caso, dizemos que x + 1 é um polinômio irredutível. Um fato importante em Álgebra é que alguns polinômios P (x) podem ser decompostos em fatores irredutíveis. Propriedade: Toda equação algébrica de grau n possui até n raízes reais. Exemplos: 1. A equação x 3 x = 0 possui 3 raízes a saber: x = 0, x = 1, x = 1. Dizemos então que o conjunto verdade ou conjunto solução da equação dada é S = { 1, 0, 1}.. A equação x 3 + x = 0 possui somente uma raiz real, x = 0. Chama-se Inequação toda sentença matemática que é aberta por uma desigualdade. Exemplos: 1. x > 0; x ; 3. x < x + 1; 4. x 6x + 8 < 0. A resolução das inequações consiste em determinar os valores de x que as satisfazem e pode ser feita pelo estudo de sinal de uma função. Exemplos:

53 48 1. x + > 0 x > Resolução: Seja a função dada por f(x) = x + ; queremos f(x) > 0. Determinando o zero da função: f(x) = 0 x + = 0 x =. Estudando o sinal da função: Os valores de x para os quais f(x) > 0 são aqueles que satisfazem a inequação. Assim, o conjunto solução é dado por S = {x R : x > }.. x 6x + 8 < 0 Resolução: Seja a função dada por f(x) = x 6x + 8. Determinando o zero da função: x 6x + 8 = 0 a = 1, b = 6, c = 8; = b 4ac = ( 6) 4(1)(8) = 4 x = b ± a = ( 6) ± 4 = 6 ± Daí, temos x 1 = 4 e x =. Queremos os valores de x para que a função seja menor que zero. Estudando o sinal da função: Os valores de x que tornam f(x) < 0 são aqueles que satisfazem a inequação. Assim, temos: S = {x R : < x < 4}. Exercícios 1. Resolva as equações: (a) x x + 1 = 0 (b) x 4x + 4 = 0 (c) x 3 + 3x 10x = 0

54 49. Determine o conjunto solução das equações: (a) x 3 + x = 0 (b) x 3 + x + x = 0 (c) x 3 4x + 3x = 0 Gabarito 1. (a) x = 1 (b) x = (c) x = 5, x = 0 ou x =. (a) S = {0} (b) S = {0} (c) S = {0, 1, 3} Comandos GeoGebra: 1c) Janela CAS: Resolver[x^3+3x^-10x=0] c) Janela CAS: Resolver[x^3-4x^+3x=0] Equações e Inequações Racionais Uma equação(inequação) é dita racional se contém alguma expressão racional, isto é, uma expressão na forma p, em que p, q são polinômios e q 0. q De maneira geral, a forma de se resolver uma equação(inequação) racional consiste nos seguintes passos: determinar o domínio de validade da equação(inequação), isto é, o conjunto de valores reais tais que q 0. Reduzí-la a um mesmo denominador comum para transformá-la em uma equação polinomial. Determinar o conjunto solução da equação polinomial obtida. O conjunto solução da equação(inequação) racional é a interseção do domínio de validade da equação e o conjunto solução da equação polinomial. Exemplo: 4 1. A equação x = 3 possui raízes a saber: x = 1, x = 3 x + Dizemos então que o conjunto verdade ou conjunto solução da equação dada é S = { 1, 3}.

55 50. A inequação x 5 0 possui conjunto verdade ou conjunto solução dado por 4 x S = {x R 4 < x 5}. Exercícios 1. Resolva as equações: (a) 5 + x x 3 = 3 (b) x x 9 = x (x 9)(x 6) x (c) 1 x + x = 1 x. Resolva as inequações: (a) x + 4 x < 3 (b) 4x 6x + 4x + 6x (c) x x < 1 3. Dado um pequeno trecho de um circuito elétrico composto por dois resistores em paralelo, com resistências R 1 e R. A resistência total, R, desse trecho do circuito pode ser calculada por meio da equação 1 R = 1 R R. Sabendo que R 1 = 16, quanto deve valer R para que a resistência total do circuito seja igual a 10? 4. Seguindo a fórmula do exercício anterior e considerando R 1 = 9 de modo que a resistência total seja maior ou igual a 4, determine R. Gabarito 1. (a) S = {11} (b) S = (c) S = { 1 + 3, 1 3}. (a) S = {x R x < 0 e x > 4 5 } (b) S = {x R x < 1 e 1 < x 0} (c) S = {x R x < 1 e x > 1} 3. R = S = {x R R 36 5 } Comandos GeoGebra: 1b) Janela CAS:

56 51 Resolver[3/(x-6)+6/(x-9)=x/(x-9)(x-6)] c) Janela CAS: Resolver[3/(-x)+15/(+4x)<1] 3) Janela CAS: Resolver[1/10=1/16+1/x] 3) Janela CAS: Resolver[4\leq9x/(9+x)] Equações e Inequações Modulares Uma equação será identificada como modular se dentro do módulo tiver uma expressão com uma ou mais incógnitas, veja alguns exemplos de equações modulares: x 5 = 8 x + 8 = 3 x 5x + 4 = 6 Resolver uma equação modular é encontrar o valor (ou valores) da variável que tornem a sentença verdadeira. Obdecendo às regras resolutivas de uma equação e as condições de existência de um módulo. Condição de existência de um módulo: Considerando k um número real positivo, temos que se x = k então, x = k ou x = k. Vejamos algums exemplos de equações modulares: Exemplo 1: Resolva x + 1 = 3 x + 1 = 3 Resolução: Por definição, x + 1 = 3 e x + 1 = 3 S = {1, }. x = 1 e x = Exemplo : Resolva 3x 5 = 14 3x 5 = 14 x = 19 3 Resolução: Por definição, 3x 5 = 14 e e 3x 5 = 14 x = 3 Uma inequação será identificada como modular se dentro do módulo tiver uma expressão com uma ou mais incógnitas, veja alguns exemplos de inequações modulares: x 5 > x x 5x Ao resolvermos uma inequação modular buscamos encontrar os possíveis valores que a incógnita deverá assumir, obdecendo às regras resolutivas de uma inequação e as

57 5 condições de existência de um módulo. Condição de existência de um módulo: Considerando k um número real positivo, temos: Se x < k então, k < x < k. Se x > k então, x < k ou x > k. Vejamos algums exemplos de equações modulares: Exemplo 1: Resolva x 6 Resolução: Utilizando a seguinte definição x < k então, k < x < k, temos que: 6 x 6. Portanto, S = [ 6, 6]. Exemplo : Resolva x + 1 < 3 x + 1 < 3 Resolução: Por definição, x + 1 < 3 e x + 1 > 3 S = (, 1). x < 1 e x > Exemplo 3: Resolva 3x 5 14 Resolução: Por definição, 3x x 5 14, somando 5 em todos os membros, obtemos 9 3x 19. [ Dividindo todos os membros por 3 vem, finalmente, 3 x 19. Portanto, S = 3, 19 ]. 3 3 Exercícios 1. Resolva as equações: (a) 15x + 3 = 7 (d) x 1 = 8 (b) x + 3 4x = 6 (e) 3x x = 0 (c) x 10 x = 11 (f) (x 5) + x = 10. Resolva as inequações: (Obs.: Use intervalos para representar o resultado, quando possível.) (a) x + 3 < 1 (d) x 10 x (b) x + 3 (e) x x 3 < (c) x + x 3 < 7 (f) x x 5 > 4 3. Resolva as inequações: (a) x + x 1 3 (b) x + 3 5x 1 < 1 (c) 5x 1 x + = 3 3 (d) x 1 < 1 (e) x + x + 3 > 5 6

58 53 4. Lembre-se que se a 0, então é verdade que: a x implica que a < x < a. Use este fato para achar os valores de x tais que: (a) x 1 < (d) 1 x 1 (b) x 1 (e) x 4 (c) x Use a definição de módulo para achar x tal que (a) x + 1 >. (b) x 5 + x 3 x 1 Gabarito 1. (a) x = 3 e x = 4 15 (b) x = 1 e x = 9 5 (c) não tem solução.. (a) ] 4, [ 3. (a) (b) ], 5] [1, + ) (c) ( 1, 6) (b) ( 1, 7 4] 4. (a) ( 1, 3) (, 1 ) (7, + ) 5 (b) [ 1, 1] (c) [1, 7] (d) x = 3 e x = 3 (e) x = 0, x = 3 e x = 3 (f) x = 15 (d) [4, 8] (e) (, 1) (f) R (, 7 (c) 13 (d) (, 1) (4, + ) ( (e) 3 ), 3 4 (d) [0, ] (e) ) 5. (a) (, 3) (1, ) (b) [3, 7] Comandos GeoGebra: 1f) Janela CAS: Resolver[ x-5 +x=10] a) Janela CAS: Resolver[ x+3 <1] 3a) Janela CAS: Resolver[(x+)/(x-1)>=3/]

59 54 4a) Janela CAS: Resolver[ x-1 <] 5b) Janela CAS: Resolver[ x-5 + x-3 <= x-1 ] Equações e Inequações exponenciais Uma equação(inequação) é dita exponencial se contém incógnita no expoente. Usando as propriedades de potenciação e logarítmos é possível resolver equações que envolvem logaritmos e exponencias. Exemplos: 1. Resolver 3 x 1 = 7 Temos que 3 x 1 = 7 3 x 1 = 3 3 x 1 = 3 x = 4.. Resolver 3 x 1 < 7 Temos que 3 x 1 < 7 3 x 1 < 3 3 x 1 < 3 x < Resolver 3 x+1 = Temos que 3 x+1 = log 3 (3 x+1 ) = log 3 () (x + 1)log 3 (3) = log 3 () x = log 3() 1 Exercícios 1. Resolva as equações exponenciais: Gabarito (a) 3 x = 81 (b) 4 3 = (x + ) ( ) 3 x 1 1 (c) = 7 3 (d) x 3 4 = 8 (e) e x = e 3 (f) x 3 = 3 e 1. (a) x = 4 (b) x = (c) x = (d) x = 16 (e) x = 9 (f) x = e Comandos GeoGebra: 1a) Janela CAS: Resolver[3^x=81]

60 Equações e Inequações logarítmicas Uma equação(inequação) é dita logarítmica se contém incógnita no logaritmo. Atenção: Não se esqueça de observar a condição de existência do logaritmo. Exemplos: 1. Resolver log 3 (x 3) = log 3 (4x + 5) Temos que log 3 (x 3) existe somente se x 3 > 0, ou seja, se x > 3 e log 3 (4x + 5) existe se x > 5. Logo x deve ser maior que 3. 4 Como log 3 (x 3) = log 3 (4x + 5) x 3 = 4x + 5 x = 4. Como x = 4 não satisfaz a condição de existência, temos que a equação não tem solução. Observe que substituindo x = 4 na equação obteríamos log 3 ( 11), que não existe.. Resolver log 3 (x) = log 3 (4x 9) Temos que log 3 (x) existe somente se x > 0 e log 3 (4x 9) existe se x > 9, logo 4 x deve ser maior que 9. 4 Como log 3 (x) = log 3 (4x 9) x = 4x 9 x = 3. Como x = 3 satisfaz a condição de existência, temos que x = 3 é a solução da equação. Exercícios 1. Resolva as equações logarítmicas: (a) log (x + 10) + log (x + 1) = 6 (b) log 6 (x 1) + log 1 (x ) = log (c) log x 3 = 5 (d) log (3x 1) = 3. Resolva as inequações logarítmicas: Gabarito (a) log 5 (x 3) < log 5 x (b) log (x + 3) 3 (c) log 0.5 (x + 1) > 1 (d) log 1 (x + 1) > log 8 1. (a) x = 3 (b) x = 3 ou x = 5. (a) 3 < x < 3 (b) x 5 (c) x = (d) x = 3 (c) 1 < x < 1 (d) 1 < x < 7 8

61 Comandos GeoGebra: 1b) Janela CAS: Resolver[ln(x^-1)/ln(6)+ ln(x-)/ln(1/6)=ln(8)/ln(6)] 1d) Janela CAS: Resolver[log(,3x-1)=3] a) Janela CAS: Resolver[log(5,x-3)<log(5,x)] Sistemas de Inequações polinomiais Para resolvermos um sistema de inequações polinomiais, basta fazermos o estudo de sinal de cada inequação, separadamente, seguindo da determinação da intersecção dos conjuntos solução dessas inequações. Exemplo: Determine a solução do sistema abaixo: { 3x 9 0 4x 8 < 0 Resolução: Seja as funções f(x) = 3x 9 e g(x) = 4x 8, queremos f(x) 0 e g(x) < 0. Determinando o zero das funções: Zero da função f(x): x = 3; Zero da função g(x) : x =. Identificando os valores de x que satisfazem cada inequação como S 1 = {x R : x 3} e S = {x R : x > } e fazendo a interseção dos conjuntos solução, obtemos: Assim, o conjunto solução é dado por: S = {x R : x 3}

62 57 Exercícios 1. Resolva os sistemas de inequações: { x < 0 (a) x + 1 < { 3x 9 < 0 (b) 3x 4x 7 { 3x 1 > 5x + (c) 4x + 3 < 7x 11 { x 3x + > 0 (d) x + x > 0 { x 4x (e) 5x Gabarito 1. (a) S = { x R : 1 < x < 1 } (b) S = {x R : x 7} (c) S = (d) S = {x R : 0 < x < 1} (e) S = 3.7 Inequação Produto e Inequação Quociente Considerando f(x) e g(x) funções de variável x, chamamos de Inequação Produto as desigualdades do tipo: f(x).g(x) < 0; f(x).g(x) 0; f(x).g(x) > 0; f(x).g(x) 0 Para resolvermos uma Inequação produto, basta fazermos o estudo de sinal das funções, separadamente, seguido da determinação dos sinais do produto de f(x) e g(x) e, posteriormente, identificando os valores de x que satisfazem a Inequação produto. Exemplo: Determine a solução de (x 7x + 10)(6x + 1) 0. Resolução: Sejam f(x) = x 7x + 10 e g(x) = 6x + 1. Determinando os zeros das funções: Zero da função f(x): x 1 = 5 e x = Zero da função g(x): x = Queremos que f(x).g(x) 0, estudando os sinal das funções e do produto das funções, obtemos: Portanto, os valores de x que satisfazem a inequação são:

63 58 S = {x R : x ou x 5} Considerando f(x) e g(x) funções de variável x, chamamos de Inequações Quociente as desigualdades como: f(x) g(x) < 0; f(x) g(x) 0; f(x) g(x) > 0; f(x) g(x) 0 Importante lembrar que na resolução de uma inequação quociente que o denominador deve ser diferente de zero e a regra de sinais é a mesma, tanto na multiplicação como para divisão, no conjunto dos reais. Exemplo: Determine a solução de x + 4x 3 0. x + Resolução: Sejam f(x) = x + 4x 3e g(x) = x +. Determinando os zeros de f(x) e g(x) : Zero da função f(x): x 1 = 1 e x = 3 Zero da função g(x): x = Queremos que f(x) 0, estudando o sinal das funções e quociente das funções, g(x) obtemos: Portanto os valores de x que satisfazem a inequação são: S = {x R : 1 x < ou x 3} Exercícios 1. Resolva as seguintes inequações:

64 59 (a) (x + 4).(x 4) 0 (b) (x 4).(x 3) < 0 (c) x(x 7) > 0 (d) x 1 > 0 x (e) 3x + x ( x )(x + 1) (f) 1 + x (g) x + x 1 x 4 > 0 (h) x 7x + 16 x x 3 0 > 0. Encontre o conjunto solução de Gabarito 1. (a) S = {x R : 4 x 4} (b) S = {x R : x < 3 ou x > 4} (c) S = {x R : x < 0 ou x > 7} (d) S = {x R : x < 0 ou x > 1} x x + 1 x x 1 0. (e) S = {x R : 3 < x 3 } (f) S = {x R : < x < 1 ou x > 1} (g) S = {x R : x < 4 e x 1} (h) S = {x R : x < 1 ou 1 x < 3 ou x 6}. S = {x R : x < 1 ou 0 x < 1}

65 Videoaulas Equações: SF3PSsaEucwexfKwZaAK4d&index=1 Inequações: Equações racionais: Inequações racionais: parte 1: parte : Equações modulares: parte 1: parte : parte 3: parte 4: parte 5: Inequações modulares: parte 1: parte : parte 3: Equações exponenciais: parte 1: parte : Inequações exponenciais: parte 1: parte : Equações logarítmicas: Inequações logarítmicas: parte 1: parte : Sistema de Inequações: Inequação Produto: Inequação Quociente:

66 Capítulo 4 Função 4.1 Definição Gráfico de Funções Reais Translação, Contração e Expansão Funções Básicas Função Polinomial Função Racional Função Definida por Partes Função Modular Álgebra de Funções Comportamento de uma função Funções injetoras, sobrejetoras e bijetoras Função Inversa Funções transcendentes Função Exponencial Função Logarítmica Modelagem de Problemas de Otimização Videoaulas Definição Uma função f : A B é composta por três partes. Um conjunto não vazio A chamado domínio de f, um conjunto B chamado contradomínio e uma regra de correspondência entre os dois conjuntos A e B, que associa cada elemento de A, a A, um, e somente um, elemento em B, f(a) = b B. Note que, pela definição, podem existir elementos de B que não estejam associados a nenhum elemento de A. 61

67 6 O conjunto dos elementos b B para os quais existem associados elementos do domínio é chamado imagem de f, ou seja, Im(f) = {b B; a A, f(a) = b}. Assim, a imagem de uma função é um subconjunto de seu contradomínio. A f B Figura 4.1: Diagrama de Venn Exemplos: 1. A área de circunferência depende somente de seu raio através da equação A = πr.. O número de bactérias n presentes em uma cultura após uma hora de observação depende da quantidade N de bactérias presentes inicialmente na cultura; diz-se então que n é uma função de N. Representações de uma função Temos três formas bem comuns de se representar uma função. Tabela: Utilizamos a tabela, em geral, quando o domínio é finito e com poucos elementos. Exemplos:Uma pequena fábrica pode produzir de 0 a 4 unidades diárias de um artigo. O custo operacional diário da fábrica depende de quantas unidades são produzidas de acordo com a tabela abaixo. Custo Operacional da Fábrica x(n o de unidades) y(custo diário) Esta tabela é equivalente aos pontos (0, 500); (1, 700); (, 900); (3, 1100); (4, 1300). Podemos ver esta tabela como uma função f : A N, onde A = {0, 1,, 3, 4}. A imagem de f é o conjunto Im(f) N dado por Im(f)={500, 700, 900, 1100, 1300}. Regra: Podemos expressar a função custo operacional diário f : A N do exemplo anterior pela regra f(x) = 00x

68 63 Gráfico: Considere a função g : R R definida pela regra g(x) = 00x Note que, embora a regra seja a mesma do exemplo anterior, temos uma outra função pois agora o domínio (e o contradomínio) são diferentes (lembre que uma função é composta por três partes e não só pela regra). Não poderíamos explicitar esta função g por uma tabela, uma vez que seu domínio é infinito. Podemos representar seus pontos no plano cartesiano. O gráfico de g é uma reta. Figura 4.: Nem toda tabela, gráfico ou equação representam uma função. Exemplos: 1. Se um mesmo elemento de A estiver associado a dois elementos distintos de B, ou se tivermos um elemento de A que não esteja associado a elementos de B então não temos uma função. A B A f f B Figura 4.3: Se uma função f é definida por uma expressão sem especificação do seu domínio, vamos considerar como domínio de f todos os números reais para os quais a expressão assume um valor real, isto é, o maior subconjunto de R tal que f(x) R. Este domínio é chamado domínio natural de f. 1. Seja h(x) =. Esta função não está definida para x = 1 e x = 3. (x 1)(x 3) Logo, D(h) = R {1, 3} O cancelamento de fatores comuns no numerador e no denominador de uma expressão podem alterar o domínio natural de uma função. 3. Se h(x) = x 4, então D(h) = R {}. Se escrevermos h(x) = x + temos x de ter o cuidado de conservar o domínio original da função (senão estamos criando uma nova função, lembre que o domínio é uma das partes que definem uma função), isto é, h(x) = x +, com x.

69 64 Exercícios 1. Determine o domínio natural das seguintes funções: x + 4 (a) f(x) = 1 x (b) f(x) = (x + 3x 4)(x 9) (x + x 1)(x + 3) 4 + x + x 1 + x 3 (c) f(x) = 1 x. Sendo f(x) = x x, ache: (a) f() (b) f( 1 ) (c) f(t + 1) (d) f(x + h) f(x) f(x + h) f(x) (e), h 0 h 3. Faça o mesmo para: (a) f(x) = 1 x Gabarito (b) f(x) = x + 1 x (c) f(x) = x x 1 1. (a) D(f) = R {1} e x 4 (b) D(f) = R { 4, 3, 3} (c) D(f) = {x R/ 4 x 1}. (a) (b) (a) i. ii. 1 iii. t + 1 (b) i. ii. iii. 5 5 t + t + t + 1 (c) t + t (d) h + xh h (e) h + x 1 h iv. x(x + h) 1 v. x(x + h) iv. v. h x + hx h hx + x hx + x 1 hx + x (c)

70 65 i. ii. 1 t + 1 iii. t h iv. hx h + x x v. hx h + x x Comandos GeoGebra: 1a) Caixa de Entrada: x+4>=0 && (x>1 x<1) e) Janela CAS: ((x+h)^-(x+h)-(x^-x))/h 3ai) Janela CAS: f()=1/ 3aii) Janela CAS: f(1/)=1/(1/) 3aiii) Janela CAS: f(t+1)=1/(t+1) 3aiv) Janela CAS: Simplificar[f(x+h)-f(x)=1/(x+h)-1/x] 3av) Janela CAS: Simplificar[(f(x+h)-f(x))/h=(1/(x+h)-1/x)/h] Gráfico de Funções Reais O conjunto formado por todos os pares ordenados de números reais é chamado de espaço bidimensional e indicado por R. Isto é, R = {(a, b) a, b R}. Um sistema de coordenadas retangulares é uma correspondência entre pares ordenados (a, b) e pontos e um plano. Este sistema é necessário para descrever geometricamente a dependência ou relação entre duas quantidades. O plano é chamado plano coordenado ou plano xy. Então um elemento (a, b) do R pode ser representado no plano cartesiano, por um ponto P de abscissa a e coordenada b.

71 66 y b P a x Figura 4.4: Definição: Seja a função f : A R B R, o gráfico de f é o conjunto de todos os pontos (x, f(x)) do plano cartesiano, onde x D(f), isto é, Grf = {(x, f(x)) R x D(f)}. Dada uma curva c no plano xy é possível determinar se ela representa o gráfico de função: quando qualquer reta vertical corta a curva em um único ponto. Isto porque se f é uma função, um ponto do seu domínio pode ter somente uma imagem. Com o gráfico de f também podemos determinar o domínio e a imagem de f. (Embora não seja possível determinar o contradomínio da função.) 4..1 Translação, Contração e Expansão Seja f(x) uma função e c uma constante real positiva: Traslação Vertical: y = f(x) + c move o gráfico de f(x) c unidades para cima; y = f(x) c move o gráfico de f(x) c unidades para baixo; Traslação Horizontal: y = f(x + c) move o gráfico de f(x) c unidades para esquerda; y = f(x c) move o gráfico de f(x) c unidades para direita; Contração e Expansão Vertical: y = cf(x) contrai o gráfico de f(x) c unidades para 0 < c < 1; y = cf(x) expande o gráfico de f(x) c unidades para c > 1; Contração e Expansão Horizontal: y = cf(x) contrai o gráfico de f(x) 1 c y = cf(x) expande o gráfico de f(x) 1 c unidades para c > 1; unidades para 0 < c < 1; 4.3 Funções Básicas Algumas funções são bastante usuais, seja pela sua importância ou simplicidade.

72 Função Polinomial É uma função f : R R definida por f(x) = a 0 + a 1 x + a x a n x n, sendo a n 0 e a i R, i = 1,..., n. Exemplos:gráficos de funções polinomiais de grau 3: Figura 4.5: Função Constante O tipo mais simples de função é aquela que associa o mesmo valor a todo ponto do seu domínio. Isto é, uma função f : R R dada por f(x) = k, k R. São chamadas funções constantes. Por exemplo, f(x) = 3; então f(1) = 3, f(0) = 3, f( 3) = 3, etc. O domínio natural da função constante é o conjunto R e Im(f) = {k}. y x Figura 4.6: Função do 1 o Grau ou Função Linear É toda função f : R R dada por f(x) = ax + b, a 0. a = tgθ é o coeficiente angular da reta ou declividade da reta. (0, b) é o ponto onde a reta corta o eixo y. Dado dois pontos (x 1, y 1 ) e (x, y ) que tornem a equação y = ax+b verdadeira, então a = y y 1 x x 1. Exemplo:Considere a função f : R R dada por f(x) = x 1. Como o gráfico é uma reta, para traçá-lo é suficiente marcar apenas dois pontos. Note que:

73 68 y y x x Figura 4.7: y x - -3 Figura 4.8: a > 0 tgθ > 0. Logo, θ é agudo (< 90 o ) e a reta é crescente. a < 0 tgθ < 0. Logo, θ é obtuso (> 90 o ) e a reta é decrescente. a = 0 tgθ = 0. Logo, a reta é horizontal. D(f) = R e Im(f) = R. f(x) = x é chamada função identidade. Função Quadrática É uma função f : R R, definida por f(x) = ax + bx + c, a 0. O gráfico de uma função quadrática é uma parábola com eixo de simetria paralelo ao eixo y. A intersecção da parábola com o eixo x define os zeros da função. A intersecção do eixo( de simetria com a parábola é um ponto chamado de b vértice (v) onde v = a, ). 4a A intersecção da parábola com o eixo y(x = 0) é o ponto (0, c). Exemplo:Considere h : R R, em que h(x) = x D(f) = R Im(f) : [ ; + ) Vale dizer: a > 0 vértice é o extremo inferior da função (ponto de mínimo) a < 0 vértice é o extremo superior da função (ponto máximo). Faça uma tabela com alguns valores atribuídos a x e suas respectivas imagens. Os valores de x devem ser escolhidos a partir do valor de b a.

74 69 = a > 0 a > 0 y x - -4 y x a > 0 y x > = a 0 a 0 y y 1 y a x x x Figura 4.9: Figura 4.10: Exemplo:Seja f : R R dada por f(x) = y = x + 4x vértice: (, 4) eixo de simetria: x = a = 1 < 0: concavidade voltada para baixo (função côncava) x y Figura 4.11: Exercício 1. Sendo f : R R definida por f(x) = x 5x + 6, determine:

75 70 (a) O domínio de f; (b) A imagem de f; (c) O valor mínimo da função; (d) As abscissas dos pontos onde o gráfico de f intercepta o eixo x; (e) O gráfico de f. Gabarito 1. (a) D(f) = R [ (b) Im(f) = 1 ) 4, (c) 1 4 (d) (, 0) e (3, 0) (e) Comandos GeoGebra: 1d) Caixa de Entrada: f(x)=x^-5*x+6 sol=raiz[f] x(sol_1) x(sol_) Janela CAS: f(x)=x^-5*x+6 Soluç~oes[f, x] Função Racional É uma função definida pelo quociente de duas funções polinomiais, isto é, f = p q, em que p e q são funções polinomiais. O domínio de f é o conjunto D(f) = {x R q(x) 0}. Atenção: Podemos simplificar uma função racional, mas isso não quer dizer que a função simplificada seja igual à função original. Exemplo:Obtenha o gráfico de f(x) = x 1 x + 1.

76 71 y x - -3 Figura 4.1: Exercícios 1. Construa o gráfico de: (a) g(x) = 1 x (b) f(x) = x 9 x + 3. Dada a função g(x) = x 9 x+3 x está próximo de -3? O que você observa para os valores de g(x) quando Gabarito (a) (b) Se x se aproxima de 3 por valores maiores que 3, f(x) se aproxima de 6 por valores maiores. Se x se aproxima de 3 por valores menores que 3, f(x) se aproxima de 6 por valores menores que 6, porém nunca chegando a 6 em ambos os casos Comandos GeoGebra: 1a) Caixa de Entrada: g(x)=1/(x-1) Função Definida por Partes As funções também podem ser definidas por expressões distintas em partes diferentes do seu domínio.

77 7 Exemplos: x + 4, se x 0 1. Considere a função f : R R definida por f(x) = x 4x + 4, se 0 < x 4 x + 1, se x > 4 D(f) = R Im(f) : ( ; 4] y x, se x 4. Seja f : R R dada por f(x) =, se 4 < x 1 4, se x > 1 D(f) = R Im(f) : {,, 4} Exercícios 1. Seja f : R R tal que f(x) = (a) f() (b) f( ) (c) f(x + 1). { x 1, se x 1 x, se x < 1, calcule:. O custo de uma corrida de táxi em uma certa área metropolitana é tabelado da seguinte maneira: qualquer corrida inferior a km custa R$1,75; após os km, o passageiro paga um adicional de R$0,50 por km. Se f(x) é o custo total de uma corrida de x km, então o valor de f(x) é: f(x) = { 1, 75; se 0 x 1, , 5.(x ); se x > (a) Qual o gasto de um passageiro se ele anda 1 km? (b) Qual o gasto de um passageiro se ele anda 4 km? 3. Esboce o gráfico das funções:

78 73 1, se x < 0 (a) f(x) = 1, se 0 x 1, se x > 1 x, se x < (b) f(x) =, se x < 0 x +, se x 0 x x 1, se x 1 (c) f(x) = 1, se 1 < x x, se x > Gabarito 1. (a) 3 (b) 4 x + 1, x 0 (c) f(x) = x + x + 1, x < 0. (a) 1, 75 (b), (a) 4 1 (b) 4 1 (c) Comandos GeoGebra: 1a) Caixa de Entrada: f(x)=se[x>=1, *x-1, x^] f() 3a) Caixa de Entrada: f(x) = Se[x < 0, -1, 0 <= x <= 1, 1, ]

79 Função Modular É a função f : R R{ definida por f(x) = x. Ela também pode ser escrita da x, se x 0 seguinte forma: f(x) = x, se x < 0 D(f) = R e Im(f) = [0, + ) y x Figura 4.13: Exemplos: 1. Seja f : R R definida por f(x) = x 1 = { x 1, se x 1 x + 1, se x < 1 y x Figura 4.14:. Considere f : R R dada por f(x) = x 1 = { x 1, se x 0 x 1, se x < 0 y x -1 Figura 4.15: DICAS: Podemos construirmos o gráfico de uma funçãof do tipo f(x) = g(x), executando os seguintes passos: Construímos o gráfico da função g: No gráfico de g conservamos os pontos de ordenadas não-negativas e transformamos os de ordenadas negativas em seus simétricos em relação ao eixo das abscissas, obtendo assim o gráfico de f:

80 75 y x Figura 4.16: y x Figura 4.17: Exercícios 1. Considere as funções seguintes e esboce seus gráficos, sabendo que o domínio delas é R (a)f(x) = x (b)f(x) = x + x (c)f(x) = x ; x 0 (d)f(x) = x x + 1 x. Durante um tratamento médico verificou-se que a concentração C, em miligramas por litro, de um certo medicamento na corrente sanguínea satisfaz a desigualdade (3 C). C C 3 0 (a) Verifique se a concentração do medicamento na corrente sanguínea pode ser igual a 0,5 miligramas por litro. Justifique, mostrando seus cálculos. (b) Determine o menor valor da concentração deste medicamento na corrente sanguínea. Justifique, mostrando seus cálculos. Gabarito (a) (b)

81 (c) (d). (a) não (b) Comandos GeoGebra: 1d) Caixa de Entrada: f(x)= x+1 + x Álgebra de Funções Dadas duas funções f e g, com respectivos domínios A e B, é possível obter novas funções por meio das operações de adição, subtração, multiplicação e divisão. Em outras palavras, é possível definir f + g, f g, f g e f. g Soma de f e g: (f + g)(x) = f(x) + g(x) Diferença entre f e g: (f g)(x) = f(x) g(x) Multiplicação de f por g: (f g)(x) = f(x) g(x) Divisão de f por g: ( f g ) (x) = f(x) g(x) O domínio da função resultante é A B, exceto no caso do quociente, onde o domínio deve satisfazer g(x) 0. Exemplos: 1. A função s = 1 gt, pode ser interpretada como o produto da função constante f(t) = 1g por h(t) = t.. A partir da função f(x) = x podemos obter as funções, definidas para todo x R, p(x) = a n x n +a n 1 x n a 1 x+a 0, onde a 0, a 1,..., a n são números reais e n é número natural.

82 77 Exercícios 1. Dadas f(x) = 3 x e g(x) = x 1. (a) Determine f + g, f g, g f, f g e f g, g e os respectivos domínios. f (b) Determine os valores dessas funções para x = 10. Gabarito 1. (a) i. (f + g)(x) = f(x) + g(x) = 3 x + x 1 e D f = {x R x 1} ii. (f g)(x) = f(x) g(x) = 3 x x 1 e D f = {x R x 1} iii. (g f)(x) = g(x) f(x) = x x e D f = {x R x 1} iv. (f g)(x) = f(x) g(x) = (3 x) x 1 e D f = {x R x 1} ( f ) v. (x) = f(x) g g(x) = 3 x e D f = {x R x > 1} x 1 ( g ) vi. (x) = g(x) x 1 f f(x) = 3 x e D f = {x R x 1 e x 3} (b) i. 4 ii. 10 iii. 10 iv. 1 v. 7 3 vi Comportamento de uma função Função Crescente e Decrescente Uma função é dita crescente no intervalo (a,b) se, e somente se, x 1, x (a, b) com x 1 < x f(x 1 ) f(x ) Uma função é dita decrescente no intervalo (a,b) se, e somente se, x 1, x (a, b) com x 1 < x f(x 1 ) f(x ) Exemplo: f(x) = x é crescente em (0, + ) e decrescente em (, 0) Máximos e mínimos O valor f(x 0 ) é um máximo local - ou máximo relativo - de f se existe um intervalo (a, b), contendo x 0, tal que, f(x 0 ) f(x) x (a, b)

83 78 o valor x 0 é chamado ponto de máximo local. O valor f(x 0 ) é um mínimo local - ou mínimo relativo - de f se existe um intervalo (a, b), contendo x 0, tal que, f(x 0 ) f(x) x (a, b) o valor x 0 é chamado ponto de mínimo local. Exemplos: f(x) = x possui o mínimo no ponto (0, ) Figura 4.18: f(x) = x + 4x possui o máximo no ponto (, 4) Figura 4.19: Exercícios 1. Em uma apresentação aérea de acrobacias, um avião a jato descreve um arco no formato de uma parábola de acordo com a seguinte função y = x + 60x. Determine a altura máxima atingida pelo avião.. Uma empresa produz um determinado produto com o custo definido pela seguinte função C(x) = x 80x Considerando o custo C em reais e x a quantidade de unidades produzidas, determine a quantidade de unidades para que o custo seja mínimo e o valor desse custo mínimo.

84 79 Gabarito m. 40 unidades e 1400 reais Comandos GeoGebra: 1) Caixa de Entrada: (-60^)/(-4) 1) Caixa de Entrada: -(-80)/- -((-80)-4*3000)/ Simetria Simetria em relação ao eixo x: Dois pontos P e Q são simétricos em relação ao eixo x se a reta P Q é perpendicular ao eixo x e ambos os pontos são equidistantes do eixo. Figura 4.0: Simetria em relação ao eixo y: Dois pontos P e Q são simétricos em relação ao eixo y se a reta P Q é perpendicular ao eixo y e ambos os pontos são equidistantes do eixo. Do ponto de vista algébrico, essa simetria é caracterizada pelo fato de f(x) = f( x) e funções com essa característica são chamadas funções par. y x Figura 4.1:

85 80 Simetria em relação á origem: Dois pontos P e Q são simétricos em relação á origem, se e somente, se 0 é o ponto médio so segmento da reta P Q. Nesse caso de simetria, o gráfico não se altera quando viramos o livro de cabeça para baixo, algebricamente diz-se que f(x) = f(x), funções com essa característica são chamadas funções ímpar. Figura 4.: Simetria em relação às retas kx e ky: Sendo k Z existem casos onde o eixo de simetria não são os convencionais x e y e sim kx ou ky, ou seja, eixo paralelos aos eixos coordenados. Figura 4.3: Variação do sinal de uma função Muitas vezes será necessário determinar os pontos em que uma função muda de sinal, isto é, onde as imagens deixam de ser positivas (negativas) e passam a ser negativas (positivas). Sejam os dois gráficos abaixo: y Fg y Fh aa x Aa x Figura 4.4: Observe que, no gráfico I, y = g(x) muda de sinal no ponto de abscissa x = a e passa de negativa, ou seja y = g(x) < 0 para positiva y = g(x) > 0 e que

86 81 g(a) = 0. No gráfico II, y = h(x) muda de sinal no ponto de abscissa x=a e passa de y = h(x) < 0 para y = h(x) > 0 sendo que h(a) não está definida. Afirmamos que se y = f(x) muda de sinal em x = a então ou f(a) = 0 ou f(x) não está definida em a (a recíproca não é verdadeira!!!!). Assim, os únicos pontos em que uma função pode mudar de sinal são aqueles onde ela se anula ou onde não é definida. Exercícios 1. Determine os pontos em que as funções f(x) = x 3 3x + 4 = (x ) (x + 1) e h(x) = 1 mudam de sinal. Observe os gráficos abaixo. x 3 y 10 5 y x x Figura 4.5: Observe que para determinar o sinal de uma função (se é positiva ou negativa) num intervalo contido no domínio da função e onde esta não se anule é suficiente determinar seu sinal em um ponto qualquer deste intervalo. Exemplos: (a) Determine o(s) intervalo(s) em que f(x) = x x 8 0 Serão feitas duas resoluções diferentes: Utilizando a fatoração, transforma-se a expressão x x 8 no produto (x 4)(x ) e analisa-se o sinal de cada uma das funções y = x 4 e y = x y=x 4 y=x+ y=(x 4)(x+) Figura 4.6: Solução: ( ; ] [4; + ) Analisa-se o sinal da função y = x x 8 (parábola). Solução: ( ; ] [4; + )

87 x Figura 4.7: (b) Determine o(s) intervalo(s) em que f(x) = x 1 x + 5 > 0. Analisando o sinal das equações y = x 1 e y = x + 5 temos: y=x 1 y=x+5 Figura 4.8: Solução: ( 5; 1) ou S = {x R 5 < x < 1}. Resolva: (a) x 8x + 1 < 0 (b) x + 3x 4 0 (c) x 8x + 16 > 0 (d) x 5x + 4 > 0 (e) x 6x + 10 < 0 Gabarito 1. f(x) muda de sinal nos pontos ( 1, 0), (, 0) e h(x) muda de sinal em x = 3. (a) S =], 6[ (b) R (c) R {4} (d) R (e) Comandos GeoGebra: a) Janela CAS: Resolver[x^-8x+1<0]

88 83 Função Composta Vamos definir agora uma operação com funções (composição) que não possui analogia com a aritmética dos números reais. Sejam f(x) = x + 1 e g(x) = x. Aplicando sucessivamente, primeiro a função f e, sobre a imagem obtida, a função g, teremos uma nova função, a saber: g(f(x)) = (x + 1). Dadas as funções f e g, a função composta de g com f, denotada por g f, é definida por: g f(x) = g(f(x)) O domínio de g f é o conjunto de todos os pontos x no domínio de f tais que f(x) está no domínio de g. Isto é, D(g f) = {x D(f) f(x) D(g)}. O desenho abaixo explicita a composição das funções f e g. x f(x) g(f(x)) g0 f Figura 4.9: Exemplos: 1. Sejam f(x) = x e g(x) = x 1. Logo, f g(x) = x 1 e g f(x) = x 1 D(f) = [0, ) e Im(f) = [0, ) D(g) = R então, D(g f) = [0, ) D(g) = R e Im(g) = R. D(f g) = {x R (x 1) D(f)} = [1, ). Sejam f(x) = x + 3 e g(x) = x (f g)(x) = x + 3 D(f g) = {x D(g)/g(x) D(f)} = {x [0, )/( x R)} = [0, ). Assim, (f g)(x) = x + 3, x 0 Muitos problemas matemáticos podem ser atacados decompondo funções em funções mais simples. Exemplos: 1. Dada a função h(x) = (x + 1). Para calcular h(x) em um determinado valor de x, calculamos x + 1 e depois elevamos esse resultado ao quadrado. Estas operações são realizadas pelas funções g(x) = x + 1 e f(x) = x. Podemos então expressar h em termos de f e g escrevendo h(x) = (x + 1) = (g(x)) = f(g(x)) = (f g)(x).. Seja h(x) = 1 x+1. Se f(x) = 1 x, g(x) = x + 1. h(x) = (f g)(x) = f(x + 1) = 1 x+1.

89 84 Exercício 1. Dadas as funções reais de variável real f(x) = x+3 e g(x) = x 5, determinar: (a) (g f)(x) (b) (g f)(4) (c) (f g)(x) (d) (f g)(4) Gabarito 1. (a) x + 6x + 4 (b) 44 (c) x (d) Comandos GeoGebra: 1a) Caixa de Entrada: f(x)=x+3 g(x)=x^-5 Simplificar[g(f(x))] Funções injetoras, sobrejetoras e bijetoras Uma função f : A B é dita injetora se para qualquer par de elementos distintos do domínio, suas imagens são também distintas. Em outras palavras, uma função é injetora quando cada elemento da imagem da função é imagem de um único elemento do domínio. Ainda mais resumido pode-se dizer que Uma função f : A B é injetora se, e somente se, para todo par de elementos u, v A, vale: f(u) = f(v) = u = v Uma função f : A B é sobrejetora se o conjunto imagem Im f coincide com o contradomínio B e todo elemento de B é imagem de algum elemento de A. Uma função f : A B é bijetora se é, simultaneamente, injetora e sobrejetora. Ou seja, quando uma função f : A B é injetora e sobrejetora simultaneamente, faz sentido dizer que cada elemento da imagem da função está relacionado a um único elemento do domínio. De fato, tal relação existe, graças à sobrejetividade, e é única, graças à injetividade. Em outras palavras, podemos inverter os papéis dos conjuntos A e B nessa relação, nesse caso, falamos em bijeção. Como dito acima, dada uma função bijetora f : A B, definimos a função inversa f 1 : B A, através da seguinte relação:

90 85 f 1 (y) = x f(x) = y Exemplos: 1. Seja f : R R dada por f(x) = e x é injetora, pois para f(a) = f(b) a = b, mas não é sobrejetora pois essa função não possui valores negativos para y.. Seja f : R R dada por f(x) = x 3 x é sobrejetora, pois para todo real y existe um numero real x tal que x 3 x = y, mas não é injetora pois f(1) = f(0), o que contraria a definição. 3. Seja f : R R dada por f(x) = x é injetora e sobrejetora, pois para todo real y existe um único numero real x tal que x = y, ou seja, a função é bijetora. Exercícios 1. Analise e classifique como verdadeiro (V) ou falso (F): (a) ( ) Se uma função é bijetora, então é ela sobrejetora. (b) ( ) Toda função injetora é bijetora. (c) ( ) Uma função afim do tipo f(x) = ax + b, com a 0, com domínio e contradomínio nos reais é bijetora (d) ( ) Qualquer função quadrática é bijetora. (e) ( ) Se qualquer reta paralela ao eixo das abscissas intercepta o gráfico de uma função em um único ponto, então a função é injetora. (f) ( ) Se o contradomínio de uma função é igual ao conjunto imagem, então a função é sobrejetora. (g) ( ) Se uma função é sobrejetora e injetora ao mesmo tempo, então a função é bijetora. (h) ( ) Se uma função é bijetora, então ela é injetora.. Verifique se as funções são injetoras, sobrejetoras ou bijetoras: (a) f : R R + definida por f(x) = x (b) f : R R definida por f(x) = x + (c) f : {0; 1; ; 3; 4} N definida por f(x) = x Gabarito 1. (a) V (c) V (e) V (g) V (b) F (d) F (f) V (h) V. (a) sobrejetora (b) bijetora (c) injetora

91 Função Inversa Seja uma função f : A B. Se para cada y B, existir exatamente um valor x A tal que f(x), isto é, se f é bijetora, então podemos definir uma função g : B A tal que x = g(y). A função g definida desta maneira é chamada função inversa de f e denotada por f 1. Se f : A B é uma função bijetora então g : B A é a inversa de f se e somente se: g(f(x)) = x, x A f(g(y)) = y, y B Exemplos: 1. f : R R tal que f(x) = x 5 f 1 : R R com f 1 (x) = x + 5. f : R {3} R { 1} tal que f(x) = x 1 3 x f 1 : R { 1} R {3} com f 1 (x) = 1 + 3x x + 1. Graficamente pode-se determinar se uma função admite inversa passando uma reta paralela ao eixo dos x. Se esta cortar o gráfico sempre em apenas um ponto então a função tem uma inversa (justifique!). Para se traçar o gráfico da função inversa traça-se a reta y=x. O gráfico de f e f 1 são simétricos em relação a esta reta. Exemplos: Seja f : [0, ) [0, ) tal que f(x) = x admite inversa g : [0, ) [0, ) onde g(x) = x. y x x x x Figura 4.30: Técnica para obtenção da inversa de uma função Se uma função real de variável real y = f(x) é inversível, sua inversa é obtida do seguinte modo: trocamos x por y, escrevendo x = f(y); isolamos a variável y, após a mudança de variáveis, obtendo y = f 1 (x).

92 87 Exercício 1. Verifique se as funções seguintes são inversíveis. Em caso positivo, determine suas inversas. Em caso negativo, faça restrições nos domínios para que elas passem a ser inversíveis e então determine suas inversas. (a) f(x) = 3x + 7 (b) f(x) = x 1 3 (c) f(x) = x. Gabarito 1. (a) f 1 (x) = 7 x 3 (b) f 1 (x) = x 3 (c) f 1 (x) = x, f : [0, + ) [0, + ) Comandos GeoGebra: 1a) Caixa de Entrada: f(x)=-3*x+7 a=reta[(0,0),(1,1)] Reflex~ao[f, a] Janela (CAS): Soluç~oes[x=-3*y+7, y] Funções transcendentes Algumas funções ou classes de funções pela sua importância recebem nomes próprios. Em particular, as funções elementares são funções obtidas por meio de operações básicas tais como adiçao, multiplicação, potenciação etc. As funções elementares são divididas em funções algébricas ou trascendentes. Uma função algébrica é uma função que pode ser obtida por um número finito de operações algébricas. Exemplos de funções algébricas incluem as funções polinomiais, racionais e raiz. Uma função que não é algébrica é dita transcendente. As funções logarítmicas, exponenciais e trigonométricas são exemplos de funções transcendentes Função Exponencial Dado um número real a, tal que 0 < a 1, define-se a função exponencial de base a por f : R R com: f(x) = a x. Note que Im(f) = (0, ) f(x) = a x é crescente se a > 1 e decrescente se 0 < a < 1.

93 88 0< a <1 y 4 1< a y x x Figura 4.31: gráfico da exponencial Exercícios 1. Esboce o gráfico da função f(x) = a x para: (a) a = 1 (b) a = 1 3 (c) a = 4 Gabarito 4 1. (a) 4 4 (não é uma função exponencial) 6 4 (b) (c) Comandos GeoGebra: 1b) Caixa de Entrada: f(x)=(1/3)^x

94 Função Logarítmica Dado um número a, tal que 0 < a 1, chamamos função logarítmica de base a, a função f : (0, + ) R tal que f(x) = log a x, sendo f a função inversa de g : R (0, + ) g definida por g(x) = a x. D(f) = (0, ) e Im(f) = R f(x) = log a x é crescente se a > 1 e decrescente 0 < a < 1. O gráfico da função logarítmica é simétrico ao gráfico da função exponencial em relação a reta y = x. y 0< a <1 y 1< a x x Figura 4.3: Os logaritmos mais largamente utilizados nas aplicações são os logaritmos naturais os quais têm uma base irracional denotada por e em homenagem ao matemático Leonard Euler. Com até 6 casas decimais o valor de e é,7188. Representa-se log e b = ln b e quando não especifica a base no logaritmo, na verdade a base é 10: log b = log 10 b. Claro que tudo que foi visto de logaritmo e exponencial vale para essa base particular. Exercícios 1. A fim de medir a magnitude de um terremoto, os sismólogos Charles Francis Richter e Beno Gutenberg desenvolveram a escala Richter em Nesta escala, o maior terremoto já registrado foi o Grande Terremoto do Chile, em 1960, atingindo a magnitude de 9,5, seguido do ocorrido na Indonésia, em 004, que atingiu a magnitude de 9,3. Na escala Richter, a magnitude M é dada por M = log A log A 0 onde log denota logaritmo decimal, A é a amplitude máxima medida pelo sismógrafo e A 0 é uma amplitude de referência padrão. Sabe-se também que a energia E, em ergs (1erg = 10 7 Joules), liberada em um terremoto está relacionada à sua magnitude M por meio da expressão log E = 11, 8 + 1, 5M. A partir das informações acima, faça o que se pede:

95 90 Gabarito (a) Sabendo que no litoral do Brasil, em 1995, foi registrado um terremoto de magnitude 6,3 na escala Richter, determine a razão entre as energias liberadas nos terremotos ocorridos na Indonésia e no Brasil. (b) Considerando A 1 a amplitude máxima de um terremoto e E 1 sua energia, e A a amplitude máxima de outro terremoto e E sua energia, determine k tal que A A 1 = ( E E 1 ) k. 1. (a) E I E B = 10 9 (b) Modelagem de Problemas de Otimização Um problema de otimização é aquele onde se procura determinar os valores extremos de uma função, isto é, o maior ou o menor valor que uma função pode assumir em um dado intervalo. Problemas de otimização são comuns em nossa vida diária e aparecem quando procuramos determinar o nível de produção mais econômico de uma fábrica, o ponto da órbita de um cometa mais próximo da terra, a velocidade mínima necessária para que um foguete escape da atração gravitacional da terra, etc. A resolução da maioria dos problemas de otimização requer conhecimentos de Cálculo Diferencial que foge ao objetivo deste curso. No entanto, é possível e até mesmo muito fácil resolver este tipo de problema quando o mesmo é modelado por uma função quadrática. Como já vimos, toda função quadrática tem um valor extremo, que ocorre no vértice de seu gráfico. Assim, na maioria dos problemas de otimização envolvendo funções quadráticas, a tarefa mais difícil é achar a função que modela o problema. Feito isto, resolver o problema se resume em achar as coordenadas do vértice do gráfico da função. Vejamos um exemplo de problema de otimização que é modelado por uma função quadrática. Exempo: Encontre as dimensões de um retângulo de perímetro 8 metros, cuja área seja a maior possível. Solução: As dimensões de um retângulo são sua largura e seu comprimento. Denote por x a medida do comprimento e por y a medida da largura do retângulo que estamos procurando. Observe a figura abaixo:

96 91 Dessa forma temos que o perímetro é dado pela expressão P (x, y) = x + y qual deve valer 8 metros e a área do retângulo é dada por A(x, y) = x.y. Querem que a área seja máxima sujeito ao perímetro fixo de 8 metros, ou seja, max :A(x, y) s.a. :P (x, y) = 8 Note que P (x, y) = 8 x + y = 8 x + y = 4 y = 4 x substituindo y = 4 x em A(x, y), obtemos uma função quadrática f(x) = A(x, 4 x) = x(4 x) = x + 4x. Além disso, é claro que x > 0 e y = 4 x > 0, daí temos que 0 < x < 4. Assim, o nosso problema é equivalente a max :f(x) s.a. :0 < x < 4 Como esta parábola é côncava para baixo, temos que seu vértice é um ponto máximo. Mais ainda o vértice da parábola é dada por ( b, ) a 4a. Como a = 1, b = e c = 0, obtemos = 16. Logo, o vértice da parábola é (, 4) e assim, x =. N que (0, 4) e como y = 4 x, obtemos que y =. Para melhor entendimento dos cálculos, observe a figura:

97 9 Portanto, as dimensões do retângulo são, comprimento igua igual a metros, ou seja, um quadrado de lado metros. Vejamos agora alguns exemplos de modelagem de proble Exemplos: 1. Um fazendeiro quer cercar uma área de 1,5 milhão de campo retangular e então dividi-lo ao meio com uma cer lados do retângulo. Como fazer isso de forma a minimiza Solução: Denotando por x a medida de um dos lados do medida do outro lado do retângulo, temos a seguinte ilus

98 93 uma vez que o custo depende dessa quantidade devemos minimizar o perímetro da figura acima, o qual é dado por P (x, y) = 3x + y, sujeito a uma área fixa de 1,5 milhão de pés quadrados, ou seja, A(x, y) = x.y = Daqui, obtemos o seguinte problema mix :P (x, y) s.a. :A(x, y) = Da igualdade A(x, y) = x.y = obtemos y = Substituindo x este valor de y em P (x, y) obtemos a função real f(x) = P ( x, ) x = 3x x A restrição para variável x é que x > 0, pois se trata da medida de um dos lados do retângulo, assim já temos também que y > 0. Portanto, a modelagem do nosso problema fica da forma mix :f(x) s.a. :x > 0. Uma caixa com base quadrada e sem tampa tem volume de cm. Encontre as dimensões da caixa que minimiza a quantidade do matérial utilizado para construi-la. Solução: Denote por x a medida do lado do quadrado da base dessa caixa e por y a medida da altura da mesma. Temos a seguinte ilustração do problema Queremos minimizar a quantidade de material para construi-la, ou seja, a soma da área do fundo e das áreas laterais da caixa, a qual é dada por A(x, y) = x + 4xy, sujeito a um volume fixo de cm, isto é, V (x, y) = x.y = Assim, obtemos o seguinte problema de minimização mix :A(x, y) s.a. :V (x, y) = 3.000

99 Queremos maximizar o volume do cilindro o qual é dado por V (x, h) = π.x.h Como o volume está em função das variáveis x e h, vamos buscar alguma form 94 Da igualdade V (x, y) = 3.000, obtemos y = Substituindo y em A(x, y), temos a seguinte função real ( f(x) = A x, ) x x = x x A restrição para a variável x é que x > 0, pois se trata de medida do lado do quadrado, assim já temos que y > 0. Portanto, a modelagem do problema fica da forma mix :f(x) s.a. :x > 0 3. Encontre as dimensões de um cilindro circular reto de maior volume que pode ser inscrito em um cone circular reto com raio 5 cm e altura 1 cm. Como na figura abaixo. Solução: Denotando x pelo diâmetro do circulo da base do cilindro e h altura do cilindro, da figura acima, lembrando que a altura do cone é 1 cm e o raio deste é 5 cm, podemos extrair a figura que segue abaixo de colocar a variável h em função da variável x.

100 95 Note que o triângulo de altura 1 cm e base 5 cm é semelhante ao triângulo de altura h e de base 5 x, assim temos a relação 1 h = 5 5 x 60 1x h =. 5 Logo, substituindo h em V (x, h) obtemos a função real f(x) = V ( x, ) 60 1x = 1π 5 5 (5x x 3 ) Devemos ter que x > 0 e h > 0, pois se tratam de medidas. Agora h = 60 1x, 5 daí 60 1x h > 0 > x > 0 1x < 60 x < 5. 5 Portanto, a modelagem do problema fica da forma max :f(x) s.a. :0 < x < 5 4. Se 1.00 cm de material estiverem disponíveis para fazer uma caixa com uma base quadrada e sem tampa, encontre o maior volume possível da caixa. Solução: Denote por x a medida do lado do quadrado da base dessa caixa e por y a medida da altura da mesma. Temos a seguinte ilustração do problema Queremos maximizar o volume da caixa, o qual é dado por V (x, y) = x y, usando apenas 1.00 cm de material. O material gasto para fazer tal caixa é a soma das áreas laterais juntamente com a área da base dessa caixa, logo A(x, y) = 4xy + x. Assim, temos o seguinde problema max :V (x, y) s.a. :A(x, y) = 1.00cm 1.00 x Da igualdade A(x, y) = 1.00, obtemos y =. Substituindo y em 4x

101 96 V (x, y), temos a seguinte função real f(x) = V (x, ) 1.00 x = 300x x3 4x 4. A restrição é que x, y > 0, pois se tratam de medidas. Logo, 0 < x < 0 3. Portanto, a modelagem do problema fica da forma max :f(x) s.a. :0 < x < As bordas de cima e de baixo de um pôster têm 6 cm e as bordas laterais medem 4 cm. Se a área do material impresso sobre o pôster estiver fixa em 384 cm, encontre as dimensões do pôster com a menor área. Solução: Denote por y a medida do comprimento do retângulo de material impresso e por x a medida da largura desse retângulo. Observe a figura abaixo Queremos minimizar a área do pôster a qual é dada por A p (x, y) = (x+8)(x+ 1), e a área do material impresso, a qual é dada por A(x, y) = xy, deve ser fixa e igual a 384 cm. Assim, temos o seguinte problema mix :A p (x, y) s.a. :A(x, y) = 384cm Da igualdade, A(x, y) = 384, obtemos que y = 384. Substituindo y em x A p (x, y), obtemos a seguinte função real ( f(x) = A p x, 384 ) = x x x. A restrição é que x, y > 0, pois se tratam de medidas. Logo, x > 0. Portanto,

102 97 a modelagem do problema fica da forma mix :f(x) s.a. :x > 0 6. Pretende-se estender um cabo de uma usina de força à margem de um rio de 900m de largura até uma fábrica situada do outro lado do rio, 3.000m rio abaixo. O custo para estender um cabo pelo rio é de R$ 5,00 o metro, enquanto que para estendê-lo por terra custa R$ 4,00 o metro. Qual é o percurso mais econômico para o cabo? Solução: Inicialmente vejamos a ilustração gráfica do problema, a fim de facilitar a construção da função custo: O objetivo é minimizar o custo de instalação do cabo. Logo, precisamos construir a função custo, a qual, baseada na figura acima, é dada por: C(x) = x + 4(3.000 x) Como x e x não podem ser negativos, a região de interesse (domínio do problema) é o intervalo [0, 3.000], onde devemos encontrar o mínimo absoluto de C. Portanto, a modelagem do problema fica da forma mix :C(x) s.a. :0 x Exercícios Faça a modelagem de cada problema abaixo: 1. Quando uma pessoa tosse, o raio da traquéia diminui, afetando a velocidade do

103 98 do ar e o raio r da traquéia é dada por uma função da forma v(r) = ar (r 0 r), onde a é uma constante positiva. Determine o raio para o qual a velocidade do ar é máxima.. Encontre as dimensões de um cilindro circular reto, de área total igual a 50cm, de modo que o volume seja máximo. 3. Uma rede de água potável ligará uma central de abastecimento situada à margem de um rio de 500 m de largura a um conjunto habitacional situado na outra margem do rio,.000 a oeste da central. O custo da obra através do rio é de R$ 640,00 por metro, enquanto que em terra custa R$ 31,00 por metro. Qual é a forma mais econômica de se instalar a rede de água potável? 4. Quais as dimensões do cone de volume mínimo que pode ser circunscrito a uma esfera de reio R? 5. Dada uma esfera de raio R, determine as dimensões do cone reto de volume máximo que pode ser nela inscrito. 6. No planejamento de uma lanchonete foi estimado que se existem lugares para de 0 a 80 pessoas, o rendimento semanal erá de R$ 70,00 por lugar. Contudo, se a capacidade de assentos está acima de 80 lugares, o rendimento semanal, em cada lugar, será reduzido em 50 centavos pelo número de lugares excedentes. Qual deverá ser a capacidade de assentos para se obter o maior rendimento semanal? Gabarito 1. max :v(r) = ar (r r 0 ) s.a. :0 r r 0. max :V (r) = 5r r+1 s.a. :r > 0 onde r é o raio do cilindro e temos a relação h = 5, com h a altura do πr(r+1) cilindro mix :C(x) = x + 31(.000 x) s.a. :0 x.000 onde x é tal que.000 x é a distância da rede por terra a ser construída. max :V (h) = 1 3 πr s.a. :h > R h h R onde h é a altura do cone e temos a relação r = Rh h, com r o raio do cone. hr

104 99 5. max :V (h) = 1 3 πh (R h) s.a. :0 < r < R onde h é a altura do cone e temos a relação r = hr h, com r o raio do cone. 6. max :R(x) s.a. :0 x 0 onde x é o número de lugares nesta lanchonete e { 70x, se 0 x 80 R(x) = ( x)x, se 80 < x 0

105 Videoaulas Funções conceitos básicos: parte 1: parte : parte 3: parte 4: Gráficos de funções lineares: parte 1: parte : parte 3: parte 4: parte 5: Gráficos de funções quadráticas: Q Função constante: Função do 1 o grau: Função do o grau: Funções polinomiais: L133C67D9FC8E937A&index=1 Função racional: Função por partes: parte 1: parte : Função modular: parte 1: parte : parte 3: parte 4: parte 5: Função Crescente e Decrescente: lqu

106 101 Álgebra de funções: Composta de funções: e=relmfu%0 Função monótonona: Função injetora, sobrejetora, bijetora: ZIstmvo Função inversa: parte 1: parte : parte 3: Função exponencial: parte 1: parte : Função logaritmica: parte 1: parte : Modelagem de funções:

107 Capítulo 5 Trigonometria As relações entre as medidas dos lados e dos ângulos de um triângulo retângulo deram origem a um ramo da Matemática chamado Trigonometria. Medidas em Radianos A unidade mais comum para medir ângulos é o grau (1 ângulo reto = 90 o ). Entretanto, outra unidade padrão para medida de ângulo é o radiano. Um radiano é o ângulo que, colocado no centro de uma circunferência, subentende um arco cujo comprimento é igual ao raio. r r r = 1 radiano O número de radianos num ângulo central arbitrário é a razão entre o comprimento do arco subentendido e o raio, θ = s/r, ou, de modo equivalente, um ângulo central de θ radianos subentende um arco cujo comprimento é θ vezes o raio, s = θr. Uma vez que a circunferência tem comprimento c = πr, um ângulo central completo de 360 o é equivalente a π r = π radianos. r π radianos = 360 o, π radianos = 180 o 1 radiano = 180 π = 57, 96 o, 1 o = π 180 radianos = 0, 0175 radianos Além disso, 90 o = π rad, 60o = π 3 rad, 45o = π 4 rad, 30o = π 6 rad A tabela seguinte relaciona alguns valores que de tão freqüentes, merecem ser memorizados. 10

108 o = π 6 rad 45o = π 4 rad 60o = π 3 rad sen cos tg Exercícios 1. Calcular a altura do edifício da figura h m. Uma canoa atravessa um rio chegando à outra margem com um deslocamento de 00m rio abaixo. Calcule a largura do rio, sabendo que a linha de trajetória do barco forma um ângulo de 30 o com a margem, conforme mostra a figura. L barco 00 m Gabarito Relações trigonométricas em um triângulo Retângulo Observe a seqüência de triângulos retângulos da figura: Vejam que todos são semelhantes entre si, pois têm um ângulo reto e α é comum a todos eles. Assim, nesta seqüência de triângulos, as razões entre as medidas dos lados do triângulo ABC são iguais às correspondentes razões dos demais triângulos. Por exemplo, valem as relações: BC AC = DE AE = F G AG = HI AI = JK AK =... =constante

109 104 α K I G E C B D F H J AB AC = AD AE = AF AG = AH AI = AJ AK BC AB = DE AD = F G AF = HI AI = JK AJ =... =constante =... =constante Essas constantes dependem apenas do ângulo α comum a todos os triângulos. Portanto, em qualquer triângulo retângulo que tenha um ângulo cuja medida é α, podemos dizer que: A razão entre o cateto oposto a α e a hipotenusa é constante e definida como seno de α sen(α) = b a A razão entre o cateto adjacente a α e a hipotenusa é constante e definida como cosseno de α cos(α) = c a A razão entre o cateto oposto a α e o cateto adjacente é constante e definida como tangente de α tg(α) = b c Exemplo: Dado o triângulo então sen(β) = 5 ; 13 1 cos(β) = 13 ; tg(β) = 5 1 sen(γ) = 1 13 ; cos(γ) = 5 1 ; tg(γ) = 13 5.

110 Ciclo trigonométrico Até aqui, temos definidos valores de seno, cosseno e tangente apenas para valores entre 0 o e 90 o (ou entre 0 e π radianos). Desejamos estender estes conceitos para os conjuntos dos números reais. Para isso considere que a circunferência trigonométrica possui as seguintes características: y 1 M o A x raio igual a 1; centro na origem de um sistema de eixos ortogonais; um ponto A(0,1), origem de todos os arcos; um sentido positivo de orientação: anti-horário. O ciclo trigonométrico (também chamado de circunferência trigonométrica) é dividido em quatro partes iguais, chamadas quadrantes, numeradas como a seguir:

111 106 Veja agora os ângulos da figura: Note que tanto x 1 quanto x têm origem comum (A) e mesma extremidade (M), somente diferindo quanto ao número de voltas. Ângulos nessas condições dizem-se congruentes ou côngruos e indica-se x 1 x 1. Podemos então dizer que o ponto da circunferência (M) determinam um ângulo (a) com menos de uma volta e todos os côngruos a ele. Isto é, qualquer ângulo x côngruo ao ângulo a pode ser representado por: onde k é o número de voltas x = a + kπ 5.3 As funções trigonométricas As Funções seno e cosseno Seja x R um número real e considere o arco AM de comprimento x, com sentido positivo se x < 0, definimos: Pelo visto anteriormente, dizemos que: seno de x como a ordenada do ponto M; em símbolos, sen(x) = OM cosseno de x como a abscissa do ponto M; em símbolos, cos(x) = OM 1 Obtemos desta forma duas funções reais, com valores reais, a saber seno e cosseno, para todo x R. De imediato, conclui-se que (sen(x)) + (cos(x)) = 1;

112 107 é mais comum escrever-se sen (x) + cos (x) = 1. Convença-se que x pode assumir qualquer valor real, acompanhando os argumentos seguintes: Sendo x 0, seja OM o raio que a partir da posição AO gira x radianos no sentido horário; Se x < 0, OM gira-se x radianos no sentido anti-horário. Dessa forma, cada número real determina uma única posição de OM. Então, o domínio das funções f(x) = sen(x) e f(x) = cos(x) é R Observe que: sen(x) > 0 para arcos do 1 o e o quadrantes. sen(x) < 0 para arcos do 3 o e 4 o quadrantes. que pode ser visualizado: y x Veja também que: cos(x) > 0 para arcos do 1 o e 4 o quadrantes. cos(x) < 0 para arcos do o e 3 o quadrantes.

113 108 y + + x Exercício 1. Determine o sinal de: (a) sen(30 o ) (b) cos(15 o ) (c) sen(365 o ) (d) cos( 30 o ) (e) sen(115 o ) (f) cos( 405 o ) ( (g) sen π ) ( 3 π ) (h) cos ( 7 ) 3π (i) sen 3 ( ) 13π (j) cos 14 Gabarito 1. (a) + (c) + (e) + (g) (i) + (b) (d) + (f) + (h) + (j) Imagem das Funções seno e coseno Estudando o seno e cosseno na circunferência trigonométrica, você pode observar que, para todo x R temos: 1 sen(x) 1 isto é: valor máximo de sen(x) = 1 valor mínimo de sen(x) = 1 e que: 1 cos(x) 1 isto é: valor máximo de cos(x) = 1 valor mínimo de cos(x) = 1.

114 109 Com isso podemos dizer que o conjunto imagem da função seno e da função cosseno é o intervalo [ 1, 1]. Para desenhar o gráfico das funções trigonométricas, vamos calcular o valor numérico para alguns ângulos. Gráfico da função seno x 0 π/4 π/ 3π/ π π/4 π/ sen(x) 0 / / -1 Variação do Seno Quando x varia de 0 a π/, o seno cresce de 0 a 1. Quando o x varia de π/ a π, o seno decresce de 1 a 0. Quando o x varia de π a 3π/, o seno decresce de 0 a -1. Quando o x varia de 3π/ a π, o seno cresce de -1 a 0. sen(x) = 0 para todo x {kπ, k Z}. Podemos então dizer que a função f(x) = sen(x) se anula para x = kπ, onde k é inteiro. Observe na circunferência trigonométrica que: y x Gráfico da função coseno x 0 π/4 π/ π 3π/ π π/4 π/ cos(x) 1 / / / 0 Variação do Cosseno Quando x varia de 0 a π/, o cosseno decresce de 1 a 0. Quando x varia de π/ a π, o cosseno decresce de 0 a -1. Quando o x varia de π a 3π/, o cosseno cresce de -1 a 0. Quando o x varia de 3π/ a π, o cosseno cresce de 0 a 1. Observe que cos(x) = 0 para x valendo... π, π, 3π, 5π... ou de uma maneira { geral, x... π, π, 3π, 5π }... isto é: cos(x) = 0 para x = (k + 1) π, k inteiro.

115 110 y x -1 Períodos das funções: sen(x) e cos(x) Dizemos que uma função f é periódica se e somente se existe p > 0 tal que f(x + p) = f(x), para todo x D(f) o menor valor de p que obedece à definição acima é chamado período da função. Ora, nós sabemos que: x, (x+π), (x+4π), (x+6π)... são arcos côngruos, todos eles determinados pelo mesmo ponto M da circunferência trigonométrica, e, como conseqüência: sen(x) = sen(x + π) = sen(x + 4π) = sen(x + 6π)=... cos(x) = cos(x + π) = cos(x + 4π) = cos(x + 6π)=... isto é: As funções f(x) = sen(x) e f(x) = cos(x) são periódicas do período π; ou seja, sen(x + π) = sen(x) e cos(x + π) = cos(x). Exemplos: 1. Calcular sen(7π/) O problema se resume em obter um número real x côngruo a 7π/, 0 x π 7π = 3π + π = π + π + π = π + 3π/ logo, sen(7π/) = sen(3π/) = 1. Calcular o valor máximo de y = 3 + cos(x) Se o valor máximo de cos(x) = 1, podemos concluir que o valor máximo de y = 3 + cos(x) é 3+1=4. 3. Se 0 x π/, para que valores de x temos: sen(x) = cos(x) sen(x) > cos(x) sen(x) < cos(x) Desenhando os gráficos do seno e cosseno para 0 x π/ podemos observar que:

116 111 y 1 y=cos(x) Y=sen(x) 4 x (a) x = π/4 (b) x > π/4 (c) x < π/4 Exercícios 1. Calcular o valor numérico de: (a) y = sen ( x) + sen( x) sen ( x para x = π ), 3 (b) y = sen (x) + sen(x) + sen(x), para x = π 4. Calcular: ( ) 13π (a) cos 4 ( ) 17π (b) cos. 3. Calcular o valor máximo de: (a) y = 3 cos(x) (b) y = 3 cos(x) 1 (c) y = 5 cos (x) (d) y = cos (x 1). Gabarito 1. (a) 1 3. (a) 3. (a) y = 4 (b) y = (b) + 3 (b) 0 (c) y = 5 (d) y = Comandos GeoGebra: 1a) Janela CAS:

117 11 sen^(pi/4)+sen(pi/6)-1/(sen^(pi/3)) 3d) Caixa de Entrada: cos^(x-1) A Função tangente tg(x) = sen(x) cos(x). Note que o domínio da função tangente não são todos os números reais, uma vez que precisamos cos(x) 0. Portanto, D(tg(x))={x R, cos(x) 0}={x R; x (k + 1)π, k Z} Na figura abaixo, o segmento AT representa a tangente do ângulo α: Isto é, tg(α)=at (paralelo eixo do y) Observe que tg(α) > 0 para arcos do 1 o e 4 o quadrantes. tg(α) < 0 para arcos do o e 3 o quadrantes. Em qualquer quadrante a tangente é sempre crescente, o período é sempre crescente. O período dessa função é π Variação da Tangente Quando x varia no intervalo [0, π/), a tangente aumenta, variando no intervalo [0, + ). Quando x varia no intervalo (π/, π], a tangente aumenta, variando no intervalo (, 0]. Quando x varia no intervalo [π, 3π/), a tangente aumenta, variando no intervalo [0, + ). Quando x varia no intervalo (3π/, π], a tangente aumenta, variando no intervalo (, 0].

118 113 Conjunto-Imagem da Tangente A tg(x) varia no intervalo ], + [, ou seja, Im(tg(x)) = R Gráfico da função f(x) = tg(x) Atribuindo alguns valores a variável x obtemos a tabela: x tg(x) 0 0 π/4 1 π/ 3π/ -1 π 0 3π/ π 0 π/4-1 π/ Período da função tg(x) Observando o gráfico, você pode notar que o período da função tangente é π, isto é, tg(x + π) = tg(x), para qualquer x pertencente ao domínio da função. Outras funções trigonométricas Podemos também definir outras funções trigonométricas a partir das funções sen(x) e cos(x): f(x) = cotg(x) = 1 tg(x) = cos(x) (função cotangente, cujo domínio é x tal sen(x) que sen(x) 0). f(x) = sec(x) = 1 (função secante, que existe só se cos(x) 0). cos(x) 1 f(x) = cossec(x) = (função cossecante, que existe para x tal que sen(x) sen(x) 0).

119 114 Exercícios 1. Se sen( π) = cos( π) = 4 4 cossec(x), calcular f( π). 4 e f(x) = sen(x) + cos(x) + tg(x) + cotg(x) + sec(x) +. Quais os valores de x para as quais a função y = 5 sec( 3x ) não está definida? 3. Quais os valores de x para as quais a função y = cossec(4x), 0 x π não está definida? 4. Determine o domínio e imagem da função y = sec(3x). 5. Calcule o valor máximo de: (a) y = 3sen(x) (b) y = sen(x) + 3 (c) y = 3 sen(x) 4 (d) y = cos(x) + 5 (e) y = sec(x) 5. Gabarito {x R/x π (k + 1), k Z} 3 3. {x R/x kπ, k Z} 4. D = {x R/x π (k + 1), k Z} e Im = [, ] 6 5. (a) 3 (b) 5 (c) 1 (d) 7 (e) Comandos GeoGebra: 5e) Caixa de Entrada: *sec(x) Identidades Trigonométricas Existem inúmeras identidades que expressam as principais propriedades das funções trigonométricas. Sejam θ e φ dois ângulos; então; as identidades seguintes estabelecem o efeito da substituição de θ e -θ. Tendo-se em vista a figura abaixo e o fato óbvio de que as extremidades dos dois raios estão na mesma vertical para todos os valores de θ, temos imediatamente as duas primeiras identidades. sen( θ) = sen(θ),

120 115 cos( θ) = cos(θ), tg( θ) = tg(θ). O próximo grupo consiste em três identidades muito úteis. Antes de enunciá-las devemos explicar que os símbolos sen (θ) e cos (θ) são notações-padrão para (senθ) e (cos θ). sen (θ) + cos (θ) = 1 Demonstrado usando as definições de seno e cosseno tg (θ) + 1 = sec (θ) Divida o anterior por cos (θ) 1 + cotg (θ) = cossec (θ) Divida a primeira por sen (θ) O grupo seguinte constitui as fórmulas de adição/subtração sen(θ ± φ) = sen(θ) cos(φ) ± cos(θ)sen(φ) cos(θ ± φ) = cos(θ) cos(φ) sen(θ)sen(φ) tg(θ ± φ) = tg(θ) ± tg(φ) 1 tg(θ)tg(φ) As fórmulas do ângulo duplo são: sen(θ) = sen(θ) cos(θ) cos(θ) = cos (θ) sen (θ) Fazer φ = θ nas anteriores cos (θ) = 1 + cos(θ) sen (θ) = 1 cos(θ) Combinação de algumas anteriores. Exemplos:

121 sen(x). sec(x) = sen(x). cos(x) = sen(x) cos(x) = tg(x).. cos(x).tg(x) = cos(x). sen(x) cos(x) = sen(x). 3. cos 3 (x) + cos(x).sen (x) = cos(x).[cos (x) + sen (x)] = cos(x).1 = cos(x) tg (x) = 1 + sen (x) cos (x) = cos (x) + sen (x) cos (x) cotg (x) = 1 + cos (x) sen (x) = sen (x) + cos (x) sen (x) Exercícios 1. Demonstrar as identidades trigonométricas: (a) (1 sen (x))(1 + tg (x)) = 1 (b) 1 cos (θ) 1 + sen(θ) = sen(θ). Simplificar a expressão: E = 3. Seja y = sec(x) cossec(x) : 1 cotg(x) (a) Simplificar a expressão y. (b) Calcular y se cos(x) = 1 4. = 1 cos (x) = sec (x). = sec(α) + sen(α) cossec(α) + cos(α). 4. Calcular sen (α) e cos (α) se tg(α) = sen (x) = cossec (x). Gabarito 1.. tg(α) 3. (a) sec(x) (b) 4 4. sen (α) = (1 + ) (1 + ) + 1, 1 cos (α) = (1 + ) Comandos GeoGebra: ) Janela CAS: SimplificarExpress~oesTrigonométricas[(sec(x)+sen(x))/(cosec(x)+cos(x))] 3) Janela CAS: Resolver[(x-4)/10=(x+8)/10] 4a) Janela CAS:

122 117 SimplificarExpress~oesTrigonométricas[(sec(x)-cosec(x))/(1-cotan(x))] 4b) Janela CAS: a:simplificarexpress~oestrigonométricas[(sec(x)-cosec(x))/(1-cotan(x))] Substituir[a,cos(x), 1/4] 5) Janela CAS: a:1/(1+tg(x)^) b:substituir[a, tg(x), 1+sqrt()] 1-b^ Relações Métricas num Triângulo qualquer Existem duas leis relacionando ângulos e lados de um triângulo qualquer. São elas: Lei dos Senos O quociente entre as medidas dos lados de um triângulo qualquer e os senos dos ângulos opostos é constante. Exemplos: a sen(α) = b sen(β) = 1. Calcular o valor de a no triângulo abaixo c sen(γ) a 30º 45º Solução: Pela Lei dos Senos: a sen(30 o ) = sen(45 o ), daí a 1 = e portanto a=.

123 118. Sabendo que no triângulo abaixo, sen(α) = 0, 6; sen(γ) = 0, 5 e a=1, calcule c. Solução: Pela Lei dos Senos a sen(α) = c sen(γ) daí, 1 0, 6 = c. Portanto c=10. 0, 5 Lei dos Cossenos O quadrado da medida de um lado qualquer de um triângulo é igual à soma dos quadrados das medidas dos outros dois lados, menos o duplo produto dessas medidas pelo cosseno do ângulo oposto ao primeiro lado. a = b + c b.c. cos(α) b = a + c a.c. cos(β) c = a + b a.b. cos(γ) Exemplos: 1. Calcular cos(α) indicado no triângulo abaixo: Solução: Pela Lei dos Cossenos: ( ) = ( 3) + ( 6) cos(α)

124 119 daí = cos(α), isto nos dá 7 = 18. cos(α). Logo cos(α) = Portanto cos(α) = 7 6. Calcular o lado a indicado na figura Solução: a = ( 3) + (4 3) cos(60 o ) a = a = a = 36 a=6 3. Calcular o lado L indicado na figura. Solução: ( 3) = L + ( 3) L. 3.cos(30 o ) 3 = L + 1 L = L + 1 6L L 6L + 9 = 0 L=3 Justificativas das Leis Observe a figura ao lado Senos m = c.sen(α) e m = a.sen(γ). Logo, c.sen(α) = a.sen(α) ou Por processos parecidos, vê-se que a = sen(α) b sen(β) a sen(α) =, daí a lei dos senos. c sen(γ).

125 10 Cossenos Pelo Teorema de Pitágoras: m = a (b n) m = c n. Logo, a (b n) = c n ; donde: a = b + c b n; mas, n = c. cos(α); daí, a = b + c b c. cos(α). 5.6 Funções Trigonométricas Inversas As funções trigonométricas não são bijetoras em seu domínio, porém é possível tratarmos de suas inversas desde que restrinjamos seus domínios. Função arco seno [ A função sen : π, π ] [ 1, 1] tem por inversa a função: [ arcsen : [ 1, 1] π, π ] arcseny = x senx = y Função arco cosseno A função cos : [0, π] [ 1, 1] tem por inversa a função: arccos : [ 1, 1] [0, π] arccosy = x cosx = y Função arco tangente ( A função tan : π, π ) R tem por inversa a função: ( arctan : R π, π ) arctany = x tanx = y Função arco cotangente A função cotg : (0, π) R tem por inversa a função:

126 11 arccotg : R (0, π) arccotgy = x cotgx = y Função arco secante A função sec : [ 0, π ) Função arco cossecante ( π ], π (, 1] [1, + ) tem por inversa a função: [ 0, π ) ( π ], π arcsecy = x secx = y arcsec : (, 1] [1, + ) A função cossec : [ π ) (, 0 0, π ] (, 1] [1, + ) tem por inversa a função: [ arccossec : (, 1] [1, + ) π ) (, 0 0, π ] arccossecy = x cossecx = y Exercícios 1. Calcule: (a) y = arcsen(1/) (b) y = arcsen( 3/) (c) y = arccos( 3/) (d) y = tan(arcsen(/3)) (e) y = arctan(tan(0)). Determine o domínio: (a) f(x) = arcsen(x 3) (b) f(x) = arccos(x 5)/4 Gabarito 1. (a) π 6 (b) π 3 (c) π 6 (d) 5 5 (e) 0. (a) [, 4] (b) [ 3, 1] [1, 3] 5.7 Substituições Trigonométricas Neste capítulo apresentaremos algumas idéias usadas para soluções de integrais por substituição trigonometrica, a qual será estudada no cálculo I.

127 1 5.8 Substituição do tipo x = a.sen(θ) Quando tivermos uma expressão do tipo a x, a 0 faremos a seguinte substituição x = a.sen(θ) com π < θ < π. Assim, a x = a (a.sen(θ)) = a a.sen (θ) = a (1 sen (θ)) = a cos (θ) Uma vez que esta substituição é feita, vamos determinar θ, sen(θ), cos(θ), tg(θ), sec(θ), cossec(θ) e cotg(θ) em função da variável x. Já temos que sen(θ) = x a disso segue que θ = arcsin( x a ). Agora, se considerarmos um triângulo retângulo com θ sendo um dos seus ângulos agudos, obtemos que cat.oposto = x e hipotenusa = a, uma vez que sen(θ) = cat.oposto hipotenusa. Fazendo y = cat.adjance, do teorema de Pitágoras temos y x = a, segue se y = a x.

128 . 13 Assim, como cos(θ) = cat.adjance hipotenusa, obtemos cos(θ) = a x. a Além disso, como tg(θ) = sen(θ) cos(θ), cossec(θ) = 1 sen(θ), sec(θ) = 1 cos(θ) e cotg(θ) = 1 tg(θ) temos tg(θ) = x a x, cossec(θ) = a x, sec(θ) = a a x e cotg(θ) = a x. x Exemplo: x Calcule fazendo a substitução x = 4sen(θ), com π < θ < π e determine 16 x o valor de θ, sen(θ), cos(θ), tg(θ), sec(θ), cossec(θ) e cotg(θ) em função da variável x. Solução: Fazendo x = 4sen(θ), com π < θ < π, temos x 16 x = (4sen(θ)) 16 (4sen(θ)) = 16sen (θ) 16 16sen (θ) = 16sen (θ) 16(1 sen (θ)) = 16sen (θ) 4 cos (θ) = 4sen (θ) cos(θ) = 4sen (θ) cos(θ) = 4tg(θ)sen(θ) = 4 sen(θ) cos(θ) sen(θ) Consideremos o triângulo retângulo com um dos seus ângulos agudos sendo θ. Temos que sen(θ) = x 4, daí ( x ) θ = arcsin 4 Do triângulo acima, obtemos cos(θ) = 16 x, tg(θ) = 4 x, sec(θ) = 4, cossec(θ) = 4 16 x 16 x 16 x x e cotg(θ) = x

129 14 Exercícios 1. Em cada um dos itens abaixo, encontre a para que tenhamos uma expressão do tipo a x, em seguida calcule cada uma das expressões fazendo a substituição x = asen(θ), com π < θ < π e determine o valor de θ, sen(θ), cos(θ), tg(θ), sec(θ), cossec(θ) e cotg(θ) em função da variável x. (a) x 9 4x (b) 4 3x 16 4x (c) x 3 (d) x 1 x. Seja x = asen(θ), com a 0 e π < θ < π. Determine θ, sen(θ), cos(θ), tg(θ), sec(θ), cossec(θ) e cotg(θ) em função de x, sem usar o triângulo retângulo.(dica: Para encontrar cos(θ) use a identidade sen (θ) + cos (θ) = 1)

130 ( 3x θ = arcsin tg(θ) = ) ; sen(θ) = 3x 4 3x ; cos(θ) = ; 3x 4 ; sec(θ) = 3x 4 3x ; cossec(θ) = 3 4 3x 3x ; cotg(θ) = 3x 15 Gabarito 1. (a) a = 3 ; x 9 4x = x = ( 1 3 ) x tg(θ) ( ) x θ = arcsin ; sen(θ) = x 9 4x 3 3 ; cos(θ) = ; tg(θ) = 3 3 sec(θ) = ; cossec(θ) = 3 9 4x 9 4x x ; cotg(θ) = x (b) a = 3 3 ; 4 3x = 3 ( 3 3 ) x = cos(θ) x ; 9 4x

131 θ = arcsin(x); sen(θ) = x; cos(θ) = x 1 x ; tg(θ) = ; 1 x 1 sec(θ) = ; cossec(θ) = 1x; cotg(θ) = 1 x 1 x x ( xa) x. θ = arcsin ; sen(θ) = a ; cos(θ) = a x a a sec(θ) = a x ; cossec(θ) = ax; cotg(θ) = a x x 5.9 Substituição do tipo x = a.tg(θ) Quando tivermos uma expressão do tipo a + x, a 0 x ; tg(θ) = a x ; 16 (c) a = ; 16 4x = 4( x ) x 3 x 3 = cotg (θ)cossec(θ) ( x ) θ = arcsin ; sen(θ) = x 4 x ; cos(θ) = ; tg(θ) = sec(θ) = ; cossec(θ) = 4 x 4 x x ; cotg(θ) = x (d) a = 1; x 1 x = sen(θ) cos(θ) x ; 4 x

132 17 faremos a seguinte substituição x = a.tg(θ) com π < θ < π. Assim, a + x = a + (a.tg(θ)) = a + a.tg (θ) = a (1 + tg (θ)) = a sec (θ) Uma vez que esta substituição é feita, vamos determinar θ, sen(θ), cos(θ), tg(θ), sec(θ), cossec(θ) e cotg(θ) em função da variável x. Já temos que tg(θ) = x a disso segue que θ = arctan( x a ). Agora, se considerarmos um triângulo retângulo com θ sendo um dos seus ângulos agudos, obtemos que cat.oposto = x e cat.adjacente = a, uma vez que tg(θ) = cat.oposto cat.adjacente. Fazendo y = hipotenusa, do teorema de Pitágoras temos segue se y = a + x. Assim, y = a + x, cos(θ) = a a + x ; sen(θ) = x a + x ; sec(θ) = a + x ; cossec(θ) = a x a + x ; cotg(θ) = a x. Exemplo: 1 Calcule fazendo a substitução x = 3tg(θ), com π < θ < π e determine o 9 + x valor de θ, sen(θ), cos(θ), tg(θ), sec(θ), cossec(θ) e cotg(θ) em função da variável x.

133 .. Seja x = atg(θ), com a 0 e π < θ < π. Determine θ, tg(θ), sen(θ), cos(θ), sec(θ), cossec(θ) 18 Solução: Fazendo x = 3tg(θ), com π < θ < π, temos x = = 1 = (3tg(θ)) 9 + 9tg (θ) = 1 9(1 + tg (θ)) 1 3 sec (θ) = 1 3 sec(θ) = 1 3 sec(θ) = sec(θ) = 1 3 cos(θ) Consideremos o triângulo retângulo com um dos seus ângulos agudos sendo θ. Temos que tg(θ) = x 3, daí ( x ) θ = arctan 3 Do triângulo acima, obtemos cos(θ) = Exercícios 3, sen(θ) = 9 + x x 9 + x, sec(θ) =, cossec(θ) = 9 + x x x e cotg(θ) = 3 x 1. Em cada um dos itens abaixo, encontre a para que tenhamos uma expressão do tipo a +x, em seguida calcule cada uma das expressões fazendo a substituição x = atg(θ), com π < θ < π e determine o valor de θ, tg(θ), cos(θ), sen(θ), sec(θ), cossec(θ) e cotg(θ) em função da variável x. (a) x 9 + 4x (b) 3 + x x (c) x (d) x 1 + x e cotg(θ) em função de x, sem usar o triângulo retângulo.(dica: Para encontrar cos(θ) use a identidade sec (θ) = 1 + tg (θ) e cos(θ) = 1 ) sec(θ)

134 ( ) 6x 6x 3 θ = arctan ; tg(θ) = 3 3 ; cos(θ) = 3 ; sen(θ) = x + 4x 3 + x x + x sec(θ) = ; cossec(θ) = ; cotg(θ) = 3 x x 19 Gabarito 1. (a) a = 3 ; x 9 + 4x = x ( 3 ) + x = sen(θ) ( ) x θ = arctan ; tg(θ) = x 3 3 ; cos(θ) = 3 ; sen(θ) = 9 + 4x 9 + 4x 9 + 4x 3 sec(θ) = ; cossec(θ) = ; cotg(θ) = 3 x x 6 (b) a = ; 3 + x = ( 6 ) + x = 3 sec(θ) x ; 9 + 4x

135 1 θ = arctan(x); tg(θ) = x; cos(θ) = ; sen(θ) = x 1 + x 1 + x ; sec(θ) = 1 + x 1 + x ; cossec(θ) = ; cotg(θ) = 1x ( x xa) x. θ = arctan ; tg(θ) = a ; cos(θ) = a a + x ; sen(θ) = x a + x ; a + x sec(θ) = a + x ; cossec(θ) = ; cotg(θ) = ax a x 5.10 Substituição do tipo x = a. sec(θ) Quando tivermos uma expressão do tipo x a, a 0 faremos a seguinte substituição π x = a. sec(θ) com θ (0, ). 130 (c) a = 5 8 ; x = 64(( 5 8 ) + x ) x x = 64cossec (θ) ( ) 8x θ = arctan ; tg(θ) = 8x 5 5 ; cos(θ) = 5 ; sen(θ) = x x x sec(θ) = ; cossec(θ) = ; cotg(θ) = 5 5 8x 8x (d) a = 1; x 1 + x = tg (θ) sec(θ) 8x ; x

136 . 131 Assim, x a = (a. sec(θ)) a = a. sec (θ) a = a (sec (θ) 1) = a tg (θ) Uma vez que esta substituição é feita, vamos determinar θ, sen(θ), cos(θ), tg(θ), sec(θ), cossec(θ) e cotg(θ) em função da variável x. Já temos que sec(θ) = x a disso segue que e portanto, cos(θ) = a x, ( a θ = arccos. x) Agora, se considerarmos um triângulo retângulo com θ sendo um dos seus ângulos agudos, obtemos que cat.adjacente = a e hipotenusa = x, uma vez que sec(θ) = hipotenusa cat.adjacente. Fazendo y = cat.oposto, do teorema de Pitágoras temos y + a = x, segue se y = x a. Assim, como sen(θ) = cat.oposto hipotenusa, obtemos x a sen(θ) = x

137 . 13 Além disso, como tg(θ) = sen(θ) cos(θ), cossec(θ) = 1 sen(θ) e cotg(θ) = 1 tg(θ) temos tg(θ) = x a, cossec(θ) = a x x a e cotg(θ) = a x a. Exemplo: x Calcule x 5 fazendo a substitução x = 5 sec(θ), com θ (0, π) e determine o valor de θ, sen(θ), cos(θ), tg(θ), sec(θ), cossec(θ) e cotg(θ) em função da variável x. Solução: Fazendo x = 5 sec(θ), com θ (0, π ), temos x x 5 = (5 sec(θ)) (5 sec(θ)) 5 = 5 sec (θ) 5 sec (θ) 5 = 5 sec (θ) 5(sec (θ) 1) = 5 sec (θ) 5 tg (θ) = 5 sec (θ) tg(θ) = 5 sec (θ) tg(θ) 1 = 5 cos(θ)sen(θ) = 5cossec(θ) sec(θ) Consideremos o triângulo retângulo com um dos seus ângulos agudos sendo θ. Temos que sec(θ) = x 5, daí cos(θ) = 5 x, e portanto Do triângulo acima, obtemos sen(θ) = Exercícios x 5, tg(θ) = x ( ) 5 θ = arccos x x 5, cossec(θ) = 5 x x 5 e cotg(θ) = 5 x Em cada um dos itens abaixo, encontre a para que tenhamos uma expressão do tipo x a, em seguida calcule cada uma das expressões fazendo a substituição

138 ; 133 x = a sec(θ), com 0 < θ < π e determine o valor de θ, sec(θ), cos(θ), sen(θ), tg(θ), cossec(θ) e cotg(θ) em função da variável x. 1 (a) 3x x 4 (b) 9x 4 x 3 (c) x 9 (d) x x 1. Seja x = a sec(θ), com a 0 e 0 < θ < π. Determine θ, sec(θ), sen(θ), cos(θ), tg(θ), cossec(θ) e cotg(θ) em função de x, sem usar o triângulo retângulo.(dica: Lembre-se que cos(θ) = 1 sec(θ) ) Gabarito 1. (a) a = ; 1 3x x 4 = 1 3x x = 1 1 cos(θ)cotg(θ) ( ) θ = arccos ; sec(θ) = x x ; cos(θ) = x ; sen(θ) = x 4 x x 4 x tg(θ) = ; cossec(θ) = x 4 ; cotg(θ) = x 4 (b) a = 3 ; 9x 4 = 3 x ( 3 ) = tg(θ)

139 ) ; sec(θ) = x; cos(θ) = 1x; sen(θ) = x 1 ; x tg(θ) = x x 1; cossec(θ) = x 1 ; cotg(θ) = 1 ( 1 θ = arccos x x 1 ( ax) x ax; x a. θ = arccos ; sec(θ) = ; cos(θ) = sen(θ) = ; a x x a tg(θ) = x ; cossec(θ) = a x a ; cotg(θ) = a x a ; 134 ( θ = arccos 3x tg(θ) = (c) a = 3; ) ; sec(θ) = 3x ; cos(θ) = 9x 4 ; cossec(θ) = x 3 x 9 = 9x 4 3x ; sen(θ) = 3x 3x 9x 4 ; cotg(θ) = 9x 4 x3 x 3 = 3cossec (θ) sec(θ) ( ) 3 θ = arccos ; sec(θ) = x x 3 ; cos(θ) = 3 x ; sen(θ) = x 9 x x 9 x tg(θ) = ; cossec(θ) = 3 x 9 ; cotg(θ) = 5 x 9 (d) a = 1; x x 1 = tg(θ) sec(θ)

140 Videoaulas Relações trigonemétricas em um triângulo retângulo: watch?v=veyrybjmif0 Ciclo trigonemétrico: Funções trigonométricas: parte 1: ZOYrkOl7qUK5tABzczMq parte : ZOYrkOl7qUK5tABzczMq&index= parte 3: BL3JMR-dZOYrkOl7qUK5tABzczMq parte 4: ZOYrkOl7qUK5tABzczMq&index=4 Identidades trigonemétricas: parte 1: parte : parte 3: Relações trigonemétricas em um triângulo qualquer: parte 1: parte :

141 Capítulo 6 Noção de Limites O conceito de limite é fundamental em todo o Cálculo Diferencial. O Cálculo Diferencial é aplicado em vários campos do conhecimento, como em Física, Engenharia, Geologia, Astronomia, Biologia, etc. 6.1 Idéia Intuitiva de Limite Exemplos: 1. Consideremos uma figura de forma quadrada e de área igual a 1. Vamos desenvolver as seguintes etapas: Primeira: Hachurar metade dessa figura. Área hachurada: 1 Segunda: Hachurar metade do que restou em branco. Área hachurada: 3 4 Terceira: hachurar, novamente, metade do que restou em branco. 136

142 137 Continuando esse processo sucessiva e indefinidamente, a área hachurada vai preenchen-do quase todo o quadrado inicial, isto é, a medida da área vai se aproximada de 1 ou tendendo a 1. 1, 3 4, 7 8,..., Dizemos então que o limite desse processo, quando o número de partes hachuradas cresce indefinidamente, é hachurar a figura toda, ou seja, obter uma área hachurada igual a 1. Quando dizemos que a área hachurada tende a 1, significa que ela se aproxima de 1, sem no entanto assumir esse valor.. Consideremos o gráfico da função f : R R, definida por f(x) = x +. Note que à medida que os valores de x se aproximam de 3, por valores menores que 3 (pela esquerda) ou por valores maiores que 3 (pela direita), f(x) se aproxima de 5. A tabela a seguir indica os valores de f(x) para alguns valores de x: x.3, 9, , 01 3, 4 3, 9 f(x) 4 4, 3 4, 9 4, , 01 5, 4 5, 9

143 138 De acordo com o exposto, podemos dizer que: o limite de f(x) quando x tende a 3 pela esquerda é igual a 5, e indicamos: lim f(x) = 5. x 3 o limite de f(x) quando x tende a 3 pela direita é igual a 5, e indicamos: lim f(x) = 5 x 3 + Em vez das duas indicações anteriores, podemos utilizar a seguinte representação única: lim f(x) = 5 x 3 Lê-se: o limite de f(x) quando x tende a 3 é igual a 5. 3) Consideremos também o gráfico da função f : R R, definida por: f(x) = { x, se x 3 x+, se x > 3 Observe: Quando x se aproxima de 3 pela esquerda, f(x) se aproxima de 3, isto é: lim f(x) = 3 x 3 Quando x se aproxima de 3 pela direita, f(x) se aproxima de 5, isto é: lim f(x) = 5 x 3 + Estes limites são chamados limites laterais e, como são diferentes, dizemos que neste caso não existe limite de f(x) quando x tende a 3. Para que exista o limite, f(x) deve se aproximar de um mesmo valor quando x se aproximade a pela direita ou pela esquerda, isto é: lim x a f(x) = lim x a + f(x) = lim x a f(x) 6. Definição de Limite Dizemos que o limite da função f(x) quando x tende a a é igual ao número real L se, e somente se, os números reais f(x), para os infinitos valores de x D f,

144 139 ficam permanentemente próximos de L, sempre que x estiver muito próximo de a. Indica-se: Exercícios lim f(x) = L x a 1. Dada a função g(x) = x + 1 para x 0, determine g(0, 00), g(0, 0001), x g(10000), g( 0, 00) e g( ). (a) O que você observa para os valores de g(x) quando x está próximo do zero? Determine lim g(x) e lim g(x). x 0 + x 0 (b) O que acontece com os valores de g(x) quando x assume valores grandes (em módulo)? Determine lim g(x) e lim g(x). x + x A reta x = 0 é uma assíntota vertical para a função g.. Considere a função h(s) = 3s 1, para s 1. Determine: s 1 (a) Os pontos onde o gráfico intercepta o eixo das abscissas e o eixo das ordenadas. (b) Os intervalos onde esta função é positiva e onde é negativa. (c) O que acontece com h(s) quando s está próximo de 1? (d) Explique o comportamento de h(x) a medida que x cresce indefinidamente. 3. Dada a função f(x) = x + x 3x 4, determine: (a) lim x 1 f(x), lim f(x). Existe lim f(x)? Justifique. + x 1 x 1 (b) Determine o domínio da função dada. 4. Calcule os limites, se existirem: (a) lim x 3x 1 (b) (c) (d) (e) 4x lim x 0 + x lim x 3 x x x lim x 0 + x 1 lim x 0 x (f) lim x x x x 5 (g) lim x 5 x 5 (3 + x) 3 7 (h) lim x 0 x x (i) lim x 0 x (j) lim x x + 5 x 5 Gabarito 1.

145 140 (a) + e (b) + e. (a) abscissa: ( 1, 0), ordenada: (0, 1) 3 (b) positiva: ], 1 [ ]1, + [ 3 negativa: ] 1, 1[ 3 (c) s para s 1 + e 3s 1 para s 1, então h(s) se s 1 + e h(s) para s 1 (d) Como 3s 1 = s(3 1/s) = 3 1/s para s 0 e para valores s muito grande, s 1 s(1 1/s) 1 1/s 1/s 0, temos que a medida que s cresce h(s) se aproxima de (a) 5 (b) {x R/x 1 e x 4} 4. (a) 5 (b) 0 (c) 9 (d) (e) + (f) (g) 10 (h) 7 (i) 1 (j) 6.3 Assíntotas Verticais e Horizontais Seja f uma função real. Definição 6.1 Se lim f(x) e lim f(x) é + ou, então a reta x = a é dita x a + x a uma assíntota vertical. Definição 6. Se lim f(x) = L ou lim x + uma assíntota horizontal. f(x) = L, então a reta y = L é dita x Exercícios 1. Ache as assíntotas verticais e horizontais das funções dadas, caso existam. a) f(x) = x + 1 x b) f(x) = 4x x + 4 c) f(x) = + x 1 x d) f(x) = x x x. Baseado no gráfico abaixo determine: a) O domínio da função; b) As assíntotas, caso existam. Gabarito 1.

146 141 (a) vertical: 0, horizontal: 1 (b) horizontal: 0 (c) vertical: 1, horizontal: 1 (d) vertical: 1,, horizontal: 1. (a) D(f) = {x R x > 0} (b) vertical: x = 0

147 Videoaulas Noção intuitiva de limites: parte 1: parte : parte 1: parte : Definição formal de limites: Assíntotas verticais e horizontais: XTQ

148 Capítulo 7 Construção de Gráficos Neste capítulo iremos exibir exemplos de construção de gráficos de funções tendo em mãos informações sobre esta, tais como, o domínio, interseção com os eixos, assíntotas, pontos de máximos e mínimos, pontos de inflexões, intervalos de crescimento e decrescimento e intervalos de concavidade para cima e para baixo. Exemplos: Em cada item abaixo, construa um gráfico que satisfaça as condições dadas. 1. Domínio Interseção com os eixos R f(0) = 1, f( 5) = 0 Intervalos Crescimento Concavidade (, ) (, 1) ( 1, 1) (1, + ) Extremos relativos e ponto de inflexão Ponto de máximo Ponto de mínimo (, 5) Ponto de inflexão ( 1, ), (1, ) Assíntotas Vertical Horizontal Oblíqua Limite lim f(x) = + x ± Solução: Usando os dados da tabela acima, temos o seguinte esboço 143

149 144. Domínio R {, 0} Interseção com os eixos Intervalos Crescimento Concavidade (, ) (, 1) ( 1, 0) (0, + ) Extremos relativos e ponto de inflexão Ponto de máximo ( 1, ) Ponto de mínimo Ponto de inflexão Assíntotas Vertical Horizontal Oblíqua x = 0, x = y = 0 Limite lim f(x) = 0 x ± Solução: Usando os dados da tabela acima, temos o seguinte esboço

150 Domínio Interseção com os eixos R f(0) = 0 Intervalos Crescimento Concavidade (, ) (, 1) ( 1, 0) (0, 1) (1, ) (, + ) Extremos relativos e ponto de inflexão Ponto de máximo (1, ) Ponto de mínimo ( 1, ) Ponto de inflexão (0, 0), (, 1), (, 1) Assíntotas Vertical Horizontal Oblíqua Limite y = 0 lim f(x) = 0 x ± Solução: Usando os dados da tabela acima, temos o seguinte esboço

151 Domínio R { 3} Interseção com os eixos Intervalos Crescimento Concavidade (, 6) ( 6, 3) ( 3, 0) (0, + ) Extremos relativos e ponto de inflexão Ponto de máximo ( 6, ) Ponto de mínimo (0, 0) Ponto de inflexão Assíntotas Vertical Horizontal Oblíqua x = 3 6y x + 3 = 0 Limite lim f(x) = ± x ± Solução: Usando os dados da tabela acima, temos o seguinte esboço

152 Domínio Interseção com os eixos R f(0) = 0, f() = 0 Intervalos Crescimento Concavidade (, 0) (0, 1) (1, 3) ( 3, ) (, + ) Extremos relativos e ponto de inflexão Ponto de máximo ( 3, 7) 8 Ponto de mínimo (, 0) Ponto de inflexão (0, 0), (1, ), (, 0) Assíntotas Vertical Horizontal Oblíqua Limite lim f(x) = ± x ± Solução: Usando os dados da tabela acima, temos o seguinte esboço y 1 x

153 Domínio Interseção com os eixos R { 1, 1} f(0) = 4, f(±) = 0 Intervalos Crescimento Concavidade (, 1) ( 1, 0) (0, 1) (1, + ) Extremos relativos e ponto de inflexão Ponto de máximo Ponto de mínimo (0, 4) Ponto de inflexão Assíntotas Vertical Horizontal Oblíqua x = 1, x = 1 y = 1 Limite lim f(x) = 1 x ± Solução: Usando os dados da tabela acima, temos o seguinte esboço

154 Domínio Interseção com os eixos R f(1) = 0, f(0) = 1 Intervalos Crescimento Concavidade (, 0) (0, 1) (1, + ) Extremos relativos e ponto de inflexão Ponto de máximo Ponto de mínimo Ponto de inflexão (0, 1), (1, 0) Assíntotas Vertical Horizontal Oblíqua Limite y = x lim f(x) = x ± Solução: Usando os dados da tabela acima, temos o seguinte esboço

155 Domínio Interseção com os eixos R { 1, 1} f( ) = 0, f(0) = 0 Intervalos Crescimento Concavidade (, 1) ( 1, 0) (0, 1) (1, + ) Extremos relativos e ponto de inflexão Ponto de máximo Ponto de mínimo Ponto de inflexão (0, 0) Assíntotas Vertical Horizontal Oblíqua x = 1, x = 1 y = 1 Limite lim f(x) = 1 x ± Solução: Usando os dados da tabela acima, temos o seguinte esboço

156 Capítulo 8 Regiões no plano Nesse capítulo, vamos aprender a calcular área de regiões limitadas por retas, usando o conhecimento de áreas de figuras planas, tais como retângulo, triângulo, quadrado, paralelogramo, trapézio, etc. 8.1 Interseção entre duas retas Definição: Duas retas são concorrentes se, e somente se, possuírem um ponto em comum, ou seja, a interseção das duas retas é um ponto, que é comum a ambas. Considerando as retas r e s e as suas respectivas equações gerais a r x + b r y + c r = 0 e a s x + b s y + c s = 0. Representando-as em um plano cartesiano, iremos perceber que são concorrentes, pois possui o ponto E em comum. O sistema formado com as equações gerais das retas terá como solução o par or nado (x 0, y 0 ) que representa o ponto de interseção. Exemplo: As equações gerais das retas r e s são respectivamente, x+4y 7 = e 3x + y + 1 = 0. Determine o ponto P (x 0, y 0 ) comum às retas r e s.

157 15 Solução: Sabemos que o ponto de interseção de duas retas concorrentes é a solução do sistema formado por elas. Resolvendo o sistema abaixo: { x + 4y 7 = 0 3x + y + 1 = 0 Obtemos, x = 1 e y =. Portanto o ponto P (x 0, y 0 ) = ( 1, ). No início da explicação foi dito que as retas r e s de equações gerais a r x+b r y+c r = 0 e a s x + b s y + c s = 0, respectivamente são concorrentes. Para que seja verdadeira essa afirmação o sistema formado por elas deverá ser possível e determinado, essa verificação irá funcionar da seguinte forma: { a r x + b r y + c r = 0 a s x + b s y + c s = 0 { a r x + b r y = c r a s x + b s y = c s E para que esse sistema seja possível e determinado, o seu determinante deverá ser diferente de zero, isto é, a r a s b r b s 0 Exemplo: Verifique se as retas x + y 3 = 0 e 6x + 5y + 1 = 0 são concorrentes. Solução: Temos { x + y 3 = 0 6x + 5y + 1 = 0 { x + y = 3 6x + 5y = 1 Daí, = 10 6 = 4 0. Portanto, as retas são concorrentes. 8. Cálculo de áreas limitadas por retas Nesta seção apresentaremos exemplos de cálculo de áreas de regiões limitadas por retas. Exemplos: Em cada item abaixo, esboçe a região limitadas pelas retas dadas e calcule a área desta. 1. r : y = x 1, s : y = 1 e t : x =. Solução: Calculemos as interseções: Interseção de r e s : x 1 = 1 x = x = 1. Logo, o ponto de interseção de r e s é o ponto (1, 1). Interseção de r e t : y+1 = y + 1 = 4 y = 5.

158 153 Logo, o ponto de interseção de r e t : é o ponto (, 5). Interseção de s e t claramente é o ponto (, 1). Assim, o esboço da região fica sendo Logo, a região limitada pelas retas r, s e t é um triângulo retângulo de altura h = 3 e base b = 6. Portanto a área é: A = 6.3 = 9.. r : y = x + 1, s : y = x 1, t : y = x + 1 e p : y = x 1. Solução: Calculemos as interseções: Interseção de r e t : x + 1 = x + 1 x = 0 x = 0. Logo, o ponto de interseção de r e t é o ponto (0, 1). Interseção de s e t : x 1 = x + 1 x = x = 1. Logo, o ponto de interseção de s e t : é o ponto ( 1, 0). Interseção de p e s : x 1 = x 1 x = 0 x = 0. Logo, o ponto de interseção de l e s é o ponto (0, 1). Interseção de p e r : x 1 = x + 1 x = x = 1. Logo, o ponto de interseção de l e r : é o ponto (1, 0). Assim, o esboço da região fica sendo

159 154 Logo, a região limitada pelas retas r, s, t e p é um quadrado de lado l =. Portanto, A = ( ) =. 3. r : y = x 3, s : y = x 3, t : y = 0 e l : y = 1. Solução: Calculemos as interseções: Interseção de r e t : x 3 = 0 x = 3. Logo, o ponto de interseção de r e t é o ponto (3, 0). Interseção de s e t : x 3 = 0 x = 3. Logo, o ponto de interseção de s e t : é o ponto ( 3, 0). Interseção de l e s : 1 = x 3 x = 4. Logo, o ponto de interseção de l e s é o ponto ( 4, 1). Interseção de l e r : 1 = x 3 x = 4. Logo, o ponto de interseção de l e r : é o ponto (4, 1). Interseção de r e s : x 3 = x 3 x = 0. Logo, o ponto de interseção de l e r : é o ponto (0, 3). Assim, o esboço da região fica sendo

160 A = 8.4 = 16. Logo, a região limitada pelas retas r, s e t é um triângulo isósceles de bas b = 8 e altura h = 4. Portanto, 155 Logo, a região limitada pelas retas r, s, t e l é um trapézio isósceles de base maior B = 8, base menor b = 6 e altura h = 1. Portanto, A = (8 + 6).1 = r : y = x 3, s : y = x 3 e t : y = 1. Solução: Calculemos as interseções: Interseção de t e s : 1 = x 3 x = 4. Logo, o ponto de interseção de l e s é o ponto ( 4, 1). Interseção de t e r : 1 = x 3 x = 4. Logo, o ponto de interseção de l e r : é o ponto (4, 1). Interseção de r e s : x 3 = x 3 x = 0. Logo, o ponto de interseção de l e r : é o ponto (0, 3). Assim, o esboço da região fica sendo

161 . A = Exercícios Em cada item abaixo, esboçe a região limitadas pelas retas dadas e calcule a área desta. 1. r : y = x, s : y = x + 1, t : x = 0 e l : x = 1.. r : y = x + 1, s : y = 1, t : x = e l : y = r : y = x + 6, s : y = x e t : y = r : y = x + 6, s : y = x, t : y = 4 e l : x = 6. Gabarito 1. A = 1

162 8.3 Regiões limitadas por funções Nessa seção vamos apresentar exemplos de regiões limitadas por funções. Exemplos: 1. Esboçe a região R = {(x, y) R : x y x} Solução: As abscissas dos pontos de interseção da parábola y = x com a reta y = x são dadas por x = x x x = 0 x(x ) = 0 x = 0 ou x =. Logo, os pontos de interseções são (0, 0) e (, 4). Daí obtemos A = A = 56

163 158. Esboçe a região R = {(x, y) R : x y x} Solução: As abscissas dos pontos de interseção da parábola y = x com a função raiz y = x são dadas por x = x x 4 = x x 4 x = 0 x(x 3 1) = 0 x = 0 ou x = 1 ou x = 1. Como x = 1 não pertence ao domínio da função f(x) = x, obtemos que x = 0 ou x = 1. Logo, os pontos de interseção são (0, 0) e (1, 1). Daí obtemos,

164 Esboçe a região R limitada pela função f(x) = e x, pela reta x = 1 juntamente com o eixo y(x = 0) e o eixo x(y = 0). Solução: Claramente a interseção entre a função f(x) = e x e a reta x = 1 é o ponto (1, e), a interseção entre a função f(x) = e x e o eixo y é o ponto (0, 1), a interseção entre a reta x = 1 e o eixo x é o ponto (1, 0). Assim, temos 4. Esboçe a região R limitada pela função f(x) = sen(x), pela reta x = π juntamente com o eixo y(x = 0) e o eixo x(y = 0). Solução: Claramente a interseção entre a função f(x) = sen(x) e a reta x = π é o ponto (π, 0), a interseção entre a função f(x) = sen(x) e o eixo y é o ponto (0, 0), a interseção entre a reta x = π e o eixo x é o ponto (π, 0). Assim, temos 5. Esboçe a região R limitada pelas funções f(x) = sen(x) e g(x) = cos(x), com π x 9π. 4 4

165 7. Esboçe a área limitada pelas curvas f(x) = x + 4x e g(x) = x. Solução: As abscissas dos pontos de interseção de f(x) e g(x) são dadas por 6. Esboçe a área limitada pelas funções f(x) = x 3 e g(x) = x. Solução: As abscissas dos pontos de interseção de f(x) e g(x) são dadas po 160 Solução: As abscissas dos pontos de interseção de f(x) e g(x) são dadas por f(x) = g(x) sen(x) = cos(x) x = π 4 + kπ, k Z. Logo, os pontos de interseção para π 4 x 9π 4 são ( π 4, ), ( 5π 4, ), ( 9π 4, ). Assim, obtemos f(x) = g(x) x +4x = x x 4x = 0 x x = 0 x(x ) = 0 x = 0 ou x =. Logo, os pontos de interseção são (0, 0), ( 1, 1) e (1, 1). Assim, obtemos f(x) = g(x) x 3 = x x 3 x = 0 x(x 1) = 0 x = 0 ou x = 1 o

166 9. Esboçe a área limitada pelas curvas f(x) = x 1, g(x) = 1 x e pela reta x = 3. Solução: Pelo exemplo anterior, temos que os pontos de interseção das funções f(x) e g(x) são dados por (1, 0) e ( 1, 0). Agora o ponto de interseção de f(x) e a reta x = 3 é ( 3, 54) e o ponto de interseção de g(x) e a reta x = 3 é ( 3, 5 4 ). Assim, obtemos 161 Logo, os pontos de interseção são (0, 0) e (, 4). Assim, obtemos 8. Esboçe a área limitada pelas curvas f(x) = x 1 e g(x) = 1 x. Solução: As abscissas dos pontos de interseção de f(x) e g(x) são dadas por f(x) = g(x) x 1 = 1 x x = 0 x 1 = 0 x = 1 ou x = 1. Logo, os pontos de interseção de f(x) e g(x) são (1,0) e ( 1,0). Assim, obtemos

167 Assim as abscissas dos pontos de interseção da reta y = 3 e a função f(x) são f(x) = x 3, se x x + 3, se x 1 1, se 1 < x 11. Esboçe a região R = {(x, y) R : f(x) y 3} onde f(x) = x 1 + x+. Solução: Note que Esboçe a região R = {(x, y) R : 0 y f(x)} onde f(x) = x + 4, se x 0 x 4x + 4, se 0 < x 4 x + 1, se x 4 Solução: Os Pontos de interseção de f(x) com o eixo x são ( 4, 0), (, 0) e (6, 0). Assim, obtemos

168 163 dados por f(x) = 3 x 1 + x = 3 x+3 = 3 ou x 3 = 3 x = 0 ou x = 3. Logo, os pontos de interseção são (0, 3) e (3, 3). Daí, temos Note que neste caso sabemos calcular a área da região R, pois R é um trapézio isósceles de base maior igual a 3, base menor igual a 1 e altura igual a. Daí (3 + 1). A(R) = = Esboçe a região R = {(x, y) R : f(x) y 1} onde f(x) = x 1. Solução: Note que x 1, se x 1 x + 1, se 1 < x < 0 f(x) = 1 x, se 0 x < 1 x 1, se x 1 Assim as abscissas dos pontos de interseção da reta y = 1 e a função f(x) são dados por f(x) = 1 x 1 = 1 x 1 = 1 ou 1 x = 1 ou x 1 = 1 O que nos da x = ou x = 0 ou x =. Logo, os pontos de interseção são (, 1), (0, 1) e (, 1). Daí, temos Note que neste exemplo sabemos calcular a área da região R, pois as regiões

169 164 R 1 e R são triângulos de base igual a e altura igual a 1, daí A(R 1 ) = A(R ) =.1 = 1. Portanto, A(R) = A(R 1 ) + A(R ) = =. 13. Esboçe a região R = {(x, y) R : f(x) y x + 1} onde f(x) = x x 1, se x 1 1, se 1 < x x, se x > Solução: As abscissas dos pontos de interseção da reta y = x + f(x) são dadas por f(x) = x+1 x x 1 = x+1 ou 1 = x+1 x = Logo, os pontos de interseção são (, + 1) e (, 1). Assim

170 Esboçe a região do primeiro quadrante limitado à esquerda pelo eixo y por baixo pela curvax = y, por cima pela curva x = (y 1) e pela direita pela curva x = 3 y. Solução: Calculemos as interseções (y 1) = 3 y y y = 0 y = y = 3 y 4y = (3 y) y = 1 Logo, os pontos de interseção são (, 1) e (1, ). Assim, obtemos