3 Modelamento Matemático

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1 Modelamento Matemátco A Fgura.1 lustra uma camada lmte turbulenta, onde pode-se observar que o escoamento eterno à camada lmte se desloca com velocdade U, enquanto os vórtces se movem com flutuações de velocdades aleatóras da ordem de um décmo de U. O tamanho do maor vórtce é comparado à espessura da camada lmte. O escoamento turbulento é caracterzado por este movmento de agtação local, cua dmensão característca é a escala de turbulênca local. A turbulênca apresenta um espectro contínuo de escalas. Os grandes vórtces (escalas maores) são responsáves pela maor parte de energa cnétca do escoamento, a qual é transferda para os pequenos vórtces (escalas menores), os quas dsspam a energa em forma de calor por meo da ação da vscosdade molecular, caracterzando a turbulênca como um processo de cascata. Uma das característcas mas mportante da turbulênca é a elevada taa de mstura, responsável pelo aumento consderável da transferênca de massa, quantdade de movmento e energa. Fgura.1: Grandes vórtces na camada lmte turbulenta. O escoamento eterno à camada lmte é estaconáro, sendo U constante; os vórtces se movem com flutuações de velocdades aleatóras da ordem de um décmo de U. O tamanho do maor vórtce. (Corrsn e Kstler, 1954). é comparado à espessura da camada lmte As não-lneardades da equação de Naver-Stokes levam a nterações entre os dferentes comprmentos de onda, em todas as dreções. O prncpal processo físco que propaga o movmento em uma vasta gama de comprmentos de onda é o denomnado vorte stretchng (alongamento ou estcamento do vórtce). A

2 Modelamento Matemátco 54 turbulênca ganha energa se os vórtces são orentados na dreção na qual os gradentes de velocdade méda são maores. Esta energa está assocada aos grandes vórtces, que ao se estcarem formam os pequenos vórtces, para os quas transferem energa. O processo se repete contnuamente, até atngr a escala de Kolmogorov, quando a energa é dsspada e os vórtces desaparecem. Devdo ao mecansmo descrto acma, observa-se que o escoamento turbulento possu um elevado número de graus de lberdade Ngl, o qual é proporconal a razão entre a macro escala do escoamento L e a mcro escala (escala de Kolmogorov) l d, o que por sua vez é proporconal ao número de Reynolds (Slvera Neto, 1998). L l d 9/ 4 Ngl Re (.1) As equações de conservação ndependem do regme de escoamento, porém o regme turbulento é sempre transente e tr-dmensonal, e possu uma vasta gama de escalas de comprmento. Este elevado número de graus de lberdade é a prncpal dfculdade de se resolver escoamentos turbulentos. Escoamentos turbulentos podem ser estudados sea por métodos analítcos e/ou numércos, com dferentes níves de apromação, obtendo-se uma maor ou menor descrção das característcas do escoamento (Pomell, 1999). Entre as dversas modelagens numércas estentes para avalar as característcas físcas de escoamentos turbulentos, as três metodologa menconadas a segur são as de maor mportânca. 1. Smulação Numérca Dreta (DNS) A smulação numérca dreta (Drect Numercal Smulaton, DNS) resolve todas as escalas de turbulênca. Logo, para uma perfeta resolução espacal do escoamento, é precso utlzar uma malha fna o sufcente para captar todas as escalas, sto é, o número de pontos nodas deve ser proporconal a Re 9/4, o que requer uma enorme capacdade computaconal, o que pode se tornar nvável para altos números de Reynolds. Teorcamente, com esta metodologa, a turbulênca não necessta de nenhuma modelagem, porém, métodos numércos de alta precsão e robustos precsam ser utlzados.

3 Modelamento Matemátco 55. Smulação de Equações de Médas de Reynolds (RANS) Esta smulação consdera o conceto de decomposção das escalas, através da aplcação de um processo de méda temporal, decompondo a velocdade em uma parte méda e outra temporal. As Equações Médas de Reynolds (Reynolds Average Naver-Stokes, RANS) são estabelecdas através de um processo de méda temporal, o qual elmna todas as flutuações físcas do escoamento, reduzndo substancalmente os requstos de capacdade computaconal. Porém, ntroduz novas varáves que precsam de um modelo para fechamento do conunto de equações e ncógntas.. Smulação de Grandes Escalas (LES) A smulação de grandes escalas (Large Eddy Smulaton, LES) é caracterzada por ser uma metodologa ntermedára à Smulação Numérca Dreta e a smulação va Equações Médas de Reynolds. Com esta modelagem as escalas maores, responsáves pelo maor parte do transporte de energa são dretamente calculadas, e somente as escalas menores, mas homogêneas e sotrópcas são modeladas va um modelo sub-malha. As metodologas RANS e LES possuem orgens dstntas, porém ambas são obtdas através processos de fltragens. Em ambos os casos, uma varável fltrada pode ser defnda através da operação de convolução: ' ' ' ' ' ', t t, (, t), (, t) a(, t ) d dt, a(, t) G (.) onde a = a (, t) é a varável orgnal (varável nstantânea que pode ser um vetor ou um escalar), a é a varável fltrada, G é o fltro de Kernel, o qual é apropradamente escolhdo para elmnar as flutuações nas escalas menores que a largura ou. Os parâmetros (,t) e (,t) controlam respectvamente as larguras dos fltros espacas e temporas descrtos pela função G. Na metodologa RANS, a fltragem é temporal, enquanto que na metodologa LES a fltragem é feta espacalmente. Uma tercera abordagem, denomnada Smulação de Vórtces Descolados ou DES (Detached Eddy

4 Modelamento Matemátco 56 Smulaton) busca mesclar as duas técncas de forma a trar partdo das vantagens que cada uma delas propca. Smulações LES egem um menor esforço computaconal que a smulação numérca dreta (DNS), mas um maor esforço comparado com a modelagem (RANS). Por outro lado, a metodologa LES apresenta um menor grau de apromação que a metodologa RANS, sendo mas precsa e fornecendo um nível muto maor de detalhes do escoamento em comparação a esta últma. Uma representação entre estas modelagens assocado ao custo computaconal requerdo é apresentado na Fg.. a segur. Fgura.: Comparação entre as dferentes modelagens da turbulênca. No presente trabalho as duas metodologas LES e RANS foram empregadas para avalar o fenômeno do ato ncdente com transferênca de calor. Avalou-se dversos modelos RANS de duas equações dferencas e um modelo de tensões de Reynolds. Já com a metodologa LES, o modelo de sub-malha seleconado fo o modelo dnâmco de Smagorsnky. Os seguntes modelos RANS foram empregados: RNG (Yakhot e Orszag, 199), SST (Menter, 1994, 00), e RSM (Launder et al., 1975; Gbson e Launder, 1978; Launder, 1989), tal como ndcado na seção 1.1. A seleção destes modelos fo baseada consderando as vantagens de cada um desses modelos para a obtenção de bons resultados. O modelo RNG mplementado no Fluent fo austado emprcamente para prever bem atos lvres, assm como escoamentos espralados,.e., dos dos fenômenos presentes no escoamento de nteresse aqu. Este modelo necessta do uso de le de parede, uma vez que não pode ser aplcado nas regões onde a contrbução molecular é domnante. Desta

5 Modelamento Matemátco 57 forma, seleconou-se também o modelo SST, o qual é obtdo com uma combnação do modelo padrão (Wlco, 1998) com o modelo padrão. Na regão de parede, o modelo padrão é empregado amortecendo a turbulênca com funções de amortecmento, e em regões mas afastadas, onde a turbulênca domna, o modelo padrão é utlzado. Fnalmente, nvestgou-se o desempenho do modelo RSM (Reynolds Stress Model), o qual envolve a solução de uma equação de conservação para cada um dos componentes da tensão de Reynolds e apresenta como prncpal vantagem em relação aos outros modelos seleconados a capacdade de prever a estênca de ansotropas no escoamento. Na smulação de grandes escalas, LES, fo seleconado o modelo Smagornsky Dnâmco proposto por (Germano et al., 1991; Llly, 199). Este modelo é uma evolução com relação ao modelo orgnal de Smagornsky, pos o parâmetro do modelo de sub-malha é austado em função do própro escoamento e dversos relatos otmstas com relação a aplcação deste modelo podem ser encontradas na lteratura dsponível para uma varedade de stuações. Na seção segunte são apresentadas as equações governantes do fenômeno do ato ncdente com transferênca de calor: equação de conservação de massa, equação de quantdade de movmento e equação de energa. A segur, os modelos RANS e LES seleconados para serem avalados neste trabalho são descrtos..1 Equações Governantes O problema de nteresse consste de um ato a-smétrco espralado de água sando de um bocal com dâmetro D, com propredades conhecdas escoando em um meo de ar não perturbado e atngndo um dsco aquecdo afastado H do bocal. Um fluo de calor constante qs é mposto no dsco. Consdera-se as propredades (massa específca e propredades termofíscas) constantes. Escoamentos não sotérmcos, no regme turbulento, são governados pelas mesmas equações de conservação que os escoamentos no regme lamnar, porém escoamentos turbulentos são sempre tr-dmensonas e transentes. As equações de conservação de massa, quantdade de movmento lnear e energa podem ser descrtas por:

6 Modelamento Matemátco 58 u 0 (.) u t u u 1 ρ pr u (.4) T t u T T α (.5) onde t é o tempo, u é o componente do vetor velocdade, p r = p g e z z é a pressão modfcada, p é a pressão termodnâmca, g é o vetor aceleração da gravdade, z e e z correspondem a coordenada vertcal e o untáro na dreção vertcal. T é a temperatura é a massa específca do fludo, é a vscosdade cnemátca, onde a vscosdade absoluta ou dnâmca, = k/( c p ) é a dfusvdade térmca, sendo k a condutvdade térmca e c p é o calor específco a pressão constante. Admensonalzando as equações anterores com u U ; Uo X D ; t U t * o ; D * p p r ; U o / T T o (.6) qs D / k onde U o e T o correspondem à velocdade méda e temperatura méda do ato na saída do bocal com o dâmetro gual a D, e qs é o fluo de calor na parede onde o ato é ncdente; mostra-se que as equações anterores dependem somente do número de Reynolds Re e do número de Prandtl, Pr. U D Re o ; c p Pr (.7) k Apesar das fltragens utlzadas nas metodologas RANS e LES serem, fundamentalmente, dferentes, os termos delas dervados apresentam mutas semelhanças e são comumente modelados como termos dfusvos, usando-se a hpótese de Boussnesq de 1877 (Ref. Hnze,J. O, 1975) que será apresentada adante.

7 Modelamento Matemátco 59. Equações de Médas de Reynolds - RANS A ferramenta básca requerda para dervar as equações RANS, a partr das equações de Naver-Stokes é a decomposção do Reynolds. A decomposção do Reynolds é baseada na separação dos campos nstantâneos como sendo um somatóro entre a méda da grandeza no tempo e uma flutuação nstantânea, que descreve as varações em torno do valor médo, sto é ' (.8) onde o valor médo temporal é obtdo por, 1 lm dt t 0 t t (.9) Naturalmente que a méda de uma flutuação ' é zero. Substtundo os valores nstantâneos das grandezas pelos valores médos mas suas flutuações e aplcando o operador méda temporal sobre um ntervalo de tempo fnto nas equações de Naver-Stokes, obtêm-se as equações médas de Reynolds, as quas são apresentadas a segur Equação de contnudade: u 0 (.10) Equação de quantdade de movmento: u u u 1 p u r u ' ' u t (.11) Equação de energa:

8 Modelamento Matemátco 60 T u T T t Pr u ' ' T (.1) As equações médas de conservação (Eq..10 a Eq..1) são aplcáves para regme transente (smulações de casos D). Já para os casos permanentes ou D, os termos t e T t u das equações de quantdade de movmento e de energa respectvamente são nulos. Estas equações médas de conservação são quase guas às equações orgnas, com eceção do aparecmento dos termos adconas u e u u T nas equações de quantdade de movmento e energa. Como estes termos surgem devdo ao fato do escoamento ser turbulento, o qual apresenta um comportamento dfusvo, estes termos são nterpretados como tensão e fluo de calor adconal ao movmento e são denomnados tensão de Reynolds turbulento, e fluo de calor turbulento, respectvamente. Com o aparecmento do tensor de Reynolds e do fluo turbulento de calor ocorre um desbalanceamento entre o número de ncógntas e o número de equações, gerando o denomnado problema de fechamento da turbulênca. Para soluconar este problema é precso ntroduzr modelos para avalar o tensor de Reynolds e o fluo de calor turbulento. Duas abordagens são utlzadas para modelar o tensor de Reynolds: modelos de vscosdade turbulenta proposta por Boussnesq em 1877 (Hnze, 1975) e os modelos de fechamento dretos ou de segunda ordem. Os modelos de vscosdade turbulenta propõem que a contrbução das tensões turbulentas na transferênca de quantdade de movmento sea descrta de forma análoga à observada pela ação da vscosdade molecular do fludo, sendo proporconal ao tensor taa de deformação do escoamento médo S. Deste modo se ntroduz o conceto de vscosdade turbulenta, t. u u t S (.1) onde

9 Modelamento Matemátco 61 1 u S u (.14) representa o delta de Kronecker e a energa cnétca turbulenta por undade de massa, representada por 1 1 k ( u u ) ( u v w ) (.15) O últmo termo da equação (.1) pode ser nterpretado com uma tensão normal adconal para representar a flutuação da pressão dnâmca do escoamento e pode ser ncorporado dentro da pressão reduzda como P = p r + / O fluo de calor turbulento também é defndo a partr de uma analoga com o fluo de calor por dfusão molecular, podendo ser avalado como u t T Prt T (.16) onde Pr t é o número de Prandtl turbulento. Pr t é uma constante empírca consderada como constante na grande maora das aplcações. Ao contráro da vscosdade molecular, a vscosdade turbulenta t não é uma propredade do fludo, mas do escoamento, devendo, portanto embutr em sua formulação parâmetros que caracterzem adequadamente as tensões turbulentas. Em termos dmensonas, a vscosdade turbulenta pode ser epressa como um produto entre valores característcos de velocdade V c e comprmento L c. O que dferenca a grande maora dos modelos de turbulênca é a dentfcação da velocdade e comprmento característco da turbulênca. Estem modelos com dversos níves de compledade, precsão e generaldade. Estes varam desde modelos algébrcos (modelos de zero equações) até modelos de quatro equações dferencas, passando pelos modelos de uma, duas e três equações dferencas. Os modelos de duas equações dferencas são os mas populares, por uma questão de custo benefíco e foram seleconados para serem nvestgados neste trabalho. Todos os modelos de vscosdade turbulenta seleconados aqu consderam que a velocdade característca da turbulênca pode ser avalada a partr da energa cnétca turbulenta, sto é, V c = 1/. Uma das dferenças entre a maora dos

10 Modelamento Matemátco 6 modelos dz respeto a escala característca de comprmento. Os modelos da famíla, como os seleconados neste trabalho, relaconam a escala característca com a taa de dsspação da energa cnétca, ao consderar que a potênca dsspada por um turblhão, pode ser estmada pelo produto da força de arraste pela velocdade característca (Pot = F d V c ). Por sua vez, o arraste é proporconal a velocdade ao quadrado (F d V c L c ), logo Pot Fd Vc L c V c Lc Vc L c V / L c c (.17) A taa de dsspação é defnda a partr do gradente das flutuações como u u (.18) O modelo SST é baseado na taa de dsspação específca, sendo defnda como a razão de por, sto é,. Os modelos baseados na hpótese da vscosdade turbulenta usualmente são chamados modelos sotrópcos, uma vez que as tensões de Reynolds normas são guas. Vsando elmnar esta restrção, surgem os modelos de fechamento dreto ou de segunda ordem, que vsam modelar dretamente as tensões de Reynolds a partr de equações de conservação para estas varáves. Uma descrção dos dversos modelos utlzados no presente trabalho é apresentada a segur...1 Modelo padrão O modelo padrão é sem dúvda o modelo que tem recebdo mas atenção, prncpalmente pelos trabalhos de Launder e Spaldng (197, 1974). Neste modelo a vscosdade turbulenta é defnda baseada nas escalas característcas como descrto acma, de acordo com t t c (.19)

11 Modelamento Matemátco 6 onde c = 0,09 é uma constante empírca. As equações de transporte de energa cnétca turbulenta e a dsspação de energa cnétca turbulenta podem ser dervadas a partr das equações de Naver- Stokes, podendo ser escrtas como P u t t (.0) 1 c P c u t t (.1) onde a produção de energa cnétca turbulenta P ou taa de transferênca de energa do escoamento médo pelo o mecansmo de turbulênca é u u u P (.) A qual pode ser rescrta com o auílo da Eq. (.1), para escoamentos ncompressíves, como P t S ou t u u u P (.) Este modelo ntroduz além de c, mas 4 constantes empírcas: os números de Prandtl da energa cnétca turbulenta = 1,0 e da taa dsspação de, =1,, além das constantes c 1 =1,44 e c.=1,9... Modelo Realzável Em geral o modelo Realzável (Shh et al, 1995) fornece uma prevsão mas acurada da taa de csalhamento de atos planos e crculares em relação ao modelo tradconal. Também fornece uma melhor predção para escoamentos envolvendo rotação, com fortes gradentes de pressão adversos. Neste modelo, a vscosdade turbulenta é dada pela mesma Eq. (.19), com a dferença de que o

12 Modelamento Matemátco 64 parâmetro c não é mas uma constante. Este parâmetro é austado de forma a garantr que o modelo sea realzável, sto é, não vola a desgualdade de Schwartz (Pope, 000) u u u u e u u 0 (.4) Assm, para garantr u u 0, tem-se que u c u u u t (.5) Logo para que a tensão normal sea postva é precso que 1 1 u c (.6) Dessa forma o parâmetro c é austado em função do escoamento médo. Na sub-camada nercal de uma camada lmte em equlíbro c é apromadamente 0,09; e para um escoamento homogêneo csalhante é gual a 0,05. Neste modelo o parâmetro c é defndo como sendo função da taa de deformação do escoamento médo S e taa de rotação do escoamento médo, de acordo com 1 c * U Ao As (.7) onde U é uma velocdade de referênca U * S S (.8) sendo 1 u S u ; 1 u u (.9) e os parâmetros empírcos A o e A s são dados por:

13 Modelamento Matemátco 65 A o 4,04 ; s 6 cos A ; 1 cos 1 6 W (.0) onde W SS k Sk ; S S S S (.1) A equação de transporte da energa cnétca turbulenta é dêntca a do modelo padrão, Eq. (.0). Já a equação de transporte para ε é lgeramente modfcada, uma vez que a mesma é baseada na equação dnâmca da raz quadrada méda da flutuação da taa de dsspação específca, sendo gual a u t t C1 S c (.) onde C 1 ma0, 4; ; 5 S (.) Uma lmtação do modelo Realzável é a geração de vscosdades turbulentas não físcas em regões estaconáras e em movmento. Nas equações acma o termo de produção de ε, C 1 S, segundo termo do lado dreto da Eq. (.) não envolve a produção de como o modelo padrão. De acordo com o manual do Fluent (FLUENT, 010), acredta-se que esta epressão para a geração de represente melhor a transferênca espectral de energa. Outra dferença está no termo de destrução, o qual não apresenta nenhuma sngulardade, quando tende a zero. Os valores das constantes empírcas são: = 1,0; =1,; c 1 =1,44; e c.=1,9. Uma lmtação deste modelo, no entanto é o fato que o mesmo produz vscosdades turbulentas não físcas em stuações em que o domíno computaconal contém ao mesmo tempo zonas rotaconas e estaconáras de fludo. Isso ocorre porque o modelo nclu os efetos da rotação méda na vscosdade turbulenta.

14 Modelamento Matemátco 66.. Modelo RNG O modelo de turbulênca RNG (Yakhot and Orszag, 199) tem sua orgem baseada uma técnca estatístca rgorosa, chamada Teora dos Grupos de Renormalzação (RNG, Renormalzaton Group Theory), na qual utlza-se um processo de elmnação de escalas, para dervar as equações de transporte. As equações de transporte para e são bem semelhantes às do modelo padrão, porém alguns parâmetros são determnadas analtcamente e outros deam de ser constantes, como é o caso dos números de Prandtl da energa cnétca turbulenta, e de sua taa de dsspação, sendo determnados através de relações analítcas, obtdas em função da vscosdade turbulenta. A equação de transporte de se mantém pratcamente gual à do modelo padrão, com uma pequena mudança no coefcente de dfusão de u t ef P (.4) onde é o nverso do número de Prandtl de e ef t A equação de transporte para também apresenta uma modfcação no coefcente de dfusão de. Porém, a grande dferença de desempenho deste modelo está relaconada com uma modfcação no termo de destrução de na sua equação de transporte de forma a aumentar ou dmnur a destrução de dependendo se a taa de deformação do escoamento encontra-se acma ou abao de certo lmar. A equação para pode ser escrta como u t ef c * 1 P c (.5) onde é o nverso do número de Prandtl de e c * depende da taa de deformação do escoamento O nverso do número de Prandtl de e pode ser obtdo da segunte equação

15 Modelamento Matemátco 67 0, 61 0, 679 / 1, 99 /, 99 o 1, 99 o, 99 ef (.6) onde o =1. Para altos números de Reynolds = =1,9. O procedmento de elmnação de escalas utlzado pela teora RNG fornece uma equação dferencal para a vscosdade turbulenta, porém para altos números de Reynolds, a mesma equação para a vscosdade turbulenta do modelo padrão, Eq. (.19), t = c / é obtda, sendo que a constante c é obtda analtcamente como c = 0,0845. O modelo RNG mplementado no Fluent (FLUENT, 010) oferece uma opção para levar em consderação efetos de rotação na turbulênca, através de modfcações na vscosdade turbulenta, em função de um número de swrl avalado pelo própro Fluent. Como menconado, a prncpal dferença de desempenho do modelo RNG e o modelo padrão está relaconado com o termo adconal na equação de ε, (Yakhot and Orszag, 199). Este termo é ntroduzdo através do parâmetro c * c 1- o c * / c 1 ; S (.7) onde = 0,01 e o =4,8. Note que nas regões onde < o, o termo adconal fornece contrbução postva, com c * se tornando maor que c, aumentando a destrução de. Para > o a destrução de é dmnuída. O modelo RNG apresenta melhores resultados que o modelo padrão em aplcações que apresentam deformações rápdas e lnhas de corrente com curvatura. As constantes normalzação sendo guas a c 1 1, 4 e c 1, 68. c 1 e c são determnadas pela teora do grupo de..4 Modelo SST O modelo SST (Shear Stress Transport) fo desenvolvdo por Menter et al. (00) vsando trar vantagem das melhores característcas dos modelos

16 Modelamento Matemátco 68 padrão (Wlco, 1998) e padrão (Launder and Spaldng, 197). O modelo padrão apresenta bom equlíbro entre precsão e robustez, com boa prevsão nas regões longe da parede. Já o modelo padrão apresenta bons resultados em regões prómas às paredes, ao utlzar funções de amortecmento. Também tem mostrado bom desempenho na presença de gradentes de pressão adverso. O modelo SST combna as vantagens dos modelos de turbulênca padrão e padrão, mas anda falha na prevsão do ponto de separação do escoamento em uma superfíce lsa. Com o obetvo de corrgr essa defcênca, Menter propôs a adoção de um lmtador para o valor da vscosdade turbulenta, de forma a utlzar cada modelo em dstntas regões do escoamento. Uma vantagem desta formulação é o tratamento prómo à parede para baos números de Reynolds. O modelo SST combna os dos modelos através de funções de mstura F 1 e F, que ponderam a contrbução dos dferentes parâmetros de cada modelo. As funções de mstura têm por obetvo seleconar o modelo padrão na regão da camada lmte turbulenta (regão da parede) e o modelo para as regões longe da parede. As equações e transporte para a energa cnétca turbulenta e taa de dsspação específca são: * P u t t (.8) 1 t 1 F 1 P u t t ) ( (.9) Uma característca do modelo SST é a ntrodução de um lmte superor de tensão de csalhamento na camada lmte para evtar níves ecessvos de tensão de csalhamento tpcamente prevstos em modelos de vscosdade turbulenta de Boussnesq. A vscosdade turbulenta no modelo SST é defnda como:

17 Modelamento Matemátco 69 1 t 1 Ω F ma, * a1 (.40) onde a 1=0,1 é uma constante empírca, representa uma medda da taa de rotação, onde por: 1 u u é a taa de rotação do escoamento médo defnda (.41) * é um coefcente que amortece a vscosdade turbulenta para baos números de Reynolds * / Re / 6 t ; 1 Ret/ 6 Re t (.4) onde F1 1 ( 1 F1 ), sendo 1 0, 075 e 0,088. A função pode tomar o valor de ou. 1 A função de mstura F 1 é dada por F tanh( 4 1 Φ 1 ) (.4) Φ1 mn ma,, (.44) 0, 09 y y D y 1 1 D 0 ma, 10 (.45) onde y é a dstânca à parede e =1,168 é uma constante empírca do modelo. F é uma função de mstura semelhante a F 1. F tanh( Φ ) (.46) 500 Φ ma 0, 09 y, y (.47)

18 Modelamento Matemátco 70 Os números de Prandtl são obtdos de acordo com 1 F1 /, 1 ( 1 F1 ) / ;, 1 F1 /, 1 ( 1 F1 ) / (.48), onde,1 =1,176;, =1,0;,1 =,0; =1,168. O termo de produção de energa cnétca turbulenta no modelo SST é defndo pela mesma equação que nos modelos padrão, Eq. (.). No termo de destrução de, tem-se que 4 / 15 (Re / 8) 4 * 0, 09 t (.49) 1 (Re / 8) 4 t Os parâmetros dos termos de geração de depende de, 1/ 9 Re /, 95 t * 1 Ret/, 95 (.50) onde F 1 1 ( 1 F1 ), sendo 1 0, 41 1 ; 0, 09 0, 1 0, 41 (.51) 0, 09 0,..5 Modelo do Tensor de Reynolds, RSM Os modelos baseados no conceto de vscosdade turbulenta fornecem resultados satsfatóros para escoamentos turbulentos bdmensonas sobre superfíces planas, mas não são capazes de prever corretamente os efetos da curvatura de lnhas de corrente sobre o escoamento. Outra lmtação dessa classe de modelos acontece na avalação das tensões normas de Reynolds, de grande mportânca em escoamentos com separação. Uma alternatva para a solução desses problemas é a obtenção das tensões de Reynolds dretamente de suas equações de transporte (Reynolds Stress Model RSM). Estes modelos são consderados como modelos de fechamento dreto ou de segunda ordem (Launder, 1989). As tensões de Reynolds fornecem uma melhor alternatva quando as escalas

19 Modelamento Matemátco 71 de comprmento e velocdade varam sgnfcatvamente com a dreção. Este modelo é, portanto ndcado para escoamentos ansotrópcos e escoamento com a presença da componente angular de velocdade (escoamento espralado). As equações de transporte para as tensões de Reynolds também podem ser obtdas a partr das equações de Naver-Stokes, conforme mostrado por Launder et al. (1984), Wars (199) e Alho e Ilha (006). A equação de transporte para as tensões de Reynolds é apresentada a segur: u u t u u u D P (.5) onde D é o termo de transporte dfusvo, P é a produção das tensões de Reynolds, enquanto que é o termo de destrução. é o termo de pressão. Estem dversas modelagens para o termo de transporte dfusvo das tensões de Reynolds (Hanalc & Launder, 197; Lumley, 1978; Dekeyser & Launder, 198; Hanalc, 1994; Daly & Harlow, 1970). O modelo proposto Len & Leschzner (1994) descrto abao, é mas smples e estável e fo utlzado neste trabalho D u u t (.5) sendo que a vscosdade turbulenta t é dada pelo modelo padrão por: t c (.54) onde as constantes empírcas são c =0,09 e =0,8. A energa cnétca turbulenta é determnada a partr das tensões normas, sendo gual a traço do tensor de Reynolds (Eq..15). O termo de produção das tensões de Reynolds P pode ser determnado dretamente a partr das tensões de Reynolds P u u u u u u (.55)

20 Modelamento Matemátco 7 O tratamento do termo de destrução, dsspatvo, é semelhante ao empregado no modelo padrão. Consdera-se que o processo de dsspação vscosa ocorre de uma forma sotrópca nas escalas menores. Isso mplca matematcamente que (.56) A taa de dsspação da energa cnétca turbulenta,, contnua sendo uma quantdade desconhecda, que precsa ser determnada a partr de sua própra equação de transporte (Hanalc, 1994), a qual é smlar a utlzada pelo modelo padrão. u t t c1 P c (.57) Os valores das constantes empírcas são: =1,0; c 1 =1,44; e c.=1,9. O termo de pressão, assoca correlações entre as flutuações de pressão e velocdade p/ ( u / u / ). A modelagem deste termo tem sdo obeto de dversos trabalhos, pos apresenta nfluênca relevante no desenvolvmento desses modelos de fechamento de segunda ordem. Dstntas abordagens foram propostas para modelar o termo, entre os quas se encontram os modelos, LRR (Launder, Reece & Rod, 1975), SSG (Spezale, Sarkar & Gatsk, 1991) e BSL ω (Menter, 00). Uma análse mas detalhada do termo de pressão mostra que o mesmo não deve contrbur para o nível global de energa turbulenta, devendo contrbur apenas como um agente de redstrbução da energa entre os componentes normas da tensão de Reynolds, uma vez que o termo se anula na dagonal prncpal, pos u / 0, de acordo com a equação de conservação de massa. O modelo LRR (Launder, Reece & Rod, 1975) fo um dos prmeros modelos de fechamento de segunda ordem a ser formulado, sendo um dos mas utlzados. A equação da modelagem do termo de pressão ou redstrbução pode ser descomposta em dos termos dstntos da correlação pressão-velocdade, =,1 +,. O prmero termo,1 age no sentdo de dstrbur a energa

21 Modelamento Matemátco 7 turbulenta entre os dversos componentes do tensor de Reynolds. Quanto maor a ansotropa do escoamento, maor a mportânca de,1 ; quanto mas sotrópca a turbulênca, menor nfluenca da redstrbução. Tal como nos demas modelos, a modelagem do termo de redstrbução no modelo LRR adota como referênca condções de escoamento turbulento lvre. Logo, a partr da equação de Naver-Stokes, utlzando-se um processo de elmnação da flutuação de pressão, através da equação de Posson, se mostra que a correlação de deformação-pressão é governada por um processo devdo somente às terações das flutuações da velocdade,1, e outro devdo às terações de deformação méda e as flutuações de velocdade,. Uma vez que,1 está relaconado essencalmente à turbulênca, e, ao gradente da velocdade méda, é possível escrever (Rotta, 1951; Naot et al., 1970; Launder et al., 1975)., 1 C1 u u (.58) 1, C P Pkk (.59) onde C 1 = 1,8 C = 0,60. Observa-se que,1 é um termo de fonte para a equação de u quando u < ( / )κ e um sorvedouro quando u > ( / ) κ, de tal forma que este termo realmente age no sentdo de redstrbur a energa entre seus componentes. O termo, é a contrapartda dreta do termo,1, porque assume que a parcela da deformação méda do termo de esforço de pressão é proporconal à ansotropa da produção de u u. O modelo LRR fo posterormente modfcado (Gbson & Launder, 1978) a fm de serem ncorporados os efetos de parede, com a ntrodução de mas um termo para avalar. A forma do novo termo de redstrbução fo dada por Shr, 197; Gbson & Launder, 1978, como., 1,, w (.60)

22 Modelamento Matemátco 74, w, w1, w (.61) onde, w1 Cw1 uk um nknm uk u nkn uk u nkn fw (.6) k, w Cw km, nknm k, nkn k, nkn fw (.6) sendo C w1 =0,5 e C w =0,. A função de escala de comprmento f w tem o obetvo de amortecer a contrbução do termo,w a medda que o escoamento se afasta da parede, sendo gual a: / / fw (.64), 5 y p n p onde y p representa a dstânca da parede e np o vetor untáro normal à parede. Os termos de parede falham em determnadas stuações, e nesses casos correções devem ser mpostas a,w1 e,w (Craft et. al, 199; Schestel and Elena, 199; Hanalc, 1994). O modelo RSM que deu melhores resultados fo o Lnear Pressure Stran Model (LRR) com modfcações para escoamentos em regões perto das paredes (EWT), onde o termo de pressão necessta de uma modfcação. A modfcação do termo de pressão bascamente especfca os valores de C 1, C, C w1 e C w, como funções do número de Reynolds turbulento, de acordo a Launder & Shma (1989). { 1- ep[ (0,0067 Re ]} C = - (.65) 1 1+,58A A t ) C = 0, 75 A (.66) Cw C = - C 1,67 (.67) 1 C - 6 ma 0 (.68) C, w Onde:

23 Modelamento Matemátco 75 9 A A - A 8 A A 1 - (.69) a (.70) ka k ak aka (.71) onde a é o tensor de Reynolds normalzado, defndo como: ' ' u u - k a k (.7) Outra opção do modelo RSM utlzado neste trabalho é o Low-Re Stress-Omega Model, este modelo é baseado na equação de transporte da dsspação vscosa (ω) e no modelo LRR. Este modelo é satsfatóro no modelamento do escoamento sobre superfíces curvas e escoamentos com Swrl. Este modelo não requer tratamento de parede. O modelo RSM Low-Re Stress-Omega Model se assemelha ao modelo k-ω devdo à ecelente predção para uma ampla gama de escoamentos turbulentos. Para este modelo pode-se escrever: Π = Π + Π (.7),1, onde Π = - * * ( C ρε + C P) b + C ρε( b b - b b δ / ) + ( C - C b b ) 1 + C 4 ρk ( b S + b S - * b S δ / ) + C ρk( b Ω + b Ω ) k 1 k k k k k mn mn mn mn 5 k k k ρks k (.74) onde ' ' u u - k b k (.75) S 1 u u (.76) 1 u u (.77)

24 Modelamento Matemátco 76 Sendo as constantes: C 1 =, 4, C * 1 = 1, 8, C = 4,, C = 0, 8, C * = 1,, C 4 = 1,5, C 5 = 0, 4.,..6 Modelos RANS nas regões prómas às paredes A modelagem em regões prómas às paredes é de grande mportânca á que tem um mpacto sgnfcatvo na fdeldade das soluções numércas, na medda em que as paredes são a prncpal fonte de vortcdade e de turbulênca. É na regão da parede que a solução das varáves apresentam elevados gradentes, portanto uma representação eata do escoamento na regão próma à parede determna prevsões bem suceddas para os escoamentos turbulentos. O modelo SST é váldo na regão da parede, apresentando um bom desempenho na regão da camada lmte. Para a utlzação deste modelo é necessáro um maor refnamento da malha de forma a garantr y 1 para o prmero ponto nodal nterno ao domíno, sendo + y a dstânca admensonal à parede defnda como: u * y y (.78) onde u * w ; u w (.79) y y0 onde * u é a velocdade de atrto, w é a tensão csalhante na parede e y a dstânca à parede. O modelo RSM utlzado (LRR) não é valdo na regão da parede e um tratamento especal precsa ser utlzado. Este modelo utlza a opção Enhanced Wall Treatment. Este modelo utlza o modelamento de duas camadas (duas regões) de Le de parede, sendo o domíno dvddo em duas regões, a regão próma à parede afetada pela vscosdade turbulenta e a outra uma regão eterna totalmente turbulenta (afastada da parede). A frontera entre estas duas regões é defnda em função do número de Reynolds turbulento Re y, defndo como

25 Modelamento Matemátco 77 y Re y (.80) onde y é a dstânca normal à parede e é a energa cnétca turbulenta. Na regão totalmente turbulenta (Re y 00) o escoamento é resolvdo normalmente pelo modelo, descrto na seção anteror. Na regão próma à parede afetada pela vscosdade (Re y 00), é utlzado o modelo de uma equação proposto por Wolfsten (1969). Neste modelo a equação do transporte de quantdade de movmento e a equação de, são as mesmas á apresentadas. No entanto a vscosdade turbulenta, t é avalada por, t camada c (.81) sendo que o comprmento de escala dado por (Chen & Petel, 1988) Re y A y c ( 1 e ) ; c 0, 41 c / 4 ; A 70 (.8) Para que a transção da vscosdade turbulenta entre a regão da parede e a regão totalmente turbulenta não sea tão abrupta, fo formulada a segunte defnção (Jongen & Mar, 1997), t, trans t ( 1 ) t (.8) camada onde t fo apresentada anterormente para o modelo RSM. A função de mstura é defnda de forma a tomar o valor da undade na regão totalmente turbulenta e zero na regão próma à parede. y Re tanh ; A Re y A (.84) tanh( 0, 98) sendo A um parâmetro de controle da transção entre as duas regões. O valor de A, vara entre 5% a 0% do valor do Reynolds de transção (Retrans 00). A dsspação da energa cnétca turbulenta é dada em função do comprmento de escala da dsspação da energa cnétca turbulenta Patel, 1988) por (Chen &

26 Modelamento Matemátco 78 / Re ; y / A y c 1 e ; A = c (.85) Um procedmento análogo à formulação de t,trans é utlzado para determnar a transção do valor na regão da parede ao núcleo turbulento. Nos modelos com tratamento de parede Enhanced Wall Treatment, para ter um método que possa ser aplcado em toda a regão de parede (.e. regão de subcamada lamnar, regão ntermedára e a regão eterna totalmente turbulenta) é necessáro formular a le de parede como uma le únca. Isto é consegudo utlzando a le lnear de parede (escoamento lamnar) e a le logarítmca de parede (escoamento turbulento), sugerda por Kader (1981). 1 u e u e u (.86) lam turb onde a função de mstura é dada por: 4 a y 1 by (.87) onde a = 0,01 e b = 5 Smlarmente a equação para a dervada du, é: dy du dy e 1 du u lam turb e (.88) dy dy Esta apromação permte que a le para escoamento totalmente turbulento sea faclmente modfcada e amplada para levar em conta outros efetos, tas como gradentes de pressão. Esta fórmula também garante o correto comportamento assntótco para grandes e pequenos valores de representação razoável dos perfs de velocdade em casos onde regão de parede y y, e uma + y ca dentro da As funções com tratamento de parede foram desenvolvdas com a fnaldade de msturar as les de parede turbulenta e lamnar. A função com tratamento de parede na presença de transferênca de calor e gradentes de pressão fo orgnada pela combnação das apromações de Whte and Crstoph (1971) e Huang et., al (199).

27 Modelamento Matemátco 79 du dy turb onde, 1 ky 1 S 1 u u ' (.89) 1 y para y y ' S S (.90) 1 ys para y ys e, w dp dp (.91) * * wu d u d q u q * t w t w * c T c u T p w w p w (.9) p u * t (.9) c T onde; w + y S = 60. O coefcente α, na Eq..89 representa a nfluênca dos gradentes de pressão, e os coefcentes β e γ representam os efetos térmcos. A le de parede lamnar da parede é determnada pela segunte epressão: du lam 1 y (.94) dy Pode ser observado na Eq..94 que apenas os efetos dos gradentes de pressão são ncluídos, á que os efetos de térmcos devdo à transferênca de calor são consderados de menor mportânca quando ocorrem em regões perto da parede. A ntegral da Eq..94 resulta em: u lam y 1 y (.95) A função de tratamento térmco na parede segue a mesma apromação desenvolvda para o perfl + u. A função térmca de parede unfcada combna o perfl lamnar e logarítmco de acordo ao método de Kader (1981). T * 1 T T c u w P p q e T lam e T turb (.96)

28 Modelamento Matemátco 80 onde T P, é a temperatura na célula adacente à parede, e q é o fluo de calor na parede constante. O fator de mstura Γ, é defndo como: 4 a Pr y 1 bpr y (.97) onde Pr é o numero de Prandtl molecular, e os coefcentes a e b foram defndos na Eq..97. A formulação térmca lamnar e turbulenta como: + T, na Eq..96 resulta na defnção das funções de parede T Pr u * u u q lam lam (.98) T Prt u * u P q u Pr 1 Prt * u u turb turb c (.99) onde turbulenta. + u c é o valor de + u na regão ntermedea da regão lamnar e a. Smulação de Grandes Escalas - LES A abordagem da smulação das grandes escalas (LES) ncou-se com os trabalhos de Smagornsky (196). A motvação era smular apenas as grandes escalas dos escoamentos atmosfércos, na mpossbldade de smular todo o espectro de escalas. As prmeras aplcações em problemas de engenhara foram realzadas por Deardorff (1970). A smulação das grandes escalas é uma alternatva com menor esforço computaconal quando comparada com a smulação numérca dreta. Nesta metodologa de smulação, a dnâmca das estruturas das grandes escalas é calculada, enquanto o efeto da turbulênca das pequenas escalas é modelado, usando os chamados modelos sub-malha ( Sub Grd Scale - SGS ). Esta metodologa permte prever com precsão a maor parte do transporte de quantdade de movmento, energa e outros escalares, a ser realzado pelos grandes turblhoes.

29 Modelamento Matemátco 81 Pode-se, conseqüentemente, esperar que um esquema numérco de smulação de grandes escalas, onde os maores turblhoes resolvdos e os menores turblhoes, de escala de sub-malha, são modelados, dê prevsões semelhantes às obtdas por smulação dreta. Contudo, rgorosamente falando, a smulação de grandes escalas é uma smplfcação, pos o espectro de escalas é cortado arbtraramente, mudando a resolução completa da modelagem. Este procedmento sera como dear parte de um turblhão na regão de sub-malha e parte no movmento resolvdo. Outra dfculdade desta abordagem é que todos os turblhões prómos à parede são pequenos e fortemente ansotrópcos. Assm, a malha deve ser refnada nesta zona e o modelo de submalha deve ser capaz de tratar bem esta regão. Este fato aumenta muto o tempo computaconal e a necessdade de memóra, dmnundo-se a vantagem desta metodologa sobre a smulação numérca dreta. Uma alternatva consste em utlzar algum tpo de le de parede para mnmzar os requstos de memóra. A alta precsão com menor solctação de recursos computaconas que a smulação dreta, levou a modelagem SGS a ser uma das mas promssoras metodologas para a solução de escoamentos turbulentos (Germano et al., 1991). Neste procedmento, o coefcente do modelo passa a ser função da posção e do tempo, sendo obtdo a partr do campo resolvdo do escoamento. Nas seções seguntes serão apresentados os processos de fltragem e modelagem sub-malha. A abordagem LES consste na aplcação de um fltro tal qual descrto pela Eq. (.), nas equações de Naver-Stokes, Eqs. (.) a (.5), onde se tem: a(, t) a(, t) a(, t) (.100) sendo a (, t) a função a ser fltrada, a (, t) é a parte fltrada, contendo as grandes escalas, e a parte a (, t) é a parte assocada aos termos sub-malha que devem ser modelados. A função fltro é defnda por dversas formas, entre as quas uma das mas utlzadas, é a função fltro por volume, dada pela equação ' 1/, se G (.101) ' 0, se,

30 Modelamento Matemátco 8 G é conhecdo como fltro, e vêm a ser o tamanho de largura de fltro, o qual caracterza a freqüênca de corte da fltragem. Na metodologa LES, o fltro tem por função separar as grandes das pequenas escalas. Esta operação de fltragem procura bascamente dmnur a parte do espectro de energa cnétca a ser resolvda numercamente (.e. dmnundo o número de graus de lberdade), com a esperança que o movmento da pequena escala sea menos sensível às ansotropas mpostas ao escoamento e, portanto, mas fácl de modelar, o qual selecona apenas as grandes estruturas turblhonares como aquelas a serem smuladas. O Método dos Volumes Fntos, utlzado no presente trabalho, consste em dvdr o domíno computaconal em N volumes de controle V c com a varação de de 1 a N, e a posteror ntegração das equações de N-S, Eqs. (.) a (.5). A fltragem das equações de conservação com a função fltro defnda pela Eq. (.10) se confunde com as equações resultantes do método de volumes fntos. As equações de conservação para as varáves fltradas devem ser obtdas aplcando-se a operação de fltragem defnda pela Eq. (.) nas Eqs. (.) a (.5). Para alcançar este obetvo é necessáro em prmero lugar comutar os operadores de fltragem e de dervadas. De um modo geral, consdera-se que a operação de comutação não ntroduz erros. No caso do prmero termo das Eqs. (.4) e (.5), esta apromação é satsfatóra, pos consdera-se que o passo de tempo a ser utlzado é pequeno o sufcente para capturar a físca das estruturas, dessa forma o fltro empregado ndepende de qualquer parâmetro temporal. Para malhas unformes a operação de comutação entre a fltragem e as dervadas espacas também pode ser realzada, As equações resultantes são u 0 ; u u u t 1 p r u (.10) T u T t Pr T (.10)

31 Modelamento Matemátco 8 O sstema de equações acma modela o transporte das varáves u e T. Nota-se que os termos não lneares se apresentam na forma de dos produtos fltrados, o que torna mpossível a solução deste sstema de equações. Desta forma, faz-se necessáro reescrever o termo não lnear ou de transporte convectvo destas equações, da segunte forma: u u = ( u + u )( u + u = ) u u + u u' + u u + u u (.104) u T = ( u + u )( T + T = ) u T + u T + u T + u T (.105) Introduzndo as seguntes defnções: tensor cruzado C e fluo cruzado C θ, do tensor e fluo de Leonard L e L (Leonard, 1979) e do tensor de Reynolds de sub-malha R e fluo turbulento de calor de sub-malha q C u u u u ; C u T u T (.106) L u u u u ; L u T u T (.107) R = u u ; q u T (.108) Pode-se reescrever os termos não lneares como ( C + L R ) u u u u + = - ; u T u T C L q (.109) Observa-se que o processo de decomposção não resolve o problema, pos apesar do aparecmento do produto de grandezas fltradas (o que pode ser tratado dretamente nas equações de conservação), smplesmente ntroduz novos termos que precsam ser modelados para que o sstema de equações e ncógntas sea equlbrado. Este é o clássco problema de fechamento da turbulênca, um dos maores desafos centífcos da físca moderna, o qual contnua sendo um problema aberto, não contando anda com uma teora fechada. Os tensores cruzado C e de Leonard L podem ser modelados segundo a déa de Clark et al. (1979), que sugerem epressar a soma destes tensores como uma epansão de Taylor do campo de velocdade fltrado, o que levou Fndkaks

32 Modelamento Matemátco 84 e Street, 1979 a demonstrar que: L C k 1 u k u k (.110) Porém, Shaanan et al. (1975) estmaram que, quando um esquema de transporte convectvo de até segunda ordem é utlzado, os tensores de Leonard e cruzado podem ser desprezados. Por outro lado, quando se utlza esquemas de ordens mas elevadas, estes tensores não podem ser mas desprezados. No presente trabalho com a Smulação de Grandes Escalas são utlzadas dscretzações de segunda ordem, dessa forma os efetos dos tensores C e L puderam ser desprezados. As Eqs..10 e.10 descrevem o movmento das grandes estruturas turblhonares. Nestas equações, os termos de sub-malha representam a nteração entre os grandes e pequenos turblhões. De um modo geral, energa cnétca é transferda dos grandes turblhões para os pequenos turblhões. Há, porém, um fluo de energa em ambas as dreções, embora o fluo líqudo sea usualmente na dreção das pequenas escalas. Na verdade, neste processo nteratvo, parte da energa transferda das pequenas escalas retorna aos grandes turblhões. Sendo que em alguns casos, o fluo líqudo pode até ser na dreção das grandes escalas (Leseur and Metas, 1996). Conseqüentemente, os termos de escalas de submalha nas equações de governo devem representar este efeto de transferênca de energa para as grandes escalas. A nversão no sentdo natural do fluo de energa ocorre nas regões prómas das fronteras sóldas, onde os pequenos turblhões, produtores de turbulênca não são resolvdos. Na stuação mas comum, a transferênca líquda de energa, para os pequenos turblhões, funcona como uma dsspação para as grandes estruturas. A energa líquda consumda não retornará, e em conseqüênca o modelo sub-malha deverá ser normalmente dsspatvo. Os modelos de sub-malha se dvdem em quatro classes: modelo de vscosdade turbulenta, de smlardade, mstos (combnam modelos de vscosdade turblhonar e smlardade) e dnâmcos. O modelo sub-malha mas tradconal é aquele baseado no conceto de vscosdade turbulenta (de acordo com a hpótese de Boussnesq). Aplcando esta hpótese para escoamentos ncompressíves, o tensor de Reynolds sub-malha R, é epresso em função da

33 Modelamento Matemátco 85 taa de deformação gerada pelo campo de velocdade fltrado e da energa cnétca turbulenta, tal como: onde R t, SGS u u (.111) t, SGS é a vscosdade turbulenta sub-malha, a qual será modelada. A energa cnétca turbulenta de sub-malha pode ser ncorporada à pressão reduzda de forma análoga ao que fo realzado com os modelos de méda de Reynolds. O modelo de sub-malha seleconado para ser utlzado neste trabalho fo o modelo Dnâmco de Smagornsky, o qual fo desenvolvdo a partr do Modelo de Smagornsky de 196, o prmero modelo de sub-malha desenvolvdo (Sagaut, 00)...1 Modelo sub-malha de Smagornsky O modelo de vscosdade de sub-malha proposto por Smagornsky em 196 (Sagaut, 00) é baseado na hpótese de equlíbro local para as pequenas escalas, ou sea, que a produção de tensões turbulentas sub-malha é gual à dsspação da energa cnétca turbulenta sub-malha, conforme vastamente documentado na lteratura (Pomell, 1999). Assume-se anda que a vscosdade turbulenta é proporconal à escala de comprmento sub-malha característca,, e que a velocdade característca é proporconal à taa de deformação do campo resolvdo de velocdade S turbulenta da sub-malha como:. Deste modo obtém-se o modelo algébrco para a vscosdade t, SGS S S CS S (.11) onde S S S é o módulo do tensor taa de deformação do campo de velocdades resolvdo. O comprmento de escala de Smagornsky, s é proporconal à largura de fltro Δ: s = C S Δ onde C S é o coefcente de Smagornsky. Com muta freqüênca, em especal com os modelos numércos de volume fntos, a escala de comprmento Δ assocada ao fltro é consderada

34 Modelamento Matemátco 86 como sendo o tamanho do espaçamento da malha (Pomelle, 1999), pode ser avalado de acordo com ( ) 1/ Δ = Δ Δy Δz (.11) O parâmetro C S pode ser determnado a partr do decamento da turbulênca homogênea sentrópca, se o número de onda de corte, k c / Δ, estver stuado dentro do ntervalo nercal da le de Kolmogorov (Pomelle, 1999). O valor de C S, neste caso, está entre 0,16 e 0, (Pomelle, 1999). Llly (1967) estmou o valor de C S como sendo gual a 0,18. Contudo, na prátca, verfcou-se que estes valores são ecessvos (Slvestrn, 000). O valor mas comumente utlzado nas smulações numércas tem sdo O valor do parâmetro C S = 0,1 (Leseur & Metas, 1996). C S, é questonado á que ele não é um valor constante, sendo adaptado segundo o tpo de códgo de cálculo utlzado. Vsando superar a dfculdade de se ter um valor da constante para cada stuação dferente, surgram os modelos dnâmcos, onde o parâmetro própro escoamento. A modelagem de fluo de calor turbulento é análoga C S é determnado a partr do q SGS t, SGS T (.114) t onde σ t é o número de Prandtl turbulento... Modelo de Smagornsky Dnâmco Germano et al. (1991) propuseram um método de cálculo dos parâmetros dos modelos baseados na solução do campo de velocdades, função da posção e do tempo. Esta proposta na verdade não é um modelo, mas um procedmento de avalar os coefcentes de um modelo base, a partr das menores escalas do campo resolvdo. Neste modelo supõe-se que o comportamento das escalas resolvdas apresenta smlardade com o comportamento das escalas de sub-malha (Germano

35 Modelamento Matemátco 87 et al., 1991). O conceto fundamental do procedmento dnâmco é o uso de dos fltros com dmensões característcas dferentes: o prmero fltro fltro de malha, o qual utlza as dmensões da malha para calcular o comprmento característco, e é utlzado na smulação das grandes escalas; o segundo fltro fltro de teste, tem uma largura maor que a largura do fltro orgnal, a qual é um múltplo das dmensões da malha utlzada para calcular o comprmento característco, tpcamente. O procedmento utlza nformações das escalas resolvdas não contdas no fltro de teste, para modelar a transferênca de energa entre as escalas resolvdas e as escalas não resolvdas. Assumndo que as tensões sub-malha obtdas com o fltro orgnal e com o fltro de teste são smlares e podem ser modeladas, usando a mesma forma funconal, e supondo anda que os parâmetros a determnar são apromadamente ndependentes da largura do fltro, são obtdas epressões eplctas para os coefcentes (Germano et al., 1991; Hartel and Kleser, 1998). Os parâmetros, a serem determnados, são agora funções dependentes tanto do tempo como da posção espacal que se devem anular nas regões de escoamento lamnar e na promdade às fronteras sóldas, obtendo-se, conseqüentemente, um melhor comportamento assntótco. Consdere as equações fltradas de Naver Stokes e energa u 0 ; u u u 1 p u r t (.115) T u T t T q Pr (.116) onde u u u u e u T u T q. Aplcando-se o fltro G de largura sobre as equações fltradas (.10) e (.14), obtém-se u t u u 1 p r u (.117)