Análise de Sinais Dep. Armas e Electronica, Escola Naval V1.1 - Victor Lobo Capítulo 2. Sistemas Lineares e Invariantes no Tempo - SLITS

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1 Dep. Armas e Electronca, Escola Naval V1.1 - Vctor Lobo 2004 Capítulo 2 Sstemas Lneares e Invarantes no Tempo - SLITS Bblografa (Cap.2 Lourete)(Cap.2 Haykn)(Cap.1,2 Rbero) 1 1 Sstemas Conceto Dcconáro: Um sstema é uma combnação elementos que actuam em conjunto a fm atngr um dado objectvo Algo que transforma um snal noutro, e é tdo como um bloco ou caxa preta Fronteras um sstema: pen que quem o vê e para quê Dagramas blocos Cada bloco é uma caxa negra, caracterzada por um comportamento global Um sstema po eventualmente ser partdo em subsstemas Um sstema po ser agregado com outros para formar um sstema mas alto nível Blocos/ramos/pontos rvação/pontos soma Exemplos sstemas scrtos por dagramas blocos 2 2 Page 1

2 Dep. Armas e Electronca, Escola Naval V1.1 - Vctor Lobo 2004 Sstemas Lneares e Invarantes no Tempo- SLIT Defnções Lnear Se o sstema tem a resposta Y 1 para uma entrada X 1, e a resposta Y 2 para uma entrada X 2 então, se tver uma entrada X 3 =X 1 +X 2 terá uma resposta Y 3 =Y 1 +Y 2 f(x 1 +x 2 )=f(x 1 )+f(x 2 ) Invarante no tempo Reage sempre da mesma manera A reacção não pen da altura no tempo em que a exctação ocorre 3 3 SLIT - Sst.Lnear e Invarante no Tempo SLIT - Sstema lnear nvarante ao tempo x(n) Sstema h(n) y(n) RESPOSTA IMPULSIVA Resposta ao mpulso untáro Desgna-se por h(n) Entrada d(n) Saída h(n) E quando a entrada não é um mpulso? h(n) servrá para alguma cosa? 4 Page 2

3 Dep. Armas e Electronca, Escola Naval V1.1 - Vctor Lobo 2004 SLIT - Sst.Lnear e Invarante no Tempo Qualquer snal po ser consrado como a sobreposção város lta drac, com ampltuse tempos dferentes: = Se o sstema é lnear e nvarante no tempo, a saída po ser calculada somando as respostas mpulsvas a cada um sses snas Obtemos assm a CONVOLUÇÃO dos dos snas 5 5 INTERPRETAÇÃO DO SIGNIFICADO DA CONVOLUÇÃO Para um sstema causal e lmtado no tempo, a resposta é smplesmente: h(n) k= N yn ( ) = hk ( ) xn ( k) k = 0 Saída provocada por x(0) x(n)... por x(1) x(0) x(1) x(2) x(3)... por x(2)... por x(3) Saída no nstante 3 (resultado todas as contrbuções) 6 6 Page 3

4 Dep. Armas e Electronca, Escola Naval V1.1 - Vctor Lobo 2004 Resposta um SLIT A resposta um slt é a convolução da entrada com a resposta mpulsva: Nota: Por vezes chama-se h(n,k) em vez h(n-k), para realçar que se trata da resposta no nstante n provocada pela entrada do momento k Expandndo para um caso concreto (por ex. n=1) y(1)= + x(-2)h(3) + x(-1)h(2) + x(0) h(1) + x(1)h(0) + x(2) h(-1) +. Notação para CONVOLUÇÃO: * X(n)*Y(n) k =+ yn ( ) = xkhn ( ) ( k) k = 7 7 INTERPRETAÇÃO DO SIGNIFICADO DA CONVOLUÇÃO Reornação dos termos da soma k=+ k= k=+ y ( n) = h( k) x( n k) = x( k) h( n k) k= Outra nterpretação gráfca Inverter a resposta mpulsva Passá-lo pelo snal entrada h y x 8 8 Page 4

5 Dep. Armas e Electronca, Escola Naval V1.1 - Vctor Lobo 2004 Propredas da convolução Assocatvda X(n)*Y(n)*Z(n) = ( X(n)*Y(n) ) *Z(n) = X(n)* ( Y(n)*Z(n) ) X(n) Y(n) A(n) Z(n) B(n) Comutatvda X(n)*Y(n) = Y(n)*X(n) Dstrbutvda X(n)*( Y(n)+Z(n) ) = X(n)*Y(n) + X(n)*Z(n) 9 9 PROPRIEDADES DE SISTEMAS MEMÓRIA Dz-se que um sstema tem memóra se a saída pen entradas anterores (ou posterores) Para que um sstema não tenha memóra a resposta tem que ser da forma? Uma mera multplcação por uma constante Sem memóra Com memóra CAUSALIDADE Dz-se que um sstema é causal quando a sua saída não pen da entrada em nstantes futuros Há mutos sstemas não causas Exemplos em processamento magem A resposta mpulsva um sstema causal é 0 para n<0 Causal Não causal Page 5

6 Dep. Armas e Electronca, Escola Naval V1.1 - Vctor Lobo 2004 PROPRIEDADES DE SISTEMAS INVERTIBILIDADE Dz-se que um sstema é nvertível quando há um sstema (dto nverso) que o anula, modo que o snal não é alterado quando passa por esses dos snas x(n) y(n) z(n)=x(n) h(n) h (n) y(n)=x(n)*h(n) z(n)=y(n)*h (n) = x(n)*h(n)*h (n) h(n)*h (n)= d(n) Exemplo um sstema nvertível: um ntegrador Integrador h(n)=u(n) Dferencador h (n)=d(n)-d(n-1) h(n)*h (n)=u(n)*(d(n)-d(n-1) =u(n)*d(n)-u(n)*d(n-1) =u(n)-u(n-1) =d(n) PROPRIEDADES DE SISTEMAS ESTABILIDADE Há város crtéros establda dferentes. Vamos consrar um sstema estável se só se e apresentar uma SAÍDA LIMITADA PARA UMA ENTRADA LIMITADA Uma sequênca dz-se lmtada se x(k) <M k Exemplo: u(n) é lmtada (numca é maor que 1) x (n) = n não é lmtada (ten para nfnto) Para que um sstema seja estável é necessáro que a sua resposta mpulsva seja absolutamente somável y(n) = x(n)*h(n) = Σ x(k)h(n-k) Σ x(k) h(n-k) mas x(k) <M Σ M h(n-k) = M Σ h(n-k) se Σ h(n-k), e fôr N ΜxΝ Um ntegrador é um sstema estável? E o ntegrador com perdas apresentado no acetato 6? E o dferencador do acetato anteror? Page 6

7 Dep. Armas e Electronca, Escola Naval V1.1 - Vctor Lobo 2004 PROPRIEDADES DE SINAIS ENERGIA Defne-se energa um snal como sendo: k =+ Energa = W = x( k) 2 k = Para snas peródcos, é mas convnente usar a energa méda, ou potênca(dado que a energa total é nfnta): Energa meda = k= N N k = 0 xk ( ) on N=perodo Ou generalzando para qualquer snal: Potenca = P = t=+ k/ lm xt () k k t= k/ Convolução em sstemas contínuos Em sstemas contínuos, basta substtur mpulsos por ltas Drac, e somatóros por ntegras Page 7

8 Dep. Armas e Electronca, Escola Naval V1.1 - Vctor Lobo 2004 Descrção sstemas através EQUAÇÕES ÀS DIFERENÇAS Mutos sstemas são scrtos através equações Forma geral: x sstema y O que é uma rvada um snal dscreto? n n 1 2 m d y d y d y d y d x d x a n + a n n a + a + y = b x + b b n m m dt dt dt dt dt dt N = 0 a d y dt = Equação homogénea M = 0 b d x dt Termo forçado Em sstemas dscretos usam-se dferenças fntas em vez rvadas N M N = Orm do sstema = 0 a y( n ) = = 0 b x( n k) Equações às dferenças Por uma questão normalzação, consre-se a 0 =0, e re-escreve-se a equação como: y( n) = N = 1 a y( n ) + Dervadas da saída M = 0 b x( n k) Dervadas da entrada Termos rvados da saída Forma uma equação RECURSIVA Dão orgem a uma resposta mpulsva INFINITA Dão orgem aos fltros IIR ( Infnte Impulse Response) Termos rvados das entradas Formam uma equação NÃO RECURSIVA Dão orgem a uma resposta mpulsva FINITA Dão orgem aos fltros FIR (Fnte Impulse Response) Page 8

9 Dep. Armas e Electronca, Escola Naval V1.1 - Vctor Lobo 2004 Equações às dferenças - Parte homogénea A dnâmca mutos sstemas contínuos po ser scrta através equações dferencas homogéneas ay +by +cy=0 De modo análogo, a corresponnte representação por equações às dfrenças será ay(n-2)+by(n-1)+cy(n)=0 A mplementação a partr das equações às dferenças é medata ay(n-2)+by(n-1)+cy(n)=0 y(n) = -a/c y(n-2) -b/c y(n-1) =0 y(n) -a/c Resposta mpulsva nfnta - IIR a 1 a 2 -b/c y(n-1) y(n-2) Equações às dferenças - Parte forçada O snal entrada atrasado po ser obtdo com um taplay, mplementado como um conjunto flp-flops (um regsto slocamento) ou smulado com uma matrz Resposta mpulsva fnta - FIR Smular em Excel, e pos em Matlab, o sstema caracterzado por Exercíco: x(n) x(n-1) b 1 b 0 y(n) a) y(n)=1/3 x(n)+1/3 x(n-1)+1/3 x(n-2) b) y(n)= 0.5 x(n) y(n-1) x(n-2) b 2 quando recebe as seguntes entradas x(n) = d(n) x(n) = n x(n) = u(n) x(n) = sn( 0,1 n) x(n-3) b Page 9

10 Dep. Armas e Electronca, Escola Naval V1.1 - Vctor Lobo 2004 Estrutura um fltro genérco Equações às dferenças x(n) b 0 y(n) FIR Fnte Impulse Response Tem atrasos da entrada x(n-1) b 1 a 1 y(n-1) IIR Infnte Impulse Response Tem atrasos da saída x(n-2) x(n-3) b 2 b 3 a 2 a 3 y(n-2) y(n-3) Page 10