DESENVOLVIMENTO DE UM MODELO MATEMÁTICO PARA CALCULAR A INCERTEZA NA MEDIÇÃO DE UMA PEÇA-PADRÃO COM MÁQUINA DE MEDIR POR COORDENADAS

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1 Smpóso de Engenhara de Produção Unversdade Federal de Goás Regonal Catalão 8 a 0 de agosto, Catalão, Goás, Brasl DESENVOLVIMENTO DE UM MODELO MATEMÁTICO PARA CALCULAR A INCERTEZA NA MEDIÇÃO DE UMA PEÇA-PADRÃO COM MÁQUINA DE MEDIR POR COORDENADAS Weverton Slvera de Almeda, Unversdade Federal de Goás, wevertonslvera@outlook.com Vanessa Aparecda de Olvera Rosa, Unversdade Federal de Goás, vanessaaor@ufg.br Lucas Perera Slvera, Unversdade Federal de Goás, lucasps_10@hotmal.com Resumo: As máqunas de medr por coordenadas são sstemas de medção amplamente utlzados na ndústra. Porém, embora estas máqunas sejam confáves, um prncípo básco da metrologa é que toda medção é afetada por erros, que são causados pela ação solada ou combnada de város fatores que nfluencam o processo de medção. Logo, torna-se ndspensável a análse da ncerteza de medção, uma vez que este parâmetro é uma ndcação quanttatva da qualdade do resultado. Dante do exposto, o objetvo deste trabalho é desenvolver um modelo matemátco para calcular a ncerteza no processo de medção de uma peça utlzando uma máquna de medr por coordenada, utlzando para tanto a metodologa proposta no Gua para a Expressão de Incerteza de Medção. Para alcançar tal objetvo, fo realzada uma pesqusa bblográfca e posterormente coletadas medções de furos de uma peça. A partr dos valores meddos, dentfcaram-se as varáves de entrada que afetavam o resultado de medção para, então, desenvolver o modelo matemátco. Os resultados mostraram que o entendmento e a aplcação dos concetos e da metodologa proposta no GUM não são tarefas fáces. Para tal, dentre outros aspectos, exgem-se amplos conhecmentos metrológcos e estatístcos, além da manpulação de grande quantdade de dados e cálculos matemátcos. Palavras-chave: máqunas de medr por coordenadas, ncerteza de medção, modelo matemátco. 1. INTRODUÇÃO A fabrcação de produtos com tolerâncas cada vez mas estretas e em maores quantdades levou à necessdade de desenvolver meos de controle de qualdade mas rápdos e efcazes. Neste contexto surgram as Máqunas de Medr por Coordenadas (MMC, como sstemas de medção precsos, versátes e confáves, com a capacdade de medr coordenadas cartesanas dentro de um volume de trabalho delmtado por suas característcas físcas e geométrcas (CARDOZA, De acordo com Valdés (00, máqunas de medr por coordenadas são aquelas que fornecem representações de sstemas coordenados cartesanos, sendo sua função prncpal defnr a geometra de uma peça através de pontos coordenados X, Y e Z, comparar com o elemento geométrco deal e avalar a nformação resultante, como dmensão, desvos de forma, dentre outros. Os exos cartesanos são smulados, geralmente, por um conjunto de guas e mancas aerostátcos e escalas optoeletrôncas. Uma sonda de medção apalpa pontos dscretos sobre a superfíce da peça, sendo que cada ponto meddo é expresso na forma de coordenadas meddas (ORREGO, DI GIACOMO, ABACKERLI, 000. Embora as máqunas de medr por coordenadas sejam sstemas de medção confáves, um prncípo básco da metrologa é que toda medção é afetada por erros, que são causados pela ação solada ou combnada de város fatores que nfluencam o processo de medção, dentre eles o sstema de medção, o mensurando, grandezas externas de nfluênca (como temperatura, umdade e vbração e o operador. O efeto destes erros, orgnados destas dferentes fontes, resulta em uma ncerteza assocada ao resultado da medção (PHILLIPS, 011. De acordo com o INMETRO (01, a ncerteza de medção é defnda como um parâmetro não negatvo que caracterza a

2 Smpóso de Engenhara de Produção Unversdade Federal de Goás Regonal Catalão 8 a 0 de agosto, Catalão, Goás, Brasl dspersão dos valores atrbuídos a um mensurando, com base nas nformações utlzadas. A ncerteza assocada ao resultado de uma medção reflete a falta de conhecmento exato do valor do mensurando. Sem a ndcação da ncerteza os resultados de medção não podem ser comparados, seja entre eles mesmos ou com valores de referênca dados em especfcações do fabrcante, catálogos ou normas técncas (ISO/TAG 4/WG, 008. Portanto, faz-se necessáro que haja um procedmento prontamente mplementado, faclmente compreenddo e de acetação geral para caracterzar a qualdade do resultado de uma medção, sto é, para avalar e expressar sua ncerteza. Tendo em vsta que essas fontes de ncerteza podem comprometer a qualdade do resultado da medção, especalmente nas operações de controle de qualdade, é precso crar ferramentas que auxlem de forma ágl, smplóra e efetva o cálculo da ncerteza na medção com máqunas de medr por coordenadas. Neste sentdo, o objetvo deste trabalho é desenvolver um modelo matemátco para calcular a ncerteza no processo de medção de uma peça utlzando uma máquna de medr por coordenada, utlzando para tanto a metodologa proposta no Gua para a Expressão de Incerteza de Medção.. REFERENCIAL TEÓRICO.1. Incerteza de Medção A ncerteza assocada ao resultado de uma medção reflete a falta de conhecmento exato do valor do mensurando (BIPM et al., 008. É defnda como um parâmetro não negatvo que caracterza a dspersão dos valores atrbuídos a um mensurando, com base nas nformações utlzadas (INMETRO, 01. Para a avalação da ncerteza de medção, o documento Gude to the Expresson of Uncertanty n Measurement, publcado pela ISO em 199, surgu com o objetvo de padronzar os procedmentos de avalação e de expressão da ncerteza de medção. Este gua apresenta crtéros e regras geras para expressar e combnar as ncertezas ndvduas que afetam o processo de nspeção e, assm, determnar a ncerteza de medção. A versão mas recente deste documento (ISO/TAG 4/WG data de 008 (BIPM et al., 008, a qual fo traduzda e publcada pelo INMETRO em 01 sob o título Avalação de dados de medção - Gua para a expressão de ncerteza de medção GUM 008. De forma geral, o método proposto pela ISO/TAG 4/WG (BIPM et al., 008 pode ser dvddo nas seguntes etapas: 1. Defnção do mensurando ou varável de saída;. Identfcação das varáves que podem afetar o resultado da medção (varáves de entrada ou grandezas de nfluênca;. Expressão do mensurando (varável de saída em função de todas as varáves de nfluênca, através de um modelo matemátco; 4. Avalação da ncerteza-padrão assocada às varáves de entrada; 5. Avalação da ncerteza-padrão combnada assocada à varável de saída; 6. Avalação da ncerteza expandda assocada à varável de saída; 7. Expressão do resultado de medção... Defnção do Mensurando e Identfcação das Varáves de Entrada Toda medção tem como objetvo a determnação do valor do mensurando. Desta forma, o mensurando deve ser defndo de forma completa, o que sgnfca que para um nível de exatdão

3 Smpóso de Engenhara de Produção Unversdade Federal de Goás Regonal Catalão 8 a 0 de agosto, Catalão, Goás, Brasl determnado, seu valor é únco. Além da clara defnção do mensurando, resulta necessáro especfcar o método de medção e o procedmento de medção a ser adotado. Na dentfcação das grandezas de nfluênca, deve-se realzar uma análse crítca a fm de dentfcar todas as componentes de ncerteza. Tas componentes podem estar relaconadas às condções ambentas, ao operador, aos equpamentos e padrões utlzados, ao método de medção, dentre outros fatores... Obtenção do Modelo Matemátco Identfcadas as varáves de nfluênca, um modelo matemátco, descrevendo o processo de medção, deve ser proposto, pos ele é a base para a aplcação da le de propagação de ncertezas (BIPM et al., 008. Este modelo relacona todas as varáves de nfluênca (varáves de entrada do processo de medção com o mensurando (varável de saída. Essa função é dada pela Eq. (1. Y = f(x 1, X,...,X N (1 Onde: Y - varável de saída; X - varáves de entrada. A partr da Eq. (1 pode-se obter também uma estmatva do mensurando Y, desgnada como y, tendo como base um conjunto de estmatvas de entrada x 1, x,..., x N para os valores das N grandezas X 1, X,..., X N. Assm, a expressão resultante é dada pela Eq. (. y = f(x 1, x,...,x N (.4. Avalação da Incerteza-padrão de cada Grandeza de Influênca A ncerteza-padrão (u de cada grandeza de nfluênca é obtda através da análse ndvdual de cada uma delas. Dependendo da quantdade de nformação dsponível sobre estas grandezas e da forma como ela é apresentada, as componentes da ncerteza são classfcadas em dos tpos, a saber: avalação do Tpo A e avalação do Tpo B (BIPM et al., 008. Segundo o ISO/TAG 4/WG (BIPM et al., 008 a avalação do Tpo A da ncerteza-padrão é aquela obtda de uma análse estatístca de uma sére de observações de um mensurando, assumndo uma dstrbução normal ou outra qualquer. Por sua vez, a avalação do Tpo B da ncerteza-padrão de uma componente de ncerteza é obtda por outros meos, que não a análse estatístca de uma sére de observações repetdas, tas como consderações de manuas, especfcações de fabrcantes, certfcados de calbração ou a partr de experêncas anterores. Dependendo da quantdade de nformação dsponível e da forma como ela é apresentada, podem-se adotar dferentes dstrbuções de probabldade para efetuar os cálculos. As mas utlzadas são a dstrbução retangular, a dstrbução trangular, a dstrbução normal e a t-student..5. Avalação da Incerteza-padrão Combnada A ncerteza-padrão combnada da varável de saída é obtda aplcando a le de propagação de ncertezas, apresentada na Eq. (. n n1 n f f f uc ( y u ( x ux ux j r( x, x j 1 x ( 1 j 1 x x j Onde: u c (y - ncerteza-padrão combnada da varável de saída; r(x, x j - coefcente de correlação entre as estmatvas x e x j.

4 Smpóso de Engenhara de Produção Unversdade Federal de Goás Regonal Catalão 8 a 0 de agosto, Catalão, Goás, Brasl No prmero termo da Eq. (, u(x é a ncerteza-padrão de cada grandeza de entrada x, e as dervadas parcas da função em relação à cada varável de entrada são os coefcentes de sensbldade, cuja magntude representa a contrbução de cada fonte de ncerteza no valor da ncerteza total. O segundo termo da Eq. ( só rá exstr quando houver uma correlação entre as grandezas de entrada x e x j, ou seja, quando r(x, x j 0. Caso contráro, o segundo termo desaparece, obtendo-se a Eq. (4. u c n f ( y u ( x 1 x (4 Estmadas as ncertezas-padrão das fontes de entrada, u( x, é necessáro calcular os coefcentes de sensbldade do mensurando em relação a cada fonte de entrada. O coefcente de sensbldade (C do mensurando (y em relação a cada fonte de entrada (x é defndo conforme Eq. (5: f c (5 x Com a estmatva das ncertezas-padrão de todas as fontes de entrada do mensurando e os seus coefcentes de sensbldade calculados, cada respectva componente de ncerteza na undade do mensurando pode ser estmada pela Eq. (6. ux y ( y ux c ( x ux (6 x Onde: ux ( y - componente de ncerteza do mensurado referente a cada fonte x ; c ( x coefcente de sensbldade referente a cada fonte (x ; u - ncerteza referente a cada fonte (x..6. Avalação da Incerteza Expandda x - Ao aplcar o Teorema do Lmte Central para determnação da ncerteza-padrão combnada u c (y pode-se dzer que a dstrbução de probabldade resultante será, sempre, aproxmadamente normal ou t-student, para um dado número de graus de lberdade v ef. Para uma dstrbução de probabldade normal, o ntervalo de ±1 desvo-padrão em torno da melhor estmatva do mensurando corresponde a uma probabldade de abrangênca de 68,7%. Para aumentar tal probabldade de abrangênca, deve-se multplcar a ncerteza-padrão combnada pelo fator de abrangênca k, conforme mostra a Eq. (7. O resultado obtdo é a chamada ncerteza expandda U(y. U( y k u ( y (7 c Para encontrar o valor de k na tabela t-student, é necessáro calcular os graus de lberdade efetvo (v ef da ncerteza-padrão combnada da varável de saída. O cálculo do grau de lberdade efetvo (v ef da ncerteza-padrão combnada da varável de saída é baseado na equação de Welch-Satterwate, conforme mostra a Eq. (8 (BIPM et al., 008.

5 Smpóso de Engenhara de Produção Unversdade Federal de Goás Regonal Catalão 8 a 0 de agosto, Catalão, Goás, Brasl ef N u 1 4 c 4 u ( y ( y v N 1 u (u( x 4 c ( y c v ( x 4 (8 Onde: u c (y - ncerteza-padrão combnada da varável de saída; u(y - ncerteza-padrão de cada varável de entrada na undade do mensurando ou varável de saída; v - número de graus de lberdade de cada varável de entrada; N - número de varáves de entrada; u(x - ncerteza-padrão de cada varável de entrada; c (x - representa o coefcente de sensbldade do mensurando em relação a cada varável de entrada x. O fator de abrangênca (k, presente na Eq. (7, é escolhdo em função do nível de abrangênca especfcado para o ntervalo, estando geralmente entre,00 (dos e,00 (três para uma dstrbução normal de probabldade, consderando 95,45% e 99,7%, respectvamente..7. Apresentação do Resultado de Medção O resultado da medção deve ser expresso em concordânca com a ABNT NBR ISO/IEC 1705 (005. Desta forma, levando-se em conta a ncerteza-padrão combnada, é dado por ( y uc (y, e, em relação à ncerteza expandda, é expresso por ( y ± U(y, em que y é a estmatva de Y, representado por seu valor médo. O valor numérco da estmatva do mensurando ( y : méda das n ndcações deve ser arredondado consderando o mesmo número de casas decmas da resolução do sstema de medção. Neste caso, as regras usuas de arredondamento devem ser utlzadas. Entretanto, ao relatar os resultados fnas da avalação da ncerteza de medção u c (y e U(y, às vezes pode não ser aproprado utlzar tas regras de arredondamento. Neste sentdo, o GUM (BIPM et al., 008 destaca que o bom senso deve prevalecer.. METODOLOGIA Foram coletados os dados das medções de onze furos de uma peça que é utlzada na ndústra automoblístca (Fg. 1a. As medções foram efetuadas em uma máquna de medr por coordenadas (Fg. 1b, do fabrcante Mtutoyo, modelo BR-M44, tpo ponte móvel, manual, com resolução de 0,001 mm e volume de trabalho de 400 mm x 400 mm x 00 mm, defndo pela faxa nomnal das escalas dos exos X, Y e Z, respectvamente. A máquna possu certfcado de calbração número 07081/1, emtdo pelo Laboratóro de Metrologa da Mtutoyo Sul Amercana. Para cada medção foram efetuadas cnco repetções. Uma vez coletados os dados, passou-se à etapa de avalação da ncerteza de medção. Para tanto, consderou-se os valores de dâmetro obtdos na medção de um únco furo da peça, para cálculo da méda, do desvo-padrão e posteror avalação da ncerteza. Defndo o mensurado, os próxmos passos foram: dentfcação das varáves de entrada que afetavam o resultado da medção com a MMC; modelagem matemátca do processo de medção, em que a varável de saída fo descrta em função de todas as varáves de entrada; avalação da ncerteza-padrão das varáves de entrada, e a ncerteza-padrão combnada e ncerteza expandda assocadas à varável de saída.

6 Smpóso de Engenhara de Produção Unversdade Federal de Goás Regonal Catalão 8 a 0 de agosto, Catalão, Goás, Brasl (a (b Fgura 1: (a Peça medda; (b máquna de medr por coordenadas BR-M44 (Fonte: Dados da pesqusa. 4. RESULTADOS 4.1. Defnção do Mensurado O mensurando é o dâmetro do furo. Os resultados obtdos nas cnco repetções são apresentados na Tab. (1, bem como a méda e o desvo-padrão. Tabela 1: Valores da méda e do desvo-padrão da medção do dâmetro (Fonte: Dados da pesqusa Medções Letura (mm 1 1,010 Méda (mm = 1,010 1,006 1,010 Desvo-padrão (mm = 0, , , Identfcação das Varáves de Entrada Uma vez defndo o mensurando, passou-se à dentfcação das varáves de entrada, ou grandezas de nfluênca. Durante a medção com a MMC BR-M44, as fontes que contrbuem para a ncerteza do resultado de medção são: D = méda artmétca dos valores de dâmetro calculados para os n cclos de medção; R MMC = resolução da MMC; IC MMC = ncerteza assocada à calbração da MMC; E A = erro de apalpamento; T = afastamento da temperatura ambente em relação à de referênca; T = varação da temperatura durante as medções; α e = coefcente de expansão térmca lnear das escalas da máquna; α p = coefcente de expansão térmca lnear do materal da peça. 4.. Defnção do Modelo Matemátco A Equação 9 apresenta o modelo matemátco para a avalação da ncerteza de medção do dâmetro do furo.

7 D = D + ΔR+ ΔIC + ΔE + L ΔT(α +α Smpóso de Engenhara de Produção Unversdade Federal de Goás Regonal Catalão 8 a 0 de agosto, Catalão, Goás, Brasl + L δt(α +α MMC A 0 P E 0 P E (9 Onde: D - dâmetro do círculo ajustado; D - méda artmétca dos valores de dâmetro calculados para os n cclos de medção; ΔR - correção assocada à resolução da MMC; ΔIC MMC correção assocada à ncerteza assocada à calbração da MMC; ΔE A - correção assocada ao erro de apalpamento; L 0 - valor médo de dâmetro; T - afastamento da temperatura ambente em relação à de referênca; T - varação da temperatura durante as medções; P e E - coefcentes de expansão térmca lnear do materal da peça (alumíno e das escalas da MMC BR-M44 (vdro, respectvamente Avalação da Incerteza-padrão das Varáves de Entrada Uma vez defndo o modelo matemátco, a próxma etapa consste em determnar a ncertezapadrão de cada uma das varáves de entrada. Para avalação da ncerteza-padrão das varáves de entrada foram consderas as nformações apresentadas na Tab. (, onde: TA - tpo de avalação; DP - dstrbução de probabldade; GL - número de graus de lberdade; CC - nformações retradas do certfcado de calbração; s - desvo-padrão; n - tamanho da amostra; R - resolução; R T - resolução do termômetro; IC T - ncerteza da calbração do termômetro; α E - coefcente de expansão térmca lnear das escalas da máquna; α P - coefcente de expansão térmca lnear do materal da peça. Tabela : Informações para avalação da ncerteza-padrão das varáves de entrada (Fonte: Dados da pesqusa Varável de entrada TA DP GL Equação Varabldade dos valores meddos ( D Resolução da MMC (R MMC Incerteza da calbração volumétrca (IC MMC Erro de apalpamento (E A Afastamento da temperatura (T em relação a 0 C Coefcente de expansão térmca lnear da peça (α P Coefcente de expansão térmca lnear das escalas da máquna (α E Varação da temperatura (δt s A t-student n-1 u( D n R B Retangular u( RMMC U B CC CC u( ICMMC = k B CC CC B t-student B Retangular B Retangular B Retangular u( E A E A 6 MMC ΔT ΔRT u ( ΔT = + + u( Δ u( Δ P E 0 1,.(α = 0 1,.(α = ( T u( T P E ΔIC k T T

8 Smpóso de Engenhara de Produção Unversdade Federal de Goás Regonal Catalão 8 a 0 de agosto, Catalão, Goás, Brasl De acordo com o certfcado de calbração da MMC, número 07081/1, emtdo pelo Laboratóro de Metrologa da Mtutoyo Sul Amercana, a ncerteza volumétrca é gual a (0,7+L/600 µm, onde L representa o valor da coordenada corresponde. O fator de abrangênca (k gual a,0, e graus de lberdade efetvo gual (υ ef a 148. O erro de apalpação é de (1,9±1, µm (k =,00. A probabldade de abrangênca é de 95%. As medções foram efetuadas a temperatura ambente de (0,0 1,0 C, sendo esta montorada por um termohgrômetro dgtal, do fabrcante Instrutherm, com resolução de 0,1 C e faxa nomnal de -0 ºC a 60 ºC. Este possu certfcado de calbração número R4996/1, emtdo pelo Laboratóro de Temperatura e Umdade da Elus Instrumentação. A ncerteza assocada à calbração é de 0, ºC para a temperatura com k gual a,00 e probabldade de abrangênca de 95%. Quando as medções não forem efetuadas à temperatura de referênca (0 ºC, o afastamento da temperatura em relação a 0 ºC e a varação da temperatura durante as medções devem ser ncluídos na avalação da ncerteza. A Tabela apresenta os valores de ncerteza-padrão de cada uma das varáves de entrada. Tabela : Valores de ncerteza-padrão das varáves de entrada (Fonte: Dados da pesqusa Varável de entrada Incerteza-padrão Varabldade dos valores meddos (0,00407 ( D u( D = 0, mm 5 RMMC 0,001 Resolução da MMC (R MMC u( RMMC = = 0,00089 mm. Incerteza da calbração 0,70500 u ( ICMMC 0, mm volumétrca (IC MMC,0 0,001 Erro de apalpamento (E A u( E A 0, mm 6 0, ,089 0,1500 0, 1609 Afastamento da temperatura (T u( T em relação a 0 C mm/ C Coefcente de expansão térmca 0,1. (0, u ( 0, lnear da peça (α P P mm/ C Coefcente de expansão térmca 0,1. (0,00000 u( 0, lnear das escalas da máquna (α E E mm/ C Varação da temperatura (δt u( T 0 mm/ C 4.5. Avalação da Incerteza-padrão Combnada e Cálculo dos Coefcentes de Sensbldade A partr dos dados apresentados na Tab., a ncerteza-padrão combnada da varável de saída é obtda aplcando a le de propagação de ncertezas (Eq. (10. u c (D= (.u D (D + ( D R. u D ( R+ ( IC MMC. u ( IC MMC + ( D. u ( (10 E A Para o cálculo da ncerteza-padrão combnada, é necessáro calcular os coefcentes de sensbldade do mensurando em relação a cada varável de entrada. No caso das varáves de

9 Smpóso de Engenhara de Produção Unversdade Federal de Goás Regonal Catalão 8 a 0 de agosto, Catalão, Goás, Brasl entrada que são untáras, o coefcente de sensbldade é gual a 1. Assm, para o modelo matemátco proposto na Eq. (9, deve-se calcular os coefcentes de sensbldade para as varáves de entrada T, T, P e E. Os cálculos são apresentados a segur. C= D T = D δt = L 0.α p +L 0.α e = L 0 (α p +α e = 0,00064 mm C -1 C= D α p = D α e = L 0. T+L 0.δT = L 0 ( T+δT = 7,806 mm C -1 Uma vez obtdos os coefcentes de sensbldade, a segur é apresentado o cálculo da ncertezapadrão combnada da varável de saída (dâmetro do furo. (1.(0, (1.(0, (1.(0, (1.(0, u c = (0,00064.(0,1609 +(7,806.(0, (7,806.(0, (0,00064.(0 u c =0, Avalação da Incerteza Expandda Assocada à Varável de Saída e Expressão do Resultado de Medção Para a avalação da ncerteza expandda, a segur é apresentado o cálculo do grau de lberdade efetvo (v ef da ncerteza-padrão combnada da varável de saída. v ef = u c 4 (y (u(x.c 4 v = u 4 (D n-1 + u4 ( R + u4 ( IC 148 u c 4 (y + u4 ( E a v ef = 5,174 k =,57 + u4 ( T.C s ( T + u4 (α e.c s (α e Uma vez obtdo o grau de lberdade da ncerteza-padrão combnada da varável de saída e consultada a tabela t-student, o valor de k é gual a,45, com 95,45% de probabldade de abrangênca. A ncerteza expandda assocada à varável de saída é dada como: U D =,45. 0, ,005 mm. A componente que mas contrbuu para a ncerteza fnal da medção fo a varabldade dos valores de dâmetro ndcados pela máquna. Para mnmzar este efeto pode-se aumentar o número de repetções. Logo, o resultado da medção é expresso como: D = (1,010 ± 0,005 mm. Isto sgnfca que, com 95,45% de abrangênca, o ntervalo de ncerteza dado por [1,005; 1,015] mm compreenderá o valor do dâmetro do furo.

10 Smpóso de Engenhara de Produção Unversdade Federal de Goás Regonal Catalão 8 a 0 de agosto, Catalão, Goás, Brasl 5. CONCLUSÕES Como resultado deste trabalho busca-se contrbur com o entendmento dos aspectos metrológcos, matemátcos e estatístcos que fundamentam a metodologa proposta no Gua para a Expressão de Incerteza de Medção. Neste sentdo, o objetvo geral do presente trabalho fo alcançado, uma vez que se desenvolveu um modelo matemátco para calcular a ncerteza de medção do furo de uma peça, meddo em uma máquna de medr por coordenadas, aplcando a metodologa proposta no Gude to the Expresson of Uncertanty n Measurement, publcado pela ISO em REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ABACKERLI, A.J.; ORREGO, R.M.M. Uma Macrovsão sobre a Modelagem Cnemátca de Máqunas de Medr por Coordenadas. Revsta de Cênca & Tecnologa. v.8. p BIPM (Bureau Internaconal des Pods et Measures Evaluaton of Measurement Data Gude to the Expresson of Uncertanty n Measurement. Geneva Swtzerland p. CARDOZA, J.A.S. Máqunas Vrtuas de Medr a Três Coordenadas. Tese de Doutorado. Unversdade de São Paulo, Escola de Engenhara de São Carlos, DONATELLI, G.D.; ALBERTAZZI, A.; SCHNEIDER, C.A.; PFEIFFER, G. Metrologa Geométrca na Indústra - Tendêncas e Desafos. O futuro da ndústra: a mportânca da metrologa para o desenvolvmento ndustral (coletânea de artgos. Mnstéro do Desenvolvmento, Indústra e Comérco Exteror. p Brasíla: 005. INMETRO (Insttuto Naconal de Metrologa, Qualdade e Tecnologa. Avalação de Dados de Medção: Gua para a Expressão de Incerteza de Medção GUM ed. Ro de Janero: INMETRO, p. PHILLIPS, S.D. Performance Evaluaton. In: HOCKEN, R.J.; PEREIRA, P.H. Coordnate Measurng Machnes and Systems..ed. New York: CRC Press, p. VALDÉS, R.A. Sntetzação de erros termcamente nduzdos em Máqunas de Medr a Três Coordenadas. Tese de Doutorado. Unversdade de São Paulo, Escola de Engenhara de São Carlos, DIREITOS AUTORAIS Os autores são os úncos responsáves pelo conteúdo do materal mpresso ncluído no seu trabalho.