Lista de Exercícios #1. in Noções de Probabilidade e Estatística (Marcos N. Magalhães et al, 4ª. edição), Capítulo 1, seção 1.4, páginas

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1 Universidade de São Paulo IME (Insituto de Matemática e Estatística) MAE 121 Profº. Wagner Borges São Paulo, 19 de março de 2002 Fernando Henrique Ferraz Pereira da Rosa Bach. Estatística Lista de Exercícios #1 in Noções de Probabilidade e Estatística (Marcos N. Magalhães et al, 4ª. edição), Capítulo 1, seção 1.4, páginas Foram feitas medidas em operários da construção civil a respeito da taxa de hemoglobina no sangue (em gramas/cm 3 ): a. Organize os dados em faixas de tamanho 1 a partir do 11. b. Construa o histograma. T. Hemoglobina f f rel [11,12) 4 3 [12,13) 9 [13,14) 8 7 [14,15) 3 [15,16) 4 3 [16,17) 2 7 total Taxa de Hemoglobina 16 17

2 c. Determine o terceiro quartil e a mediana. Pelo gráfico, seja a freqüência de cada classe expressa pela base de cada retângulo vezes sua altura. Para Q 3 queremos o ponto onde ficam para trás 75% das observações. Tomando as três primeiras classes chegamos em 70%. Se somarmos a quarta, chegamos em 80%, precisamos então de uma fraçao dela (5%). A = b.h 5 = b. b = = Q 3 = Pelo mesmo raciocínio: A = b.h 7 = b.7 b = = Mediana = d. Taxas abaixo de 12 ou acima de 16 são consideradas alteradas e requerem acompanhamento médico. Obtenha a tabela de freqüência da varíavel Acompanhamento Médico com duas opções sim ou não. Acompanhamento Médico freqüência freqüência relativa sim 6 não total O número de gols marcados no último campeonato da Federação Paulista de Futebol pelos 20 clubes participantes nos seus 38 jogos é uma varíavel com os seguintes valores: Clube Gols Clube Gols a. Classifique a variável. Você acha razoável construir uma tabela de freqüência de acordo com a classificação dada? A varíavel é quantitativa discreta, mas não é razoável tratá-la como contínua, pois os valores ficariam muito esparsos, com uma observação ou menos para cada número. Nesse caso é mais prático tratá-la como se fosse contínua, criando intervalos de valores e atribuindo suas freqüências. b. Construa uma tabela de freqüência agrupando as observações em intervalos de comprimento 10 a partir de 20 (não esqueça de indicar claramente os intervalos).

3 c. Obtenha o histograma. Gols freqüência freqüência relativa [20,30) 2 [30,40) 4 [40,50 4 [50,60 4 [60,70 2 [70,80 4 Total Gols d. Que porcentagem dos clubes marcaram mais de 38 gols? Ordenando os valores, podemos contar 6 clubes com menos de 38 gols = 14 clubes portanto marcaram mais de 38 gols. 14/20 = 0.7 = 70% 70% dos clubes marcaram mais de 38 gols. 16. O índice de germinação é um dos principais fatores para definir a qualidade das sementes. Ele é determinado em experimento científico conduzido pelo fabricante e regulamentado pelos órgãos fiscalizadores. Um fabricante afirma que o índice de germinação de suas sementes de milho é de 85%. Para verificar tal afirmação, uma cooperativa de agricultores sorteou 100 amostras com 100 sementes cada uma e anotou a porcentagem de germinação em cada amostra. Germinação (%) freqüência freqüência relativa freqüência relativa acumulada [60,75) [75,80) 20 8 [80,85)

4 [85,90) [90,95) [95,100) total a. Faça uma representação gráfica da tabela acima % % 18% 10% 1 0 8% 2% Germinação (%) b. Construa o box-plot. 100 Germinacao c. Comente a afirmação do fabricante.

5 Observando as freqüências relativas acumuladas, ou o histograma de densidades acumladas, percebe-se que em 70% das amostras, germinaram menos de 85% das sementes. 98% 100% 88% 70% 28% 8% Germinação (%) Histograma de freqüências relativas acumladas Logo a afirmação do fabricante de que 85% de suas sementes germinam é enganosa. 24. Um empreendimento imobiliário consistiu da construção de dois edifícios residenciais, com apartamentos de 1 dormitório e área útil de 53m 2. Em uma primeira fase, foi construído apenas um edifício, denominado Bloco A. Para a conclusão do Bloco B houve uma troca de empreiteiras. Suspeita-se que seus apartamentos foram construídos com metragem diferente daquela especificada na estrutura. O arquivo areas.txt contêm as seguintes variáveis, obtidas por peritos de uma firma independente: Id: Identificação da observação no arquivo Bloco: bloco a que percente o apartamento Andar: andar onde o apartamento está situado Final: número identificando a posição do apto. no andar Sala: área da sala, em m 2 Cozinha: área da cozinha, em m 2 Banheiro: área do dormitório, em m 2 Dorm: área do dormitório, em m 2 Rachad: ocorrências de rachaduras no apto: 0 não, 1 sim Infiltr: ocorrências de infiltrações no apto: 0 não, 1 sim a. Explore o arquivo de dados. Qual o número total de apartamentos no empreendimento? Quantos apartamentos existem por prédio? E por andar? Há 152 apartamentos, 2 prédios, com 19 andares cada. Por andar há 4 apartamentos, totalizando 19.4 = 76 apartamentos por prédio.

6 b. Construa tabelas de freqüência para cada uma das variáveis quantitativas contínuas e faça gráficos adequados. Sala (m 2 ) Freqüência [20,21) 1 [21,22) 5 [22,23) 27 [23,24) 30 [24,25) 12 [25,26) 3 [26,27) 8 [27,28) 28 [28,29) 21 [29,30) 13 [30,31) 4 total Sala (m²) Histograma para a varíavel Sala Cozinha (m 2 ) freqüência [6.0, 7.0) 7 [7.0, 7.5) 18 [7.5, 8.0) 53 [8.0, 8.5) 54 [8.5, 9.0) 16 [9.0, 10) 4 total Cozinha (m²) Histograma para a varíavel Cozinha Banheiro (m 2 ) freqüência [2.0,3.5) 1 [3.5,4.0) 25 [4.0,4.5) 43 [4.5,5.0) 62 [5.0,5.5) 18 [5.5,6.0) 3 Total Banheiro (m²) Histograma para a variável Banheiro

7 Dormitório (m 2 ) freqüência [10,11) 6 [11,12) 20 [12,13) 50 [13,14) 49 [14,15) 18 [15,16) 9 total Dormitório (m²) Histograma para a variável Dormitório c. Repita o item (b), para cada bloco, separadamente. Construa gráficos do tipo box-plot e compare as áreas para cada cômodo considerado. Bloco A Sala (m 2 ) freqüência [25,26) 2 [26,27) 8 [27,28) 28 [28,29) 21 [29,30) 17 Sala Bloco B Sala (m 2 ) freqüência [20,21) 1 [21,22) 5 [22,23) 27 [23,24) 30 [24,25) 12 [25,26) Sala (m²) Histograma para Sala (Bloco A)

8 Sala (m²) Histograma para Sala (Bloco B) 30 Sala Sala 25 Histograma para Sala (Bloco B) 20 A B Bloco Boxplot da variável Sala para cada Bloco. Comparação: A área das Salas dos apartamentos situados no Bloco A é visivelmente maior que a área das Salas dos apartamentos do Bloco B, basta observar o último Boxplot. Bloco A Cozinha (m 2 ) freqüência [6.5,7.0) 3 [7.0,7.5) 6 [7.5,8.0) 26 [8.0,8.5) 35 [8.5,9.0) 5 [9.0,9.5) 1 Cozinha Bloco B Cozinha (m 2 ) freqüência [6.5,7.0) 4 [7.0,7.5) 12 [7.5,8.0) 27 [8.0,8.5) 19 [8.5,9.0) 11 [9.0,1) 3

9 Cozinha (m²) Histograma para Cozinha (Bloco A) Cozinha (m²) Histograma para Cozinha (Bloco B). 9.5 Cozinha A Bloco B Boxplot da variável Cozinha para cada Bloco.

10 Comparação: Não há muitas diferenças em relação ao tamanho da cozinha entre os apartamentos dos dois Blocos. Basicamente, as do Bloco A aprensentam menor dispersão e são ligeiramente maiores na média. No Bloco B há um maior número de cozinhas na faixa Este bloco apresenta entretanto, maior dispersão entre as amostras.. Bloco A Banheiro (m 2 ) freqüência [3.5,4.0) 15 [4.0,4.5) 19 [4.5,5.0) 31 [5.0,5.5) 11 Total Banheiro Bloco B Banheiro (m 2 ) freqüência [2.5,3,5) 1 [3.5,4.0) 10 [4.0,4.5) 24 [4.5,5.0) 31 [5.0,5.5) 9 [5.5,6.0) 1 Total Banheiro (m²) Histograma para Banheiro (Bloco A) Banheiro (m²) Histograma para Banheiro (Bloco B).

11 6 5 Banheiro 4 3 A Bloco Boxplot da variável Banheiro para cada Bloco. Comparação: As áreas dos banheiros não são muito diferentes entre os apartamentos dos Bloco A e B.No Bloco B há maior dispersão entre os tamanhos, tendo ele os maiores picos, enquanto em A a distruição é mais uniforme. B Bloco A Dormitório (m 2 ) freqüência [10,11) 2 [11,12) 9 [12,13) 26 [13,14) 26 [14,15) 8 [15,16) 5 Dormitório Bloco B Dormitório (m 2 ) freqüência [10,11) 4 [11,12) 11 [12,13) 24 [13,14) 23 [14,15) 10 [15,16) Dormitório (m²) Histograma para Dormitório (Bloco A).

12 Dormitório (m²) Histograma para Dormitório (Bloco B) Dormitório A B Bloco Boxplot da variável Dormitório para cada Bloco. Comparação: A distruição dos tamanhos é mais uniforme nos apartamentos do Bloco B, aprensentando A, além de maior dispersão, maiores picos. O tamanho médio é compatível. d. Calcule a areá útil total para cada apartamento. Armazene esta informação em uma variável denominada Total. Repita os itens (b) e (c) para a variável Total. Área Total (m 2 ) freqüência [4,45.0) 1 [45.0,47.5) 22 [47.5,5) 43 [5,52.5) 37 [52.5,55.0) 35 [55.0,6) 14 total 152

13 Área Útil Total (m²) 6 Histograma para a varíavel Total Área Útil Total Bloco A Bloco B Área Total (m 2 ) freqüência Área Total (m 2 ) freqüência [45.0,5) 1 [4,45.0) 1 [5,52.5) 26 [45.0,47.5) 12 [52.5,55.0) 35 [47.5,5) 52 [55.0,6) 14 [5,55.0) Área Útil Total (m²) Histograma para variável Total (Bloco A).

14 Área Útil Total Área Útil Total (m²) Histograma para variável Total (Bloco B). A B Bloco Boxplot da variável Total para cada Bloco. Comparação: claramente através da análise dos Histogramas, Tabelas de Freqüência e Boxplot, percebemos que as áreas úteis totais dos apartamentos situados no Bloco B são bem menores que as áreas úteis dos situados no Bloco A. Isso evidencia uma metragem diferente daquela especificada. e. Baseando-se nos itens anteriores, você diria que existem diferenças nas áreas dos apartamentos dos blocos A e B? Em caso positivo, quai(s) cômodo(s) apresenta(m) o problema? Sim, há claras diferenças entre as áreas dos apartamentos dos blocos A e B. As diferenças se notam em todos os cômodos, entretanto são mais acentuadas quando se comparam as áreas das Salas. f. Explore descritivamente os dados referentes a problemas estruturais (rachaduras e infiltrações). Com a informação contida na variável Andar divida os apartamentos em três categorias dependendo do andar em que se encontra, baixo, médio e alto. Estude a ocorrência de rachaduras e infiltrações para cada categoria. Tabela de freqüência de Rachaduras Tabela de freqüência de Infiltrações Andar freqüência Andar freqüência Baixo (1-6) 12 Baixo (1-6) 7 Médio (7-12) 36 Médio (7-12) 9 Alto (13-19) 19 Alto (13-19) 28 Baseados nessas tabelas de freqüência, podemos afirmar que o maior número de rachaduras ocorre nos andares situados nos andares médios, vindo em seguida os altos e então os baixos. Já as infiltrações ocorrem em sua maioria nos andares mais altos, sendo em menor proporção seguidos pelos médios e baixos.