MATEMÁTICA: A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos TEORIA DOS CONJUNTOS. A Opção Certa Para a Sua Realização

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1 MATEMÁTICA: Números inteiros e racionais: operações (adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação);expressões numéricas; múltiplos e divisores de números naturais; problemas. Frações e operações com frações. Números e grandezas proporcionais: razões e proporções; divisão em partes proporcionais; regra de três; porcentagem e problemas. Estatística descritiva; distribuição de probabilidade discreta. Juros simples e compostos: capitalização e descontos. Taxas de juros: nominal, efetiva, equivalentes, proporcionais, real e aparente. Planos ou Sistemas de Amortização de Empréstimos e Financiamentos. Cálculo financeiro: custo real efetivo de operações de financiamento,empréstimo e investimento. Taxas de Retorno. TEORIA DOS CONJUNTOS CONJUNTO Em matemática, um conjunto é uma coleção de elementos. Não interessa a ordem e quantas vezes os elementos estão listados na coleção. Em contraste, uma coleção de elementos na qual a multiplicidade, mas não a ordem, é relevante, é chamada multiconjunto. Conjuntos são um dos conceitos básicos da matemática. Um conjunto é apenas uma coleção de entidades, chamadas de elementos. A notação padrão lista os elementos separados por vírgulas entre chaves (o uso de "parênteses" ou "colchetes" é incomum) como os seguintes exemplos: {,, } {,,,,, } {x : x é um número inteiro tal que 0<x<} Os três exemplos acima são maneiras diferentes de representar o mesmo conjunto. É possível descrever o mesmo conjunto de diferentes maneiras: listando os seus elementos (ideal para conjuntos pequenos e finitos) ou definindo uma propriedade de seus elementos. Dizemos que dois conjuntos são iguais se e somente se cada elemento de um é também elemento do outro, não importando a quantidade e nem a ordem das ocorrências dos elementos. Elemento: qualquer um dos componentes de um conjunto, geralmente representado por letras minúsculas; Pertinência: é a característica associada a um elemento que faz parte de um conjunto; Pertence ou não pertence Se é um elemento de, nós podemos dizer que o elemento pertence ao conjunto e podemos escrever. Se não é um elemento de, nós podemos dizer que o elemento não pertence ao conjunto e podemos escrever.. Conceitos primitivos Antes de mais nada devemos saber que conceitos primitivos são noções que adotamos sem definição. Adotaremos aqui três conceitos primitivos: o de conjunto, o de elemento e o de pertinência de um elemento a um conjunto. Assim, devemos entender perfeitamente a frase: determinado elemento pertence a um conjunto, sem que tenhamos definido o que é conjunto, o que é elemento e o que significa dizer que um elemento pertence ou não a um conjunto. Notação Normalmente adotamos, na teoria dos conjuntos, a seguinte notação: os conjuntos são indicados por letras maiúsculas: A, B, C,... ; os elementos são indicados por letras minúsculas: a, b, c, x, y,... ; o fato de um elemento x pertencer a um conjunto C é indicado com x C; o fato de um elemento y não pertencer a um conjunto C é indicado y C.. Representação dos conjuntos Um conjunto pode ser representado de três maneiras: por enumeração de seus elementos; por descrição de uma propriedade característica do conjunto; através de uma representação gráfica. Um conjunto é representado por enumeração quando todos os seus elementos são indicados e colocados dentro de um par de chaves. Conceitos essenciais Conjunto: representa uma coleção de objetos, geralmente representado por letras maiúsculas; Exemplo: a) A ( 0; ; ; ; ; ; ; 7; 8; 9 ) indica o conjunto formado pelos algarismos do nosso sistema de numeração.

2 b) B ( a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, l, m, n, o, p, q, r, s, t, u, v, x, z ) indica o conjunto formado pelas letras do nosso alfabeto. c) Quando um conjunto possui número elevado de elementos, porém apresenta lei de formação bem clara, podemos representa-lo, por enumeração, indicando os primeiros e os últimos elementos, intercalados por reticências. Assim: C ( ; ; ;... ; 98 ) indica o conjunto dos números pares positivos, menores do que00. d) Ainda usando reticências, podemos representar, por enumeração, conjuntos com infinitas elementos que tenham uma lei de formação bem clara, como os seguintes: D ( 0; ; ; ;... ) indica o conjunto dos números inteiros não negativos; E (... ; -; -; 0; ; ;... ) indica o conjunto dos números inteiros; F ( ; ; ; 7;... ) indica o conjunto dos números ímpares positivos. A representação de um conjunto por meio da descrição de uma propriedade característica é mais sintética que sua representação por enumeração. Neste caso, um conjunto C, de elementos x, será representado da seguinte maneira: C { x x possui uma determinada propriedade } que se lê: C é o conjunto dos elementos x tal que possui uma determinada propriedade: Exemplos O conjunto A { 0; ; ; ; ; ; ; 7; 8; 9 } pode ser representado por descrição da seguinte maneira: A { x x é algarismo do nosso sistema de numeração } Por esse tipo de representação gráfica, chamada diagrama de Euler-Venn, percebemos que x C, y C, z C; e que a C, b C, c C, d C. Número de elementos de um conjunto Consideremos um conjunto C. Chamamos de número de elementos deste conjunto, e indicamos com n(c), ao número de elementos diferentes entre si, que pertencem ao conjunto. Exemplos a) O conjunto A { a; e; i; o; u } é tal que n(a). b) O conjunto B { 0; ; ; ; ; ; 7; 8; 9 } é tal que n(b) 0. c) O conjunto C ( ; ; ; ;... ; 99 ) é tal que n (C) 99. Conjunto unitário e conjunto vazio Chamamos de conjunto unitário a todo conjunto C, tal que n (C). Exemplo: C ( ) O conjunto G { a; e; i; o, u } pode ser representado por descrição da seguinte maneira G { x x é vogal do nosso alfabeto } O conjunto H { ; ; ; 8;... } pode ser representado por descrição da seguinte maneira: H { x x é par positivo } A representação gráfica de um conjunto é bastante cômoda. Através dela, os elementos de um conjunto são representados por pontos interiores a uma linha fechada que não se entrelaça. Os pontos exteriores a esta linha representam os elementos que não pertencem ao conjunto. Exemplo E chamamos de conjunto vazio a todo conjunto c, tal que n(c) 0. Exemplo: M { x x -} O conjunto vazio é representado por { } ou por. Exercício resolvido Determine o número de elementos dos seguintes com juntos : a) A { x x é letra da palavra amor } b) B { x x é letra da palavra alegria } c) c é o conjunto esquematizado a seguir d) D ( ; ; ;... ; 98 ) e) E é o conjunto dos pontos comuns às relas r e s, esquematizadas a seguir :

3 Resolução a) n(a) b) n(b),'pois a palavra alegria, apesar de possuir dote letras, possui apenas seis letras distintas entre si. c) n(c), pois há dois elementos que pertencem a C: c e C e d e C d) observe que:. é o º par positivo. é o par positivo. é o º par positivo 8. é o º par positivo é o 9º par positivo logo: n(d) 9 e) As duas retas, esquematizadas na figura, possuem apenas um ponto comum. Logo, n( E ), e o conjunto E é, portanto, unitário. igualdade de conjuntos Vamos dizer que dois conjuntos A e 8 são iguais, e indicaremos com A 8, se ambos possuírem os mesmos elementos. Quando isto não ocorrer, diremos que os conjuntos são diferentes e indicaremos com A B. Exemplos. a) {a;e;i;o;u} {a;e;i;o;u} b) {a;e;i;o,u} {i;u;o,e;a} c) {a;e;i;o;u} {a;a;e;i;i;i;o;u;u} d) {a;e;i;o;u} {a;e;i;o} e) { x x 00} {0; -0} f) { x x 00} {0} 7 Subconjuntos de um conjunto Dizemos que um conjunto A é um subconjunto de um conjunto B se todo elemento, que pertencer a A, também pertencer a B. Neste caso, usando os diagramas de Euler-Venn, o conjunto A estará "totalmente dentro" do conjunto B : Sejam os conjuntos A {x x é mineiro} e B { x x é brasileiro} ; temos então que A B e que B A. Observações: Quando A não é subconjunto de B, indicamos com A B ou B A. Admitiremos que o conjunto vazio está contido em qualquer conjunto. 8 Número de subconjuntos de um conjunto dado Pode-se mostrar que, se um conjunto possui n elementos, então este conjunto terá n subconjuntos. Exemplo O conjunto C {; } possui dois elementos; logo, ele terá subconjuntos. Exercício resolvido:. Determine o número de subconjuntos do conjunto C (a; e; i; o; u ). Resolução: Como o conjunto C possui cinco elementos, o número dos seus subconjuntos será. Exercícios propostas:. Determine o número de subconjuntos do conjunto C { 0; ; ; ; ; ; ; 7; 8; 9 } Resposta: 0. Determine o número de subconjuntos do conjunto C ; ; ; ; ; Resposta: B) OPERAÇÕES COM CONJUNTOS União de conjuntos Dados dois conjuntos A e B, chamamos união ou reunião de A com B, e indicamos com A B, ao conjunto constituído por todos os elementos que pertencem a A ou a B. Usando os diagramas de Euler-Venn, e representando com hachuras a interseção dos conjuntos, temos: Indicamos que A é um subconjunto de B de duas maneiras: a) A B; que deve ser lido : A é subconjunto de B ou A está contido em B ou A é parte de B; b) B A; que deve ser lido: B contém A ou B inclui A. Exemplo Exemplos a) {a;b;c} U {d;e} {a;b;c;d;e} b) {a;b;c} U {b;c;d}{a;b;c;d}

4 c) {a;b;c} U {a;c}{a;b;c} Intersecção de conjuntos Dados dois conjuntos A e B, chamamos de interseção de A com B, e indicamos com A B, ao conjunto constituído por todos os elementos que pertencem a A e a B. Usando os diagramas de Euler-Venn, e representando com hachuras a intersecção dos conjuntos, temos:.resolução Exemplos a) {a;b;c} {d;e} b) {a;b;c} {b;c,d} {b;c} c) {a;b;c} {a;c} {a;c} Quando a intersecção de dois conjuntos é vazia, como no exemplo a, dizemos que os conjuntos são disjuntos. Exercícios resolvidos. Sendo A ( x; y; z ); B ( x; w; v ) e C ( y; u; t ), determinar os seguintes conjuntos: a) A B f) B C b) A B g) A B C c) A C h) A B C d) A C i) (A B) U (A C) e) B C Resolução a) A B {x; y; z; w; v } b) A B {x } c) A C {x; y;z; u; t } d) A C {y } e) B C{x;w;v;y;u;t} f) B C g) A B C {x;y;z;w;v;u;t} h) A B C i) (A B) u (A C){x} {y}{x;y}. Dado o diagrama seguinte, represente com hachuras os conjuntos: : a) A B C b) (A B) (A C). No diagrama seguinte temos: n(a) 0 n(b) 0 n(a B) Determine n(a B). Resolução Se juntarmos, aos 0 elementos de A, os 0 elementos de B, estaremos considerando os elementos de A n B duas vezes; o que, evidentemente, é incorreto; e, para corrigir este erro, devemos subtrair uma vez os elementos de A n B; teremos então: n(a B) n(a) + n(b) - n(a B) ou seja: n(a B) e então: n(a B). Conjunto complementar Dados dois conjuntos A e B, com B A, chamamos de conjunto complementar de B em relação a A, e indicamos com C A B, ao conjunto A - B.

5 Observação: O complementar é um caso particular de diferença em que o segundo conjunto é subconjunto do primeiro. símbolo ou usualmente representa este conjunto. Usando os diagramas de Euler-Venn, e representando com hachuras o complementar de B em relação a A, temos:. Números reais incluem os números algébricos e os números transcendentais. O símbolo usualmente representa este conjunto.. Números imaginários aparecem como soluções de equações como x + r 0 onde r > 0. O símbolo usualmente representa este conjunto. Exemplo: {a;b;c;d;e;f} - {b;d;e} {a;c;f} Observação: O conjunto complementar de B em relação a A é formado pelos elementos que faltam para "B chegar a A"; isto é, para B se igualar a A. Exercícios resolvidos:. Sendo A { x; y; z }, B { x; w; v } e C { y; u; t }, determinar os seguintes conjuntos: A B B A A C Resolução a) A - B { y; z } b) B - A {w;v} c) A - C {x;z} d) C A {u;t} e) B C {x;w;v} f) C B {y;u;t} C - A B C C B Exemplos de conjuntos compostos por números Nota: Nesta seção, a, b e c são números naturais, enquanto r e s são números reais.. Números naturais são usados para contar. O símbolo usualmente representa este conjunto.. Números inteiros aparecem como soluções de equações como x + a b. O símbolo usualmente representa este conjunto (do termo alemão Zahlen que significa números).. Números racionais aparecem como soluções de equações como a + bx c. O símbolo usualmente representa este conjunto (da palavra quociente).. Números algébricos aparecem como soluções de equações polinomiais (com coeficientes inteiros) e envolvem raízes e alguns outros números irracionais. O 7. Números complexos é a soma dos números reais e dos imaginários:. Aqui tanto r quanto s podem ser iguais a zero; então os conjuntos dos números reais e o dos imaginários são subconjuntos do conjunto dos números complexos. O símbolo usualmente representa este conjunto. NÚMEROS NATURAIS, INTEIROS, RACIONAIS, IRRACIONAIS E REAIS. Conjuntos numéricos podem ser representados de diversas formas. A forma mais simples é dar um nome ao conjunto e expor todos os seus elementos, um ao lado do outro, entre os sinais de chaves. Veja o exemplo abaixo: A {, 7, -} Esse conjunto se chama "A" e possui três termos, que estão listados entre chaves. Os nomes dos conjuntos são sempre letras maiúsculas. Quando criamos um conjunto, podemos utilizar qualquer letra. Vamos começar nos primórdios da matemática. - Se eu pedisse para você contar até 0, o que você me diria? - Um, dois, três, quatro, cinco, seis, sete, oito, nove e dez. Pois é, estes números que saem naturalmente de sua boca quando solicitado, são chamados de números NATURAIS, o qual é representado pela letra. Foi o primeiro conjunto inventado pelos homens, e tinha como intenção mostrar quantidades. *Obs.: Originalmente, o zero não estava incluído neste conjunto, mas pela necessidade de representar uma quantia nula, definiu-se este número como sendo pertencente ao conjunto dos Naturais. Portanto: N {0,,,,,,, 7,...} Obs.: Como o zero originou-se depois dos outros números e possui algumas propriedades próprias, algumas vezes teremos a necessidade de representar o conjunto dos números naturais sem incluir o zero. Para isso foi definido que o símbolo * (asterisco) empregado ao lado do símbolo do conjunto, iria representar a ausência do zero. Veja o exemplo abaixo: N* {,,,,,,...}

6 Estes números foram suficientes para a sociedade durante algum tempo. Com o passar dos anos, e o aumento das "trocas" de mercadorias entre os homens, foi necessário criar uma representação numérica para as dívidas. Com isso inventou-se os chamados "números negativos", e junto com estes números, um novo conjunto: o conjunto dos números inteiros, representado pela letra. O conjunto dos números inteiros é formado por todos os números NATURAIS mais todos os seus representantes negativos. Note que este conjunto não possui início nem fim (ao contrário dos naturais, que possui um início e não possui fim). Assim como no conjunto dos naturais, podemos representar todos os inteiros sem o ZERO com a mesma notação usada para os NATURAIS. Z* {..., -, -,,,...} Em algumas situações, teremos a necessidade de representar o conjunto dos números inteiros que NÃO SÃO NEGATIVOS. Para isso emprega-se o sinal "+" ao lado do símbolo do conjunto (vale a pena lembrar que esta simbologia representa os números NÃO NEGATIVOS, e não os números POSITIVOS, como muita gente diz). Veja o exemplo abaixo: Z + {0,,,,,,...} Obs.: Note que agora sim este conjunto possui um início. E você pode estar pensando "mas o zero não é positivo". O zero não é positivo nem negativo, zero é NULO. Ele está contido neste conjunto, pois a simbologia do sinalzinho positivo representa todos os números NÃO NEGATIVOS, e o zero se enquadra nisto. Se quisermos representar somente os positivos (ou seja, os não negativos sem o zero), escrevemos: Z* + {,,,,,...} Pois assim teremos apenas os positivos, já que o zero não é positivo. Ou também podemos representar somente os inteiros NÃO POSITIVOS com: Z - {...,-, -, -, -, 0} Obs.: Este conjunto possui final, mas não possui i- nício. E também os inteiros negativos (ou seja, os não positivos sem o zero): Z* - {...,-, -, -, -} Assim: Conjunto dos Números Naturais São todos os números inteiros positivos, incluindo o zero. É representado pela letra maiúscula N. Caso queira representar o conjunto dos números naturais não-nulos (excluindo o zero), deve-se colocar um * ao lado do N: N {0,,,,,,,7,8,9,0,...} N* {,,,,,,7,8,9,0,,...} Conjunto dos Números Inteiros São todos os números que pertencem ao conjunto dos Naturais mais os seus respectivos opostos (negativos). São representados pela letra Z: Z {... -, -, -, -, 0,,,,,...} O conjunto dos inteiros possui alguns subconjuntos, eles são: - Inteiros não negativos São todos os números inteiros que não são negativos. Logo percebemos que este conjunto é igual ao conjunto dos números naturais. É representado por Z + : Z + {0,,,,,,,...} - Inteiros não positivos São todos os números inteiros que não são positivos. É representado por Z - : Z - {..., -, -, -, -, -, 0} - Inteiros não negativos e não-nulos É o conjunto Z + excluindo o zero. Representa-se esse subconjunto por Z* + : Z* + {,,,,,, 7,...} Z* + N* - Inteiros não positivos e não nulos São todos os números do conjunto Z - excluindo o zero. Representa-se por Z* -. Z* - {... -, -, -, -} Conjunto dos Números Racionais Os números racionais é um conjunto que engloba os números inteiros (Z), números decimais finitos (por exemplo, 7,8) e os números decimais infinitos periódicos (que repete uma sequência de algarismos da parte decimal infinitamente), como ",000...", são também conhecidas como dízimas periódicas. Os racionais são representados pela letra Q. Conjunto dos Números Irracionais É formado pelos números decimais infinitos nãoperiódicos. Um bom exemplo de número irracional é o número PI (resultado da divisão do perímetro de uma circunferência pelo seu diâmetro), que vale,9... Atualmente, supercomputadores já conseguiram calcular bilhões de casas decimais para o PI. Também são irracionais todas as raízes não exatas, como a raiz quadrada de (,...)

7 Conjunto dos Números Reais É formado por todos os conjuntos citados anteriormente (união do conjunto dos racionais com os irracionais). Representado pela letra R. + 7 EXPRESSÕES NUMÉRICAS Para calcular o valor de uma expressão numérica envolvendo adição e subtração, efetuamos essas operações na ordem em que elas aparecem na expressão. Representação geométrica de A cada ponto de uma reta podemos associar um ú- nico número real, e a cada número real podemos associar um único ponto na reta. Dizemos que o conjunto é denso, pois entre dois números reais existem infinitos números reais (ou seja, na reta, entre dois pontos associados a dois números reais, existem infinitos pontos). Veja a representação na reta de : Fonte: CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS (N) ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO Veja a operação: +. A operação efetuada chama-se adição e é indicada escrevendo-se o sinal + (lê-se: mais") entre os números. Os números e são chamados parcelas. 0 número, resultado da operação, é chamado soma. parcela + parcela soma A adição de três ou mais parcelas pode ser efetuada adicionando-se o terceiro número à soma dos dois primeiros ; o quarto número à soma dos três primeiros e assim por diante Veja agora outra operação: 7 Quando tiramos um subconjunto de um conjunto, realizamos a operação de subtração, que indicamos pelo sinal -. 7 minuendo subtraendo resto ou diferença 0 minuendo é o conjunto maior, o subtraendo o subconjunto que se tira e o resto ou diferença o conjunto que sobra. Somando a diferença com o subtraendo obtemos o minuendo. Dessa forma tiramos a prova da subtração. 7 Exemplos: Veja outro exemplo: Quando uma expressão numérica contiver os sinais de parênteses ( ), colchetes [ ] e chaves { }, procederemos do seguinte modo: º Efetuamos as operações indicadas dentro dos parênteses; º efetuamos as operações indicadas dentro dos colchetes; º efetuamos as operações indicadas dentro das chaves. ) +[ 80 ( + ) ] + [ 80 ] + 7 ) 8 + { 7 [ + ( 8 + ) ] } 8 + { 7 [ + 0 ] } 8 + { 7 } CÁLCULO DO VALOR DESCONHECIDO Quando pretendemos determinar um número natural em certos tipos de problemas, procedemos do seguinte modo: - chamamos o número (desconhecido) de x ou qualquer outra incógnita ( letra ) - escrevemos a igualdade correspondente - calculamos o seu valor Exemplos: ) Qual o número que, adicionado a, é igual a? Solução: Seja x o número desconhecido. A igualdade correspondente será: x + Calculando o valor de x temos: x + x + x x Na prática, quando um número passa de um lado para outro da igualdade ele muda de sinal. ) Subtraindo de um certo número obtemos. Qual é esse número? Solução:

8 Seja x o número desconhecido. A igualdade correspondente será: x x + x Passamos o número para o outro lado da igualdade e com isso ele mudou de sinal. ) Qual o número natural que, adicionado a 8, é i- gual a 0? Solução: x x 0 8 x ) Determine o número natural do qual, subtraindo, obtemos. Solução: x x + x 0 Para sabermos se o problema está correto é simples, basta substituir o x pelo valor encontrado e realizarmos a operação. No último exemplo temos: x 0 0 Observe: X MULTIPLICAÇÃO A operação efetuada chama-se multiplicação e é indicada escrevendo-se um ponto ou o sinal x entre os números. Os números e são chamados fatores. O número, resultado da operação, é chamado produto. X fatores X produto - efetuamos as multiplicações - efetuamos as adições e subtrações, na ordem em que aparecem. ) ) Não se esqueça: Se na expressão ocorrem sinais de parênteses colchetes e chaves, efetuamos as operações na ordem em que aparecem: º) as que estão dentro dos parênteses º) as que estão dentro dos colchetes º) as que estão dentro das chaves. Exemplo: + { +[ ( ). 7] 8. 9 } + { + [ ( 8 + ) ] 7 } + { + [ 8 ] 7 } + { + 7 } + DIVISÃO Observe a operação: 0 : Também podemos representar a divisão das seguintes maneiras: 0 ou 0 0 O dividendo (D) é o número de elementos do conjunto que dividimos o divisor (d) é o número de elementos do subconjunto pelo qual dividimos o dividendo e o quociente (c) é o número de subconjuntos obtidos com a divisão. Por convenção, dizemos que a multiplicação de qualquer número por é igual ao próprio número. A multiplicação de qualquer número por 0 é igual a 0. A multiplicação de três ou mais fatores pode ser efetuada multiplicando-se o terceiro número pelo produto dos dois primeiros; o quarto numero pelo produto dos três primeiros; e assim por diante. x x x x x x 0 EXPRESSÕES NUMÉRICAS Sinais de associação O valor das expressões numéricas envolvendo as operações de adição, subtração e multiplicação é obtido do seguinte modo: 8 Essa divisão é exata e é considerada a operação inversa da multiplicação. SE 0 :, ENTÃO x 0 observe agora esta outra divisão: dividendo divisor quociente resto Essa divisão não é exata e é chamada divisão aproximada. ATENÇÃO: ) Na divisão de números naturais, o quociente é sempre menor ou igual ao dividendo. ) O resto é sempre menor que o divisor.

9 ) O resto não pode ser igual ou maior que o divisor. ) O resto é sempre da mesma espécie do dividendo. Exemplo: dividindo-se laranjas por certo número, o resto será laranjas. ) É impossível dividir um número por 0 (zero), porque não existe um número que multiplicado por 0 dê o quociente da divisão. PROBLEMAS ) Determine um número natural que, multiplicado por 7, resulte 8. X. 7 8 X 8 : 7 X Prova:. 7 8 ) Determine um número natural que, dividido por, resulte 9. x : 9 x 9. x 08 ) Determine um número natural que, adicionado a, dê como resultado x + x x 7 ) Quanto devemos adicionar a, a fim de obtermos 8? x + 8 x 8 x 7 ) Quanto devemos subtrair de para obtermos 8? x 8 x 8 x (multiplicando por ) x Prova: 8 ) Ricardo pensou em um número natural, adicionou-lhe, subtraiu 8 e obteve 0 no resultado. Qual o número pensado? x x x Prova: x 8 + x 0 x 0 : x 0 9) Dividindo 7 por um número natural, encontramos. Qual o valor deste numero natural? 7 : x 7. x. x 7 x. 7 x 7 : x 0) O dobro de um número é igual a 0. Qual é o número?. x 0 x 0 x 0 : x ) O dobro de um número mais é igual a 0. Qual é o número?. x + 0 x 0 x x : x 8 ) Paulo e José têm juntos lápis. Paulo tem o dobro dos lápis de José. Quantos lápis tem cada menino? José: x Paulo: x Paulo e José: x + x + x x x : x José: - Paulo: 8 ) A soma de dois números é 8. Um é o triplo do outro. Quais são esses números? um número: x o outro número: x x + x + x + x 8 (os dois números) x 8 x 8 : x 7 (um número) x. 7 (o outro número). Resposta: 7 e 7) Adicionando ao dobro de certo número obtemos 7. Qual é esse numero?. x + 7 x 7 x x : x O número procurado é. Prova: ) Subtraindo do triplo de certo número obtemos 8. Determinar esse número.. x ) Pedro e Marcelo possuem juntos 0 bolinhas. Marcelo tem bolinhas a mais que Pedro. Quantas bolinhas tem cada um? Pedro: x Marcelo: x + x + x + 0 ( Marcelo e Pedro) x + 0 x 0 x x : x (Pedro) Marcelo: x + + 8

10 EXPRESSÕES NUMÉRICAS ENVOLVENDO AS QUATRO OPERAÇÕES Sinais de associação: O valor das expressões numéricas envolvendo as quatro operações é obtido do seguinte modo: - efetuamos as multiplicações e as divisões, na ordem em que aparecem; - efetuamos as adições e as subtrações, na ordem em que aparecem; Exemplo ). + : Exemplo ) 8 : : : a m. a n a m + n Exemplos: ª) para dividir potências de mesma base, conserva-se a base e subtraem-se os expoentes. a m : a n a m - n Exemplos: 7 : 7 0 : ª) para elevar uma potência a um outro expoente, conserva-se base e multiplicam-se os expoentes. Exemplo: ( ). 8 ª) para elevar um produto a um expoente, elevase cada fator a esse expoente. (a. b) m a m. b m Exemplos: (. 7). 7 ; (. ). POTENCIAÇÃO Considere a multiplicação:.. em que os três fatores são todos iguais a. Esse produto pode ser escrito ou indicado na forma (lê-se: dois elevado à terceira potência), em que o é o fator que se repete e o corresponde à quantidade desses fatores. Assim, escrevemos:.. 8 ( fatores) A operação realizada chama-se potenciação. O número que se repete chama-se base. O número que indica a quantidade de fatores iguais a base chama-se expoente. O resultado da operação chama-se potência. 8 expoente base potência Observações: ) os expoentes e recebem os nomes especiais de quadrado e cubo, respectivamente. ) As potências de base 0 são iguais a zero ) As potências de base um são iguais a um. Exemplos: ) Por convenção, tem-se que: - a potência de expoente zero é igual a (a 0, a 0) 0 ; 0 ; 0 - a potência de expoente um é igual à base (a a) ; 7 7 ; PROPRIEDADES DAS POTÊNCIAS ª) para multiplicar potências de mesma base, conserva-se a base e adicionam-se os expoentes. 0 RADICIAÇÃO Suponha que desejemos determinar um número que, elevado ao quadrado, seja igual a 9. Sendo x esse número, escrevemos: X 9 De acordo com a potenciação, temos que x, ou seja: 9 A operação que se realiza para determinar esse número é chamada radiciação, que é a operação inversa da potenciação. Indica-se por: (lê-se: raiz quadrada de 9 é igual a ) 9 Daí, escrevemos: 9 9 Na expressão acima, temos que: - o símbolo chama-se sinal da raiz - o número chama-se índice - o número 9 chama-se radicando - o número chama-se raiz, - o símbolo 9 chama-se radical As raízes recebem denominações de acordo com o índice. Por exemplo: raiz quadrada de raiz cúbica de 8 raiz quarta de 8 raiz quinta de e assim por diante No caso da raiz quadrada, convencionou-se não escrever o índice. Exemplo : 9 9 7, pois 7 9 0) Calcule: EXERCÍCIOS

11 a) 0 0 : b) : 9 + c) : 0 d) 9. 7 e) 0 : + f). : g) : 9. h) : 7. 9 i). : 9 + :8 j) : +. 0 Respostas: a) 8 c) e) g) i) 8 b) d) 0 f) 7 h) 8 j) 0) Calcule o valor das expressões: a) + b). 7 c).. d). + e) ( + ) +. : f) ( : ) Respostas: a) 7 c) e) b) d) 0 f) 0) Uma indústria de automóveis produz, por dia, 70 unidades. Se cada veículo comporta pneus, quantos pneus serão utilizados ao final de 0 dias? (Resposta: 90.00) 0) Numa divisão, o divisor é 9,o quociente é e o resto é. Qual é o dividendo? () 0) Numa divisão, o dividendo é 7, o divisor é e o resto é. Qual é o quociente? () 0) Numa divisão, o dividendo é 0, o quociente é e o resto é. Qual é o divisor? (7) 07) Num divisão, o dividendo é, o divisor é e o quociente é. Qual ê o resto? (0) 08) Numa chácara havia galinhas e cabras em igual quantidade. Sabendo-se que o total de pés desses animais era 90, qual o número de galinhas? Resposta: ( pés + pés pés ; 90 : ). 09) O dobro de um número adicionado a é igual a. Calcule o número.() 0) Subtraindo do quádruplo de um número obtemos 0. Qual é esse número (Resp: 8) ) Num joguinho de "pega-varetas", André e Renato fizeram pontos no total. Renato fez pontos a mais que André. Quantos pontos fez cada um? ( André-9 e Renato-) coube a cada um? () ) A diferença entre dois números naturais é zero e a sua soma é 0. Quais são esses números? () ) Um aluno ganha pontos por exercício que a- certa e perde pontos por exercício que erra. Ao final de 0 exercícios tinha 0 pontos. Quantos exercícios acertou? () ) Um edifício tem andares; cada andar, 0 salas; cada sala, mesas; cada mesa, gavetas; cada gaveta, chave. Quantas chaves diferentes serão necessárias para abrir todas as gavetas? (700). 7) Se eu tivesse dúzias de balas a mais do que tenho, daria e ficaria com 00. Quantas balas tenho realmente? (9) 8) A soma de dois números é 8 e a diferença entre eles é. Qual é o número maior? () 9) Pensei num número e juntei a ele, obtendo. Qual é o número? () 0) Qual o número que multiplicado por 7 resulta? (8) ) O dobro das balas que possuo mais 0 é. Quantas balas possuo? (). ) Raul e Luís pescaram 8 peixinhos. Raul pescou o dobro de Luís. Quanto pescou cada um? (Raul- e Luís-) PROBLEMAS Vamos calcular o valor de x nos mais diversos casos: ) x + 0 Obtêm-se o valor de x, aplicando a operação inversa da adição: x 0 x ) x 0 Aplicando a operação inversa da multiplicação, temos: x 0 : x ) x 0 Obtêm-se o valor de x, aplicando a operação inversa da subtração: x 0 + x ) Subtraindo do triplo de um número obtemos 9. Qual é o número? (8) ) Distribuo 0 balas, em iguais quantidades, a amigos. No final sobraram. Quantas balas ) x : Aplicando a operação inversa da divisão, temos: x. x 8

12 COMO ACHAR O VALOR DESCONHECIDO EM UM PROBLEMA Usando a letra x para representar um número, podemos expressar, em linguagem matemática, fatos e sentenças da linguagem corrente referentes a esse número, observe: - duas vezes o número. x - o número mais x + - a metade do número - a soma do dobro com a metade do número x x + - a quarta parte do número PROBLEMA Vera e Paula têm juntas R$.080,00. Vera tem o triplo do que tem Paula. Quanto tem cada uma? Solução: x + x 080 x 080 x 080 : x Resposta: Vera R$ 80,00 e Paula R$ 70,00 PROBLEMA Paulo foi comprar um computador e uma bicicleta. Pagou por tudo R$.00,00. Quanto custou cada um, sabendo-se que a computador é seis vezes mais caro que a bicicleta? Solução: x + x 00 7x 00 x 00 : 7 x R: computador R$.800,00 e bicicleta R$ 800,00 PROBLEMA Repartir cadernos entre José e suas duas irmãs, de modo que cada menina receba o triplo do que recebe José. Quantos cadernos receberá José? Solução: x + x + x 7x x : 7 x Resposta: cadernos PROBLEMA Repartir R$.00,00 entre três irmãos de modo que o º receba o dobro do que recebe o º, e o º o dobro do que recebe o º. Quanto receberá cada um? Solução: x + x + x 00 7x 00 x x x 00 : 7 x Resposta: R$ 00,00; R$ 00,00; R$ 00,00 PROBLEMA A soma das idades de duas pessoas é 0 anos. A idade de uma é o triplo da idade da outra. Qual a i- dade de cada uma? Solução: x + x 0 x 0 x 0 : x Resposta: 0 e 0 anos. PROBLEMA A soma das nossas idades é anos. Eu sou a- nos mais velho que você. Quantos anos eu tenho? x + x + x + x x 0 x Resposta: anos PROBLEMA 7 Sua bola custou R$ 0,00 menos que a minha. Quanto pagamos por elas, se ambas custaram R$ 0,00? Solução: x + x 0 0 x x 0 x 0 : x Resposta: R$ 70,00 e R$ 80,00 PROBLEMA 8 José tem o dobro do que tem Sérgio, e Paulo tanto quanto os dois anteriores juntos. Quanto tem cada um, se os três juntos possuem R$,00? Solução: x + x + x + x x x : x 0 Resposta:S-R$ 0,00; J-R$ 08,00; P- R$,00 PROBLEMA 9 Se eu tivesse rosas a mais do que tenho, poderia dar a você 7 rosas e ainda ficaria com. Quantas rosas tenho? Solução: x + 7 x x + 9 x 9 x Resposta: CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS (Z)

13 Conhecemos o conjunto N dos números naturais: N {0,,,,,,...,} Assim, os números precedidos do sinal + chamamse positivos, e os precedidos de - são negativos. Exemplos: Números inteiros positivos: {+, +, +, +,...} Números inteiros negativos: {-, -, -, -,...} O conjunto dos números inteiros relativos é formado pelos números inteiros positivos, pelo zero e pelos números inteiros negativos. Também o chamamos de CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS e o representamos pela letra Z, isto é: Z {..., -, -, -, 0, +, +, +,... } O zero não é um número positivo nem negativo. Todo número positivo é escrito sem o seu sinal positivo. Exemplo: + ; +0 0 Então, podemos escrever: Z {..., -, -, -, 0,,,,...} N é um subconjunto de Z. REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA Cada número inteiro pode ser representado por um ponto sobre uma reta. Por exemplo: A soma de três ou mais números inteiros é efetuada adicionando-se todos os números positivos e todos os negativos e, em seguida, efetuando-se a soma do número negativo. Exemplos: ) (+) + (+) + (-) + (-) + (+8) (+7) + (-) + ) (+) + (-) + (+) + (-8) (+) + (-) -7 PROPRIEDADES DA ADIÇÃO A adição de números inteiros possui as seguintes propriedades: ª) FECHAMENTO A soma de dois números inteiros é sempre um número inteiro: (-) + (+) + Z ª) ASSOCIATIVA Se a, b, c são números inteiros quaisquer, então: a + (b + c) (a + b) + c Exemplo:(+) +[(-) + (+)] [(+) + (-)] + (+) (+) + (-) (-) + (+) + + ª) ELEMENTO NEUTRO Se a é um número inteiro qualquer, temos: a+ 0 a e 0 + a a C B A 0 A B C D... Ao ponto zero, chamamos origem, corresponde o número zero. Nas representações geométricas, temos à direita do zero os números inteiros positivos, e à esquerda do zero, os números inteiros negativos. Observando a figura anterior, vemos que cada ponto é a representação geométrica de um número inteiro. Exemplos: ponto C é a representação geométrica do número + ponto B' é a representação geométrica do número - ADIÇÃO DE DOIS NÚMEROS INTEIROS ) A soma de zero com um número inteiro é o próprio número inteiro: 0 + (-) - ) A soma de dois números inteiros positivos é um número inteiro positivo igual à soma dos módulos dos números dados: (+700) + (+00) +900 ) A soma de dois números inteiros negativos é um número inteiro negativo igual à soma dos módulos dos números dados: (-) + (-) - ) A soma de dois números inteiros de sinais contrários é igual à diferença dos módulos, e o sinal é o da parcela de maior módulo: (-800) + (+00) -00 Isto significa que o zero é elemento neutro para a adição. Exemplo: (+) e 0 + (+) + ª) OPOSTO OU SIMÉTRICO Se a é um número inteiro qualquer, existe um único número oposto ou simétrico representado por (-a), tal que: (+a) + (-a) 0 (-a) + (+a) Exemplos: (+) + ( -) 0 ( -) + (+) 0 ª) COMUTATIVA Se a e b são números inteiros, então: a + b b + a Exemplo: (+) + (-) (-) + (+) - - SUBTRAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS Em certo local, a temperatura passou de -ºC para ºC, sofrendo, portanto, um aumento de 8ºC, aumento esse que pode ser representado por: (+) - (-) (+) + (+) +8 Portanto: A diferença entre dois números dados numa certa ordem é a soma do primeiro com o oposto do segundo. Exemplos: ) (+) - (+) (+) + (- ) + ) (-8 ) - (- ) (-8 ) + (+) -7 ) (- ) - (+) (- ) + (- ) -7 ADIÇÃO DE TRÊS OU MAIS NÚMEROS INTEIROS Na prática, efetuamos diretamente a subtração, eli-

14 minando os parênteses - (+ ) - - ( - ) + Observação: Permitindo a eliminação dos parênteses, os sinais podem ser resumidos do seguinte modo: ( + ) + + ( - ) - - ( + ) - - ( - ) + Exemplos: - ( -) + +(- ) - - (+) - +(+) + PROPRIEDADE DA SUBTRAÇÃO A subtração possui uma propriedade. FECHAMENTO: A diferença de dois números inteiros é sempre um número inteiro. MULTIPLICAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS º CASO: OS DOIS FATORES SÃO NÚMEROS INTEIROS POSITIVOS Lembremos que:. + + Exemplo: (+). (+). (+) (+) + (+) + (+) + Logo: (+). (+) + Observando essa igualdade, concluímos: na multiplicação de números inteiros, temos: (+). (+) + º CASO: UM FATOR É POSITIVO E O OUTRO É NEGATIVO Exemplos: ) (+). (-). (-) (-) + (-) + (-) - ou seja: (+). (-) - gual a 0: (+). 0 0 PRODUTO DE TRÊS OU MAIS NÚMEROS IN- TEIROS Exemplos: ) (+ ). ( - ). (- ). (+ ) (-0). (- ). (+ ) (+0). (+ ) +0 ) (- ). ( - ). (+ ). (- ) (+ ). (+ ). (- ) (+ ). (- ) - Podemos concluir que: - Quando o número de fatores negativos é par, o produto sempre é positivo. - Quando o número de fatores negativos é ímpar, o produto sempre é negativo. PROPRIEDADES DA MULTIPLICAÇÃO No conjunto Z dos números inteiros são válidas as seguintes propriedades: ª) FECHAMENTO Exemplo: (+ ). (- ) - 8 Z Então o produto de dois números inteiros é inteiro. ª) ASSOCIATIVA Exemplo: (+ ). (- ). (+ ) Este cálculo pode ser feito diretamente, mas também podemos fazê-lo, agrupando os fatores de duas maneiras: (+ ). [(- ). (+ )] [(+ ). ( - )]. (+ ) (+ ). (-) (- ). (+ ) - - De modo geral, temos o seguinte: Se a, b, c representam números inteiros quaisquer, então: a. (b. c) (a. b). c ) Lembremos que: -(+) - (-). (+) - (+). (+) -(+) - ou seja: (-). (+) - Conclusão: na multiplicação de números inteiros, temos: ( + ). ( - ) - ( - ). ( + ) - Exemplos : (+). (-0) -0 (+). (-8) -8 (- ). (+ ) - (-7). (+) -7 º CASO: OS DOIS FATORES SÃO NÚMEROS IN- TEIROS NEGATIVOS Exemplo: (-). (-) -(+). (-) -(-8) +8 isto é: (-). (-) +8 Conclusão: na multiplicação de números inteiros, temos: ( - ). ( - ) + Exemplos: (-). (-) +8 (-). (-) +0 As regras dos sinais anteriormente vistas podem ser resumidas na seguinte: ( + ). ( + ) + ( + ). ( - ) - ( - ). ( - ) + ( - ). ( + ) - Quando um dos fatores é o 0 (zero), o produto é i- ª) ELEMENTO NEUTRO Observe que: (+ ). (+ ) + e (+ ). (+ ) + Qualquer que seja o número inteiro a, temos: a. (+ ) a e (+ ). a a O número inteiro + chama-se neutro para a multiplicação. ª) COMUTATIVA Observemos que: (+). (- ) - 8 e (- ). (+ ) - 8 Portanto: (+ ). (- ) (- ). (+ ) Se a e b são números inteiros quaisquer, então: a. b b. a, isto é, a ordem dos fatores não altera o produto. ª) DISTRIBUTIVA EM RELAÇÃO À ADIÇÃO E À SUBTRAÇÃO Observe os exemplos: (+ ). [( - ) + (+ )] (+ ). ( - ) + (+ ). (+ ) (+ ). [( - ) - (+8 )] (+ ). ( - ) - (+ ). (+8 ) Conclusão: Se a, b, c representam números inteiros quaisquer,

15 temos: a) a. [b + c] a. b + a. c A igualdade acima é conhecida como propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição. b) a. [b c] a. b - a. c A igualdade acima é conhecida como propriedade distributiva da multiplicação em relação à subtração. DIVISÃO DE NÚMEROS INTEIROS Portanto potência é um produto de fatores iguais. Na potência (+ ) +, temos: base expoente potência Observacões : (+ ) significa +, isto é, (+ ) + ( - ) significa -, isto é, ( - ) - CONCEITO Dividir (+) por é achar um número que, multiplicado por, dê. :?. (? ) O número procurado é 8. Analogamente, temos: ) (+) : (+ ) + porque (+ ). (+ ) + ) (+) : ( - ) - porque (- ). ( - ) + ) ( -) : (+ ) - porque (- ). (+ ) - ) ( -) : ( - ) + porque (+ ). ( - ) - A divisão de números inteiros só pode ser realizada quando o quociente é um número inteiro, ou seja, quando o dividendo é múltiplo do divisor. Portanto, o quociente deve ser um número inteiro. Exemplos: ( -8 ) : (+ ) - ( - ) : (+ ) não é um número inteiro Lembramos que a regra dos sinais para a divisão é a mesma que vimos para a multiplicação: ( + ) : ( + ) + ( + ) : ( - ) - ( - ) : ( - ) + ( - ) : ( + ) - Exemplos: ( +8 ) : ( - ) - (-0) : ( - ) + (+ ) : ( - ) - (-) : (+ ) - PROPRIEDADE Como vimos: (+ ) : (+ ) Z Portanto, não vale em Z a propriedade do fechamento para a divisão. Alem disso, também não são válidas as proposições associativa, comutativa e do elemento neutro. POTENCIAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS CONCEITO A notação (+ ) (+ ). (+ ). (+ ) é um produto de três fatores iguais Analogamente: ( - ) ( - ). ( - ). ( - ). ( - ) é um produto de quatro fatores iguais CÁLCULOS O EXPOENTE É PAR Calcular as potências ) (+ ) (+ ). (+ ). (+ ). (+ ) + isto é, (+) + ) ( - ) ( - ). ( - ). ( - ). ( - ) + isto é, (- ) + Observamos que: (+) + e (-) + Então, de modo geral, temos a regra: Quando o expoente é par, a potência é sempre um número positivo. Outros exemplos: (-) + (+) +9 O EXPOENTE É ÍMPAR Calcular as potências: ) (+ ) (+ ). (+ ). (+ ) +8 isto é, (+) + 8 ) ( - ) ( - ). ( - ). ( - ) -8 ou seja, (-) -8 Observamos que: (+ ) +8 e ( - ) -8 Daí, a regra: Quando o expoente é ímpar, a potência tem o mesmo sinal da base. Outros exemplos: (- ) - 7 (+) + PROPRIEDADES PRODUTO DE POTÊNCIAS DE MESMA BASE Exemplos: (+ ). (+ ) (+ ) + (+ ) ( - ). ( - ). ( - ) ( - ) + + ( - ) 0 Para multiplicar potências de mesma base, mantemos a base e somamos os expoentes. QUOCIENTE DE POTÊNCIAS DE MESMA BASE (+ ) : (+ ) (+ ) - (+ ) ( - ) 7 : ( - ) ( - ) 7- ( - ) Para dividir potências de mesma base em que o expoente do dividendo é maior que o expoente do divisor, mantemos a base e subtraímos os expoentes. POTÊNCIA DE POTÊNCIA [( - ) ] ( - ). ( - ) Para calcular uma potência de potência, conserva-

16 mos a base da primeira potência e multiplicamos os expoentes. POTÊNCIA DE UM PRODUTO [( - ). (+ ). ( - )] ( - ). (+ ). ( - ) Para calcular a potência de um produto, sendo n o expoente, elevamos cada fator ao expoente n. POTÊNCIA DE EXPOENTE ZERO (+ ) : (+ ) (+ ) - (+ ) 0 e (+ ) : (+ ) Consequentemente: (+ ) 0 ( - ) 0 Qualquer potência de expoente zero é igual a. Observação: Não confundir - com ( - ), porque - significa -( ) e portanto - -( ) -9 enquanto que: ( - ) ( - ). ( - ) +9 Logo: - ( - ) QUOCIENTE DE POTÊNCIAS DE MESMA BASE (+ ) : (+ ) (+ ) - (+ ) ( - ) 7 : ( - ) ( - ) 7- ( - ) Para dividir potências de mesma base em que o expoente do dividendo é maior que o expoente do divisor, mantemos a base e subtraímos os expoentes. POTÊNCIA DE POTÊNCIA [( - ) ] ( - ). ( - ) Para calcular uma potência de potência, conservamos a base da primeira potência e multiplicamos os expoentes. POTÊNCIA DE UM PRODUTO [( - ). (+ ). ( - )] ( - ). (+ ). ( - ) Para calcular a potência de um produto, sendo n o expoente, elevamos cada fator ao expoente n. POTÊNCIA DE EXPOENTE ZERO (+ ) : (+ ) (+ ) - (+ ) 0 e (+ ) : (+ ) Consequentemente: (+ ) 0 ( - ) 0 Qualquer potência de expoente zero é igual a. CÁLCULOS O EXPOENTE É PAR Calcular as potências (+ ) (+ ). (+ ). (+ ). (+ ) + isto é, (+) + ( - ) ( - ). ( - ). ( - ). ( - ) + isto é, (- ) + Observamos que: (+) + e (-) + Então, de modo geral, temos a regra: Quando o expoente é par, a potência é sempre um número positivo. Outros exemplos: (-) + (+) +9 O EXPOENTE É ÍMPAR Exemplos: Calcular as potências: ) (+ ) (+ ). (+ ). (+ ) +8 isto é, (+) + 8 ) ( - ) ( - ). ( - ). ( - ) -8 ou seja, (-) -8 Observamos que: (+ ) +8 e ( - ) -8 Daí, a regra: Quando o expoente é ímpar, a potência tem o mesmo sinal da base. Outros exemplos: (- ) - 7 (+) + PROPRIEDADES PRODUTO DE POTÊNCIAS DE MESMA BASE Exemplos: (+ ). (+ ) (+ ) + (+ ) ( - ). ( - ). ( - ) ( - ) + + ( - ) 0 Para multiplicar potências de mesma base, mantemos a base e somamos os expoentes. Observação: Não confundir- com (-), porque - significa -( ) e portanto: - -( ) -9 enquanto que: ( - ) ( - ). ( - ) +9 Logo: - ( - ) NÚMEROS PARES E ÍMPARES Os pitagóricos estudavam à natureza dos números, e baseado nesta natureza criaram sua filosofia e modo de vida. Vamos definir números pares e ímpares de acordo com a concepção pitagórica: par é o número que pode ser dividido em duas partes iguais, sem que uma unidade fique no meio, e ímpar é aquele que não pode ser dividido em duas partes iguais, porque sempre há uma unidade no meio Uma outra caracterização, nos mostra a preocupação com à natureza dos números: número par é aquele que tanto pode ser dividido em duas partes iguais como em partes desiguais, mas de forma tal que em nenhuma destas divisões haja uma mistura da natureza par com a natureza ímpar, nem da ímpar com a par. Isto tem uma única exceção, que é o princípio do par, o número, que não admite a divisão em partes desiguais, porque ele é formado por duas unidades e, se isto pode ser dito, do primeiro número par,. Para exemplificar o texto acima, considere o número 0, que é par, pode ser dividido como a soma de e, mas também como a soma de 7 e (que são ambos ímpares) ou como a soma de e (ambos são pares); mas nunca como a soma de um número par e outro ímpar. Já o número, que é ímpar pode ser escrito como soma de 8 e, um par e um ímpar. Atualmente, definimos números pares como sendo o número que ao ser dividido por dois têm resto zero e números ímpares aqueles que ao serem divididos por dois têm resto diferente de zero. Por exemplo, dividido por têm resto zero, portanto

17 é par. Já o número ao ser dividido por deixa resto, portanto é ímpar. MÚLTIPLOS E DIVISORES DIVISIBILIDADE Um número é divisível por quando termina em 0,,, ou 8. Ex.: O número 7 é divisível por, pois termina em Portanto: 0... Um número é divisível por quando a soma dos valores absolutos dos seus algarismos é um número divisível por. Ex.: é divisível por, pois ++ e é divisível por Um número é divisível por quando o algarismo das unidades é 0 ou (ou quando termina em o ou ). Ex.: O número 0 é divisível por, pois termina em 0. Um número é divisível por 0 quando o algarismo das unidades é 0 (ou quando termina em 0). Ex.: O número 00 é divisível por 0, pois termina em 0. NÚMEROS PRIMOS Um número natural é primo quando é divisível apenas por dois números distintos: ele próprio e o. Exemplos: O número é primo, pois é divisível apenas por dois números diferentes: ele próprio e o. O número é primo, pois é divisível apenas por dois números distintos: ele próprio e o. O número natural que é divisível por mais de dois números diferentes é chamado composto. O número é composto, pois é divisível por,,. O número não é primo nem composto, pois é divisível apenas por um número (ele mesmo). O número é o único número par primo. DECOMPOSIÇÃO EM FATORES PRIMOS (FATORA- ÇÃO) Um número composto pode ser escrito sob a forma de um produto de fatores primos. Por exemplo, o número 0 pode ser escrito na forma: que é chamada de forma fatorada. Para escrever um número na forma fatorada, devemos decompor esse número em fatores primos, procedendo do seguinte modo: Dividimos o número considerado pelo menor número primo possível de modo que a divisão seja exata. Dividimos o quociente obtido pelo menor número primo possível. Dividimos, sucessivamente, cada novo quociente pelo menor número primo possível, até que se obtenha o quociente. Exemplo: 7 Na prática, costuma-se traçar uma barra vertical à direita do número e, à direita dessa barra, escrever os divisores primos; abaixo do número escrevem-se os quocientes obtidos. A decomposição em fatores primos estará terminada quando o último quociente for igual a. Exemplo: 0 0 Logo: 0... DIVISORES DE UM NÚMERO Consideremos o número e vamos determinar todos os seus divisores Uma maneira de obter esse resultado é escrever os números naturais de a e verificar se cada um é ou não divisor de, assinalando os divisores Indicando por D() (lê-se: "D de ) o conjunto dos divisores do número, temos: D () {,,,,, } Na prática, a maneira mais usada é a seguinte: º) Decompomos em fatores primos o número considerado. º) Colocamos um traço vertical ao lado os fatores primos e, à sua direita e acima, escrevemos o numero que é divisor de todos os números. º) Multiplicamos o fator primo pelo divisor e escrevemos o produto obtido na linha correspondente. x º) Multiplicamos, a seguir, cada fator primo pelos divisores já obtidos, escrevendo os produtos nas linhas correspondentes, sem repeti-los. x

18 x,, comuns a esses números. O processo prático para o cálculo do M.M.C de dois ou mais números, chamado de decomposição em fatores primos, consiste das seguintes etapas: º) Decompõem-se em fatores primos os números apresentados. º) Determina-se o produto entre os fatores primos comuns e não-comuns com seus maiores expoentes. Esse produto é o M.M.C procurado. Os números obtidos à direita dos fatores primos são os divisores do número considerado. Portanto: D() {,,,,, } Exemplos: ) ) 8 9 0, 9, 8,, 0,, 0 D(8) {,,,, 9, 8} D(0) {,,,,, 0,, 0} MÁXIMO DIVISOR COMUM Recebe o nome de máximo divisor comum de dois ou mais números o maior dos divisores comuns a esses números. Um método prático para o cálculo do M.D.C. de dois números é o chamado método das divisões sucessivas (ou algoritmo de Euclides), que consiste das etapas seguintes: ª) Divide-se o maior dos números pelo menor. Se a divisão for exata, o M.D.C. entre esses números é o menor deles. ª) Se a divisão não for exata, divide-se o divisor (o menor dos dois números) pelo resto obtido na divisão anterior, e, assim, sucessivamente, até se obter resto zero. 0 ultimo divisor, assim determinado, será o M.D.C. dos números considerados. Exemplo: Calcular o M.D.C. (, ) Resposta: M.D.C. (, ) 8 MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM Recebe o nome de mínimo múltiplo comum de dois ou mais números o menor dos múltiplos (diferente de zero) Exemplos: Calcular o M.M.C (, 8) Decompondo em fatores primos esses números, temos: Resposta: M.M.C (, 8). Observação: Esse processo prático costuma ser simplificado fazendo-se uma decomposição simultânea dos números. Para isso, escrevem-se os números, um ao lado do outro, separando-os por vírgula, e, à direita da barra vertical, colocada após o último número, escrevemse os fatores primos comuns e não-comuns. 0 calculo estará terminado quando a última linha do dispositivo for composta somente pelo número. O M.M.C dos números apresentados será o produto dos fatores. Exemplo: Calcular o M.M.C (, 8, 0), 8, 0 8,, 0 9,, 9,, 9,,,,,,, Resposta: M.M.C (, 8, 0).. 70 RAÍZ QUADRADA EXATA DE NÚMEROS INTEIROS CONCEITO Consideremos o seguinte problema: Descobrir os números inteiros cujo quadrado é +. Solução: (+ ) + e ( - ) + Resposta: + e - Os números + e - chamam-se raízes quadradas de +. Outros exemplos: Número Raízes quadradas + e - + e - + e e e -9 8

19 +9 + O símbolo é e -7 + e - significa a raiz quadrada de, isto Como +, então: Agora, consideremos este problema. Qual ou quais os números inteiros cujo quadrado é -? Solução: (+ ) + e (- ) + Resposta: não existe número inteiro cujo quadrado seja -, isto é, não existe no conjunto Z dos números inteiros. Conclusão: os números inteiros positivos têm, como raiz quadrada, um número positivo, os números inteiros negativos não têm raiz quadrada no conjunto Z dos números inteiros. RADICIAÇÃO A raiz n-ésima de um número b é um número a tal que a n b. b a a n n índice radicando pois raiz radical b b) eliminamos os colchetes º ETAPA: a) efetuamos o que está entre chaves { } b) eliminamos as chaves Em cada etapa, as operações devem ser efetuadas na seguinte ordem: ª) Potenciação e radiciação na ordem em que aparecem. ª) Multiplicação e divisão na ordem em que aparecem. ª) Adição e subtração na ordem em que aparecem. Exemplos: ) + 7. (- + ) + 7. (+) ) (- ) + (- ) : (+ ) -+ (+) : (+ ) - + (+ ) ) -(- +) [-( +)] -(-) - [- ] ) ( - ) +. ( - ) + -. ( - ) +. ( - ) + -. (+) +. (- ) ) (-88) : (-) - (-) : ( - ) (-88) : (+) - (-) : (+) (- ) - (- ) Outros exemplos : 8 - pois ( - ) -8 8 pois 8 PROPRIEDADES (para a 0, b 0) m n m: p n: p 0 ª) a a n n n ª) a b a b n n n ª) a : b a : b n m m n ª) ( a ) a ( x ) x ª) m n a m n a EXPRESSÕES NUMÉRICAS COM NÚMEROS IN- TEIROS ENVOLVENDO AS QUATRO OPERAÇÕES Para calcular o valor de uma expressão numérica com números inteiros, procedemos por etapas. ª ETAPA: a) efetuamos o que está entre parênteses ( ) b) eliminamos os parênteses ª ETAPA: a) efetuamos o que está entre colchetes [ ] ) (-0-8) : (+ ) - (-) : (- + 7 ) (-8) : (+ ) - (-) : (+ ) - - (- ) ) : (+) - (- ) : - - : (+) - (+) : (+) ). ( - ) + (-0) : (+) -. (+9 ) + (-0) : (+8 ) (-) CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS (Q) Os números racionais são representados por um numeral em forma de fração ou razão, a b, sendo a e b números naturais, com a condição de b ser diferente de zero.. NÚMERO FRACIONARIO. A todo par ordenado (a, b) de números naturais, sendo b 0, corresponde um número fracionário b a.o termo a chama-se numerador e o termo b denominador. 9

20 . TODO NÚMERO NATURAL pode ser representado por uma fração de denominador. Logo, é possível reunir tanto os números naturais como os fracionários num único conjunto, denominado conjunto dos números racionais absolutos, ou simplesmente conjunto dos números racionais Q. Qual seria a definição de um número racional absoluto ou simplesmente racional? A definição depende das seguintes considerações: a) O número representado por uma fração não muda de valor quando multiplicamos ou dividimos tanto o numerador como o denominador por um mesmo número natural, diferente de zero. Exemplos: usando um novo símbolo: é o símbolo de equivalência para frações b) Classe de equivalência. É o conjunto de todas as frações equivalentes a uma fração dada.,, (classe de equivalência da fração: ) 9,, Agora já podemos definir número racional : número racional é aquele definido por uma classe de equivalência da qual cada fração é um representante. NÚMERO RACIONAL NATURAL ou NÚMERO NATURAL: (definido pela classe de equivalência que representa o mesmo número racional 0) (definido pela classe de equiva- lência que representa o mesmo número racional ) e assim por diante. NÚMERO RACIONAL FRACIONÁRIO ou NÚME- RO FRACIONÁRIO: (definido pela classe de equivalência que representa o número racional /). mesmo NOMES DADOS ÀS FRAÇÕES DIVERSAS Decimais: quando têm como denominador 0 ou uma potência de 0 7, 0 00, etc. b) próprias: aquelas que representam quantidades menores do que.,,, 7 etc. c) impróprias: as que indicam quantidades iguais ou maiores que., 8 9,, etc. d) aparentes: todas as que simbolizam um número natural. 0 8,, etc. e) ordinárias: é o nome geral dado a todas as frações, com exceção daquelas que possuem como denominador 0, 0, 0... f) frações iguais: são as que possuem os termos i- guais 8 8,, etc. g) forma mista de uma fração: é o nome dado ao numeral formado por uma parte natural e uma parte fracionária; A parte natural é e a parte fracionária 7. 7 h) irredutível: é aquela que não pode ser mais simplificada, por ter seus termos primos entre si.,, 7, etc.. PARA SIMPLIFICAR UMA FRAÇÃO, desde que não possua termos primos entre si, basta dividir os dois ternos pelo seu divisor comum. 8 8 : :. COMPARAÇÃO DE FRAÇÕES. Para comparar duas ou mais frações quaisquer primeiramente convertemos em frações equivalentes de mesmo denominador. De duas frações que têm o mesmo denominador, a maior é a que tem maior numerador. Logo: 8 < < 9 (ordem crescente) < De duas frações que têm o mesmo numerador, a maior é a que tem menor denominador. Exemplo: 7 7 > < OPERAÇÕES COM FRAÇÕES ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO A soma ou a diferença de duas frações é uma outra fração, cujo calculo recai em um dos dois casos seguintes: 0

21 º CASO: Frações com mesmo denominador. Observemos as figuras seguintes: Indicamos por: Indicamos por: + Assim, para adicionar ou subtrair frações de mesmo denominador, procedemos do seguinte modo: adicionamos ou subtraímos os numeradores e mantemos o denominador comum. simplificamos o resultado, sempre que possível. Exemplos: ) ) Observações: Para adicionar mais de duas frações, reduzimos todas ao mesmo denominador e, em seguida, efetuamos a operação. Exemplos. 7 a) Havendo número misto, devemos transformá-lo em fração imprópria: Exemplo: b) Se a expressão apresenta os sinais de parênteses ( ), colchetes [ ] e chaves { }, observamos a mesma ordem: º) efetuamos as operações no interior dos parênteses; º) as operações no interior dos colchetes; º) as operações no interior das chaves. Observação: A subtração só pode ser efetuada quando o minuendo é maior que o subtraendo, ou igual a ele. º CASO: Frações com denominadores diferentes: Neste caso, para adicionar ou subtrair frações com denominadores diferentes, procedemos do seguinte modo: Reduzimos as frações ao mesmo denominador. Efetuamos a operação indicada, de acordo com o caso anterior. Simplificamos o resultado (quando possível). Exemplos: Exemplos: )

22 ) NÚMEROS RACIONAIS Dizemos que: - Para obter frações equivalentes, devemos multiplicar ou dividir o numerador por mesmo número diferente de zero. Ex: ou. Para simplificar frações devemos dividir o numerador e o denominador, por um mesmo número diferente de zero. Quando não for mais possível efetuar as divisões dizemos que a fração é irredutível. Um círculo foi dividido em duas partes iguais. Dizemos que uma unidade dividida em duas partes iguais e indicamos /. onde: numerador e denominador Fração Irredutível ou Sim- Exemplo: 8 : plificada 9 Exemplo: e Um círculo dividido em partes iguais indicamos (das três partes hachuramos ). Quando o numerador é menor que o denominador temos uma fração própria. Observe: Calcular o M.M.C. (,): M.M.C.(,) e ( : ) ( : ) e temos: A fração é equivalente a. e 9 Observe: A fração equivalente 9. Quando o numerador é maior que o denominador temos uma fração imprópria. FRAÇÕES EQUIVALENTES Duas ou mais frações são equivalentes, quando representam a mesma quantidade. Exercícios: ) Achar três frações equivalentes às seguintes frações: ) ) Respostas: ) 8,, ),, 9 COMPARAÇÃO DE FRAÇÕES a) Frações de denominadores iguais. Se duas frações tem denominadores iguais a maior será aquela: que tiver maior numerador. 8

23 Ex.: > ou < b) Frações com numeradores iguais Se duas frações tiverem numeradores iguais, a menor será aquela que tiver maior denominador Ex.: > ou < c) Frações com numeradores e denominadores receptivamente diferentes. Reduzimos ao mesmo denominador e depois comparamos. Exemplos: > denominadores iguais (ordem decrescente) > numeradores iguais (ordem crescente) SIMPLIFICAÇÃO DE FRAÇÕES Para simplificar frações devemos dividir o numerador e o denominador por um número diferente de zero. Quando não for mais possível efetuar as divisões, dizemos que a fração é irredutível. Exemplo: 8 : 9 : : : Fração irredutível ou simplificada. 9 Exercícios: Simplificar ) ) Respostas: ) ) Exercícios: Colocar em ordem crescente: ) e ) e ), e Respostas: ) < ) < ) < < OPERAÇÕES COM FRAÇÕES ) Adição e Subtração a) Com denominadores iguais somam-se ou subtraem-se os numeradores e conserva-se o denominador comum. + + Ex: + + b) Com denominadores diferentes reduz ao mesmo denominador depois soma ou subtrai. Ex: ) + + M.M.C.. (,, ) ( : ).+ ( : ). + (.) ) M.M.C.. (,9) 9 9 (9 : ). - (9 : 9) REDUÇÃO DE FRAÇÕES AO MENOR DENOMINA- DOR COMUM Ex.: e Calcular o M.M.C. (,) ( : ) ( ) e e : temos: 9 e A fração é equivalente a. A fração equivalente 9. Exemplo:? numeradores diferentes e denominadores diferentes m.m.c.(, ) Exercícios. Calcular: ) + + ) ) Respostas: ) ) ) 7 MULTIPLICAÇÃO DE FRAÇÕES Para multiplicar duas ou mais frações devemos multiplicar os numeradores das frações entre si, assim como os seus denominadores. Exemplo:. x 0 0 Exercícios: Calcular: ) ) ) + 0 Respostas: ) ) ) 0 ( : ). crescente)? (.). 0 < (ordem DIVISÃO DE FRAÇÕES Para dividir duas frações conserva-se a primeira e multiplica-se pelo inverso da Segunda.

24 Exemplo: : Exercícios. Calcular: ) : 9 ). 8 : 0 ) + : Outros exemplos: 87 ), ), ) 8, Note que a vírgula caminha da direita para a esquerda, a quantidade de casas deslocadas é a mesma quantidade de zeros do denominador. Respostas: ) ) 9 0 POTENCIAÇÃO DE FRAÇÕES ) Eleva o numerador e o denominador ao expoente dado. Exemplo: 8 7 Exercícios. Representar em números decimais: 7 0 ) ) ) Respostas: ), ),7 ) 0,0 LEITURA DE UM NÚMERO DECIMAL Ex.: Exercícios. Efetuar: ) ) ) Respostas: ) 9 ) 9 ) 7 RADICIAÇÃO DE FRAÇÕES Extrai raiz do numerador e do denominador. Exemplo: 9 9 Exercícios. Efetuar: ) 9 ) Respostas: ) ) ) ) 9 NÚMEROS DECIMAIS + Toda fração com denominador 0, 00, 000,...etc, chama-se fração decimal. 7 Ex:,,, etc Escrevendo estas frações na forma decimal temos: três décimos, 0 quatro centésimos 00 7 sete milésimos 000 Escrevendo estas frações na forma decimal temos: 7 0, 0,0 0, OPERAÇÕES COM NÚMEROS DECIMAIS Adição e Subtração Coloca-se vírgula sob virgula e somam-se ou subtraem-se unidades de mesma ordem. Exemplo : 0 + 0, +,8 0, ,,8,8 Exemplo : 7, - 9, 7,0 9, 7,9 Exercícios. Efetuar as operações: ) 0,7 +, +, ),7-9, ) 8,7 + 0, -, Respostas: ),8 ) 0,97 ) 8,9 MULTIPLICAÇÃO COM NÚMEROS DECIMAIS Multiplicam-se dois números decimais como se fossem inteiros e separam-se os resultados a partir da

25 direita, tantas casas decimais quantos forem os algarismos decimais dos números dados. Exemplo:, x,8, casas, x,8 casa após a virgula 9 + 0, casas após a vírgula Exercícios. Efetuar as operações: ),., ) 7,., +., ),. 0,7 Respostas: ),8 ) 9,9 ),9 DIVISÃO DE NÚMEROS DECIMAIS Igualamos as casas decimais entre o dividendo e o divisor e quando o dividendo for menor que o divisor acrescentamos um zero antes da vírgula no quociente. Ex.: a) : 0 0,7 0 0 b),:,,0 0 0, 0 Obs.: Para transformar qualquer fração em número decimal basta dividir o numerador pelo denominador. Ex.: /, então /0, 0 0, Exercícios ) Transformar as frações em números decimais. ) ) ) Respostas: ) 0, ) 0,8 ) 0, ) Efetuar as operações: ), : 0, ),8 : 0, ), :, ) 78 :,-,./ ), :, +. / Respostas: ) ) 9 ),07 ) 7,8 ) 00,08... Multiplicação de um número decimal por 0, 00, 000 Para tornar um número decimal 0, 00, vezes maior, desloca-se a vírgula para a direita, respectivamente, uma, duas, três,... casas decimais.,7 x 0 7,,0 x , x 00,,780 x ,00 x ,8 x DIVISÃO Para dividir os números decimais, procede-se assim: ) iguala-se o número de casas decimais; ) suprimem-se as vírgulas; ) efetua-se a divisão como se fossem números inteiros. Exemplos: : 0,,00 0, Igualam se as casas decimais. Cortam-se as vírgulas. 7,8 : 7,8 :,00 78 : 00,7 Dividindo 78 por 00 obtém-se quociente e resto 8 Como 8 é menor que 00, acrescenta-se uma vírgula ao quociente e zeros ao resto : 0, Como não é divisível por, coloca-se zero e vírgula no quociente e zero no dividendo 0, : 7 0,0 7,00 0 : 700 0,0 Como não divisível por 700, coloca-se zero e vírgula no quociente e um zero no dividendo. Como 0 não é divisível por 700, acrescenta-se outro zero ao quociente e outro ao dividendo Divisão de um número decimal por 0, 00, 000 Para tornar um número decimal 0, 00, 000,... vezes menor, desloca-se a vírgula para a esquerda, respectivamente, uma, duas, três,... casas decimais. Exemplos:, : 0, 0 : 0 0,, : 00, 08 : 00 0,8 00, :.000 0,0 00 :.000 0,0 milhar centena dezena Unidade simples décimo centésimo milésimo , 0,0 0,00 LEITURA DE UM NÚMERO DECIMAL Procedemos do seguinte modo: º) Lemos a parte inteira (como um número natural). º) Lemos a parte decimal (como um número natural), acompanhada de uma das palavras: - décimos, se houver uma ordem (ou casa) decimal - centésimos, se houver duas ordens decimais; - milésimos, se houver três ordens decimais. Exemplos: ), Lê-se: "um inteiro e

26 dois décimos". irracionais. ),7 Lê-se: "doze inteiros e setenta e cinco centésimos". ) 8,09 Lê-se: "oito inteiros e trezentos e nove milésimos''. Observações: ) Quando a parte inteira é zero, apenas a parte decimal é lida. Exemplos: a) 0, - Lê-se: "cinco décimos". b) 0,8 - Lê-se: "trinta e oito centésimos". c) 0, - Lê-se: "quatrocentos e vinte e um milésimos". ) Um número decimal não muda o seu valor se a- crescentarmos ou suprimirmos zeros â direita do último algarismo. Exemplo: 0, 0,0 0,00 0,000 "... ) Todo número natural pode ser escrito na forma de número decimal, colocando-se a vírgula após o último algarismo e zero (ou zeros) a sua direita. Exemplos:, ,00... CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS (R) CORRESPONDÊNCIA ENTRE NÚMEROS E PONTOS DA RETA, ORDEM, VALOR ABSOLUTO Há números que não admitem representação decimal finita nem representação decimal infinita e periódico, como, por exemplo: π,9...,..., , Estes números não são racionais: π Q, Q, Q, Q; e, por isso mesmo, são chamados de irracionais. Podemos então definir os irracionais como sendo aqueles números que possuem uma representação decimal infinita e não periódico. Usaremos o símbolo estrela (*) quando quisermos indicar que o número zero foi excluído de um conjunto. Exemplo: N* { ; ; ; ;... }; o zero foi excluído de N. Usaremos o símbolo mais (+) quando quisermos indicar que os números negativos foram excluídos de um conjunto. Exemplo: Z + { 0; ; ;... } ; os negativos foram excluídos de Z. Usaremos o símbolo menos (-) quando quisermos indicar que os números positivos foram excluídos de um conjunto. Exemplo: Z {... ; - ; - ; 0 } ; os positivos foram excluídos de Z. Algumas vezes combinamos o símbolo (*) com o símbolo (+) ou com o símbolo (-). Exemplos a) Z * ( ; ; ;... ) ; o zero e os negativos foram excluídos de Z. b) Z + * {... ; - ; - ; - } ; o zero e os positivos foram excluídos de Z. Exercícios resolvidos. Completar com ou : a) Z g) Q * b) Z * h) Q c), Z * + d) Z e) Z i) ( ) Q - j) R k) R - f) Q Resolução a), pois é positivo. b), pois é positivo e os positivos foram excluídos de Z * c), não é inteiro. d), pois não é inteiro. e), pois é inteiro. Chamamos então de conjunto dos números reais, e indicamos com R, o seguinte conjunto: R { x x é racional ou x é irracional} Como vemos, o conjunto R é a união do conjunto dos números racionais com o conjunto dos números f), pois não é racional. g), pois não é racional h), pois é racional i), pois ( ) é positivo, e os

27 positivos foram excluídos de Q. j), pois é real. k), pois é positivo, e os positivos foram excluídos de R. Completar com ou : a) N Z * d) Q Z b) N Z + e) Q * + R * + c) N Q Resolução: a), pois 0 N e 0 Z *. b), pois N Z + c), pois todo número natural é também racional. d), pois há números racionais que não são inteiros como por exemplo,. a) b). c) d) e) Reta numérica Uma maneira prática de representar os números reais é através da reta real. Para construí-la, desenhamos uma reta e, sobre ela, escolhemos, a nosso gosto, um ponto origem que representará o número zero; a seguir escolhemos, também a nosso gosto, porém à direita da origem, um ponto para representar a unidade, ou seja, o número um. Então, a distância entre os pontos mencionados será a unidade de medida e, com base nela, marcamos, ordenadamente, os números positivos à direita da origem e os números negativos à sua esquerda. e), pois todo racional positivo é também real positivo. Exercícios propostos:. Completar com ou a) 0 N b) 0 N * c) 7 Z d) - 7 Z + e) 7 Q f) 7 Q g) 7 Q * + h) 7 Q i) 7 Q j) 7 R *. Completar com ou a) Q d) π Q b), Q e),... Q c), Q. Completar com ou : a) Z * + N * d) Z * R b) Z N e) Z R + c) R + Q. Usando diagramas de Euler-Venn, represente os conjuntos N, Z, Q e R. Respostas:. a) b) c) d). a) b). e) f) g) h) c) d) i) j) e) 7 EXERCÍCIOS ) Dos conjuntos a seguir, o único cujos elementos são todos números racionais é: a) c),,,,, 7, 0,,, b) {,, 0 } d) { 0, 9,,, 7 } ) Se é irracional, então: a) escreve-se na forma n m, com n 0 e m, n N. b) pode ser racional c) jamais se escreve sob a forma n m, com n 0 e m, n N. d) é racional ) Sendo N, Z, Q e R, respectivamente, os conjuntos dos naturais, inteiros, racionais e reais, podemos escrever: a) x N x R c) Z Q b) x Q x Z d) R Z ) Dado o conjunto A {,,,,, }, podemos afirmar que: a) x A x é primo b) x A x é maior que 7 c) x A x é múltiplo de d) x A x é par e) nenhuma das anteriores ) Assinale a alternativa correta:

28 a) Os números decimais periódicos são irracionais b) Existe uma correspondência biunívoca entre os pontos da reta numerada, e o conjunto Q. c) Entre dois números racional existem infinitos números racionais. d) O conjunto dos números irracionais é finito ) Podemos afirmar que: a) todo real é racional. b) todo real é irracional. c) nenhum irracional é racional. d) algum racional é irracional. 7) Podemos afirmar que: a) entre dois inteiros existe um inteiro. b) entre dois racionais existe sempre um racional. c) entre dois inteiros existe um único inteiro. d) entre dois racionais existe apenas um racional. 8) Podemos afirmar que: a) a, b N a - b N b) a, b N a : b N c) a, b R a + b R d) a, b Z a : b Z 9) Considere as seguintes sentenças: I) 7 é irracional. II) 0, é irracional. III) é racional. Podemos afirmar que: a) l é falsa e II e III são verdadeiros. b) I é verdadeiro e II e III são falsas. c) I e II são verdadeiras e III é falsa. d) I e II são falsas e III é verdadeira. 0) Considere as seguintes sentenças: I) A soma de dois números naturais é sempre um número natural. II) O produto de dois números inteiros é sempre um número inteiro. III) O quociente de dois números inteiros é sempre um número inteiro. Podemos afirmar que: a) apenas I é verdadeiro. b) apenas II é verdadeira. c) apenas III é falsa. d) todas são verdadeiras. ) Assinale a alternativa correta: a) R N c) Q N b) Z R d) N { 0,,,,,, } ) Assinale a alternativa correto: a) O quociente de dois número, racionais é sempre um número inteiro. b) Existem números Inteiros que não são números reais. c) A soma de dois números naturais é sempre um número inteiro. d) A diferença entre dois números naturais é sempre um número natural. ) O seguinte subconjunto dos números reais escrito em linguagem simbólica é: a) { x R < x < } c) { x R x } b) { x R x < } d) { x R < x } ) Assinale a alternativa falsa: a) R* { x R x < 0 ou x >0} b) Q c) Existem números inteiros que não são números naturais. d) é a representação de { x R x 7 } ) O número irracional é: a) 0,... e) b), d) 7 ) O símbolo R representa o conjunto dos números: a) reais não positivos c) irracional. b) reais negativos d) reais positivos. 7) Os possíveis valores de a e de b para que a número a + b seja irracional, são: a) a 0 e b0 c) a 0 e b c) a e b d) a e b 0 8) Uma representação decimal do número é: a) 0,... c)... b)... d),... 9) Assinale o número irracional: a), e),... b) 0, d), 0) O conjunto dos números reais negativos é representado por: a) R* c) R b) R_ d) R* ) Assinale a alternativo falso: a) Z b),9... Q c) Q ) Um número racional compreendido entre e é: a), c) b) d). + ) Qual dos seguintes números é irracional? a) c) 7 8

29 b) d) 9 c. Um dia de sol, para cada dois de chuva. ) é a representação gráfica de: a) { x R x } b) { x R - x < } c) { x R x < - } d) { x R -< x } RESPOSTAS ) d ) b 9) b ) b 7) c ) b ) c ) c 0) c ) d 8) b ) b ) a 7) b ) b ) d 9) a ) c ) e 8) c ) c ) b 0) b ) d RAZÕES E PROPORÇÕES. INTRODUÇÃO Se a sua mensalidade escolar sofresse hoje um reajuste de R$ 80,00, como você reagiria? Acharia caro, normal, ou abaixo da expectativa? Esse mesmo valor, que pode parecer caro no reajuste da mensalidade, seria considerado insignificante, se tratasse de um acréscimo no seu salário. Naturalmente, você já percebeu que os R$ 80,00 nada representam, se não forem comparados com um valor base e se não forem avaliados de acordo com a natureza da comparação. Por exemplo, se a mensalidade escolar fosse de R$ 90,00, o reajuste poderia ser considerado alto; afinal, o valor da mensalidade teria quase dobrado. Já no caso do salário, mesmo considerando o salário mínimo, R$ 80,00 seriam uma parte mínima.. A fim de esclarecer melhor este tipo de problema, vamos estabelecer regras para comparação entre grandezas.. RAZÃO Você já deve ter ouvido expressões como: "De cada 0 habitantes, são analfabetos", "De cada 0 alunos, gostam de ", "Um dia de sol, para cada dois de chuva". Em cada uma dessas. frases está sempre clara uma comparação entre dois números. Assim, no primeiro caso, destacamos entre 0; no segundo, entre 0, e no terceiro, para cada. Todas as comparações serão matematicamente expressas por um quociente chamado razão. Teremos, pois: De cada 0 habitantes, são analfabetos. Razão 0 Razão A razão entre dois números a e b, com b 0, é o Nessa expressão, a chama-se antecedente e b, consequente. Outros exemplos de razão: Em cada 0 terrenos vendidos, um é do corretor. Razão 0 Os times A e B jogaram vezes e o time A ganhou todas. Razão. Uma liga de metal é feita de partes de ferro e partes de zinco. Razão (ferro) Razão (zinco).. PROPORÇÃO Há situações em que as grandezas que estão sendo comparadas podem ser expressas por razões de antecedentes e consequentes diferentes, porém com o mesmo quociente. Dessa maneira, quando uma pesquisa escolar nos revelar que, de 0 alunos entrevistados, 0 gostam de, poderemos supor que, se forem entrevistados 80 alunos da mesma escola, 0 deverão gostar de. Na verdade, estamos afirmando que 0 estão representando em 0 o mesmo que 0 em 80. Escrevemos: 0 0 quociente a b 0 80 A esse tipo de igualdade entre duas razões dá-se o nome de proporção. Dadas duas razões a b e, ou a : b. c, com b e d 0, d teremos uma proporção se a b c d. Na expressão acima, a e c são chamados de antecedentes e b e d de consequentes.. A proporção também pode ser representada como a : b c : d. Qualquer uma dessas expressões é lida assim: a está para b assim como c está para d. E importante notar que b e c são denominados meios e a e d, extremos. De cada 0 alunos, gostam de. Razão 0 9 Exemplo:

30 A proporção 7 9, ou : 7 : : 9 :, é lida da seguinte forma: está para 7 assim como 9 está para. Temos ainda: e 9 como antecedentes, 7 e como consequentes, 7 e 9 como meios e e como extremos.. PROPRIEDADE FUNDAMENTAL O produto dos extremos é igual ao produto dos meios: a c ad bc ; b, d 0 b d Exemplo: Se 9, então ADIÇÃO (OU SUBTRAÇÃO) DOS ANTECEDENTES E CONSEQUENTES Em toda proporção, a soma (ou diferença) dos antecedentes está para a soma (ou diferença) dos consequentes assim como cada antecedente está para seu consequente. Ou seja: Se a b c, entao a + c b + d a c, d b d ou a - c b - d a b c d Essa propriedade é válida desde que nenhum denominador seja nulo. Exemplo: GRANDEZAS PROPORCIONAIS E DIVISÃO PROPORCIONAL. INTRODUÇÃO: No dia-a-dia, você lida com situações que envolvem números, tais como: preço, peso, salário, dias de trabalho, índice de inflação, velocidade, tempo, idade e outros. Passaremos a nos referir a cada uma dessas situações mensuráveis como uma grandeza. Você sabe que cada grandeza não é independente, mas vinculada a outra conveniente. O salário, por exemplo, está relacionado a dias de trabalho. Há pesos que dependem de idade, velocidade, tempo etc. Vamos analisar dois tipos básicos de dependência entre grandezas proporcionais.. PROPORÇÃO DIRETA Grandezas como trabalho produzido e remuneração obtida são, quase sempre, diretamente proporcionais. De fato, se você receber R$,00 para cada folha que datilografar, sabe que deverá receber R$ 0,00 por 0 folhas datilografadas. Podemos destacar outros exemplos de grandezas diretamente proporcionais: Velocidade média e distância percorrida, pois, se você dobrar a velocidade com que anda, deverá, num mesmo tempo, dobrar a distância percorrida. Área e preço de terrenos. Altura de um objeto e comprimento da sombra projetada por ele. Assim: Duas grandezas São diretamente proporcionais quando, aumentando (ou diminuindo) uma delas numa determinada razão, a outra diminui (ou aumenta) nessa mesma razão.. PROPORÇÃO INVERSA Grandezas como tempo de trabalho e número de operários para a mesma tarefa são, em geral, inversamente proporcionais. Veja: Para uma tarefa que 0 operários executam em 0 dias, devemos esperar que operários a realizem em 0 dias. Podemos destacar outros exemplos de grandezas inversamente proporcionais: Velocidade média e tempo de viagem, pois, se você dobrar a velocidade com que anda, mantendo fixa a distância a ser percorrida, reduzirá o tempo do percurso pela metade. Número de torneiras de mesma vazão e tempo para encher um tanque, pois, quanto mais torneiras estiverem abertas, menor o tempo para completar o tanque. Podemos concluir que : Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, aumentando (ou diminuindo) uma delas numa determinada razão, a outra diminui (ou aumenta) na mesma razão. Vamos analisar outro exemplo, com o objetivo de reconhecer a natureza da proporção, e destacar a razão. Considere a situação de um grupo de pessoas que, em férias, se instale num acampamento que cobra R$00,00 a diária individual. Observe na tabela a relação entre o número de pessoas e a despesa diária: Número de pessoas 0 0

31 Despesa diária (R$ ) Você pode perceber na tabela que a razão de aumento do número de pessoas é a mesma para o aumento da despesa. Assim, se dobrarmos o número de pessoas, dobraremos ao mesmo tempo a despesa. Esta é portanto, uma proporção direta, ou melhor, as grandezas número de pessoas e despesa diária são diretamente proporcionais. Suponha também que, nesse mesmo exemplo, a quantia a ser gasta pelo grupo seja sempre de R$.000,00. Perceba, então, que o tempo de permanência do grupo dependerá do número de pessoas. Analise agora a tabela abaixo : Número de pessoas Tempo de 0 permanência (dias) 0 0 Note que, se dobrarmos o número de pessoas, o tempo de permanência se reduzirá à metade. Esta é, portanto, uma proporção inversa, ou melhor, as grandezas número de pessoas e número de dias são inversamente proporcionais.. DIVISÃO EM PARTES PROPORCIONAIS. Diretamente proporcional Duas pessoas, A e B, trabalharam na fabricação de um mesmo objeto, sendo que A o fez durante horas e B durante horas. Como, agora, elas deverão dividir com justiça os R$ 0,00 apurados com sua venda? Na verdade, o que cada um tem a receber deve ser diretamente proporcional ao tempo gasto na confecção Dividir um número em partes diretamente proporcionais a outros números dados é encontrar partes desse número que sejam diretamente proporcionais aos números dados e cuja soma reproduza o próprio número. do objeto. No nosso problema, temos de dividir 0 em partes diretamente proporcionais a e, que são as horas que A e B trabalharam. Vamos formalizar a divisão, chamando de x o que A tem a receber, e de y o que B tem a receber. Teremos então: X + Y 0 X Y Esse sistema pode ser resolvido, usando as propriedades de proporção. Assim: X + Y + Substituindo X + Y por 0, vem 0 X X 0 0 Como X + Y 0, então Y 00 Concluindo, A deve receber R$ 0,00 enquanto B, R$ 00,00.. INVERSAMENTE PROPORCIONAL E se nosso problema não fosse efetuar divisão em partes diretamente proporcionais, mas sim inversamente? Por exemplo: suponha que as duas pessoas, A e B, trabalharam durante um mesmo período para fabricar e vender por R$ 0,00 um certo artigo. Se A chegou atrasado ao trabalho dias e B, dias, como efetuar com justiça a divisão? O problema agora é dividir R$ 0,00 em partes inversamente proporcionais a e a, pois deve ser levado em consideração que aquele que se atrasa mais deve receber menos. Dividir um número em partes inversamente proporcionais a outros números dados é encontrar partes desse número que sejam diretamente proporcionais aos inversos dos números dados e cuja soma reproduza o próprio número. No nosso problema, temos de dividir 0 em partes inversamente proporcionais a e a, que são os números de atraso de A e B. Vamos formalizar a divisão, chamando de x o que A tem a receber e de y o que B tem a receber. x + y 0 Teremos: x y Resolvendo o sistema, temos: x + y + x x + y x 8 Mas, como x + y 0, então 0 x 8 x 0 8 x 0 8 x 00 Como x + y 0, então y 0. Concluindo, A deve receber R$ 00,00 e B, R$ 0,00.. DIVISÃO PROPORCIONAL COMPOSTA Vamos analisar a seguinte situação: Uma empreiteira foi contratada para pavimentar uma rua. Ela dividiu o trabalho em duas turmas, prometendo pagá-las proporcionalmente. A tarefa foi realizada da seguinte maneira: na primeira turma, 0 homens trabalharam durante dias; na segunda turma, homens trabalharam duran-

32 te dias. Estamos considerando que os homens tinham a mesma capacidade de trabalho. A empreiteira tinha R$ 9.00,00 para dividir com justiça entre as duas turmas de trabalho. Como fazê-lo? Essa divisão não é de mesma natureza das anteriores. Trata-se aqui de uma divisão composta em partes proporcionais, já que os números obtidos deverão ser proporcionais a dois números e também a dois outros. Na primeira turma, 0 homens trabalharam dias, produzindo o mesmo resultado de 0 homens, trabalhando por um dia. Do mesmo modo, na segunda turma, homens trabalharam dias, o que seria equivalente a 8 homens trabalhando um dia. prática. Devemos dispor as grandezas, bem como os valores envolvidos, de modo que possamos reconhecer a natureza da proporção e escrevê-la. Assim: Grandeza : tempo (horas) 8 Grandeza : distância percorrida (km) 900 x Para a empreiteira, o problema passaria a ser, portanto, de divisão diretamente proporcional a 0 (que é 0. ), e 8 (que é. ). Para dividir um número em partes de tal forma que uma delas seja proporcional a m e n e a outra a p e q, basta divida esse número em partes proporcionais a m. n e p. q. Convém lembrar que efetuar uma divisão em partes inversamente proporcionais a certos números é o mesmo que fazer a divisão em partes diretamente proporcionais ao inverso dos números dados. Resolvendo nosso problema, temos: Chamamos de x: a quantia que deve receber a primeira turma; y: a quantia que deve receber a segunda turma. Assim: x 0 y ou x 0 y 8 x + y x Como x + y 900, então x Portanto y 00. Concluindo, a primeira turma deve receber R$.000,00 da empreiteira, e a segunda, R$.00,00. Observação: Firmas de projetos costumam cobrar cada trabalho usando como unidade o homem-hora. O nosso problema é um exemplo em que esse critério poderia ser usado, ou seja, a unidade nesse caso seria homem-dia. Seria obtido o valor de R$ 00,00 que é o resultado de 000 : 0, ou de 00 : 8. REGRA DE TRÊS SIMPLES REGRA DE TRÊS SIMPLES Retomando o problema do automóvel, vamos resolvê-lo com o uso da regra de três de maneira x 0 Observe que colocamos na mesma linha valores que se correspondem: horas e 900 km; 8 horas e o valor desconhecido. Vamos usar setas indicativas, como fizemos antes, para indicar a natureza da proporção. Se elas estiverem no mesmo sentido, as grandezas são diretamente proporcionais; se em sentidos contrários, são inversamente proporcionais. Nesse problema, para estabelecer se as setas têm o mesmo sentido, foi necessário responder à pergunta: "Considerando a mesma velocidade, se aumentarmos o tempo, aumentará a distância percorrida?" Como a resposta a essa questão é afirmativa, as grandezas são diretamente proporcionais. Já que a proporção é direta, podemos escrever: x Então:. x x Concluindo, o automóvel percorrerá 00 km em 8 horas. Vamos analisar outra situação em que usamos a regra de três. Um automóvel, com velocidade média de 90 km/h, percorre um certo espaço durante 8 horas. Qual será o tempo necessário para percorrer o mesmo espaço com uma velocidade de 0 km/h? Grandeza : tempo (horas) 8 x Grandeza : velocidade (km/h) 90 0 A resposta à pergunta "Mantendo o mesmo espaço percorrido, se aumentarmos a velocidade, o tempo aumentará?" é negativa. Vemos, então, que as grandezas envolvidas são inversamente proporcionais. Como a proporção é inversa, será necessário inver-

33 termos a ordem dos termos de uma das colunas, tornando a proporção direta. Assim: 8 0 x 90 Escrevendo a proporção, temos: x x 90 0 Concluindo, o automóvel percorrerá a mesma distância em horas. Regra de três simples é um processo prático utilizado para resolver problemas que envolvam pares de grandezas direta ou inversamente proporcionais. Essas grandezas formam uma proporção em que se conhece três termos e o quarto termo é procurado. REGRA DE TRÊS COMPOSTA Vamos agora utilizar a regra de três para resolver problemas em que estão envolvidas mais de duas grandezas proporcionais. Como exemplo, vamos analisar o seguinte problema. Numa fábrica, 0 máquinas trabalhando 0 dias produzem 000 peças. Quantas máquinas serão necessárias para se produzir 80 peças em dias? Como nos problemas anteriores, você deve verificar a natureza da proporção entre as grandezas e escrever essa proporção. Vamos usar o mesmo modo de dispor as grandezas e os valores envolvidos. Grandeza : número de máquinas 0 x Grandeza : dias 0 Grandeza : número de peças Natureza da proporção: para estabelecer o sentido das setas é necessário fixar uma das grandezas e relacioná-la com as outras. Supondo fixo o número de dias, responda à questão: "Aumentando o número de máquinas, aumentará o número de peças fabricadas?" A resposta a essa questão é afirmativa. Logo, as grandezas e são diretamente proporcionais. Agora, supondo fixo o número de peças, responda à questão: "Aumentando o número de máquinas, aumentará o número de dias necessários para o trabalho?" Nesse caso, a resposta é negativa. Logo, as grandezas e são inversamente proporcionais. Para se escrever corretamente a proporção, devemos fazer com que as setas fiquem no mesmo sentido, invertendo os termos das colunas convenientes. Naturalmente, no nosso exemplo, fica mais fácil inverter a coluna da grandeza x 0 80 Agora, vamos escrever a proporção: 0 x (Lembre-se de que uma grandeza proporcional a duas outras é proporcional ao produto delas.) x x Concluindo, serão necessárias 8 máquinas. PORCENTAGEM 8. INTRODUÇÃO Quando você abre o jornal, liga a televisão ou olha vitrinas, frequentemente se vê às voltas com expressões do tipo: "O índice de reajuste salarial de março é de,9%." "O rendimento da caderneta de poupança em fevereiro foi de 8,%." "A inflação acumulada nos últimos meses foi de 8,%. "Os preços foram reduzidos em até 0,%." Mesmo supondo que essas expressões não sejam completamente desconhecidas para uma pessoa, é importante fazermos um estudo organizado do assunto porcentagem, uma vez que o seu conhecimento é ferramenta indispensável para a maioria dos problemas relativos à Comercial.. PORCENTAGEM O estudo da porcentagem é ainda um modo de comparar números usando a proporção direta. Só que uma das razões da proporção é um fração de denominador 00. Vamos deixar isso mais claro: numa situação em que você tiver de calcular 0% de R$ 00,00, o seu trabalho será determinar um valor que represente, em 00, o mesmo que 0 em 00. Isso pode ser resumido na proporção: 0 x Então, o valor de x será de R$ 0,00. Sabendo que em cálculos de porcentagem será necessário utilizar sempre proporções diretas, fica claro, então, que qualquer problema dessa natureza poderá ser resolvido com regra de três simples.. TAXA PORCENTUAL O uso de regra de três simples no cálculo de porcentagens é um recurso que torna fácil o entendimento do assunto, mas não é o único caminho possível e nem sequer o mais prático.

34 Para simplificar os cálculos numéricos, é necessário, inicialmente, dar nomes a alguns termos. Veremos isso a partir de um exemplo. Exemplo: Calcular 0% de 800. Calcular 0%, ou 0 de 800 é dividir 800 em partes e tomar 0 dessas partes. Como a centésima parte de 800 é 8, então 0 dessas partes será 0. Chamamos: 0% de taxa porcentual; principal; 0 de porcentagem. 800 de Temos, portanto: Principal: número sobre o qual se vai calcular a porcentagem. Taxa: valor fixo, tomado a partir de cada 00 partes do principal. Porcentagem: número que se obtém somando cada uma das 00 partes do principal até conseguir a taxa. A partir dessas definições, deve ficar claro que, ao calcularmos uma porcentagem de um principal conhecido, não é necessário utilizar a montagem de uma regra de três. Basta dividir o principal por 00 e tomarmos tantas destas partes quanto for a taxa. Vejamos outro exemplo. Exemplo: Calcular % de.000. Primeiro dividimos 000 por 00 e obtemos 0, que é a centésima parte de 000. Agora, somando partes iguais a 0, obtemos. 0 ou 80 que é a resposta para o problema. JUROS SIMPLES Consideremos os seguintes fatos: Emprestei R$ ,00 para um amigo pelo prazo de meses e recebi, ao fim desse tempo, R$ 000,00 de juros. O preço de uma televisão, a vista, é R$.000,00. Se eu comprar essa mesma televisão em 0 prestações, vou pagar por ela R$.70,00. Portanto, vou pagar R$70,00 de juros. No. fato, R$ 000,00 é uma compensação em dinheiro que se recebe por emprestar uma quantia por determinado tempo. No. fato, R$ 70,00 é uma compensação em dinheiro que se paga quando se compra uma mercadoria a prazo. Assim: Quando depositamos ou emprestamos certa quantia por determinado tempo, recebemos uma compensação em dinheiro. Quando pedimos emprestada certa quantia por determinado tempo, pagamos uma compensação em dinheiro. Quando compramos uma mercadoria a prazo, pagamos uma compensação em dinheiro. Nos problemas de juros simples, usaremos a seguinte nomenclatura: dinheiro depositado ou emprestado denomina-se capital. O porcentual denomina-se taxa e representa o juro recebido ou pago a cada R$00,00, em ano. O período de depósito ou de empréstimo denominase tempo. A compensação em dinheiro denomina-se juro. RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE JUROS SIMPLES Vejamos alguns exemplos:. exemplo: Calcular os juros produzidos por um capital de R$ ,00, empregado a % ao a- no, durante anos. De acordo com os dados do problema, temos: % em ano % (. ) em anos %, 00 Nessas condições, devemos resolver o seguinte problema: Calcular % de R$ ,00. Dai: x % de , Resposta: Os juros produzidos são de R$ ,00. exemplo: Apliquei um capital de R$ 0.000,00 a uma taxa de,8% ao mês, durante meses. Quanto esse capital me renderá de juros?,8% em mês.,8% 0,8% em meses 0, 8 0,8% 0,08 00 Dai: x 0, Resposta: Renderá juros de R$ 080,00.. exemplo: Tomei emprestada certa quantia durante meses, a uma taxa de,% ao mês, e devo pagar R$ 00,00 de juros. Qual foi a quantia emprestada? De acordo com os dados do problema:,% em mês.,% 7,% em meses 7, 7,% 0,07 00 Nessas condições, devemos resolver o seguinte problema: 00 representam 7,% de uma quantia x. Calcule x. Dai: 00 0,07. x 0,07x 00

35 00 x 0,07 x Resposta: A quantia emprestada foi de R$ 0.000,00.. exemplo: Um capital de R$ ,00, aplicado durante meses, rendeu juros de R$ 800,00. Qual foi a taxa (em %) ao mês? De acordo com os dados do problema: x% em mês (x)% em meses Devemos, então, resolver o seguinte problema: 800 representam quantos % de ? Dai: 800 x x x x x 0, ,0 % 00 Resposta: A taxa foi de % ao mês. Resolva os problemas: - Emprestando R$ 0 000,00 à taxa de,% ao mês, durante 8 meses, quanto deverei receber de juros? - Uma pessoa aplica certa quantia durante anos, à taxa de % ao ano, e recebe R$ 000,00 de juros. Qual foi a quantia aplicada? - Um capital de R$ ,00 foi aplicado durante ano e meses à taxa de 8% ao ano. No final desse tempo, quanto receberei de juros e qual o capital acumulado (capital aplicado + juros)? - Um aparelho de televisão custa R$ 00,00. Como vou comprá-lo no prazo de 0 meses, a loja cobrará juros simples de,% ao mês. Quanto vou pagar por esse aparelho. - A quantia de R$ ,00, aplicada durante meses, rendeu juros de R$ 000,00. Qual foi a taxa (%) mensal da aplicação - Uma geladeira custa R$ 000,00. Como vou compra-la no prazo de meses, a loja vendedora cobrara juros simples de,% ao mês. Quanto pagarei por essa geladeira e qual o valor de cada prestação mensal, se todas elas são iguais. - Comprei um aparelho de som no prazo de 8 meses. O preço original do aparelho era de R$ 800,00 e os juros simples cobrados pela firma foram de R$ 0,00. Qual foi a taxa (%) mensal dos juros cobrados? Respostas R$ 00,00 R$ ,00 R$ 8 000,00 e R$ 8 000,00 R$ 0,00,% R$ 07,00 e R$,00,% JUROS COMPOSTOS. Introdução O dinheiro e o tempo são dois fatores que se encontram estreitamente ligados com a vida das pessoas e dos negócios. Quando são gerados excedentes de fundos, as pessoas ou as empresas, aplicam-no a fim de ganhar juros que aumentem o capital original disponível; em outras ocasiões, pelo contrário, tem-se a necessidade de recursos financeiros durante um período de tempo e deve-se pagar juros pelo seu uso. Em período de curto-prazo utiliza-se, geralmente, como já se viu, os juros simples. Já em períodos de longo-prazo, utiliza-se, quase que exclusivamente, os juros compostos.. Conceitos Básicos No regime dos juros simples, o capital inicial sobre o qual calculam-se os juros, permanece sem variação alguma durante todo o tempo que dura a operação. No regime dos juros compostos, por sua vez, os juros que vão sendo gerados, vão sendo acrescentados ao capital inicial, em períodos determinados e, que por sua vez, irão gerar um novo juro adicional para o período seguinte. Diz-se, então, que os juros capitalizam-se e que se está na presença de uma operação de juros compostos. Nestas operações, o capital não é constante através do tempo; pois aumenta ao final de cada período pela adição dos juros ganhos de acordo com a taxa acordada. Esta diferença pode ser observada através do seguinte exemplo: Exemplo : Suponha um capital inicial de R$.000,00 aplicado à taxa de 0.0 % a.a. por um período de anos a juros simples e compostos. Qual será o total de juros ao final dos anos sob cada um dos rearmes de juros? Pelo regime de juros simples: J c. i. t R$.000,00 (0,) () R$ 900,00 Pelo regime de juros compostos: n J C o ( + i) [(,) ] R$.97, 00 J R$.000,00 Demonstrando agora, em detalhes, o que se passou com os cálculos, temos: Ano Juros simples Juros Compostos R$.000,00(0,) R$ 00,00 R$.000,00(0,) R$ 00,00 R$.000,00(0,) R$ 00,00 R$.00,00(0,) R$ 90,00 R$.000,00(0,) R$ 00,00 R$.90,00(0,) R$ 07,00 R$ 900,00 R$.97,00 Vamos dar outro exemplo de juros compostos: Suponhamos que você coloque na poupança R$ 00,00 e os juros são de 0% ao mês.

36 Decorrido o primeiro mês você terá em sua poupança: 00,00 + 0,00 0,00 No segundo mês você terá:0,00 +,00,00 No terceiro mês você terá:,00 +,0,0 E assim por diante. Para se fazer o cálculo é fácil: basta calcular os juros de cada mês e adicionar ao montante do mês anterior. DESCONTO SIMPLES ( ) D f VF + Df d n VP d n + D d n D D d n VP d n VP d n D( d n) VP d n Df d n ( )( ) (, )( ). 7 0, D f 0 D f $.7,00 ( ). 0, 8 Utilizando a fórmula VF VP + D, temos: VF.7, +.7, $08.,00 Desconto é uma operação de crédito que se realiza, principalmente, em instituições financeiras bancárias ou monetárias, e consiste em que estas instituições aceitem títulos de crédito, tais como notas promissórias e duplicatas mercantis, entre outros antes da data de seus vencimentos, e descontem de seus valores nominais, o equivalente aos juros do mercado mais comissões de serviço, além do IOF - Imposto sobre Operações Financeiras. Este imposto é da União e a instituição de crédito apenas recolhe-o do cliente financiado, creditando o erário público. Dependendo da política de crédito do governo e do momento econômico, os bancos costumam exigir dos financiados uma manutenção de saldo médio, deixando parte do empréstimo vinculado à conta corrente. Esta operação é chamada de reciprocidade bancária. Depois de todos estes descontos sobre o valor nominal do título, ao financiado resta o valor líquido recebido. Esta modalidade de desconto, é a que denominamos de desconto comercial, ou bancário, ou por fora. Desconto Comercial, Bancário ou Por Fora Esta modalidade de desconto é a mais utilizada, a curto Exemplo - A Cia. Descontada descontou um título no Banco Recíproco com o valor nominal de $.000,00 vencível dentro de meses, à taxa contratada de % a.a. Calcular o desconto comercial e o valor liquido recebido pela empresa. Resolução: Para calcular o desconto comercial, vamos utilizar a fórmula: D f VF. d. n..000 (0,0) () 00 A seguir, vamos calcular o valor liquido recebido, usando a fórmula: VP VF( d. n).000( - 0,0) VP.00 Exemplo - Uma empresa descontou em um banco uma duplicata. Recebeu $.7,00. Se este tipo de desconto é de 0% a.a., e o vencimento da duplicata era de meses depois de seu desconto, qual era o valor nominal do título na data de seu vencimento? Resolução: Vamos utilizar a fórmula do desconto: VP d n Df d n VP $.7 d 0, a.a. n / / Sabendo-se que D f VP. d. n e que VF VP + D f vem: Exemplo - Uma empresa desconta um titulo, pelo qual recebe $87.9,00. A taxa contratada é de % a.a. e o valor nominal do titulo é de $00.000,00. Calcular quanto tempo falta para o vencimento do título. Resolução: VF $ d 0, a.a. VP $ 87.9 D f Usando a fórmula D f VF. d. n, temos: (0,)n n. 000 n 0,978 anos ( meses), meses, n 0, meses 9, dias 9 dias o prazo é de meses e 9 dias.. Desconto Racional ou por Dentro Esta modalidade de desconto simples, praticamente, não é utilizada no Brasil, em operações de desconto e, vamos ver porque, mais adiante. Este tipo de desconto representa, precisamente, o conceito de juros, já que é mensurado a partir do capital reaimente utilizado na operação. As fórmulas utilizadas são: VF i n D d VP. i. n ou Dd + i n Exemplo - Se um banco realiza operações de desconto à taxa de juros de 0% a.a. e uma empresa deseja descontar um título, com data de vencimento de de agosto, em de junho, de valor nominal de $8.000,00 qual será o valor líquido a receber? Resolução: VF $8.000,00 n / / 0,0 VP valor Líquido Recebido Como neste caso temos o VF, vamos utilizar a fórmula do VP D d ( 0, )( ) D d + ( 0, )( ). 7 $. 08, VL $ $. $70.79, (valor líquido recebido) Podemos observar que, no regime de juros simples, o desconto racional aplicado ao valor nominal é igual dos juros devidos sobre o capital inicial (VP), que é o valor descontado (VF D d ), desde que ambos sejam calculados à mesma taxa (taxa de juros da operação taxa). Exemplo - Uma empresa descontou em um banco uma duplicata. Recebeu $.77,00. Se a taxa de desconto é de 0% a.a. e o vencimento do título era quatro meses depois de seu desconto, qual era o valor nominal do título na data de

37 seu vencimento? Resolução: VP.77, i 0,0 n / Fórmula: VF VP( + i. n) VF.77( +(0,) (/) $ Comparando este exemplo com o exemplo.9.., observamos a diferença, no valor dos juros, entre a modalidade de desconto comercial e o desconto racional: Resolução: a) não haver existência de reciprocidade Valor do IOF, em $: IOF 0.000(0,00/00) (90) $,90 Valor do Desconto: D / / 000) (90) $.800 Valor Líquido, na data zero: IOF - D , ,,0 Valor a desembolsar, dentro de 90 dias Juros pelo desconto racional: $ $.7 $. $08. - $.7 $.7 Esta é uma das principais razões que justificam a escolha, pelos bancos, pela utilização do desconto bancário, ao invés do desconto racional: maior taxa de desconto sobre o mesmo valor descontado.. Desconto Comercial e a Taxa de IOF O Imposto sobre Operações Financeiras é defini do pelo Banco Central do Brasil e, na data que elaborávamos este trabalho, as alíquotas vigentes em relação aos tipos de operações eram as seguintes: TIPO I O F Operações até dias...0,00% ao dia Operações com prazo 0 dias...,% no ato Crédito Direto ao Consumidor (CDC)...0,% a.m. e máx.,% Desconto de Duplicatas...0,00% ao dia Repasses governamentais...,% no ato Exemplo - Considerando uma situação de desconto de duplicata com as seguintes condições: valor nominal do título Prazo 0 dias; IOF 0,00% ao dia; Taxa mensal %. Calcular a taxa de custo efetivo e o desconto no ato. Resolução: Temos: D C. i. n/ C IOF n ( 0, 00)( 0) D D, Onde: D desconto de juros, D desconto de IOF O desconto total será: D + D O valor descontado do título Valor nominal - desconto total Custo efetivo (00.000/89.7) / - 0,0 ou,% ao mês.. Saldo Médio para Reciprocidade O saldo médio, eventualmente, solicitado pela instituição financeira, como reciprocidade, influi no custo total da operação de desconto de títulos. Exemplo - A Cia Emperrada descontou no Banco Desconta Tudo, uma duplicata. A operação teve os seguintes parâmetros: Valor nominal do título $ Prazo de vencimento do título meses (90 dias) IOF 0,00% ao dia, Taxa de desconto % ao mês Determinar o fluxo de caixa da empresa e o custo efetivo anual, nas hipóteses de: - não haver exigência de saldo médio (reciprocidade); e - exigência de um saldo médio de 0% 7 Primeiramente, calculamos o custo mensal efetivo ( ) ( i e m ) i e Valor nominal m Valor do desconto ( , 00) i em 0, 07 ou 7% ao mes 8., 0 i ( + i ea em ) ( 07, ), ou,% a.a. b) com reciprocidade de 0% O saldo médio de 0% sobre $0.000 é de $.000, que deverá ficar sem movimentação pela companhia, na sua conta bancária, durante o prazo da operação. Assim, temos: valor líquido recebido, na data zero: 8,,0 -,000 $.,0 valor de resgate, daqui a meses: $7.000 i e m ( 7000,0) 0, 08 ou 0,8% a.m. i e a 08,, 78 ou 7,8% a.a. ( ) JUROS E CAPITALIZAÇÃO SIMPLES CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA DESCONTO E TAXAS DE DESCONTO Por definição, juro simples é aquele pago unicamente sobre o capital inicial, ou principal, sendo diretamente proporcional a esse capital e ao tempo em que este é aplicado. Pelo regime de capitalização simples o fator de proporcionalidade é a taxa de juros por período, i. JURO SIMPLES ORDINÁRIO Como o período financeiro mais comum é o ano, e pelo costume vigente, as operações com prazos superiores a um ano são, na maior parte das vezes, avaliadas pelo regime de capitalização composta, resulta que a fórmula do juro simples: J C. i. n () Onde C capital inicial ou principal; i taxa de juros do período e n prazo de aplicação (é a mais utilizada para períodos n menores do que um ano) Nessa hipótese, deve-se observar duas normas financeiras comuns: O ANO CIVIL - considera-se o ano civil como base de cálculo, isto é, o ano com dias ou dias, conforme seja bissexto ou não. Desse modo, um dia eqüivale, conforme o caso, à fração / ou / do ano. O ANO COMERCIAL - considera-se o ano comercial como base de cálculo, isto é, o ano de 0 dias, subdividido em meses de 0 dias cada. Assim, um dia equivale à fração /0 do ano e um mês equivale à fração / do ano. JURO SIMPLES EXATO

38 Considerando-se o ano civil para o cálculo do juro, deve-se contar o tempo em seu número exato de dias. Exemplo: O juro de um capital aplicado de 7..9XI a..9xi, é calculado sobre 00 dias, número exato de dias decorridos entre as duas datas. Sendo n o número exato de dias durante os quais um capital C é colocado a juros simples, à taxa i, obtém-se o juro calculando n/, na fórmula () : J C. i. n/ ou J C. i. n/. O juro assim calculado, é chamado de juro simples exato. JURO SIMPLES COMERCIAL Adotando-se a convenção do ano comercial, deve-se computar o prazo de acordo com a mesma convenção, isto e, considerando-se cada mês como tendo 0 dias. Assim, por exemplo, de 7..Xl a..xl deve-se contar 98 dias, da seguinte maneira: De 7. a dias ( meses) De 7. a dias 98 dias Representando por n o número de dias de corridos entre as duas datas e, calculando pelo processo acima temos que, um capital C aplicado à taxa i durante esse prazo, é obtido calculando n/0 na fórmula (), resultando em J C. i. n/0 () Denominaremos o juro, assim calculado, de juro simples ordinário ou usual. futuro, como soma do capital e juros: M C + C. i. n/00 Exemplo - Calcular o juro que rende um capital de $0.000 aplicado por um ano à taxa de juros de 0% a.a. Resolução: Utilizando a fórmula (), temos: x0x J $ b) FORMA UNITÀRIA Agora a taxa refere-se à unidade do capital, isto é, calcula-se o que rende a aplicação de uma unidade de capital no intervalo de tempo a uma dada taxa. Exemplo - Se tivermos uma taxa de 0,% a.a., então a a- plicação de $,00 por ano, gera um juro de $0,. Exemplo - No exemplo, com a taxa na forma unitária (0,0% a.a.). Resolução: J x 0,0 x J $.000,00 Pode-se observar que para transformar a forma percentual em unitária, basta dividir a taxa expressa na forma percentual por 00. E, o inverso, transformar a forma unitária em percentual, basta apenas multiplicar a forma unitária por 00. Como há tabelas que fornecem diretamente o número exato de dias decorridos entre duas datas, na prática bancária, onde as operações, raramente, são realiza das a prazo superior a 0 dias, usa-se, freqüentemente, a fórmula (), tomando-se, contudo, para n, o número exato de dias. Fórmulas Derivadas Considerando a fórmula básica () para o cálculo do juro em regime simples de capitalização, podemos, por simples transformação algébrica, encontrar o quarto termo ou valor da fórmula, desde que sejam dados os outros três, assim: a) Para calcular o capital inicial: C J / i. n b) Para calcular a taxa de juros: i J/C. n c) Para calcular o prazo: n J/C. i OBSERVAÇÕES: Supõe-se que o juro e o principal são devidos apenas no fim do prazo de aplicação, a não ser que haja mudança de convenção. O prazo de aplicação (n) deve estar expresso na mesma u- nidade de tempo, na fórmula, a que se refere a taxa (i) considerada. Exemplo - Caso uma aplicação seja por anos mas, a taxa de juros seja expressa em semestre, devemos converter o prazo para semestres.. Taxa Percentual e Taxa Unitária FORMA PERCENTUAL - Neste caso, a taxa diz-se aplicada a centos do capital, ou seja, ao que se obtém após dividir-se o capital por 00. A fórmula () tomaria, então, as seguintes formas: J C. i/00.n ou J C/00. i. n ou J C. i. n/00 ou o que é o mesmo que: J C. i. n/00 () a partir da qual chega-se à expressão do montante ou valor OBSERVAÇÃO: A fim de diferenciar, simbolicamente, a taxa de juro percentual da taxa de juro decimal ou unitária, podemos convencionar que: A notação r signifique a taxa de juros efetiva em cada período de capitalização, dada em porcentagem, e sempre mencionando a unidade de tempo considerada. Exemplo: r % ao ano. A notação i signifique a taxa de juros efetiva em cada período, dada em fração decimal. Exemplo: i r/00 0, a.a. A taxa i será usada no desenvolvimento de todas as fórmulas, enquanto, r será usada na fixação os juros.. Taxa Nominal e Taxa Efetiva Por definição, a taxa nominal é aquela cujo período de capitalização não coincide com aquele a que ela se refere, ou seja, é aquela em que a unidade de referência de seu tempo não coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização. A taxa nominal, normalmente, é dada em termos anuais, e os períodos de capitalização podem ser diários, mensais, trimestrais, ou semestrais. Exemplo - São exemplos de taxas nominais: a) % a.a. capitalizados trimestralmente; b) 0% a.a. capitalizados mensalmente; c) 8% a.a. capitalizados semestralmente. No mercado financeiro, encontramos a taxa nominal sendo muito utilizada como referência, mas não sendo usada nos cálculos, por não representar uma taxa efetiva. Esta, por estar embutida na taxa nominal, é a taxa que realmente interessa, pois ela é que será efetivamente aplicada em cada período de capitalização. Exemplo - Aproveitando os mesmos dados do Exemplo vamos demonstrar como se calcula as taxas efetivas decorrentes das taxas nominais: 8

39 % a.a., capitalizados trimestralmente, significa uma taxa efetiva de: % a.a./ trimestres,% a.t. 0% a.a., capitalizados mensalmente, significa uma taxa efetiva de: 0% a.a./ meses, a.m. 8% a.a., capitalizados semestralmente, significa uma taxa efetiva de: 8% a.a./ semestres 9% a.s.. Taxas Equivalentes Pelo regime de juros simples, duas taxas são consideradas equivalentes quando, ao serem aplicadas a um mesmo capital inicial, durante um mesmo prazo, ambas gerarem o mesmo montante acumulado no final daquele prazo. Exemplo - Seja um capital inicial de $0.000,00 que pode ser aplicado, alternativamente, à taxa de % a.m. ou de % a.a. Uma vez encontradas as taxas efetivas, devemos abandonar as taxas nominais e efetuar todos os cálculos com as taxas efetivas correspondentes, ou seja,,% a.t.,,% a.m. e 9% a.s. Devemos ter em mente que a obtenção da taxa efetiva contida na taxa nominal é feita no regime de juros simples, e que, neste regime, as taxas nominais serão sempre taxas efetivas. Ainda, por convenção, a taxa efetiva, que é aquela a ser considerada na aplicação de fórmulas, correspondente a uma dada taxa nominal é a taxa que, relativa ao período de capitalização mencionado, lhe seja proporcional. Concluíndo, podemos definir taxa efetiva ou real como sendo aquela em que a unidade de referência de seu tempo coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização. Considerando o exemplo, dizemos,% a,t., simplesmente, ao invés de dizermos,,% a.t., capitalizados trimestraimente.. Taxas Proporcionais Pelo regime de juros simples, duas ou mais taxas de juros são consideradas proporcionais quando, ao serem aplicadas a um mesmo capital inicial, durante um mesmo prazo, produzirem um mesmo montante acumulado, ao final daquele período. Donde se conclui que, o conceito de taxas proporcionais, está estritamente vinculado ao regime de juros simples. Exemplo - Calcular o montante acumulado (VF), no final de três anos, considerando um capital inicial (VP) de $.000,00, pelo regime de juros simples, para cada uma das seguintes taxas de juros: a) % ano ano; b) 8% ao semestre; c) 9% ao trimestre; d) % ao mês; e, e ) 0,% ao dia. Resolução: Utilizando a fórmula VF VP ( + i. n) a) VP $.000,00; i a 0,; n anos; VF? VF.000 ( + 0, x ).000( +,08) VF.000 (,08).080 b) VP $.000; i s 0,8; n semestres; VF VF.000( + 0,8 x ).000( +,08) VF.000(,08).080 c) VP $.000,00; i t 0,09; n trimestres; VF? VF.000( + 0,09 x ).000(+,08) VF.000(,08).080 d) VP $.000,00; i m 0,0; n meses; VF? VF.000( + 0,0 x ).000(+,08) VF.000(,08).080 e) VP $.000,00;i d 0,00; n.080 dias VF.000( + 0,00 x.080) VF.000( +,08) -.000(,08).080 Podemos concluir que, as taxas % a.a.;8%a.s.; 9% a.t.; % a.m.; e, 0,% a.d., são proporcionais, porque aplicadas sobre um mesmo capital inicial e um mesmo prazo total, resultaram em um mesmo montante acumulado. Se considerarmos o ano comercial, ou seja, o ano com 0 dias, as fórmulas, a seguir, conduzem ao cálculo dessas taxas proporcionais: ia is it im id 0 Considerando um prazo de aplicação de anos, certificar se as taxas são equivalentes. Resolução: Utilizando a fórmula VF VP ( + i. n), temos: a) VP $ 0.000; i a 0, ao ano; n anos; VF? VF 0.000( + 0, x ) 0.000(,08) VF.00 b) VP $0.000,00; i m 0,0 ao mês; n meses; VF? VF 0.000( + 0,0 x ) 0.000(,08) VF.00 Através desse exemplo, certificamos que, o montante acumulado (VF) é igual nas duas hipóteses e, dessa maneira, constatamos que a taxa de % a.m. é equivalente à taxa de % a.a. Podemos, então, concluir que, pelo regime de juros simples, as taxas proporcionais de juros são igualmente equivalentes, e que tanto faz, falarmos que duas taxas de juros são proporcionais ou são equivalentes.. Prazo, Taxa e Capital Médios Quando os prazos de diversos capitais não são os mesmos e as taxas de juros diferem entre si, recorremos ao expediente de calcular a média para cada caso. Vamos utilizar exemplos ilustrativos como a forma mais objetiva de expor os conceitos: PRAZO MÉDIO DE VENCIMENTO DE DIVERSOS CAPITAIS CASO - TAXAS IGUAIS Pode-se determinar o prazo médio de vencimento de diversos capitais empregados a tempos diferentes. O critério é considerar os capitais como pesos. A fórmula será, pois, chamando n, n, n :. os tempos dados, supostas as taxas iguais: Prazo médio (PMe) C n + C n + C n +... C + C + C +... Exemplo: O Sr. Elesbão deve a um terceiro, os seguintes capitais a 0% a.a.; $.000 a dias; $.000 a 0 dias e $.000 a 0 dias. Quando poderá pagar tudo de uma só vez, de modo que desta unificação de vencimentos não advenha prejuízo nem para o devedor nem para o credor? Resolução: Aplicando a fórmula acima, temos:. 000x x x0 PMe ( ) ( ) ( ) PMe , dias Ao fim deste prazo, a contar da data da operação, pode ser feito o pagamento integral dos capitais devidos, disso não resultando, prejuízo algum, nem para o devedor nem para o credor. CASO - TAXAS DIFERENTES 9

40 Quando isto acontece, o critério a adotar-se é o mesmo do caso dos, tempos diferentes para a taxa média, escrevendo-se Cin + Cin + Cin +... PMe C i + C i + C i +... funcionando agora, como pesos, os produtos dos capitais pelas respectivas taxas. Exemplo: Calcular o prazo médio de vencimento, para pagamento de uma só vez dos seguintes capitais: $ por meses a % a.a. e $ por meses a % a.a. Resolução: utilizando a fórmula acima, temos: ( )( ) + ( )( ) PMe PMe ( )( ) ( )( ), do ano ou meses e 9 dias. OBSERVAÇÃO: Quando os capitais forem iguais, deve-se tomar, como pesos, as taxas dadas, vindo pois: i n i n i n PMe i + i + i +... b) JUROS DE DIVERSOS CAPITAIS CASO - TAXA ÚNICA Quando vários capitais são empregados em tempos diferentes e todos a uma só taxa, o total dos juros produzidos é dado, a partir da fórmula: J C. i. n, pela soma; dividindo a soma dos produtos pela soma dos capitais, obtémse: ( 00. x0, 0) + (. 000x0, ) TMe 0, ou seja, na base percentual,,% OBSERVAÇÃO: Se os capitais fossem iguais, a solução do problema recairia sobre o princípio da média aritmética simples, bastando que se calculasse a média das taxas. CASO - TEMPOS DIFERENTES O método a ser adotado é o da média ponderada, porém, funcionando como pesos, os produtos dos capitais pelos respectivos tempos. Temos assim: C i n C i n C i n TMe Cn + Cn + Cn... Exemplo: Sinfrônio e sua noiva contraíram as seguintes dívidas para poderem realizar o casamento deles: $.000 a % a.a. por meses; $.000 a 8% a.a. por meses; e, $0.000 a 0% a.a. por mês. Calcular a taxa média anual. Resolução: Utilizando a fórmula anterior, temos: x x + x x x x , , , Tme x + x x , TMe 0, 09 ou 9, a.a.., Juros Totais C in + C in + C in +... na qual i é a taxa única, C, C, C... os capitais dados e n, n, n... os tempos correspondentes. Exemplo: A Sra. Pancrácia da Silva deve os seguintes capitais, a % a.a.; $.00 em 0 d; $.000 em 90 d; $.00 em 0 d. Calcular o total dos juros devidos. Resolução: Exprimindo-se os tempos em frações do ano comercial, temse, de acordo com a fórmula acima: JT 0,[(.00x0/0)+(.000x90/0)+ (.00x0/0)] JT $,00 c) TAXA MÉDIA É a operação que tem por objetivo determinar uma taxa de juros capaz de substituir várias outras relativas a capitais empregados. É uma aplicação da média ponderada. CASO - TEMPOS IGUAIS Para a dedução da fórmula, consideremos os capitais C, C, C,...colocados respectivamente, às taxas i, i, i,...anuais e todos pelo mesmo prazo. Tomando-se os capitas como pesos, pode-se escrever: C i C i C i Taxa Média TMe C + C + C... Exemplo: Um comerciante deve os seguintes capitais: $.00 a 0% a.a.; e, $.000 a % a.a. Calcular a taxa média de juros anuais. Resolução: Multiplicando-se os capitais pelas respectivas taxas e 7. Equivalência de Capitais A necessidade de antecipar ou de prorrogar títulos nas operações financeiras, é muito frequente. Às vezes, precisamos substituir um título por outro ou um título por vários. Podemos, também, ter vários títulos que precisamos substituir por um único. Tais situações dizem respeito, geralmente, à equivalência de valores distintos relacionadas com datas distintas. Dois capitais são equivalentes numa certa época, se, nessa época seus valores presentes são iguais. O problema de equivalência de capitais diferidos aplica-se quando existe a substituição de um título por outro(s), com data(s) diferente ( s ). Seja VN o valor nominal de um título para n dias. O problema consiste em encontrar um valor VN' de um outro título, equivalente ao primeiro, com vencimento para n' dias. VN n D Obs.: VN VF valor do Resgate do Título Seja VP o valor presente do.º título e VP' o do.º; temos: VF n VP VF Como VP VP', vem: e VP VF VF ' ' ' n ' VF n VF ( ) ( ) VF VF n VF' n' VF n VF' n' VF' VF VF ' ' n ' VF( n) n Exemplo - Um Comerciante deseja trocar um título de $0.000, vencível em meses, por outro com vencimento de meses. Considerando a taxa de juros contratada de % a.m. para esta transação, calcular o valor nominal do novo titulo. 0

41 Resolução: VF 0.000; n 90 dias; n' 0 dias; Utilizando a fórmula anterior, temos: ( ) VF' $0. 70, O valor nominal do.º título ($0.70,80) é equivalente ao valor nominal do.º ($0.000). 8. Montante O montante composto é o resultado que se obtém ao incrementar o capital inicial com o valor dos juros compostos. Se se dispõe de um capital C e aplica-se em um banco e deseja-se saber o montante M do qual se disporá ao final de um período n, basta apenas agregar-lhe o juros J ganho. Assim: M C + J, porém J C. i. t, quando t, J C. i, assim M C + C. i que fatorando: M C ( + i) Como pode-se ver, o montante de um capital ao final de um período se obtém multiplicando este pelo fator ( + i ). Desta maneira, ao final do segundo período, temos: M C ( + i ) ( + i ) C ( + i ) Ao final do terceiro período, temos: M C ( + i ) ( + i ) C ( + i ) e assim sucessivamente. Esta sucessão de montantes forma uma progressão geométrica cujo n-ésimo termo é igual a: M C ( + i ) n Esta equação é conhecida como a fórmula do montante pelo regime de juros compostos. Exemplo - Um investidor aplica a prazo fixo, em um banco, a quantia de $00.000,00 à taxa de 8,0% a.a. capitalizável mensalmente. Qual será o montante acumulado em anos? Resolução: M C ( + i ) n Como já observamos, o período de cálculo deve ser o mesmo para i e para n. Assim, para calcular a taxa de juros mensal, divide-se a taxa anual entre a frequência de conversão: taxa de juros anual i frequencia de conversao 8 0,0 ou i,0 % a. m. Para determinar n, multiplica-se o lapso em anos pela frequência de conversão: n () assim M ( + 0,0 ) ou M ( FVFPU ) Fator de Valor Futuro de Pagamento Único (FVFPU ) FVFPU ( + 0,0) Neste momento surge a pergunta: como calcular? Existem quatro alternativas : Utilizar papel e lápis e realizar a operação vezes. Resolver a equação utilizando logaritmos. Utilizar de tabelas financeiras existentes nos livros de finanças. Empregar calculadoras financeiras. Este é o meio mais prático. FVFPU (, 0), M (, ).8.0 Em dois anos, a aplicação de $ transformar-se-á em um montante de $.8.0,00 pela geração de um juro composto de $78.0,00. Exemplo - Um indivíduo obtém um empréstimo bancário de $ a ser pago dentro de um ano e com juros de,0% conversível trimestralmente. Qual é o montante que deverá ser liquidado? Resolução: Primeiramente, determina-se a taxa de juros por período de conversão:./. n / M C ( + i ) n (, ) M (,0 )..70 A quantia a ser liquidada será de Valor Atual, Valor Presente ou Principal O valor atual, presente ou principal de um pagamento simples, ou único, é o valor de um mon tante a ser pago ou recebido daqui a n anos, descontado a uma taxa que determine o seu valor hoje, no momento zero. Para calcula-lo, vamos utilizar a fórmula do montante ou valor futuro: M C ( + i ) n Como C indica o capital no momento zero, temos: M n C M ( + i ) M M ( FVAPU ) n ( + i n ) ( + i ) FVAPU Fator de Valor Atual de Pagamento Único Generalizando, podemos dizer que conhecendo das variáveis envolvidas: M, C, n, i, podemos calcular a quarta. Exemplo Quanto se deve depositar em um banco se desejar obter um montante de $ dentro de anos a uma taxa de juros de 0,0% a.a., capitalizável semestralmente? Resolução: Pela fórmula: M C ( + i ) n, temos: M ; 0.0% a.s.; n semestres Calculando o FVAPU /(,0) /,77 C / (,0) /,77 C.8.07, Deve-se depositar $.8,07, Exemplo - José Elesbão deseja adquirir uma casa pelo valor de $ ,00. O vendedor pediu-lhe 0,0% de entrada e 0,0% em um ano e meio, quando do término da construção da casa e entrega do imóvel. Quanto Elesbão deve depositar num banco hoje para poder garantir a liquidação de sua dívida, se a taxa de juros vigente é de 7,0% a.m.? Resolução: José Elesbão paga neste momento $ ,00 (0.0% na operação e, deve pagar outro tanto daqui a 8 meses). Para calcular a quantidade de dinheiro que deve depositar hoje, vamos a fórmula do valor atual : M C ( + i ) n ,7 8 (,07 ),799 i

42 A fim de garantir o pagamento de sua dívida, Elesbão deve depositar $.8.979,7 já para ter os $ ,00 restantes daqui a um ano e meio. Como se pode ver nestes exemplos, C é o valor presente, atual ou principal de M. Isto é, pode-se considerar que o capital C e o montante M são dois valores equivalentes de uma determinada taxa de juros i e um período determinado n. Exemplo - A Cia de Modas Messeder, planeja realizar um investimento de $ ,00 para produzir um artigo de moda do qual espera uma receita total de $ dentro de dois anos. Considerando uma inflação média anual de 0,0%, e que os juros real i, seja igual a.0% a.a., convém à C.M.M, investir? Resolução: Comparam-se os $ ,00 que se devem investir no momento zero com $ ,00 que se espera receber em anos. Para fazer essa comparação, é necessário que ambas as quantidades de dinheiro sejam equivalentes. Em primeiro lugar, devemos calcular a taxa nominal de juros: i taxa nominal; r taxa real de juros; d taxa de inflação. i ( + r ) ( i + d ) - i (,0 ) (,0 ) - 0,7 ou 7,% a.a. C M (,7 ),80 C.0.,8 Conforme apuramos, $.0.,8 é maior que $ ,00. Portanto, a C.M.M, deve investir, por que além de descontar a inflação de 0,0% a.a., a empresa será remunerada à taxa de,0% a.a., que é a taxa de mercado e, ainda vão sobrar $.,8 Exemplo - Uma companhia de mineração descobriu uma jazida de manganês e deve decidir sobre a conveniência ou não de sua exploração. A fim de poder beneficiar o mineral, é necessário realizar uma inversão de $ ,00 Seus analistas financeiros estimam que a jazida tem minério suficiente para anos de exploração e, de acordo com os preços vigentes do metal, as entradas de caixa seriam os seguintes: Ano $ ,00; Ano $ ,00; Ano $ ,00; Estimando que a taxa de inflação, em média, seja de 0.0% a.a. e que a taxa de juros real desejada pela empresa seja de 0,0% a.a., deve a companhia aprovar o projeto? Resolução: C $ ,00 Entradas de Caixa Ecx $ ,00 Ecx $ ,00 Ecx $ ,00 d 0,0% a. a. ; r 0,0% a.a.; i? i ( + d) ( + r) - (,) (,) - i, - 0,,0% a.a. Valor Presente das Entradas de Caixa VPECx ECx ECx VPECx VPECx ,* ,* n VPECx ( ( + n i + i ) ) (, ) (, ) ECx n ( + i ) (, ) * * (centavos arredondados) VPECx somatório das ECx descontadas VPECx + VPECx + VPECx VPECx , , VPECx , Observamos que, o total do valor presente das entradas de caixa ($70..80) é menor que o investimento inicial necessário para sua exploração ($ ,). Portanto, a companhia não deve explorar a jazida, a menos que o preço do metal se eleve e com ele, elevem-se as entradas de caixa. 9. Desconto Racional Composto É o desconto obtido pela diferença entre o VALOR NOMINAL e o VALOR PRESENTE de um compromisso que seja saldado n períodos antes do vencimento, calculando o valor presente à taxa de desconto. Sendo : N valor nominal ou montante do compromisso em sua data de vencimento. n número de períodos compreendido entre a data de desconto e a data de vencimento. i taxa de juros utilizada na operação. D r desconto racional composto V r valor descontado racional composto na data de desconto, calculado à taxa de desconto. Podemos reparar que, essa fórmula do valor descontado, é a mesma do valor presente calculado no regime de juros compostos, onde: V r C e N M O desconto é obtido pela diferença entre o valor nominal e o valor descontado: N D r N - V r N - N - n n ( + i ) ( + i ) Exemplo - Um título no valor de $00.000,00 foi saldado seis meses antes do vencimento. O possuidor do título obteve uma taxa de desconto de,0% a.m. Calcular o desconto racional e a quantia recebida. Resolução: N ; i,0% a.m.; n meses Utilizando a fórmula, temos: D r N n ( + i) (,0 ) D r ,8879, D r [ 0, ].0 E a quantia recebida: V r N D r Observe que, se aplicarmos o valor descontado (V r) por meses à taxa de juros compostos de,0% a.m., obteremos: N C ; V r C 0 C C 0 ( + i ) N (,0) (, ) E os juros devidos são dados por: [ ]

43 J C C J D 0 r Fica evidenciado que o desconto racional composto é igual ao juro devido no período de antecipação, desde que seja calculado à taxa de desconto. Exemplo - Um título de valor nominal de $ 0.000,00 foi resgatado meses antes do seu vencimento, à taxa de,0% a.m. Calcule o desconto racional concedido. Resolução: Para simplificar a notação, passaremos a indicar: + i n por ( + i )-n, assim a fórmula fica: ( ) 8,.00 [ - (,0) ] -n 8, n n - (,0 ) 0,88 - (,0 ). 00 n 0, 88 (,0 ) 0,87 0 ( ), n n,0 0,87,7 (,0 ) n As opções para encontrar n são três: utilizar uma máquina calculadora de boa qualidade; procurar em tabelas financeiras para i,%; e empregar logaritmos. Vamos utilizar a opção prática de demonstrar os cálculos, que é através de logaritmos: log,7 n log,0 D r N [ - ( + i) -n ] N 0.000;.0% a.m.; n meses; D r? D r [- (,0) ] ( -0,87 ) D r (0,77).9 Exemplo - A Financeira Desconta Tudo informou, ao descontar uma Nota Promissória no valor de $0.000,00 que, sua taxa de desconto racional era de,0% a.a.. Se o desconto fosse realizado meses antes do vencimento, qual se ria o valor do resgate (valor líquido) a ser recebido pelo possuidor do título? Resolução: N 0.000; i.0% a.a.; n meses; V r? V r N (+ ) -n [ (, ) / ] - V r [,09 ] [ 0,9 ] V r $ 9.,8 Exemplo - O Sr. Leôncio Armando, numa operação de desconto recebeu $ 0.000,00 como valor de resgate. Sabendo-se que a antecipação fora de meses e o desconto de $.0,7, calcule a taxa de juros anual utilizada na operação. Resolução: V r 0.000; D r.0,7; n meses; i? Vendo V r N - D r deduzimos que, N V r + D r N ,7.0,7 Utilizando a fórmula, vem: V r N ( i + ) -n ou N V r ( i + ) n Substituindo os termos, temos: ,7 (+i) - / (considerando-se i anual) ( + i ).0,7 ( ) 0.000,00 i +,07 ( + i ) (,07 ) + i,0 i 0,0 ou 0,0 % a. a. Exemplo - O Sr. Cristiano José descontou um título no valor nominal de $.00,00 e o desconto concedido foi de $8,. Considerando que a taxa de juros de mercado era de,%a.m. Calcular o prazo de antecipação. Resolução: N.00; D r 8,; i,% a,m.; n? Utilizando a fórmula: D r N [ - ( + i) -n ], temos: procurando na tabela de logaritmos, encontramos: ( ) 0, 097 n 0,9 n 0,097 0, 09 meses Exemplo - Caso a antecipação seja de 8 meses, o valor de um compromisso é de vezes o desconto racional. Qual é o seu valor nominal, sabendo-se que o valor líquido (valor de resgate) é de $.70,00? Resolução: V r.70; n 8; N D r Sendo N D r, temos: N / D r D r / N / 0,0 Utilizando a fórmula D r N [ - ( i + ) -n ], vem: Dr N n - ( + i ) 8 0, 0 ( + i ) 8 8-0,0 ( + i ) 0,80 ( + i ) 0, 80 ( + i ), ( + i ) i 0,088 ou i,8 a. m. 8 8 substituindo a taxa encontrada na fórmula: N V r ( + i ) n, vem: N.70 (,088) 8 N.70 (, ) N $,7 TAXAS TAXA DO JURO E TAXA DO DESCONTO Se, por exemplo, o capital de 00 unidades monetárias for emprestado a uma taxa de % ao mês, por meses, o montante será de 0, se, entretanto, o credor do título recebido pelo em préstimo o descontar imediatamente, à mesma taxa, o valor atual do título será igual a 99 unidades monetárias, conforme os cálculos abaixo. C n C ( + i. n ) C 00 ( + 0,0 x ) 0 A N ( - i. n ) A 0 ( - 0,0 x ) 99 Através desse exemplo, verifica-se que o capital emprestado e o valor atual do título recebido como garantia não são iguais, pois uma pessoa está emprestando 00 e recebendo em troca um título que vale 99. Isso ocorre porque as taxas do juro e do desconto são iguais, mas calculadas sobre valores diferentes - o juro é calculado sobre o capital inicial (00) e o desconto, sobre o valor nominal do título (0). Obviamente, o desconto é maior do que o juro quando emprega a mesma taxa para esse tipo de operação. Para que haja igualdade entre o capital emprestado e o valor atual do título é necessário que a taxa do juro seja maior que a taxa do desconto. Pode-se então estabelecer uma relação de e

44 correspondência entre a taxa do juro e a taxa do desconto comercial que satisfaça essa condição. TAXAS PROPORCIONAIS Quando entre duas taxas existe a mesma relação dos períodos de tempo a que se referem, elas são proporcionais. TAXAS EQUIVALENTES Duas taxas são equivalentes quando, referindo-se a períodos de tempo diferentes, fazem com que um capital produza o mesmo montante, em mesmo intervalo de tempo. Por exemplo, a taxa de,9% ao mês é equivalente à taxa de 8% ao ano, pois um capital colocado a,9% ao mês produz o mesmo montante que produz quando colocado a 8% ao ano. TAXA NOMINAL E TAXA EFETIVA Quando uma taxa de juros anual é paga em parcelas proporcionais, os juros obtidos no fim de um ano são maiores do que a taxa oferecida. TAXA INSTANTÂNEA A taxa anual cujos juros são capitalizados continuamente é denominada taxa instantânea. TAXA DE ATRATIVIDADE A taxa de atratividade de um investimento é a taxa mínima de juros por que convém o investidor optar em determinado projeto de investimento. Corresponde, na prática, à taxa oferecida pelo mercado para uma aplicação de capital, como a caderneta de poupança. Open market, depósitos a prazo fixo etc. Assim, se um investimento propiciar uma rentabilidade abaixo do rendimento dessas formas de aplicação de capital, ele não será atrativo ao investidor. MÉTODO DA TAXA DE RETORNO A taxa de retorno de um investimento é a taxa de juros que anula a diferença entre os valores atuais das receitas e das despesas de seu fluxo de caixa. Numa análise de investimentos, a escolha recai na alternativa de maior taxa de retorno. Uma alternativa de investimento é considerada, vantajosa quando a taxa de retorno é maior que a taxa mínima de atratividade. TAXA DE DESCONTO REAL E BANCÁRIO Comparando os fatores de atualização de um capital: ( + i ) n e ( i ) n com os descontos real e bancário, verifica-se que, para um determinado valor de i e de n, a expressão (i + ) n é maior que ( i - ) n, e, portanto, o desconto real é menor que o bancário. Para que os descontos real e bancário de um título para n períodos sejam i- guais é necessário que as taxas sejam diferentes (taxa do desconto real maior que a taxa do desconto bancário). RENDAS EM MATEMÁTICA FINANCEIRA Renda, também conhecida como anuidade, é todo valor utilizado sucessivamente para compor um capital ou pagar uma dívida. As rendas são um dos principais conceitos que baseiam os financiamentos ou empréstimos. Nessas rendas são realizadas uma série de pagamentos (parcelas ou termos) para arrecadar um fundo de poupança, pagar dívidas, financiar imóveis, etc. No caso da poupança, para acumularmos determinado valor, realizamos vários pagamentos que geram um montante ao final, chamado de montante equivalente da renda. Já no pagamento de uma dívida, os débitos são feitos posteriormente, ou seja, as prestações são pagas ao credor com períodos e parcelas determinadas. Um exemplo, é o pagamento de uma aluguel. Esse pagamento de dívidas é chamado de amortização. Existem diversos tipos de sistemas de amortização, são eles: Sistema de Amortização Francês, Sistema de Amortização Constante (SAC), Sistema de Amortização Alemão, etc., sendo que cada um têm sua particularidade. Dentro da renda, são trabalhados os seguintes conceitos: Número de prestações ou termos de renda: quantidade de pagamentos ou recebimentos feitos; Valores dos termos de renda: valor de cada termo da renda; Período de Vencimento: data de vencimento ou pagamento dos termos da renda. As rendas de acordo com as formas de pagamento podem ser divididas em: Rendas Certas As rendas certas, também chamadas de séries periódicas uniformes, são aquelas em que todos os elementos já estão pré-determinados e podem ser classificados de acordo com o tempo, a variação dos elementos, o valor, o período do vencimento, etc, que por sua vez podem ser divididas em: Rendas Postecipadas: Rendas em que o pagamento é feito apenas ao final de cada período. Ex.: faturas de cartão de crédito, empréstimos e financiamentos, etc. Rendas Antecipadas: Rendas em que há a exigência do pagamento ser feito no início de cada período. Ex.: financiamentos pagos à vista. Rendas Diferidas: O período de pagamento está num prazo entre o início da compra do período de pagamento da primeira parcela. Ex.: Essas séries são utilizadas em promoções de Compre hoje e comece a pagar em tal dia. Rendas Aleatórias As rendas aleatórias são utilizadas quando alguns de seus elementos não podem ser previamente determinados. Ex.: o seguro de vida, com relação ao valor do seguro (de acordo com a causa da morte) e a data do recebimento (data da morte) que não podem ser determinados durante o fechamento do contrato. Classificação das rendas Como foi dito, as rendas são uma sucessão de pagamentos ou depósitos em determinado período e tempo. Mas, ainda de acordo com cada tipo de elemento que estiver determinado no contrato, elas podem ser classificadas de formas diferentes. Veja: Rendas Temporárias: quando os pagamentos possuem um prazo para acabar. Rendas Perpétuas: quando os pagamentos são infinitos. Rendas Fixas ou Uniformes: quando os pagamentos são iguais. Rendas Variáveis: quando os pagamentos mudam. Rendas Constantes: quando os termos são constantes. Ex.: Prestações. Rendas Variáveis: quando as rendas são variáveis. Ex.: Depósitos crescentes na poupança. Rendas Imediatas: quando o primeiro pagamento é feito no primeiro período (mês) da série. PLANOS DE AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMO E FINANCIAMENTO. INTRODUÇÃO Os empréstimos de grandes quantias por parte das financeiras para

45 compra de imóveis vêm, em geral, acompanhados de prazos dilatados para o pagamento. São os empréstimos a longo prazo. No caso deste tipo de empréstimo é importante estudarmos as maneiras mais comuns de quitação da dívida. São os chamados sistemas de amortização. Trataremos aqui dos sistemas em que a taxa de juros é constante e calculada sempre sobre o saldo devedor. Juros 0,0. 8 9,78 7, Amortização 7, - 7, 099,8 Saldo devedor 8 9,78-099,8 7 8,0 Teremos, então, ao final do segundo período a seguinte situação: Período Saldo Devedor Amortização Juros Prestação O que difere um sistema de amortização do outro é, basicamente, a maneira como são obtidas as parcelas. Elas podem ser constantes, variáveis ou até únicas, sendo compostas sempre por duas partes: juros e amortização propriamente dita.. SISTEMA FRANCÊS DE AMORTIZAÇÃO Nesse sistema, as prestações são sempre fixas. O que varia é a sua composição, ou seja, variam a parte correspondente aos juros e a parte correspondente à amortização da dívida inicial. Normalmente, os juros vão diminuindo à medida que os períodos vão decorrendo, ao inverso da amortização, que vai aumentando, Vejamos, por exemplo, como poderiam ser algumas parcelas de um financiamento desse tipo ; Parcela Juros Amortização Prestação 0.ª.ª.ª 79,00 8,00 8,0 09,0 9,0,80 8,0 8,0 8,0 Observe que a prestação fixa é obtida adicionando-se juros e amortização, que variam na ordem inversa. Ou seja, os juros vão diminuindo e a amortização vai aumentando. Este sistema pode ser também acompanhado de prazo de carência. Nesse caso, os juros podem ser pagos durante o prazo de carência ou capitalizados no saldo devedor... Sistema Francês sem Prazo de Carência Consideremos, como exemplo, um empréstimo de $ 0.000,00 a ser pago, sem carência, em 8 parcelas à base de % a.m. de juros. A parcela constante nesse caso pode ser obtida através da fórmula: M C a n i 000 C C 7, a 8 Que parte corresponde aos juros? Que parte amortiza a dívida? Incidindo a taxa de % sobre o saldo devedor inicial, teremos: Juros 0,0 X A parte referente aos juros na primeira prestação será de $ 00,00. Como a prestação total é de $ 7, o valor que amortiza a dívida é: Amortização 7, - 00,00 Amortização 07, O saldo devedor passa agora a ser : Saldo 0.000,00-07, Saldo 8 9,78 Ao final do primeiro período, teremos então o seguinte: Período Saldo Devedor Amortização Juros Prestação 8.9,78.07, 00,00.7, O processo se repete agora para o segundo período : 7.8,0.099,8 77,.7, Repetindo o processo até a quitação total da dívida, obteremos um plano completo, apresentado na tabela que segue: Período Saldo Devedor Amortização Juros Prestação , ,78.07, 00,00.7, 7.8,0.099,8 7,.7,.98,., 9,.7,.8,.,9,9.7,.,.7,90 7,.7,.87,90., 0,7.7, 7.7,.0,7,8.7, 8 -.7, 7,.7, TOTAL 0.000,00.77,7.77,7 Podemos observar pela linha total, salvo aproximação, que : Amortização + Juros Total das prestações.. Sistema Francês com prazo de carência e pagamento dos juros Neste caso, é dado ao credor um prazo durante o qual ele pagará apenas os juros da dívida, sem, no entanto, amortizá-la durante essa carência. Tomemos o exemplo de um financiamento de $ 0.000,00 a % a.m. durante 8 meses, com carência de meses. Os juros sobre o saldo devedor inicial serão de : Juros 0.000,00. 0,0 00 Este valor será pago nos três primeiros períodos. Desse modo, ficaremos com o seguinte esquema: Período Saldo Devedor Amortização Juros Prestação , ,00-00,00 00, ,00-00,00 00,00 A partir do mês seguinte, inicia-se a amortização. A prestação fixa será dada agora por : C M an i c C 7., a 8 Os juros e as amortizações serão, daqui para a frente, calculados do mesmo modo que o já mostrado no caso sem carência. O plano completo será, então, o seguinte: Período Saldo Devedor Amortização Juros Prestação ,

46 0.000,00-00,00 00, ,00-00,00 00,00 8.9,78.07, 00,00.7, 7.8,0.099,8 7,.7,.98,., 9,.7,.8,.,9,9.7, 7.,.7,90 7,.7, 8.87,90., 0,7.7, 9.7,.0,7,8.7, 0 -.7, 7, 7, TOTAL 0.000,00.77,7.77,7.. Sistema Francês com Carência e Capitalização de Juros Neste caso, durante o período de carência, o devedor não paga os juros da dívida, que são capitalizados no saldo devedor. Vamos considerar o mesmo exemplo do financiamento de $ 0.000,00, em 8 parcelas mensais, carência de meses, taxa mensal de juros de % e capitalização dos juros no saldo devedor. Os três primeiros períodos podem ser observados no quadro abaixo: Período Saldo Devedor Amortização Juros Prestação , , , Perceba que ao saldo devedor foram sendo acrescentados os juros não pagos. A partir do período seguinte começam a ser cobradas as parcelas referentes à amortização e aos juros. Da soma dessas parcelas resultará a prestação que, agora, deverá ser calculada a partir do saldo devedor atual ($ 0,00). C M C 0. C 70., 8 a a n i 8 Os juros de % no primeiro período serão calculados sobre $ 0,00. Juros.0. 0,0, Amortização Prestação - Juros Amortização 70,8 -,., Saldo devedor Saldo devedor anterior - Amortização Saldo devedor.0,00., 9.870, O esquema, agora, fica assim: Período Saldo Devedor Amortização Juros Prestação , , , ,.,,.70,8 Para o próximo período, os juros de % serão calculados sobre o saldo devedor de $ 9.870,. Juros 9 870,. 0,0 9, Amortização 70,8-9,,9 Saldo devedor 9 870, -,9 8 8, O plano completo de amortização nesse caso ficará: Período Saldo Devedor Amortização Juros Prestação , , , ,.,,.70,8 8.8,.,9 9,.70,8 7.8,.7,90,9.70,8.08,70., 9,.70,8 7.,.0,7 0,.70,8 8.7,79.7,,7.70,8 9.,7.7, 8,9.70,8 - TOTAL.0,00.,7.,8 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (SAC) OU SISTEMA HAMBURGUÊS Nesse caso, as prestações são variáveis, a amortização é fixa e os juros, em geral, vão diminuindo à medida que os períodos vão decorrendo. SAC - Sem Prazo de Carência Vamos supor um financiamento de $.000,00 à taxa de % a.m., com um prazo de 8 meses. A parcela fixa da amortização é obtida dividindo o valor financiado ($.000,00) pelo número de prestações. No financiamento que tomamos como exemplo, o número de prestações é A parcela de juros vai variar em função do saldo devedor, tomado no período anterior. Vamos fazer os cálculos referentes à primeira parcela: Saldo devedor 000 Juros ,0 0 Amortização 0 Prestação Então, no final do período, teremos: Período Saldo Devedor Amortização Juros Prestação.70,00 0,00 0,00 0,00 Agora, vamos fazer os cálculos referentes à segunda parcela: Saldo devedor 70 Juros 70. 0,0,0 Amortização 0 Prestação 0 +,0 0,0 Então, no final do período teremos: Período Saldo Devedor Amortização Juros Prestação.00,00 0,00,0 0,0 Repetindo esse processo até a quitação total da dívida, teremos o seguinte plano: Período Saldo Devedor Amortização Juros Prestação 0.000, ,00 0,00 0,00 0,00.00,00 0,00,0 0,0.0,00 0,00,00 9,00

47 .000,00 0,00 7,0 87,0 70,00 0,00 0,00 80,00 00,00 0,00,0 7,0 7 0,00 0,00,00,00 8-0,00 7,0 7,0 TOTAL.000,00 70,00.70,00 Obs.: Os juros e as prestações são funções de.º grau: J 0,0. ( n) Nessa expressão, n é o período e J os juros. P J + 0 0,0. ( n) + 0 Nessa expressão, P é a prestação do período. SAC com Prazo de Carência e Pagamento de Juros Neste caso, durante o período de carência é feito apenas o pagamento dos juros, não havendo nenhuma amortização. Vejamos um exemplo : Consideremos um financiamento de $ 000,00, à taxa de 8% a.m., com um período de carência de meses. O plano de amortização fica como mostra a tabela: Período Saldo Devedor Amortização Juros Prestação 0.000, ,00-0,00 0,00.000,00-0,00 0,00.70,00 0,00 0,00 0,00.00,00 0,00,0 0,0.0,00 0,00,00 9,00.000,00 0,00 7,0 87,0 7 70,00 0,00 0,00 80, ,00 0,00, 7,0 9 0,00 0,00,00,00 0-0,00 7,0 7,0 TOTAL.000,00 90,00.90,00 SAC com Prazo de Carência e Juros Capitalizados no Saldo Neste caso, durante a carência, o devedor não paga absolutamente nada. Os juros desse período vão servir para aumentar o saldo devedor. Vejamos um exemplo : Para o financiamento de $.000,00, a % a.m., durante 8 meses e com período de carência de meses, podemos começar calculando o saldo capitalizado. Assim, depois de um período, temos: Saldo 000.,0 00 Depois de dois períodos, temos: Saldo 00.,0,80 Para calcular a parcela fixa de amortização é necessário dividir.,80 por 8.., 80 8, Daqui para a frente, o processo é o mesmo. A tabela com todo o plano fica assim: Período Saldo Devedor Amortização Juros Prestação 0.000, , , ,7,, 8,88.9,,,70 0,9.,, 7,7,97.00,88, 9,78 0,0 7 79,,,8 97,0 8 0,,,87 89,0 9,9,,9 8, 0 -,9 7,9 7, Total.,80 8,.08, Obs.: Comparando as tabelas dos planos de carência com pagamento ou não dos juros no período, você pode ver que usando o segundo sistema, paga-se mais. Isso ocorre porque o que deveria ser juros passa a ser principal. SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO MISTO (SAM) Este é um sistema mais moderno, que não apresenta nenhuma dificuldade teórica aos que já foram estudados, uma vez que ele é simplesmente a média aritmética entre o Sistema Francês de Amortização e o SAC. O gráfico ao lado compara a evolução das prestações nesses três sistemas. Suponha dois planos de financiamento de $ 0.000,00 em meses, à taxa de % a.m., primeiro pelo SAC e depois pelo Sistema Francês. SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (SAC) SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (SAC) Período Saldo Devedor Amortização Juros Prestação , ,00.000,00 00,00.00,00.000,00.000,00 00,00.00,00.000,00.000,00 00,00.00,00.000,00.000,00 00,00.00, ,00 00,00.00,00 TOTAL 0.000,00.00,00.00,00 SISTEMA FRANCÊS Período Saldo Devedor Amortização Juros Prestação , ,.809,7 00,00.09,7.90,0.900, 09,.09,7.9,7.99,,0.09,7.99,7.09,0,7.09,7 -.99,7 09,99.09, ,00.8,7.8,7 O mesmo plano calculado com base no SAM ficaria assim: SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO MISTA (SAM) 7

48 Período Saldo Devedor Amortização Juros Prestação , ,0.90,80 00,00.0,88.,08.90, 0,7.,88.7,.997, 07,.0,88.099,9.07, 07,7., ,9 0,00.0, ,00.,8.,0 Perceba tanto pelas prestações, como pelos juros ou pelo saldo devedor, que, em cada período, os valores no SAM são, com exceção da aproximação, a média aritmética entre o valor do SAC e o do Sistema Francês. CÁLCULO FINANCEIRO CUSTO REAL E EFETIVO DE OPERAÇÕES DE FINANCIAMENTO, EMPRÉSTIMO E INVESTIMENTO A Inflação e correção monetária A inflação caracteriza-se por aumentos persistentes e generalizados dos preços dos bens e serviços à disposição da sociedade; quando ocorre o fenômeno inverso, tem-se a deflação. Com o objetivo de minimizar ou mesmo neutralizar as distorções causadas pela inflação na economia, foi institucionalizado no Brasil o princípio da correção monetária. Através desse princípio, os valores monetários (preços de bens e serviços, salários, empréstimos, financiamentos, aplicações financeiras, impostos etc.) poderiam ser reajustados com base na inflação ocorrida no período anterior, medida por um índice de preços calculado por uma entidade credenciada, normalmente pela FGV (Fundação Getúlio Vargas) ou pelo IBGE (Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística). O que é um indexador lndexador, tal como usado pelo mercado financeiro, pode ser entendido como qualquer valor ou índice utilizado como parâmetro para atualizar o valor da unidade monetária, depreciado em função da elevação sistemática dos níveis gerais de preços. Construção de um indexador e sua utilização Para facilitar a compreensão do leitor, vamos tomar como exemplo o cálculo do valor do BTN, criado em fevereiro de 989 e extinto em fevereiro de 99. Esse indexador foi construído com base na variação mensal dos preços ao consumidor, calculado pelo IBGE. Para os cinco primeiros meses, de fevereiro até junho, essas variações foram, respectivamente, de,0%,,09%, 7,%, 9,9% e,8%. Seu valor inicial, na data de , foi fixado em NCzS,00 (um cruzado novo). Para a obtenção do valor do mês seguinte, adicionou-se a variação de,0% do mês de fevereiro, obtendo-se NCzS,00; o valor do BTN de abril foi obtido adicionando-se,09% ao valor do mês anterior e assim sucessivamente. Com esse procedimento, obtém-se os seguintes valores para os cinco primeiros meses de nosso exemplo, válidos para o primeiro dia de cada mês: Mês Fevereiro/89 Março Abril Maio Junho Variação mensal (%),0,09 7, 9,9,8 BTN,0000,00,099,79,9 O quadro mostra que o valor do BTN se constituía, na verdade, num índice de preços, como também se constituíam, no passado, a ORTN, a OTN e o fator acumulado da TR; atualmente, temos como exemplos a UFIR, a UPF (Unidade Padrão de Financiamento) e as Unidades Fiscais 8 dos estados e municípios. A utilização de um índice de preços, isto é, de um indexador, é uma prática generalizada no Brasil. A partir de seus valores, obtém-se facilmente a variação dos preços ocorrida entre duas datas quaisquer, ou o valor atualizado de um empréstimo, de uma aplicação financeira ou de um bem ou serviço. Para a obtenção da variação, basta dividir o índice referente à data atual pelo índice correspondente à data anterior (a partir da qual se pretende determinar a variação), e subtrair. Assim, no caso de nosso exemplo, a variação de 0 de março a 0 de junho é calculada como segue:,9 variação - 0, ou, %,00 Essa variação corresponde às variações acumuladas dos meses de março, abril e maio. Para se corrigir monetariamente um valor, ou seja, incorporar ao preço inicial a variação correspondente à inflação do período, basta dividir esse valor pelo índice correspondente à data do inicio do período (a partir da qual se pretende corrigir) e multiplicar pelo índice referente à data do fim do período. No caso do exemplo anterior, um valor inicial de $ ,00 seria corrigido como segue: ,00 Valor corrigido x,9.,,00 A partir deste exemplo, podemos apresentar uma fórmula genérica para atualização monetária de valores e que será utilizada ao longo de todo este capítulo. Para tanto, vamos chamar de principal o preço inicial de uma mercadoria ou serviço, ou o valor inicial de um empréstimo ou de uma aplicação financeira, e de indexador qualquer índice utilizado com a finalidade de corrigir monetariamente um valor. A fórmula é a seguinte: P P c x Iv Io em que Pc é o principal corrigido, P o principal inicial, lo o indexador correspondente à data inicial (data do contrato) e lv o indexador da data do vencimento, pagamento ou resgate. Nos casos em que somente a variação do indexador é conhecida, a atualização se fará como segue: Pc P x ( + v) x ( + v) x ( + v) x... x ( + vn) em que v representa a variação (diária, mensal ou anual) do indexador e os índices,,,..., n, o número de ordem do período unitário (dia, mês ou ano). lndexador utilizado neste capítulo A parte final do breve histórico apresentado sobre a indexação no Brasil dá ao leitor uma idéia das dificuldades que enfrentamos para escrever este capitulo. Nos exercícios com rendas e encargos pós-fixados apresentados na primeira tiragem da quarta edição,, utilizamos a URV como principal indexador por entender que a TR, até então a mais utilizada para atualizar os valores das aplicações e dos empréstimos, fosse extinta pelo governo logo após a criação do REAL. Entretanto, isso não ocorreu! E embora o governo esteja propondo-se a desindexar a economia a partir do inicio deste ano de 99 (época em que estamos revisando a quinta edição deste livro), não é provável que o faça tão cedo. Assim, não nos resta outra alternativa a não ser adotar essa taxa referencial como indexador, em que pese a todas as restrições que fazemos a ela. A TR é uma taxa mensal calculada e divulgada diariamente pelo Banco Central, sendo utilizada para corrigir valores monetários desde o dia a que se refere (dia em que é calculada) até igual dia do mês seguinte. Assim, a TR de,% referente ao dia 9 de janeiro de 99 corrige um empréstimo no valor de S.000,00, obtido nesse dia, para S.0, º no dia 9 de fevereiro. APLICAÇÕES FINANCEIRAS COM RENDA FIXA Vamos considerar como aplicações financeiras de renda fixa todas a- quelas realizadas em títulos e valores mobiliários, inclusive cadernetas de poupança e fundos de investimentos. Denomina-se renda fixa por garantir ao aplicador determinado rendimento, fixado no dia da aplicação, isto é, o investidor seguramente receberá no vencimento um valor maior que o desembolsado, o que pode não acontecer com as aplicações em renda

49 variável. As aplicações com renda fixa podem ser pré e pós-fixadas. É prefixada quando o valor de resgate é conhecido no dia da aplicação e pós quando esse valor somente é determinado no dia (ou alguns dias antes) do vencimento. As aplicações com renda pósfixada pagam juros calculados sobre o principal corrigido, ou seja, sobre o valor da aplicação adicionado da correção monetária do período. Os exemplos seguintes facilitarão o entendimento do leitor. Aplicações com renda prefixada Vamos tratar de aplicações nos seguintes títulos e valores mobiliários: Certificados de Depósitos Bancários (CDB). São títulos emitidos pelos bancos comerciais, de investimentos ou desenvolvimento, e pelas caixas econômicas; é o instrumento mais utilizado para a captação de recursos normalmente destinados ao financiamento de capital fixo e de giro das empresas. O prazo mínimo de emissão tem variado muito nos últimos anos, sendo atualmente de 0 dias. O prazo máximo não é fixado. Recibos de Depósitos Bancários (RDB). São recibos de depósito a prazo fixo, emitidos pelas mesmas instituições financeiras, com a mesma finalidade e com os mesmos prazos. Letras de Câmbio (LC): são títulos emitidos pelas chamadas "Financeiras", as Sociedades de Crédito, Financiamento e Investimento, para captação de recursos destinados ao financiamento de bens e serviços, para pessoas físicas ou jurídicas, operação conhecida no mercado por "crédito direto ao consumidor". Os prazos de e- missão são idênticos aos do CDB e RDB. Com a intensificação do processo de transformação de Financeiras em bancos múltiplos, o volume de emissão de Letras de Câmbio tem se reduzido muito nos últimos anos. A tendência natural é sua extinção a médio prazo. Bônus do Banco Central (BBC). São títulos de curto prazo emitidos pelo Banco Central do Brasil para a captação de recursos destinados ao atendimento das necessidades de caixa do Tesouro Nacional; pane substancial das emissões é adquirida pelas instituições financeiras para lastreamento das operações de open market e para compor as carteiras dos fundos de investimentos em renda fixa, variável e de commodities. São sempre emitidos numa quarta-feira e com vencimento também numa quarta, portanto, com prazos múltiplos de 7; atualmente são mais comuns os de 8, e dias. Letras do Tesouro Nacional (LTN). São títulos idênticos ao anterior. A única diferença é que são emitidos pelo Tesouro Nacional. Todas as aplicações financeiras estão sujeitas à incidência do Imposto de Renda na fonte. Até de dezembro de 99, o Imposto de Renda, descontado na fonte, incidia apenas sobre o chamado rendimento real (também chamado de ganho de capital), correspondente ao rendimento que excedesse ao valor da correção monetária calculada com base na UFJR (Unidade Fiscal de Referência), ou seja, sobre o valor que ultrapassasse ao principal corrigido por esse indexador. A partir de de janeiro de 99, o Imposto de Renda pago na fonte passou a ser cobrado a razão de 0% sobre o rendimento bruto, ou seja, sobre o rendimento total obtido, independentemente do prazo da aplicação. A fim de facilitar o entendimento dos exemplos apresentados a seguir, vamos estabelecer as seguintes convenções: P principal ou valor aplicado: valor desembolsado pelo aplicador; Pc principal corrigido: valor da aplicação adicionado da correção monetária; VR valor de resgate: valor de resgate da aplicação ou do título antes do desconto do Imposto de Renda; VRL valor de resgate líquido: valor de resgate menos o Imposto de Renda; RB rendimento total ou bruto: dado pela diferença entre o valor de resgate e o valor aplicado; RL rendimento líquido: é o valor do rendimento bruto menos o valor do Imposto de Renda; n prazo (normalmente em número de dias); i taxa utilizada pelo mercado para explicitar o rendimento bruto a ser pago, seja ele pré ou pós-fixado; normalmente é informada para um período de 0 dias (taxa mensal) ou de 0 dias (taxa anual) ; TEB taxa efetiva bruta: dada pela divisão do rendimento bruto pelo valor da aplicação (ou pela divisão do valor de resgate pelo valor da aplicação, menos ); TEL taxa efetiva líquida: dada pela divisão do rendimento líquido pelo valor da aplicação (ou pela divisão do valor de resgate líquido pelo valor da aplicação, menos ); TRB taxa real bruta: dada pela divisão do rendimento real pelo principal corrigido (ou pela divisão do valor de resgate pelo principal corrigido, menos ); TRL taxa real líquida: dada pela divisão do rendimento real líquido pelo principal corrigido (ou pela divisão do valor de resgate líquido pelo principal corrigido, menos ); a alíquota do Imposto de Renda, Exemplos com CDB, RDB ou LC (O exemplo para um tipo de aplicação é válido para todos, já que os três têm as mesmas características) A) Um investidor aplica S.000,00 num Certificado de Depósito Bancário (CDB), com 0 dias de prazo. Sabendo-se que o Banco emitente paga uma taxa de 9% ao ano, determinar o valor de resgate, o valor do lmposto de Renda e o valor de resgate líquido dessa aplicação. Solução: a) Cálculo do valor de resgate VR P ( + i n 0 a ) em que ia é a taxa anual e n o prazo em dias. VR.000,00 x ( + 9%) 0/0 VR.000,00 x (,9) 0/0 7.00,9 b) Cálculo do valor do Imposto de Renda IR a x RB RB 7.00, ,00.00,9 IR 0% x.00,9 00, c) Cálculo do valor de resgate líquido VRL VR - IR 7.00,9-00,.90, Exemplo com BBC e LTN Na negociação desses dois títulos, os agentes do mercado partem de um valor de resgate hipotético de $.000,00. E, considerando o prazo e a taxa de juros, determinam seu valor de compra ou venda, denominado de PU (preço unitário). Embora o mercado brasileiro, no caso dessas operações, esteja atualmente trabalhando com o prazo representado por número de dias úteis, vamos considerar sempre dias corridos. Essa decisão deve-se ao fato de a utilização de dias corridos ser uma norma universal, e porque considero esse critério o mais correto. B. Em um leilão efetuado pelo Banco Central, um Banco adquire BBCS com prazos de 8 e dias, ambas cotadas a uma taxa de juros de 7% ao ano. Calcular, para os dois prazos mencionados, o preço pago pelo Banco para cada $.000,00 de resgate. Solução: a) para o prazo de 8 dias A partir da fórmula do montante para juros compostos, tem-se que: VR P n + P ( ) 0 i a.000,00 (,7 ) ,8 O valor presente P $ 97,8 constitui-se no chamado PU (preço unitário). Assim, no caso deste exemplo, o PU nada mais é do que o valor atual do título para cada $.000,00 de resgate, A "unidade", que neste caso é igual a $.000,00, poderia ser de $,00, $ 0,00, $ 00,00 ou qualquer outro valor. 9

50 b) para o prazo de dias.000,00 P 99,8,7 0 ( ) Aplicações com renda pós-fixada Neste subitem temos uma grande variedade de aplicações. Vamos tratar somente das mais importantes: cadernetas de poupança, CDBS, RDBS, Letras de Câmbio, Notas do Tesouro Nacional (NTN), Debêntures e os fundos de investimentos. A tributação é idêntica à das aplicações em renda prefixada mostrada no subitem anterior, ou seja, Imposto de Renda de 0% sobre o rendimento total. Vamos tratar inicialmente das aplicações em CDB, RDB e LC, cujas características já foram mencionadas no subitem anterior; as diferenças dessas aplicações em relação àquelas com rendimentos prefixados é que nestes casos o prazo mínimo de emissão dos títulos é atualmente de 0 dias e os rendimentos são calculados com base no principal corrigido pelo indexador adotado. E como já mencionamos no início deste capítulo, vamos adotar a TR (Taxa Referencial de Juros) como principal indexador. atual, incide Imposto de Renda de 0% sobre o total dos rendimentos. Esse fato praticamente inviabiliza a caderneta de poupança para pessoas jurídicas. Considera-se mês, no caso das cadernetas de poupança, o período compreendido entre o dia do depósito e o dia do "aniversário" no mês seguinte. No momento em que estamos revisando este capítulo, o indexador oficial utilizado para corrigir os depósitos de poupança continua sendo a TR. E é esse que vamos utilizar. A correção monetária calculada com base nesse indexador é chamada também de atualização monetária. D. O Sr. W. Vilan abriu uma caderneta de poupança no dia com um depósito de $.00,00. Sabendo-se que a TR desse dia foi de,7%, calcular os valores da correção monetária e dos juros creditados em - l 0-9. Como se sabe, a taxa de juros é de 0,% ao mês. Solução: Valor da correção monetária CM,7% x.00,00, Exemplo com CDB, RDB e LC C. Calcular o valor de resgate líquido já descontado o Imposto de Renda) de uma aplicação em CDB com renda pós-fixada no valor de $.000,00, pelo prazo de 0 dias, sabendo-se que o Banco paga juros de % ao ano. A aplicação foi feita no dia de janeiro para resgate no dia de maio do mesmo ano. Admitir que as TR referentes aos dias dos meses de janeiro, fevereiro, março e abril tenham sido de,%,,9%,,% e,7% respectivamente. Solução: a) Cálculo do valor de resgate n VR P 0 c ( + ia ) Pc.000,00 x,0 x,09 x,0 x,07.7,78 0 VR.7,78 x (,) 0.7,08 b) Cálculo do Imposto de Renda IR 0% x RB 0,0 x RB RB VR - P.7, ,00 7,08 IR 0,0 x 7,08 7, c) Cálculo do valor de resgate líquido VRL VR - IR.7,08-7,.,7 Operações com Cadernetas de Poupança As cadernetas de poupança constituem a forma mais popular de aplicação de recursos no Brasil. Tradicionalmente, elas vêm rendendo correção monetária calculada com base num indexador, mais juros de 0,% ao mês (equivalente a,8% ao ano) incidente sobre o valor do depósito acrescido da correção monetária; caso haja algum saque durante o mês, contado desde o dia do depósito até o dia anterior ao do crédito, valerá o menor saldo do mês para efeito de cálculo do rendimento. Nas aplicações feitas por pessoas físicas, o rendimento é creditado mensalmente no dia do chamado "aniversário" ou data-base, isto é, no dia do mês do crédito correspondente ao mesmo dia do mês em que foi aberta. Assim, se uma caderneta é aberta no dia de janeiro, os rendimentos serão creditados no dia dos meses subseqüentes. Entretanto, há exceções: se a conta for aberta nos dias 9, 0 ou, considerar-se-á aberta no dia do mês seguinte. No caso das aplicações feitas por pessoas jurídicas, os rendimentos são creditados trimestralmente, calculados à razão de,% sobre o valor do depósito corrigido pelo indexador utilizado. Em caso de movimentação da conta durante o trimestre, os rendimentos serão calculados com base no menor saldo existente nesse trimestre. De acordo com a legislação Valor dos juros Juros 0,% x (.00,00 + lis,),08 Saldo da conta em -0-9 Saldo.00,00 +, +,08.8,7 O saldo dessa conta poderia também ser obtido como segue: Saldo.00,00 x,07 x,00.8,7 Caso o Sr. Vilan tivesse sacado $.00,00 em qualquer dia entre o dia do depósito e o dia útil anterior à data do crédito, os valores da correção monetária e dos juros seriam calculados com base no saldo de $.000,00. Operações com Notas do Tesouro Nacional (NTN) A NTN é um título emitido pelo Tesouro Nacional com características idênticas às do CDB pós-fixado. Atualmente tem prazo mínimo de emissão de 0 dias; até dezembro de 99 esse prazo mínimo era de 90 dias. Existem três tipos: a NTN com correção cambial, a NTN corrigida com base na variação do IGPM (Índice Geral de Preços do Mercado) e a NTN corrigida com base na TR. No caso das duas primeiras, o Tesouro Nacional paga % ao ano sobre o principal corrigido, e no caso da última, o rendimento total acima da TR é dado via deságio. As NTNS são colocadas no mercado através de leilões periódicos (pelo menos um por mês) efetuados pelo Banco Central. Como regra geral, são emitidas com data do primeiro dia de cada mês, e vencimento também no primeiro dia do mês de resgate. Caso uma das datas (de emissão ou de resgate) ocorra em um dia não útil, a liquidação ocorrerá no dia útil subseqüente. No caso das NTNS cambiais, a correção é calculada tomando-se como base a cotação do dólar no dia imediatamente anterior ao dia da emissão e do resgate (ou do pagamento dos juros). Os juros de % ao ano são pagos semestralmente, ou no vencimento do título, caso seu prazo seja de até seis meses. Para proporcionar uma rentabilidade superior a % ao ano, o Banco Central normalmente coloca esses títulos no mercado com deságio. Para efeito de negociação, o preço unitário do título - o chamado PU - é calculado com base num valor de emissão hipotético de S.000,00 e apresentado com seis casas decimais. Os exemplos a seguir facilitarão o entendimento. Embora o governo não tenha colocado no mercado nenhum título corrigido pelo IGPM após a implantação do REAL, vamos apresentar exemplos envolvendo os três tipos. Através de um leilão realizado pelo Banco Central, uma instituição financeira adquire NTNS cambiais emitidas em 0--9 e com vencimento em (prazo de três meses). Sabendo-se que esse título paga juros de % ao ano, que foi adquirido com uma rentabilidade efetiva de 8% ao ano e que as cotações do dólar comercial de venda no dia anterior ao dia da emissão e ao dia do resgate foram respectivamente de CR$ 7,000 e CR$ 8,0, calcular: o PU, ou seja, o preço pago para cada CR$.000,00 de emissão; 0

51 b) o valor de resgate (incluindo os juros). Solução: a) Cálculo do PU VR.000,00 x (,0).0,78 em que o número, do expoente /, representa o número de trimestres contidos em ano..0,78 PU 97,807 9,,8 ( ) em que 0,8 é taxa efetiva ao ano e 9 o número de dias decorridos entre o dia da compra e do resgate. b) Cálculo do valor de resgate (incluindo os juros) 8,0 Pc.000,00 x.,9770 7,000 Taxa trimestral de juros (,0) - 0,078 ou,78% Juros 0,078 x.,9770 8,799 Valor de resgate., ,799.7,9 O valor de resgate também pode ser determinado atualizando-se monetariamente o valor de resgate obtido inicialmente, como segue: 8,0 VR.0,78 x.7,9 7,000 Operações com Fundos de Investimentos em Renda Fixa Este Fundo de Investimentos tem uma carência de 8 dias para saques sem perda de rendimentos, contados desde o dia da aplicação ou desde o último dia em que se completou o ciclo de 8 dias. Trata-se de um fundo administrado por uma instituição financeira em que os recursos captados junto aos clientes são aplicados em títulos de renda fixa, pré ou pós-fixados. O investidor adquire cotas do fundo, cuja rentabilidade reflete a rentabilidade média dos títulos que compõem a carteira. Sobre o rendimento total obtido na aplicação, o investidor paga Imposto de Renda, correspon dente a 0%, calculado de forma idêntica aos cálculos já mostrados para os títulos de renda fixa. Exemplo E. Um investidor aplica $.000,00 num Fundo de Renda Fixa no dia -0l -9 e resgata $.700,00 no dia , 8 dias depois. Sabendose que o valor da cota era de $,9809 no dia da aplicação e de $,00 no dia do resgate, calcular: o número de cotas adquiridas; o número de cotas resgatadas; a valorização da cota no período; o valor do Imposto de Renda pago e o valor líquido creditado na conta do aplicador; o saldo em número de cotas e em S. Solução: a) Número de cotas adquiridas.000,00 n de cotas.7,8 cotas,9809 b) Número de cotas resgatadas.700,00 nº de cotas.07,09 cotas,00 c) Valorização da cota no período,00 Valorização 0, 098 ou,98%,9809 d) Valor do Imposto de Renda e valor líquido creditado Valor de aplicação das cotas resgatadas Valor.07,09 x,9809.9,8 Valor do Imposto de Renda Corresponde a0% sobre o rendimento obtido no período, ou seja, sobre o valor de resgate menos o valor de aplicação das cotas resgatadas, calculado como segue: IR 0% x (.700,00 -.9,8) 0,7 Valor líquido creditado na conta do aplicador Valor líquido.700,00-0,7.89,8 Saldo em número de cotas e em S Saldo em n de cotas.7,8 -.07,09 88, Saldo em $ 88, x,00.79,0 Operações com Fundos de Aplicações Financeiras (FAF) As aplicações neste Fundo, também conhecido por "fundão", representam uma das únicas formas de aplicação de recursos no curto prazo. Funciona de maneira semelhante ao Fundo de Renda Fixa visto no item anterior. Os recursos captados pela instituição financeira que administra o Fundo são aplicados de forma bem diversificada, sendo uma parte superior a 0% obrigatoriamente depositado no Banco Central, uma fatia ainda maior aplicada títulos públicos federais, 0% em Títulos de Desenvolvimento Econômico (TDE) e % no Fundo de Desenvolvimento Social (FDS); apenas cerca de % dos recursos captados podem ser livremente utilizados pela instituição financeira para aplicação em outros títulos de renda fixa, públicos ou privados. O rendimento proporcionado por este Fundo também paga 0% de Imposto de Renda na fonte. Uma pessoa aplicou $ 0.000,00 no FAF e resgatou tudo no dia seguinte. Sabendo-se que o valor da cota subiu 0,%, calcular o valor líquido resgatado. Solução: Valor do rendimento 0,% x 0.000,00 8,00 Valor do IR 0% x 8,00,80 Valor líquido resgatado 0.000,00 + 8,00 -,80 Valor líquido resgatado 0.0,0 EXERCÍCIOS 0. Uma empresa está estudando a compra de um e- quipamento e deve escolher entre duas marcas com as seguintes características e previsões: Equipamento A Equipamento B Custo inicial Valor venal após cinco anos de uso Custo operacional anual Receita adicional anual Determine a melhor alternativa com taxa de atratividade de 0% a.a. Pelo método do valor presente líquido. Pelo método do valor anual uniforme. Pelo método da taxa interna de retorno (neste caso, deve ser considerado, na segunda alternativa, um investimento incremental de colocado a 0% a.a.). 0. No início de 98, uma pessoa fez um depósito de

52 R$ 0.000,00 numa Caderneta de Poupança que pagou 0,% a.m. de juros e atualizações monetárias mensais que atingiram no ano a taxa acumulada de 8%. Teria feito melhor negócio se aplicasse seu capital e resgatasse mensalmente R$.00,00 durante um ano? 0. Qual a melhor forma de receber o retorno de um investimento de R$ 0 milhões, aplicado por um ano: um pagamento final de R$ ,00, dois pagamentos semestrais de R$ ,00 cada um ou doze pagamentos mensais de R$ ,00 cada um? Justifique. 0. Uma empresa paga R$ ,00 por mês para uma companhia transportadora fazer as entregas de seus produtos. Está, agora, estudando a compra de um caminhão por R$ ,00, calculando que daqui a cinco anos ele poderá ser vendido por R$ ,00 e que seu dispêndio anual será de R$ ,00. a) Usando a taxa de % a.a., estude, pelo método do valor presente, se será vantajoso a compra do caminhão ou se será melhor continuar usando os serviços da transportadora. b) Calcule, com a mesma taxa de % a.a., os custos anuais de transporte em cada caso. 0. Fui comprar um aparelho de televisão cujo preço a vista é R$ 98.90,00. A loja exibe uma propaganda oferecendo esse aparelho com uma entrada de R$ 0.000,00 e pagamentos mensais de R$ 9.0,00. Numa época em que as taxas giram em torno de % a.m., é mais vantajoso comprar essa IV a vista ou a prazo? 0. Uma pessoa tinha um capital de R$ ,00 e o empregou na compra de um apartamento que ficou dois meses fechado, dando despesas de R$.00,00 por mês. A partir do início do terceiro mês conseguiu alugá-lo por R$ ,00 pagos no início de cada mês. Um ano após a compra, vendeu-o para o inquilino por R$ ,00, quantia livre de despesas. Teria feito melhor negócio se aplicasse seu capital durante esse ano a 8,8% a.m.? Justifique. 07. Calcule, com a taxa de % a.m., o custo mensal de um equipamento que foi adquirido por R$ ,00, teve um custo operacional mensal de R$.00,00 e foi avaliado em R$ ,00 após um ano de uso. 08. Um capitalista investiu R$ ,00 na instalação de uma pequena loja. Suas despesas mensais, durante um ano foram de R$ ,00 de aluguel e R$ 0.000,00 para uma pessoa tomar conta do negócio. No final desse ano, passou o ponto para um comerciante interessado, tendo recebido R$ ,00 pela transferência. Durante esse ano, sua receita líquida mensal foi de R$ ,00 nos seis primeiros meses e R$ ,00 nos seis últimos meses. Teria feito melhor negócio se aplicasse seu capital a 7% a.m., que era a taxa de mercado na época? 09. Uma máquina foi comprada com uma entrada de R$ 0.000,00 e três pagamentos de R$ 0.000,00 cada um, realizados no fim de três, quatro e circo meses, respectivamente. Calcule o custo anual dessa máquina à taxa de 0% a.a., sabendo que no fim de três anos ela poderá ser vendida por R$ 0.000, Uma firma adquiriu um novo equipamento por R$ , prevendo que seu valor residual após dois anos de uso será R$ O uso desse equipamento vai aumentar de R$ a receita mensal da firma e de R$ o custo mensal. Represente essa situação com um diagrama de fluxo de caixa e calcule o valor mensal uniforme (lu- cro líquido mensal) com a taxa de % a.m., considerando ainda um imposto de renda de % calculado sobre lucro menos depreciação. Para efeito de IR, tanto o lucro quanto a depreciação são também calculados linearmente, isto é, L a ( ) e D a Uma empresa fabrica e vende determinada peça que pode ser produzida pela máquina A ou pela máquina B que estão sendo analisadas para compra por essa empresa. Foram obtidos os seguintes dados: Máquina A Máquina B Custo inicial Valor residual após cinco anos Gasto anual de manutenção Gasto anual de energia Número de operadores Preço/hora da mão-deobra de cada operador 0 Tempo de execução da peça 0 mm. 0 mm. Sabe-se, ainda, que cada peça tem um custo de 0 de matéria-prima e pode ser vendida a 70; as máquinas trabalharão.00 horas por ano, a taxa de atratividade do empresário é 0% a.a. e o Imposto de Renda (calculado sobre lucro menos depreciação) é de 0%, pago anualmente. Supondo que, no caso da compra da máquina A, o empresário investe os 0 mil restantes à taxa de 0% a.a., determine o melhor investimento por qualquer método.. Uma pessoa está estudando a compra de um terreno para explorar um estacionamento de carros. Prevê uma renda mensal de R$ e despesas anuais de R$ Terá ainda uma despesa i- nicial de R$ que serão gastos com equipamentos de valor residual nulo após três anos. Quanto o investidor estará disposto a pagar pelo terreno se sua taxa de atratividade é de % a.m. e se o terreno poderá ser vendido por R$ no fim de três anos?. Um motorista tem uma renda liquida mensal de R$ 0.000,00 com seu táxi e sabe que poderá vendêlo daqui a um ano por R$ ,00. Poderá também vendê-lo já e aplicar o capital apurado a 8,9% a.m. durante um ano, com renda mensal. Um seu amigo deseja comprar o carro e tem capital suficiente empregado a 0% a.a. Qual o preço que poderá ser atrativo a ambos?. Uma estrada foi construída por R$ 8, milhões o km e requer um custo anual de manutenção de R$, milhões por km. Para construir essa estrada, o Governo emitiu bônus que produzirão juros de % ao trimestre e a taxa de pedágio foi fixada em R$ por km. Qual o número mínimo de veículos que deverão utilizar-se dessa estrada mensalmente para que o investimento se auto financie em um ano?. Um equipamento foi adquirido por uma indústria com três pagamentos semestrais antecipados de R$ ,00. No fim de dois anos foi vendido por R$ ,00. Durante esse tempo, o lucro da indústria teve um aumento mensal de R$ 0.000,00. a) A taxa interna de retorno desse investimento é maior ou menor que % a.m.? b) Determine a taxa interna de retorno.. Usando a taxa de 0% a.a., calcule o valor de x para que o valor presente líquido do fluxo abaixo seja nulo:

53 . Calcule o valor de x no diagrama abaixo, para que a taxa interna de retorno seja de 0% a.a.: 7. Dado o diagrama de fluxo de caixa abaixo, calcule: a) O valor presente liquido, usando a taxa de % a.m. b) O valor mensal, com essa mesma taxa de % a.m. c) Se a taxa que anula o valor presente líquido é maior ou menor que % a.m. 8. Dado o diagrama de fluxo de caixa abaixo: a) Calcule seu valor presente líquido usando a taxa de,% a.m. b) Sabendo que o valor presente líquido com a taxa de % a.m. é de -.,9, calcule a taxa que o anula (taxa interna de retorno). 8. Sim, pois NPV - 8.,, negativo, o que indica taxa menor que 7% a.m. (ou: a taxa interna de retorno é de,8% a.m.). 9. R$ 0.08,8 0. VPU.8.8,8. A segunda alternativa é melhor. Pelo método do valor presente líquido, NPV A -.7, e NPV 8.,0. Pelo método do valor periódico uniforme, VPU A.,89 e VPU 8 7.0,7. Pelo método da taxa interna de retorno, i A 9,% a.a. e i B 7,% a.a.. R$.90.8,9. Ë o preço P, tal que.8., < P <.., carros. a) Menor que % a.m., pois NPV - 79.,8 < 0 b),8% a.m.. x 7, 7. x, 8. a) -.08, b) -.0 c) Menor 9. a) 78,7 b),70% a.m. 0. a) -.,9 b) 7,8% a.s. RETORNO SOBRE INVESTIMENTO Em finanças, retorno sobre investimento (em inglês, return on investment ou ROI), também chamado taxa de retorno (em inglês, rate of return ou ROR), taxa de lucro ou simplesmente retorno, é a relação entre o dinheiro ganho ou perdido através de um investimento, e o montante de dinheiro investido. 9. Dado o diagrama de fluxo de caixa abaixo, determine: a) Seu valor presente líquido com taxa de 8% a.s. b) Sua taxa interna de retorno. RESPOSTAS. a) Equipamento A, pois NPV A 77.7,98 enpv B ,0. b) Equipamento A, pois VPU A 9.9,7 e VPU B ,0. c) Equipamento A, pois i A,0% a.a. e 8,8% a.a.. Teria, pois a taxa da CP foi de 0,9% a.m. e a outra foi de % a.m.. Em dois pagamentos (as taxas mensais são,%,,% e,08%, respectivamente).. a) É melhor continuar usando os serviços da transportadora, pois NPV T.7.97, e NPV C.07.0,88. b) VPU T 7.8.,8 e VPU C ,8. É melhor comprar a vista, pois a taxa da loja é maior que % a.m. (i,% a.m.) (ou: as prestações seriam de R$ 8.,0).. Não, pois NPV.,8 com i 8,8% a.m., o que indica taxa maior que 8,8% a.m. (ou: a taxa interna de retorno é de 9,08% a.m.). 7. R$ 7.909, Existem três formulações possíveis de taxa de retorno, são elas: retorno efetivo; retorno exigido e; retorno previsto. O retorno efectivo serve como medida de avaliação do desempenho de um investimento, aferido a posteriori. O retorno previsto serve como medida ex ante do desempenho de um investimento; é a sua taxa implícita ou interna de retorno, aquela que iguala o valor do investimento do seu preço ou custo. A taxa de retorno exigida é a que permite determinar o valor de um investimento. De facto, o valor de um investimento é o equivalente actual dos seus cash-flows futuros, sendo estes convertidos em equivalente actual (ou actualizados) justamente à taxa de retorno exigida. Assenta na ideia de que qualquer investimento deve proporcionar uma taxa de retorno igual a uma taxa sem risco acrescida de um prémio de risco função do grau de incerteza que afecta os cash-flows futuros do investimento. A taxa de retorno prevista é função do preço (ou custo) do investimento e do fluxo de cash-flows futuros atribuíveis ao investimento. Sendo incertos estes cash-flows, resulta que a taxa de retorno prevista é também incerta, apresentando-se mesmo como uma variável aleatória. Aqui reside o seu risco, que terá que ser medido, para ser tido em conta na estimação dos prémios de risco a incluir nas taxas de retorno exigidas. O montante de dinheiro ganho ou perdido pode ser referido como juros, lucros ou prejuízos, ganhos ou perdas ou ainda rendimento líquido ou perdas líquidas. O dinheiro

54 investido pode ser referido como ativo, capital, principal ou custo básico do investimento. O ROI é geralmente expresso como percentagem A concretização das estratégias organizacionais de uma empresa está dependente da gestão adequada de projectos, programas e portfólios. Nesse sentido, a responsabilidade financeira aumenta permanentemente e a sua mensuração é obrigatória. Embora hoje, o uso desta ferramenta de análise seja generalizado a todo o tipo de investimentos, o cálculo do ROI não é contudo uma moda recente. Já em 90 a Harvard Business Review referia o ROI como a medida de análise essencial para conhecer o valor do resultado de investimento de capital. O seu conhecimento antecipado tem um impacto importante não só no seio da organização que gere o processo de investimento, como também junto de potenciais investidores. Para além da venda interna e externa do projecto, é fundamental para o seu acompanhamento dando de uma forma clara o impacto no negócio face às metas prédefinidas. Metodologias de cálculo O cálculo do ROI possui diversas metodologias, algumas simples, outras nem tanto. Cada metodologia varia em função da finalidade ou do enfoque que se deseja dar ao resultado. A seguir estão algumas das mais conhecidas e facilmente encontradas em livros de Contabilidade, Economia e Finanças. ROI(Lucro Líquido Vendas) (Vendas Total de ativos) representa a relação entre a lucratividade e o giro dos estoques. ROILucro líquido Total de ativos Representa o retorno que o ativo total empregado oferece. Utilizado geralmente para determinar o retorno que uma empresa dá. ROILucro líquido Investimentos representa o retorno que determinado investimento oferece. Geralmente é utilizado para determinar o retorno de investimentos isolados. Invertendo-se a relação (ROIInvestimento Lucro Líquido), obtém-se o tempo necessário para se reaver o capital investido. Há também a Rentabilidade do Ativo Total Médio ou Taxa de Retorno sobre o Ativo Total Médio ou Taxa de Retorno sobre o Investimento Total Taxa[(Lucro Líquido do Exercício)/(Vendas Líquidas)]*[(Vendas Líquidas)/ATM]*00[(Lucro Líquido do Exercício)/ATM]*00 ATMAtivo Total Médio(Ativo Inicial+Ativo Final)/ A Taxa Interna de Retorno (TIR), em inglês IRR (Internal Rate of Return), é uma taxa de desconto hipotética que, quando aplicada a um fluxo de caixa, faz com que os valores das despesas, trazidos ao valor presente, seja igual aos valores dos retornos dos investimentos, também trazidos ao valor presente. O conceito foi proposto por John Maynard Keynes, de forma a classificar diversos projetos de investimento: os projetos cujo fluxo de caixa tivesse uma taxa interna de retorno maior do que a taxa mínima de atratividade deveriam ser escolhidos. A TIR é a taxa necessária para igualar o valor de um investimento (valor presente) com os seus respectivos retornos futuros ou saldos de caixa. Sendo usada em análise de investimentos, significa a taxa de retorno de um projeto. Utilizando uma calculadora financeira, encontramos para o projeto P uma Taxa Interna de Retorno de % ao ano. Esse projeto será atrativo se a empresa tiver u- ma TMA menor do que % ao ano. A solução dessa equação pode ser obtida pelo processo iterativo, ou seja "tentativa e erro", ou diretamente com o uso de calculadoras eletrônicas ou planilhas de cálculo. A taxa interna de rentabilidade (TIR) é a taxa de atualização do projecto que dá o VAL nulo. A TIR é a taxa que o investidor obtém em média em cada ano sobre os capitais que se mantêm investidos no projecto, enquanto o investimento inicial é recuperado progressivamente. A TIR é um critério que atende ao valor de dinheiro no tempo, valorizando os cash-flows atuais mais do que os futuros, constitui com a VAL e o PAYBACK atualizado os três grandes critérios de avaliação de projectos. A TIR não é adequada à selecção de projectos de investimento, a não ser quando é determinada a partir do cash-flow relativo. A Taxa Interna de Retorno de um investimento pode ser: Maior do que a Taxa Mínima de Atratividade: significa que o investimento é economicamente atrativo. Igual à Taxa Mínima de Atratividade: o investimento está economicamente numa situação de indiferença. Menor do que a Taxa Mínima de Atratividade: o investimento não é economicamente atrativo pois seu retorno é superado pelo retorno de um investimento com o mínimo de retorno. Entre vários investimentos, o melhor será aquele que tiver a maior Taxa Interna de Retorno. Matematicamente, a Taxa Interna de Retorno é a taxa de juros que torna o valor presente das entradas de caixa igual ao valor presente das saídas de caixa do projeto de investimento. A TIR é a taxa de desconto que faz com que o Valor Presente Líquido (VPL) do projeto seja zero. Um projeto é atrativo quando sua TIR for maior do que o custo de capital do projeto. ESTATÍSTICA DESCRITIVA ESTATÍSTICA Estatística Descritiva é o nome dado ao conjunto de técnicas analíticas utilizado para resumir o conjunto de todos os dados coletados numa dada investigação a relativamente poucos números e gráficos. Ela envolve basicamente: Distribuição de Freqüência: É o conjunto das freqüências relativas observadas para um dado fenômeno estudado, sendo a sua representação gráfica o Histograma (diagrama onde o eixo horizontal representa faixas de valores da variável aleatória e o eixo vertical representa a freqüência relativa). Por uma conseqüência da Lei dos Grandes Números, quanto maior o tamanho da amostra, mais a distribuição de freqüência tende para a distribuição de probabilidade.

55 Testes de Aderência: São procedimentos para a identificação de uma distribuição de probabilidade a partir de um conjunto de freqüências usando a Lei dos Grandes Números. Essencialmente, calcula-se a chance da diferença entre uma distribuição de freqüência observada e aquela que seria de se esperar a partir de uma determinada distribuição de probabilidade (geralmente a Curva Normal). Uma distribuição de freqüência pode ser tida como pertencente a um dado tipo de distribuição se o teste de aderência mostrar uma probabilidade de mais de % da diferença entre as duas ser devida ao acaso Medidas da Tendência Central: São indicadores que permitem que se tenha uma primeira idéia, um resumo, de como se distribuem os dados de um experimento, informando o valor (ou faixa de valores) da variável aleatória que ocorre mais tipicamente. Ao todo, são os seguintes três parâmetros: A idéia básica é a de se estabelecer uma descrição dos dados relativos a cada uma das variáveis, dados esses levantados através de uma amostra. Média: É a soma de todos os resultados dividida pelo número total de casos, podendo ser considerada como um resumo da distribuição como um todo. Moda: É o evento ou categoria de eventos que ocorreu com maior freqüência, indicando o valor ou categoria mais provável. A, B, C e D. O objetivo da pesquisa é a publicação da porcentagem de votos obtidos pelos candidatos. O repórter já tem explícitas na proposta de trabalho que recebeu algumas respostas para seu planejamento: os dados a coletar são os votos apurados; a população envolvida é o conjunto de todos os eleitores (não será utilizada amostragem, pois os eleitores serão consultados, através da votação); a coleta será direta, no local da apuração. Falta resolver o último item do planejamento: como organizar os dados? Os dados obtidos constituem os dados brutos. O repórter poderá recorrer a uma organização numérica simples, registrada através de símbolos de fácil visualização: Mediana: É o valor da variável aleatória a partir do qual metade dos casos se encontra acima dele e metade se encontra abaixo Medidas de Dispersão: São medidas da variação de um conjunto de dados em torno da média, ou seja, da maior ou menor variabilidade dos resultados obtidos. Elas permitem se identificar até que ponto os resultados se concentram ou não ao redor da tendência central de um conjunto de observações. Incluem a amplitude, o desvio médio, a variância, o desvio padrão, o erro padrão e o coeficiente de variação, cada um expressando diferentes formas de se quantificar a tendência que os resultados de um experimento aleatório tem de se concentrarem ou não em determinados valores (quanto maior a dispersao, menor a concentração e vice-versa). A idéia básica é a de se estabelecer uma descrição dos dados relativos a cada uma das variáveis, dados esses levantados através de uma amostra. Fonte: DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA A primeira tarefa do estatístico é a coleta de dados. Torna-se então necessário um pequeno planejamento, no qual se irá decidir: Quais são os dados a coletar? A coleta de dados será feita utilizando toda a população ou recorrendo a amostragem? Onde serão coletados os dados? Que tipo de fonte será utilizada? Como organizar os dados? Vejamos como essas questões são resolvidas numa situação prática: Exemplo : Um repórter do jornal A Voz da Terra foi destacado para acompanhar a apuração de votos da eleição da diretoria do clube da cidade, à qual concorrem os candidatos Agora, ele poderá fazer o rol desses dados, organizandoos em ordem crescente (ou decrescente): Candidatos D B A C Votos 9 Deste modo, ele terá iniciado o trabalho de tabulação dos dados. Apesar de as anotações do repórter trazerem todas as informações sobre os cinqüenta votos, provavelmente o jornal não irá publicá-los dessa forma. Ë mais provável que seja publicada uma tabela, com o número de votos de cada candidato e a respectiva porcentagem de votos: Candidatos Numero % de votos de Votos D B A C Total 0 00 Este é um exemplo de distribuição por freqüência. VARIÁVEIS E FREQÜÊNCIAS No caso que estamos estudando, cada voto apurado pode ser do candidato A, do B, do C ou do D. Como são cinqüenta os votantes, o número de votos de cada um pode assumir valores de a 0. O número de votos varia. Ë uma variável. O valor que representa um elemento qualquer de um conjunto chama-se variável. No caso dos votos, a variável assume valores resultantes de uma contagem de O a 0. Quando se tomam, nesse conjunto de valores, dois números consecutivos quaisquer, não é possível encontrar entre um e outro nenhum valor que a variável possa assumir. Por exemplo, entre 0 e não existe

56 nenhum valor possível para a variável. Estamos, portanto, diante de uma variável discreta. Uma tabela associa a cada observação do fenômeno estudado o número de vezes que ele ocorre. Este número chama-se freqüência. Na tabela do exemplo dado, a freqüência de votos do candidato A é 9, a do candidato B é, a do C é e a do D é. Estas freqüências, representadas na segunda coluna, são as freqüências absolutas (F). Sua soma é igual a 0 que é o número total de observações. Na coluna % de votos, obtida a partir do cálculo de porcentagem de votos de cada candidato, estão representadas as freqüências relativas (Fr). Candidato A Candidato B Candidato C Candidato D 9 0,8 8% 0 0, % 0 0,8 8% 0 0, % 0 A freqüência relativa (Fr) ou freqüência porcentual (F%) é a relação entre a freqüência absoluta e o número total de observações. Sua soma é ou 00%: de a 8 salários mais de 8 salários Organizando os dados numa tabela: 700 0,0 0% ,0 % DISTRIBUIÇÃO DE RENDA NO BRASIL 97 Faixa de renda F Fr(F%) Até salário mínimo De a salários mínimos De a 8 salários mínimos Mais de 8 salários mínimos Total Observe que, nesse exemplo, a variável é uma medida: quantos salários mínimos por habitação. Podemos encontrar salários correspondentes a qualquer fração do salário mínimo. Entre dois valores quaisquer sempre poderá existir um outro valor da variável. Por exemplo, entre e salários poderá existir a renda de salário e meio (, salário); entre, e poderá existir,7 salário etc. Trata-se então de uma variável contínua. Para representá-la na tabela houve necessidade de organizar as faixas de renda em classes. Portanto, uma variável que pode teoricamente assumir qualquer valor entre dois valores quaisquer é uma variável contínua. Caso contrário ela é discreta, como no exemplo. Em geral, medições dão origem a variável contínua, e contagens a variável discreta , + 0,8 + 0,,00 8% + % + 8% + % 00% Exemplo : Dada a tabela abaixo, observe qual a variável e qual a freqüência absoluta e calcule as freqüências relativas. DISTRIBUIÇÃO DE RENDA NO BRASIL 97 Faixa de renda Habitações Até salário mínimo 70 De a salários mínimos 80 De a 8 salários mínimos 700 Mais de 8 salários mínimos 7 00 Total Fonte: Brasil em dados. Apud: COUTINHO, M.. C. e CU- NHA, S. E. Iniciação à Estatística. Belo Horizonte, Lê, 979, p. 0. Solução: A variável é a renda, em salários mínimos por habitação. As freqüências absolutas são os dados da tabela: em 70 moradias a renda é de até salário mínimo; em 80 é de a salários; em 700 está entre e 8 salários; em é maior que 8 salários mínimos. Para obter as freqüências relativas, devemos calcular as porcentagens de cada faixa salarial, em relação ao total de dados: 70 até salário mínimo 0,8 8% AGRUPAMENTO EM CLASSES Como vimos no exemplo, para representar a variável contínua renda foi necessário organizar os dados em classes. O agrupamento em classes acarreta uma perda de informações, uma vez que não é possível a volta aos dados originais, a partir da tabela. Quando isso se torna necessário, uma maneira de obter resultados aproximados é usar os pontos médios das classes. Ponto médio de uma classe é a diferença entre o maior e o menor valor que a variável pode assumir nessa classe. Esses valores chamam-se, respectivamente, limite superior e limite inferior da classe. No exemplo que acabamos de estudar, na classe de a 8 salários temos: limite inferior: salários Li limite superior: 8 salários Ls 8 ponto médio: 8 + Li + Ls Pm O ponto médio da classe entre e 8 salários é salários mínimos. de a salários 80 0, % A diferença entre os limites superior e inferior chama-se amplitude da classe: h Ls Li

57 Nem sempre a amplitude é um número constante para todas as classes. Há casos em que a desigualdade das amplitudes de classe não prejudica, mas favorece a disposição do quadro de freqüência. Ë o que ocorre no exemplo, em que os salários acima de 8 mínimos foram agrupados em uma única classe, impedindo o aparecimento de freqüências muito baixas. Exemplo : A partir das idades dos alunos de uma escola, fazer uma distribuição por freqüência, agrupando os dados em classes. Idades (dados brutos): Organizando o rol, temos: Poderíamos também pensar em dez classes com amplitude h ou em duas classes com h. Mas com li os dados não seriam agrupados, e a tabela continuaria a mesma, e com h teríamos apenas duas classes, perdendo muitas informações. h Classes F Total 9 Para amplitudes,, ou 7 não conseguiríamos classes com amplitudes iguais. Observemos como ficariam os quadros: Classes Total 9 F 9 São 9 observações. As idades variam de a anos; logo, o limite inferior da primeira classe é e o limite superior da última classe é. A diferença entre o Ls da última classe o Li da primeira classe chama-se amplitude total da distribuição. A amplitude total é: 0 Organizando os dados, por freqüência, temos: Idade F Total 9 Estando os dados organizados nessa disposição, é fácil agrupá-los em classes. Como a amplitude total é 0 e o número de observações é pequeno, nossa melhor opção é amplitude h, que nos dará cinco classes com amplitudes iguais a. h Classes F Total 9 A representação 7 significa que pertence à classe e 7 não pertence; 7 está Incluído na classe seguinte. Com h temos quatro classes, mas a última tem amplitude (h ) diferente das demais. Classes 9 9 Total 9 F Com h ficamos com três classes, sendo a última com amplitude (h ) diferente das demais. Classes Total 9 F 7 Temos agora duas classes com amplitudes e. Classes Total 9 F Ficamos, neste caso, com duas classes com amplitudes 7 e. Podemos notar que, quanto maior a amplitude, menor é o número de classes. É regra geral considerarmos amplitudes iguais para todas as classes, mas há casos em que a desigualdade, em vez de prejudicar, favorece a disposição dos dados no quadro. Quando, por exemplo, estamos estudando determinado assunto, muitas vezes surgem dados desnecessários; podemos desprezá-los ou então reduzir a tabela, agrupando-os numa classe. Exemplo : Levantamento, segundo faixas etárias, do número de casamentos realizados na cidade X, durante determinado ano. 7

58 Classes F de a anos ( classes) De a anos foram agrupadas três classes, e ainda assim a freqüência é zero. De a 00 anos os casamentos não costumam ser freqüentes: foram agrupadas oito classes, sendo registrada a freqüência de casamentos. Estabelecimento do número de classes e da amplitude Devemos escolher o número de classes, e consequentemente a amplitude, de modo que. possamos verificar as características da distribuição. Ë lógico que, se temos um número reduzido de observações, não podemos utilizar grandes amplitudes; e também que, se o número de observações é muito grande, as amplitudes não devem ser pequenas. Para o estabelecimento do número de classes, o matemático Sturges desenvolveu a seguinte fórmula: n +, logn N é o número de observações, derivado do desenvolvimento do Binômio de Newton. Waugh resumiu as indicações na seguinte tabela: Casos observados Número de classes a usar (De acordo com a regra de Sturges) Nem sempre, porém, temos à mão essa tabela. Devemos, então, procurar a amplitude total da distribuição. Com este dividendo fixado, consideraremos como divisor um número de classes razoável, e o quociente nos indicará qual amplitude escolher. Exemplo : Suponhamos uma distribuição onde o menor valor da variável é e o maior é 80. Temos: Li (primeira classe) Ls (última classe) 80 H (amplitude total) Dois números razoáveis de classes seriam 7 ou (divisores de 77). Se desejarmos classes, a amplitude de cada uma será: h 77 : ou h h (Ls -Li) : n Onde: h amplitude de classe Ls Li amplitude total n número de classes 80 h7 Exemplo : Em uma escola, tomou-se a medida da altura de cada um de quarenta estudantes, obtendo-se os seguintes dados (em centímetros): Fazer a distribuição por freqüência. Solução: Podemos organizar o rol de medidas a partir dos dados brutos, dispondo-os em ordem crescente (ou decrescente) A menor estatura é 0 cm e a maior 78 cm. A amplitude total é 8 cm. Poderíamos pensar em ou 7 classes. O primeiro é um número pequeno para quarenta observações. Com 7 classes, as duas últimas teriam freqüência. Para agrupá-las, podemos reduzir o número de classes para, e, para facilitar o cálculo, arredondar 78 cm para 80 cm. Assim, a amplitude total a considerar será: Logo: h 0 : Organizando os dados em classes de amplitude, teremos: Classes Alturas (cm)

59 Representando as classes por intervalos fechados à esquerda, não teremos dúvidas quanto a seus limites inferiores e superiores. Podemos agora fazer a tabulação dos dados, registrando na tabela as classes e seus pontos médios, e as freqüências. Além da freqüência absoluta (F) e da relativa (Fr), podemos representar a freqüência acumulada (Fa). Acumular freqüências, na distribuição, significa adicionar a cada freqüência as que lhe são anteriores. ALTURAS (CM) DE ESTUDANTES DA ESCOLA X Classes Pm F Fa Fr 0, 7, , 8 7 7, , , 0 0 Total Fonte: Departamento de Marketing da Companhia Vendas (Cr$.000,00) Vendas da Companhia Delta Anos. GRÁFICO EM COLUNAS OU BARRAS São representados por retângulos de base comum e altura proporcional à magnitude dos dados. Quando dispostos em posição vertical, dizemos colunas; quando colocados na posição horizontal, são denominados barras. Embora possam representar qualquer série estatística, geralmente são empregados para representar as séries específicas ( os dados são agrupados segundo a modalidade de ocorrência). Observando a tabela podemos responder a questões como: Quantos são os estudantes com estatura inferior a 0 cm? Que porcentagem de estudantes tem estatura igual ou superior a 7 cm? Quantos são os estudantes com estatura maior ou igual a 0 cm e menor que 7 cm? Qual a porcentagem de estudantes com estatura abaixo de 70 cm? Respostas: a) b)% c) d)90% Finalizando, uma observação: o agrupamento em classes muito grandes poderá levar a uma perda de pormenores; podemos, então, optar pelo agrupamento em classes menores e, conseqüentemente, por um maior número delas, desde que isso não prejudique o estudo. Com a possibilidade do uso de computadores, esta alternativa torna-se bastante viável. PRINCIPAIS TIPOS DE GRÁFICOS :. GRÁFICOS LINEARES OU DE CURVAS São gráficos em duas dimensões, baseados na representação cartesiana dos pontos no plano. Servem para representar séries cronológicas ou de localização (os dados são observados segundo a localidade de ocorrência), sendo que o tempo é colocado no eixo das abscissas (x) e os valores observados no eixo das ordenadas (y). Vendas da Companhia Delta 97 a Ano Vendas (Cr$.000,00) 9 A) Gráfico em Colunas População Brasileira ( ) Ano População Fonte: Anuário Estatístico - 97 População B) Gráfico em Barras População do Brasil ANOS Produção de Alho Brasil (988) ESTADOS QUANTIDADES (t) Santa Catarina.97 Minas Gerais.89 Rio Grande do Sul.89 Goiás.0 São Paulo.79 Fonte: IBGE

60 Estados PRODUÇÃO DE ALHO - BRASIL- 988 São Paulo Rio Grande do Sul Santa Catarina toneladas GRÁFICO EM COLUNAS OU BARRAS MÚLTIPLAS ESTE TIPO DE GRÁFICO É GERALMENTE EMPREGA- DO QUANDO QUEREMOS REPRESENTAR, SIMULTÂNEA MENTE, DOIS OU MAIS FENÔMENOS ESTUDADOS COM O PROPÓSITO DE COMPARAÇÃO. ESPECIFI- CAÇÃO Fonte: Ministério das Economia BALANÇA COMERCIAL BRASIL VALOR (US$ ) Caprinos Total 0 Fonte: IBGE Temos: Para Bovinos: º x x 8,º x 8º Para Suínos: º y Para Ovinos: º y,7º y 7º z z,º z º Para Caprinos: º w w 9,º w 0º US$ MILHÃO BALANÇA COMERCIAL BRASIL ANOS exportação REBANHOS BRASILEIROS % 0% Bovinos % Suínos Ovinos 9% Caprinos. GRÁFICO POLAR. GRÁFICO EM SETORES É a representação gráfica de uma série estatística, em um círculo, por meio de setores circulares. É empregado sempre que se pretende comparar cada valor da série com o total. O total é representado pelo círculo, que fica dividido em tantos setores quantas são as partes. Para construí-lo, divide-se o círculo em setores, cujas áreas serão proporcionais aos valores da série. Essa divisão poderá ser obtida por meio de uma regra de três simples e direta. Total 0º Parte x º É a representação de uma série por meio de um polígono. É o gráfico ideal para representar séries temporais cíclicas, isto é, séries temporais que apresentam em seu desenvolvimento determinada periodicidade, como, por exemplo, a variação da precipitação pluviométrica ao longo do ano ou da temperatura ao longo do dia, a arrecadação da Zona Azul durante a semana, o consumo de energia elétrica durante o mês ou o ano, o número de passageiros de uma linha de ônibus ao longo da semana, etc. O gráfico polar faz uso do sistema de coordenadas polares. PRECIPITAÇÃO PLUVIOMÉTRICA REBANHOS BRASILEIROS 988 ESP QUANTIDADE (milhões de cabeças) ÉCIE BOVINOS 0 Suínos Ovinos 0 0 MUNICÍPIO DE RECIFE 989 MESE PRECIPITAÇÃO (mm) S Janeiro 7,8 Fevereiro,9 Março 8,9 Abril,7

61 Maio 8, Junho 8, Julho 8,7 Agosto,8 Setembro 9,7 Outubro, Novembro 8, Dezembro 0, Fonte: IBGE Fonte: IBGE PRECIPITAÇÃO PLUVIOMÉTRICA MUNICÍPIO DE RECIFE Novembro Outubro Setembro Dezembro Agosto Janeiro Julho Fevereiro Junho Março Abril Maio. traçamos uma circunferência de raio arbitrário (em particular, damos preferência ao raio de comprimento proporcional à média dos valores da série; neste caso, x,);. construímos uma semi-reta ( de preferência na horizontal) partindo de O (pólo) e com uma escala (eixo polar);. dividimos a circunferência em tantos arcos quantas forem as unidades temporais;. traçamos, a partir do centro O (pólo), semi-retas passando pelos pontos de divisão;. marcamos os valores correspondentes da variável, iniciando pela semi-reta horizontal (eixo polar);. ligamos os pontos encontrados com segmentos de reta; 7. se pretendemos fechar a poligonal obtida, empregamos uma linha interrompida.. CARTOGRAMA O cartograma é a representação sobre uma carta geográfica. Este gráfico é empregado quando o objetivo é o de figurar os dados estatísticos diretamente relacionados com áreas geográficas ou políticas. Distinguimos duas aplicações: Representar dados absolutos (população) neste caso, lançamos mão, em geral, dos pontos, em número proporcional aos dados. Representar dados relativos (densidade) neste caso, lançamos mão, em geral, de Hachuras. POPULAÇÃO PROJETADA DA REGIÃO SUL DO BRASIL 990 ESTA POPULAÇÃO Á D DO (hab.) REA (km ) ENSIDA- DE Paraná ,8 Santa Catarina ,8 Rio Grande do Sul , 7. GRÁFICOS PICTÓRICOS SÃO GRÁFICOS ATRAVÉS DE FIGURAS QUE SIMBO- LIZAM FATOS ESTATÍSTICOS, AO MESMO TEMPO QUE INDICAM AS PROPORCIONALIDADES. Por serem representados por figuras, tornam-se atraentes e sugestivos, por isso, são largamente utilizados em publicidades. Regras fundamentais para a sua construção: Os símbolos devem explicar-se por si próprios; As quantidades maiores são indicadas por meio de um número de símbolos, mas não por um símbolo maior; Os símbolos comparam quantidades aproximadas, mas detalhes minunciosos; Os gráficos pictóricos só devem ser usados para comparações, nunca para afirmações isoladas. ANOS PRODUÇÃO BRASILEIRA DE VEÍCULOS (dados fictícios) GRÁFICOS ANALÍTICOS ANO PRODUÇ ÃO PRODUÇÃO.000 unidades Os gráficos analíticos são usados tipicamente na representação de distribuições de freqüências simples e acumuladas.. HISTOGRAMA É a representação gráfica de uma distribuição de freqüências por meio de retângulos justapostos, onde no eixo

62 das abscissas temos os limites das classes e no eixo das ordenadas os valores das freqüências absolutas (f i). POLÍGONO DE FREQÜÊNCIAS CONSTRUIR A OGIVA DE GALTON E, A PARTIR DOS DADOS, DETERMINE O VALOR DA MEDIANA DA SÉRIE. É um gráfico de linhas que se obtém unindo-se os pontos médios dos patamares dos retângulos do HISTOGRAMA. Classes PM f i f r f % f a f ra f %a ,08 8 0, , 0 0, , 8 0, , 0, , , , 0, ,08 8 0,00 00 Σ 0, Para obtermos a mediana, a partir da OGIVA DE GALTON, tomamos em f a a freqüência percentual que irá corresponder à 00% ou seja, f %a 00. Como a mediana corresponde ao termo central, localizamos o valor da f a que corresponde à 0% da f %a, que neste caso, é f a. A mediana será o valor da variável associada a esse valor no eixo das abscissas ou seja, Md 7 CÁLCULO DA MODA PELA FÓRMULA DE PEARSON M o. Md. x OBSERVAÇÕES: a) O HISTOGRAMA e o POLÍGONO DE FREQÜÊNCIAS, em termos de f i, f r e f% têm exatamente o mesmo aspecto, mudando apenas a escala vertical; b) Observe que, como o primeiro valor da tabela é bem maior que zero, adotamos aproxima-lo do zero através da convenção: 0. POLÍGONO DE FREQÜÊNCIAS ACUMULADAS OU OGIVA DE GALTON É a representação gráfica que tem no eixo das abscissas os limites das classes e no eixo das ordenadas as freqüências acumuladas (f a ou f %a ) NOTA: Para obtermos o valor da mediana de uma série de valores em dados agrupados usamos uma fórmula, porém, através do gráfico de freqüências acumuladas (OGIVA DE GALTON) podemos obter esse valor. EXEMPLO: Seja a distribuição: Classes f i f a Segundo PEARSON, a moda é aproximadamente igual à diferença entre o triplo da mediana e o dobro da média. Esta fórmula dá uma boa aproximação quando a distribuição apresenta razoável simetria em relação à média. Exemplo: Seja a distribuição: Classes PM f i f a PM. f i Classe Modal e Classe Mediana Determine a Moda pela fórmula de CZUBER e pela fórmula de PEARSON. I) Cálculo da média : PM. fi 80 x,9 x,9 n II) Cálculo da mediana: a) posição da mediana : P n/ /

63 P ª posição obtida na coluna f a que corresponde à ª classe; b) Li, f a 8, f i 0, h 8 c) Md (P - ' fa ) ( - 8) Li +. h +. + fi 0 Md 7 III) Cálculo da moda pela fórmula de CZUBER: Classe modal Classe de freqüência máxima ª classe ( --- 8) Li, 0, 0, h 8 M o Li +. h ,... 7, + M o 7, IV) Cálculo da moda pela fórmula de PEARSON: M o.md. x M o. 7.,9,8 7, M o 7, MEDIDAS DE UMA DISTRIBUIÇÃO Há certas medidas que são típicas numa distribuição: as de tendência central (médias), as separatrizes e as de dispersão. MÉDIAS Consideremos, em ordem crescente, um rol de notas obtidas por alunos de duas turmas (A e B): Turma A: Turma B: Observemos para cada turma: valor que ocupa a posição central: O quociente da somatória ( ) dos dados (x) pela quantidade de dados (n): X n Turma A: Turma B: ,, Colocando estes três valores lado a lado, temos: Turma Posição Maior freqüência X central n A 7, B, Observando os resultados, podemos afirmar que a turma A teve melhor desempenho que a turma B. Esses três valores caracterizam as distribuições. São chamados valores típicos. Eles tendem a se localizar em um ponto central de um conjunto de dados ordenados segundo suas grandezas, o que justifica a denominação medidas de tendência central ou médias. O valor que ocupa a posição central chama-se mediana (Md): Para a turma A, a mediana é : Md. Para a turma B, a mediana é : Md O valor que aparece com maior freqüência chama-se moda (Mo): Para a turma A, a moda é 7: Mc 7. Para a turma B, a moda é : Mc. O quociente da soma dos valores pela quantidade chamase média aritmética (Ma): Para a turma A, a média aritmética é Ma, Para a turma B, a média aritmética é Ma,. Portanto, mediana, moda e média aritmética são medidas de tendência central ou médias da distribuição. Existem outros tipos de média, como a média geométrica e a harmônica, que não constarão deste capítulo por não serem muito utilizadas neste nível de ensino. Média aritmética A média aritmética (Ma) é a medida de tendência central mais conhecida. Já sabemos que ela é o quociente da soma dos valores ( x) pela quantidade deles (n). Exemplo : Consideremos os dados abaixo: O valor que aparece com maior freqüência: A quantidade de dados é: n 0 A soma dos dados é:

64 x A média aritmética é: X 80 Ma Ma n 0 Exemplo : Consideremos os mesmos dados do exemplo dispostos em uma distribuição por freqüência: x F 8 7 Total 0 Veja que o número de observações é igual ao da soma das freqüências: n F 0. x x Os fatores que multiplicam os dados são as freqüências que aparecem na tabela da distribuição. Logo: Ma X Fx n F As relações se eqüivalem: X Fx Ma e Ma n F Na prática, quando temos a distribuição por freqüência, acrescentamos à tabela uma coluna com os produtos Fx de cada valor pela sua freqüência: Ma x F Fx Total Ma 0 Muitas vezes, são associados aos dados certos fatores de ponderação (pesos), que dependem do significado ou da importância que se atribui ao valor. No exemplo acima, a cada dado está associada sua freqüência. Ë comum nas escolas obter-se a média do aluno pela ponderação das notas das provas. Exemplo : Numa determinada escola, no primeiro semestre, o prol ~sor de aplicou a seus alunos três provas: a primeira de álgebra, a segunda de geometria e a terceira exigindo toda a matéria. Considerou peso para a última prova e peso para as duas primeiras. Um aluno obteve as seguintes notas: primeira prova 8,0 segunda prova,0 terceira prova 7,0 Qual é a média do aluno? Solução: (8,0.) + (,0.) + (7,0.) 7 média é:, Temos então um exemplo de média aritmética ponderada (Mp). No exemplo, os fatores de ponderação são as freqüências dos dados. No exemplo, são os pesos atribuídos às provas. A média ponderada é usada quando já temos os dados dispostos em tabelas de freqüência ou quando a ponderação dos dados já é determinada. Cálculo da média aritmética para dados agrupados em classes Quando, numa distribuição por freqüência, os dados estão agrupados cm classes, são considerados coincidentes com os pontos médios das classes às quais pertencem. Para o cálculo da Ma, usaremos os produtos dos pontos médios pelas freqüências de cada classe (Pm. F). Acrescentamos, então, à tabela dada a coluna Pm. F. Exemplo : Seja a tabela que nos dá a altura (x) dos estudantes de uma classe de primeiro grau: h x (cm) Pm F 0, 0 7, 9 0, 70 7, , , Total 0 Queremos, a partir da tabela, calcular a média aritmética. Solução: Completando a tabela, com a coluna Pm. F. temos: h x (cm) Pm F Pm.F 0, 9,0 7, 9 7, 0 0, 00,0 7 7, 87, , 7,

65 Ma Ma , 77, 0 Total F0 Pm.F, 0 0 Pm F F Ma, cm Este é o cálculo da média aritmética pelo chamado processo longo. Podemos, no entanto, calcular a Ma, sem cálculos demorados, utilizando o processo breve. Para isso, devemos compreender o conceito de desvio (d), que é a diferença entre cada dado e a Ma. O desvio também pode ser chamado de afastamento. No exemplo que acabamos de ver, os dados estão agrupados em classes; são, portanto, considerados coincidentes com os pontos médios das classes às quais pertencem. Os desvios são: d α. F, onde α Pm Ma. Neste exemplo: (α) (α.f),, 9,,7 7,,, 7,,, 0,87,0 7,,,87 9,7 7,, 0,87, 77,,,87,87 A soma algébrica dos desvios é: αf 9,87 + 9,870 Esta propriedade pode ser usada para o cálculo da Ma pelo processo breve: A soma algébrica dos desvios dos valores de uma série em relação à Ma é nula. Podemos, então, calcular a média aritmética sem recorrer a cálculos demorados. Primeiro, indicamos o ponto médio de uma das classes como uma suposta média aritmética (Ms). Em geral, escolhemos o da classe que apresenta a maior freqüência, para que o desvio (Ma Ms) seja o menor possível. Calculamos, a seguir, esse fator de correção (C Ma Ms). Ms, Os desvios em relação à Ms são:,-, h c - 7,-, h c -,-, h c 0 7,-,.. h c 7,-, 0.. h c 77,-,.. h c Os valores obtidos para c são: -, -, 0,,,. Esses números seriam iguais a α se Ms fosse a média aritmética. Acrescentando à tabela os valores de c e de c. F: x Pm F c c.f 0, - - 7, , , , , 0 Total F0 cf-7 Considerando-se os quarenta dados, o erro verificado é 7. A soma algébrica dos desvios deveria ser nula se Ms 7 Ma. Logo, o fator de correção é C ou seja, C 0 0,7. Se: Ma Ms 0 Ma, 0,7 Ma, + ( 0,7) Ma, Vamos construir o histograma da distribuição e traçar uma perpendicular ao eixo das abscissas passando pelo ponto correspondente à Ma. ou Se C 0 Ma Ms. Caso contrário, estaremos dependendo de um fator de correção para mais ou para menos. Se os intervalos de classe têm a mesma amplitude h, todos os desvios Pm Ms podem ser expressos por c.h, onde h é a amplitude e c pode ser um número inteiro negativo (se o Pm considerado está abaixo da Ms) ou um inteiro positivo (se o Pm está acima da Ms). Consideremos a tabela do exemplo, e calculemos a Ma pelo processo breve. Vamos escolher o Pm da classe de maior freqüência como a suposta média: A linha obtida equilibra o histograma, dividindo-o em duas partes de áreas iguais.

66 Todos os histogramas de distribuições normais são mais ou menos simétricos em relação à Ma. Os dados de maior freqüência se aproximam da Ma. Você deve ter notado que a média aritmética é um valor que engloba todos os dados. Se houver dados discrepantes, eles influirão no valor da Ma. Exemplo : A média aritmética de :,,,,,, é: ,7 7 7 Podemos notar aqui que a discrepância entre os dados, levou a uma media aritmética maior do que os seis primeiros valores; maior, portanto, do que a maioria deles. Mediana Mediana é o valor que divide a distribuição ao meio de tal modo que 0% dos dados estejam acima desse valor e os outros 0% abaixo dele. Exemplo : Sejam as nove observações: Cálculo da mediana de uma distribuição por freqüência Exemplo 8: Consideremos a seguinte distribuição: Diária (Cz$) 00,00 0,00 00,00 0,00 Número de operários 8 Fa 7 8 Determinar a mediana dessa distribuição, em que temos as diárias dos operários de uma fábrica. Solução: Procuremos a posição da mediana pela fórmula: n + P São 8 operários: n ; logo: P 8 + P 9, A mediana está entre o nono e o décimo dado (operários). Observemos que a Fa imediatamente superior a 9, é, e corresponde à diária de R$0,00. A mediana está entre os oito operários que recebem essa diária. A diária mediana é: Mediana é o número que tem antes e depois de si a mesma quantidade de valores. Quando a quantidade de observações é um número par, a mediana é a média aritmética dos valores centrais. Exemplo 7: Sejam as seis observações: Md R$0,00 De fato, se colocássemos os operários em fila, por ordem de diária, teríamos: operários com diárias de R$00,00 8, com diárias de R$0,00 Nesse caso, a mediana e: + 7 Md Exemplo 9: Consideremos a distribuição: Você já sabe encontrar a mediana pelo processo gráfico, pela construção da ogiva porcentual. Agora veremos outro modo de obtê-la. A mediana é o valor central; sua posição é definida por: P n + Nessa expressão n é o número de observações. No exemplo, n 9; portanto, a posição da mediana é P 9 + ou P : a mediana é o quinto termo. + No exemplo 7, n P,. A mediana está, assim, entre o terceiro e o quarto termos. Em geral, a média aritmética de uma distribuição não coincide com a mediana. A mediana é um valor que não sofre influência dos valores extremos e a média aritmética envolve todos os dados. h Classe F Fa Total + Calculando a mediana, P P, verificamos que ela é o.0 termo. Está, portanto, na terceira clas- se. A freqüência acumulada imediatamente superior a é, que corresponde à terceira classe, em que a freqüência é 0. O.º termo está entre os 0 da terceira classe. Logo, a mediana está entre 0 e. Os 0 elementos estão na amplitude (h 0). A diferença (a) entre P e a Fa da classe imediatamente anterior à terceira é 7 a 7. Veja o esquema:

67 d h Md 0 + F À distância entre 0 e a mediana chamaremos x. Na distância x, temos 7 elementos. Na amplitude, temos 0 elementos. Podemos armar a proporção:, Md 0 + Md 0+,7 Md,7 cm x 7 0 x, Vamos construir o histograma da distribuição, localizando a Ma e a Md: Logo: Md 0 +, Md, Se os dados estão agrupados em classes, podemos verificar a que classe pertence a mediana calculando o valor P n +. A mediana pertence à classe cuja Fa é imediatamente superior a P. Se Fa P, a mediana é o limite superior da classe com essa freqüência acumulada. Se P Fa, calculamos d P Fa (Fa imediatamente superior à P). Armamos então a proporção: x h d F F é a freqüência da classe à qual pertence a mediana; h é a amplitude da classe; x é o número que somado ao limite inferior da classe em questão nos dará a mediana. d h x F d h Md Li + F Essa é a fórmula usada para o cálculo da mediana de uma distribuição por freqüência com dados acumulados em classes. Exemplo 0: Consideremos a tabela do exemplo, deste capítulo, e calculemos a mediana. Solução: P n + P P 0, A mediana está entre o 0.º e o.º termos. A freqüência acumulada imediatamente superior a 0, é a da terceira classe. A Md é um valor entre 0 e cm. Moda A moda de um conjunto de números é o valor que ocorre com maior freqüência. A moda pode não existir, e se existir pode não ser única. Exemplo : O conjunto de números,,, 7, 9, 9, 9, 0,,, 8 tem moda 9. Exemplo : No conjunto,, 7, 9, 0, li, todos os dados têm a mesma freqüência. Não existe nenhum valor que apresente maior freqüência do que os outros. Ë um caso em que a moda não existe. Exemplo : Seja o rol de dados:,,,,,,, 7, 7, 7, 8, 9. Os números e 7 apresentam freqüência, maior que a dos demais. Nessa distribuição há, portanto, duas modas: e 7. Uma distribuição com duas modas é denominada bimodal. A rigor, a moda não é uma medida empregada para um pequeno número de observações. Existem fórmulas para o cálculo da moda, mas, na prática, ela é determinada pelo valor ou pela classe que apresenta maior freqüência. Neste último caso, ela é chamada classe modal, e seu ponto médio é a moda bruta, que representa uma aproximação da moda. Pode-se obter a moda de uma distribuição a partir de seu histograma. Exemplo : Considerando os dados do exemplo, vamos encontrar a moda: Solução: A Md está entre os dados: A Fa está entre e : d 0, d, A amplitude da classe é h 7

68 Mo Md Ma Mo.,7.,,88 Mo,88 DESVIO PADRÃO O desvio padrão é a medida mais usada na comparação de diferenças entre grupos, por ser a mais precisa. Ele determina a dispersão dos valores em relação à média. Exemplo 7: Consideremos os pesos de 0 crianças recém-nascidas, numa cidade X: 0 meninos e 0 meninas. Considera-se a abscissa do ponto de intersecção dos segmentos CA e BD. Numa distribuição com dados agrupados, para a qual se construiu uma curva de freqüência, a moda é o valor (ou os valores) que corresponde ao ponto de ordenada máxima (ponto mais alto da curva). Meninos Peso (g) Meninas Peso (g) As médias aritméticas dos pesos são: Exemplo : Seja a distribuição do exemplo, deste capítulo, que nos dá a altura dos estudantes de uma classe de primeiro grau. Calculamos Ma, cm (no exemplo ), Md,7 cm (no exemplo 0) e encontramos a Mo pelo processo gráfico (exemplo ). Representemos os três valores no mesmo gráfico: As medidas que acabamos de estudar (Ma, Md e Mo) têm a tendência de se localizar no centro da distribuição. Em distribuições em que as curvas são simétricas, as três são coincidentes (distribuição normal). Para curvas assimétricas, o matemático Pearson verificou que a distância entre a Ma e a Mo é três vezes maior que a distância entre a Ma e a Md: Ma Mo (Ma Md) Isolando Mo: Mo Md Ma Essa é a fórmula empírica de Pearson. Exemplo : Na distribuição do exemplo anterior, Ma, e Md,7. Calcular o valor da Mo. meninas: 0g meninos: 0g Podemos observar que o peso dos meninos é em média maior que o das meninas. Calculemos os desvios e seus quadrados: Meninos Peso d d Meninas Peso d d A média aritmética dos quadrados dos desvios chama-se variância. Calculemos as variâncias das duas distribuições. Para os meninos: Para as meninas: 8