IDENTIFICAÇÃO DAS CARACTERÍSTICAS MODAIS DE ESTRUTURAS VIA PROCESSAMENTO DE IMAGENS

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1 Proceedings of the XXVI Iberian Latin-American Congress on Computational Methods in Engineering CILAMCE 5 Guarapari, Espírito Santo, Brazil, 19 th 1 st October 5 Paper CIL IDENTIFICAÇÃO DAS CARACTERÍSTICAS MODAIS DE ESTRUTURAS VIA PROCESSAMENTO DE IMAGENS Fernando Marques de Almeida Nogueira fernog@engprod.ufjf.br Departamento de Engenharia de Produção, Núcleo de Pesquisa em Métodos Computacionais em Engenharia - NUMEC, Universidade Federal de Juiz de Fora, MG, Brasil. Flávio de Souza Barbosa Luis Paulo da Silva Barra flavio@numec.ufjf.br luisp@numec.ufjf.br Departamento de Estruturas, Núcleo de Pesquisa em Métodos Computacionais em Engenharia - NUMEC, Universidade Federal de Juiz de Fora, MG, Brasil. Resumo. Freqüências naturais de vibrações em estruturas são normalmente avaliadas através da aplicação de técnicas de identificação modal aos sinais analógicos ou digitais obtidos de medidores de deslocamentos, acelerações ou deformações, os quais apresentam várias configurações. Alternativamente, é possível utilizar processamento de imagens de uma câmera para identificar o comportamento dinâmico estrutural, evitando o uso de medidores eletrônicos e condicionadores de sinais, o que, em geral, apresentam maiores custos. Entretanto, as distorções entre a cena e a imagem ocasionadas pela projeção perspectiva podem influenciar diretamente a identificação modal estrutural. Analisa-se neste trabalho a influência dos parâmetros de posição, orientação e escala (distância focal) da câmera com relação à estrutura na identificação de freqüências naturais, utilizando simulações numéricas computacionais de uma viga em balanço sob vibrações livres com freqüências de vibração arbitradas. Nestas simulações, utiliza-se a filmagem de um alvo circular preto e fundo branco fixado sobre a estrutura sob vibrações. Através de técnicas de processamento de imagens, determinam-se as coordenadas do centro do alvo em cada quadro da seqüência de imagens com precisão sub-pixel, formando a resposta temporal do alvo analisado. Posteriormente, determinam-se as freqüências naturais da estrutura por meio da Transformada Discreta de Fourier. Finalmente, fazem-se comparações entre as freqüências impostas e aquelas identificadas, visando verificar a influência da posição e orientação da câmera na identificação modal. Palavras chaves: Processamento de imagens, Identificação modal, Dinâmica de estruturas. 1

2 Proceedings of the XXVI Iberian Latin-American Congress on Computational Methods in Engineering CILAMCE 5 Guarapari, Espírito Santo, Brazil, 19 th 1 st October 5 1. INTRODUÇÃO Paper CIL A utilização de imagens digitais para a obtenção do comportamento dinâmico de estruturas está presente em alguns trabalhos da literatura (Poudel et al, 4 e Ram et al, 1996) com aplicações voltadas geralmente para avaliações de danos e identificação modal de estruturas. Um grande problema que ocorre quando se utiliza seqüências de imagens para analisar o comportamento dinâmico de estruturas são as distorções causadas pela projeção perspectiva que ocorre entre a cena (3D) e a imagem (D) capturada por uma câmera. De acordo com os parâmetros de posição, orientação e escala (distância focal) da câmera, os efeitos da projeção perspectiva podem alterar significantemente as componentes espectrais para a estrutura analisada. Através de simulações computacionais, este artigo apresenta uma análise paramétrica da influência dos parâmetros da câmera com relação à estrutura analisada num problema de identificação de freqüências naturais. Para tanto, pode-se dividir este trabalho em 4 etapas distintas: Geração artificial dos dados experimentais: Nesta etapa, seqüências de imagens sintéticas são geradas. Estas seqüências simulam resultados de ensaios experimentais em vibrações livres em barras para as quais se impõem freqüências de vibrações e se controla a posição, orientação e distância focal da câmera. Identificação da resposta temporal: A resposta temporal é obtida através da identificação do centróide de um alvo fixado à estrutura para cada quadro da seqüência de imagens sintéticas. Identificação das freqüências naturais. As freqüências de vibrações da estrutura podem ser obtidas através de Transformadas Tempo-Freqüência da resposta temporal da estrutura Análise Paramétrica. Faz-se nesta etapa a comparação entre as freqüências naturais obtidas e aquelas impostas na Geração artificial dos dados experimentais. Uma vez realizadas estas quatro etapas, que a seguir serão detalhadamente descritas, e considerando diversos parâmetros para a câmera, pode-se fazer uma análise da influência destes na identificação das freqüências naturais.. GERAÇÃO ARTIFICIAL DOS DADOS EXPERIMENTAIS O modelo estrutural analisado neste trabalho é uma viga engastada e livre conforme mostrado na Fig. 1. A posição da câmera é definida pelas coordenadas do seu centro perspectivo CP (X CP, Y CP, Z CP ) no referencial global e sua orientação pelas rotações κ (em torno do eixo Z), ϕ (em torno do eixo Y), e θ (em torno do eixo X). Cabe destacar que a direção X foi arbitrada como sendo paralela ao eixo da viga em repouso. A distância focal df é a distância entre o CP e o plano sensor da câmera. O modelo de câmera utilizado neste trabalho é o de câmera de orifício, no qual as coordenadas de imagem (x,y) no sistema imagem de um ponto com coordenadas (X,Y,Z) no sistema global podem ser dadas por (Gonzales, ): r x = df r r y = df r ( X XCP ) + r1 ( Y YCP ) + r13( Z ZCP ) ( X XCP ) + r3 ( Y YCP ) + r33( Z ZCP ) ( X XCP ) + r( Y YCP ) + r3( Z ZCP ) ( X X ) + r ( Y Y ) + r ( Z Z ) CP 3 CP 33 CP (1) ()

3 Proceedings of the XXVI Iberian Latin-American Congress on Computational Methods in Engineering CILAMCE 5 Guarapari, Espírito Santo, Brazil, 19 th 1 st October 5 Paper CIL sendo: cosϕcosκ r = cosϕsenκ senϕ cosθsenκ+ senθsenϕ cosκ cosθcosκ senθsenϕsenκ senθ cosϕ senθsenκ cosθsenϕ cosκ senθ cosκ+ cosθsenϕsenκ cosθcosϕ (3) Y Sistema Global Alvo ϕ Z Sistema Imagem y κ df θ Câmera X CP Figura 1 - Modelo de viga engastada, alvo e sistemas de coordenadas. A Fig. mostra o esquema do alvo colocado sobre a estrutura. Os deslocamentos nas direções X e Y (sistema global) dos pontos do alvo foram introduzidos segundo Eqs. (4) e (5). Estas expressões aproximam o comportamento dinâmico real da extremidade da estrutura sob vibrações livres, considerando-se apenas a primeira freqüência natural, pequenos deslocamentos e pequenas taxas de amortecimento. x Figura : Representação esquemática do deslocamento do alvo. 3

4 Proceedings of the XXVI Iberian Latin-American Congress on Computational Methods in Engineering CILAMCE 5 Guarapari, Espírito Santo, Brazil, 19 th 1 st October 5 Paper CIL X Y L L L = sin ψ t () t = cos[ ψ() t ] () t [ ()] (4) (5) sendo: X(t),Y(t) são coordenadas no sistema global; ξω ψ t = ψsin ωt e t ; () ( ) ( ) ψ é o ângulo inicial; ω é a freqüência natural de vibração da viga; ξ é a constante de amortecimento; t é tempo e L é o comprimento da viga; A utilização de apenas uma componente de freqüência na simulação do comportamento da viga visa facilitar as análises paramétricas. Em casos reais, com oscilações contendo várias componentes modais, os resultados obtidos neste trabalho podem ser generalizados utilizando o método de superposição modal. As seqüências de imagens foram gerados com o software Pov-Ray v3.6 (Pov-Ray, 5). A Fig. 3 mostra uma seqüência típica com 6 quadros capturados pela câmera hipotética. Figura 3: Seqüência de imagens típicas geradas com o software Pov-Ray v IDENTIFICAÇÃO DA RESPOSTA TEMPORAL O alvo utilizado nas seqüências de imagens deve permitir uma identificação robusta e automática além de apresentar características geométricas compatíveis com a aplicação. Desta forma, adotou-se um círculo preto em um fundo branco como alvo. Uma simples operação de limiarização (thresholding) é utilizada para transformar uma imagem em escala de cinza, como aquelas geradas neste trabalho, numa imagem binária conforme mostrado na Fig. 4. 4

5 Proceedings of the XXVI Iberian Latin-American Congress on Computational Methods in Engineering CILAMCE 5 Guarapari, Espírito Santo, Brazil, 19 th 1 st October 5 Paper CIL Figura 4: A operação de limiarização. Os pixels (x,y) de cada imagem (da seqüência de imagens) que excederam um limiar T constante para toda a seqüência de imagens são rotulados com b(x,y)=1 (pixels escuros) e os demais com b(x,y)= (pixels claros), gerando-se uma seqüência de imagens binárias. Em situações reais, o limiar T também pode ser considerado constante se as condições de iluminação não se alterarem significantemente durante toda a operação. Após a identificação do alvo é possível determinar as coordenados do centróide do círculo ( x, y), mostrado na figura 4, com resolução sub-pixel, usando as expressões que seguem, para cada imagem. 1 x = N M N M x= 1 y= 1 b( x, y)x. (6) e y = 1 N M N M x = 1 y= 1 b ( x, y )y. (7) sendo: N e M são, respectivamente, o número de colunas e o número de linhas da imagem. 4. IDENTIFICAÇÃO DAS FREQÜÊNCIAS NATURAIS Tomando-se as coordenadas do centróide do alvo identificadas para cada imagem da seqüência de imagens tem-se a resposta temporal da estrutura. A Fig. 5 mostra um exemplo de resposta temporal obtida para a qual se tem x e y (referencial na imagem) respectivamente paralelos a X e Y (referencial global), ou seja, uma situação ideal para a qual a câmera está colocada exatamente de frente para o alvo. Este exemplo base servirá para a análise paramétrica que é feita no item posterior. Os valores adotados para as variáveis envolvidas no exemplo base estão mostrados na Tab. 1. 5

6 Proceedings of the XXVI Iberian Latin-American Congress on Computational Methods in Engineering CILAMCE 5 Guarapari, Espírito Santo, Brazil, 19 th 1 st October 5 Paper CIL Tabela 1 - Valores adotados para as variáveis envolvidas no exemplo base. pixel (valores em unidades tradicionais podem Unidade de referência para deslocamentos ser obtidos de posse da relação entre o tamanho de um pixel na imagem e o correspondente valor real). Coordenadas do Centro de projeção (CP) X CP =, Y CP = e Z CP = Rotações relativas entre os sistemas de coordenadas: κ = ϕ = θ = Distância focal df=1 Posição inicial do centro do alvo com relação ao referencial global X =, Y = e Z= 1 Freqüência imposta para oscilação da imagem do alvo ω = 1π rad/s (equivalente a 5 ) Taxa de amortecimento imposta para oscilação da imagem do alvo ξ = 1 % Ângulo inicial (correspondente ao deslocamento máximo) ψ = ο Comprimento da viga L = 1 Número de quadros gerados por segundo (freqüência de aquisição) 3 quadros por segundo.5 x(t) 4 y(t).4 pixels.3. pixels segundos Figura 5: Resposta temporal típica segundos De posse da resposta temporal x(t) e y(t) do exemplo base, determinam-se as freqüências naturais da estrutura através da Transformada Discreta de Fourier. A Fig. 6 mostra o espectro de magnitude de Fourier x () f e y () f para x(t) e y(t), respectivamente. 6

7 Proceedings of the XXVI Iberian Latin-American Congress on Computational Methods in Engineering CILAMCE 5 Guarapari, Espírito Santo, Brazil, 19 th 1 st October 5 Paper CIL x(f) 15 y(f) Figura 6: Espectro de magnitude de Fourier para x(t) e y(t) da figura 5. Pode-se notar nos gráficos da Fig. 6 que a componente espectral 1 Hz e 5 Hz apresentam valores máximos nos gráficos de x(f) e y(f), respectivamente, indicando corretamente as freqüências naturais de vibração da estrutura nas direções x e y. De acordo com as Eq. (4) e (5), a freqüência de oscilação na direção x é dobro da freqüência de oscilação na direção y, ou seja, para cada ciclo de deslocamento do alvo na direção vertical tem-se dois ciclos de deslocamento na direção horizontal. 5. ANÁLISE PARAMÉTRICA O objetivo desta seção é analisar como os conteúdos espectrais referentes às componentes x e y se modificam em função dos parâmetros da câmera quando comparados aos conteúdos espectrais referentes às componentes X e Y que são invariantes. Estas últimas componentes, de uma forma geral, definem o comportamento dinâmico da estrutura, uma vez que representam os deslocamentos horizontais e verticais, respectivamente. Pode-se observar que x e y coincidem com X e Y, respectivamente, quando não há translações (Xcp = Ycp = Zcp = ) e rotações (κ = ϕ = θ = ) entre os sistemas de coordenadas imagem e global, além da distância focal ser igual a unidade e o plano sobre o qual a estrutura desloca-se estar situado a uma unidade de distância do plano XY (ver Eqs. (1) e ()). Estes parâmetros coincidem com os adotados no exemplo base e, por esse motivo, o mesmo fora anteriormente analisado. Todos os testes realizados partiram do exemplo base e então se alterou cada parâmetro da câmera de maneira isolada, gerando as seqüências de imagens para serem processadas. 5.1 Influência da distância focal A distância focal em uma câmera é o parâmetro responsável pela escala da imagem em relação à cena. A influência deste parâmetro na identificação da freqüência natural na direção y é apresentada na Fig. 7. Esta figura mostra nos gráficos bidimensionais o espectro de magnitude de Fourier e o espectro de potência de Fourier para a resposta temporal y(t) em função de 7 valores de distância focal, respectivamente. Ainda na Fig. 7, o gráfico tridimensional mostra o espectro de magnitude de Fourier em função de valores contínuos da distância focal. Pode-se observar que alterações na distância focal ocasionam apenas mudanças de escalas na magnitude e potência dos respectivos espectros de Fourier. 7

8 Proceedings of the XXVI Iberian Latin-American Congress on Computational Methods in Engineering CILAMCE 5 Guarapari, Espírito Santo, Brazil, 19 th 1 st October 5 Paper CIL Espectro de - distância focal Espectro de Potência (db) - distância focal db Influência das translações Figura 7: Influência do parâmetro distância focal. As translações da câmera são modeladas pelos parâmetros X CP, Y CP e Z CP. As Figs. 8, 9 e 1 mostram os efeitos sobre os espectros de magnitude e de potência de Fourier para os parâmetros X CP, Y CP e Z CP, respectivamente, na direção y. A organização dos gráficos nas figuras é análoga à descrita para a Fig. 7. Os resultados mostram que variações nos parâmetros X CP e Y CP não afetam os espectros de magnitude e de potência de Fourier. Devido a isto, os gráficos do espectro de magnitude e de potência de Fourier em função de X CP e Y CP dispostos nas Figs. 8 e 9, respectivamente, estão todos superpostos. O parâmetro Z CP é responsável por aproximar ou afastar a câmera da cena, podendo ser tratado como um parâmetro que ocasiona alterações na escala da imagem. Seus efeitos sobre os espectros de magnitude e de potência de Fourier são semelhantes àqueles ocasionados por alterações na distância focal, porém percebe-se um comportamento não linear das amplitudes em função do parâmetro Z CP. 8

9 Proceedings of the XXVI Iberian Latin-American Congress on Computational Methods in Engineering CILAMCE 5 Guarapari, Espírito Santo, Brazil, 19 th 1 st October 5 Paper CIL Espectro de - Xcp Espectro de Potência (db) - Xcp db Figura 8: Influência do parâmetro X CP. Espectro de - Ycp Espectro de Potência (db) - Ycp db

10 Proceedings of the XXVI Iberian Latin-American Congress on Computational Methods in Engineering CILAMCE 5 Guarapari, Espírito Santo, Brazil, 19 th 1 st October 5 Paper CIL Figura 9: Influência do parâmetro Y CP. Espectro de - Zcp Espectro de Potência (db) - Zcp db Influência das rotações Figura 1: Influência do parâmetro Z CP. As rotações do sistema imagem em relação ao sistema global são as principais responsáveis por grandes alterações nos espectros de magnitude e de potência de Fourier, uma vez que estas possibilitam que o plano sobre o qual a estrutura se desloca deixe de ser paralelo ao plano sensor da câmera. As Figs. 11, 1 e 13 mostram os efeitos sobre os espectros de magnitude e de potência de Fourier para os parâmetros κ, ϕ e θ, respectivamente, na direção y. A organização dos gráficos nas figuras é análoga à descrita para a Fig. 7. 1

11 Proceedings of the XXVI Iberian Latin-American Congress on Computational Methods in Engineering CILAMCE 5 Guarapari, Espírito Santo, Brazil, 19 th 1 st October 5 Paper CIL Espectro de - kappa Espectro de Potência (db) - kappa db Figura 11: Influência do parâmetro κ. Espectro de - phi Espectro de Potência (db) - phi db

12 Proceedings of the XXVI Iberian Latin-American Congress on Computational Methods in Engineering CILAMCE 5 Guarapari, Espírito Santo, Brazil, 19 th 1 st October 5 Paper CIL Figura 1: Influência do parâmetro ϕ. Espectro de - theta Espectro de Potência (db) - theta db Figura 13: Influência do parâmetro θ. O parâmetro κ influencia os espectros de magnitude e de potência de Fourier impondo aos mesmos variações não-lineares em função da rotação κ imposta, conforme mostra Fig. 11. Observa-se também que a componente harmônica de freqüência igual a 1 Hz imposta ao deslocamento X no exemplo base passa a compor o espectro de freqüências obtido para a direção y à medida que se aumentam os valores de κ. Isso se deve às projeções dos deslocamentos X na direção y que passam a ser significativos para valores de κ relativamente grandes. Este fenômeno pode prejudicar a interpretação dos resultados, identificando freqüências de vibrações irreais caso se associe os deslocamentos nas direções x e y aos deslocamentos horizontais e verticais, respectivamente. 1

13 Proceedings of the XXVI Iberian Latin-American Congress on Computational Methods in Engineering CILAMCE 5 Guarapari, Espírito Santo, Brazil, 19 th 1 st October 5 Paper CIL Os resultados obtidos para a influência do parâmetro ϕ mostrados na Fig. 1 apresentam apenas a componente de freqüência 5 Hz no sinal y(t). Observa-se também que para valores de ϕ até aproximadamente +/- o não existem alterações significativas nas amplitudes de Fourier na direção y. Isto se deve ao fato de que como a amplitude dos deslocamentos da viga na direção X é muito menor que na direção Y, os efeitos da sua projeção perspectiva sobre y(t) são pequenos uma vez que a variação da distância na direção Z durante o deslocamento do centro do alvo ao plano sensor da câmera também é pequena quando apenas se rotaciona o eixo y. Existem valores singulares para o ângulo ϕ para os quais só há deslocamento na direção y. Nas proximidades destes valores as imagens muito distorcidas comprometem a análise. O intervalo utilizado neste trabalho para ϕ foi de [-65, 65 ], pois as grandes distorções que ocorreram no sinal y(t) para valores menores que -65 inviabilizam a identificação da componente de freqüência real. Os resultados apresentados na Fig. 13 (influência do parâmetro θ) mostram que existe a componente de freqüência 5 Hz e 1 Hz no sinal y(t). Este fato ocorreu, pois a rotação em torno de X afeta apenas as coordenadas y e z (perpendicular ao plano xy). Como a amplitude dos deslocamentos da viga na direção Y é muito maior que na direção X, os efeitos da projeção perspectiva sobre y(t) são grandes quando se rotaciona em torno de X. Pode-se perceber que a distorção sobre y(t) obedece a um "padrão de distorção" exatamente com freqüência 1 Hz, a qual é a componente de freqüência real de X(t). Este "padrão de distorção" pode ser entendido como um outro fenômeno periódico que foi introduzido em y(t). O intervalo utilizado neste trabalho para θ foi de [-15, 15 ], pois as grandes distorções que ocorreram no sinal y(t) para valores menores que -15 e maiores que 15, inviabilizaram a identificação da componente de freqüência real. A determinação das taxas de amortecimentos nos exemplos apresentados poderia ser realizada através da aplicação do método de Ibrahim (Ewins, ) às respostas temporais identificadas. Já a aplicação da metodologia apresentada de formas modais não é direta em função das distorções que ocorrem nas imagens. 6. CONCLUSÕES Um método de baixo custo para identificação de freqüências naturais de estruturas via processamento de imagens foi apresentado neste trabalho. Os resultados foram obtidos através de simulações numéricas e mostraram que a metodologia proposta é válida desde que se adotem parâmetros adequados para a câmera. Para tanto, o usuário deve posicionar a câmera que fará a aquisição das imagens aproximadamente em frente ao alvo mantendo também aproximadamente paralelos o plano de deslocamento do alvo e o plano sensor da câmera. Agradecimentos Os autores agradecem ao CNPq (Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico) e à FAPEMIG (Fundação de Amparo à Pesquisa de Minas Gerais) pelo apoio financeiro. 13

14 Proceedings of the XXVI Iberian Latin-American Congress on Computational Methods in Engineering CILAMCE 5 Guarapari, Espírito Santo, Brazil, 19 th 1 st October 5 REFERÊNCIAS Ewins, E. J., 1. Modal Testing. nd edition. Taylor & Francis Group. Paper CIL Gonzalez, R. C. & Woods, R. E., Digital Image Processing. nd edition. Prentice Hall. Poudel, U.P., Fu, G. & Ye, J., 4. Structural damage detection using digital video imaging technique and wavelet transformation. Journal of Sound and Vibration, in press, accepted 1 October. Pov-Ray v3.6., 5. Disponível para download em (site acessado em 5/7/5). Ram, Y. M. & Caldwell, J., Free vibration of a string with moving boundary conditions by the method of distorted images. Journal of Sound and Vibration, 194(1),