UD V. Orientação Exterior

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1 UD V Orientação Exterior Conceitos Básicos Matriz de Rotação Resseção Espacial Condição de Colinearidade Modelo Matemático Ajustamento pelo MMQ Aproximações Iniciais Implementação do Algoritmo UD V - Orientação Exterior 47

2 Conceitos Básicos Orientação Interior reconstituição da posição da fotografia aérea em relação ao feixe perspectivo. Os parâmetros da OI são: a distância principal e a posição do ponto principal. Orientação Relativa orientação de cada feixe perspectivo em relação ao seu homólogo, de tal maneira que assumam no espaço a mesma posição relativa que tinham durante a tomada das respectivas fotografias. Orientação Absoluta orientação dos dois feixes em relação ao terreno. Consiste em nivelar e por em escala o modelo. Orientação Exterior Orientação Relativa + Orientação Absoluta UD V - Orientação Exterior 48

3 Matriz de Rotação Ângulos de Rotação φ, ω e κ Z X ϕ k ω Y Seqüência das rotações R-> Rotaciona do EI para o EO: R = R ω R φ R κ, onde: R 1,1 = cosφ cosκ R 2,1 = cosω senκ + senω senφ cosκ R 1,2 = - cosφ senκ R 2,2 = cosω cosκ-senω senφ senκ R 1,3 = senφ R 2,3 = - senω cosφ R 3,3 = cosω cosφ R 3,1 = senω senκ - cosω senφ cosκ R 3,2 = senω cosκ + cosω senφ senκ UD V - Orientação Exterior 49

4 Resseção Espacial É um caso particular da teoria de ajustamento de blocos por feixes perspectivos, onde são determinados os seis elementos (X o, Y o, Z o, φ, ω, κ) da orientação exterior de uma fotografia aérea a partir de três pontos de controle (supondo-se que os elementos da orientação interior sejam conhecidos). Incógnitas: - Parâmetros da Orientação Exterior (X o, Y o, Z o, φ, ω, κ) de cada Imagem; Dados: -Distância principal (c); -Coordenadas do ponto principal (ξ o, η o ); -Coordenadas de n pontos (n>3) no espaço imagem (ξ i, η i ); -Coordenadas de n pontos (n>3) no espaço objeto (X i, Y i, Z i ); -Valores aproximados dos parâmetros da Orientação Exterior (X oo, Y oo, Z oo, φ o, ω o, κ o ). UD V - Orientação Exterior 50

5 O (X o, Y o, Z o ) η c ζ P( ξ,η,ζ) η o ξ ξ ο Z Z Z o P (X, Y, Z) Y Y X o Y o Y X X 0 X O Centro de Projeção P Ponto Imagem Condição de Colinearidade P Ponto Objeto ξηζ Sistema de Coordenadas do espaço-imagem XYZ Sistema de Coordenadas do Objeto XYZ Sistema de Coordenadas Objeto paralelo ao sistema imagem UD V - Orientação Exterior 51

6 O (X o, Y o, Z o ) η c ζ η o A P (ξ,η,ζ) B ξ ξ ο Z Z Z o P (X, Y, Z) Y Y X A B Z X o Y o Y 0 OA'B ~ OAB: ξ - ξ o X X o c Z o Z X X UD V - Orientação Exterior 52

7 O (X o, Y o, Z o ) η c ζ D P (ξ,η,ζ) η o A ξ ξ ο Z Z Z o D P (X, Y, Z) Z Y Y X A X o Y o Y 0 OA'D ~ OAD: η - η o Y Y o c Z o Z X X UD V - Orientação Exterior 53

8 Modelo Matemático Condição de Colinearidade (figura) no momento da tomada da fotografia, o ponto objeto P, o centro de projeção O e o ponto imagem P formam uma linha reta. Na figura, por semelhança de triângulos obtemos as relações: ξ - ξ o X X o η - η o Y Y o c Z o Z c Z o Z Considerando as coordenadas de imagem (ξ e η) como incógnitas, temos: ξ = ξ o c X - X o Y - Y o η = η o c Z - Z o Z - Z o Os sistemas de coordenadas XYZ e XYZ se relacionam da seguinte forma: X - X o r 11 r 12 r 13 X - X o Y - Y o = r 21 r 22 r 23 Y - Y o Z - Z o r 31 r 32 r 33 Z - Z o Como R é ortogonal, R -1 = R t. Logo: X - X o r 11 r 21 r 31 X - X o Y - Y o = r 12 r 22 r 32 Y - Y o Z - Z o r 13 r 23 r 33 Z - Z o UD V - Orientação Exterior 54

9 Substituindo os resultados obtidos na operação acima nas equações (2), obtemos: ξ = ξ o c r 11 (X - X o ) + r 21 (Y - Y o ) + r 31 (Z - Z o ) r 13 (X - X o ) + r 23 (Y - Y o ) + r 33 (Z - Z o ) η = η o c r 12 (X - X o ) + r 22 (Y - Y o ) + r 32 (Z - Z o ) r 13 (X - X o ) + r 23 (Y - Y o ) + r 33 (Z - Z o ) onde: c distância principal ξ o, η o coordenadas do ponto principal no espaço imagem ξ, η coordenadas dos pontos de controle no espaço imagem X, Y, Z coordenadas dos pontos de controle no espaço objeto X o, Y o, Z o coordenadas do centro perspectivo no espaço objeto r i,j elementos da matriz de rotação dos sistemas no espaço objeto UD V - Orientação Exterior 55

10 Ajustamento pelo Método dos Mínimos Quadrados Método Paramétrico F(X) = L Modelo Linear X a = (A t P A) -1 A t P L b Modelo Matemático Não Linear Linearização X a = X o + X, sendo: X o - Vetor dos parâmetros iniciais e X - Vetor das correções à X o V = A X + L, onde: L = L o L b V t P V = Mín X = - (A t P A) -1 A t P (L o - L b ) X a = X o + X X a = X o - (A t P A) -1 A t P (L o - L b ), sendo: X a vetor dos parâmetros ajustados X o vetor dos parâmetros iniciais (arbitrado) A matriz das derivadas parciais em relação aos parâmetros P matriz peso das observações L o vetor das observações iniciais (calculado a partir de X o ) L b vetor das observações UD V - Orientação Exterior 56

11 ξ 1 = ξ o c η 1 = η o c r 11 (X 1 - X o ) + r 21 (Y 1 - Y o ) + r 31 (Z 1 - Z o ) r 13 (X 1 - X o ) + r 23 (Y 1 - Y o ) + r 33 (Z 1 - Z o ) r 12 (X 1 - X o ) + r 22 (Y 1 - Y o ) + r 32 (Z 1 - Z o ) r 13 (X 1 - X o ) + r 23 (Y 1 - Y o ) + r 33 (Z 1 - Z o )... η 4 = η o c r 12 (X 4 - X o ) + r 22 (Y 4 - Y o ) + r 32 (Z 4 - Z o ) r 13 (X 4 - X o ) + r 23 (Y 4 - Y o ) + r 33 (Z 4 - Z o ) A =... dξ 1 dξ 1 dξ 1 dξ 1 dξ 1 dξ 1 dx o dy o dz o dφ dω dκ dη 1 dη 1 dη 1 dη 1 dη 1 dη 1 dx o dy o dz o dφ dω dκ dξ 4 dξ 4 dξ 4 dξ 4 dξ 4 dξ 4 dx o dy o dz o dφ dω dκ dη 4 dη 4 dη 4 dη 4 dη 4 dη 4 dx o dy o dz o dφ dω dκ ξ 1ο ξ 1 X o X oo η 1ο η 1 Y o Y oo ξ 2ο ξ 2 X = Z o X o = Z oo L o = η 2ο L b = η 2 φ φ o ξ 3o ξ 3 ω ω o η 3o η 3 κ κ o ξ 4ο ξ 4 η 4ο η 4 UD V - Orientação Exterior 57

12 Aproximações Iniciais - X o, Y o e Z o -Transformação Afim plana de Pixels para metros; -Cálculo Aproximado das Coordenadas X o, Y o -Z o é obtido em função da Escala nominal do Vôo; -φ = 0 e ω = 0 Fotografias aproximadamente verticais κ Direção de Vôo (É calculado de modo aproximado em função da marca fiducial que indica a direção do vôo. Vide, Capítulo 6, pp ) UD V - Orientação Exterior 58