Emerson Marcos Furtado

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1 Emerson Marcos Furtado Mestre em Métodos Numéricos pela Universidade Federal do Paraná (UFPR). Graduado em Matemática pela UFPR. Professor do Ensino Médio nos estados do Paraná e Santa Catarina desde Professor do Curso Positivo de Curitiba desde Professor da Universidade Positivo de 2000 a Autor de livros didáticos destinados a concursos públicos nas áreas de matemática, matemática financeira, raciocínio lógico e estatística. Sócio-diretor do Instituto de Pesquisas e Projetos Educacionais Praxis de 2003 a Professor sócio do Colégio Positivo de Joinville desde Sócio-diretor da Empresa Teorema Produção de Materiais Didáticos Ltda. desde Autor de material didático para sistemas de ensino do Grupo Positivo de 2005 a Professor do Concursos e Editora de Curitiba (CEC) desde 1992, lecionando as disciplinas de raciocínio lógico, estatística, matemática e matemática financeira. Consultor da Empresa Result Consultoria em Avaliação de Curitiba de 1998 a Consultor em Estatística Aplicada com projetos de pesquisa desenvolvidos nas áreas socioeconômica, qualidade, educacional, industrial e eleições desde Membro do Instituto de Promoção de Capacitação e Desenvolvimento (Iprocade) desde Autor de questões para concursos públicos no estado do Paraná desde 2003.

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3 Razão e proporção O escambo é a mais antiga prática comercial do mundo. Nela, as pessoas trocam um produto por outro considerando uma equivalência subjetiva de valor. Assim, por exemplo, quando uma criança troca com o colega um brinquedo caro por outro de menor valor, apenas por desejá-lo muito, está praticando uma forma de escambo. Algumas palavras que hoje nos são familiares são provenientes dessa prática. Apenas para registrar, podemos citar o termo capital (patrimônio) derivado do latim capita, que significa cabeça, e a palavra salário, que provém da utilização do sal, em Roma, como pagamento de serviços prestados. Razão A razão entre dois números é o quociente do primeiro pelo segundo. Dessa forma, a razão entre os números a e b, nessa ordem, em que b é diferente de zero, é o quociente, a b O termo a é chamado de antecedente e o termo b é chamado de consequente da razão. Lê-se a razão a b como a está para b. Proporção Denomina-se proporção a igualdade entre duas ou mais razões. A igualdade a = c b d é uma proporção. Os termos a e d são os extremos, enquanto os termos b e c são os meios da proporção. 25

4 Propriedades de uma proporção As propriedades destacadas a seguir são verificadas em qualquer proporção. 1.ª Propriedade Em toda proporção, o produto dos extremos é igual ao produto dos meios: a b = c d a. d = b. c 2.ª Propriedade Em toda proporção, a razão não se altera quando se adicionam (ou se subtraem), na mesma ordem, os antecedentes e os consequentes correspondentes. a b = c d = a + c b + d ou a b = c d = a c b d Regra de três Regra de três simples A regra de três simples é um processo prático para resolver problemas que envolvem duas grandezas direta ou inversamente proporcionais. Esse processo consiste dos seguintes passos: reunir em uma coluna as grandezas de igual espécie e com a mesma unidade de medida; analisar as grandezas e classificá-las como diretamente ou inversamente proporcionais; obter a proporção correspondente e solucioná-la. Grandezas diretamente proporcionais Duas grandezas são classificadas como diretamente proporcionais quando, aumentando (ou diminuindo) uma delas, a outra aumenta (ou diminui) na mesma proporção. 26

5 Grandezas inversamente proporcionais Duas grandezas são classificadas como inversamente proporcionais quando, aumentando (ou diminuindo) uma delas, a outra diminui (ou aumenta) na proporção inversa. Exemplo 1: Se 10m de tecido custam R$ 600,00, qual o preço de 25m de tecido? Tecido Custo 10 m m x As grandezas são diretamente proporcionais, logo: 10 = x 10x = x = Portanto, o custo de 25m de tecido seria R$1.500,00. Exemplo 2: Uma obra é construída por 12 operários em 90 dias. Em quantos dias essa obra será construída por 36 operários? Operários Tempo dias 36 x As grandezas são inversamente proporcionais, ou seja: = 90 x 36x = x = 30 Assim, a obra será construída em 30 dias. 27

6 Regra de três composta A regra de três composta é um processo prático utilizado na resolução de problemas que envolvem mais de duas grandezas, inversa ou diretamente proporcionais. Esse processo consiste nos seguintes passos: reunir em uma coluna as grandezas de igual espécie e com a mesma unidade de medida; analisar as grandezas duas a duas, em relação à que possui a incógnita, a fim de verificar se são direta ou inversamente proporcionais; obter a proporção correspondente e solucioná-la. Exemplo: Uma casa é construída em 12 dias por 40 operários que trabalham 9 horas por dia. Em quantos dias 24 operários, trabalhando 5 horas por dia, poderão construir a mesma casa? Dias Operários Horas x x = x = x = x = 36 Assim, serão necessários 36 dias. Porcentagem Razão centesimal As razões cujos consequentes são iguais a 100 são chamadas razões centesimais. 28

7 Porcentagem Porcentagem ou percentagem é uma razão centesimal representada pelo símbolo %, que significa por cento. Exemplos: 37% = = 0, % = = % = 100 = 1,19 Os números anteriores foram representados por meio de uma taxa porcentual, uma razão centesimal e um número decimal, nessa ordem. Qualquer uma dessas formas pode ser utilizada para representar uma porcentagem. Observação: Os problemas que envolvem porcentagem são resolvidos pelo mesmo processo de regra de três simples, onde as grandezas são diretamente proporcionais. Exemplo: Um objeto foi comprado por R$3.100,00 e revendido por R$3.472,00. Determine o percentual de lucro em relação ao custo = 100 x 3 100x = x = 12 R$ % x Portanto, o percentual de lucro sobre o custo foi de 12%. 29

8 Observação: Para aumentar (ou diminuir) certa quantidade genérica x, sem utilizar necessariamente uma regra de três, basta multiplicar x por um fator de acordo com o aumento (ou redução). Exemplos: Para aumentar x em 37%, basta multiplicar x por 1,37: x + 37%. x = (1 + 0,37). x = 1,37. x aumento de 37%. Para reduzir x em 6%, basta multiplicar x por 0,94: x 6%. x = (1 0,06). x = 0,94. x redução de 6%. Dica de estudo A primeira ideia que deve ser dominada quando estudamos regra de três é identificar se duas grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais. Uma vez dominado esse conceito, procure praticar resolvendo muitos exercícios. Não apenas os problemas que envolvem números proporcionais, mas, sobretudo, os relacionados à porcentagem serão resolvidos com mais facilidade. Resolução de questões 1. (FCC) Sabe-se que 10 máquinas, todas com a mesma capacidade operacional, são capazes de montar 100 aparelhos em 10 dias, se funcionarem ininterruptamente 10 horas por dia. Nessas condições, o número de aparelhos que poderiam ser montados por 20 daquelas máquinas, em 20 dias de trabalho e 20 horas por dia de funcionamento ininterrupto, é: a) 100 b) 200 c) 400 d) 600 e)

9 2. (FCC) Três analistas judiciários Aurélio, Benício e Custódio foram incumbidos de implantar um sistema informatizado de processamento de informações. Sabe-se que, individualmente, Aurélio levaria 3 horas para cumprir tal tarefa, enquanto que, sozinho, Benício levaria 6 horas. Então, considerando que, juntos, os três gastaram 1 hora e 30 minutos para implantar o sistema, quantas horas Custódio, sozinho, levaria para implantá-lo? a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) (FCC) Das 96 pessoas que participaram de uma festa de confraternização dos funcionários do Departamento Nacional de Obras Contra as Secas, sabe-se que 75% eram do sexo masculino. Se, num dado momento antes do término da festa, foi constatado que a porcentagem dos homens havia se reduzido a 60% do total das pessoas presentes, enquanto que o número de mulheres permaneceu inalterado, até o final da festa, então a quantidade de homens que haviam se retirado era: a) 36 b) 38 c) 40 d) 42 e) (FCC) Um comerciante comprou 94 microcomputadores de um mesmo tipo e, ao longo de um mês, vendeu todos eles. Pela venda de 80 desses micros ele recebeu o que havia pago pelos 94 que havia comprado e cada um dos 14 micro restantes foi vendido pelo mesmo preço de venda de cada um dos outros 80. Relativamente ao custo dos 94 micros, a porcentagem de lucro do comerciante nessa transação foi de: 31

10 a) 17,5% b) 18,25% c) 20% d) 21,5% e) 22% 5. (FCC) Um escritório dispõe de duas copiadoras A e B, tais que operando sozinha, A é capaz de tirar n cópias de um texto em 8 horas de trabalho ininterrupto e B tem 80% da capacidade operacional de A. Essas máquinas foram acionadas simultaneamente num mesmo instante, a fim de tirar as n cópias de tal texto e, após funcionarem juntas e ininterruptamente por 4 horas, foram desligadas. É correto afirmar que, ao serem desligadas, a) o trabalho estava concluído. b) haviam sido tiradas 4/5 das n cópias. c) 20% das n cópias ainda deveriam ser tiradas para que o trabalho fosse concluído. d) haviam sido tiradas 3/8 das n cópias. e) 10% das n cópias ainda deveriam ser tiradas para que o trabalho fosse concluído. 6. (Esaf) Durante uma viagem para visitar familiares com diferentes hábitos alimentares, Alice apresentou sucessivas mudanças em seu peso. Primeiro, ao visitar uma tia vegetariana, Alice perdeu 20% de seu peso. A seguir, passou alguns dias na casa de um tio, dono de uma pizzaria, o que fez Alice ganhar 20% de peso. Após, ela visitou uma sobrinha que estava fazendo um rígido regime de emagrecimento. Acompanhando a sobrinha em seu regime, Alice também emagreceu, perdendo 25% de peso. Finalmente, visitou um sobrinho, dono de uma renomada confeitaria, visita que acarretou, para Alice, um ganho de peso de 25%. O peso final de Alice, após essas visitas a esses quatro familiares, com relação ao peso imediatamente anterior ao início dessa sequência de visitas, ficou: a) exatamente igual. b) 5% maior. 32

11 c) 5% menor. d) 10% menor. e) 10% maior. 7. (FCC) Na compra de um lote de certo tipo de camisa para vender em sua loja, um comerciante conseguiu um desconto de 25% sobre o valor a ser pago. Considere que: se não tivesse recebido o desconto, o comerciante teria pago R$20,00 por camisa; ao vender as camisas em sua loja, ele pretende dar ao cliente um desconto de 28% sobre o valor marcado na etiqueta e, ainda assim, obter um lucro igual a 80% do preço de custo da camisa. Nessas condições, o preço que deverá estar marcado na etiqueta é: a) R$28,50 b) R$35,00 c) R$37,50 d) R$39,00 e) R$41,50 8. (Cesgranrio) Certa loja ofereceu, de 1 a 10 de fevereiro, 20% de desconto em todas as mercadorias, em relação ao preço cobrado em janeiro. Pensando em vender mais, o dono da loja resolveu aumentar o desconto e, de 11 a 20 de fevereiro, este passou a ser de 30% em relação ao preço de janeiro. Uma pessoa pagou, no dia 9 de fevereiro, R$72,00 por certa mercadoria. Quanto ela pagaria, em reais, pela mesma mercadoria se a compra fosse feita em 12 de fevereiro? a) 27,00 b) 56,00 c) 61,20 d) 63,00 e) 64,80 33

12 9. (Cesgranrio) João vendeu dois rádios por preços iguais. Um deles foi vendido com lucro de 20% sobre o preço de custo e o outro com prejuízo de 20% sobre o preço de custo. No total, em relação ao capital investido, João: a) lucrou 4%. b) lucrou 2%. c) perdeu 4%. d) perdeu 2%. e) não lucrou nem perdeu. 10. (Cesgranrio) Em um estado onde três candidatos concorreram ao cargo de governador, as pesquisas realizadas antes do primeiro turno das eleições apresentaram os resultados a seguir. Intenção de voto 1.º turno Candidato A 32% 34% 38% 36% 35% 35% Candidato B 24% 22% 25% 25% 26% 27% Candidato C 14% 19% 21% 22% 26% 22% Data 01/ago. 17/ago. 31/ago. 07/set. 21/set. 29/set. Em brancos/nulos = 11% Indecisos = 5% Considerando-se que, na pesquisa de 29/set. foram entrevistadas pessoas, quantas disseram que pretendiam votar no candidato B? a) 700 b) 660 c) 540 d) 440 e)

13 Referências BOYER, Carl B. História da Matemática. 12. ed. São Paulo: Edgard Blücher Ltda., GAERTNER, Rosinete (Org.). Tópicos de Matemática para o Ensino Médio. Blumenau: FURB. (Coleção Aritthmos 2.) LIMA, Elon L. Meu Professor de Matemática e outras Histórias. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática. (Coleção do Professor de Matemática.) LIMA, Elon L. et al. A Matemática do Ensino Médio. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, v. 1. LINTZ, Rubens G. História da Matemática. Blumenau: FURB, v. 1. TAHAN, Malba. O Homem que Calculava. 40. ed. Rio de Janeiro: Record, Gabarito 1. Vamos organizar as informações em colunas de acordo com as diferentes grandezas envolvidas: Máquinas Aparelhos Dias Horas/dia x As grandezas aparelhos e máquinas são diretamente proporcionais, pois ao aumentarmos a quantidade de máquinas teríamos, em correspondência, aumento no número de aparelhos. Logo, vamos indicar essa relação direta por meio de duas flechas no mesmo sentido, sendo que o sentido é arbitrário. Máquinas Aparelhos Dias Horas/dia x As grandezas aparelhos e dias são diretamente proporcionais, pois ao aumentarmos a quantidade de dias teríamos, em correspondência, aumento no número de aparelhos. Assim, vamos indicar essa relação direta 35

14 por meio de duas flechas no mesmo sentido, sentido esse já escolhido na relação anterior. Máquinas Aparelhos Dias Horas/dia x As grandezas aparelhos e horas por dia são também diretamente proporcionais, pois ao aumentarmos a quantidade de horas por dia de trabalho teríamos, em correspondência, aumento no número de aparelhos. Dessa forma, vamos indicar essa relação direta por meio de duas flechas no mesmo sentido. Máquinas Aparelhos Dias Horas/dia x Com as relações já destacadas, vamos montar a proporção: 100 x = x = 1 8 x = 800 Logo, 800 aparelhos seriam montados. Resposta: E 2. Se Aurélio consegue sozinho implantar o sistema em 3 horas, então a cada hora, 1/3 do sistema seria implantado. Benício consegue sozinho implantar o sistema em 6 horas. Assim, a cada hora 1/6 do sistema seria implantado. Vamos supor que Custódio consiga implantar sozinho o sistema em x horas, ou seja, a cada hora ele conseguiria implantar 1/x do sistema. Se os três juntos conseguiriam implantar o sistema em 1h e 30min, ou seja, 1,5h, então a cada hora os três conseguiriam implantar 1/1,5. Dessa forma, pode-se escrever: 36

15 1/3 + 1/6 + 1/x = 1/1,5 Multiplicando todos os termos por 6x, temos: 2x + 1x + 6 = 4x 4x 3x = 6 x = 6 Logo, Custódio conseguiria sozinho implantar o sistema em exatamente 6 horas. Resposta: C 3. Inicialmente 75% das 96 pessoas eram do sexo masculino, ou seja, 0, = 72 pessoas. Logo, = 24 eram do sexo feminino. Se em determinado momento o percentual de pessoas do sexo masculino se reduziu a 60%, então 40% das pessoas eram do sexo feminino. Se a quantidade de pessoas do sexo feminino se manteve inalterada durante a festa, então as 24 pessoas do sexo feminino devem corresponder a 40% das pessoas presentes no momento. Sendo P a quantidade de pessoas após a saída de algumas pessoas do sexo masculino, então: 40% % P 40. P = P = P = 60 Assim, a quantidade total de pessoas era igual a 60. Logo, = 36 pessoas do sexo masculino haviam se retirado. Resposta: A 4. Se os 80 microcomputadores foram vendidos pelo mesmo preço dos 94, então o ganho foi de = 14 computadores em relação aos 80 computadores, ou seja: % 14 x 37

16 80x = x = 1 400/80 x = 17,5 Logo, 17,5% foi a porcentagem de lucro. Resposta: A 5. Se a copiadora A sozinha realiza o trabalho em 8 horas, então em 4 horas exatamente 4/8 do trabalho haviam sido realizados, ou seja, 50%. A copiadora B tem 80% da capacidade operacional de A. Logo, nessas mesmas 4 horas, B realizou 80% do trabalho de A, ou seja, 0,80. 50% = 40%. Portanto, ambas as copiadoras realizaram em 4 horas exatamente 50% + 40% = 90% do trabalho a ser realizado, de modo que 10% das n cópias ainda deveriam ser tiradas para que o trabalho fosse concluído. Resposta: E 6. Seja P o peso inicial de Alice. Então se ela: ganha 20% de peso, seu novo peso é o anterior multiplicado por (1 + 0,20) = 1,20; perde 20% de peso, seu novo peso é o anterior multiplicado por (1 0,20) = 0,80; perde 25% de peso, seu novo peso é o anterior multiplicado por (1 0,25) = 0,75; ganha 25% de peso, seu novo peso é o anterior multiplicado por (1 + 0,25)= 1,25. Assim, se ela iniciou com peso P, ganhou 20%, perdeu 20%, perdeu 25% e, finalmente, ganhou 25%, nessa ordem, então o peso final dela é igual a: P. 1,20. 0,80. 0,75. 1,25 = 0,90. P Assim, como 1P 0,90P = 0,10P, conclui-se que o peso final é 10% menor do que o inicial. Resposta: D 38

17 7. Se o comerciante teria pago R$20,00 por camisa, sem desconto, então com o desconto de 25% o preço pago por camisa deve ser igual a: (1 0,25). 20 = 0, = 15 reais Se o lucro deve ser de 80% do preço de custo, então o valor de venda deveria ser igual a: 15. (1 + 0,80) = 15. 1,80 = 27 reais Entretanto, como ele ainda gostaria de dar um desconto de 28% sobre o preço da etiqueta, então o preço de etiqueta deve ser X tal que: X. (1 0,28) = 27 X. 0,72 = 27 X = 27/0,72 X = 37,50 Resposta: C 8. O valor pago igual a R$72 foi obtido após desconto de 20%. Assim, o valor sem desconto, representado por A, é igual a: A. (1 0,20) = 72 0,80. A = 72 A = 72/0,80 A = 90 Se a compra fosse efetuada dia 12 de fevereiro, o desconto seria igual a 30% sobre 90 reais. Logo, o valor da compra com o desconto de 30%, representado por B, é igual a: B = 90. (1 0,30) B = 90. 0,70 B = 63 Assim, essa pessoa pagaria R$63. Resposta: D 39

18 9. Vamos supor que João tenha gasto cem reais em cada rádio. Se um deles foi vendido com um lucro de 20% sobre o preço de custo, então foi vendido por: (1 + 0,20). 100 = 120 reais Se o outro foi vendido com um prejuízo de 20% sobre o preço de custo, então foi vendido por: (1 0,20). 100 = 80 reais O total arrecadado com os dois rádios foi = 200, mesmo valor desembolsado para a compra dos dois rádios. Logo, João não lucrou nem perdeu. Resposta: E 10. O candidato B, na pesquisa de 29/set., apresentou 27% das intenções de voto em um universo de eleitores. Logo, a quantidade de pessoas que disseram votar em B é dada por: 0, = 540 Resposta: C 40

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