Professor: Fabiano Vieira

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1 RACIOCÍNIO LÓGICO CONJUNTOS Professor: Fabiano Vieira Prof. Fabiano Vieira Página 1 de 10

2 CONJUNTOS Elementos e Conjuntos Os conjuntos são formados por elementos, onde cada elemento pertence ao conjunto. Quando fazemos análise entre conjuntos, não utilizamos o pertence e sim contém e está contido e suas respectivas negações. Exemplo1: Seja um conjunto A={1;2;3;4}. Perceba que o número 1 é um elemento deste conjunto e pertence ao conjunto A, então, 1 A. Desta forma, teremos as seguintes relações entre elementos e conjuntos: Pertence Não pertence Exemplo2: Dados os conjuntos A={1;2;3;4} e B={2;3}. Perceba que o conjunto B está contido no conjunto A, então, B A. Neste caso, B é subconjunto de A. B A Desta forma, teremos as seguintes relações entre conjuntos: Contém Não contém Está contido Não está contido EXERCÍCIOS Com base nos conjuntos descritos a seguir, julgue cada item como Certo ou Errado. A = { a, b, c, d, e, f, g } B = { 1, 2, c, d, 3, f } C = { c, d, g } D = { 1, 3, f } 1) A C 2) A C 3) B D 4) B A 5) a A 6) a A g C 7) 8) 2 A Prof. Fabiano Vieira Página 2 de 10

3 9) D B C A 10) 11) C é subconjunto de A 12) A é subconjunto de B 13) C é subconjunto de B Operações com Conjuntos União e Intersecção União indica todos os elementos que existem nos conjuntos, atentando para contabilizar apenas uma vez os elementos que ocorrem simultaneamente. Intersecção indica todos os elementos que existem simultaneamente nos conjuntos. Exemplo: Dados os conjuntos: A={x N / 1 < x 5} B={x Z / - 1 x < 3} Teremos os conjuntos A={-1;0;1;2} B={2;3;4;5} A B União dos conjuntos A Intersecção dos conjuntos Diferença entre conjuntos A diferença entre conjuntos A B indica todos os elementos que existem em A, com exceção daqueles que existem em B. É a relação de todos os elementos que pertencem SOMENTE ao conjunto A. Exemplo: Dados os conjuntos: A={-1;0;1;2} B={2;3;4;5} A B Prof. Fabiano Vieira Página 3 de 10

4 Diferença entre os conjuntos Supondo que um conjunto C seja subconjunto de um conjunto D, a diferença entre estes conjuntos, D C, chama-se complementar de C em D. Exemplo: Dados os conjuntos D={1;2;3;4} e C={2;3}. 2 3 C D 1 4 O complementar de C em D será D C = {1;4}. Podemos ainda desenhar três conjuntos com suas intersecções, conforme exemplo a seguir: A C B Neste exemplo, vamos fazer as seguintes operações: A U B = {-1;0;1;2;3;4;5;6} A B = {-1; 0; 1} (A U B) C = {-1;0;3;4;6} ( A C ) B = {1} ( A U B ) ( A C ) = {-1;0;3;4;5;6} EXERCÍCIOS Com base nos conjuntos descritos a seguir, determine os conjuntos resultantes das operações indicadas. A = { a, b, c, e, j, l } B = { b, c, d, e, f, g} C = { a, b, c, d, h, i} Prof. Fabiano Vieira Página 4 de 10

5 14) A U B 15) A U C 16) A U B U C 17) A B 18) (A B) C 19) A B 20) A C 21) ( A U B ) C 22) C ( A U B ) 23) A ( B U C ) 24) ( A C ) B 25) ( A U B ) ( A C ) Quantificações em Conjuntos Há questões de concursos que indicam quantidades de elementos em conjuntos e, dependendo dos termos utilizados, é a forma de distribuição das quantidades. Vamos analisar os termos O termo e indica a intersecção de conjuntos, pois podemos dizer que um elemento pertence a A e B, então encontra-se na intersecção. O termo ou é utilizado para indicação de união dos conjuntos, pois podemos dizer que todos os elementos que pertencem a A ou B devem ser pares. Assim estamos falando dos elementos que pertencem a qualquer um dos dois conjuntos, a união. Os termos somente, apenas, etc. indica a diferença entre conjuntos. Quando dizemos que os elementos que pertencem somente a A devem ser eliminados. Estamos falando dos elementos que se encontram no conjunto A-B. Vamos demonstrar estes termos através dos desenhos a seguir: A ou B Somente A Prof. Fabiano Vieira Página 5 de 10

6 A e B Somente(apenas) A e B A ou B ou C Apenas dois Os Três (A e B e C) Prof. Fabiano Vieira Página 6 de 10

7 Pelo menos dois Exemplo: Em uma turma há 10 alunos que gostam de matemática, 17 alunos que gostam de português e 3 alunos que gostam de ambas disciplinas. Quantos alunos gostam de matemática ou português? Podemos perceber que apenas matemática será 10 3 = 7 e apenas português 17 3 = 14. Assim, o número dos que gostam de matemática ou português será a união dos conjuntos = 24 Podemos também entender pelo princípio da inclusão-exclusão, onde A ou B = = 24. Isto indica que a união dos conjuntos não é a pura soma das totalidades de cada conjunto, pois quando somamos A com B, estamos contabilizando duas vezes a intersecção. Para que o cálculo fique correto, temos que contabilizar apenas uma vez a intersecção, o que faz com que seja necessário retirar uma intersecção. Quando não se tem a intersecção Quando dispomos a intersecção, percebemos regressivamente as quantidades das partes faltantes, mas quando não temos a intersecção, devemos chamá-la de x Exemplo: Em uma turma de 24 alunos, há 10 alunos que gostam de matemática, 17 alunos que gostam de português. Sabendo que todos os alunos gostam de pelo menos uma destas disciplinas, quantos alunos gostam de ambas? Prof. Fabiano Vieira Página 7 de 10

8 Sabemos que a união dos conjuntos totaliza 24, assim (10-x) + x + (17-x) = 24. Assim, teremos 27 x = 24, então x = 3. Após encontrar a intersecção, analisamos cada espaço regressivamente, como fizemos antes, obtendo o conjunto EXERCÍCIOS Numa escola de 630 alunos, 250 deles estudam matemática, 210 estudam física e 90 deles estudam as duas matérias. Pergunta-se: 26) Quantos alunos estudam apenas matemática? 27) Quantos alunos estudam apenas física? 28) Quantos alunos estudam matemática ou física? 29) Quantos alunos não estudam nenhuma das duas matérias? 30) Numa pesquisa, verificou-se que, das pessoas consultadas, 100 liam o jornal A, 150 liam o jornal B, 20 liam os dois jornais e 110 não liam nenhum dos dois. Quantas pessoas foram consultadas? 31) Numa pesquisa de mercado, verificou-se que 2000 pessoas usam os produtos A ou B. O produto B é usado por 800 pessoas e 320 pessoas usam os dois produtos ao mesmo tempo. Quantas pessoas usam o produto A? 32) Sabe-se que o sangue das pessoas pode ser classificado em quatro tipos quanto a antígenos. Em uma pesquisa efetuada num grupo de 120 pacientes de um hospital, constatou-se que 40 deles têm o antígeno A, 35 têm o antígeno B e 14 o antígeno AB. Nestas condições, pede-se o número de pacientes cujo sangue tem o antígeno O. Num grupo de 99 esportistas, 40 jogam vôlei, 20 jogam vôlei e xadrez, 22 jogam xadrez e tênis, 18 jogam vôlei e tênis e 11 jogam as três modalidades. O número de pessoas que jogam xadrez é igual ao número de pessoas que jogam tênis. Com base nestes dados, responda: 33) Quantos esportistas jogam tênis e não jogam vôlei? Prof. Fabiano Vieira Página 8 de 10

9 34) Quantos jogam xadrez ou tênis e não jogam vôlei (CESPE) Depois de uma campanha publicitária para melhorar o nível de conhecimento e de informação das pessoas, os 31 empregados de uma empresa passaram a assinar os jornais CT, FT e JT, da seguinte forma: Cada um dos empregados assinou pelo menos um dos jornais; 2 empregados assinaram os 3 jornais; 3 empregados assinaram apenas os jornais CT e JT; 8 empregados assinaram apenas o jornal JT; 4 empregados assinaram os jornais CT e FT; 13 empregados assinaram o jornal JT; 16 empregados assinaram o jornal CT. Com base nessas informações, julgue os itens como Certo ou Errado. 35) Nenhum empregado assinou apenas os jornais FT e JT. 36) 6 empregados assinaram os jornais CT e JT 37) 3 empregados assinaram apenas os jornais CT e FT. 38) 7 empregados assinaram apenas o jornal FT 39) 10 empregados assinaram apenas o jornal CT. 40) Em um banco, qualquer funcionário da carreira de Auditor é formado em pelo menos um dos cursos: Administração, Ciências Contábeis e Economia. Um levantamento forneceu as informações de que I. 50% dos Auditores são formados em Administração, 60% são formados em Ciências Contábeis e 48% são formados em Economia. II. 20% dos Auditores são formados em Administração e Ciências Contábeis. III. 10% dos Auditores são formados em Administração e Economia. IV. 30% dos Auditores são formados em Ciências Contábeis e Economia. Qual o percentual dos que são formados em pelo menos dois destes cursos? a) 58% b) 56% c) 54% d) 52% e) 48% Prof. Fabiano Vieira Página 9 de 10

10 GABARITO CONJUNTOS 1) Errado 21) { e,f,g,j,l } 2) Certo 22) { h,i } 3) Errado 23) { j,l } 4) Errado 24) { a } 5) Errado 25) { d,e,f,g,j,l} 6) Certo 26) 160 7) Errado 27) 120 8) Errado 28) 370 9) Errado 29) ) Errado 30) ) Certo 31) ) Errado 32) 59 13) Errado 33) 36 14) { a,b,c,d,e,f,g,j,l } 34) 59 15) {a,b,c,d,e,,j,l,h,i } 35) Certo 16) { a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,l } 36) Errado 17) { b,c,e } 37) Errado 18) { b,c } 38) Certo 19) { a,j,l } 39) Errado 20) { e,j,l } 40) B Prof. Fabiano Vieira Página 10 de 10