Tese de Doutorado. Dispersão Térmica em Meios Porosos. Otton Teixeira da Silveira Filho. Nova Friburgo, 18 de Maio de 2004

Transcrição

1 Tese de Doutorado Otton Teixeira da Silveira Filho Nova Friburgo, 18 de Maio de 2004 Dispersão Térmica em Meios Porosos Periódicos. Um Estudo Numérico.

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3 iii...compreendi que, quando não tinha uma resposta, Guilherme se propunha muitas delas e muito diferentes entre si. Fiquei perplexo. Mas então, ousei comentar, estais ainda longe da solução... Estou pertíssimo, disse Guilherme, mas não sei de qual. Então não tendes uma única resposta para vossas perguntas? Adso, se a tivesse ensinaria teologia em Paris. Em Paris eles têm sempre a resposta verdadeira? Nunca, disse Guilherme, mas são muito seguros de seus erros. E vós, disse eu com impertinência infantil, nunca cometeis erros? Frequentemente, respondeu. Mas ao invés de conceber um único erro imagino muitos, assim não me torno escravo de nenhum.... Diálogo entre Guilherme de Baskerville e Adso de Melk. Eco, Umberto. O nome da Rosa.

4 iv... Eu quase nada sei. Mas desconfio de muita coisa.... Riobaldo. Rosa,Guimarães. Grande Sertão: Veredas

5 Resumo Neste trabalho o método da média volumétrica é empregado na obtenção de um modelo a uma equação que descreve o processo de dispersão térmica em um meio poroso homogêneo e indeformável. A equação macroscópica que governa a dispersão de energia é obtida a partir de uma nova definição da temperatura média do meio, baseada na definição da entalpia média das fases sólida e fluida que constituem o meio. A hipótese clássica do equilíbrio térmico absoluto não é empregada na sua obtenção. Como resultado deste desenvolvimento, um novo problema de fechamento e uma nova expressão do tensor efetivo de dispersão foram propostos. A fim de calcularmos os coeficientes do tensor de dispersão, desenvolvemos um método numérico, denominado Método dos Térmions, que calcula os três primeiros momentos da distribuição de térmions que se dispersa no interior do meio poroso. Um térmion é uma idealização de uma partícula que não tem massa e possui uma certa quantidade de energia. Este método emprega a analogia existente entre a condução de calor e o movimento browniano e determina o tensor de dispersão a partir do segundo momento centrado. Duas versões do código numérico foram desenvolvidas sendo uma paralelizada. Os resultados numéricos foram obtidos considerando se diferentes geometrias do meio poroso. Neste trabalho, a estrutura do meio poroso é considerada como sendo espacialmente periódica e bidimensional. A influência no cálculo do tensor de dispersão da geometria do meio, arranjo de cilindros dispostos em linha, em quincunce e de forma desordenada, bem como da direção do escoamento principal e das propriedades térmicas da matriz sólida e do fluido, foram estudadas em algumas situações. Palavras-chave: dispersão térmica, meios porosos periódicos, marcha aleatória v

6 vi Resumo

7 Abstract In this work the method of volumetric average was employed to obtain a model that describes the process of thermal dispersion in a rigid and homogeneous medium. The macroscopic equation which governs the dispersion of energy was obtained from a new definition of average temperature of medium. This, in turn, is based on the average enthalpies of the solid and liquid phases which the medium is made of. But the classic hypothesis of absolute thermal equilibrium was discarded. As a result, a new problem of closure and a new effective tensor of dispersion were suggested. To compute the coefficients of new tensor a numerical method, called method of thermions, was developped. It calculates the fist three moments of distribuition of thermions dispersed in the interior of porous medium. A thermion is an idealization, a massless particle which carries a certain amount of energy. The deep analogy between heat conduction and brownian movement is explored by the method to determine the tensor of dispersion from the second centered moment. Two version of the algorithm were produced. One of them was addressed to a parallel computing facility. The numerical results were obtained by considering different geometries of the porous medium. Its structure was also considered as two-dimensional and spacially periodic. The influence on the tensor of dispersion by medium geometry and cylinders layout which studied disposed in line, quincunce or even a disordered were also taken into account in its calculation. The direction of the main flow and the thermal properties of both solid and liquid phases were studied. Key-words: thermal dispersion, periodic porous media random walk vii

8 viii Abstract

9 Agradecimentos Agradecimentos são delicados, por vezes esquecemos de alguém. Correrei este risco e, caso isto ocorra, espero que os que foram esquecidos me perdoem. Agradeço à Paulo Jorge Paes Leme pela idéia que me conquistou e que me levou a chegar aqui como seu orientado e descobrir muito mais do que os caminhos que devem ser trilhados para chegar a uma tese. Lamento que o PJ não esteja aqui para ver onde chegamos. Agradeço à Hélio Pedro Amaral Souto que me acolheu como orientado e que foi fonte de gratas surpresas. Agradeço também pela sua confiança. Como efeito colateral da orientação do Hélio conheci Christian Moyne, mais uma grata surpresa daquelas que o Hélio me fez. Agradeço também à outros professores que tive no IPRJ e, em especial, Francisco Duarte Moura Neto. Agradeço ainda a Ricardo Barros nas figuras de coordenador da pos-graduação, diretor do IPRJ e grande papo nas etílicas. Tenho que agradecer Não posso esquecer dos alunos pioneiros, em particular, Aprígio e Zani e dos outros colegas da pós-graduação do IPRJ: Diego, Leila, Jefferson, Inaba, Renata, Chico Bruno e mais um bando de gente. Agradeço a muitos que me ajudaram de muitos pontos de vista e de onde surgiram boas amizades. Aqui estão Ana Lucia, Andrea, André Lacerda, Debora, Denise, Nilia, Wagner, Reizel, Sylvio e haja papel para tantos! Quanto a Marisa dos Santos e Patricia Seefelder, agradeço por me permitirem as conhecer e pelos ótimos momentos recheados de papos, boa comida e bebida. Profundos agradecimentos vão para os seguidores de Rolando Toro e, mais profundos ainda, para Maria Amélia. Nao podia faltar a Rita, bibliotecária de profissão, apoio na construção desta tese e, muito mais importante, grande amiga. Agradeço aos meus Ans, Ana Maria, Ana Clara e André. Sem eles não chegaria a quem sou hoje. Sem eles eu seria menor, mais triste, menos humano. ix

10 x Agradecimentos

11 Nomenclatura A c c p D e E f g h H H I k K K xx K K área parâmetro empregado na limitação do deslocamento espacial capacidade térmica tensor de dispersão hidrodinâmica espessura do sólido Esperança matemática. vetor que mapeia T em T β vetor que mapeia T em T σ altura da camada de fluido altura total da célula unitária entalpia tensor identidade condutividade térmica tensor efetivo de dispersão térmica componente do tensor efetivo de dispersão coeficiente longitudinal de dispersão coeficiente transversal de dispersão K K/ (α β < ρc p >) l comprimento característico associado à escala microscópica L comprimento característico associado à escala macroscópica ou um comprimento característico do meio poroso m expoente em P e m m( ) função ponderação M p momento de ordem p M p momento centrado de ordem p n número de termions xi

12 xii Nomenclatura n vetor unitário normal p probabilidade de passagem p( ) função distribuição de probabilidades P e número de Péclet q vetor fluxo de calor Q fonte de energia r vetor posição r β ε β (ρc p ) β / ρc p t tempo t número de Fourier T temperatura T flutuação espacial da temperatura u componente da velocidade na direção x v vetor velocidade local V volume V r β P e x coordenada espacial y coordenada espacial Letras Gregas α γ δ δr δr c δr d δt ε η θ ρ σ σ 2 τ difusividade térmica intervalo de confiança delta de Dirac incremento espacial deslocamento devido à convecção deslocamento devido à difusão incremento temporal fração de volume precisão ângulo que fornece a direção do escoamento principal densidade desvio padrão variança tensor tortuosidade

13 Nomenclatura xiii Subscrito β fase fluida βσ interface β-σ β σ da fase β para a fase σ σ fase sólida σ β da fase σ para a fase β Outros convolução média volumétrica β média volumétrica intrínseca à fase β σ média volumétrica intrínseca à fase σ

14 xiv Nomenclatura

15 Conteúdo 1 Introdução O meio poroso Classificação de um meio poroso O meio poroso como um contínuo Volume elementar representativo Porosidade e superfície específica Meio poroso periódico Escoamento em meios porosos Dispersão em meios porosos Difusão molecular Mistura devido a uma obstrução Regiões de recirculação Conectividade do meio Zonas de estagnação Dispersão hidrodinâmica Absorção Dispersão térmica Um breve histórico Alguns resultados teóricos e experimentais Conclusão Equação macroscópica Equações microscópicas O Método da média volumétrica Alguns resultados da teoria de distribuições Teoremas da média volumétrica Obtenção da equação macroscópica Problema de fechamento Conclusão xv

16 xvi Conteúdo 3 Método dos momentos Problema físico Momentos de uma variável aleatória Cálculo dos momentos Sobre a notação Termo transiente Termo convectivo Termo difusivo Os três primeiros momentos Momento de ordem zero Momento de ordem um Momento de ordem dois Conclusões Método numérico Determinação do campo de velocidades O método dos térmions Fundamentação Difusão e marcha aleatória Marcha aleatória e o método dos térmions Dispersão normal e dispersão anômala O regime transiente Trajetórias em meios homogêneos Trajetórias em meios não-homogêneos Probabilidade de transição entre dois meios Trajetória ao cruzar uma interface O modelo e sua implementação Estrutura básica do programa Geração de números aleatórios Implementação do método Análise dos valores dos parâmetros Número de térmions: aspectos estatísticos Aspectos geométricos Caso difusivo Caso convectivo-difusivo Implementação paralela Conclusões

17 Conteúdo xvii 5 Resultados para a dispersão térmica Validação do método Dispersão de massa Meio estratificado Geometria em linha Influência da direção do escoamento Influência da porosidade Influência dos parâmetros térmicos Geometria em quincunce Influência da direção do escoamento Meio desordenado Influência da direção do escoamento Influência das diferentes geometrias Caso puramente convectivo Conclusão geral

18 xviii Conteúdo

19 Lista de Tabelas 4.1 Número de térmions em função da precisão η Coeficiente longitudinal de dispersão K xx em função do número de térmions n Coeficiente longitudinal de dispersão K xx em função do passo de espaço δr Coeficiente longitudinal de dispersão D em função do número de Péclet para um arranjo geométrico em quincunce xix

20 xx Lista de Tabelas

21 Lista de Figuras 1.1 Representação esquemática de um meio poroso Densidade de um fluido Volume Elementar Representativo (VER) Porosidade Meio poroso periódico Célula fundamental Mistura por obstrução Recirculação Conectividade do meio Zona de estagnação Dispersão hidrodinâmica Deslocamento multidirecional Deslocamento alternado Transição entra as fases Deslocamento multidirecional Deslocamento alternado Trajetória ao cruzar uma interface: (1) posição inicial, (2) na interface, (3) mudança de meio e (3 ) choque elástico Diagrama de fluxo Célula fundamental para um meio estratificado com L = H= Célula elementar com um arranjo de sólidos dispostos em quincunce Comportamento do momento centrado de ordem 2 em função do tempo adimensional t Coeficiente longitudinal de dispersão D em função do número de Péclet, empregando se uma célula unitária com um arranjo de cilindros dispostos em linha Coeficiente longitudinal de dispersão D em função do número de Péclet para diferentes valores da direção do escoamento principal xxi

22 xxii Lista de Figuras 5.3 Coeficiente longitudinal de dispersão D em função do número de Péclet, empregando se uma célula unitária com um arranjo de cilindros dispostos em quincunce Célula unitária para um meio poroso estratificado Coeficiente longitudinal de dispersão K /k em função da porosidade, calculados para um meio estratificado Distribuição de térmions num meio estratificado para t = 0, 01, 0, 1 e 1, 0, no sentido de cima para baixo Coeficiente longitudinal de dispersão K em função do número de Péclet para diferentes valores do ângulo θ Coeficiente transversal de dispersão K em função do número de Péclet para diferentes valores do ângulo θ Coeficiente longitudinal de dispersão K em função do número de Péclet e para dois valores da porosidade ε β = 0, 36 e 0, Coeficiente transversal de dispersão K em função do número de Péclet e para dois valores da porosidade ε β = 0, 36 e 0, Coeficiente longitudinal de dispersão K /k em função do número de Péclet para diferentes razões entre as condutividades térmicas k β /k σ = 10, 1 e 0, Coeficiente transversal de dispersão K /k em função do número de Péclet para diferentes razões entre as condutividades térmicas k β /k σ = 10, 1 e 0, Coeficiente longitudinal de dispersão K /k em função do número de Péclet para diferentes razões de (ρc p ) β /(ρc p ) σ Coeficiente transversal de dispersão K /k em função do número de Péclet para diferentes razões de (ρc p ) β /(ρc p ) σ Coeficiente longitudinal de dispersão K /k em função do número de Péclet para diferentes valores do ângulo θ Coeficiente transversal de dispersão K /k em função do número de Péclet para diferentes valores do ângulo θ Estrutura geométrica do arranjo desordenado da célula unitária Coeficiente longitudinal de dispersão K em função do número de Péclet para diferentes valores do ângulo θ Coeficiente transversal de dispersão K em função do número de Péclet para diferentes valores do ângulo θ Coeficiente longitudinal de dispersão K em função do número de Péclet para os diferentes arranjos geométricos estudados Coeficiente transversal de dispersão K em função do número de Péclet para os diferentes arranjos geométricos estudados.. 118

23 Lista de Figuras xxiii 5.22 Evolução temporal da componente M xx do tensor segundo momento centrado para diferentes valores de velocidade média (1, 10 e 100)

24 xxiv Lista de Figuras

25 Capítulo 1 Introdução Iniciaremos este capítulo apresentando alguns aspectos básicos sobre os meios porosos [1] e faremos um breve apanhado histórico dos desenvolvimentos feitos no estudo da dispersão. O estudo dos fenômenos de transporte em meios porosos envolve áreas que vão da indústria do petróleo até a medicina, passando por temas como dispersão de poluentes, secagem de madeira, escoamento de águas subterrâneas, conversores catalíticos e absorção de medicamentos pela pele ou pelas vias aéreas. Tal diversidade é devido à grande variedade de substâncias porosas que nos circundam. 1.1 O meio poroso Um meio poroso é uma porção de espaço ocupada por matéria hetereogênea e multifásica no caso mais geral. Pelo menos umas destas fases não é sólida, sendo que esta pode ser líquida ou gasosa. A parte sólida é denominada matriz sólida e o espaço que não faz parte da matriz sólida é denominado espaço vazio. Se porções do espaço vazio são interconectadas à outras porções, este espaço é denominado espaço vazio efetivo. Dizemos ainda que este espaço constitui-se dos poros do meio podendo haver, em geral, vários caminhos de conexão. A área de contato entre a fase sólida e a líquida do meio é geralmente alta e os poros são geralmente estreitos se comparados às dimensões do sólido. Uma representação esquemática de um meio poroso é dada na figura

26 2 Capítulo 1. Introdução == >> ==== >>>> ==== >>>> ==== >>>> ,,,,,,,,, ==== >>>> ,,,,,,,, ==== >>>> +++,,, ==== >>>> === >>> i j === >>> i j = > m n t s m ### n $$$ t s [ \ #### [[ $$$$ \\ #### $$$$ ŠŠŠ [ \ ##### $$$$$ ŠŠŠ ##### $$$$$ ŠŠŠ ##### _ $$$$$ ` o ŠŠ p ) ### * $$$ `` o p q r q r ) ### _ * $$$ ` ) * f } ~ -. e f } ~ --.. e f } ~ e f } ~ SS.. T e f œ {{ œ ;;; <<< --.. {{ œ ž Œ --- ;;; <<<... œœ ž Œ Ž ;;; << œœ ; Œ Ž žž ª < % & II œœ EE FF 1 2 P JJ Ž žž ª % & II œœ EE FF OO PP JJ Ž žž %% && --.. EE FF OOO PPP œœ žžž %% && --.. EE FF O P %% && W X œ žž œ ž --.. EE FF %% && WW XX Ÿ --.. EE FF %% && WWW XXX Ÿ %% && WW %% && %% && K L XX ŸŸŸ WW XX ŸŸŸŸŸ QQQQQ RRRRR W X QQQQQQ RRRRRR MM NN ŸŸŸŸŸŸ ˆ %% && KK MMMM LL y z ] QQQQ RRRR NNNN ^ ŸŸŸŸŸŸ ˆˆ «%%% &&& KK MMMM LL y z ]] NNNN ^^ ŸŸŸŸŸ «C D %%% &&& KK MMMM LL y z ] NNNN ^ ŸŸŸŸ «CC DD %%% &&& KK MMMM LL yy zz v NNNN CC %%% &&& K L yy zz vv u DD MMMMM NNNNN yy vv uu CC %% && DD MMMM NNNN zz yy zz v u CC DD MMM NNN %% && yy zz CCC DDD MMM NNN %% && y z CCC DDD M N Y Z y z CC D YY ZZ UUU ''''' Y VVV ((((( Z š UUU ''''''' VVV www xxx ((((((( š " UUU '''''''' VVV www xxx (((((((((! " UU ''''''''' VV www xxx ((((((((( ww xx!! "" '''''''' (((((((( ƒƒƒ!! "" ''' ((( ƒƒƒƒ!! "" H G ƒƒƒ!! ""!!! """ H G ƒƒƒƒ!!!!!!! """"""" HH GG ccc ddd ƒƒƒ!!!!!!! """"""" g h HHHHH GGGGG cc dd!!!!!!! """"""" g h HHHHHH GGGGGG c d!!!!!!! """"""" HHHHHH GGGGGG!!!!!!! """"""" HHHHH GGGGG 9 : k l k!!!!! """"" l HHHH GGGG 9 : : 99 :: AAA BBB 99 :: AAA BBB a b /// :: AAAA BBBB a b //// : AAA BBB a b /// 000 AA BB a b //// 0000 A B /// 000 Figura 1.1: Representação esquemática de um meio poroso Classificação de um meio poroso Sob o ponto de vista estrutural podemos classificar o meio poroso em relação à homogeneidade, isotropia e ordenação. Por homogeneidade entendemos que o meio é invariante por translação. A isotropia implica na sua invariância por rotação em torno de um determinado ponto. Um meio poroso pode ser ordenado ou desordenado. Os primeiros se caracterizam pela disposição regular dos elementos sólidos e os segundos pela disposição irregular ou aleatória dos sólidos. Quanto à estabilidade do meio, tomando-se como referência a matriz sólida, podemos classificar o meio poroso em consolidados e não consolidados O meio poroso como um contínuo No intuíto de construirmos modelos para o meio poroso, faremos uma analogia entre a hipótese do contínuo para fluidos na mecânica clássica e o seu equivalente em se tratando de um meio poroso. No caso dos fluidos, trabalhar no nível molecular é impraticável dado o número elevado de moléculas contidas nas suas porções macroscópicas (1 mol de gás contém moléculas). Usamos, então, uma abstração: consideramos um volume elementar do fluido que seja grande o suficiente para conter uma quantidade considerável de moléculas (tal que suas dimensões ainda sejam muito maiores

27 1.1. O meio poroso 3 que o livre caminho médio das moléculas constituintes) mas muito pequena em relação ao volume total do fluido estudado. Neste ponto, introduzimos a definição de uma determinada propriedade φ do fluido num ponto P como φ(p ) = lim φ i (1.1) V i V 0 onde V i é o volume cujo centróide é o ponto P e V 0, denominado ponto material, é o volume do volume elementar descrito acima. Examinando-se esta hipótese, vemos que um grande número de moléculas podem estar colidindo entre si e entrando e saindo do V 0 num determinado instante de tempo arbitrário. Digamos que tais fenômenos ocorram num intervalo de tempo t 0. Suporemos que este intervalo de tempo seja muito pequeno em consideração às escalas de tempo nas quais trabalharemos, mas não muito menor que o tempo médio entre as colisões, as quais, em último caso, é que dão a dinâmica do processo. À estas escalas de espaço e tempo denominaremos de nível microscópico. Por exemplo, se a propriedade φ fosse a densidade, ao partirmos de escalas moleculares teríamos tipicamente o comportamento mostrado no gráfico da figura 1.2, onde passamos da região de individualização molecular ( V 0 < l) ρ l L V 0 Figura 1.2: Densidade de um fluido. para uma na qual vale a hipótese do contínuo ( V 0 > l), até atingirmos dimensões onde se manifestam as inomogeneidades macroscópicas ( V 0 > L).

28 4 Capítulo 1. Introdução Neste ponto, poderíamos usar as equações da mecânica clássica para resolver o problema do escoamento do fluido dentro do meio poroso. No entanto, neste caso, sabemos que teremos novas dificuldades pois a estrutura da matriz sólida é geralmente complicada, gerando problemas com condições de contorno altamente complexas. Como uma saída para este impasse, partiremos para a definição de uma outra escala espacial que denominaremos escala macroscópica, na qual usaremos um desenvolvimento análogo ao usado na hipótese do contínuo para os fluidos Volume elementar representativo Um ponto crucial no desenvolvimento anterior foi a definição de ponto material. Analogamente, definiremos um Volume Elementar Representativo (VER) como sendo um volume do meio poroso que seja grande o suficiente para conter elementos do meio poroso, que sejam representativos do meio como um todo, e pequeno o suficiente em comparação às dimensões do meio poroso. Devemos entendê-lo como uma porção representativa do meio, de forma que ao efetuarmos pequenas translações não haja mudanças significativas nas propriedades nele definidas. Novamente, devemos fazer algumas hipóteses sobre a escala de tempo na qual trabalharemos, a fim de que as propriedades medidas do meio sejam representativas. Por exemplo, a porosidade do meio (mais precisamente porosidade volumétrica) seria definida como V i ε(p ) = lim (1.2) V i V 0 V i onde V i, V i e V 0 são respectivamente o volume de uma porção do meio poroso, o volume de espaço vazio dentro de V i e finalmente o VER ou ponto material do meio poroso. Na figura 1.3 vemos uma representação esquematica do VER. Neste trabalho, as seguintes dimensões características serão utilizadas: l, l β, L e r o. Elas representam respectivamente as dimensões microscópicas (ao nível dos poros), as dimensões dos poros, as dimensões macroscópicas (relativa às dimensões do meio) e o raio do volume elementar. Apresentadas estas dimensões, podemos introduzir as restrições impostas às escalas de comprimento no sentido de que o VER, caso ele exista, satisfaça as condições descritas anteriormente l β << r o << L (1.3) Com esta definicação de escalas, ocultamos a natureza descontínua do meio poroso e as flutuações estatísticas devidas à esta natureza. Considerando-se

29 1.1. O meio poroso 5 l β r 0 Figura 1.3: Volume Elementar Representativo (VER). por exemplo a porosidade ε, o gráfico da figura 1.4 nos fornece a sua variação à medida que mudamos a escala na qual trabalhamos. Nesta representação, vemos o valor da porosidade partindo de 1 ou 0 (respectivamente, partindo de um ponto dentro da fase líquida ou sólida) e sofrendo as flutuações devido à não homogeneidade local, até atingir a região (r > l) para a qual o volume elementar representativo existe e o seu valor passa a ser constante. A partir de um certo ponto (r > L), caso o meio seja macroscopicamente inomogêneo, voltaremos a ter variações da porosidade com a posição. Quanto às escalas de tempo associadas às escalas microscópicas, do VER e macroscópica, elas são tipicamente definidas como l β 2 /α, r 0 2 /α e L 2 /α para o caso de difusão de calor e ainda l β /u 0, r 0 /u 0 e L/u 0 associadas ao tempo de residência do fluido nas diversas escalas de comprimento. Aqui α e u 0 são respectivamente a difusividade térmica do meio e a velocidade do fluido. As escalas de espaço e de tempo podem variar numa ampla gama de valores [2]. Convém destacarmos o fato de que as hipóteses de comportamento das grandezas, feitas acima, são de natureza intuitiva e não baseadas em experimentos. Portanto, a existência física do VER pode ser contestada em muitas situações reais, como no caso de um meio poroso não homogêneo.

30 6 Capítulo 1. Introdução ε l L r 0 Figura 1.4: Porosidade Porosidade e superfície específica A porosidade volumétrica ε é uma propriedade macroscópica do meio poroso, sendo definida por ε(p ) = V β V = V V σ V (1.4) onde V β é o volume do fluido, V σ é o volume do sólido e V o volume total do meio poroso. Observemos que esta definição leva em conta os poros que não estão conectados. Se considerarmos apenas os poros onde os fluidos podem circular, então teremos a definição da porosidade efetiva ε e ε e (P ) = V β V σ (1.5) Definiremos também a superfície específica a v como sendo a razão entre a área total da superfície do meio poroso A βσ e o volume total de sólido V σ, ou seja, a v = A σβ V σ (1.6)

31 "! 1.2. Meio poroso periódico 7 ) * ) * q r q r ƒ w x 6 55 ] ^ ] ^ ] ^ M N M N M N M N M N ' ( ' ( ' ( % & A B AA BB y # $ # $ # $ , +, } ~ } ~ E F FF E = > < ;; < : W X W X W X / 0 / 0 s t [ \ u v Y Z s t [ \ u v Y Z g h [ \ Y Z g h g h K L K L K L K L C D z K L DD C { G H G H G H G H G H I J I J I J I J I J Figura 1.5: Meio poroso periódico. 1.2 Meio poroso periódico Em conseqüência das dificuldades apresentadas na modelagem dos fenômenos de transporte no interior de meios porosos, várias abordagens alternativas são encontradas na literatura. Aqui falaremos sobre o uso de um meio que replica periodicamente uma célula, figura 1.5, que tem uma estrutura geométrica determinada [3, 4]. À esta célula, chamaremos de célula unidade, célula unitária, célula primitiva ou célula fundamental. Podemos descrever a geometria do meio de forma algébrica se definimos r como sendo o vetor posição de um ponto dentro da célula. Então, qualquer ponto r dentro do meio poderá ser representado por com r = r + n 1 l1 + n 2 l2 + n 3 l3, (1.7) n i = 0, ±1, ±2,..., i = 1, 2, 3 (1.8) onde l 1, l 2, e l 3 são vetores linearmente independentes. É claro que não existe unicidade na determinação dos vetores acima.

32 8 Capítulo 1. Introdução Embora seja possível adotarmos qualquer geometria para o interior da célula elementar (como por exemplo a mostrada na figura 1.5), no decurso deste trabalho adotaremos geometrias relativamente simples e que facilitem, inclusive, o aspecto computacional. Trabalharemos com células bidimensionais retangulares que contém uma série de cilindros de seção retangular, dispostos em diferentes posições como, por exemplo, a apresentada na figura 1.6. Apesar da simplicidade destas estruturas, veremos que as mesmas permitem análises relevantes dos problemas estudados. Estas mesmas geometrias e suas varições são amplamente empregadas [2, 3, 5]. Figura 1.6: Célula fundamental. 1.3 Escoamento em meios porosos O problema do escoamento em meios porosos é de grande interesse, apesar das dificuldades que envolvem o seu estudo. Coloca-se como referência inicial do estudo do escoamento em meios porosos o trabalho de Darcy [1], onde está enunciado um fenômeno típico destes meios, a proporcionalidade entre a velocidade média do escoamento e o gradiente de pressão. Esta proporcionalidade é denominada de Lei de Darcy e é válida para escoamentos a baixo número de Reynolds, ou seja, onde as forças com origem na viscosidade do fluido sejam maiores que as originárias das forças de inércia. As tentativas de descrever este comportamento aplicando-se as equações da hidrodinâmica são delicadas e imprecisas devido a necessidade da descrição detalhada da geometria interna do meio, que é geralmente muito complexa, como vimos na seção anterior. Assim, o tratamento das condições de contorno torna-se praticamente impossível a não ser para estruturas simples como um conjunto de tubos capilares, esferas ou cilindros que são idealizações

33 1.4. Dispersão em meios porosos 9 e que têm sucesso parcial na descrição de fenômenos envolvendo o escoamento em meios porosos. Atualmente, estes problemas são tratados por técnicas do tipo up scaling (mudança de escala), que permitem que abordemos o problema não mais na escala microscópica, mas em escalas ditas de laboratório ou de campo. Como exemplo destas técnicas podemos citar o método dos momentos [3], a homogeneização [4], a média volumétrica [6], etc. Mediante a aplicação destas técnicas, podemos demonstrar a lei de Darcy e equacionarmos uma grande classe de problemas, principalmente os envolvendo o escoamento à baixo número de Reynolds em meios porosos. 1.4 Dispersão em meios porosos O estudo de como uma grandeza física se dispersa no interior de um meio poroso é de grande importância em várias áreas como a de controle ambiental (por exemplo, dispersão de gases na atmosfera), a medicina (difusão de drogas, hipertermia, etc), a secagem, a recuperação de petróleo, etc. O trabalho teórico fundamental no estudo da dispersão foi o de Taylor [7] em 1953, que estudou como um soluto se dispersa em escoamentos no interior de tubos cilíndricos. A dispersão ocorre devido a ação de vários mecanismos. A seguir, nós faremos uma breve discussão sobre os principais mecanismos microscópicos que levam a uma apreciável dispersão na escala macroscópica. De modo semelhante aos problemas envolvendo o escoamento em meios porosos, a dispersão em meios porosos também é tratada atualmente com o emprego de técnicas de mudança de escalas. Em muitos casos, estas técnicas nos possibilitam a obtenção de uma equação que governa o processo de dispersão na escala macroscópica, tendo como variáveis dependentes os valores médios da grandeza que dispersa. Em geral, nestas equações, vemos aparecer um tensor efetivo de segunda ordem que, conforme teremos a oportunidade de vermos mais adiante, caracteriza o processo de dispersão macroscópica Difusão molecular O fenômeno ocorre devido a existência do gradiente da grandeza que se dispersa no meio. O que provoca esta dispersão é a agitação molecular resultante do movimento browniano [8, 9, 10] e ela é dependente da energia (temperatura) do meio. Portanto, este tipo de dispersão sempre ocorre.

34 10 Capítulo 1. Introdução Mistura devido a uma obstrução Este tipo de dispersão ocorre devido aos múltiplos caminhos que o fluido contendo um soluto (dispersão de massa), ou aquecido (dispersão térmica), pode seguir quando do seu escoamento no interior do meio poroso. Uma representação desta situação está esquematizada na figura 1.7. A B A B Figura 1.7: Mistura por obstrução Regiões de recirculação Recirculações podem ser provocadas, por exemplo, pela estrutura da matriz sólida (figura 1.8), fazendo com que haja um aprisionamento da matéria (no caso da dispersão de massa) que está se dispersando no meio poroso. Em geral, estas partículas só poderão sair destas regiões por intermédio de um processo difusivo. Como este processo na maioria das vezes é muito mais lento que o transporte convectivo, estas partículas retornarão ao escoamento principal muito tempo depois, o que acarretará num processo de dispersão visto que o fluido conterá, neste momento, uma baixa concentração destas partículas.

35 1.4. Dispersão em meios porosos 11 Figura 1.8: Recirculação Conectividade do meio De uma maneira geral, o meio poroso tem seus poros conectados de forma aleatória o que faz com que os caminhos percorridos nele não sejam equivalentes. No caso de termos caminhos desconexos (figura 1.9), certas regiões serão inacessíveis ao escoamento o que, também, proporcionará uma mistura da matéria contida no fluido que escoa Zonas de estagnação Caso o meio poroso possua zonas de estagnação, teremos que as partículas serão transportadas destas ou para estas regiões, basicamente pelo movimento browniano. Em alguns casos, podemos ter tais regiões praticamente sem a presença das partículas que estão se dispersando, mudando a distribuição das mesmas em virtude dos fortes gradientes que existirão nestas zonas (figura 1.10). As mesmas observações, feitas no caso das zonas de recirculação, também se aplicam aqui Dispersão hidrodinâmica É a dispersão que ocorre devido à existência de gradientes de velocidade em conjunto com a difusão molecular. Taylor [7] foi o primeiro a estudar esta questão, sendo tal fenômeno conhecido como dispersão de Taylor. Na figura

36 12 Capítulo 1. Introdução Figura 1.9: Conectividade do meio vemos um exemplo da representação da existência de um gradiente de velocidades. Nela mostramos o comprimento de cada seta como sendo proporcional a velocidade local do fluido. Obviamente que as partículas que se encontrarem na região central do poro se deslocarão mais rapidamente que aquelas que se encontram próximas da superfície sólida. Assim, este mecanismo também será responsável pela dispersão destas partículas no interior do meio poroso Absorção Se a matriz sólida é capaz de reter (absorver) de alguma forma a matéria que se dispersa, tal fenômeno contribuirá certamente para o processo de mistura desta matéria no meio. Portanto, haverá uma troca de massa em regime transiente, no caso da difusão, devido aos diferentes níveis de concentração existentes entre as fases sólida e fluida. Em alguns casos, podemos ter o fenômeno inverso onde o sólido se encontrará com uma concentração maior do que a do fluido e haverá uma transferência de massa do sólido para o fluido.

37 1.4. Dispersão em meios porosos 13 Figura 1.10: Zona de estagnação. Figura 1.11: Dispersão hidrodinâmica.

38 14 Capítulo 1. Introdução 1.5 Dispersão térmica Sendo a dispersão térmica o objeto de estudo deste trabalho, devemos avaliar como os parâmetros térmicos podem afetar a dispersão de energia num meio poroso. Apresentaremos uma análise resumida, baseada no livro de autoria de Kaviany [2] que trata dos princípios da transferência de calor em meios porosos. Números de Péclet e Reynolds, estrutura e porosidade : Os números de Péclet e Reynolds são definidos por P e = u T k 2 T = ul k e Re = u u ν 2 u = ul ν Devemos esperar que a dispersão seja dependente da hidrodinâmica na escala dos poros. Esta, por sua vez, depende da estrutura da célula fundamental no sentido de que a conectividade do meio, as regiões de recirculação, de estagnação, de fortes gradientes de velocidade, dependem diretamente da geometria do meio. Também é claro que variando a porosidade (mas mantendo os números de P e e/ou Re fixos) teremos valores de dispersão diferentes. Algo importante a se destacar é que experimentalmente se verifica que a dependência da dispersão com o número de Reynolds Re não é muito forte, sendo que o número de Péclet (P e = Re P r) pode ser usado na caracterização da hidrodinâmica e da transferência de calor. Isto é de certa forma surpreendente, pois dependendo do valor de Re teremos regimes de escoamento diferentes na escala dos poros. Tal resultado parece apontar para o fato de que no nível microscópico o escoamento é próximo ao stokesiano, o qual implica que os termos de inércia apresentam uma pequena contribuição ao processo de dispersão em comparação à contribuição devida aos termos viscosos. Razão entre as condutividades k σ /k β : Esta razão deve influenciar o processo de dispersão, visto que o campo de temperaturas ao nível dos poros dependerá da condutividade térmica das fases sólida e fluida. Quando a razão entre o tempo associado à condução de calor no sólido e o tempo de residência do fluido no poro (l 2 /α σ )/(l/ɛu 0 ) for grande, a contribuição da fase sólida deve ser pequena e vice versa. Do mesmo modo, a razão entre os tempos característicos dos processos de difusão e convecção, (l 2 /ɛ 2 α β )/(l/ɛu 0 ) = P e/ɛ, indica que devemos esperar uma influência da razão entre as difusividades térmicas (α β /α σ ) (ou de k β /k σ em regime permanente) nos valores do tensor de dispersão.

39 1.6. Um breve histórico 15 Razão entre as capacidades térmicas (ρc p ) σ /(ρc p ) β : A influência desta razão é clara no início da dispersão de calor quando temos um desequilíbrio térmico numa pequena região do meio poroso, uma vez que a capacidade do sólido em armazenar/transferir calor afetará a distribuição de temperaturas. No entanto, é menos óbvio perceber que esta razão também afetará a dispersão após os instantes iniciais. À medida que o calor se dispersa pelo meio poroso, tanto por difusão quanto por convecção, o fato das capacidades térmicas serem diferentes fará com que ocorram desequilíbrios térmicos locais. Se, por exemplo, a fase sólida retiver mais calor que a fase fluida, teremos um retardo no processo de liberação de calor para o fluido. Isto acontecerá em todo o meio, mesmo nas regiões distantes do desequilíbrio térmico inicial. 1.6 Um breve histórico Como o método de obtenção do tensor efetivo de dispersão térmica utilizado neste trabalho, baseia-se no método dos momentos, discutiremos de forma não exaustiva os principais desenvolvimentos realizados empregando este método. Como foi dito, o primeiro trabalho efetuado tratando do problema da dispersão foi o de Taylor [7] em 1953, onde é estudado o caso de dispersão de um soluto contido em um fluido que escoa por um tubo capilar, onde as dimensões das partículas do soluto são muito menores que as dimensões físicas do tubo. Foram abordados os casos de escoamento laminar e turbulento, tanto teórico quanto experimentalmente. Pela teoria, a dispersão no sentido longitudinal do tubo (dispersão longitudinal) é proporcional à P e 2, o que foi confirmado experimentalmente. Embora tal trabalho não esteja diretamente relacionado com a dispersão em meios porosos, podemos empregá lo em modelos que consideram o meio poroso como sendo constituído por um feixe de tubos capilares [1]. Neste mesmo trabalho, Taylor mostra que o centro de massa da distribuição do soluto se move com a velocidade média do escoamento, além de verificar que a distribuição é simétrica em relação ao centro de massa. Aris [11] em 1956, retomou o trabalho de Taylor determinando as equações dos momentos de probabilidade da distribuição de soluto. Neste desenvolvimento, a equação do primeiro momento dá a velocidade de deslocamento do centro de massa da distribuição de soluto, enquanto que a equação do segundo momento fornece a dispersão do soluto em torno do mesmo. Quando o espalhamento é calculado em relação ao centro de massa, dizemos que calculamos o segundo momento centrado da distribuição. Horn [12] em 1971 generalizou a técnica e os conceitos desenvolvidos por

40 16 Capítulo 1. Introdução Aris e os aplicou no estudo da dispersão de massa em colunas cromatográficas. Brenner [3] em 1980, desenvolveu de forma mais detalhada os conceitos conhecidos até então e teve o mérito de aplicar a técnica dos momentos aos meios porosos possuindo uma estrutura espacial periódica. Neste trabalho, a partir da determinação das equações que governam os principais momentos da distribuição de soluto, foi desenvolvida uma técnica que permitiu que fosse determinado o comportamento assintótico da distribuição do soluto injetado no meio poroso. Brenner ainda demonstra que, para um meio poroso periódico, a velocidade de Darcy é independente da célula fundamental considerada e que o tensor de dispersão é um invariante macroscópico. 1.7 Alguns resultados teóricos e experimentais Inicialmente, discutiremos alguns resultados que dizem respeito à dispersão de massa, que corresponde a não considerarmos a contribuição da fase sólida no processo de dispersão. Os resultados de Taylor [7] e Aris [11] (Teoria de Taylor-Aris) predizem para a o coeficiente de dispersão longitudinal uma variação com o número de Péclet do tipo D xx /D P 48 e2, em se tratando da dispersão em capilares. Nos trabalhos de Eidsath et al [13] e Quintard e Whitaker [14], considerando o caso dos meios porosos periódicos, foram obtidos para o coeficiente longitudinal de dispersão, um comportamento do tipo D xx /D 0,7 P e 1,7, para Pe maior do que 10. Neste último caso, foram usadas células fundamentais contendo arranjos geométricos de cilindros dispostos em linha e em quincunce. As secções transversais dos cilindros usados eram circulares na maior parte dos resultados apresentados e a forma como estes estão dispostos influencia de forma significativa no cálculo do tensor de dispersão. No entanto, os dados experimentais para meios tridimensionais reais, apresentam um comportamento do tipo D xx /D 0,7 P e 1,2. Tal fato levou Koch et al [15] a estudarem a influência da regularidade espacial do meio poroso no comportamento do tensor efetivo de dispersão. Plumb e Whitaker [16, 17], a fim de obterem resultados que estivessem de acordo com as previsões experimentais, realizaram um estudo onde se incluia as heterogeneiadades do meio devido à variações do campo de porosidades. Neste trabalho, os autores aplicaram a técnica de médias à grandes escalas, o que os levou a obterem resultados mais próximos dos previstos nas experimentações. Simulações feitas por Amaral Souto e Moyne [18], com meios periódicos bidimensionais com células fundamentais com arranjos dispostos aleatoriamente, apresentaram uma dependências do coeficiente longitudinal

41 1.8. Conclusão 17 de dispersão em função do número de Péclet mais próximas dos resultados experimentais. Entretanto, ainda não podemos dizer que estes resultados reproduzam a física que está por trás do fenômeno de dispersão que ocorre nos meios reais. No caso da dispersão térmica, foram desenvolvidas várias experimentações e, posteriormente, o problema começou a ser estudado teoricamente [14, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25]. Alguns modelos empregam uma única equação para o meio poroso como um todo, enquanto outros usam duas equações (uma para a fase sólida e outra para a fase fluida) na descrição do sistema físico. Tais pontos de vista nos levam a uma discussão sobre a validade de trabalharmos com a hipótese de equilíbrio térmico, obrigando a uma melhor definição deste conceito como o apresentado em [26]. Sob a ótica da condutividade do meio poroso, os resultados para os modelos a uma e a duas equações são muito próximos, o que não significa dizer que o mesmo aconteça nos casos tais como o do transporte convectivo e difusivo de calor [19]. As geometrias usadas como representação do meio poroso são similares às usadas no caso da dispersão de massa. Em particular, estruturas periódicas com células constituídas por tubos e cilindros de secções circulares e retangulares apresentando várias configurações. Estes trabalhos teóricos indicam uma dependência do coeficiente longitudinal proporcional à P e 2. Experiências, nas quais a fase sólida é distribuída regularmente, indicam um comportamento proporcional a P e 1,82, para 10 P e 1000 e para uma porosidade ε = 0, 8 [2]. Como na dispersão de massa, a geometria adotada para o meio poroso influencia fortemente nos resultados obtidos. 1.8 Conclusão O problema de dispersão em meios porosos tem largo interesse, sendo um campo ativo tanto do ponto de vista experimental e tecnológico, quanto do teórico. Apresentamos neste capítulo alguns conceitos básicos sobre este fenômeno físico, além de uma rápida análise sobre os principais mecanismos microscópicos que contribuem para o aparecimento da dispersão macroscópica, sejam eles devidos ao escoamento ou às diferentes características geométricas e térmicas dos meios sólido e líquido. Portanto, idealmente, no nosso estudo numérico deveríamos investigar situações envolvendo diversas configurações geométricas da célula fundamental, diferentes porosidades, bem como variarmos as propriedades térmicas de ambas as fases. Sob o ponto de vista do escoamento, trabalharemos no regime de Stokes, que é uma hipótese compatível com os regimes de escoa-

42 18 Capítulo 1. Introdução mentos encontrados em muitas situações reais em meios porosos. No próximo capítulo, aplicaremos a técnica conhecida como média volumetrica a fim de obtermos uma equação que governa o transporte de energia na escala macroscópica. Na obtenção deste modelo a uma equação, não faremos uso da hipótese clássica do equilíbrio térmico local. Em seguida, no terceiro capítulo, introduziremos o método dos momentos e obteremos uma equação geral para os momentos estatísticos da distribuição de energia. No quarto capítulo, apresentaremos o método dos térmions que é baseado na marcha aleatória. Este método nos possibilitará a determinação do tensor efetivo de dispersão térmica, sem que haja necessidade de resolvermos o problema de fechamento associado à equação macroscópica. Finalmente, no último capítulo, faremos uma validação numérica deste método e apresentaremos alguns resultados obtidos para a dispersão térmica em um meio poroso periódico bidimensional, empregando-se diferentes geometrias para a célula unitária e diferentes propredades físicas para as fases sólida e fluida que constituem o meio poroso.

43 Capítulo 2 Equação macroscópica Neste capítulo, introduziremos inicialmente as equações microscópicas que governam o processo de transporte de energia no interior de um meio poroso. Em seguida, o método da média volumétrica será apresentado [18, 27, 5, 6, 28, 29, 30] e os teoremas da média volumétrica enunciados. As últimas seções serão dedicadas à obtenção da equação macroscópica que governa a dispersão térmica em um meio poroso, à determinação do tensor efetivo de dispersão e à proposição do problema de fechamento associado. A equação macroscópica é obtida mediante a aplicação dos teoremas da média volumétrica às equações microscópicas que governam o transporte de energia ao nível dos poros. 2.1 Equações microscópicas O transporte de energia ao nível dos poros é descrito pelas seguintes equações para o fluido (fase β) e o sólido (fase σ) (ρc p ) β T β t + (ρc p) β v β T β = (k β T β ) (2.1) (ρc p ) σ T σ t = (k σ T σ ) (2.2) com as respectivas condições de contorno na interface sólido-fluido A βσ T β = T σ (2.3) n βσ k β T β = n βσ k σ T σ (2.4) 19

44 20 Capítulo 2. Equação macroscópica Devemos ainda fornecer as condições iniciais para T β e T σ em t = 0 e as condições de contorno nas superfícies de entrada e saída A βe e A σe do meio. A descrição completa do processo de transferência de calor necessita, ainda, da introdução das equações de continuidade e de momentum para a fase fluida. Entretanto, neste trabalho, suporemos que as propriedades físicas do fluido são constantes. Assim, a hidrodinâmica do problema pode ser tratada de maneira independente. Uma outra conseqüência desta separação, entre o problema térmico e o hidrodinâmico, é a suposição de invariância térmica tanto das propriedades do fluido como do sólido. Temos, portanto, que o desenvolvimento considerado é válido no caso de regimes de trabalho tais que as propriedades do meio não modifiquem ou que não haja geração de calor considerável provocada pelo fluxo do fluido, por exemplo, via dissipação viscosa. 2.2 O Método da média volumétrica Descreveremos agora o método da média volumétrica que consiste essencialmente em calcularmos a média das grandezas, de interesse para o sistema estudado, no Volume Elementar Representativo. Pretende-se com este método que as equações macroscópicas fiquem livres das flutuações associadas às pequenas escalas de comprimento, ou seja, flutuações que ocorrem na escala dos poros que espera-se não sejam observáveis macroscopicamente. Desenvolveremos a técnica para o caso de termos um meio bifásico constituído de uma matriz sólida (indicada pelo índice σ) e um meio fluido (indicado pelo índice β). Assim, apresentamos a média volumétrica da seguinte forma ψ β = 1 V V β ψ β dv (2.5) onde V é o volume do VER e ψ β é uma grandeza da fase β da qual queremos determinar a média volumétrica. De forma semelhante, introduzimos a média intrínseca à fase β como ψ β = 1 V β V β ψ dv = 1 ε β ψ β (2.6) onde ε β é a porosidade ou fração volumétrica da faseβ, ou seja, ε β = V β V (2.7)