Lógicas não clássicas

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1 Lógicas não clássicas Tiago S. Rocha, Eduardo Bonet, Jean Quevedo Engenharia de Computação Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) CEP Av. Sete de Setembro, Rebouças - Curitiba - PR Brasil Resumo: Desde que a lógica foi proposta como uma linguagem de programação, muitas pessoas passaram a se dedicar ao estudo dela. Porém, existiam certos problemas que apenas lógica convencional não dava conta. Por isso, surgiu a necessidade de inova-la. Foi assim que surgiram as Lógicas Não Clássicas. Este artigo descreve e faz um resumo de alguns dos trabalhos realizados em nesta área, dando ênfase em lógica paraconsistente C1. 1. Introdução: Para termos uma idéia do que se trata a lógica não clássica primeiramente é necessário definir os paradigmas da lógica clássica. Todas tem em comum os princípios de bivalência ou terceiro excluído, não-contradição, e identidade. O princípio da bivalência ou terceiro excluído afirma que uma proposição tem apenas dois valores; possível e impossível, certa e errada, verdadeira e falsa. O princípio da não-contradição afirma que uma proposição não pode assumir dois valores distintos; ela é possível ou impossível, certa ou errada, verdadeira ou falsa. O princípio da identidade afirma que toda proposição é idêntica a si mesma. Logo podemos concluir que toda lógica que quebra um desses paradigmas é considerada uma lógica não clássica. Contudo se estudarmos mais a fundo veremos que não é toda lógica não clássica que quebra esses paradigmas. A lógica clássica trabalha apenas com afirmações: Todos homens são mortais, Sócrates é homem, O Dunha é irmão do Fraunz. Para essas proposições é possível dar um valor verdade. A lógica clássica compreende basicamente, o cálculo de predicados de primeira ordem com identidade e símbolos funcionais (Mortari, 2001). Como ficaria o valor verdade de uma proposição como essa: Ele é capenga mas não manca? É uma das questões que tentaremos responder ao final do trabalho. 2. Convenções Neste trabalho, denota-se por ө um conectivo pertencente ao conjunto {,, },por L a linguagem C1, por ζ uma coleção de fórmulas de L, por v(a) uma função de ζ {0,1}, por n a negação ( ) e por nfn a negação forte da negação( * ).

2 3. Lógicas Não Clássicas: Existem vários tipos de lógicas não clássicas, tais podem ser divididos basicamente em três tipos: complementar, alternativa e sem grupo. As lógicas sem grupo são as que não se encaixam nas descrições citadas abaixo. Um exemplo é a lógica difusa: usando conceitos clássicos dá respostas imprecisas. O grupo complementar, já metanomeado, serve como complemento da lógica clássica. Nesses grupos as lógicas mais conhecidas são: Modais: usa essencialmente conceitos de necessidade e possibilidade. Deônticas: acrescenta os operadores proibido, permitido, indiferente e obrigatório. Temporais: usa conceitos temporais, dando relevância a conceitos físicos e linguísticos. Epistêmicas: acrescenta os operadores saber e acreditar. Preferência: acrescenta o operador de preferência. Com esses artifícios, imperações e interrogações ganham valores válidos. O grupo alternativo (ou heterodoxo) serve como antagonista da lógica clássica. Esse grupo rompe com pelo menos um dos paradigmas supracitados. Das mais conhecidas estão as lógicas: Polivalente: usa n valores entre verdadeiro e falso. Quântica: uma mesma proposição pode assumir diferentes significados. Intuicionistas: introduz a justificação para as proposições e não somente a verdade. Relevantes: procura ver aspectos entre as proposições e ver se há ligações para poder haver um resultado. Paraconsistente: introduz os valores indeterminado e inconsistente. Será melhor definida no decorrer. A Lógica Paraconsistente inclui-se entre as chamadas lógicas não-clássicas heterodoxas, por derrogar alguns dos princípios basilares da lógica clássica, tais como o princípio da contradição: segundo a Lógica Paraconsistente, uma sentença e a sua negação podem ser ambas verdadeiras Um dos seus fundadores é o brasileiro Newton da Costa, cujas teorias são de grande importância para diversas áreas, além da matemática, filosofia, direito, computação e inteligência artificial. No estudo da semântica, aplica-se especialmente aos paradoxos. Por exemplo, considere a afirmação "o homem é cego, mas vê". Segundo a Lógica Clássica, o indivíduo que vê, um "nãocego", não pode ser cego; já na Lógica Paraconsistente, ele pode ser cego para ver algumas coisas, e não-cego para ver outras coisas. As características da Lógica Paraconsistente são enriquecidas pelo trabalho desenvolvido por Jacques Lacan, teórico psicanalista/estruturalista. Ele desenvolveu e criou uma nova vertente da

3 psicanálise tornando a freudiana mais obsoleta ainda, que foi denominada Psicanálise Lacaniana. Em seu trabalho, ele associa a linguagem e o desenvolvimento dos processos humanos através dos eixos paradigmático e sintagmático ("o inconsciente é estruturado como linguagem" (Lacan)), através da topologia, invertendo a ordem dos conceitos saussurianos significado e significante, e também através da criação de alguns conceitos que só são compreensíveis com relação à psique humana. Segundo LUKASIEIVICZ (1910 E 1971), Aristóteles já tinha idéia da possibilidade de derrogação da lei da contradição. Lukasiewicz, por seu lado, argumenta que essa lei pode ser derrogada porque não é diretamente evidente, não é uma lei determinada pela organização psicológica do homem e, também, não pode ser demonstrada com base na definição de negação. A seguir, N. a VASILIEV (entre 1910 e 1913) publicou uma série de artigos, nos quais mostra a lei da contradição na forma "um objeto não pode ter um predicado que o contradiga" pode ser derrogado, esboçando uma lógica não-aristotélica e, em particular, uma teoria de silogismo onde podem aparecer premissas da forma "A é B e não B". Apesar de Vasiliev não ter explicado todas as leis da lógica, o seu trabalho é particularmente interessante pelo fato de já delinear uma lógica paraconsistente. Em 1948 e 1949, JASKOWSKI propôs um sistema lógico baseado no sistema modal S5, Lewis ao qual denominou Lógica Discussiva. Porém, Jaskowski não axiomatizou seu sistema; isto só foi feito posteriormente por DA COSTA 7 DUBIKAJTIS (1968 e 1977) e por KOTAS & DA COSTA (1979). Apesar de Jaskowski já ter proposto, de forma mais ou menos explícita, um cálculo proposicional paraconsistente, consideramo-lo ainda como um precursor da lógica paraconsistente. Isto pelo fato de não Ter ido ele além de um cálculo proposicional e por, aparentemente, não ter percebido o significado da lógica paraconsistente em toda sua amplitude. O aparecimento da lógica paraconsistente somente ocorreu em 1963, com um trabalho do lógico brasileiro Newton Carneiro Affonso da Costa. Da Costa já havia exposto suas idéias sobre o conceito da contradição anteriormente, mas só em Da Costa (1963) é que ele formulou, não um sistema, mas uma hierarquia enumerável de lógicas paraconsistentes de primeira ordem, dos respectivos cálculos de descrições e um esboço de teorias paraconsistentes de conjuntos construídos sobre sua lógica. O termo lógica paraconsistente (ale do consistente) só foi cunhado em 1976 por F. Miró Quesada, numa conferência pronunciada durante o III Simpósio Latino-Americano de Lógica Matemática, realizado na Universidade Estadual de Campinas. Até essa época usou-se o termo "lógica para sistemas formais inconsistentes", introduzido por da Costa em A partir de 1963, as pesquisas em lógica paraconsistentes desenvolveram-se muito rapidamente, em parte como consequência dos trabalhos de Da Costa e sua escola e, em parte, independentemente. Hoje, a lógica paraconsistente é um ramo bastante estudado no Brasil, na Austrália, na Polônia e nos Estados Unidos. O lógico brasileiro Newton iniciou estudos no sentido de desenvolver sistemas lógicos que pudessem envolver contradições, motivado por questões de natureza tanto filosófica quanto matemáticas. Ele é conhecido internacionalmente como o real criador das lógicas paraconsistentes. A lógica paraconsistente ou "não clássica" diverge da lógica clássica no sentido de que possam alicerçar sistemas teóricos que admitam contradições, expressões do tipo "A e não A" sem que se tornem triviais, ou seja, sem que todas as expressões bem formadas de sua linguagem possam ser provadas como teoremas do sistema. Lógica não clássica, pode ser usada como lógica subjacente de uma teoria inconsistente e não trivial., nela "Uma contradição não invalida (ou não trivializa) o seu sistema" Vasiliev. "As lógicas paraconsistentes romperam o paradigma caracterizado pela lógica de tradição aristotélica, possibilitando que se possa aceitar a existência de teorias inconsistentes e a coexistência de sistemas

4 lógicos incompatíveis entre si". Há duas classificações para esse tipo de lógica não clássica: 1)Fraca, é quando pode servir de base tanto para teorias paraconsitentes quanto para teorias consistentes. 2)Forte, geralmente, já existe uma fórmula tal que ela e sua negação são teoremas nessa lógica. Uma teoria dedutiva T, cuja linguagem contenha um símbolo de negação (~), é dita insconsistente se o conjunto se seus teoremas contém ao menos dois deles, um dos quais é a negação do outro. Neste caso sendo A e ~A tais teoremas, normalmente deriva-se em T uma contradição, isto é, uma expressão da forma A ~A; caso isso aconteça, T é consistente. A teoria T é trivial se o conjunto de suas fórmulas coincide com o de seus teoremas, ou seja, dito informalmente se todos os enunciados sintaticamente corretos do ponto de vista da linguagem de T puderem ser provados em T. Uma lógica paraconsistente se pode ser utilizada como lógica subjacente a teorias inconsistentes, mas não triviais. Isso implica que o princípio da não contradição deve ser de alguma forma restringido, a fim de que possam parecer contradições, mas deve-se evitar que de duas premissas contraditórias se possa deduzir uma fórmula qualquer. A classe das proposições é decomposta em proposições de dois tipos: na classe das bem comportadas (obediência a lógica clássica, para as lógicas bem comportadas A, tem-se que (A A) é verdadeiro), toda fórmula válida do cálculo clássico também o será nos cálculos de Sistemas Formais Inconsistentes, com exceção de um deles; se A for mal comportada, pode-se ter A A. As lógicas paraconsistentes de certa forma estendem-se a lógica tradicional, permitindo certas investigações que não seriam possíveis à luz da lógica clássica, elas não visam eliminar a lógica tradicional, que permanece válida em seu particular domínio de aplicabilidade. O cálculo proposicional paraconsistente C1: (I) Inconsistência : Em C1 não deve ser válido em geral o Princípio da Contradição (ou Não- Contradição). (II) Não trivial : De duas proposições contraditórias, isto é, uma das quais sendo a negação da outra, não deve ser possível deduzir uma proposição qualquer. (III) contém a maior parte dos esquemas e regras da Logica Classica que não interferem nas condições (I) e (II). Sintaxe: (I) variáveis proposicionais: um conjunto (infinito) enumerável de variáveis proposicionais (fórmulas que não são analisadas ao nível proposicional); (II) conectivos:,, ; (III) parênteses. Fórmula: (I) uma variável proposicional é uma fórmula; (II) se A e B são fórmulas, então (A B), (A B), (A B) e A são fórmulas; (III) as únicas fórmulas são as obtidas pelas cláusulas (I) e (II). 4. Alfabeto

5 Para facilitar as notações, existem 3 abreviações básicas nesse novo tipo de lógica sendo que, para qualquer fórmula A, são denotados por *A, A e A B. Significados: A (A A) *A A A A B (A B) (B A) Axiomas: Os axiomas em lógica paraconsistente C1 seguem as mesmas regras que os das outras lógicas. 1. A (B A); 2. (A B) ((A (B C)) (A C); 1. A (B A); 2. (A B) ((A (B C)) (A C); 3. A, A B, B; 4. (A B) B; 5. (A B) A; 6. A (B (A B)); 7. A (A B); 8. B (A B); 9. (A C) ((B C) ((A B) C); 10. A A; 11. A A; 12. B ((A B) ((A B) A)); 13. A B (A B) 14. A B (A B) 15. A B (A B) Os itens de (1) à (9) e (11) já por descritos por Kleene em seu cálculo proposicional clássico. As inovações aparecem nos itens (10), (12), (13), (14) e (15). Por possuir os mesmos axiomas e mais alguns, a lógica paraconsistente C1 é considerada subsistema da lógica clássica. 5. Teoremas 5.1 Em C1 todas as regras de eliminação e introdução de símbolos são válidas, com exceção à de redução ao absurdo. Essa regra e apresentada da seguinte forma em C1: Se Г, A B, Г, A B e Г, A B, então Г A. 5.2Teoremas não válidos em C1: A ( A B); (A A) B; (A B) ((A B) A); (A A) B; (A A); ( A B) (A B); (A B) ( A B); A A; (A B) ( A B);

6 5.3 Em C1, verifica-se que: B, A B B A; (A A) A; Aº ( A)º; (A A) ; (A ) ; 5.4 * tem as mesmas propriedades de. 5.5 Relações entre * e A ( *A A ( *A *A (A A *A ; * A A; * A A; *A ); * A); A); 6. Regras de Valoração Definição: A é uma fórmula elementar se A não é uma das formas AөB ou A. Entre outras, as regras de valoração de uma fórmula A em C1 são: Notações: E é um conjunto de fórmulas elementares, f: ζ (n,nfn). - As valorações v(aөb) e v( A) seguem as mesmas regras das lógicas clássicas. - v(a ) = 0 para v(a) = v( A) - Se v(a) v( A) e v(b) v( B), então v(aөb) v( (AөB)) - v(a) e v( *A) nunca assumem o mesmo valor. - v( A) = 1 sss v(a) = 0 ou v(a ) = 0 - v(a ) = 1 sss v( A ) = 0 - Sendo A uma fórmula elementar, v(a) = 1 sss A Є E; - Estando A na forma B C, então v(a) = 1 sss v(b) = 0 ou v(c) = 1 - Estando A na forma B C, então v(a) = 1 sss v(b) = v(c) = 1 - Estando A na forma B C, então v(a) = 1 sss v(b) = 1 ou v(c) = 1 - Estando A na forma B, então se v(b) = 0 então v(a) = 1 - Estando A na forma (BөC), (BөC) não é da forma D D, v(bөc) =1 e v(c) v( C) e

7 v(b) v( B), então v(a) = 0 - Estando A na forma (BөC), (BөC) não é da forma D D, v(bөc) =1 e v(c) = v( C) e v(b) = v( B), então v(a) = 1 sse f(bөc) = n - Estando A na forma (B B) e v(b B) = 1, então se v(a) = 0 - Estando A na forma B e v(b) = 0, então v(a) = 0 - Estando A na forma B e v(b) = v( B) = 1, então v(a) = 1 sss f( B) = n 7. Sistema de Tableaux para Lógica C1 Consideraremos A e B fórmulas de L. 7.1 Regras: A B A B A B A B A B *A B A B A A B B *(A B) *(A B) *(A B) *(A B) *(A B) A *B *A *B *(A B) *A *B A * A A * A *A A A (A B) (A B) (A B) (A B) *(A B) A B *(A B) A B *A *B *A *B

8 (A B) A (A B) A *(A B) A B * A A *A *B *A Observação 1 A regra A B não é aplicada à negação forte, que é um tipo especial de conjunção. Observação 2 A regra A só é aplicada às fórmulas elementares Corretude do Sistema de Tableaux C1 em relação à semântica de C1 Um ramo de um tableau é satisfazível se a coleção de fórmulas que compõe os nós do ramo são satisfazíveis, e caso contrário ele é insatisfazível, assim como se uma valoração v satisfaz todas a fórmulas do ramo, então ela satisfaz o ramo. Além disso, se v satisfaz uma fórmula A, então v também satisfaz a aplicação da regra. Acrescentando, se A é uma fórmula satisfazível, então pelo menos um de seus ramos também é satisfazível Completude do Sistema Tableaux C1 em relação à semântica de C Sobre o grau de uma fórmula A em C1: gr(a) = 0, se A for uma fórmula elementar ou for da forma * B, onde B é uma fórmula elementar gr(a) = gr( *B) + gr(c) + 1, se A estiver na forma B C gr(a) = gr(b) + gr(c) +1, se A estiver na forma B C e não for uma negação forte gr(a) = gr(b) + gr(c) +1, se A estiver na forma B C gr(a) = gr(b) + gr( *C) + 1, se A estiver na forma *(B C) gr(a) = gr( *B) + gr( *C) + 1, se A estiver na forma *(B C) ou *(B C) gr(a) = 1, se A estiver na forma B, onde B é uma fórmula elementar gr(a) = gr( * (B C)) + gr(b C) + gr( *B ) + gr( *C ) + 1, se A estiver na forma (B C) gr(a) = gr( * (B C)) + gr(b C) + gr( *B ) + gr( *C ) + 1,se A estiver na forma (B C) gr(a) = gr( * (B C)) + gr(b C) + gr( *B ) + gr( *C ) + 1,se A estiver na forma (B C) gr(a) = gr( * B) + gr( B) + gr( *B ) + 1, se A estiver na forma B gr(a) = gr(b) + 1, se A estiver na forma * B

9 7.3.2 Definições e Lemas Seja r um ramo de A, então gr (r) = Σ gr(a), onde A é uma fórmula de um nó não marcado de r Para qualquer ramo de um tableau de A, seu número máximo de nodos será gr(a) Para qualquer ramo de um tableau de A, seu número máximo de nós será 2gr(A) O número máximo de nós de uma tableau de uma fórmula A é 2 (2gr(A) + 1) Se existir um ramo esgotado e aberto em um tableau, então r é satisfazível Se T é um tableau esgotado de A e A é insatisfazível, então T é refutação de A A é insatisfazível sss existe um refutação de A A é uma fórmula válida de C1 sss existe uma refutação pra *A. 6. Conclusão Porque estudar lógicas paraconsistentes: Todos esses temas motivaram a elaboração da lógica paraconsistente. Conseqüências positivas da lógica paraconsistentes: Negação clássica é um conectivo unário que satisfaz certos princípios sintáticos e semânticos, tais como as leis sintáticas da contradição, do terceiro excluído e da dupla negação, tanto quanto as correspondentes leis semânticas. A negação clássica depende da estrutura global da lógica clássica. A lógica paraconsistente tem contribuído para uma melhor compreensão de algumas teorias filosóficas entre as quais mencionamos a dialética e a teoria dos objetos de Meinong. Um obstáculo que usualmente dificultam o desenvolvimento da dialética e da teoria de Meinong é que estas teorias, ao menos em algumas de suas de suas formulações, requerem um tratamento liberal das contradições, o que a lógica clássica não pode proporcionar. Nesse ponto a lógica paraconsistente pode funcionar como uma base firma para a reconstrução lógica de tais teorias filosóficas. A lógica paraconsistente torna manifesto que podemos construir muitas teorias inconsistentes mas não triviais. Exemplo: é possível desenvolver cálculos de predicados paraconsistentes de ordem superior, contendo cálculo de predicados clássico como um subsistema, nos quais teoremas tais como $ P (P(P) ^ ~P(P)), ou seja, existem um predicado P tal que P é predicável de si próprio e P não é predicável de si próprio. Com efeito, usando alguns tipos especiais de lógica paraconsistente de ordem superior, novos sistemas semânticos podem ser contruídos, nos quais digamos, certas formas de antinomia do mentiroso são deriváveis, apesar de que tais derivações não implicam, ao menos diretamente, na trivialidade do sistema. O conectivo que realmente causa problema não é a negação, mas a implicação: a trivialidade surge independentemente de qualquer contradição. REFERÊNCIAS : 1. < Acesso em 14 de abril de < Acesso em 14 de abril de < Acesso em 14 de abril de < Acesso em 14 de abril de 2009.

10 5. < Acesso em 14 de abril de < Acesso em 14 de abril de < Acesso em 14 de abril de < Acesso em 14 de abril de BUCHSBAUM, Arthus. Um Método Automático de Prova para a Lógica Paraconsistente(1988). Available in: <