Maria Elena Nunes Oliveira Costa GRAFOS FORTEMENTE REGULARES E COMBINATORIA

Transcrição

1 Universidade de Aveiro Departamento de Matemática Ano / Maria Elena Nunes Oliveira Costa RAFOS FORTEMENTE REULARES E COMBINATORIA Dissertação apresentada à Universidade de Aveiro para cumprimento dos requisitos necessários à obtenção do grau de Mestre em Matemática e Aplicações realizada sob a orientação científica da Prof Doutora Paula Carvalho e a co-orientação da Prof Doutora Paula Rama ambas Professoras Auxiliares do Departamento de Matemática da Universidade de Aveiro

2

3 Dedico este trabalho aos meus filhos pelo incansável amor que me dão todos os dias ao meu esposo por nunca me ter deixado desistir e aos meus pais por me apoiarem sempre

4

5 o úri Presidente Prof Doutora Isabel Maria Simões Pereira Professora Auxiliar da Universidade de Aveiro Vogal Arguente Principal Prof Doutor Henrique José Freitas da Cruz Professor Auxiliar da Universidade da Beira Interior Vogal Orientador Prof Doutora Maria Paula Lopes dos Reis Carvalho Professora Auxiliar da Universidade de Aveiro Vogal Co-Orientador Prof Doutora Paula Cristina Roque da Silva Rama Professora Auxiliar da Universidade de Aveiro

6

7 palavras-chave Teoria dos grafos design geometrias finitas resumo Nesta dissertação apresenta-se uma breve introdução à teoria dos grafos designs combinatórios e geometrias finitas e estabelecem-se algumas relações entre estas estruturas combinatórias No contexto dos grafos é dada ênfase aos grafos fortemente regulares e às propriedades da matriz de adacência Nos designs combinatórios considera-se a construção de -designs e estudam-se algumas propriedades dos -designs e sistemas de Steiner Apresentam-se várias ligações entre designs e grafos fortemente regulares e em particular mostra-se que o grafo dos blocos de um design quasi-simétrico é um grafo fortemente regular Nas geometrias finitas consideram-se propriedades básicas dos planos afins e dos planos proectivos Das propriedades destas geometrias destacamse a correspondência com determinadas famílias de -designs e a propriedade do grafo de incidência de um plano proectivo ser um grafo bipartido regular com cintura 6

8

9 keywords raph theory designs finite geometries abstract In this dissertation a brief introduction to graph theory combinatorial designs and finite geometries is presented and some interconnections among those combinatorial structures are shown In the context of graphs some emphasis is given to strongly regular graphs and properties of the adacency matrices Properties of -designs and Steiner systems are studied as well as the construction of -designs In addition some connections between designs and strongly regular graphs are presented and it is shown that the block graph of a quasi-symmetric design is strongly regular The finite geometries studied are the affine planes and the proective planes Basic properties are considered particularly the correspondence between those geometries and several families of -designs and the incidence graph of a proective plane being a regular bipartite graph with girth 6

10

11 Índice Índice i Lista de imagens iii Introdução Capítulo I: Noções da teoria dos grafos Algumas definições básicas da teoria dos grafos Propriedades básicas da matriz de adacência 4 rafos fortemente regulares 6 Capítulo II: Designs combinatórios 5 Designs combinatórios 5 Matriz de incidência de um design 7 Designs quasi-simétricos 4 Capítulo III: eometrias finitas 45 Planos afins 45 Planos proetivos 49 rafo de incidência de um plano proetivo 54 Conclusão 57 Referencias bibliográficas 58 i

12

13 Lista de imagens Fig : Exemplo de um grafo (não orientado) e de um digrafo 4 Fig : Exemplo de um multigrafo 5 Fig : rafos isomorfos 6 Fig 4: Complementar do grafo 8 Fig 5: rafos completos K 5 e K 6 8 Fig 6: Subgrafos próprios do grafo da Fig 9 Fig 7: Exemplo de um grafo conexo Fig 8: Exemplo de um grafo desconexo formado por duas componentes conexas Fig 9: O ciclo C 5 é um grafo fortemente regular com parâmetros (5;) 6 Fig : O grafo de Petersen é um grafo fortemente regular com parâmetros (;) 7 Fig : K é um grafo fortemente regular imprimitivo com parâmetro (6;) Fig : Exemplo de um -design com parâmetros (84) um -design de Hadamard 6 Fig : Uma representação de um -design com parâmetros (4) 7 Fig : Uma representação de um (7)-design 7 Fig 4: O (7)-design é o menor Triplo de Steiner STS(7) 6 Fig 5: Representação de um sistema de triplos de Steiner STS(9) 6 Fig 6: rafo dos blocos de um (4)-design 4 Fig : Plano afim de ordem com quatro pontos 46 Fig : Plano afim de ordem com nove pontos 47 Fig : Ilustração para demonstração do Proposição 48 Fig 4: Plano Proetivo de ordem com sete pontos 5 Fig 5: Ilustração para a demonstração do Proposição 5 Fig 6: Plano proetivo de ordem com treze pontos 5 Fig 7: Plano proetivo de ordem 4 com vinte e um pontos 5 Fig 8: Biplano de ordem e k = 5 Fig 9: Plano de Fano e o seu grafo de incidência 54 iii

14

15 Introdução Introdução Este trabalho contempla três temas que fazem parte de três áreas importantes da matemática discreta: grafos designs combinatórios e geometrias finitas A teoria dos grafos é apenas um dos ramos do vasto campo conhecido hoe em dia como combinatória Tem aplicações em inúmeras áreas incluindo telecomunicações eletrónica desenho de circuitos integrados redes de várias espécies Um dos factos que melhor evidencia esta relação e que pensa-se deu origem à teoria dos grafos foi o conhecido problema das pontes de Königsberg problema que é bem conhecido tanto em matemática como em ciências de computação e que o matemático Leonhard Euler no século XVIII resolveu pela negativa O problema consistia em saber se as sete pontes da cidade de Königsberg que ligavam quatro zonas da cidade duas das quais situadas em duas ilhas podiam ser atravessadas uma única vez num passeio com origem e chegada ao mesmo local Os designs são estruturas combinatórias com elevado grau de regularidade; estão relacionados com a existência e construção de sistemas de conuntos finitos cuas intersecções têm certas propriedades A sua origem parece ter sido na estatística: um dos exemplos mais apelativos que ocorre na literatura é o problema de uma companhia de cafés que pretende comparar um certo número de marcas de café usando um procedimento que prevê que cada pessoa experimente o mesmo número de marcas de modo a que cada pessoa tenha o mesmo peso na decisão e cada par de marcas sea experimentado pelo mesmo número de pessoas de modo que cada variedade tenha o mesmo tratamento A geometria desempenha como é sabido um papel importante em várias áreas Será que a chamada geometria euclidiana ainda hoe ensinada na escola é a única geometria importante do mundo real? Existem outros tipos de geometrias entre as quais as geometrias finitas que desempenham um papel importante na matemática e na resolução de problemas que ocorrem na vida real

16 Introdução Este trabalho tem como obetivo estudar estes três obetos matemáticos grafos designs e geometrias finitas no que diz respeito às relações que se estabelecem entre eles O trabalho está organizado em três capítulos cada um dedicado a um dos temas referidos No capítulo I apresentam-se conceitos e resultados gerais sobre grafos Estudam-se de um modo especial uma classe importante de grafos regulares os grafos fortemente regulares nos quais dois vértices adacentes têm um mesmo número de vizinhos a e dois vértices não adacentes têm também um número c de vizinhos um comum Devido às fortes ligações destes grafos com a teoria das matrizes apresenta-se uma breve síntese de resultados sobre matrizes necessária à compreensão do texto No capítulo II define-se t-design e estudam-se em particular os -designs Define-se ainda sistemas de Steiner como casos especiais de t-designs e mostram-se algumas propriedades básicas destas estruturas dando-se especial destaque à relação entre triplos de Steiner e grafos completos e entre designs quasi-simétricos e grafos fortemente regulares No capítulo III geometrias finitas faz-se uma abordagem às geometrias finitas por meio do estudo particular dos planos afins e dos proetivos finitos observando algumas relações que existem entre as geometrias finitas designs e grafos Define-se axiomaticamente plano afim e plano proetivo finitos e dão-se exemplos conhecidos estabelecendo relações com os capítulos anteriores Em particular refere-se que um plano proetivo e um plano afim podem ser vistos como sistemas de Steiner e por fim considerase o grafo de incidência de um plano proectivo

17 Algumas definições básicas da teoria dos grafos Capítulo I: Noções da teoria dos grafos Algumas definições básicas da teoria dos grafos Nesta secção faz-se uma breve introdução à teoria dos grafos apresentando algumas definições e resultados básicos Os grafos são estruturas combinatórias que em abstrato podem ser usados para resolver problemas práticos reais tais como: problemas de gestão de redes de transportes de gestão de redes de distribuição de serviços etc A principal referência utilizada nesta secção é o livro [5] Em seguida apresenta-se uma definição formal de grafo Definição : Um grafo não orientado é um terno V E onde V V() é um conunto não vazio que se designa por conunto dos vértices E E() é um conunto disunto de V que se designa por conunto das arestas e é uma função dita função de incidência tal que para cada elementos de V e E (e) denota um par não ordenado de Com o obetivo de simplificar a notação ao longo do texto escreve-se como é habitual ( e) uv em vez de ( e) u v para indicar que e é a aresta que liga os vértices u e v; onde os vértices u e v dizem-se os extremos da aresta e Se a função de incidência determinar para cada elemento e E um par ordenado de elementos de V o grafo diz-se um grafo orientado ou digrafo e denota-se por ( V ( ) E( ) ) Neste caso o conunto E diz-se o conunto dos arcos e escreve-se ( e) uv para indicar que ( e) ( u v) ; de modo idêntico u e v dizem-se extremos do arco e sendo u a cauda e v a cabeça do arco e

18 4 Capítulo I: Noções da teoria dos grafos Diz-se que uma aresta ou um arco incidem nos seus vértices extremos e consequentemente estes vértices dizem-se adacentes ou vizinhos O conunto dos vértices vizinhos de um dado vértice u V() denota-se por N (u) e designa-se por vizinhança de u Exemplo : O terno V E com ( ) 4 V E( ) e e e e 4 e 5 e e e e e 4 4 e 5 4 é o grafo representado na Fig e o terno ( V ( ) E( ) ) com ( ) 4 E( ) e e e e e e ( e ) ( e ) ( e ) V 4 ( e 4 ) 4 ( e 5 ) 4 é o digrafo representado na mesma figura 5 e e e e 4 e 5 4 e e e e 4 e 5 4 Fig : Exemplo de um grafo (não orientado) e de um digrafo Definição : Um grafo diz-se grafo simples se não contém arestas paralelas (arestas com os mesmos vértices extremos) ou lacetes (aresta e com ambos os extremos no mesmo vértice ou sea ( e) vv Um grafo com arestas paralelas ou lacetes designa-se por multigrafo Exemplo : Um exemplo de grafo simples é o grafo representado na Fig O grafo representado na Fig definido pelo terno V E com ( ) V E ( ) a b c d e onde ( a) ( b) ( c) ( d) ( e) é um multigrafo pois contém um lacete a aresta a e duas aresta paralelas d e e

19 Algumas definições básicas da teoria dos grafos 5 a b c d e Fig : Exemplo de um multigrafo Num grafo simples uma aresta é definida pelos seus vértices extremos sendo assim o grafo passa a ser denotado simplesmente por V E apenas V E Também se escreve quando esta notação se mostrar suficiente para identificar o grafo com que se trabalha A partir de agora considera-se apenas grafos simples Sea V E Define-se ordem de como sendo o número de vértices de V () e denota-se por n ; define-se dimensão de como sendo o número de arestas de E () e denota-se por Designa-se por grau de v e denota-se por d (v) ou simplesmente por d (v) o número de arestas incidentes no vértice v O maior e o menor dos graus dos vértices de denota-se por () e () respetivamente Um grafo diz-se k-regular ou regular de grau k se todos os seus vértices têm grau k isto é para todo vértice v V() se tem ( v) k d Embora a representação de um grafo por um diagrama sea apelativa à compreensão da estrutura abstrata ela revela-se sem interesse prático quando se usam computadores para resolver problemas em que as estruturas de dados representam grafos Há várias maneiras de representar um grafo com vantagens ou desvantagens dependendo da natureza do problema a resolver e da estrutura do grafo em questão entre outras; algumas das mais conhecidas são a utilização de lista de arestas ou a utilização de matrizes; relativamente às

20 6 Capítulo I: Noções da teoria dos grafos matrizes destacam-se a matriz de incidência e a matriz de adacência que são definidas a seguir Definição : Sea V E um grafo simples de ordem n tal que V v v e E e e v n n e dimensão ( ) e Designa-se por matriz de incidência de e denota-se por M m ) a matriz de dimensão n tal que: ( i m i se e se e v v v i p v com i { p q}; k q para a lg um v k V Definição 4: Dado um grafo simples V E de ordem n com V v v designa-se por matriz de adacência de e denota-se por A a i a matriz de dimensão n n cuas entradas a i são dadas por: a i se viv E( ); no caso contrário É claro que a matriz de adacência de um grafo simples é uma matriz simétrica e todas as entradas da diagonal principal são nulas v n Definição 5: Dois grafos simples V E e V E dizem-se isomorfos denotando-se esta relação de isomorfismo por se existe uma bieção : V V tal que uv se e apenas se u v E E Exemplo : Os grafos simples e da Fig representam um exemplo de grafos isomorfos e 4 e e 8 e 9 e e 6 6 e 7 e 4 e 5 e 5 e 6 e 5 e 6 e 7 e 4 e 8 5 e e 9 4 Fig : rafos isomorfos

21 Algumas definições básicas da teoria dos grafos 7 A função 5 V : V é uma bieção que satisfaz a Definição 5 As matrizes de incidência de e são dadas respetivamente por: M = e e e e e e e e e e M = e e e e e e e e e A soma das entradas de cada linha da matriz de incidência coincide com o grau de cada vértice e a soma das entradas de cada coluna é igual a (número de extremos de cada aresta) As matrizes de adacência de e são respetivamente: A e A Observe-se também que a soma dos elementos de cada coluna da matriz de adacência é igual à soma dos elementos da linha correspondente e coincide com o grau do respetivo vértice Note-se que todos os vértices dos grafos e têm grau pois e são grafos -regulares

22 8 Capítulo I: Noções da teoria dos grafos Definição 6: O complemento de um grafo simples ou complementar de denotado por é o grafo simples que possui o mesmo conunto de vértices de e tal que dois vértices distintos são adacentes em se e somente se não são adacentes em Exemplo 4: Considerando o grafo da Fig o seu complementar é o grafo representado na Fig 4 e e e e e e Fig 4: Complementar do grafo Note-se que se um grafo de ordem n é k-regular então o seu complementar é um grafo ( n k ) regular pois cada vértice v V ( ) é adacente em aos n k vértices (distintos de v) que não pertencem à sua vizinhança em isto é N ( v) V( ) \ ( N ( v) { v}) Por exemplo o grafo da Fig tem ordem n 6 e é -regular O seu complementar é regular de grau n k Definição 7: Um grafo simples de ordem n diz-se completo e denota-se por K n se todos os pares de vértices são adacentes isto é ( v) n para todo o vértice v V ( Kn ) d K n Fig 5: rafos completos K 5 e K 6

23 Algumas definições básicas da teoria dos grafos 9 grafo Da Definição 7 conclui-se de imediato que um grafo completo de ordem n é um ( n ) regular Definição 8: Um grafo V E diz-se um grafo nulo se não tem arestas isto é se E( ) Ø Neste caso V ( ) Ø todos os vértices são isolados Definição 9: Dados dois grafos V E e H V H EH H diz-se que H é um subgrafo de e denota-se H se V( H) V( ) E( H) E( ) e H é a restrição de ao conunto E (H) Se H e H então H designa-se por subgrafo próprio de e denota-se H Definição : Dado um grafo V E e Vˆ V ( ) designa-se por subgrafo de induzido por Vˆ e denota-se por [Vˆ ] o subgrafo cuo conunto de vértices é Vˆ e o conunto de arestas coincide com as arestas de com ambos os extremos em Vˆ Exemplo 5: Considerando novamente o grafo da Fig os grafos F e H representados na Fig 6 são exemplos de subgrafos próprios de O grafo H é o subgrafo induzido [Vˆ ] com V ˆ { } O grafo F não é um subgrafo induzido de porque { } V( F) V( ) mas E( F) ainda que E( ) F H 4 Fig 6: Subgrafos próprios do grafo da Fig Definição : Dado um grafo V E sequência não vazia de vértices e arestas P v e v e e o designa-se por passeio em toda a k v k

24 Capítulo I: Noções da teoria dos grafos tal que v v vk V( ) e ek E( ) e cada aresta e i tem extremos v i e v i para todo i k sendo v o vértice inicial e v k o vértice final Diz-se que P é um traeto se todas as suas arestas forem distintas e adicionalmente diz-se que P é um caminho se todos os vértices v i forem distintos com excepção eventualmente dos vértices inicial e final Definição : Sea P v e v e e v um traeto em Diz-se que P é um traeto o k k fechado ou um circuito se v vk por outro lado designa-se por caminho fechado ou ciclo um caminho P onde os únicos vértices que se repetem são o vértice inicial e o vértice final Exemplo 6: Considerando o grafo da Fig P e e e 4 e e e é um 5 4 passeio T e e e 4 e é um traeto e C e e e é um caminho Além disso C e e 4 e no qual não há repetição de arestas e apenas se repetem os 4 5 e vértices final e inicial é um ciclo Definição : Dado um passeio P de um grafo V E define-se comprimento de P e denota-se por comp (P) como sendo o número de arestas (com eventual repetição) que o constitui Definição 4: Dados v u V( ) denota-se por P uv o conunto de todos os caminhos de cuos vértices inicial e final são u e v Designa-se por distância entre vértices de a função dist : V( ) V( ) { v( ) } tal que: dist min comp( P) P ) Pu v u v ( se se P P u v u v Definição 5: Dado um grafo designa-se por cintura de e denota-se por g() o comprimento do circuito de menor comprimento em caso tal exista Se não tem circuitos diz-se que o grafo tem cintura infinita e escreve-se g ()

25 Algumas definições básicas da teoria dos grafos Definição 6: Um grafo diz-se conexo se entre cada par de vértices distintos existe um caminho que os une Um grafo que não é conexo diz-se desconexo ou não conexo Sea V E um grafo Considere-se a relação de equivalência ~ definida em V () por: u ~ v se e só se existe um caminho que une os vértices u e v Definição 7: Se V E é um grafo e V V Vk são as classes de equivalência de ~ cada subgrafo induzido V ] i k designa-se por componente [ i conexa de ou simplesmente componente de 4 5 Fig 7: Exemplo de um grafo conexo Fig 8: Exemplo de um grafo desconexo formado por duas componentes conexas Da Definição 7 decorre que uma componente de um grafo é um subgrafo conexo maximal no sentido em que não é subgrafo próprio de outro subgrafo conexo de Definição 8: Sea V E um grafo e v V() um vértice A maior distância entre v e todos os outros vértices de designa-se por excentricidade de v e denota-se por e (v) isto é e( v) max dist ( u v) À maior excentricidade dos vértices de dá-se o uv ( ) nome de diâmetro e denota-se por diam () ; à menor excentricidade dos vértices de dáse o nome de raio e denota-se por r () isto é diam( ) max e( u) e r( ) min e( v) uv ( ) vv ( )

26 Capítulo I: Noções da teoria dos grafos Exemplo 7: Considerando o grafo da Fig 7 calcule-se o seu diâmetro e raio Para isso vê-se primeiro a excentricidade de cada vértice: e( ) max dist( u) max{} uv e( ) max dist( u) max{} uv e( ) max dist( u) max{} uv e( 4) max dist(4 u) max{} uv e( 5) max dist(5 u) max{} uv logo diam( ) max e( u) uv ( ) e r( ) min e( v) Além disso a cintura de é vv ( ) g ( ) (é o comprimento do circuito de vértices e ) Definição 9: Um grafo V ( ) E( ) diz-se bipartido se existir uma partição do seu conunto de vértices V () nos conuntos (não vazios) X e Y tal que não existem arestas incidentes num par de vértices pertencentes ao mesmo elemento desta partição Um tal grafo denota-se por X Y E( ) e Y X é uma bipartição de Se além disso X p Y q e para todo o par de vértices x X e y Y o grafo contém a aresta xy diz-se que o grafo é bipartido completo de tipo (pq) e denota-se K p q Mais geralmente um grafo V ( ) E( ) diz-se multipartido completo do tipo p denota-se K p ps conuntos (não vazios) p s e se existir uma partição do seu conunto de vértices V () em s P Ps com p ps elementos respetivamente tal que para i s e todo x Pi e y P xy E( ) se i e xy E( ) se i Se p p então denota-se por s p K s p O grafo representado na Fig 4 e o grafo F da Fig 6 são bipartidos pois admitem as bipartições V( ) ({6}{45 }) e V ( F) ({}{4 }) O grafo representado na Fig 7 não é bipartido

27 Algumas definições básicas da teoria dos grafos Proposição : Um grafo conexo é bipartido se e só se não tem ciclos de comprimento ímpar Demonstração: Partindo do princípio que é bipartido se não tiver ciclos então não há nada a demonstrar Suponha-se que tem um ciclo C n formado pelas arestas v vv v s v s e que v X Então v Y v X e assim sucessivamente até chegar v a v s ou sea forma Cn v i X se e somente se i é par ou i Como v vs s deve ser par Desta tem um número par de arestas logo tem comprimento par Para demonstrar o recíproco sea v V e considere-se a partição do conunto de vértices V em dois subconuntos X e Y de tal modo que v Y e v X se e somente se existe um caminho de comprimento ímpar de facto suponha-se que C um caminho de comprimento par de v a v Então X e Y são disuntos De X Y Ø Sea w o vértice de X Y com menor distancia a v v a w e C um caminho de comprimento ímpar de v a w Se os únicos vértices comuns a C e C são v e w então C e C não se cruzam e C C é um ciclo de comprimento ímpar o que contradiz a hipótese de ser um grafo sem ciclos de comprimento ímpar Se os caminhos C e C se cruzam então C C contém outros vértices para além de v e w Sea z { v w} o vértice de C C mais próximo de w (no subgrafo constituído pelos vértices e arestas de C e C ) Sea C (resp C ) o subcaminho de C (resp C ) que une v a z e C (resp C ) o subcaminho de C (resp C ) que une z a w Tendo em conta que comp C ) comp( C' ) comp( C ) i= comp C ) é par e comp C ) ( i i i ( ( é ímpar então comp( C ) comp C ) e comp C ) têm igual paridade e a paridade destes números é ( ( diferente da paridade de comp( C ) Conclui-se assim que C C é um ciclo de comprimento ímpar o que contradiz a hipótese de ser um grafo sem ciclos de comprimento ímpar Do resultado anterior é imediato que um grafo é bipartido se e apenas se nenhuma componente conexa tem ciclos de comprimento ímpar

28 4 Capítulo I: Noções da teoria dos grafos Propriedades básicas da matriz de adacência Através das propriedades das matrizes associadas aos grafos pode-se ter noção de muitas características dos grafos Apresentam-se em seguida algumas propriedades da matriz de adacência e a sua relação com a estrutura dos grafos Estas propriedades encontram-se em textos sobre teoria das matrizes ou teoria espectral dos grafos (ver por exemplo [] e [7]) Definição : Sea A uma matriz quadrada de ordem n cuas entradas são números reais O polinómio característico de A é o polinómio P( A) det( xi A) sendo I a matriz identidade de ordem n Os valores próprios de A são os zeros do polinómio característico e um vetor u ˆ diz-se um vetor próprio de A associado ao seu valor próprio se Auˆ uˆ O conunto dos valores próprios de A designa-se por espectro de A e denota-se por (A) A multiplicidade de um valor próprio de A é a multiplicidade de enquanto zero do polinómio característico Se tem ordem n a sua matriz de adacência A é uma matriz de ordem n e o polinómio característico tem grau n portanto o número de vértices de é igual ao número de valores próprios da sua matriz de adacência Como a matriz de adacência de um grafo é uma matriz simétrica então goza de todas as propriedades das matrizes hermíticas em particular: todos os seus valores próprios são números reais; a multiplicidade de um valor próprio coincide com a dimensão do espaço vetorial gerado pelos vetores próprios de A associados a ; os vetores próprios associados a diferentes valores próprios são ortogonais; o tr(a) coincide com a soma de todos os valores próprios considerando a sua multiplicidade Para a proposição enunciada a seguir é necessária a noção de matriz irredutível Uma matriz A de ordem n diz-se redutível se existe uma matriz de permutação P tal que:

29 Propriedades básicas da matriz de adacência 5 X P T AP Y Z onde X é uma matriz de ordem r r n e Z é uma matriz de ordem n-r; se tal não for possível A diz-se uma matriz irredutível Se A é uma matriz simétrica redutível então Y Do conhecido teorema de Frobenius (ver por exemplo []) sabe-se que se A é uma matriz irredutível de ordem n com entradas a i n i então o maior valor próprio de A é positivo e é um valor próprio simples (com multiplicidade um) com um vetor próprio com todas as entradas positivas Como consequência imediata tem-se o seguinte resultado: Proposição : Um grafo é conexo se e somente se o maior valor próprio da sua matriz de adacência é um valor próprio simples com um vetor próprio positivo associado Proposição : Um grafo é regular se e só se a sua matriz de adacência tiver um vetor próprio com componentes todas iguais a um (que se denota por ĵ ) Se é um grafo k-regular então k é o maior valor próprio da matriz de adacência de A e ĵ é um vetor próprio associado a este valor próprio Demonstração: Sea um grafo tal que V ) v v ( v n Se é k-regular então a soma dos elementos de qualquer linha de A é igual a k pelo que A ˆ kˆ isto é A tem o vetor próprio ĵ associado ao valor próprio k Reciprocamente se tem um vetor próprio ĵ associado a um valor próprio então: concluindo-se que é regular de grau próprio k da matriz de adacência A A k e ĵ é um vetor próprio associado ao valor

30 6 Capítulo I: Noções da teoria dos grafos rafos fortemente regulares Existem vários tipos de grafos que são classificados de acordo com as suas características sea pelos graus dos vértices conexidade existência de determinadas subestruturas (por exemplo ciclos) propriedades da matriz de adacência etc Nesta secção considera-se uma classe especial de grafos regulares denominados grafos fortemente regulares Estes grafos foram introduzidos por RC Bose em [] No que se segue serão apresentadas algumas propriedades básicas da estrutura destes grafos e da sua matriz de adacência A bibliografia que serviu de base para a elaboração desta secção é [4] e [7] pontualmente são referidas outras fontes Definição : Um grafo não nulo e não completo diz-se fortemente regular com parâmetros (np;ac) se é p-regular ( p ) e de ordem n todo o par de vértices adacentes tem a vizinhos em comum e todo o par de vértices não adacentes tem c vizinhos em comum Exemplo 8: O ciclo com 5 vértices denota-se por C 5 e é um grafo fortemente regular com parâmetros (5;) Fig 9: O ciclo C 5 é um grafo fortemente regular com parâmetros (5;) O grafo representado na Fig designa-se por grafo de Petersen e é um grafo fortemente regular com parâmetros (;)

31 rafos fortemente regulares 7 Fig : O grafo de Petersen é um grafo fortemente regular com parâmetros (;) Proposição 4: Se é um grafo fortemente regular com parâmetros (np;ac) com c então diam ( ) Demonstração: Seam u e v dois vértices de não adacentes Da Definição sabe-se que o número de vizinhos comuns entre eles é N ( u) N ( v) c Como u e v têm pelo menos um vizinho em comum então d ( u v) concluindo-se que diam ( ) Os parâmetros de um grafo fortemente regular estão relacionados entre si de acordo com a seguinte proposição Proposição 5: Se é um grafo fortemente regular com parâmetros (np;ac) então p ( p a) c( n p ) () Demonstração: Se é um grafo fortemente regular com parâmetros (np;ac) pela Definição todo o vértice u que é adacente a v tem a vizinhos em comum com v Logo u é adacente a exatamente p a vértices que não são adacentes a v e consequentemente existem p( p a ) arestas de que unem vizinhos de v a outros vértices distintos de v e dos seus vizinhos Por outro lado se u não é adacente a v então u é adacente a exatamente c vizinhos de v concluindo-se que o número de arestas que unem vizinhos de v a vértices que não são vizinhos de v é obtém-se a igualdade () ( n p ) c Destes desenvolvimentos

32 8 Capítulo I: Noções da teoria dos grafos Exemplo 9: Considere-se o grafo de Petersen representado na Fig que é um grafo fortemente regular com parâmetros (;) Este grafo satisfaz a Proposição 4 tem diâmetro Além disso verifica-se p ( p a) ( ) 6 e c ( n p ) ( ) 6 verificando-se a Proposição 5 Proposição 6: Um grafo é fortemente regular com parâmetros (np;ac) se e só se o seu complementar também é fortemente regular com parâmetros ( n p; a c) onde n n p n p a n p c c n p a () Demonstração: Sea um grafo fortemente regular com parâmetros (np;ac) e V ) { v v v } Seguindo um raciocínio semelhante ao descrito no Exemplo 4 se ( n tem ordem n e é p-regular então o complementar tem ordem p regular com p n p n n e é Considere-se o número de vizinhos comuns a dois vértices não adacentes em Se vi v V ( ) são tais que v i v E() então em existem p a vizinhos de v i que não são vizinhos de v p a vizinhos de v que não são vizinhos de v i e a vértices de que são vizinhos de ambos os vértices v i e v Logo existem n ( p a) a n p a vértices de que não são vizinhos de vi nem de v em portanto são vizinhos de ambos os vértices em logo c n p a Por último considere-se o número de vizinhos comuns a dois vértices adacentes em Se vi v V ( ) são tais que v i v E() então em existem p c vizinhos de v i que não são vizinhos de v p c vizinhos de v que não são vizinhos de v i e c vértices de que são vizinhos de ambos os vértices v e v Logo existem i

33 rafos fortemente regulares 9 n ( p c) c n p c vértices de que não são vizinhos de vi nem de em isto é são vizinhos de ambos os vértices em donde a n p c v Definição : Um grafo fortemente regular diz-se primitivo se tanto como o seu complementar forem conexos caso contrário designa-se por imprimitivo Proposição 7: Um grafo fortemente regular com parâmetros (np;ac) é imprimitivo se e só se c p ou c Demonstração: Sea um grafo fortemente regular com parâmetros (np;ac) e seam ( n p; a c) os parâmetros do complementar obtidos de acordo com a Proposição 6 Da Definição conclui-se que é conexo se e apenas se c Adicionalmente de () e () vem que c p p a n p a p n c o que é equivalente a afirmar que não é conexo Consequentemente é um grafo fortemente regular imprimitivo se e só se c ou c p Da Proposição 5 e da demonstração da Proposição 7 vem que um grafo fortemente regular com parâmetros (np;ac) é desconexo se e apenas se c ou sea se a p Estes grafos desconexos são a união de r grafos completos disuntos K p onde r n/( p ) e denotam-se usualmente por rk p Os seus parâmetros são r ( p ) p; p Os complementares dos grafos rk p são os grafos multipartidos completos K r ( p ) Da Proposição 6 conclui-se que os grafos K r( p) são grafos fortemente regulares com parâmetros p ) r ( p ); r ( p ) r r ( ( p ) Estes grafos são os únicos grafos fortemente regulares para os quais c p Conclui-se assim que os grafos fortemente regulares imprimitivos são os grafos rk p e os grafos K onde r p para ambos os casos r p

34 Capítulo I: Noções da teoria dos grafos Fig : K é um grafo fortemente regular imprimitivo com parâmetro (6;) O ciclo C 5 e o grafo de Petersen referidos no Exemplo 8 são dois exemplos de grafos fortemente regulares primitivos pois em ambos c { p} Proposição 8: Um grafo não nulo nem completo é fortemente regular com parâmetros (np;ac) se e só se A A A é uma combinação linear de A I e J onde I representa a matriz identidade de ordem n e J a matriz de ordem n cuas entradas são todas iguais a um Demonstração: Note-se que para um grafo arbitrário considerando a i n ( ) i vem A com entradas a ( ) i n k a ik a k concluindo-se que ( ) ai coincide com o número de passeios de comprimento dois entre os vértices i e de Se é um grafo fortemente regular com parâmetros (np;ac) então ( ) a i p se i a se i E c se i E ou sea A pi aa ca pi aa cj I A que é equivalente a A a ca p ci cj () A Reciprocamente sea um grafo de ordem n não nulo e não completo tal que A I J com números reais Então

35 rafos fortemente regulares () a i se i se i E( ) se i E( ) Da Definição vem que é um grafo fortemente regular com parâmetros ; n Sea um grafo fortemente regular primitivo com parâmetros (np;ac) Sendo um grafo p-regular da Proposição vem que p é um valor próprio de A com o vetor próprio associado ĵ de componentes unitárias Então se û é um vetor próprio associado ao valor próprio p de A de () obtém-se: A uˆ a ca uˆ p cuˆ cjuˆ uˆ a cuˆ p cuˆ cjuˆ e como A é simétrica (dos comentários da Secção ) û é ortogonal a ( uˆ T ) concluindo-se que ( a c) ( p c) (4) As raízes do polinómio quadrático (4) são os valores próprios restritos de e denotam-se por e isto é ( A ) \{ p} Desta forma: ( a c) ( a c) 4( p c) ( a c) ( a c) 4( p c) e (5) Assim pode-se concluir que: ( c p) ( a c) ( a c) 4( p c)

36 Capítulo I: Noções da teoria dos grafos As multiplicidades dos valores próprios restritos e denotam-se por ) ( m e ( ) m Como é conexo e p-regular das Proposições e a multiplicidade do valor próprio p é um No caso dos grafos fortemente regulares primitivos pode-se afirmar que as multiplicidades dos valores próprios restritos satisfazem as seguintes igualdades: p m m n m m ) ( ) ( ) ( ) ( (6) em que a primeira igualdade vem do número de valores próprios coincidir com a ordem n de e a segunda igualdade vem do traço da matriz de adacência coincidir com a soma dos seus valores próprios (ver Secção ) Resolvendo o sistema (6) tem-se que: ) )( ( ) ( ) ( ) )( ( ) ( ) ( c a n p n m c a n p n m (7) Exemplo : Considere-se novamente o grafo de Petersen Este grafo fortemente regular imprimitivo tem como parâmetros (;) como á se referiu e os seus valores próprios restritos são dados por: ) 4( ) ( ) ( ) 4( ) ( ) ( c p c a c a e 4 4 c p c a c a

37 rafos fortemente regulares com multiplicidades: 4 * c a n p n m e 5 * c a n p n m No contexto dos grafos fortemente regulares um dos problemas estudados é o de saber se para um dado conunto de parâmetros existem grafos fortemente regulares com esses parâmetros Na Proposição 5 conclui-se que os parâmetros de um grafo fortemente regular estão relacionados entre si através da igualdade ) ( ) ( p n c a p p e consequentemente existem restrições relativamente aos valores dos parâmetros (np;ac) que possam estar associados a grafos fortemente regulares Outra restrição sobre os valores dos parâmetros obtém-se das expressões (7) obtidas para as multiplicidades dos valores próprios restritos Como estes valores são inteiros positivos então uma condição necessária sobre os parâmetros de um grafo fortemente regular é c p c a c a n p n 4 N Esta condição é conhecida na literatura de língua inglesa por integrality conditions (ver por exemplo [4]) e rationality conditions (ver por exemplo []) Como os valores próprios dos grafos fortemente regulares e respetivas multiplicidades são obtidos a partir dos parâmetros (np;ac) (ver (5) e (7)) estas restrições são muitas vezes impostas sobre os valores próprios restritos ou sobre as suas multiplicidades Para além das condições anteriores consideram-se aqui outras duas condições necessárias: as condições de Krein (obtidas em [8]): ; p p p p

38 4 Capítulo I: Noções da teoria dos grafos e os limites absolutos de Seidel (obtidos em [8]): n m n m m m As demonstrações destas condições são omitidas neste texto por saírem do âmbito deste trabalho O conunto de parâmetros p;ac 8 9; 4 (7)) m 6 e 5 n ao qual correspondem (por (5) e m não satisfaz as condições de Krein: p p 6 4 mas 4 6! Este conunto de parâmetros também não satisfaz os limites absolutos de Seidel: m 7 m mas n 8 7! Consequentemente não existe um grafo fortemente regular com parâmetros (89;4) O grafo fortemente regular com parâmetros (;) (grafo de Petersen) ao qual correspondem pois e m 4 e 5 m verifica as condições de Krein p ( p )( ) 4 p ( p )( ) 4 Também verifica a condição dos limites absolutos de Seidel pois n m m 4 e n m m

39 Designs combinatórios 5 Capítulo II: Designs combinatórios Os designs são estruturas combinatórias com elevado grau de regularidade que têm a sua origem nos anos na estatística através dos trabalhos de R A Fisher e F Yates no planeamento de experiências na agricultura Um exemplo muito conhecido relata o problema de uma companhia de cafés que pretendia comparar um certo número de marcas de café Para isso pretendia-se que cada pessoa experimentasse o mesmo número de marcas de modo a que cada pessoa tenha o mesmo peso na decisão e cada conunto de marcas fosse experimentado pelo mesmo número de pessoas de modo que cada variedade tivesse o mesmo tratamento Este procedimento que visava uniformizar o tratamento de todas as marcas evitava que uma pessoa tivesse que provar todos os cafés Para além da estatística as aplicações dos designs estenderam-se a outras áreas da matemática como as geometrias finitas teoria dos grupos códigos etc Neste capítulo estudam-se definições e algumas propriedades dos designs combinatórios A principal referência é [5] Designs combinatórios Considere-se uma definição geral de t design Definição : Sea X um conunto com v elementos e B uma colecção de b subconuntos distintos de X com cardinalidade k O par B X designa-se por t design com parâmetros v k onde t k v e se cada subconunto de cardinalidade t está contido em exatamente elementos de B Os elementos de B designam-se usualmente por blocos Exemplo : Sea X um conunto finito com v elementos e sea B o conunto de todos os subconuntos de X com k elementos O par X B assim obtido é um t design para t k usualmente designado (por exemplo em [6]) por full combinatorial design

40 6 Capítulo II: Designs combinatórios Cada subconunto de cardinalidade t está contido em blocos sendo Concretizando para 5 v t k t v X 45 e B conclui-se que o par B parâmetros (5) e X é um t design com 5 se t qualquer elemento pertence a 6 blocos isto é trata-se de um design com parâmetros (56); 5 se t qualquer par de elemento pertence a blocos ou sea X Bé um design com parâmetros (5) Exemplo : O par X B com X={45678} e com o conunto de blocos B é um design com parâmetros (84) isto é a cardinalidade de X é v 8 cada bloco de B é formado por quatro elementos encontrandose cada subconunto de três elementos de X em apenas um bloco Este representado na Fig é um exemplo particular de um dos -design com parâmetros (4nnn-)) [6] design que está design de Hadamard (família Fig : Exemplo de um -design com parâmetros (84) um -design de Hadamard Exemplo : Sea { a b c d} X com B a b c b c d a c d a b d X B é um -design com parâmetros (4) representado na Fig O par

41 Designs combinatórios 7 a b c d Fig : Uma representação de um -design com parâmetros (4) O exemplo anterior descreve um -design Neste trabalho tem especial interesse o estudo deste tipo de designs Fazendo t na Definição define-se ( v k ) design do seguinte modo: Definição : Sea X um conunto com v elementos e B uma coleção de subconuntos distintos de X com cardinalidade b O par X B designa-se por design com parâmetros v k onde k v e e escreve-se ( v k ) design se: cada elemento de B contém exatamente k elementos; cada par de elementos de B está contido em exatamente blocos Exemplo 4: Considere-se o conunto X 4567 com B O par B X é um ( 7) design Fig : Uma representação de um (7)-design Nos resultados que se seguem estabelecem-se algumas relações entre os parâmetros de um ( v k ) design

42 8 Capítulo II: Designs combinatórios Proposição : Se X B é um ( v k ) design então cada elemento de X pertence a r blocos onde e bk rv () r( k ) ( v ) () Demonstração: Observe-se que a cardinalidade do conunto C {( xb' ) : x B' B' B } pode ser obtida de duas maneiras diferentes: para cada x X o bloco B pode ser escolhido de r maneiras logo vr é a cardinalidade de C; por outro lado para cada um dos blocos B o elemento x pode ser escolhido de k maneiras logo a cardinalidade de C é também bk Daqui conclui-se () Prove-se agora a igualdade () Em cada um dos b blocos podem ser escolhidos k v pares de elementos de maneiras diferentes e por outro lado há pares de elementos que pertencem a exatamente blocos logo k v b ou sea bk( k ) v( v ) Conugando com () obtém-se () A Proposição mostra que os parâmetros de um design não são independentes Além disso os parâmetros b (número de blocos) e r (número de blocos a que cada elemento pertence) associados a um do conhecimento de v k e : ( v k ) design podem facilmente obter-se a partir ( v ) r e ( k ) v( v ) b k( k ) Uma questão básica é saber para que valores de v k e existe um ( v k ) design De acordo com a proposição anterior não existem designs com parâmetros que não satisfaçam as relações indicadas Por exemplo não existe um da igualdade () vem r 4 e de () resulta ( 6) design visto que 4 b que não é um número inteiro 6

43 Designs combinatórios 9 Um ( v k ) design com k e (o que implica por () e () que r v e b v( v ) ) tem uma representação compatível com a do grafo completo K v na teoria dos grafos Embora como design esta estrutura combinatória não sea muito interessante é uma classe de grafos regulares importante Vea-se o caso particular t Proposição : Existe um -design com parâmetros v k se e só se v v k v e () k k Demonstração: Suponha-se que existe um -design com parâmetros v k Então xx k B de onde se obtém a igualdade v kb onde vem que o número de blocos é dado por v v b Como o número total de blocos é no máximo tem-se que k k v v b Reciprocamente sea X um conunto de cardinalidade v e seam vk N k k v v tais que k v e Sea B uma família de k k cardinalidade k e para v k subconuntos distintos de X com x X sea r (x) o número de elementos de B que contêm x Então xx r( x) B k v (4) Se r (x) para todo o X x então o par B X é um design com parâmetros v k caso contrário de (4) conclui-se que existem x x X tais que r x ) r( ) ( x

44 Capítulo II: Designs combinatórios Sea r o número de blocos que contêm x e não contêm x r o número de blocos que contêm x e não contêm x e r o número de blocos que contêm x e x Então r r x ) ( r e r r( x r ) Consequentemente r r r x ) r( x ) ( O procedimento descrito a seguir tem com obetivo aumentar em um o número de blocos que contêm x e diminuir em um o número de blocos que contêm x Sea J o conunto dos índices ( ) dos blocos B B que contêm x mas não contêm x e para J sea B * B \ x x Os r blocos * B contêm x e não contêm * B que não pertence à colecção original (B) Sea x e como r r existe pelo menos um * B um tal bloco Removendo * B de B e substituindo-o por * B obtêm-se uma nova família de blocos * * B tal que o número de blocos que contêm x é dado por Se r * ( x) para todo o X r( x) se x x * r ( x) r( x) se x x r( x) se x { x x} * x então o par B resolvido caso contrário o procedimento repete-se X é um -design e o problema está Deste modo como o número de elementos de X e o número de blocos são finitos repetindo este procedimento um número finito de vezes obtém-se um conunto de blocos tais que o número de blocos que contém cada elemento de X é igual a isto é r x para todo o x X

45 Designs combinatórios Exemplo 5: Neste exemplo recorre-se à técnica de construção de -designs descrita na demonstração anterior para a construção de um -design com parâmetros (6) Note-se que um tal design existe pois 6 e Considere-se então uma família 6 6 de 5 6 B B B B subconuntos de 5 representada pela seguinte tabela: X com cardinalidade seis ou sea x B B B4 B5 B r(x) Note-se que x rx r 5 4 e que 5 J 5 sendo J o conunto 5 dos índices dos blocos que contêm x 5 e não contêm x Para 5 * B \ : B J considere-se 5 * B * 7 9 * B e B Fazendo por exemplo * * B B e substituindo em B * B por * B (mantendo B e B 5 ) obtém-se:

46 Capítulo II: Designs combinatórios X 5 4 B B B B B r(x) Verifica-se que x r x r e que 9 6 J 4 5 Fazendo 9 6 \ * B B para 9 J 6 obtém-se: * B * B e * B Considerando por exemplo * * * B B e substituindo B por * B (mantendo 4 B e 5 B ) obtém-se: X 5 4 B B B B B r(x)

47 Designs combinatórios Como para todo o x X r x conclui-se que a família de blocos B * forma um * -design X B com parâmetros (6) Um resultado mais geral do que a Proposição válido para um qualquer é o seguinte: t design Proposição : Se X B é um design então o número de blocos b é dado por: t com parâmetros k v com t k v e k v b (5) t t Demonstração: A igualdade (5) obtém-se contando o número de todos os t-subconuntos de X existentes em todos os blocos por duas maneiras Por um lado existem t-subconuntos de X cada um dos quais está contido em blocos e por outro lado existem b blocos cada um com k t-subconuntos Tem-se então que t v t k v b t t Uma classe de designs de especial interesse é a dos designs para os quais o número de pontos é igual ao número de blocos Definição : Um ( v k ) design X B diz-se simétrico se B v Da igualdade () e da Definição pode-se concluir que se um ( v k ) design é simétrico então também k r

48 4 Capítulo II: Designs combinatórios Exemplo 6: Os designs referidos nos Exemplos e 4 são designs simétricos Definição 4: Um t design com parâmetros ( v k) designa-se por sistema de Steiner e denota-se por S(tvk) De acordo com [] o maior t para o qual são conhecidos sistemas de Steiner é t 5 e esses sistemas são: S(56) S(546) S(548) S(587) S(566) S(5486) S(576) S(5846) S(586) S(56)S(5686) e S(5446) Proposição 4: Qualquer sistema de Steiner S(tvk) verifica v ( t )( k t ) Demonstração: Num sistema de Steiner quaisquer dois blocos distintos têm no máximo t pontos em comum Escolha-se um conunto A de t pontos não pertencentes a um bloco Para cada subconunto de A com t elementos existe um único bloco que o contém e que contém k t pontos que não pertencem a A Além disso qualquer ponto não pertencente a A pertence no máximo a um único destes blocos (á que dois blocos têm t pontos de A em comum) Portanto a união de todos estes blocos que contêm t pontos de A tem ( t ) ( t )( k t) elementos ou sea ( t )( k ( t )) elementos Definição 5: Um sistema de Steiner S(v) designa-se por sistema de triplos de Steiner com ordem v e denota-se por STS(v) Um sistema de triplos de Steiner STS(v) é portanto um ( v) design Um problema muito conhecido na Teoria dos designs combinatórios é o problema das quinze alunas proposto por T P Kirkman (Kirkman schoolgirls problem) em []: Como pode uma classe de quinze raparigas realizar uma caminhada diária caminhando em filas de três de modo a que duas raparigas partilhem a mesma fila uma só vez em cada semana (sete dias)?

49 Designs combinatórios 5 Este problema reduz-se às questões de existência e construção de um (5)-design ou sea de um sistema de triplos de Steiner STS(5) A resposta à questão de existência será dada á a seguir Na proposição seguinte apresenta-se uma condição necessária para a existência de sistemas de triplos de Steiner Esta condição é também suficiente mas a sua demonstração envolve a construção dos referidos triplos de Steiner assunto que sai fora do âmbito deste trabalho [] Proposição 5: Uma condição necessária para que exista um sistema de triplos de Steiner de ordem v com v é que v mod 6 ou v mod 6 Demonstração: Como consequência da Proposição o número de blocos de um sistema de triplos de Steiner é dado por b v( v ) / 6 visto que e k Para todo o x pertencente a X os triplos (blocos) que contêm x contêm também um subconunto de X com dois elementos cua união é uma partição de x v X \ x donde se conclui que X \ tem que ser par Portanto v tem que ser ímpar e v ( v ) tem que ser múltiplo de 6 se v ( v ) é múltiplo de seis então pode ocorrer uma das seguintes situações: i v é múltiplo de 6; ii v é múltiplo de 6; iii v é múltiplo de e v é múltiplo de (o contrário não pode ser por causa das paridades) Ora i não pode acontecer porque v é ímpar De ii vem necessariamente v mod 6 e finalmente de acordo com iii só se podem considerar os múltiplos de que seam ímpares então k v logo v mod 6 Em conclusão v mod 6 ou v mod 6 Tem-se como consequência desta proposição que o menor STS(v) tem ordem v 7 é o ( 7) design referido no Exemplo 4

50 6 Capítulo II: Designs combinatórios Fig 4: O (7)-design é o menor Triplo de Steiner STS(7) Exemplo 7: (Sistemas de triplos de Steiner) A decomposição do grafo completo K 9 em triângulos K que não partilham arestas dá origem a um sistema de triplos de Steiner STS(9) Pode-se enumerar os blocos pelas etiquetas dos seus vértices: Cada par de pontos pertence a um único bloco como se pode ver na Fig Fig 5: Representação de um sistema de triplos de Steiner STS(9)

51 Matriz de incidência de um design 7 Matriz de incidência de um design Definição 6: A matriz de incidência de um design X B é uma matriz N n ] tal que cada linha está associada a um elemento do conunto X e cada coluna corresponde a um bloco de B; cada entrada n i é igual a um se i [ i x B e é igual a zero no caso contrário Nestas condições a soma das entradas de cada linha i é o número de ocorrências de i nos diferentes blocos (r) e a soma das entradas de cada coluna bloco B é a cardinalidade k de cada x i B B B { x x x k } { x x x k } { x x x } n i x r x r r x r k r x r i n i k k k Exemplo 8: A matriz de incidência do ( 4) design do Exemplo é

52 Capítulo II: Designs combinatórios 8 Exemplo 9: A matriz de incidência do -design com parâmetros (6) obtido no Exemplo 5 é Proposição 6: Se N é a matriz de incidência de um design k v ) ( então: J I r NN T onde I é a matriz identidade de ordem v e J é a matriz quadrada de ordem v com todas as entradas iguais a um Demonstração: Este resultado é consequência da Definição de design k v ) ( pois i i r NN i T se se Proposição 7: (Desigualdade de Fischer) Se B X é um design k v ) ( então o número de blocos b é tal que b v Demonstração: Sea N a matriz de incidência do design k v ) ( Então NN T é uma matriz quadrada de ordem v Calculando o seu determinante

53 Matriz de incidência de um design 9 r r r r NN T det ) det( Substituindo a primeira linha pela soma de todas as linhas obtém-se det ) ( ) ( ) ( ) ( det ) det( r r r v r r r r v r v r v r v r NN T Subtraindo a primeira coluna a cada uma das restantes tem-se: ) ))( ( ( ))det ( ( ) det( v T r v r r r r v r NN