UNIVERSIDADE PAULISTA UNIP INSTITUTO DE CIÊNCIAS SOCIAIS E COMUNICAÇÃO Cursos de Gestão Campus Magalhães Teixeira ESTATÍSTICA BÁSICA.

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1 UNIVERSIDADE PAULISTA UNIP INSTITUTO DE CIÊNCIAS SOCIAIS E COMUNICAÇÃO Cursos de Gestão Campus Magalhães Teixeira ESTATÍSTICA BÁSICA. Livros de apoio: Estatística Básica Agra, Djalma Alves Ourograf Editora 2003 Estatística para os Cursos de: Economia, Administração e Ciências Contábeis Silva, Ermes Medeiros, Silva, Elio Medeiros e outros - Editora Atlas ª Edição Volume I

2 Conceitos Básicos: Introdução: O termo Estatística deriva da expressão status, em latim e significa estudo do estado, foi utilizado originariamente para denominar levantamentos de dados, onde a finalidade era orientar o Estado em suas decisões. Em épocas remotas era utilizada para determinar o valor dos impostos cobrados dos cidadãos, determinar a estratégia de guerras que se caracterizavam por uma sucessão de batalhas. Foi pensada pelos ingleses, no século XVI, como uma ciência política, destinada a descrever características de um estado ou país, tais como população, área, riqueza e recursos naturais, envolvendo compilações de dados e gráficos. Em 1662, John Graunt publicou informe estatístico sobre nascimentos e mortes. A partir daí deu-se início ao desenvolvimento da probabilidade e estatística, sobretudo a partir do século XVII, com o estudo das grandes epidemias que assolavam o mundo, dando ensejo ao desenvolvimento da demografia. Em cada século seguinte mais e mais áreas foram se incorporando ao conjunto das que faziam uso da estatística. Na última década, com a grande revolução da informática, houve um avanço significativo das áreas de probabilidade e estatística, com o desenvolvimento de softwares mais poderosos, deixando à disposição do pesquisador muitas ferramentas alternativas ao seu trabalho. Hoje em dia a maior parte das decisões tomadas em quase todas as áreas de atividade humana moderna, por exemplo, avaliação de novos tratamentos médicos e de novos terminais de atendimento bancário, do planejamento de pesquisas científicas, de estratégias de marketing, investimentos, etc., têm suas bases na estatística como a coleta, análise e interpretação de dados experimentais, ou de forma mais ampla, definida como a ciência da tomada de decisão perante incertezas. A Estatística é ciência, quando estuda populações, é método quando serve de suporte a uma outra ciência. A Estatística engloba um grande leque de ferramentas de análise. Com finalidade didática iremos dividir a estatística em dois grandes grupos: 2

3 Estatística Descritiva: Em razão da quantidade de dados geralmente ser tão grande, é extremamente difícil captar intuitivamente as informações que estes contêm. Fazendo-se necessário, portanto, que estes dados/informações sejam reduzidos até o ponto em que se possa interpretá-los de forma mais precisa. A estatística descritiva vai resumi-los através do uso de certas medidas-síntese, que tornem possível a interpretação dos resultados. No sentido mais amplo, suas funções são: Coleta de dados; Organização e classificação destes dados; Apresentação através de gráficos e tabelas; Cálculo de coeficientes (estatísticos), que permitem descrever resumidamente os fenômenos. Indutiva ou Inferência Estatística: Consiste em obter e generalizar conclusões; ou seja, inferir propriedades para o todo com base na parte, no particular. É tratada através de técnicas e métodos que se fundamentam na Teoria das Probabilidades. Em estatística utilizaremos extensivamente os termos população e amostra, definindo-os: População: Conjunto da totalidade dos elementos (valores, pessoas, medidas, etc.) a serem estudados. Reúnem todas as observações que sejam relevantes para o estudo de uma ou mais características dos indivíduos. Podem ser tanto seres animados ou inanimados; Amostra: Um subconjunto (não vazio) de elementos extraídos de uma população; Estimativa: É a quantidade numérica calculada em função dos elementos da Amostra; Parâmetro: É uma característica numérica estabelecida para toda uma população; 3

4 Censo: é uma avaliação direta de um parâmetro, utilizando-se todos os componentes da população. Pode-se afirmar que o objetivo da Estatística Inferencial ou Indutiva, é tirar conclusões sobre a população de interesse a partir de amostras retiradas dessa população. Quando por exemplo, desejamos obter a altura média dos alunos de uma universidade, obtém-se uma amostra desses universitários (homens e mulheres), calculamos a média aritmética, desvio padrão, etc., e a partir destes resultados (estimativas) afirmamos que a altura média ou o desvio padrão da população desses universitários são aqueles parâmetros encontrados. O esquema a seguir, visa sintetizar as etapas de uma pesquisa estatística: População Amostra Tratamento de Dados Inferência Estatística Estatística Descritiva Teoria das Probabilidades 4

5 A Estatística na Administração A Administração é um conjunto de princípios, normas e funções que tem por finalidade ordenar os fatores de produção e controlar a sua produtividade e eficiência, para se obter um determinado resultado. È uma das ciências que estudam o homem e a sociedade. Um dos aspectos mais importantes no desenvolvimento da literatura administrativa nessas ultimas décadas, é a crescente aplicação das técnicas estatísticas na análise de problemas econômicos utilizados por administradores e economistas. O profissional da área de Administração depara-se, seguidamente, com relações teóricas, entre variáveis econômicas expressas matematicamente. Para dar conteúdo empírico a essas relações os administradores empregam métodos estatísticos para estimar esses parâmetros envolvidos. Portanto, o administrador deverá ter conhecimento de aplicações de técnicas ou métodos estatísticos, tais como: tabular convenientemente dados coletados, apresentá-los em forma de tabelas ou gráficos, correlacionar e estimar variáveis além de ter que fazer análises numéricas interpretativas desses dados coletados, numa pesquisa de mercado, por exemplo. Portanto, quando o administrador utiliza números, ou seja, quando ele quantifica seus dados ao nível de mensuração ordinal ou intervalar ele muito provavelmente, emprega a Estatística como um instrumento de descrição ou de decisão. ESTATÍSTICA DESCRITIVA CLASSIFICAÇÃO DE VARIÁVEIS Como a Estatística descritiva trabalha com informações referentes a conjuntos de elementos observados deve-se, em primeiro lugar, determinar quais as características de interesse do estudo. 5

6 Definiremos variável como qualquer atributo/característica que exerça influência no fenômeno estudado. Podemos, por exemplo, estar interessado em mais de uma característica de cada individuo, como idade, sexo, grau de escolaridade, nível social, etc. Assim, variável é o conjunto de resultados possíveis de um fenômeno ou experimento. A característica de interesse ao estudo poderá ser QUALITATIVA ou QUANTITATIVA. QUALITATIVA: quando a variável resultar de uma classificação por tipo de atributos, e esta pode ser classificada em variável qualitativa nominal ou ordinal. Variável Qualitativa Nominal => cor dos olhos (pretos, castanhos, verdes, etc.); sexo (masculino ou feminino); grupo sangüíneo (A, O, AB, etc.); religiões (católica, espírita, protestante, etc.). Variável Qualitativa Ordinal => grau de escolaridade (1º grau, 2º grau, 3º grau completo ou incompleto); estágios de doenças (ruim, regular, bom); classe social (A, B, C, etc.) QUANTITATIVA: quando os seus valores puderem ser expressa em números, e esta pode ser classificada em variável quantitativa discreta ou contínua. Variável Quantitativa Discreta => quando assume valores pertencentes a um conjunto enumerável, isto é, são números inteiros não negativos. Ex: números de filhos; notas escolares; nº de funcionários de um departamento de uma empresa; nº de peças com defeitos numa linha de produção. Variável Quantitativa Contínua => quando teoricamente, pode assumir qualquer valor num certo intervalo de variação. Ex: idades; estaturas de pessoas; peso corporal; pressão sangüínea. 6

7 Nos exemplos apresentados, observa-se que os valores das variáveis discretas são obtidos mediante alguma forma de contagem simples ou enumerações, enquanto que os valores das variáveis contínuas resultam, em geral, de medições, mensurações sendo freqüentemente apresentados em forma de intervalo. Podemos resumir a classificação das variáveis no seguinte esquema: Nominal Variável Qualitativa Quantitativa Ordinal Discreta Contínua É interessante notar que muitas populações podem originar os quatro tipos de dados como ilustramos na tabela abaixo. Tipo de variáveis Populações Quantitativas Qualitativas Contínua Discreta Nominal Ordinal Alunos de Estatística Automóveis Idade, peso Nº na classe Sexo Por período Velocidade em km/h Nº de defeitos por carro Cores limpeza Venda de Imóveis Valor em reais Nº de ofertas Acima do preço Muito dispendioso Costuma-se designar as variáveis pelas últimas letras do nosso alfabeto, tais como: x, y, z e w. 7

8 Quanto à forma de relacionamento a variável pode ser to tipo dependente ou independente. Diz-se que uma variável é dependente quando ela é concebida em função de outra variável. O tempo (anos, meses semanas, etc.) localidades (regiões, estados, municípios, etc.), são exemplos típicos de variáveis independentes. A contagem da evolução da população com determinado tipo de característica em determinados anos, meses, etc., constitui-se numa variável dependente. FASES DO TRABALHO ESTATÍSTICO A estatística está envolvida em todas as etapas de um projeto de pesquisa. A seguir as fases de um trabalho científico são citadas do ponto de vista do trabalho estatístico. As fases do trabalho estatístico são do âmbito da Estatística Descritiva, e as principais fases são: Definição do Problema: formulação completa do problema a ser estudado. Levantamento de outros trabalhos realizados no mesmo campo e análogos, uma vez que parte da informação de que se necessita pode ser encontrado nestes últimos registros. Planejamento: determinação do procedimento necessário para resolver o problema e, em especial, como levantar informações sobre o assunto objeto de estudo. Preocupação com a formulação correta das perguntas, qualquer que seja a modalidade de coleta de dados. É nesta fase que será escolhido o tipo de levantamento a ser utilizado, que pode ser censitário ou por amostragem. Outros elementos importantes a serem préestabelecidos desta fase são: o cronograma das atividades (fixação de prazo para as várias fases); os custos envolvidos; exame das informações disponíveis; o delineamento da amostra (se necessária); a forma como serão escolhidos os dados; elaboração do questionário. Coleta de dados: quesitos específicos para obter informações desejadas referem-se à obtenção, reunião e registro sistemático de dados, com um objetivo determinado. Além dos registros feitos pelo próprio pesquisador, pesquisa do tipo direta, pode-se recorrer a fontes externas de dados, tais como: publicações periódicas do IBGE, Prefeituras, Hospitais, Cartórios de Registro Civil, etc., quando consultamos esses anuários ou 8

9 registros, estamos efetuando uma coleta do tipo indireta. Crítica dos questionários: esta é a fase da depuração dos dados da pesquisa, leitura dos questionários, observação de respostas incompletas, erradas. Supressão de valores estranhos ao levantamento. A crítica deve ser considerada como uma complementação à coleta de dados, para que quando iniciarmos a apuração destes questionários, estes estejam isentos de imperfeições ou falhas. Apuração dos dados: consiste em resumir os dados, através de sua contagem e agrupamento. É um trabalho de condensação e de tabulação dos dados, que chegam ao analista de forma desorganizada, tornando impossível a tarefa de apreender todo o seu significado pela simples leitura. Nos dias atuais esta apuração tornou-se sinônimo de organização de base de dados, que é realizada em computadores. Apresentação dos Dados: há duas formas de apresentação: 1 - Apresentação Tabular: apresentação numérica dos dados. As tabelas têm a vantagem de conseguir expor, sinteticamente, e em um só local, os resultados sobre determinado assunto, de modo a se obter uma visão global mais rápida daquilo que se pretende analisar. 2 - Apresentação Gráfica: constitui uma apresentação geométrica. É de extrema importância, no sentido de permitir uma visão rápida, fácil e clara do fenômeno e sua variação. Análise e Interpretação dos Dados: O interesse maior consiste em tirar conclusões que auxiliem o pesquisador a resolver seu problema. A análise dos dados estatísticos está ligada essencialmente ao cálculo de medidas, cuja finalidade principal é descrever o fenômeno. Assim, o conjunto de dados a ser analisado pode ser expresso por númerosresumos, as estatísticas, que evidenciam características particulares desse conjunto. O significado exato de cada um desses valores será explicado posteriormente. 9

10 APRESENTAÇÃO DOS DADOS - ELABORAÇÃO DE TABELAS A tabela é a forma do pesquisador apresentar os dados coletados, de forma sintética, segundo as características ou as variáveis de interesse. Uma tabela é composta dos seguintes elementos essenciais: Título - É obrigatório. Deve conter a designação do fato observado, o local e a época em que foi registrado. Deve ser claro e conciso. É colocado na parte superior da tabela. Cabeçalho - é a parte superior da tabela, onde se especifica o conteúdo das colunas indicadoras. Corpo da tabela - É o conjunto formado por colunas e linhas onde se encontram as informações numéricas sobre o fato observado. Casa, célula ou cela - é o cruzamento de cada linha com uma coluna, onde se tem a freqüência com que a categoria aparece. Coluna indicadora é a parte da tabela em que se especifica o conteúdo de cada linha. Fonte - é a indicação da entidade responsável pelo fornecimento ou elaboração dos dados. É colocado no rodapé da tabela. Notas - são colocadas abaixo da fonte, se necessárias. Contém informações gerais destinadas a conceituar ou esclarecer o conteúdo das tabelas. Chamadas - também colocadas no rodapé (se necessárias). Servem para esclarecer minúcias em relação às casas, colunas ou linhas. Algumas observações fazem-se importantes na elaboração de uma tabela. São elas: 10

11 1. Nenhuma casa da tabela deve ficar em branco. Na ausência de um dado numérico, emprega-se algum sinal convencional, tais como: hífen, reticências, etc. 2. As tabelas devem ser fechadas no alto e embaixo por linhas horizontais, não sendo fechadas à direita ou à esquerda por linhas verticais. É facultativo o emprego de traços verticais para a separação de colunas no corpo da tabela. 3. Nas publicações que compreendem muitas tabelas, estas devem ser numeradas em ordem crescente, conforme a ordem do aparecimento. 4. Os totais e subtotais devem ser destacados. 5. Deverá ser mantida a uniformidade, quanto ao número de casas decimais. TIPOS DE SÉRIES ESTATÍSTICAS Quando organizamos uma tabela em função do tempo, local ou da espécie, denominamos de Série estatística que em resumo, é uma sucessão de dados estatísticos que medem a intensidade do fenômeno, segundo suas características qualitativas ou quantitativas. Série Temporal ou Histórica - É aquela em que a variável independente é o tempo, esta variável poderá ser dada em séculos, anos, meses, semanas, dias da semana, etc., é usada, geralmente, quando desejamos apresentar, durante certo período, o comportamento ou a tendência de determinada variável. Tabela 1 - Exportações Mensais do Municipio de Campinas, em milhões de dólares, período de 1995/1996 Anos Meses Janeiro Fevereiro Março Abril Maio Junho Julho Agosto Setembro Outubro Novembro Dezembro Totais Fonte: Secretaria de Comércio Exterior (SECEX),

12 Série Geográfica ou de Localização - É aquela em que a variáveis independentes (dados observados) são agrupados segundo a região geográfica ou a localização de ocorrência. Tabela 2 - Empresas fiscalizadas pela Receita Federal, em 1990 Regiões Empresas Fiscalizadas Norte Nordeste Centro-Oeste Sudeste Sul Total Fonte: Ministério da Fazenda, 1991 Série Específica ou Categórica - É aquela em que a variável independente é uma espécie ou categoria, isto é, os dados são agrupados segundo a modalidade de ocorrência. Tabela 3 - Universidade X. nº de alunos, matriculados por curso em 1996 Cursos Nº de matrículas Administração 780 Psicologia 285 Direito Engenharia 540 Fisioterapia 315 Total Fonte: Secretaria da Universidade X, em 1997 Pode-se classificar a tabela 3, como comparativa, porque com uma simples visualização observamos que o curso de Direito destaca-se na quantidade de alunos matriculados. Série Mista ou de Dupla Entrada Em algumas situações surge a necessidade de combinarmos, em uma única tabela, mais de uma variável, ou seja, combinarmos duas ou mais séries. Em uma tabela desse tipo, uma variável fica na forma horizontal (linha) e a outra na vertical (coluna). No exemplo a seguir, temos a seguinte situação: O diretor de uma escola deseja apresentar em seu relatório de atividades, a evolução de matrículas em sua unidade de ensino, de todas as séries do primeiro ao segundo grau no triênio de 1991 a uma das formas de organizar e apresentar estes dados, está na tabela 4, que é uma tabela mista temporal específica. 12

13 O último tipo de tabela a ser apresentado é conhecido como distribuição de freqüências que devido a sua importância, na organização e apresentação dos dados, será tratado em tópico específico. Tabela 4 - Escola X: Matrículas efetuadas no primeiro e segundo graus, período de 1991/1993 Graus de Ensino Anos 1ª a 4ª série 1ª a 4ª série 1ª a 3ª série Total do 1º grau do 1º grau do 2º grau Fonte: Secretaria da Escola X Representação Gráfica Outra forma de apresentarmos os dados coletados, é através de gráficos ou figuras, construídos seguindo o sistema de coordenadas cartesianas. Na prática, os mais utilizados são: gráficos de linhas ou de curvas, de colunas ou de barras, de setores (pizzas), pictogramas e organogramas. OBS: Para melhor ilustrar esta parte da matéria, o aluno deverá consultar o livro Estatística Básica Autor Djalma A. Agra Edição 2003 páginas: 35 a 47. DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIAS 1 Introdução: Enquanto as outras séries estatísticas, temporal, geográfica e específica não oferecem grandes dificuldades para a sua elaboração, a distribuição de freqüências requer uma característica especial que são unidades numéricas ou intervalares, ou seja, as variáveis independentes de interesse ao estudo são números simples ou intervalos numéricos. A distribuição de freqüências tem como finalidade organizar os dados coletados de forma bruta, em uma tabela cujo objetivo é facilitar o cálculo dos parâmetros desse conjunto de dados. Nota: A distribuição de freqüências (os dados) pode ser apresentada com números isolados ou apresentada agrupada em classes de freqüências. 13

14 A tabela a seguir representa a distribuição de freqüências com dados isolados: Tabela 5 - Número de acidentes por dia na Rodovia Dutra, em dezembro de de Nº de acidentes por dia Nº de dias Fonte: Departamento Nacional de Estradas e Rodagens, 1991 A tabela a seguir representa a distribuição de freqüências com dados agrupados: Tabela 6 - Notas da disciplina X, 2º bimestre de Classes de Notas Freqüências Total 50 Fonte: Elaboração própria, 2004 Um Professor aplicou uma avaliação numa turma de 50 alunos e verificou-se os seguintes resultados abaixo relacionados: (todas as notas decimais foram multiplicadas por 10, para trabalharmos com números inteiros) As notas acima apresentadas constituem os dados brutos em estudo. Quando ordenamos os dados brutos em uma ordem crescente ou decrescente, esta ordenação é chamada de Rol. Exemplo: ordenando-se os dados acima de forma crescente obtém-se o seguinte Rol:

15 2 - Elementos de uma distribuição de freqüências Amplitude Total (AT) = É a diferença entre o maior e o menor valor observado no conjunto de dados. => AT = XMAX XMIN / conforme o Rol anterior temos: AT = = Número de Classes (K) = É a quantidade de classes de uma distribuição de freqüências. Não há fórmula exata para calcularmos o numero exato de classes de uma distribuição de freqüência, portanto, vamos adotar duas formas: 1) Se o número de elementos do conjunto de dados for n 25, é sugerido que se tenha no Maximo 5 classes, isto é: K 5. 2) De outro modo, quando n > 25, o número de classes será encontrado a partir da raiz quadrada da quantidade de dados, isto é: K = No exemplo apresentado, temos n = 50 (notas de cinqüenta alunos), então o número de classe será: K = 50 = 7,07 = 7, De outro modo, se n fosse igual a 100, K seria igual a 10, ou seja, K = 100 = 10. n Amplitude de um intervalo de classe (h) = É a diferença entre os limites superior e inferior de uma classe. É obtido através da seguinte relação: At h = K conforme o Rol anterior, temos: : At h = = h = 68 / 7 (68 dividido por 7) = K 9,714286, e com duas casas decimais temos: 9,71 e que aproximando temos: 9,7 e aproximando novamente temos: aproximadamente igual a 10. (vide tabela => 30 40, entre 30 e 40 = 10 ). Devemos observar a importância do arredondamento para os valores de K e h para um número inteiro, utilizando a seguinte regra: a) Para valores 5 depois da vírgula, acrescenta-se uma unidade ao algarismo que o precede. Ex: 435,56 => 435,6; 5,057 => 5,06. b) Para valores < 5, basta suprimí-lo. Ex: 628,32 => 628,3; 5,052 => 5,05. 15

16 3 Componentes Básicos de uma distribuição de freqüências: 3.1 Limite de Classes = São formas de expressarmos os limites de classes, e os mais usados são: a) significa que devemos colocar dentro do intervalo todos os números entre 30 e 40, inclusive. b) compreende o intervalo entre o 30 e o 40, excluindo-se o 40. c) compreende o intervalo entre o 30 e o 40, excluindo-se o 30. Na classe apresentada, o valor 30 é o limite inferior, enquanto que o valor 40 é o limite superior. ATENÇÃO: Em todos os nossos exercícios, estaremos utilizando os intervalos tipo b, isto é, inclui o 30 e não inclui o Pontos médios das classes (Pm) = É a média aritmética entre o limite superior e o limite inferior da classe, é o valor representante da classe. É obtido através da seguinte relação: Pm = limite superior + limite inferior = Pm ou Pm = ls + li / 2 = Pm, ou seja: 2 Pm = / 2 = 35 Tabela 7 - Notas da disciplina X, segundo algumas classes Classes de Notas Pontos Médios (Pm) Total Fonte: Elaboração própria, Tipos de Freqüências: 16

17 3.3.1 Freqüência Absoluta ( fi ) = É o numero de vezes que o elemento aparece no conjunto de dados ou o numero de elementos pertencentes a uma classe. Na classe 50 inclusive e 60 exclusive, aconteceram 8 notas, a freqüência absoluta fi é 8. Tabela 8 - Notas da disciplina X, segundo algumas classes Classes de Notas Freqüências Absolutas ( fi ) Total 50 Fonte: Elaboração própria, Freqüência Absoluta Acumulada ( fac ) = É a soma das freqüências absolutas. Valor da primeira classe adicionado aos valores das freqüências das classes posteriores. A última classe contém a soma total dos dados. Tabela 9 - Notas da disciplina X, segundo algumas classes Classes de Notas fi Freq. Abs. Acumuladas ( fac ) Total 50 Fonte: Elaboração própria, Freqüência Relativa ( fr ) = A freqüência relativa de uma classe é dada pela relação fr = fi / n, ou seja, a participação percentual daquela classe no conjunto total de dados. A soma das fr, dá exatamente 1, ou seja, 100%. Na classe 30-40, a fi é 4 e n = 50, portanto temos: 4 / 50 = 0,08 => fr = 0,08. Tabela 10 - Notas da disciplina X, segundo algumas classes Classes de Notas fi fac Freqüências Relativas ( fr ) , , , , , , ,06 Total 50 1,00 Fonte: Elaboração própria,

18 3.3.4 Freqüência Relativa Acumulada ( frac ) = É a soma das freqüências relativas do valor da primeira classe adicionados ao valor da fr das classes seguintes. A última classe deverá conter o total em porcentagem ( 100%). Tabela 11 - Notas da disciplina X, segundo algumas classes Classes de Notas fi fac fr Freq. Relativa Acumulada (frac) ,08 0, ,12 0, ,16 0, ,26 0, ,18 0, ,14 0, ,06 1,00 Total 50 1,00 Fonte: Elaboração própria, Tabela com todas as Freqüências e Ponto Médio. Tabela 12 - Notas da disciplina X, segundo algumas classes Classes de Notas fi Pm fac fr frac ,08 0, ,12 0, ,16 0, ,26 0, ,18 0, ,14 0, ,06 1,00 Total 50 1,00 Fonte: Elaboração própria, 2004 fi = Freqüência Absoluta Pm = Ponto Médio fac = Freqüência Acumulada fr = Freqüência Relativa frac = Freqüência Acumulada Relativa HISTOGRAMA = É a representação gráfica de uma distribuição de freqüências, e o gráfico é composto de retângulos sucessivos. No histograma as colunas ficam juntas porque os componentes de cada coluna são os intervalos de classe e onde termina um intervalo começa o outro e as alturas de cada retângulo correspondem às freqüências absolutas de cada classe. 18

19 Tabela 13 - Pesos de um grupo de 42 adolescentes Classes de Pesos Freqüências ( fi ) Total 42 Fonte: Elaboração própria, 2004 A figura abaixo, representa o histograma referente a distribuição de freqüências dos pesos obtidos por um grupo de 42 adolescentes Polígono de 8 freqüências Figura 1 - Histograma e polígono de freqüências da tabela nº 13 Polígono de Freqüências: Quando se unem os pontos médios das classes de freqüências, no histograma representado pela metade de cada retângulo através de uma linha ou uma curva, obtemos um polígono de freqüências ou uma linha poligonal. Polígono de Freqüências Acumuladas ou Ogiva de Galton: 19

20 Importante gráfico, feito a partir de uma distribuição de freqüências, é o polígono de freqüências acumuladas ou ogiva de Galton. Finalidade: apresentar as freqüências que se situam abaixo de um determinado limite de classe. Quando isto acontece, a ogiva construída será chamada de crescente ou direta. Na próxima tabela ( 14 ), mostramos além das freqüências absolutas, também as freqüências acumuladas diretas (acumuladas do menor para o maior valor). Tabela 14 - Notas obtidas por uma classe de 75 alunos Classes Freqüências Freq.acumula absolutas ( fi ) das ( fac ) Total 75 Fonte: Elaboração própria, 2004 Figura 2 - Gráfico das Freqüências acumuladas Freqüências Acumuladas Classes das Notas GRÁFICOS RAMO-e-FOLHAS 20

21 Os gráficos do tipo ramo-e-folhas permitem observarmos a distribuição dos dados sem perda de informações no processo. Criado por John Tukey, trata-se de uma engenhosa forma de descrever a distribuição dos números, usando os próprios números dados. Consiste em separar um numero como 155, em duas partes: o primeiro ou os dois primeiros algarismos (15) e o outro algarismo (5). Ramo são os algarismos que ficam mais à esquerda, no exemplo será o nº 15. Folhas são os algarismos que ficam mais à direita, no exemplo será o nº 5. Observe o exemplo: Um professor de educação física obteve as alturas de 60 alunos de ambos os sexos, em centímetros, escolhidos aleatoriamente de um grupo de 600 alunos que fazem parte de uma Universidade. Os resultados são dados a seguir: Agrupando estes dados, temos uma primeira idéia da forma de sua distribuição; no exemplo, todos dados têm três algarismos; os primeiros algarismos mais à esquerda serão os Ramos, variando de 15 a 19, ou seja, 153 menor valor e 190 maior valor. Como fazer: 1º Passo: Traçar uma reta vertical e relacionar os ramos; º Passo: colocar os algarismos que ficam à direita de cada número folhas correspondentes a cada ramo

22 Deitando-se esta página, pode-se visualizar a forma de distribuição desses dados. Mais uma grande vantagem do gráfico ramo-e-folhas: pode-se visualizar a distribuição dos dados e, ainda assim conservar toda a informação da lista original. As linhas de algarismos de um gráfico ramo-e-folhas são análogas, em natureza, às barras de um histograma. Uma das diretrizes para a construção de histogramas é que o número de classes esteja entre no mínimo 5 e no máximo 15. Essa mesma orientação se aplica aos gráficos ramo-e-folhas, pelas mesmas razões. Os gráficos ser ampliados e ou condensados aumentando/diminuindo o número de linhas. Quando o conjunto de dados tiver uma quantidade grande de números, aconselha-se a ampliar o gráfico ramo-e-folhas, como segue: Ogiva de Galton Nesta nova distribuição, verificamos que os dados formam uma curva cuja forma se apresenta melhor distribuída que no primeiro caso, onde a curva da distribuição se apresenta de forma muito condensada em torno dos ramos 16 e 17. Podemos afirmar que a distribuição dos dados aparenta uma curva normal, isto é, a curva tem uma aparência mais natural. Exercícios Propostos: Livro Estatística Básica Autor: Djalma Agra páginas: 66 a

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