Física I Sistemas de unidades, Grandezas, Erros e Vetores Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 1

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1 Física I Sistemas de nidades, Grandezas, Erros e Vetores Prof. Dr. Cládio S. Sartori 1 Ementa Introdção à Física, Vetores, Moimento em ma dimensão;moimentos em das e três dimensões, Leis de Newton, Trabalho e energia, Energia potencial e conseração da energia, Sistema de partíclas e conseração do momento linear, Colisões;Rotações. Bibliografia Básica HALLIDAY, D., RESNIK, D. e WALKER, J.; Fndamentos de Física 3: Mecânica. 6ª Edição. Rio de Janeiro: LTC Liros Técni e Científi LTDA, 00. Bibliografia Complementar: NUSSENZVEIG, H. M. Crso de Física Básica :Mecânica. Volme 1. 3ª Edição. São Palo: Editora Edgard Blücher LTDA, Sears, F. W.;Zemansk, M. W.; Yong. H. D. Física. ed. Rio de Janeiro: liros técni e científi, Tipler, P. A. Física. 4 ed. Rio de Janeiro: LTC, 000. V.1. Introdção: A Física é ma ciência baseada em obserações eperimentais e qantitatiamente mensráeis. Se objetio é encontrar m conjnto de Leis fndamentais qe goernam os fenômenos natrais e tilizá-las para poder preer resltados em ftros eperimentos. As Leis fndamentais tilizadas no deolimento de teorias são epressas em lingagem matemática, ma espécie de ponte qe liga a teoria ao eperimento. Qando ocorre ma discrepância entre a teoria e o eperimento, noas teorias são formladas para remoer a discrepância. Mitas ezes as teorias são satisfatórias sob m conjnto limitado de condições; as teorias mais gerais deem ser satisfatórias sem limitações. Por eemplo, as Leis do moimento descobertas por Isaac Newton ( ) descreem precisamente o moimento de corpos sob elocidades normais, porém, não se aplicam a corpos com elocidades próimas à da lz. Em contraste, a Teoria especial da relatiidade deolida por Albert Einstein ( ) em torno de 1900 descree o moimento de corpos com qaisqer elocidades, coincidindo os resltados com a teoria de Newton para corpos com elocidades inferiores à da lz. A física clássica, qe consiste de toda física deolida antes de 1900, incli a teoria, conceitos, leis e eperimentos em mecânica clássica, termodinâmica e eletromagnetismo. Importante contribição para a física clássica eio dos trabalhos deolidos por Newton, qe deole a mecânica clássica como ma teoria sistemática e foi m dos criadores do cálclo e de todo m erdadeiro ferramental matemático. O deolimento da mecânica contino pelo séclo 18, mas nos campos da termodinâmica, eletricidade e magnetismo não foram deolidos até por olta do séclo 19, pprincipalmente porqe antes dessa época, haia difícldade para aaliar os aparatos para o controle de eperimentos e ses resltados. Uma noa era da física, conhecida como física moderna, inicio-se por olta do início do séclo 19, pois foram descobertos ários fenômenos qe não eram eplicados pela física clássica. Os mais importantes deolimentos da física moderna são as teorias da relatiidade e a teoria da mecânica qântica. A teoria de Einstein da relatiidade reolciono os conceitos de massa, tempo e energia; a mecância qântica, a qal se aplica ao mndo macro e microscópico, foi originado por m grande número de distintos cientistas qe descreeram fenômenos físi em niel atômico. Os cientistas constantemente trabalham para improisar eperimentos qa ailiem no entendimento de fenômenos natrais, deolem teorias e noas descobertas sgem nas mais diferentes áreas da ciência, como na física, geologia, qímica e biologia, casando m enorme impacto na sociedade.

2 Física I Sistemas de nidades, Grandezas, Erros e Vetores Prof. Dr. Cládio S. Sartori CAPITULO 1 UNIDADES, GRANDEZAS FÍSICAS E VETORES. SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES DE MEDIDA (SI); ERROS SISTEMÁTICOS E ALEATÓRIOS. MEDIDAS a conferência geral de pesos e medidas Sistema Internacional de nidades (SI). Qantidade Nome da Símbolo Fndamentais nidade Comprimento metro m Massa kilograma kg Tempo segndo s Prefios para o sistema SI: Fator Prefi Símbolo Fator Prefi Símbo lo 10 4 otta Y 10-4 octo 10 1 zetta Z 10-1 zepto z ea Atto a peta P femto f 10 1 tera T 10-1 Pico p 10 9 giga G 10-9 Nano n 10 6 mega M 10-6 micro 10 3 kilo k 10-3 Milli m 10 hecto h 10 - centi c 10 1 deka da 10-1 Deci d Prefios mais sados: Fator Prefi Símbolo 10 6 mega M 10 3 kilo k 10 - centi c 10-3 Milli m 10-6 micro 10-9 Nano n Algns fatores de conersão: Massa Comprimento Volme 1kg=1000g= m=100cm=39. 4in=3.8ft 1m 3 =1000l =35,3ft 3 = 64gal 1slg=14,6kg 1mi=1.61km=5 Tempo 80ft 1=1, kg 1 in=.54cm 1d=86400s Densidade 1nm=10-9 m=10 1ear= A 1kg/m 3 =10-3 g/cm 3 1 lightear=9, m d=3, s Medida Anglar 1rad=57,3 0 =0,159re rad=180 0 = 1/ re Velocidade Pressão Energia 1m/s=3,7ft /s=.4mi/h 1Pa= 1N/m 1J=10 7 erg=0,39cal=0.738ft-lb 1km/h=0.7 1Pa=1dne/cm 1kWh=3, J 8m/s 1km/h=0.6 1Pa=1, cal=4,19J 1mi/h 4 lb/in Força 1atm=1, Pa 1eV=1, J 1N=10 5 dn 1atm=14,7lb/pol Potência e 1lb=4,45N 1atm=76cm- Hg=760mm-Hg 1 horsepower=746w=5 50 ft.lb/s Obserações: inch: polegada feet: pé light-ear: ano-lz, distância qe a lz percorre em m ano. horsepower: caaloapor Notação Científica: Resltados obtidos em calcladoras o comptadores, possem formatos do tipo dos eemplos abaio: Eemplo 1 - Visor: 16,096E+06=16, Escrito em notação científica: 1, Eemplo - Visor: 0,0108E-08=0, Escrito em notação científica: 1, Teoria dos erros: Erros aleatórios e Sistemáti Na medição de grandezas físicas, como comprimentos, interalos de tempo, oltagem entre dois pontos, carga elétrica, etc, há fontes de erros qe a afetam. As medidas são afetadas por erros eperimentais classificados em dois grandes grpos: Erros sistemáti Erros aleatórios Os erros sistemáti são casados por fontes identificáeis, podendo ser eliminados o compensados. Prejdicam a eatidão ( accrac ) da medida. Casas dos erros sistemáti: Instrmento qe foi tilizado. Método de obseração tilizado. Efeitos ambientais. Simplificação do modelo teórico tilizado.

3 Y Física I Sistemas de nidades, Grandezas, Erros e Vetores Prof. Dr. Cládio S. Sartori 3 Ao realizar as medidas, dee-se identificar e eliminar o maior número possíel de fontes de erros sistemáti. Os erros aleatórios são fltações pacima o para baio, qe fazem com qe aproimadamente a metade das medidas realizadas de ma mesma grandeza nma mesma sitação eperimental esteja desiada para mais e a otra metade esteja desiada para menos, afetando portanto a precisão. Algmas fontes de erro típicas: Métodos de obseração. Fltações ambientais. Os erros aleatórios podem ser tratados qantitatiamente atraés de métodos estatísti, de maneira qe ses efeitos na grandeza física medida podem ser em geral, eliminados. O Tratamento Estatístico Tendo N conjnto de dados i, calclamos a média o desio padrão da forma: N i N Se os dados i forem distribídos em freqência f i : N i 1 1 i N 1 i 1 N i i i 1 N f i N N f i i 1 A ariância é definida como o qadrado do desio padrão ( ). Relações importantes: f i f i i i e Onde: 0,4 0,3 0, 0,1 i i 1 N 68,7% 95,45% 0, N Z f i 1 f i i (Média Qadrática). A distribição Normal o de Gass: Foi Gass (&&) qem dedzi a epressão para a chamada distribição Gassiana o Normal: Y 1 e (&&) Carl Friedrich Gass ( ), Brnswick, German Podemos trabalhar com a ariáel denominada de ariáel redzida z: z Nesse caso, a distribição Normal o Gassiana fica: z 1 Y e Esta é ma epressão mais simplificada, cjo gráfico está dado a segir: Veja qe há ma área sob a cra de 1. Qando se encontra no interalo de ( -, + ), a área sob a cra é de 68,7%; já qando se encontra no interalo ( -, + ) a área já é de 95% o Distribição Normal o Gassiana Média Variância Desio Padrão Coeficiente de simetria 0 Obsere qe a cra Gassiana o Normal é ma cra simétrica em relação ao eio O, tendo 50% de área à esqerda e a direita do eio O.

4 Física I Sistemas de nidades, Grandezas, Erros e Vetores Prof. Dr. Cládio S. Sartori 4 Veja como se aproima da distribição Normal m resltado para N=8 para m eemplo de lançamento de moeda ) p = 0.5 = q: Erros na Fase de Modelagem: Necessita-se de árias simplificações do mndo físico, em geral, para se tentar repretar m fenômeno natral por m modelo matemático. Esses erros leam em consideração a precisão dos instrmentos de medidas. Em geral se m instrmento possi precisão p, definida em geral pela metade da menor diisão; faz-se m conjnto de N medidas. Ao apretar o resltado final teremos qe calclar a média do conjnto de i medidas e o desio padrão : N i N i N i 1 N i N 1 i N O erro associado à média será: N 1 ; N N Assim o resltado a apretar será dado por: Se p s p ; s p Se < p p i N 1 s p p ; s p p Tais erros em operações matemáticas se propagam: Assim, sponha qe faz-se medidas diretas das ariáeis e com médias ;, desios e e erros dados por e. Teremos qe fazer o qe se chama de propagação de erros nas operações matemáticas: 1) Soma S = + e diferença D = - : Nesse caso o erro na soma o na diferença é dado por: S D ) Prodto P =. P 3) Qociente Q = / Q 4) Potenciação: F = n m F F n n m m n Tais regras são conhecidas como regras de propagação de erro. Caso Geral: Se tiermos ma fnção f de n ariáeis, o erro na fnção f é dado por: m f f f f D z z Apretação do resltado O resltado dee ser apretados em termos dos algarismos significatios (todos os corretos da medida mais o primeiro didoso, o seja matematicamente, todos da esqerda para a direita). Por eemplo: 1,345-5 Algarismos significatios (digito 5:didoso) 0,0001 AS -1, AS Eemplo 3 Medi-se a espessra de ma lâmina e encontro-se a seginte tabela: (medido com paqímetro p=0.05mm) e Espessra (mm),3,5,31,18,1,3 e.4 0, ,0140 mm pois Como a precisão p = 0.05, o seja, maior qe o desio padrão, aí escreemos como: e p

5 Física I Sistemas de nidades, Grandezas, Erros e Vetores Prof. Dr. Cládio S. Sartori 5 Sistemas de Unidades. Grandezas Fndamentais O SI também é conhecido como sistema métrico. As grandezas deriadas do SI são dadas em termos das fndamentais. As grandezas fndamentais são: Metro: (m) O metro foi definido, em 179 na França, como 1 décimo de milionésimo da distância do pólo norte para o eqador. Atalmente é definido como a distância entre das linhas finas graadas em ma barra de platina-irídio, mantida no International Brea of Weights and Measres próimo à Paris. Em 1960 foi adotado m noo padrão para o metro, baseado no comprimento de onda da lz. Especificamente, o metro foi redefinido como ,73 comprimentos de onda de ma particlar lz ermelhoalaranjada emitida por átomos de Kriptônio-86. COMPRIMENTOS TÍPICOS m Distância ao mais afastado qasar (1990).10 6 Distância à galáia de Andrômeda.10 Distância à mais próima estrela (Próima Centari) Distância ao mais afastado planeta (Pltão) Raio da Terra Altra do monte Eerest 9.10 Espessra dessa página Comprimento de onda da lz Comprimento de m írs típico Raio do átomo de hidrogênio Raio de m próton Tempo: (s) Para medir tempo-padrão, os relógios atômi foram deolidos em diersos países. A 13 a conferência geral de pesos e medidas adoto o segndo padrão baseado no relógio atômico de césio. (NIST- Colorado USA) Em princípio, dois relógios de Césio fncionando por 6000 anos não atrasariam 1s em relação ao otro. Interalo de Tempo (s) Tempo de ida de m próton Idade do nierso Idade da pirâmide de Qéops Epectatia de ida hmana (EUA).10 9 Dração de m dia Tempo entre das batidas do coração hmano Tempo de ida de m múon.10-6 Menor plso lminoso no laboratório (1989) Tempo de ida da mais instáel 10-3 partícla Constante de tempo de Planck Massa: (kg) A nidade padrão para a massa é m cilindro de platina-irídio gardada no International Brea of Weights and Measres, próimo à Paris, França, como mostramos na figra abaio:corresponde a ma massa de 1kg, de acordo internacional. 1kg padrão internacional. Algmas massas típicas: Massa kg Unierso conhecido Nossa galáia Sol La 7.10 Asteróide Eros Peqena Montanha Periferia do Oceano Elefante Grampo Grão de Areia Molécla de Penicilina Próton.10-7 Elétron Relógio de Césio Padrão, no NIST (USA)

6 Física I Sistemas de nidades, Grandezas, Erros e Vetores Prof. Dr. Cládio S. Sartori 6 Análise de Eqações e ariáeis em Física. Análise dimensional: Mitas ezes em problemas e medidas é de etrema tilidade analisar a dimensão da grandeza a ser medida o da ariáel em qestão. Para isso repretamos as grandezas fndamentais como: Medida Nome da Símbolo Dimensão nidade Comprimento metro m [L] Massa kilograma kg [M] Tempo segndo s [T] Eemplo 4 Analisar a dimensão da grandeza pressão: P=F/A F=ma Grandeza (nidade SI) Dimensão Aceleração a (m/s ) [L][T] - Massa (kg) [M] Força (1N=kgm/s ) [M][L][T] - Pressão (N/m ) [M][L][T] - /[L] [M][L] -1 [T] - Assim, a análise dimensional para a Pressão nos dá: =[M][L] -1 [T] -. Unidade de comprimento Unidade de massa Unidade de tempo Unidade de corrente elétrica Definições do sistema de nidades básicas do SI: metro kilograma segndo ampere É o comprimento atraessado pela lz no áco nm interalo de 1/ de m segndo. Massa de m protótipo padrão internacional. O Segndo é a dração de períodos da radiação correspondente para a transição de dois níeis hiperfinos do estado fndamental do átomo de Césio 133. O ampére é ma corrente a qal, mantidos dois fios condtores de comprimentos infinitos e paralelos e de negligenciáel área de seção reta circlar, s separados por 1 metro no áco, prodzir-se-á entre esses condtores ma força Unidade de temperatra termodinâmica kelin Unidade da mole qantidade de ma sbstância Unidade de qantidade lminosa candela de 10-7 newton por metro de comprimento. O kelin, nidade de temperatra termodinâmica, é a fração de 1/73.16 da temperatra do ponto triplo da ága. 1. O mole é a qantidade de ma sbstância de m sistema o qal contém qantidades elementares eistentes em 0,001 kg de carbono 1, simbolizando o "mol.". Qando n mole é sado, as entidades elementares deem ser especificadas, podendo ser átomos o moléclas, íons, elétrons o otras partíclas. A candela é a intensidade lminosa, em ma dada direção, de ma fonte qe emite radiação monocromática de freqência hertz e qe tem ma intensidade de radiação na direção of 1/683 watt por estereoradiano. Unidade de Acrônimos: CGPM, comprimento (metro) CIPM, BIPM As origens do metro oltam para o 18º séclo. Naqele momento, haia das aproimações competindo à definição de ma nidade standard (padrão) de dração. O astrônomo Christian Hgens sgestiono definindo o metro como a dração de m pêndlo qe tem m período de m segndo; otros sgestionaram definindo o metro como m décimo de milionésimo da dração do meridiano da terra ao longo de m qadrante (m qarto a circnferência da terra). Em 1791, em segida a Reolção francesa, a Academia francesa de Ciências escolhe a definição meridiana em cima da definição de pêndlo porqe a força de graidade aria ligeiramente em cima da sperfície da terra e afeta o período do pêndlo. Assim, era pretendido qe o metro igalaa 10-7 o m décimo de milionésimo da dração do meridiano por Paris para o eqador. Porém, o primeiro protótipo era peqeno atraés de 0. milímetros porqe os inestigadores calclaram mal o aplainando da terra deido a sa rotação. Ainda esta dração se torno o padrão. ( grara à certos espetáclos de arremesso da liga de platina-irídio chamado a " 1874 Liga ".) Em 1889, m protótipo internacional noo foi feito de ma liga de platina com 10 % de irídio, para dentro de , isso seria medido ao ponto de derretimento do gelo. Em 197, o metro foi definido mais jstamente como a distância, a 0, entre os machados das das linhas centrais marcados na barra de platina-irídio persistida no BIPM, e declaro Protótipo do metro pelo 1º CGPM, esta barra qe está sjeito a pressão atmosférica standard e apoiada em dois cilindros de pelo menos m diâmetro de centímetro, simetricamente colocadas no mesmo plano horizontal a ma distância de 571 mm de m ao otro. A definição de 1889 do metro, fndamentada no protótipo internacional de platina-irídio, foi sbstitída pelo CGPM em 1960 sando ma definição fndada em m comprimento de onda de radiação krptônio-86. Esta definição foi adotada para

7 Física I Sistemas de nidades, Grandezas, Erros e Vetores Prof. Dr. Cládio S. Sartori 7 redzir a incerteza com qe o metro pode ser percebido. Em 1983 o CGPM sbstiti esta definição posterior pela seginte definição: O metro é a dração do caminho percorrido pela lz no áco drante m interalo de tempo de 1/ de m segndo. Note qe o efeito desta definição é fiar a elocidade de lz no áco a eatamente m s -1. O protótipo internacional original do metro qe foi sancionado pelo 1º CGPM em 1889 ainda é persistido no BIPM debaio das condições especificadas em Unidade de massa Acrônimos: CGPM, (kilograma) CIPM, BIPM Ao término do 18º séclo, m qilograma era a massa de m decímetro cúbico de ága. Em 1889, o 1º CGPM sanciono o protótipo internacional do qilograma, feito de platina-irídio, e declaro: Será considerado daqi em diante qe este protótipo é a nidade de massa. A figra anterior mostra o bloco de platina-irídio, m protótipo internacional, como está na Agência Internacional de Pesos e Medidas debaio de condições especificadas pelo 1º CGPM em O 3d CGPM (1901), em ma declaração pretenderam terminar a ambigüidade em so poplar relatio ao palara " peso, " confirmo isso: O qilograma é a nidade de massa; é igal à massa do protótipo internacional do qilograma. Unidade de tempo Acrônimos: CGPM, (segndo) CIPM, BIPM A nidade de tempo, o segndo, foi definida originalmente como a fração 1/ do dia solar médio. A definição eata de "dia " solar médio permanece sob as teorias astronômicas. Porém, a medida mostro qe não pdessem ser leadas em conta irreglaridades na rotação da Terra pela teoria e tem o efeito qe esta definição não permite alcançar a precisão eigida. Para definir a nidade de tempo mais jstamente, o 11º CGPM (1960) adoto ma definição dada pela União Astronômica Internacional qe estaa baseado no ano tropical. Porém, m trabalho eperimental já tinha mostrado qe m padrão atômico de interalo de tempo, baseado nma transição entre dois níeis de energia de m átomo o ma molécla, poderia ser reprodzida mito mais jstamente. Considerando qe ma definição mito precisa da nidade de tempo é indispensáel para o Sistema Internacional, o 13º CGPM (1967) decidi sbstitir a definição do segndo pelo seginte (afirmo pelo CIPM em 1997 qe esta definição se refere a m átomo de césio em se estado fndamental à ma temperatra de 0 K): O segndo é a dração de períodos da radiação qe corresponde à transição entre o dois níeis hiperfinos do estado fndamental do átomo de césio 133. Unidade de corrente Acrônimos: CGPM, elétrica (ampere) CIPM, BIPM Unidades de corrente elétrica, chamada " internacional, " para corrente e resistência foi introdzida pelo Congresso Elétrico Internacional em Chicago em 1893, e as definições do " ampère internacional " e o " ohm internacional " eram confirmadas pela Conferência Internacional de Londres em Embora já era óbio na ocasião do 8º CGPM (1933) qe haia m desejo nânime para sbstitir essas " nidades internacionais " atraés de nidades absoltas " denominadas ", a decisão oficial para aboli-los só foi leada pelo 9º CGPM (1948) qe adoto o ampère para a nidade de corrente elétrica e sege a definição proposta pelo CIPM em 1946: O ampère é aqela corrente de constante qe, se manter diretamente em dois condtores paralelos e infinitos, de seção circlar transersal desprezíel, colocados paralelamente a 1 metro no áco, prodziria entre estes condtores ma força igal para 10-7 newton por metro de comprimento. A epressão " nidade de MKS de força " qe acontece no teto original foi sbstitída aqi atraés de " newton, " o nome adoto para esta nidade pelo 9º CGPM (1948). Note qe o efeito desta definição é fiar a constante magnética (permeabilidade do áco) a eatamente H m -1. Unidade de temperatra Acronimos: CGPM, termodinâmica (kelin) CIPM, BIPM A definição da nidade de temperatra termodinâmica era determinada em sbstância pelo 10º CGPM (1954) qe seleciono o ponto triplo de ága como o ponto fio fndamental e nomeo a isto a temperatra K, definindo a nidade assim. O 13º CGPM (1967) adoto o kelin de nome (símbolo K) em ez de " gra Kelin " (símbolo K) e defini a nidade de temperatra termodinâmica como sege: O kelin, nidade de temperatra termodinâmica, é a fração 1/73.16 da temperatra termodinâmica do ponto triplo da ága. Por casa das escalas termométricas de temperatra, permanece prática comm para epressar temperatra termodinâmica, símbolo T, em termos de sa diferença da referência temperatra T 0 = K, o ponto de gelo. Esta diferença de temperatra é chamada ma temperatra Celcis (em gras Centígrados, símbolo t, e é definido pela eqação de qantidade t = T T 0. A nidade de temperatra Celcis é o gra Centígrado, símbolo C qe é por definição igal em magnitde para o kelin. Uma diferença o interalo de temperatra podem ser epressados em kelins o em gras Centígrado (13º CGPM, 1967). O alor nmérico de ma temperatra t gras Celcis é determinada por t/ C = T/K O kelin e o gra Centígrado também são também nidades de Temperatra Internacional. A Escala de 1990 (ITS-90) adoto pelo CIPM em Unidade de qantidade de Acrônimos: CGPM, sbstância (mole) CIPM, BIPM Segindo a descoberta das leis fndamentais de qímica, as nidades foram chamadas, por eemplo, átomo-grama" e "molécla-grama, foram sadas para especificar qantias de elementos qími o combinações. Estas nidades tieram ma coneão direta com "pesos" atômi e "pesos moleclares" qe eram de fato massas relatias. Referiram pesos" atômi originalmente ao peso atômico de oigênio, por acordo geral leado como 16. Mas considerando os isótopos físi separados no espectrógrafo de massa, atribi o alor 16 a m dos isótopos de oigênio; os qími atribíram aqele mesmo alor para o (ligeiramente ariáel) mistra de isótopos 16, 17, e 18 qe eram para eles o oigênio de elemento natralmente acontecendo. Finalmente, m acordo entre a União Internacional de Pras e Aplicadas Físicas (IUPAP) e a União Internacional de Pra e Aplicada Qímica (IUPAC) troe esta dalidade para m fim em 1959/60. Os Físi e Qími concordaram nomear o alor 1, eatamente, desde então para o "peso atômico" corretamente a massa atômica relatia, do isótopo de carbono com massa número 1 (carbono 1, 1C). A balança nificada assim obtida dá alores de massa atômica relatia. Permanece definir a nidade de qantidade de sbstância fiando a massa correspondente de carbono 1; por acordo internacional, esta massa estee fia em 0.01 kg, e a nidade da qantidade de sbstância" era determinada de nome mole (mol de símbolo). As Propostas segintes da IUPAP, IUPAC, e a Organização Internacional para Padronização (ISO), o CIPM cede 1967, e confirmo em 1969, a definição de mole, eentalmente adotados pelo 14º CGPM (1971): 1. mole é a qantia de sbstância de m sistema qe contém tantas entidades elementares qanto há átomos em 0.01 qilograma de carbono 1; se símbolo é " mol ".. qando o mole é sado, as entidades elementares deem ser especificadas e podem ser átomos, moléclas, íons, elétrons, otras partíclas, o especificados grpos de tais partíclas.

8 Física I Sistemas de nidades, Grandezas, Erros e Vetores Prof. Dr. Cládio S. Sartori 8 A sa 1980 renião, o CIPM aproo a proposta de 1980 pelo Comitê de Consltas em Unidades do CIPM qe especifica isso nesta definição, é compreendido qe átomos não ligados de carbono 1, em reposo e no estado de solo deles/delas, se refere. Apêndice: Modo Estatístico das calcladoras. Casio f-8ms Unidade de intensidade Acrônimos: CGPM, lminosa (candela) CIPM, BIPM Originalmente, cada país tee se próprio, e bastante mal reprodtíel, nidade de intensidade lminosa; era necessário esperar até as 1909 para er m começo de nificação no níel internacional, qando os laboratórios nacionais dos Estados Unidos da América, França, e Grã Bretanha decidiram adotar a ela internacional repretada por lminárias de filamento de carbono. Ao mesmo tempo, a Alemanha fico com a ela de Hefner, definida por m padrão de chama, e igal para aproimadamente noe décimos de ma ela internacional. Mas m padrão baseado em lminárias incandescentes, e conseqüentemente dependente na sa estabilidade, nnca teria sido completamente satisfatório e poderia ser então só proisional; por otro lado, as propriedades de m corpo negro proeram ma solção teoricamente perfeita e, já em 1933, foi adotado o princípio qe nidades de fotometria noas estariam baseado na emissão lminosa de m corpo negro na temperatra de fsão da platina (045 K). As nidades de intensidade lminosa eram baseadas em chama o padrões de filamento incandescentes e foram sbstitídas em so em ários países antes de 1948 inicialmente pela "ela" baseado no lminance da radiação de corpo negro (Teoria feita por Planck) à temperatra de platina citada acima. Esta modificação tinha sido preparada pela Comissão Internacional em Ilminação (CIE) e pelo CIPM antes das 1937, e foi promlgado pelo CIPM em Foi ratificado então em 1948 pelo 9º CGPM qe adotaram m nome internacional noo para esta nidade, candela (cd de símbolo); em 1967 o 13º CGPM de ma ersão emendada da definição de1946. Em 1979, por casa das dificldades eperimentais qe ocorriam na radiação de corpo negro (Teoria de Planck) a temperatras altas e as possibilidades noas oferece atraés da radiometria, i.e., a medida de poder de radiação óptico, o 16º CGPM (1979) adoto ma definição noa para o candela: O candela é a intensidade lminosa, em ma determinada direção, de ma fonte qe emite radiação monocromática de freqüência hertz e tem ma intensidade radiante naqela direção de 1/683 watt por stereoradianos. Comando Fnção on Liga Mode Entra no modo sd (statistical data) Shift CLR 1 = Limpa memórias Dado 1 M+ Inseri dado 1 Shift Entra no s-ar Shift 1 = Dá a média Shift = Dá o DPP Shift 3 = Dá o DPA Shift CLR 3 = Limpa tdo Mode 3 Entra no modo reg 1 (regressão linear) 1, 1 M+ Inseri ponto ( 1, 1) Eemplo: Insere o ponto ( EXP(-, )5,.456EXP4 M+ ) Shift 1 = Dá a média de Shift = Dá o DPP de Shift 3 = Dá o DPA de Shift 1 = Dá a média de Shift = Dá o DPP de Shift 3 = Dá o DPA de Shift 1 = Dá o coeficiente linear A Shift = Dá o coeficiente anglar B Shift 3 = Dá a correlação r Série HP

9 Física I Sistemas de nidades, Grandezas, Erros e Vetores Prof. Dr. Cládio S. Sartori 9 Recrsos estatísti: Σ, Σ, Σ, Σ, Σ Desio padrão de amostra, média Desio padrão de poplação Regressão linear Combinações, permtações Média ponderada Editar, graar, nomear, listar Ajste de cra ( LIN, LOG, EXP, POW ) Plotagem de dados estatísti Testes de hipóteses Interalos de confiança Comando Single-ar Edit poplation sample chk Fnção Entra no modo estatístico Entra no modo de edição. Escolha a colna qe inserirá os dados Dpp Dpa Marqe para mostrar o alor GRANDEZAS FÍSICAS escalares. VETORES Vetores no plano R : Vetoriais e Versores: São etores de módlo 1 e perpendiclares entre si. No plano R definimos os ersores î 1, 0 e ĵ 0, 1 1 ĵ î 0 1 Repretação: iˆ (, ˆj o ) o OA A O : Componente horizontal do etor. : Componente ertical do etor. Entra no modo de ajste de cras Fit data Edit Insira os dados (,) nas colnas 1 e, por eemplo Vale, carinha? CD D C CD D, D C, C CD D C, D C CD iˆ ˆj D C D C Módlo o magnitde do etor:

10 Física I Sistemas de nidades, Grandezas, Erros e Vetores Prof. Dr. Cládio S. Sartori 10 o tido. número. Importante: é m etor, por tanto possi módlo direção e é o módlo do etor, do portanto m Direção do etor: A direção de m etor é dada pelo ânglo qe o etor forma com o eio horizontal O, com o ânglo medido no tido anti-horário. θ Unidades anglares: Definimos o gra (em inglês: degree) como m noenta aos do ânglo reto. O grado é definido de tal forma qe a cada 100 grados corresponde a Assim: ( grados ) O radiano é dado pela correspondência: a cada π radianos corresponde a Assim: (rad ) Modo anglar na calcladora: Lembre-se qe para encontrar o ânglo em gras o modo qe se dee trabalhar na calcladora é deg (de degree ) e se qisermos operar em radianos, rad. A relação entre m ânglo medido em gra 0 e m 0 0 Conersões de qadrantes: i) Vetor no segndo qadrante arctg (rad ) 0 ii) Vetor no terceiro qadrante 0 arctg (rad ) iii) Vetor no qarto qadrante 0 arctg ânglo medido em radiano é dada por: Determinação do ânglo : tan arc arc arctan (rad ) Operações com etores Mltiplicação por m escalar Soma de etores Regra do Polígono w S w t t

11 Física I Sistemas de nidades, Grandezas, Erros e Vetores Prof. Dr. Cládio S. Sartori 11 Regra do Paralelogramo Ânglo Ânglo formado pelo: Cosos diretores Vetor e eio O θ θ θ z Vetor e eio O Vetor e eio Oz z z Versores: î 1,0,0 Obs.: Vide demonstração no Apêndice I ĵ 0,1,0 Sbtração de etores Vetores no espaço R 3 : Repretação: ˆk 0,0,1 Módlo do etor: z Normalização de m etor: Dado m etor qalqer, o etor de módlo 1 qe aponta na mesma direção e tido de é dado por: nˆ nˆ O: nˆ iˆ ˆj o o iˆ (,, z ) ˆj z kˆ OA A O : Componente do etor. : Componente do etor. z : Componente z do etor. Determinação dos ânglos formados pelo etor com os eios: Regra do paralelogramo: S D Analogamente, podemos proar qe:

12 Física I Sistemas de nidades, Grandezas, Erros e Vetores Prof. Dr. Cládio S. Sartori 1 Apêndice II Regra do Paralelogramo: Demonstração: Relações trigonométricas: ( a b) a b b a ( a b) a b b a 1 ( ) Obsere qe: e ( ) iˆ iˆ ˆj ˆj ( iˆ ) ( ˆj ) ( ) Como: Teremos: ( ) Analogamente, podemos proar qe:

13 Física 1 Capítlo 1 Sistemas de Unidades, Grandezas e Medições Prof. Dr. Cládio. Sérgio Sartori. Apêndice II Lei dos Coos: c b a a a c b c b a a c b c b h h c c m 1 m a a n n c c 1 ( 1 ) a Lei dos Senos: a b b c c Portanto: m1 a h c n h c a1 ac b ( m n) h ac bh ac h {3}; Renindo {1}, {} e {3}: h a c ac b Diidindo os membros por a.c: c a b O: a b c Proa:Obsere qe: 1 a h c m h a h a {1} h c h c {} h 1 h a 1 a b n h 1 h a a 1 Prodtos entre etores Dados dois etores: iˆ ˆj k ˆ θ z iˆ ˆj k ˆ z Definimos: Prodto escalar: O prodto escalar entre dois etores tem como e resltado m número. Repretamos por: z z Também podemos demonstrar qe: Onde θ é o ânglo entre os etores e. Prodto etorial: O prodto escalar entre dois etores tem como e resltado m etor.

14 Física 1 Capítlo 1 Sistemas de Unidades, Grandezas e Medições Prof. Dr. Cládio. Sérgio Sartori. Repretamos por: iˆ ˆj kˆ z z Também podemos demonstrar qe: O etor plano formado pelos etores e. EXERCÍCIOS é m etor perpendiclar ao SEÇÃO 1.4 PADRÕES E UNIDADES SEÇÃO 1.5 COERÊNCIA E CONVERSÃO DE UNIDADES 1.1 Usando a delmição l milha = l.61 km. calcle o número de qilômetros em 5 milhas. 1. De acordo com o rótlo de ma garrafa de molho para salada, o olme do conteúdo é de 0,473 litros (L). Usando a conersão l L = 1000 cm 3, epresse este olme em milímetros cúbi. 1.3 Calcle o tempo em nanossegndos qe a lz lea para percorrer ma distância de l.00 km no áco. 1.4 A densidade do chmbo é l l.3 g/cm 3. Qal e este alor em qilogramas por metro cúbico?' 1.5 O cilindro de m potente atomóel Cherolet Corette possi m olme de 5.3 l.. Sabendo qe l decâmetro (dam) é igal a 10 m, epresse este olme em decametros cúbi. 1.6 Para controlar se consmo de bebida alcoólica, ocê resole beber 0,04 m 3 de inho drante m ano. Spondo qe todo dia ocê beba a mesma qantidade de inho, qantos cm 3 de inho ocê deeria beber por dia? 1.7 O Concorde é o aião comercial mais eloz do mndo. Ele pode iajar a 1450 mi/h (cerca de das ezes a elocidade do som o Mach. Calcle esta elocidade (a) em km/h e (b) em m/s. 1.8 Em m país erope ocê ê o seginte aiso: limite máimo de elocidade = 100 mi/h. Epresse este limite em km/h e em m/s. 1.9 O consmo de gasolina de m cairo peqeno é aproimadamente igal a 15,0 km/l. Epresse este consmo em dam/cm 3. SEÇÃO 1.6 INCERTEZA ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 1.10 Um modo útil de saber qantos segndos eistem em m ano é dizer qe m ano ê aproimadamente igal a 10 7 segndos. Calcle o erro percental deste alor aproimado. (Em m ano eistem dias.) 1.11 (a) Sponha qe m trem tenha percorrido 890 km de Berlim ate Paris e spero em 10 m o limite final do trilho. Qal o erro percental na distância total percorrida? (b) Seria correto dizer qe ele percorre ma distância total de m? Epliqe. 1.1 Usando ma réga de madeira, ocê mede o comprimento de ma placa metálica retanglar e encontra 1 mm. Usando m micrômetro para medir a largra da placa ocê encontra 5,98 mm. Forneça as respostas dos segintes itens com o número de algarismos significatios correio, (a) Qal a área do retânglo? (b) Qal a razão entre a largra do triânglo e o se comprimento? (c) Qal o perímetro do retânglo? (d) Qal a diferença entre o comprimento do retânglo e a sa largra? (e) Qal a razão entre o comprimento do retânglo e a sa largra? 1.13 Estime o erro percental ao medir: (a) a distancia de 75 cm sando ma réga de l m. (b) a massa de 1 g com ma balança qímica: (c) o interalo de tempo de 6 min com m cronômetro Uma placa retanglar de almínio possi comprimento de: 5.60 ±0.01 cm e largra de: l.90 ±0.01 cm. (a) Ache a área do retânglo e a incerteza na área. 14

15 Física 1 Capítlo 1 Sistemas de Unidades, Grandezas e Medições Prof. Dr. Cládio. Sérgio Sartori. (b) Verifiqe se a incerteza fracionaria na área é igal à soma das incertezas fracionárias do comprimento e da largra Um disco fino de chocolate possi diâmetro igal a 8,50 ± 0,0 cm e espessra igal a ± 0,005 cm. (a) Ache o olme e a incerteza no olme, (b) Ache a razão entre o diâmetro e a espessra e a incerteza desta razão. SEÇAO 1.7 ESTIMATIVAS E ORDENS DE GRANDEZA 1.16 Faça ma estimatia do olme da gasolina consmida no Brasil drante m ano Uma caia possi olme de 8 cm cm 4 cm e está cheia de folhas de papel de 8 cm cm. Esta caia contém aproimadamente 10 mil o 10 milhões de folhas? 1.18 Qantas laranjas ocê dee espremer para obter L de sco de laranja? 1.19 Estime a ordem de grandeza do número de palaras de m liro (00 páginas). 1.0 Qal é o olme de ar qe ma pessoa respira em toda sa ida? Compare este olme com o olme de m apartamento de dois qartos. (Estime qe para cada respiração o olme de ar aspirado é aproimadamente igal a 500 cm 3.) 1.1 Qantos fios de cabelo há em sa cabeça? 1. Qantas êzes o coração de ma pessoa bale em toda sa ida? Qantos litros de sange ele bombeia neste período? (Estime qe em cada batida do coração o olme de sange bombeado é aproimadamente igal a 50 cm 3 ). 1.3 Na ópera de Wagner O anel dos Niebelngos, a desa Freia é resgatada em troca de ma pilha de oro com largra e altra sficientes para escondê-la. Estime o alor desta pilha de oro. (Use o Eemplo l.4 para obter os dados necessários para a densidade e o preço do oro.) 1.4 Qantas gotas de ága eistem em todos os oceanos da Terra? 1.5 Qantas pilhas são consmidas drante m ano acadêmico em sa facldade? 1.6 Qantas notas de m dólar seriam necessárias para fazer ma pilha de notas com ma altra igal ã distância entre a Terra e a La? Este total seria maior o menor do qe o alor gasto em m projeto para constrir e lançar ma nae até a La? 1.7 Qantas notas de m dólar seriam necessárias para cobrir a área total dos Estados Unidos (inclindo o Alasca e o Haaí)? Qanto isto cstaria para cada americano? SEÇÃO 1.8 VETORES E SOMA VETORIAL 1.8 Oindo o rído de ma serpente, ocê faz dois deslocamentos rápidos com módlos de 1.8 e.4 m. Usando diagramas (aproimadamente em escala), mostre como esses deslocamentos deeriam ser cfetados para qe a resltante tiesse módlo igal a: (a) 4. m. (b) 0.6 m, (c) 3,0 m. 1.9 Um empregado do Correio dirige m caminhão de entrega e faz trajeto indicado na Figra l.4. Determine o módlo, a direção e o tido do deslocamento resltante sando diagramas em escala. (Ver o Eercício l.34 para sar m método alternatio na solção deste problema.) FIGURA 1 Eercícios l.9 e Para os etores A e B indicados na Figra se diagramas em escala para determinar: (a) a soma etorial A B (b) a diferença elorial A B. Com as respostas obtidas em (a) e em (b), ache o módlo, a direçao e o tido de (c) A B 15

16 Física 1 Capítlo 1 Sistemas de Unidades, Grandezas e Medições Prof. Dr. Cládio. Sérgio Sartori. (d) B A(Veja o Eercício l.35 para sar m método alternatio na solção deste problema.) 1.34 Um empregado do seriço postal dirige m caminhão de entrega e faz o trajeto indicado na Figra 4. Use o método dos componentes para determinar o módlo, a direção e o tido do deslocamento resltante. Mediante m diagrama etorial (aproimadamente em escala), mostre qe o deslocamento resltante obtido com este diagrama concorda aproimadamente com o resltado obtido pelo método dos componentes. FIGURA Eercícios l.30. l.35, l.40 c Uma espeleóloga está pesqisando ma caerna. Ela percorre 180 m em linha rela de leste para oeste, depois caminha 10 m em ma direçao formando 45 0 com a direção anterior e em tido do sl para o leste: a segir, percorre 90 m a 30 0 no tido do norte para o oeste. Depois de m qarto deslocamento não medido, ela retorna ao ponto de partida. Use m diagrama em escala para determinar o módlo, a direçao c o tido do qarto deslocamento. (Veja o Problema l.59 para sar m método alternatio na solção de m problema semelhante a este). SEÇÃO 19 COMPONENTES DE VETORES 1.3 Use m diagrama em escala para determinar os componentes A e B dos etores segintes. Para cada etor, os números indicam (i) o módlo do elor (ii) o ânglo qe ele faz com o eio O medido spondo-se ma rotação no tido do eio +O para o eio +O. Ache para (a) módlo 9,3 m e ânglo de 60,0 0 ; (b) módlo.0 km e ânglo ; (c) módlo 6.35 cm e ânglo de Determine os componentes A, B ec indicados na Figra 3. FIGURA 3 Eercícios 1.33, l.44 e Problema Para os etores A, B indicados na Figra 3 se o método dos componentes para determinar o módlo, a direção e o tido (a) a soma etorial A B (b) a diferença elorial A B. Com as respostas obtidas em (a) e em (b), ache o módlo, a direçao e o tido de (c) A B (d) B A 1.36 Determine o módlo, a direção e o tido dos etores repretados pêlos segintes pares de componentes: (a) A = cm, A = 5.0 cm; (b) A = m, A = -.45cm; (c) A = 7.75 km, A = -.70 km Um professor de física desorientado dirige 3.5 km do sl para o norte, depois 4.75 km de leste para oeste, a segir l.50 km do norte para o sl. Determine o módlo, a direção e o tido do deslocamento resltante, sando o método dos componentes. Usando diagramas (aproimadamente em escala), mostre qe o deslocamento resltante encontrado em se diagrama concorda aproimadamente com o resltado obtido pelo método dos componentes O etor A possi componentes A = l.30 cm, A =,5 cm; o etor B possi componentes B = 4,10 cm, B = cm. Ache (a) os componentes da soma etorial A B (b) o módlo, a direçao e o tido da soma etorial A B (c) os componentes da diferença etorial A B (d) o módlo, a direçao e o tido da 16 diferença etorial A B

17 Física 1 Capítlo 1 Sistemas de Unidades, Grandezas e Medições Prof. Dr. Cládio. Sérgio Sartori O etor A possi comprimento igal a,80 cm e esta no primeiro qadrante a acima do eio O. O etor B possi comprimento igal a l.90 cm e está no qarto qadrante a 60,0 0 abaio do eio O (Figra 4). Ache o módlo, a direção e o tido de: (a) a soma etorial A B (b) a diferença elorial A B. (c) A B Em cada caso faça m diagrama da soma o da diferença e mostre qe os resltados concordam aproimadamente com as respostas nméricas obtidas. FIGURA 4 Eercícios FIGURA 5 Eercícios B (,40 m). Eercício 1.4 e Problema Dados os etores A 4,00 iˆ 3,00 ˆj e B 5,00 iˆ,00 ˆj (a) ache o módlo, a direção e o tido de cada etor; (b) escrea ma epressão para a diferença etorial A B sando etores nitários; (c) ache o módlo, a direção e o tido da diferença etorial A B (d) faça m diagrama etorial para A, B e A B e mostre qe os resltados qeconcordam aproimadamente com a resposta do item (c). 17 SEÇÃO 1.10 VETORES UNITÁRIOS 1.40 Escrea cada etor indicado na Figra 5 em termos dos etores nitários î e ĵ Escrea cada etor indicado na Figra 1.6 em termos dos etores nitários î e ĵ. 1.4 (a) Escrea cada etor indicado na Figra 6 em termos dos etores nitários î e ĵ. (b) Use etores nitários para escreer o etor C, onde C 3 A 4 B (c) Ache o módlo, a direção e o tido do etor C. SEÇÃO 1.1 PRODUTOS DE VETORES 1.44 Para os etores A, B ec, indicados na Figra 6, ache os prodtos escalares (a) AB (b) BC (c) AC 1.45 (a) Ache o prodto escalar dos dois etores A e B mencionados no Eercício (b) Ache o ânglo entre estes etores Ache o ânglo entre cada par de etores: (a) A,00 iˆ 6,00 ˆj e B,00 iˆ 3,00 ˆj (b) A 3,00 iˆ 5,00 ˆj e B 10,00 iˆ 6,00 ˆj (c) A 4,00 iˆ,00 ˆj e B 7,00 iˆ 14,00 ˆj

18 Física 1 Capítlo 1 Sistemas de Unidades, Grandezas e Medições Prof. Dr. Cládio. Sérgio Sartori Spondo m sistema de coordenadas com orientação da mão direita, ache a direção e o tido do eio Oz Para os etores indicados na Figra 4, (a) ache o módlo, a direção e o tido do prodto etorial A B; (b) ache o módlo, a direção e o tido do prodto etorial B A 1.49 Encontre o prodto etorial A B epresso em termos dos etores nitários. Qal o módlo deste prodto etorial? 1.50 Para os etores indicados na Figra 5, (a) ache o módlo, a direção e o tido do prodto etorial A B; (b) ache o modlo, a direção e o tido do prodto eional B A. PROBLEMAS 1.51 A milha é ma nidade de comprimento mito sada nos Estados Unidos e na Eropa. Sabendo qe l mi é aproimadamente igal a 1,61 km, calcle: (a) o número de metros qadrados eistentes em ma rnilha qadrada; (b) decímetros cúbi eistentes em ma milha cúbica. 1.5 Sponha qe ma fazenda seja aaliada em R$ 4,00 o metro qadrado. Calcle o preço desta fazenda sabendo qe sa áreatotal é igal a 100 milhas qadradas O Maser de Hidrogénio. As ondas de rádio geradas por m maser de hidrogénio podem ser sadas como m padrão de freqüência. Afreqüência dessas ondas é igal a hertz. (Um hertz significa o mesmo qe m ciclo por segndo.) Um relógio controlado por m maser de hidrogênio pode atrasar o adiantar apenas l s em anos. Para as respostas das pergntas segintes, se apenas três algarismos significatios. (O grande número de algarismos significatios nesta freqência ilstra a impressionante acrácia desta medida). (a) Qal é o interalo de tempo de m ciclo desta onda de rádio? (b) Qantos ciclos ocorrem em 1h? (c) Qantos ciclos poderiam ter ocorrido drante a idade da Terra, estimada em 4, anos? (d) Qantos segndos m relógio controlado por m maser de hidrogênio poderia atrasar o adiantar drante a idade da Terra? 1.54 Estime o número de átomos eistentes em se corpo. (Sgestão: com base em ses conhecimentos de biologia e de qímica; diga qais os tipos mais comns de átomos eistem em se corpo. Qal a massa de cada m destes átomos? O Apêndice D apreta ma relação das massas dos diferentes elementos, epressas em nidades de massa atómica; ocê encontrará o alor De ma nidade de massa atômica) (a) Estime o número de dentistas em sa cidade. Você dee considerar nesta estimatia o número de habitantes, a freqência com a qal se tma ir a m dentista, a dração típica de m procedimento no tratamento dentário (obtrações, tratamento de canais etc.) e qantas horas m dentista trabalha drante a semana. Confira sa estimatia consltando ma lista Telefônica local Os matemáti, os físi e otros pesqisadores trabalham com números grandes. Os matemáti inentaram o nome etraagante de googol para designar Vamos comparar algns números grandes eistentes na física com o googol. {Nota: Este problema necessita do so de algns alores nméri nos apêndices deste liro, com os qais seria coneniente ocê se familiarizar.} (a) Estime o número aproimado de átomos eistentes em nosso planeta. Para facilitar, considere a massa atómica dos átomos igal a 14 g/mol. O número de Aogadro fornece o número de átomos eistentes em m mol. N A = átomos/mol. (b) Estime o número aproimado de nêtrons eistentes em ma estrela de nêtrons. Uma estrela de nêtrons é constitída qase qe eclsiamente de nêtrons e possi massa igal a das ezes a massa do Sol. (c) Na teoria principal acerca da origem do nierso, todo o nierso obseráel ocpaa em em tempos primordiais m raio igal à atal distância entre a Terra e o Sol. Naqela época, o nierso possía densidade (massa/olme) de g/cm 3. Estime o número de partíclas eistentes no nierso spondo qe naqela época a composição das partíclas era: 1/3 de prótons, 1/3 de elétrnns e 1/3 de nêtrons Você deseja programar o moimento do braço de m robô em ma linha de montagem. Se primeiro deslocamento é A A; se segndo deslocamento é B, cjo módlo é igal a 6,40 cm, 18

19 Física 1 Capítlo 1 Sistemas de Unidades, Grandezas e Medições Prof. Dr. Cládio. Sérgio Sartori. orientado formando m ânglo de 63,0, medido considerando-se ma rotação do eio +0 para o eio O. A resltante C A B dos dois deslocamentos dee também possir módlo igal a 6,40 cm, porém formando m ânglo de,0, medido considerandose ma rotação do eio +O para o eio +O. (a) Dehe m diagrama em escala aproimada para estes etores. (b) Ache os componentes de A. (c) Ache o módlo, a direção e o tido de A. FIGURA 6 - Eercício ,0 0 A 1,0m Dê o módlo. a direção e o tido do terceiro deslocamento. Faça m diagrama em escala da soma etorial dos deslocamentos e mostres qe eles concordam aproimadamente ocorrem com o resltado obtido mediante a solção nmérica Um esqiador percorre.80 km com ânglo de 45,0 considerando rotação em tido do sl para o oeste, a segir 7,40 km a 30,0 em tido do leste para o norte, e finalmente 3,30 km a.0 em tido do oeste para o sl. (a) Mostre estes deslocamentos em m diagrama, (b) Qal é a distância entre o início ë o fim do trajeto? FIGURA 6 - Eercício ,0 0 40,0 0 C 6,0m B 15,0m 1.58 (a) Ache o módlo, a direção e o tido do etor R qe é a soma dos etorea A, B e C Figra6. Dehe m diagrama para mostrar como R é formado com a soma os três etores indicados na Figra 6. (b) Ache o módlo, a direção e o tido do etor S C A B. Dehe m diagrama para mostrar como S é formado com os três etores indicados na Figra Como dissemos no Eercício ma espeleóloga está pesqisando ma caerna. Ela percorre 180 m em linha reta de leste para oeste; depois caminha 10m em ma direção qe forrna 45 com a direção anterior e em dito do do sl para o leste, a segir percorre 80 m a 30 no tido do norte para o leste. Depois de m qarto deslocamento, ela retorna ao ponto de partida. Use o método dos componentes para determinar o módlo, a direção e o tido do qarto deslocamento. Verifiqe qê a solção obtida sando-se m diagrama sm escala é, aproimadamente igal ao resltado obtido pelo método dos componentes Uma elejadora encontra entos qe impelem se peqeno barco a ela. Ela eleja,00 km de oeste para leste, a segir 3,50 km para sdeste e depois ma certa distância em direção desconhecida. No final do trajeto ela se encontra a 5,80 km diretamente a leste de se ponto de partida (Figra 7 ). 1.6 Em m oo de treinamento, ma aprendiz de piloto oa de Lincoln, no Estado de NeBraska: até Clarinda, no lowa; a segir até St. Joseph, no Missori; depois até Manhattan, no Kansas (Figra l.30). Os ânglos formados pêlos deslocamentos são medidos em relação ao norte: 0 significa o tido do sl para o norte. 90 é o leste, 180 é o sl e 70 é o oeste. Use o método dos componentes para achar (a) a distância qe ela terá de oar para oltar para Lincoin; b) a direção e o tido qe ela deerá oar para oltar ao ponto de partida. Ilstre a solção fazendo m diagrama etorial. (b) Ajde-o a impedir qe ele se perca na floresta fomecendo-lhe o etor deslocamento, calclado pelo método dos componentes, necessário para qe ele retome para sa cabana Uma artista está criando m noo logotipo para a página de sa companhia na Internet. No programa gráfico qe ela está sando, cada piel em m arqio de imagem possi coordenadas (, ) onde a origem (0,0) está sitada no canto sperior esqerdo da imagem, o eio +O aponta para a direita e o eio +O aponta para baio. As distâncias são medidas em piels. (a) A artista deha ma linha ligando o local do piel (10,0) com o local (10,00). Ela deseja

20 Física 1 Capítlo 1 Sistemas de Unidades, Grandezas e Medições Prof. Dr. Cládio. Sérgio Sartori. dehar ma segnda linha qe começa em (10,0), tem comprimento de 50 piels e forma m ânglo de 30 0 medindo no tido dos ponteiros do relógio a partir da direção inicial. Qal o local do piel no qal esta segnda linha dee terminar? (b) A artista agora deha ma flecha ligando a etremidade direita inferior da primeira linha com a etremidade direita inferior da segnda linha. Determine o módlo, a direção e o tido desta flecha. Faça m diagrama mostrando as três linhas Um eplorador de ma densa floresta na África eqatorial deia sa cabana. Ele dá 40 passos no tido nordeste, depois 80 passos em ma direção qe forma 60 0 considerando a rotação no tido de oeste para o norte, a segir 50 passos diretamente para o sl. (a) Faça m diagrama aproimadamente em escala dos três etores e da resltante da soma etorial. (b) Ajde-o a impedir qe ele se perca na floresta fornecend-lhe o o etor deslocamento, calclado a partir do método das componentes, necessário para qe ele retorne a sa cabana Os etores A, e B são dehados a partir de m ponto. O etor A possi módlo A e forma m ânglo θ A, medido spondo-se ma rotação no tido do eio +0 para o eio +0. As grandezas correspondentes do etor B são o módlo B e o ânglo θ B Logo: A A A iˆ A A ˆj B B B iˆ B B ˆj (a) Dedza a Eqação: A B A B B A (b) Mostre qe: A B A B A B Obseração: Para etores em 3-D: A B A B A B Az B z Onde: A A iˆ A ˆj A kˆ A A Az A A iˆ A ˆj A k ˆ z B B iˆ B ˆj B kˆ B B Bz B B iˆ B ˆj B k ˆ z FIGURA 6 - Eercício Para os etores A e a dehados na Figra 6, (a) Ache o prodto escalar AB ; (b) Determine o módlo, a direçao e o tido do prodto etorial A B A Figra 7 mostra m paralelogramo cjos lados são os etores A e B. (a) Mostre qe o módlo do prodto etorial destes etores é igal à área deste paralelogramo. (Sgestão: área = base. altra.) (b) Qal é o ânglo entre o prodto etorial e o plano deste paralelogramo? 1.68 O etor A possi comprimento de 3,50 cm e aponta para o interior desta página. O etor B aponta do canto direito inferior desta página para o canto esqerdo sperior desta página. Defina m sistema apropriado de coordenadas com orientação da mão direita e ache os três componentes do prodto etorial A B, medidos em cm. Faça m diagrama mostrando o sistema de coordenadas e os etores A, B e A B Dados dois etores: A iˆ 3 ˆj 4 k ˆ e A 3 iˆ 1 ˆj 3 k ˆ determine: (a) o medlo de cada etor; (b) ma epressão para a diferença etorial A B sando etores nitários; 0

21 Física 1 Capítlo 1 Sistemas de Unidades, Grandezas e Medições Prof. Dr. Cládio. Sérgio Sartori. (c) o módlo da diferença etorial A B (d) É este alor igal ao módlo da diferença etorial B A? Epliqe Ânglo da ligação no metano. Na molécla do metano, CH 4, cada átomo de hidrogênio ocpa o értice de m tetraedro reglar em cjo centro se encontra o átomo de carbono. Usando coordenadas de tal modo qe ma das ligações C H esteja na direção iˆ ˆj k ˆ, ma ligação C H adjacente estará na direção iˆ ˆj k ˆ. Calcle o ânglo entre estas das ligações Os dois etores A e B são dehados a partir de m mesmo ponto e C A B (a) Mostre qe qando C = A + B o ânglo entre os etores A e B é 90. (b) Mostre qe qando C < A + B, o ânglo entre os etores A e B é maior do qe 90. (c) Mostre qe qando C > A + B o ânglo entre os etores A e B está compreendido entre 0 e Qando dois etores A e B são dehados a partir de m mesmo ponto, o ânglo entre eles é φ. (a) Usando técnicas etoriais, mostre qe o módlo da soma destes etores é dado por: A B A B A B (b) Se A e B possem o mesmo módlo, qal dee ser õ alor A o de B? (c) Dedza m resltado análogo ao do item (a) para o módlo da diferença etorial A B. (d) Se A e B possem o mesmo módlo, qal dee ser o alor de φ para qe o módlo de A Bseja igal ao módlo de A o de B? 1.73 Um cbo é colocado de modo qe m dos ses értices esteja na origem e três arestas coincidam com os eios +O, +O e +Oz de m sistema de coordenadas (Figra l.31). Use etores para calclar (a) O ânglo entre a aresta ao longo do eio +Oz (linha az) e a diagonal da origem até o értice oposto (linha ad); (b) o ânglo entre a linha ac (a diagonal de ma das faces) e a linha ad. FIGURA 7 - Problema 1.73 e 1.74 a b z 1.74 Obtenha m etor nitário ortogonal aos dois etores indicados no Problema l Mais tarde em nossos estdos de física encontraremos grandezas repretadas por A B C. C, proe qe: (a) Qaisqer qe sejam os etores A, B e A B C c d A B C (b) Calcle A B C para os três etores segintes: A com modlo 5.00 e ânglo θ A = 6,0 medido spondo-se ma rotação no tido do eio +0 para o eio +0, B com módlo 4,00 e ânglo θ B = 63,0 e C com módlo 6,00 e orientado ao longo do eio +0z. Os etores A e B estão sobre o plano. PROBLEMAS DESAFIADORES 1.76 O comprimento de m retânglo é dado por L ± l e sa largra é W ± w. (a) Mostre qe a incerteza na área A é dada por a = Lw + W. Sponha qe as incertezas l e w sejam peqenas, de modo qe o prodto lw é mito peqeno e pode ser desprezado, (b) Mostre qe a incerteza fracionária na área é igal à soma da incerteza fracionária do comprimento com a incerteza fracionária da largra, (c) Um paralelepípedo possi dimensões L± l, W ±w e H ±h. Ache a incerteza fracionária do se olme e mostre qe ela é igal à soma das incertezas fracionárias do comprimento, da largra e da altra. 1

22 Física 1 Capítlo 1 Sistemas de Unidades, Grandezas e Medições Prof. Dr. Cládio. Sérgio Sartori Em m jogo de ftebol, a bola está inicialmente no centro do campo. Considere m sistema de coordenadas O no plano do campo e cjo centro O coincida com o centro do campo. Depois do primeiro chte, a bola se encontra na posição 3 iˆ 4 ˆj onde as nidades são em metros. Determine: (a) o módlo do deslocamento inicial da bola, (b) o ânglo entre este etor e o eio Naegando no Sistema Solar. A espaçonae Mars Polar Lander (eplorador do pólo de Marte) foi lançada em 3 de janeiro de No dia 3 de dezembro de 1999 ela poso na sperfície de Marte, ocasião em qe as posições de Marte e da Terra eram dadas pelas coordenadas: z Terra 0,318 UA 0,939 UA 0,0000 UA Marte UA -0,443 UA -0,0414 UA Nessas coordenadas, o Sol está na origem e o plano da órbita da Terra é o plano. A Terra corta o eio +O ma ez por ano no eqinócio de otono no Hemisfério Norte (o primaera no hemisfério Sl, o qe ocorre no dia de setembro). Uma UA, o Unidade Astronômica, eqiale a km, a distância média entre a Terra e o Sol. (a) Em m diagrama, mostre as posições da Terra, de Marte e do Sol no dia 3 de dezembro de (b) Calcle as segintes distâncias em UA no dia 3 de dezembro de 1999: (i) entre o Sol e a Terra, (ii) entre o Sol e Marte, (iii) entre a Terra e Marte (c) Obserando da Terra, qal era o ânglo entre a reta qe nia a Terra a Marte e a reta qe nia a Terra ao Sol no dia 3 de dezembro de 1999? (d) Verifiqe e epliqe se Marte era isíel à meia-noite no se local no dia 3 de dezembro de (Qando é meia noite no horário local, o Sol está do lado oposto da Terra relação a ocê.) 1.79 Naegando na Ursa Maior. As sete estrelas principais Ursa Maior parecem estar sempre sitadas a ma mesma distância da Terra, embora elas estejam mito afastadas entre si. A Figra indica a distância entre a Terra e cada ma dessas estrelas. As distâncias são dadas em anos-lz (al), m ano-lz é a distância percorrida pela lz drante m ano. Um anolz eqiale a m. (a) Alcaide e Méraqe estão separadas de 5,6 no cé. Em m diagrama, mostre as posições do Sol, de Alcaide e Méraqe. Calcle a distância em anos-lz entre Alcaide e Méraqe. (b) Para m habitante de m planeta qe orbita Méraqe, qal seria a separação anglar entre o Sol e Alcaide? 1.80 O etor r iˆ ˆj z kˆ denomina-se etor posição e aponta da Origem o Sistema de coordenadas (0,0,0) para o espaço cjas coordenadas são (,, z). Use ses conhecimentos sobre etores para proar o seginte: Todos os pontos (,, z)qe satisfazem a eqação A + B + Cz = 0, onde A, B e C são constantes, estão sitados em m plano qe passa na origem e é ortogonal ao etor A iˆ B ˆj C k ˆ. Faça m esqema deste etor e do plano. FIGURA 8 - Problema 1.79 : Alcaide (1.38 al) : Mizar (73 al) : Arioto (64 al) : Megrez (81 al) : Feeda (80 al) : Dbe(105 al) : Méraqe (77 al)

23 Física 1 Capítlo 1 Sistemas de Unidades, Grandezas e Medições Prof. Dr. Cládio. Sérgio Sartori. QUESTÕES PARA DISCUSSÃO Q.1 O elocímetro de m atomóel mede a elocidade escalar o o etor elocidade? Epliqe. Q. Maria afirma qe ma elocidade com módlo igal a 60 km/h é eqialente a ma elocidade com módlo igal a 17 m/s. Qal foi o erro percental cometido por ela nessa conersão de nidades? Q.3 O limite de elocidade nas estradas de algns países da Eropa é de 110 km/h. Diga qal é o alor desse limite em m/scom aproimação de três algarismos significatios. Q.4 Em qe condições ma elocidade média pode ser igal a ma elocidade instantânea? 0.5 Para m determinado interalo de tempo, o deslocamento total é dado pelo prodto da elocidade media pelo interalo de tempo. Essa afirmação contina álida mesmo qando a elocidade não é constante. Epliqe. Q.6 Sob qais condições o módlo do elor elocidade media e igal ao módlo da elocidade escalar. Q.7 Para lazer m mesmo percrso m carro de potência menor leo o dobro do tempo de otro carro com maior potência. Como estão relacionadas as elocidades medias desses carros. Q.8 Um motorista em Massachsells foi sbmetido a jlgamento por ecesso de elocidade. A eidencia contra o motorista foi o depoimento de m policial qe noto qe o carro do acsado estaa emparelhado com m secndo carro qe o ltrapasso. Segndo o policial, o segndo carro já haia ltrapassado o limite de elocidade. O motorista acsado se defende alegando qe "o segndo carro me ltrapasso, portanto e não estaa acelerando". O Jiz de a tença contra o motorista, porqe, pelas palaras do Jiz, "se dois carros estão emparelhados, ambos estaam acelerando". Se ocê fosse o adogado de defesa do motorista acsado, como contestaria? Q.9 É possíel ter deslocamento nlo e elocidade media diferente de zero? E ma elocidade instantânea? Ilstre sas respostas sando m gráfico -t. Q.10 Pode eistir ma aceleração nla e ma elocidade diferente de zero?' Ilstre sas respostas sando m gráfico -t. Q.11 É possíel ter ma elocidade nla e ma aceleração média diferente de zero? Velocidade nla e ma aceleração instantânea diferente de zero? Ilstre sas respostas sando m gráfico -t. Q.1 m atomóel está se deslocando de leste para oeste. Ele pode ler ma elocidade orientada para oeste e ao mesmo tempo ma aceleração orientada para leste? Em qe circnstâncias? Q.13 A caminhonete oficial da Figra. está em 1 = 77 m para t 1 = 16.0 s e em = l9 m para t = 5.0 s. (a) Dehe os diferentes gráli possíeis para o moimento da caminhonete. As das elocidades medias m drante os interalos de tempo de t 1 até t possem o mesmo alor nos dois gráfi? Epliqe. Q.14 Em moimento com aceleração constante, a elocidade de ma partícla e igal á metade da soma da elocidade inicial com a elocidade final. Isto é erdade qando a aceleração não é constante? Epliqe. Q.15 Você lança ma bola de beisebol erticalmente para cima e ela atinge ma altra máima maior do qe sa altra. O módlo da aceleração e maior enqanto ela está do lançada o logo depois qe ela deia a sa mão? Epliqe. Q.16 Proe as segintes afirmações: (i) Desprezando os efeitos do ar, qando ocê lança qalqer objeto erticalmente para cima, ele possi a mesma elocidade em se ponto de lançamento tanto drante a ascensão qanto drante a qeda. (ii) O tempo total da Irajelória e igal ao dobro do tempo qe o ohjeto lea para atingirsa altra máima. Q.17 No Eemplo.7 sbstitindo = m na Eqação (.13) obtemos = ± 4. m/s. A raiz negatia é a elocidade para t = 4.00 s. Epliqe o significado da raiz positia. Q.18 A posição inicial e a elocidade inicial de m eíclo são conhecidas e faz-se m registro da aceleração a cada instante. Pode a posição do eíclo depois de m certo tempo ser determinada a partir destes dados? Caso seja possíel, epliqe como isto poderia ser feito. 3

24 Física 1 Capítlo 1 Sistemas de Unidades, Grandezas e Medições Prof. Dr. Cládio. Sérgio Sartori. EXERCÍCIOS SEÇÃO. DESLOCAMENTO. TEMPO E VELOCIDADE MÉDIA.1 Um fogete transportando m satélite e acelerado erticalmente a partir da sperfície terrestre. Após l.15 s de se lançamento, o fogete atraessa o topo de sa plataforma de lançamento a 63 m acima do solo. Depois de 4.75 s adicionais ele se encontra a l.00 km acima do solo. Calcle o modlo da elocidade média do fogete para (a) o trecho do oo correspodente ao interalo de 4,75 s; (b) os primeiros 5 s do se oo.. Em ma eperiência, m pomho-correio foi retirado de se ninho, leado para m local a 5150 km do ninho e libertado. Ele retoma ao ninho depois de 13,5 dias. Tome a origem no ninho e estenda m eio +O ate o ponto onde ele foi libertado. Qal a elocidade media do pomho-correio em m/s (a) para o ôo de retorno ao ninho? (b) para o trajeto todo. desde o momento em qe ele é retirado do ninho ate se retorno?.3 Uma iagem de carro de San Diego a Los Angeles dra h e 0 min qando ocê dirige o carro com ma elocidade media de 105 km/h. Em ma seta-feira na parte da tarde, contdo, o trânsito está mito pesado e ocê percorre a mesma distância com ma elocidade media de 70 km/h. Calcle o tempo qe ocê lea nesse percrso..4 De m pilar até m poste. Começando em m pilar, ocê corre 00 m de oeste para leste (o tido do eio +O) com ma elocidade média de 5.0 m/s e a segir corre 80 m de leste para oeste com ma elocidade média de 4.0 m/s até m poste. Calcle (a) sa elocidade escalar do pilar até o poste: (b) o módlo do elor elocidade média do pilar até o poste..5 (a) Se carro elho pode deoler ma elocidade média de 8.0 m/s drante 60 s. a segir melhorar o desempenho e ma elocidade média de 0,0 m/s drante 60 s. Calcle sa elocidade média para o interalo total de 10 s. (b) Sponha qe a elocidade de 8.0 m/s seja mantida drante m deslocamento de 40 m, segido de ma elocidade média de 0.0 m/s em otro deslocamento de 40 m. Calcle a elocidade média para o deslocamento total, (c) Fim qal dos dois casos a elocidade escalar do percrso total é igal à média das das elocidades escalares?.6 Um carro percorre m trecho retilíneo ao longo de ma estrada. Sa distância a m sinal de parada é ma fnção do tempo dada por: 3 t t t, onde = l.50 m/s e = m/s 3. Calcle a elocidade média do carro para os segintes interalos de tempo: (a) t = 0 até t =.00 s; (b) t = 0 até t = 4.00 s; (c) t = s até t = 4.00 s. SEÇÃO.3 VELOCIDADE INSTANTÂNEA.7 Um carro pára em m semáforo. A segir ele percorre m trecho retilíneo de modo qe sa distância ao sinal é dada por : 3 t b t c t, onde b =.40 m/s e c = 0.10 m/s 3 ; (a) Calcle a elocidade média do carro para o interalo de tempo t = 0 até t = 10.0 s. (b) Calcle a elocidade instantânea do carro para (i) t = 0 (ii) t = 5.0 s (iii) t = 10,0 s (c) Qanto tempo após partir do reposo o carro retorna noamente ao reposo?.8 Uma professora de física sai de sa casa e se dirige a pé para o camps. Depois de 5 min começa a choer e ela retorna paracasa. Sa distância da casa em fnção do tempo é indicada pelo gráfico da Figra.5. Em qal dos pontos indicados sa elocidade e (a) zero? (b) constante e positia? (c) constante e negatia? (d) crescente em módlo? (e) decrescente em módlo? FIGURA 1 - Problema.8 4

25 Física 1 Capítlo 1 Sistemas de Unidades, Grandezas e Medições Prof. Dr. Cládio. Sérgio Sartori. SEÇÃO 4 ACELERAÇÃO INSTANTÂNEA ACELERAÇÃO MÉDIA.9 Em m teste de m noo modelo de atomóel da empresa Motores Incríeis, o eloeímetro é calibrado para ler m/s em ê de km/h. A série de medidas a segir foi registrada drante o teste ao longo de ma estrada retilínea mito longa: Tempo (s) Velocidade (m/s) (a) Calcle a aceleração media drante cada interalo de.0 s. A aceleração é constante? Ela é constante em algm trecho do teste? (b) Faça m gráfico -t dos dados tabelados sando escalas de l cm = l s no eio horizontal e de l cm = 1 s no eio ertical. Dehe ma cra entre os pontos piotados. Medindo a inclinação dessa cra, calcle a aceleração instantânea para os tempos t = 9 s, t = 13 s e t = 15 s..10 A Figra.6 mostra a elocidade em fnção do tempo de m carro moido a energia solar. O motorista acelera a partir de m sinal de parada e se desloca drante 0 s com elocidade constante de 60 km/h, e a segir pisa no freio e pára 40 s após sa partida do sinal. Calcle sa aceleração média para os segintes interalos de tempo: (a) t = 0 até t = 10 s; (b) t = 30 s até t = 40 s; (c) t = 10 s até t = 30 s; (d) t = 0 até t = 40 s. c (km/li) FIGURA - Eercícios.10 e.l l..11 Tome como referência o Eercício. IO c a Figra.6. (a) Em qal interalo de tempo a aceleração instantânea a possi se maior alor positio? (b) Em qal interalo de tempo a aceleração instantânea possi se maior alor negatio? (c) Qal é a aceleração instantânea a para t = 0 s? (d) Qal é a aceleração instantânea a para t = 35 s? (e) Faça m diagrama do moimento (como o da Figra. (f) mostrando a posição, a elocidade e a aceleração do carro para os tempos t =5 s, t = 15 s, t =5 s t = 35 s..1 Um astronata sai da Estação Espacial Internacional para testar m noo eíclo espacial. Se companheiro permanece a bordo e registra as segintes ariaçóes de elocidade, cada ma ocorrendo em interalos de 10 s. Determine o módlo, a direção eo tido da aceleração média cm cada interalo. Sponha qe o tido positio seja da direita para a esqerda, (a) No início do interalo o astronata se moe para a direita ao longo do eio +O com elocidade de 15,0 m/s e no final do interalo ele se moe para a direita com elocidade de 5.0 m/s. (b) No início do interalo o astronata se moe a 5.0 m/s para a esqerda e no final se moe para a esqerda com elocidade de 15.0 m/s. (c) No início do interalo ele se moe para a direita com elocidade de 15.0 m/s e no final se moe para a esqerda com elocidade de 15,0 m/s..13 (a) Com base em sa eperiência de dirigir m atomóel, estime o módlo da aceleração média de m carro qando pisa forte no freio em ma pista de alta elocidade até ma parada repentina, (b) Epliqe por qe essa aceleração média poderia ser considerada positia o negatia. tempo é dada por.14 A elocidade de m carro em fnção do t Onde = 3.00 m/s e = 0.1 m/s 3 (a) Calcle a aceleração média do carro para o interalo de tempo de t = 0 a t = 5,00 s. (b) Calcle a aceleração instantânea para (i) t = 0s; (ii) t = 5,00 s. (c) Dehe gráfi acrados -t e a-t para o moimento do carro entre t = 0 e t = 5,00 s..15 A Figra 3 mostra a coordenada de ma aranha qe se desloca lentamente ao longo do eio 0 (a) Faça m gráfico de sa elocidade e aceleração em fnção do tempo, (b) Faça m diagrama do moimento mostrando a posição, a elocidade e a aceleração da aranha para cinco tempos: t 1 =,5 s, t = 10 s, t 3 = 0 s, t 4 = 30 s e t 5 = 37.5 s. t 5

26 Física 1 Capítlo 1 Sistemas de Unidades, Grandezas e Medições Prof. Dr. Cládio. Sérgio Sartori. (t) (m) Parábola FIGURA 3 Eercício.15. Linha Parábola Linha reta reta Parábola t(s).16 Um microprocessador controla a posição do pára-choqe dianteiro de m carro sado em m teste. A posição é dada pela eqação 6 6 t.17 m 4.80 m s t 0.1m s t Determine: (a) sa posição e aceleração para os instantes em qe o carro possi elocidade zero. (b) Dehe gráfi -tl, -t e a-t para o moimento do pára-choqe entre t =0 e t =.00 s. SEÇAO.5 MOVIMENTO COM ACELERAÇÃO CONSTANTE.17 Um antílope qe se moe com aceleração constante lea 7.00 s para percorrer ma distância de 70.0 m entre dois pontos. Ao passar pelo segndo ponto, sa elocidade é de 15,0 m/s. (a) Qal era sa elocidade qando passaa pelo primeiro ponto? (b) Qal era sa aceleração?.0 Um aião precisa de 80 m de pista para atingir a elocidade necessária para decolagem. Se ele parle do reposo, se moe com aceleração constante e lea 8.0 s no percrso, qal é sa elocidade no momento da decolagem?.1 Um carro está parado na rampa de acesso de ma ato-cstrada. esperando ma diminição do tráfego. O motorista erifica qe eiste m espaço azio entre m caminhão com l8 rodas e ma caminhonete e acelera se carro para entrar na atoestrada. O carro parte do reposo, se moe ao longo de ma linha reta e atinge ma elocidade de 0 m/s no final da rampa de 10 m de comprimento, (a) Qal e a aceleração do carro? (b) Qanto tempo ele lea para percorrer a rampa? (c) O tráfego na ato-estrada se moe com ma elocidade constante de 0 m/s. Qal é o deslocamento do tráfego enqanto o carro atraessa a rampa?. A Figra 4 foi dehada para moimento com aceleração constante com alores positios de 0, 0 e a. Refaça essas qatro figras para os segintes casos: (a) 0 < 0; 0 < 0 e a < 0. (b) 0 > 0; 0 < 0 e a > 0. (c) 0 > 0; 0 > 0 e a < 0. FIGURA 4 Eercício Ao ser lançado pela cataplta da plataforma de m porta-aióes. m caça a jato atinge a elocidade de decolagem de 70 km/h em ma distância aproimada de 90 m. Sponha aceleração constante, (a) Calcle a aceleração do caça em m/s. (b) Calcle o tempo necessário para o caça atingir essa elocidade de decolagem..19 Airbag de Atomóel. O corpo hmano pode sobreier a m trama por acidente com aceleração negatia (parada súbita) qando o módlo de aceleração é menor do qe 50 m/s (cerca de 5g'). Sponha qe ocê sofra m acidente de atomóel com elocidade de 105 km/h e seja amortecido por m airbag qe se infla atomaticamente. Qal dee ser a distância qe o airbag se deforma para qe ocê consiga sobreier?

27 Física 1 Capítlo 1 Sistemas de Unidades, Grandezas e Medições Prof. Dr. Cládio. Sérgio Sartori. (b) Faça m diagrama do moimento mostrando aposição, a elocidade e a aceleração do carro..5 O gráfico da Figra 5 mostra a elocidade da motocicleta de m policial em fnção do tempo, (a) Calcle a aceleração instantânea para t = 3 s, t = 1 s e t = l l s. (b) Qal foi o deslocamento do policial nos 5 s iniciais? E nos 9 s iniciais? E nos 13 s iniciais?.6 O gráfico da Figra.9 mostra a aceleração de m modelo de locomotia qe se moe no eio O. Faça m gráfico da elocidade e da posição sabendo qe = 0 e = O para t = 0. 7 FIGURA 5 Eercício.5.3 No instante t = 0 m carro está se moendo ao longo de ma ato-estrada no Estado de São Palo com ma elocidade constante de 30 m/s. Esse moimento contina drante 0 s. A segir, para não atrapalhar o tráfego, o motorista resole acelerar com ma taa constante, eleando a elocidade do carro até 40 m/s. Q carro se moe drante 10 s com esta noa elocidade. Porem o motorista aista m policial em ma motocicleta escondido atrás de ma árore e dimini sa elocidade com ma taa constante de 4.0 m/s ale qe a elocidade do carro se redz ao limite legal de 30 m/s. Ele então mantém essa elocidade e acena para o policial qando passa por ele 5 s mais tarde, (a) Para o moimento do carro desde o instante t = O até o momento em qe ele cr/.a com o policial, dehe gráfi acrados -t. -t e a-t. (b) Faça m diagrama do moimento mostrando a posição, a elocidade e a aceleração do carro..4 Para t = 0 m carro pára em m semáforo. Qando a lz fica erde, o carro começa a acelerar com ma taa constante. Eleando sa elocidade para 0 m/s, 8 s depois de a lz ficar erde, ele se moe com essa noa elocidade por ma distância de 60 m. A segir, o motorista aista ma lz ermelha no crzamento seginte e começa a diminir a elocidade com ma taa constante. O carro pára no sinal ermelho a l80 m da posição para t = 0. (a) Para o moimento do carro, dehe gráfi acrados de -t, -t e a-t..7 Uma espaçonae se dirige em linha reta para a Base Lnar I sitada a ma distância de km da Terra. Sponha qe ela acelere 0,0 m/s drante os primeiros 15.0 mintos da iagem e a segir iaje com elocidade constante até os últimos 15.0 mintos, qando acelera a -0,0 m/s, atingindo o reposo ealamente qando toca a La. (a) Qal foi a elocidade máima atingida? (b) Qal foi a Iração do percrso total drante o qal ela iajo com elocidade constante? (c) Qal foi o tempo total da iagem?.8 Um trem de metro parte do reposo em ma estação acelera com ma taa constante de l.60 m/s drante 14.0 s. Ele iaja com elocidade constante drante 70.0 s e redz a elocidade com ma taa constante de 3,50 m/s até parar na estação seginte. Calcle a distância total percorrida..9 Dois carros, A e R. se moem no eio 0. O gráfico da figra 6 mostra as posições de A e B em fnção do tempo.

28 Física 1 Capítlo 1 Sistemas de Unidades, Grandezas e Medições Prof. Dr. Cládio. Sérgio Sartori. (a) Faça m diagrama do moimento mostrando a posição, a elocidade e a aceleração do carro para t =0, t = l s e t = 3s. (b) Para qe tempo(s) caso eista algm A e B possem a mesma posição? (c) Faça m gráfico da elocidade contra o tempo para A e B. (d) Para qe tempo(s), caso eista algm, A e B possem a mesma elocidade? (e) Para qe tempo(s), caso eista algm, o carro B passa o carro A? FIGURA 6 Eercício.8.30 Qando ni sinal lminoso fica erde, m carro qe eslaa parado começao moimento com aceleração constante de 3.0 m/s. No mesmo instante, ni caminhão qe se desloca com elocidade constante de 0,0 m/s ltrapassa o carro. ai >ial a distância percorrida a partir do sinal para qiil' o carro ltrapasse o caminhão? (b) Qal é a elocidade do carro no momento em qe ltrapassa o caminhão? (c) Faça m gráfico -t dos moimentos desses dois eíclos. Considere = 0 o ponto de interseção inicial. (d) Faça m gráfico -t dos moimentos desses dois eíclos..31 Um carro se moe com elocidade constante de módlo igal a c. No momento em qe o carro passa por m policial nma motocicleta, a motocicleta e acelerada a partir do reposo com ma aceleração a M, (a) Faça m gráfico -t dos moimentos desses dois eíclos. Mostre qe qando a motocicleta ltrapassa o carro a elocidade da motocicleta e igal ao dobro da elocidade do carro, qalqer qe seja o alor de a M. (b) Seja a distância percorrida pela motocicleta até alcançar o carro. Em lermos de d qal foi a distância percorrida pela motocicleta ate qe sa elocidade fosse igal a do carro? SEÇÃO.6 QUEDA LIVRE DE CORPOS.3 Se a resistência do ar sobre as gotas de cha pdesse sei desprezada poderíamos considerar essas gotas objetos em qeda lire, (a) As nens qe dão origem a chas estão em altras típicas de algmas centenas de metros acima do solo. Estime a elocidade de nia gola de cha ao cair no solo se ela pdesse ser considerada m corpo em qeda lire. Forneça essa estimatia em m/s e km/h. (b) Estime (pela sa eperiência pessoal sobre cha) a elocidade real de nia gola de cha ao cair no solo. (c) Com base nos resltados (a) e (b), erifiqe se e ma boa aproimação desprezar a resistência do ar sobre as gotas de cha. Epliqe..33 (a) Se ma plga pode dar m salto e atingir ma altra de m. qal seria sa elocidade inicial ao sair do solo? (b) Drante qanto tempo ela permanece no ar?.34 Descida na La. Um módlo eplorador da l.a esta posando na Base -lnar l. Ele desce lentamente sob a ação dos retro-proplsores do motor de descida. O motor se separa do modlo qando ele se encontra a 5 m da sperfície lnar e possi ma elocidade para baio igal a 0.8 m/s. Ao se separar do motor, o modlo inicia ma qeda lire. Qal é a elocidade do modlo no instante em qe ele toca a sperfície? A aceleração da graidade na La é igal a l.6 m/s..35 Um teste simples para o tempo de reaçao. Uma réga de medição e mantida erticalmente acima de sa mão com a etremidade inferior entre o polegar e o indicador. Ao er a réga do largada, ocê a segra com estes dois dedos. Se tempo de reaçao pode ser calclado pela distancia percorrida pela réga medida diretameiile pela posição dos ses dedos na escala da réga, (a) Dedza ma relação para se tempo de reaçao em fnção da distância d. (b) Calcle o tempo de reação spondo ma distância medida igal a 17.0 cm..36 Um tijolo e largado (elocidade inicial nla) do alto de m edifício. Ele atinge o solo em.50 8

29 Física 1 Capítlo 1 Sistemas de Unidades, Grandezas e Medições Prof. Dr. Cládio. Sérgio Sartori. s. A resistência do ar pode ser desprezada, de modo qe o tijolo esta em qeda lire, (a) Qal e a altra do edifício? (b) Qal e o modlo da elocidade qando ele atinge o solo? (c) Faça gráfi -t, -t e a-t para o moimento do tijolo,.37 Maria lança se anel erticalmente para cima a partir do telhado de m edilício, a l m acima do solo com maelocidade inicial de 5.0 m/s. Despreze a resistência do ar. Determine o modlo e o tido (a) da elocidade media do anel, (b) da aceleração media do anel (c) Calcle o tempo qe o anel lea para atingir o solo desde o momento em qe ele foi lançado, (d) Qal e a elocidade do anel qando ele atinge o solo? (e) Faça gráfi -t, -t e a-t para o moimento do anel..38 Um balonista de ar qente qe se desloca erticalmente para cima com elocidade constante de modlo igal a 5.0 m/s deia cair m saco de areia no momento em qe ele esta a ma distância de 40.0 m acima do solo (Figra 7). Depois qe ele e largado, o saco de areia passa a se moer em qeda lire, (a) Calcle a posição e a elocidade do saco de areia 0,0 s e l,00 s depois qe ele é largado. (b) Calcle o tempo qe o saco de areia lea para atingir o solo desde o momento em qe ele foi lançado, (c) Qal e a elocidade do saco de areia qando ele atinge o solo? (d) Qal e a altra máima em relação ao solo atingida pelo saco de areia? (e) Faça gráfi -t, -t e a-t para o moimento do saco de areia. FIGURA 7 Eercício.34 e Um estdante no topo de ni edifício joga ma bola com ága erticalmente para baio. A bola deia a mão do estdante com ma elocidade de 6,0 m/s. A resistência do ar é ignorada, de modo qe a bola pode ser considerada em qeda lire após o lançamento, (a) Calcle sa elocidade depois de.0 s de qeda. (b) Qal a distância percorrida nesses.0 s? (c) Qal o modlo da elocidade qando a bola cai 10,0 m? (d) Faça gráfi -t, -t e a t para o moimento..40 Um oo e atirado erticalmente de baio para cima de m ponto próimo da cornija na etremidade sperior de m edifício alto. Ele passa rente da cornija em se moimento para baio, atingindo m ponto a 50.0 m abaio da cornija 5.0 s após ele abandonar a mão do lançador. Despreze a resistência do ar. (a) Calcle a elocidade inicial do oo. (b) Qal a altra máima atingida acima do ponto inicial do lançamento? (c) Qal o módlo da elocidade nessa altra máima? (d) Qal o módlo e o tido da aceleração nessa altra máima? (e) Faça gráfi de -t, -t e a t para o moimento do oo..41 O Sonic Wind N o é ma espécie de trenó moido por m fogete, sado para inestigar os eleitos fisiológi de acelerações eleadas. Fie se desloca em ma pista retilínca com 1070 m de comprimento. Partindo do reposo pode atingir ma elocidade de 4 m/s em s. (a) Calcle a aceleração em m/s spondo qe ela seja constante, (b) Qal a razão entre essa aceleração e a aceleração de m corpo em qeda lire? (c) Qal a distância percorrida cm s? (d) Um artigo pblicado por ma reista afirma qe no final de ma corrida a elocidade desse trenó dimini de S3 km/h ate /ero em 1.40 s e qe drante este interalo de tempo a aceleração e maior qe 40 g. Esses alores são coerentes?.4 Uma pedra grande e epelida erticalmente de baio para cima por m lcão com elocidade inicial de 40.0 m/s Despreze a resistência do ar. (a) Qal e o tempo qe a pedra lea, após o lançamento, para qe sa elocidade seja de 0,0 m/s de baio para cima? (b) Qal o tempo qe a pedra lea após o lançamento, para qe sa elocidade seja de 0,0 m/s de cima para baio? (c) Qando o deslocamento da pedra e igal a zero? (d) Qando a elocidade da pedra e igal a zero? 9

30 Física 1 Capítlo 1 Sistemas de Unidades, Grandezas e Medições Prof. Dr. Cládio. Sérgio Sartori. (e) Qal o módlo e o tido da aceleração enqanto a pedra (i) está se moendo de baio para cima? (ii) esta se moendo de cima para baio? (iii) está no ponto mais eleado da sa trajetória? (f) Faça gráfi -t, -t e a-t para o moimento..43 Sponha qe a aceleração da graidade seja de apenas 0.98 m/s em ez de 9.8 m/s, porém a elocidade inicial para ocê plar o lançar ma bola contina do a mesma, (a) Calcle a altra qe ocê poderia atingir caso desse m salto para cima, sabendo qe a altra atingida pelo salto com g = 9.81 m/s e igal a 0.75 m. (b) Ate qe altra ocê poderia lançar ma bola, caso ocê lançasse a mesma bola ate ma altra de 18 m spondo g = 9.81 m/s? (c) Spondo qe ocê possa plar com segrança de ma janela para ma calçada sitada a ma altra de.0 m da janela, considerando g = 9.8 m/s. calcle a altra máima da janela, considerando o alor redzido da aceleração da graidade. SECAO.7 VELOCIDADE E POSIÇÃO POR INTEGRAÇÃO.44 A aceleração de m ónihs e dada por a() t t onde = l. m/s 3. (a) Se a elocidade do ônibs para t = l.0 s é igal a 5,0 m/s. qal e sa elocidade para (a) t =.0 s? (b) Se a posição do ônibs para t = l.0 s é igal a 6,0 m, qal sa posição para t =.0 s? (c) Faça gráli -t, -te a-t para esse moimento..45 A aceleração de ma motocicleta e dada por a() t A t B t, onde A = l,5 m/s 3 e B = 0.10 m/s 4 A motocicleta está em reposo na origem no instante t = 0. (a) Calcle sa elocidade e posição em fnção do tempo, (b) Calcle a elocidade máima qe ela pode atingir. PROBLEMAS.46 Em ma competição de bicicletas com percrso de 30 km, ocê percorre os primeiros 15 km com ma elocidade media de 1 km/h. Qal dee ser sa elocidade escalar media nos 15 km restantes para qe sa elocidade escalar media no percrso total de 30 km seja de (a) 6 km/h? (b) 18 km/h? (c) Dada a referida elocidade média para os primeiros 15 km. ocê poderia o não atingir ma elocidade escalar media de 4 km/h no percrso total de 30 km? Epliqe..47 A posição de ma partícla entre t = 0 e t =,0 s é dada por: 3 t 3 t 10 t 9 t SI (a) Faça gráfi de -t, -t e a-t para essa partícla, (b) Para qe tempo entre t = 0 s e t =.00 s a partícla está em reposo? O resltado obtido por ocê estado acordo com o gráfico da parte (a)? (c) Para qal tempo calclado na parte (b) a aceleração da partícla e positia o negatia? Mostre qe em cada caso podemos obter a mesma resposta pelo grafico -t o pela fnção a(t). (d) Para qe tempo(s) entre t = 0 e t =.00 s a elocidade da partícla não aria instantaneamente? Localize esse ponto nos gráli a-t e -t da parte (a). (e) Qal a maior distancia entre a partícla e a origem ( = 0) no interalo entre t = 0 e t =.00 s? (f) Para qe tempo(s) entre t = 0 e t =.00 s a partícla está diminindo de elocidade com a maior taa? Para qe tempo(s) entre t = 0 e t =.00 s a partícla está amentando a elocidade com a maior taa? Localize esses pontos nos gráli -t e a-t da parte (a)..48 Em ma gincana, cada concorrente corre 5.0 m transportando m oo eqilibrado em ma colher, dá a olta e retorna ao ponto de partida. Elaine corre os primeiros 5.0 m em 0,0 s. Qando olta, ela se te mais segra e lea apenas 15.0 s. Qal o módlo do etor elocidade media para (a) os 5.0 m? (b) a iagem de olta? (c) Qal o módlo do etor elocidade média no percrso lodo qando ela olta ao ponto de partida? (d) Qal e a elocidade escalar média no percrso lodo qando ela olta ao ponto de partida?.49 Daniel dirige na Estrada I-SO em Seward. no Estado de Nebraska e sege por m trecho retilíneo de leste para oeste com ma elocidade média com módlo igal a 7 km/h. Depois de percorrer 76 km. ele atinge a saída de Arora. Percebendo qe ele foi longe demais, retorna 34 km de oeste para leste até a saída parayork com ma elocidade média com módlo igal a 7 km/h. Para a iagem total desde Seward até a saída de York, qal é: 30

31 Física 1 Capítlo 1 Sistemas de Unidades, Grandezas e Medições Prof. Dr. Cládio. Sérgio Sartori. (a) sa elocidade escalar média? (b) o modlo do etor elocidade média?.50 Tráfego em ma ato-estrada. De acordo com m artigo (da reista Scientific American (maio de 1990) circlam normalmente em ma atoestrada americana cerca de 400 eíclos por hora em cada pista com elocidade de 96 km/h para m tráfego considerado reglar. Depois desse limite o flo do tráfego começa a ficar "trblento" (com aceleraçóes e paradas). (a) Se cada eíclo possi comprimento aproimadamente igal a 4.6 m. qal é o espaçamento médio entre os eíclos para a densidade do tráfego mencionado? (b) Um sistema atomático para eitar colisões qe opera com sinais de radar o sonar. e qe pode acelerar o parar m eíclo qando necessário, poderia redzir sielmente a distância entre os eíclos. Spondo ma distância de 9, m (igal a dois comprimentos de carro), qantos eíclos por hora poderiam circlar em cada pista com elocidade de 96 km/h? FIGURA 8 - Problema.49. distancia do topo e,00 s mais tarde esta a 57,6 m de distância do topo. (a) Qal o módlo da elocidade média do trenó drante cada m dos interalos de,0 s depois de passar pelo ponto a 14.4 m de distância do topo? (b) Qal a aceleração do trenó? (c) Qal a elocidade escalar do trenó qando ele passa pelo ponto a 14,4 m de distancia do topo? (d) Qanto tempo ele lea para ir do topo até o ponto a 14.4 m de distância do topo? (e) Qal a distância percorrida pelo trenó drante o primeiro segndo depois de passar pelo ponto a 14,4 m de distância do topo?.53 Um carro de 3.5 m de comprimento se desloca com elocidade constante de 0 m/s aproimando-se de ni cr/amenio (Figra 9). A largra do crzamento é de 0 m. A lz do sinal fica amarela qando a frente do carro esta a 50 m do início do crzamento. Qando o motorista pisa no freio, o carro dimini de elocidade com ma taa igal a -3,8 m/s. Se em êz de pisar no freio o motorista pisar no acelerador, o carro amenta de elocidade com ma taa igal a.3 m/s. A lz fica amarela drante 3,0 s. Despreze o tempo de reação do motorista. Para eitar qe o carro fiqe no espaço do crzamento, o motorista dee pisar no freio o no acelerador? Um elocista pode acelerar ate sa elocidade máima em 4.0 s. Ele então mantém esta elocidade drante o trajeto restante em ma competição de 100 m, terminando a corrida com m tempo total de 9, l s. (a) Qal a aceleração media do elocista drante os 4,0 s iniciais? (b) Qal sa aceleração média drante os últimos 5,1 s? (c) Qal sa aceleração média drante a corrida toda? (d) Epliqe por qe sa resposta do item (c) não é a média das respostas (a) e (b)..5 Um trenó esta em reposo no alto de ma montanha e escorrega para baio com aceleração constante. Em m dado instante está a 14,4 m de distancia do topo;,00 s mais tarde está a 5,6 m de distância do topo;.00 s mais tarde está a 40,0 m de FIGURA 8 - Problema O maqinista de m trem de passageiros qe iaja com elocidade = 5.0 m/s aista m trem de carga cja traseira se encontra a 00,0 m de distância da frente do trem de passageiros (Figra 9). O trem de carga se desloca no mesmo tido do trem de passageiros com elocidade = 15,0 m/s. O maqinista imediatamente aciona o freio, prodzindo ma aceleração constante igal a m/s, enqanto o trem de carga contina com a mesma elocidade. Considere t = 0 como o local onde se encontra a frente do trem de passageiros qando o freio é acionado. (a) As acas das izinhanças assistirão a ma colisão? (b) Caso a resposta anterior seja positia, em qe ponto ocorrera a colisão?

32 Física 1 Capítlo 1 Sistemas de Unidades, Grandezas e Medições Prof. Dr. Cládio. Sérgio Sartori. (c) Faça m gráfico simples mostrando a posição da frente do trem de passageiros e a traseira do trem de carga. FIGURA 10 - Problema FIGURA 9 - Problema Uma barala grande pode deoler ma elocidade igal a 1,50 m/s em interalos de tempo crtos. Sponha qe ao ligar lâmpada em m motel ocê aiste ma barata qe se moe com elocidade de 1.50 m/s na mesma direção e tido qe ocê. Se ocê está a 0,90 m atras da barata com elocidade de 0.8 m/s, qal dee ser sa aceleração mínima para qe ocê alcance a barata antes qe ela se esconda embaio de m móel sitado a 1,0 m da posição inicial dela?.56 Considere a sitação descrita no Eemplo.5. O eemplo é ligeiramente irreal, porqe se o policial está acelerado ele dee ltrapassar o motorista. Em ma persegição real. ele dee ltrapassar o motorista e depois diminir a elocidade para ficar com a mesma elocidade do motorista. Sponha qe o policial do Eemplo.5 acelere sa motocicleta a partir do reposo com aceleração de.5 m/s ate qe sa elocidade seja de 0 m/s. Ele dimini sa elocidade com ma taa constante ale se emparelhar com o carro para = 360 m deslocando-se com a mesma elocidade do carro de 15.0 m/s. (a) Qal o tempo necessário para o policial se emparelhar com o carro? (b) Qal o tempo no qal o policial deia de acelere e passa a diminir de elocidade? Nesse instante, qal a distância entre o policial e o sinal? Qal a distância entre ele e o carro nesse instante? (c) Encontre a aceleração do policial qando sa elocidade dimini. (d) Dehe m diagrama -t para os dois eíclos. (e) Dehe m diagrama -t para os dois eíclos..57 Um atomóel e m caminhão partem do reposo no mesmo instante, estando o atomóel ma certa distância atrás do caminhão. O caminhão possi aceleração constante de.10 m/s e o atomóel tem aceleração de 3.40 m/s. O atomóel ltrapassa o caminhão depois qe o caminhão se desloco 40,0 m. (a) Qal o tempo necessário para qe o atomóel ltrapasse o caminhão? (b) Qal era a distância inicial entre o atomóel e o caminhão? (c) Qal a elocidade desses eíclos qando eles estão lado a lado? (d) Em m único diagrama, dehe a posição de cada eíclo em fnção do tempo. Considere = 0 como a posição inicial do caminhão..58 Dois motoristas mal resolem dirigir ni de encontro ao otro. No instante t = 0 a distância entre os dois carros é D e o carro l esta em reposo e o carro se moe da direita para a esqerda com elocidade 0. O carro l começa a acelerar a partir de t = 0 com aceleração constante a. O carro contina a se moer com elocidade constante, (a) Em qe instante ocorrerá a colisão? (b) Ache a elocidade do carro l imediatamente antes de colidir com o carro. (c) Faça diagramas -t e -t para o carro l e para o carro. Dehe cras para cada eíclo sando o mesmo eio..59 Em se Mstang. José contorna ma cra e atinge ma estrada retilínea no campo enqanto se desloca a 0 m/s e aista m trator qe espalha adbo bloqeando completamentc a pista a ma distância de 37 m a sa frente. Srpreso, ele pisa no freio depois de 0.80 s de tempo de reação, consegindo parar bem próimo do tralor. Considerando o mesmo