Introdução aos conceitos de medidas. Prof. César Bastos

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1 Introdução aos conceitos de medidas. Prof. César Bastos Prof. César Bastos 2009 pág. 1

2 Medidas 1.1 Sistema Internacional de Unidades Durante muito tempo cada reino estabelecia suas unidades (padrões) de medidas e o comércio entre os países era baseado em tabelas de conversões de padrões. Muitas das unidades eram estabelecidas arbitrariamente pelo rei e quase sempre eram derivadas das partes do corpo do rei: jarda, pé, polegadas... Considera-se uma das mais significativas contribuições da Revolução Francesa a assinatura do decreto de 7 de abril de 1795 estabelecendo o sistema métrico decimal e definindo originalmente o metro como sendo 10-7 da distância entre o Pólo Norte e o Equador terrestre. Hoje em dia o comércio entre os países é realizado utilizando-se um sistema internacional de unidades (SI). No SI a medida de distância é o metro (m), a medida de massa é o quilograma (kg) e a medida de tempo é o segundo (s) por essa razão o SI também é conhecido como sistema MKS. Fig 1: padrões de medidas As conversões de unidades mais utilizadas com base no Sistema Internacional são: Tempo de hora para segundos 1 h = 3600 s Distância de metro para centímetros 1 m = 100 cm Massa de quilograma para grama 1kg = 1000 g Complete: a) 2,0 h = s h) 20 cm = m b) 3,5 h = s i) 5,0 kg = g c) 0,5 h = s j) 1,5 kg = g d) 1/4 h = s k) 450,0 g = kg e) 3,0 m = cm l) 20,0 g = kg f) 2,5 m = cm m) 500,0 g = kg g) 0,5 m = mm n) 1000,0 g = kg Prof. César Bastos 2009 pág. 2

3 Tabelas de conversão de Unidades As tabelas abaixo apresentam os fatores de conversão entre as unidades mais utilizadas no cotidiano. Essas unidades estão divididas em 7 categorias: comprimento, área, volume, massa & peso, pressão, velocidade e temperatura. CATEGORIA COMPRIMENTO DE PARA CONVERTER PARA MULTIPLICAR POR in (inches, polegadas, ") cm (centímetros) 2,54 ft (pés, ') m 0,3048 fathoms ft (pé, ') 6,0 km mi (milhas terrestres) 0,6214 km nmi (milhas náuticas) 0,5396 léguas (marítimas) nmi (milhas náuticas) 3,0 m ft (pés, ') 3,281 m yd (yards, jardas) 1,094 mi (milhas terrestres) km 1,609 nmi (milhas náuticas) km 1, yd (jardas) m 0,9144 yd (jardas) ft (pés, ') 3,0 CATEGORIA ÁREA DE PARA CONVERTER PARA MULTIPLICAR POR cm 2 sq in 0,1550 km 2 sq mi 0,3861 sq ft m 2 0,09290 sq in cm 2 6,452 sq mi km 2 2,590 sq yd sq ft 9,0 sq yd m 2 0,8361 CATEGORIA DE PARA CONVERTER PARA MULTIPLICAR POR Prof. César Bastos 2009 pág. 3

4 VOLUME cu ft (pés cúbicos) l (litros) 28,32 galões (EUA) l (litros) 3,785 l (litros) cu ft (pés cúbicos) 0,03531 l (litros) cu in (polegadas cúbicas) 61,02 l (litros) m 3 (metros cúbicos) 0,001 l (litros) galões (EUA) 0,2642 l (litros) pints 2,113 fl oz (onças flúidas) l (litros) 0,02957 Pints l (litros) 0,4732 CATEGORIA VELOCIDADE DE PARA CONVERTER PARA MULTIPLICAR POR ft/s (pés por segundo) m/min (metros por minuto) 18,29 km/h mph (mi/h, milhas por hora) 0,6214 kt (knots, nós, milhas náuticas por hora) km/h 1,8532 mph (milhas por hora) km/h 1,609 CATEGORIA MASSA & PESO DE PARA CONVERTER PARA MULTIPLICAR POR Kg lb (pounds, libras) 2,205 lb (pounds, libras) oz (onças) 16,0 lb (pounds, libras) kg 0,4536 oz (onças) lb (pounds, libras) 0,0625 oz (onças) g (gramas) 28, CATEGORIA PRESSÃO DE PARA CONVERTER PARA MULTIPLICAR POR Atm mmhg 760,0 Atm kgf/cm 2 1,033 Atm psi 14,70 Bar atm 0,9869 bar psi 14,50 inhg atm 0,03342 psi atm 0,06802 psi bar 0,06897 psi kgf/cm 2 0,07027 Prof. César Bastos 2009 pág. 4

5 psi mmhg 51,7 Fonte: Tabela de conversão entre as escalas Celsius, Fahrenheit e Kelvin ºC ºF ºC ºF ºC ºF Exercícios 1.1 Complete utilizando as tabelas de conversão de medidas: a) 1 polegada = cm b) 29 polegadas = cm c) 10 Km = milhas terrestres d) 20 léguas = milhas náuticas e) 11 jardas = m f) 2,5 m = cm g) 0,5 m = mm h) 20 cm = m Prof. César Bastos 2009 pág. 5

6 i) 5 galões = l j) 1000 l = m³ k) 5000 l = m³ l) 100 km/h = mph m) 60 mph = km/h n) 10 kg = lb o) 500 lb = kg p) 5 atm = mmhg q) 10 Bar = atm r) 30 psi = bar s) 1 km = cm t) 20 cm = km u) 40 cm = m v) 37 cm = mm w) 2 km = mm x) 21 m = cm 1.2 Potências de 10 Muitas vezes precisamos trabalhar com números com muitos algarismos, múltiplos ou submúltiplos de 10: ou 0, Para facilitar a representação e operações com esses números utilizamos o conceito de potências de 10: são valores múltiplos ou submúltiplos de 10 (10 2, 10 3, 10 4, ) Exemplos: 1000 = ,001 = = , = = ,008 = Operações com potências de 10 Adição/subtração: Para somar potências de 10, precisamos transformar todas as parcelas de modo que fiquem iguais a menor potência, em seguida, colocamos a potência de 10 em evidência e, finalmente realizamos a operação: 2.10² ³ =? 1 passo (transformação) 2.10² ² = 2 passo (evidência) 10². ( ) = 3 passo (operação) ² 4, assim 2.10² ³ = ou 4, Multiplicação/divisão: Para multiplicar potências de 10, precisamos multiplicar os números que multiplicam as potências e somar as potências: regra a10 m. b10 n = ab. 10 m+n Prof. César Bastos 2009 pág. 6

7 exemplo: 2.10² x 4.10³ =? 1 passo (transformação) 2x = 2 passo (operação) 2x = assim 2.10² x 4.10³ = Potenciação: Para elevar um termo com potência de 10 é necessário multiplicar as potências: regra (a.10 m ) n = a n. 10 m.n exemplo : ( ) 4 =? 1 passo (transformação) ( ) 4 = 2 4 x 10 3x4 2 passo (operação) 2 4 x 10 3x4 = assim ( ) 4 = Exercícios 1.2 Complete: a) 3.10² ³ = b) 3.10² x 4.10³ = c) x = d) ³ = e) 4.10² ³ = f) x = g) x = h) ³ = i) = 1.3 Notação Científica O Ato de medir faz parte do nosso cotidiano. No laboratório de Física realizaremos várias medidas, comparando uma grandeza com um padrão de medidas. Grandeza: é tudo aquilo que podemos comparar com um padrão de medidas, realizando uma medida. Tempo, espaço, velocidade, temperatura, massa e volume são exemplos de grandezas físicas. Para representar as medidas e os números com muitos algarismos utilizaremos uma notação especial criada para o meio científico, Notação Científica: Prof. César Bastos 2009 pág. 7

8 Qualquer número N pode ser representado como um produto de um número m, entre 1 e 10, por outro, que é uma potência de dez, 10 p. N = m. 10 p Exemplos: 300 = = 8, , = 2, Ao realizar uma operação com muitos algarismos, como por exemplo: ( x ) a representação em Notação científica facilita a resolução. 1, x ,2 x 5 x Exercícios Coloque as medidas abaixo em notação científica: a) h = b) 350 kg = c) 0,5 m = d) 0,0002 m = e) m = f) 0, m = g) 0,750 m = h) 20,0200 cm = i) 51,0 kg = j) 1,500 kg = k) 8500,0 g = l) ,0 g = Exercícios Escreva as medidas abaixo com todos os seus algarismos: a) 1, m = b) 2, m = c) 5, km = d) 3, mm = Prof. César Bastos 2009 pág. 8

9 e) 9, m = f) 4, dam = g) 6, km = h) 5, hm = i) 1, m = j) 2, cm = k) 7, mm = l) 8, dm = m) 9, mm = n) 1, cm = 1.4 Ordem de Grandeza Muitas vezes precisamos fazer uma estimativa para avaliar uma quantidade que não sabemos o valor exato. Isso acontece, por exemplo, quando precisamos comprar bebidas para uma festa. Não sabemos precisar quantas latinhas de refrigerante cada convidado irá beber, mas temos que fazer uma estimativa para comprar bebida para todos. Nesse caso fazemos uma avaliação, por média, de quanto cada pessoa deve beber e compramos uma quantidade equivalente ao número de convidados. Para facilitar o cálculo estimado utilizamos o conceito de potências de dez: são valores múltiplos e submúltiplos de dez (10-3, 10-2, 10 3, 10 4, ) Exemplo: Para uma festa com 15 convidados, podemos estimar que cada convidado beberá, em média, 6 latinhas de refrigerante. Assim o consumo total será estimado em 15 x 6 = 90 latinhas 9, latinhas. Podemos então comprar 100 latinhas de refrigerante para a festa, pois a potência de 10 que melhor representa esse valor é Determinando a Ordem de Grandeza (O.G.) de alguns números: a) = logo a O.G. = 10 5 b) = logo a O.G. = 10 4 c) 0,0002 = logo a O.G. = 10-4 d) 0,0008 = logo a O.G. = 10-3 e) 0,06 = logo a O.G. = 10-1 f) 6700 = 6, logo a O.G. = 10 4 Prof. César Bastos 2009 pág. 9

10 Vamos considerar 3,16 como o valor médio, pois 10 1/2 = 10 3,16. Portanto se um número for maior que 3,16 a sua ordem de grandeza será a potência seguinte, Por exemplo: 400 = 4 x 10 2 como 4 > 3,16 a ordem de grandeza será = 2 x 10 2 como 2 < 3,16 a ordem de grandeza será Exercícios 1.4 Determine a O.G. dos seguintes números: a) = b) 350 = c) 0,5 = d) 0,0002 = e) = f) 0, = g) 0,750 = h) 20,0200 = i) 51,0 = j) 1,500 = k) 8500,0 = l) ,0 = m) ,0 = n) 9500,0 = o) 520,0 = p) 81,50 = q) 285,00 = r) ,0 = s) 52,85000 = t) 7,8500 = u) 17,430 = v) 521,85 = x) 71,3500 = z) 9,300 = Problemas: 1) Qual a ordem de grandeza do número de alunos das 5 turmas do 9º ano, sabendo-se que cada turma tem em média 38 alunos? 2) Qual a ordem de grandeza do número de segundos contidos em 1 hora? 3) Qual a ordem de grandeza da população do Brasil? Prof. César Bastos 2009 pág. 10

11 4) Qual a ordem de grandeza da massa de um homem adulto: a) em kg b) em g 5) Qual a ordem de grandeza da altura de um homem: a) em m b) em cm 6) Calcule a ordem de grandeza do comprimento, em metros, das canetas de todos os alunos de sua sala quando colocadas uma após a outra pela extremidade. (considere 1 caneta por aluno) 7) Qual a ordem de grandeza da voltagem da tomada de sua casa? 8) Uma pessoa digita 5 letras por segundo, qual a ordem de grandeza do número de letras digitadas por esta pessoa em duas horas? 9) Em um pedágio passam 20 carros por minuto, qual a ordem de grandeza do número de carros que passam neste pedágio em um dia? 10) Uma enciclopédia contém 22 volumes, cada volume contém 145 páginas, em média. Qual a ordem de grandeza do número de páginas contidas nesta enciclopédia? 1.5 Algarismos Significativos Em um laboratório de Física realizamos muitas experiências. Em cada experiência realizamos várias medidas de grandezas físicas (exemplo: tempo, distância, velocidade, massa, temperatura entre outras) que nos permite concluir o relatório de cada experimento. Quando realizamos uma medida estamos comparando o que se quer medir (uma grandeza física) com um padrão de medidas. Durante muito tempo cada país estabelecia suas unidades (padrões) de medidas e o comércio entre os países era baseado em tabelas de conversões de padrões. Muitas das unidades eram estabelecidas arbitrariamente pelo rei e quase sempre eram derivadas das partes do corpo do rei: jarda, pé, polegadas etc. Considera-se uma das mais significativas contribuições da Revolução Francesa a assinatura do decreto de 7 de abril de 1795 estabelecendo o sistema métrico decimal e definindo originalmente o metro como sendo 10-7 da distância entre o pólo e o Equador terrestre. Hoje em dia o comércio entre os países é realizado utilizando-se um sistema internacional de unidades (S.I.). No S.I. a medida padrão de distância é o metro (m), a medida padrão de massa é o quilograma (kg) e a medida padrão de tempo é o segundo (s) por essa razão o S.I. também é conhecido como sistema M.K.S. Como devemos expressar corretamente uma medida? Prof. César Bastos 2009 pág. 11

12 Uma das grandes dificuldades presentes quando trabalhamos em laboratórios de Física, sem dúvida é a determinação da precisão de uma medida. A precisão pode ser comprometida pela qualidade do instrumento utilizado ou pelo processo utilizado nas medições das grandezas físicas. 18 mm 18 mm 18 mm 18 mm 19 mm 19 mm 18 mm 18 mm 19 mm 19 mm 19 mm 19 mm Suponhamos que dois grupos de 6 alunos tenham medido o diâmetro de uma moeda utilizando uma régua milimetrada. Os alunos registraram as suas medidas em duas tabelas: tabela 1.1 tabela 1.2 Média na tabela 1.1 = 18, mm e na tabela 1.2 = 18, mm Observando as medidas apresentadas nas tabelas surge uma dúvida: Como expressar corretamente o diâmetro da moeda: 18 mm, 19 mm ou valor utilizando as médias das medidas de cada grupo? Não podemos atribuir valores arbitrariamente para as medidas, devemos utilizar critérios para escrever corretamente as medidas das grandezas físicas. Existem várias maneiras de representar medidas físicas. No exemplo anterior todas as medidas possuem 2 algarismos, portanto não tem sentido utilizar uma representação com 8 algarismos para a medida do diâmetro da moeda. Observamos que existe uma dúvida no segundo algarismo (8 ou 9), por isso ele é considerado algarismo duvidoso. Utilizamos um critério de aproximação ou arredondamento do número até o primeiro algarismo duvidoso. Dessa forma a representação correta da medida do diâmetro da moeda pela tabela 1 é de 18 mm e pela tabela 2 de 19 mm. As medidas dos 2 grupos deverão ser expressas com todos os algarismos corretos e apenas com um algarismo avaliado (também chamado de algarismo duvidoso). Os Algarismos Significativos são utilizados para representar medidas. Sempre que alguém estiver realizando uma medida terá que avaliar um algarismo. Como essa avaliação contém uma dúvida dizemos que o último algarismo de todas as medidas realizadas por uma pessoa é o algarismo duvidoso (estão sublinhados nos exemplos a seguir). 12,35 m 100,2 km 20,5 C 45,6 s Operações com algarismos significativos Ao efetuar as operações com medidas, utilizando algarismos significativos, devemos respeitar algumas regras básicas: 1. O resultado de qualquer operação, com algarismos significativos, só apresenta um algarismo duvidoso, o último. Prof. César Bastos 2009 pág. 12

13 Exercícios A operação entre um algarismo correto e um duvidoso resulta em um algarismo duvidoso. 3. Para Adição e Subtração, devemos realizar as operações utilizando os métodos tradicionais e no final representar o resultado com o menor número de casas decimais, garantindo assim apenas um algarismo duvidoso no resultado. 4. Para Multiplicação e Divisão, devemos realizar as operações utilizando os métodos tradicionais e no final representar o resultado com o menor número de algarismos significativos, garantindo assim apenas um algarismo duvidoso no resultado. 1 - Escreva o resultado das operações abaixo utilizando somente algarismos significativos: a) S = (8,82 cm + 8,83 cm + 8,85 cm + 8,81 cm + 8,86 cm) 5 = b) J = 5,82 cm x 3,0 cm = c) H = (3,42 cm + 3,839 cm) x 2,00 cm = 2 - Um carrinho, durante uma experiência realizada no laboratório de Física, deixou pingar gotinhas de tinta, como mostra a figura 1, S representa o espaço percorrido pelo carrinho nesta experiência. Fig 1 - Medindo com uma régua milimetrada o espaço S. Escreva o valor da medida de S utilizando algarismos significativos: Galileu Galilei e o pêndulo Prof. César Bastos 2009 pág. 13

14 Aos 17 anos Galileu Galilei ( ), italiano filho de uma família pobre de Florença, iniciou seus estudos de Medicina obrigado por seu pai, por ser uma profissão lucrativa. Certa vez, observando as oscilações de um lustre em uma catedral e comparando-as com a contagem do número de batidas de seu próprio pulso. Verificou que embora as oscilações se tornassem cada vez menores, o tempo de cada oscilação permanecia sempre o mesmo. Esse fenômeno é chamado de Isocronismo. Repetindo a experiência em sua casa, usando um pêndulo (uma pedra atada à extremidade de um fio) este resultado foi confirmado, verificando ainda que o tempo de uma oscilação dependia do comprimento do fio. Estas descobertas levaram Galileu a propor o uso de um pêndulo de comprimento padrão para a medida da pulsação de pacientes. O uso deste aparelho tornou-se muito popular entre os médicos da época (não haviam ainda sido inventados os relógios) e motivou Galileu a trocar o estudo de Medicina pelo de Matemática e Ciências. O período T (tempo gasto para completar um ciclo) de um pêndulo pode ser calculado através da relação T = 2π l / g. Onde π = 3,14, g = 9,81 m/s² e l o comprimento do pêndulo. Determinação de g Com um pêndulo e um cronômetro podemos determinar o valor g de qualquer planeta utilizando a relação T=2π l / g. Separando g em função de T e l obtemos a relação g = (4π² l) T², sendo T o período do pêndulo medido no planeta. Tente fazer um pêndulo como o de Galileu e depois meça a aceleração da gravidade! Apresente suas medidas para o seu professor. Prof. César Bastos 2009 pág. 14

15 Dicas para sua experiência: 1º prepare um pêndulo com tamanho aproximadamente de 1m ou maior. 2º coloque o pêndulo para oscilar em pequenos ângulos (para não provocar erros). 3º meça o tempo de 10 oscilações e depois divida por 10, assim você vai achar o tempo de uma oscilação chamado de período (T). 4º anote o valor de l = m. 5º considere π = 3,14. 5º utilize a equação g = (4π² l) T², para determinar o valor de g. g = da Galileu Galilei criou vários instrumentos em seus experimentos, o pêndulo é um dos instrumentos importantes na determinação aceleração da gravidade (g). Prof. César Bastos 2009 pág. 15

16 1.6 Exercícios de revisão do capítulo 1 Sistema Internacional de Unidades Notação Científica Ordem de Grandeza Algarismos Significativos 1. Complete: a) 5,0 h = s e) 6,0 m = cm i) 7,0 kg = g b) 4,5 h = s f) 4,5 m = cm j) 1,8 kg = g c) 0,8 h = s g) 0,5 m = mm k) 800,0 g = kg d) 1/8 h = s h) 30 cm = m l) 50,0 g = kg 2. Coloque as medidas abaixo em notação científica: a) h = c) 0,0009 m = e) 91,0 kg = b) 750 kg = d) 0, m = f) 3,700 kg = 3. Qual a ordem de grandeza do número de segundos contidos em 1 dia? 4. Qual a ordem de grandeza do número de alunos das 4 turmas do 7º ano de um colégio, sabendo-se que cada turma tem em média 45 alunos? 5. O recorde de público no Maracanã foi de 120 mil torcedores. Qual a ordem de grandeza do número máximo de torcedores em um dia de clássico no estádio do Maracanã? a) 10 1 b) 10 2 c) 10 3 d) 10 4 e) 10 5 a) 10 1 b) 10 2 c) 10 3 d) 10 4 e) 10 5 a) 10 4 b) 10 5 c) 10 6 d) 10 7 e) 10 8

17 Respostas dos exercícios Exercícios do capítulo 1 Exercícios 1.1 a) 2,54 cm b) 73,66 cm c) 62,14 milhas terrestres d) 60 milhas náuticas e) 10,06 m f) 250 cm g) 500 mm h) 0,20 m i) 19,92 l j) 1 m³ k) 5 m³ l) 62,14 mph m) 96,54 km/h n) 22,05 lb o) 226,8 kg p) 3800 mm Hg q) atm r) 2,07 bar s) cm ou 10 5 cm t) 0,0002 km ou km u) 0,40 m v) 370 mm w) mm x) 2100 cm Exercícios 1.2 a) 4, b) 1, c) 4, d) 2, e) 5, f) 2, g) 2, h) 5, i) 4, Exercícios a) 2, h b) 3, kg c) 5, m d) 2, m e) 5, m f) 2, m g) 7, m

18 h) 2, cm i) 5, kg j) 1, kg k) 8, g l) 2, g Exercícios a) m b) m c) 5200 km d) 0, mm e) 0, m f) 0,0043 dam g) 680 km h) 0,0054 hm i) 0,0012 m j) 0, cm k) 0,0073 mm l) 8200 dm m) 0, mm n) 0, cm Exercícios 1.4 a) 10 4 b) 10 3 c) 10 0 d) 10-4 e) 10 1 f) 10-2 g) 10 0 h) 10 1 i) 10 2 j) 10 0 k) 10 4 l) 10 7 m) 10 5 n) 10 4 o) 10 3 p) 10 3 q) 10 2 r) 10 7 s) 10 2 t) 10 1 u) 10 1 v) 10 3 w) 10 2

19 x) 10 2 Problemas 1) 10 2 alunos 2) 10 4 seg 3) 10 8 hab 4) 10 2 kg e 10 5 g 5) 10 0 m e 10 2 cm 6) 10 3 canetas 7) 10 2 volts 8) 10 5 letras 9) 10 4 carros 10) 10 4 páginas Exercícios a) 8,83 cm b) 17 cm c) 14,5 cm 2 5,80 mm Exercícios a) s b) s c) 2880 s d) 540 s e) 600 cm f) 450 cm g) 500 mm h) 0,30 m i) 7000 g j) 1800 g k) 0,8 kg l) 0,05 kg 2. a) 9, h b) 7, kg c) 9, m d) 3, f) 9, kg g) 3, kg 3. 1 dia = 8, s O.G. = 10 5 s x 4 = 160 O.G.= 10 2 alunos

20 5. Lotação máxima torcedores O.G.= 10 5 torcedores 6. a) B = 12,17 5,0 = 2,434 resp. 2,4 cm b) C = 31,28 resp. 31 cm² c) I = 8,31 cm x 4,00 cm = 33,2 cm² d) J = 31 cm 2 e) V = 9,4 cm 2 f) W = 19 cm 2 g) H = 41 cm 2 h) M = 67,5 cm 2