entre 12 = 2 3, 30 = e84= 2 3 7, ou seja, = 420 anos. Seja y a quantidade de água na represa, em milhares reta, y 8 8 (t 0) y 3

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1 Questão EXATAS Em uma determinada residência, o consumo mensal de água com descarga de banheiro corresponde a % do consumo total e com higiene pessoal, % do total. No mês de noembro foram consumidos 000 litros de água no total e, da quantidade usada pela residência nesse mês para descarga de banheiro e higiene pessoal, uma adolescente, residente na casa, consumiu 0%. Determine a quantidade de água, em litros, consumida pela adolescente no mês de noembro com esses dois itens: descarga de banheiro e higiene pessoal. Nessa residência, no mês de noembro, foram consumidos 0, 000 = 0 litros de água com descarga de banheiro e 0, 000 = 6 0 litros de água com higiene pessoal. Supondo que tal proporção se mantenha para cada membro da família, a adolescente consumiu 0,0 0 = 00 litros de água com descarga de banheiro e 0,0 6 0 = 00 litros de água com higiene pessoal. Questão A tabela mostra aproximadamente a duração do ano (uma olta completa em torno do Sol) de alguns planetas do sistema solar, em relação ao ano terrestre. Planeta Júpiter Saturno Urano Duração do ano anos terrestres 0 anos terrestres anos terrestres Se, em uma noite, os planetas Júpiter, Saturno e Urano são obserados alinhados, de um determinado local na Terra, determine, após essa ocasião, quantos anos terrestres se passarão para que o próximo alinhamento desses planetas possa ser obserado do mesmo local. O próximo alinhamento desses planetas acontecerá no tempo dado pelo mínimo múltiplo comum entre =, 0 = e= 7, ou seja, 7 = 0 anos. Questão Ao ser inaugurada, uma represa possuía milm de água. A quantidade de água da represa em diminuindo anualmente. O gráfico mostra que a quantidade de água na represa anos após a inauguração é de mil m. em milhares de metros cúbicos 0 Se for mantida essa relação de linearidade entre o tempo e a quantidade de água em m, determine em quantos anos, após a inauguração, a represa terá mil m. Seja y a quantidade de água na represa, em milhares de m. Do gráfico, o coeficiente angular da reta é =. Como o ponto (0; ) pertence à 0 reta, y (t 0) y = = t +. Logo, para y =, temos = t + t = 6 anos. t (anos)

2 matemática Questão Questão O gráfico representa o consumo mensal de água em uma determinada residência no período de um ano. As tarifas de água para essa residência são dadas a seguir. metros cúbicos de água dez 06 7 Faixa f (m ) consumo em metros cúbicos jan 07 fe 07 mar 07 abr 07 mai 07 Tarifa (R$) 0 f 0 0,0 0 < f 0,00 0 < f 0,0 0 < f 0,00 Assim, por exemplo, o gasto no mês de março, que corresponde ao consumo de m, em reais, é: 0 0,0 + 0,00 + 0,0 +,00 =,00. Vamos supor que essas tarifas tenham se mantido no ano todo. Note que nos meses de janeiro e feereiro, juntos, foram consumidos 6 m de água e para pagar essas duas contas foram gastos X reais. O mesmo consumo ocorreu nos meses de julho e agosto, juntos, mas para pagar essas duas contas foram gastos Y reais. Determine a diferença X Y. jun 07 jul 07 ago 07 set 07 out 07 no 07 meses Admitindo que a tarifa é R$/m, o gasto X, com os consumos de janeiro ( m ) e feereiro ( m ) juntos, é (0 0,0 + 0,00 + 0,0 + +,00) + (0 0,0 +,00) = 9 reais e o gasto Y, com os meses de julho (6 m ) e agosto (0 m ) juntos, é (0 0,0 + 0,00 + 6,0) + + (0 0,0 + 0,00 + 0,0) = reais. Logo X Y = 9 = reais. Segundo a Teoria da Relatiidade de Einstein, se um astronauta iajar em uma nae espacial muito rapidamente em relação a um referencial na Terra, o tempo passará mais deagar para o astronauta do que para as pessoas que ficaram na Terra. Suponha que um pai astronauta, com 0 anos de idade, iaje numa nae espacial, numa elocidade constante, até o planeta recém-descoberto GLc, e deixe na Terra seu filho com 0 anos de idade. O tempo t decorrido na Terra (para o filho) e o tempo T decorrido para o astronauta, em função da elocidade dessa iagem (ida e olta, relatiamente ao referencial da Terra e desprezando-se aceleração e desaceleração), são dados respectiamente pelas equações t = 0c, T = 0c, c onde c é uma constante que indica a elocidade da luz no ácuo e t e T são medidos em anos. Determine, em função de c, a que elocidade o pai deeria iajar de modo que, quando retornasse à Terra, ele e seu filho estiessem com a mesma idade. No momento em que o pai retorna à Terra, ele tem 0 + T anos e seu filho, 0 + t anos. Assim, para que eles tenham a mesma idade nesse momento, deemos ter 0 + T = 0 + t + 0c 0c 0 = c c c = c c c = c c. Sendo x =, temos x = x x + x = x x 0 x = x =, ou seja, c = x = c.

3 matemática Questão 6 Astrônomos da Uniersidade da Califórnia fizeram um estudo com cerca de 70 estrelas, sendo 60 delas com planetas e 690 sem planetas (dados aproximados), e constataram que as estrelas com maior índice de ferro (em relação ao índice do Sol) têm maior probabilidade de abrigar planetas. A tabela mostra o número de estrelas com planetas (C) e sem planetas (S), relatiamente ao índice de ferro, denotado por i. Índice de ferro C S Total 0 < i < 60 7 i < i 60 7 Total (exoplanets.org/metalicity.html. Adaptado.) Utilizando a tabela, mostre que a probabilidade P(C { i }), de uma estrela ter planetas dado que i, é 0% maior que a probabilidade P(C) de uma estrela ter planetas. A probabilidade de uma estrela ter planetas é P(C) = = = e P(C { i }) = = = Logo P(C { i }) = P(C) =, P(C),ou seja, 0% maior que a probabilidade P(C) de uma estrela ter planetas. Questão 7 Considere a representação gráfica da função definida por f(x) = sen ( π x ) ( + x ). y.0 gráfico da função f(x), sem escala Os pontos P, Q, R e S denotam os quatro primeiros pontos de interseção do gráfico da função f com o eixo das abscissas. Determine as coordenadas dos pontos P, Q, R e S, nessa ordem. As abscissas dos pontos de intersecção do gráfico da função f, de domínio [; + [, com o eixo das abscissas são as raízes da equação f(x) = 0 + = sen π x ( x ) 0 sen π x = 0 πx ou + x = 0 = k π, k Z, ou x = k x =, k Z, k. Desse modo, as coordenadas dos quatro primeiros pontos de interseção de f com o eixo das abscissas são P = ;0,Q= (; 0), R = ;0 e 0 S = ;0. Questão P Q R S O brilho de uma estrela percebido pelo olho humano, na Terra, é chamado de magnitude aparente da estrela. Já a magnitude absoluta da estrela é a magnitude aparente que a estrela teria se fosse obserada a uma distância padrão de 0 parsecs ( parsec é aproximadamente 0 km). As magnitudes aparente e absoluta de uma estrela são muito úteis para se determinar sua distância ao planeta Terra. Sendo m a magnitude aparente e M a x

4 matemática magnitude absoluta de uma estrela, a relação entre m e M é dada aproximadamente pela fórmula 0 M = m + log ( d, ) onde d é a distância da estrela em parsecs. A estrela Rigel tem aproximadamente magnitude aparente 0, e magnitude absoluta 6,. Determine a distância, em quilômetros, de Rigel ao planeta Terra. Sendo m = 0, e M = 6, as magnitudes aparente e absoluta, respectiamente, temos: 0, 0, + log ( d ) = 6, 0, log ( d ) = 7 0, 7 log ( d ) = 0, 7 + log d = 0, log d = log d = 00 log d = d = parsecs. Logo a distância de Rigel ao planeta Terra é 6 0 = 0 =7,9 0 km. Questão 9 O planeta Terra descree seu moimento de translação em uma órbita aproximadamente circular em torno do Sol. Considerando o dia terrestre com horas, o ano com 6 dias e a distância da Terra ao Sol aproximadamente km, determine a elocidade média, em quilômetros por hora, com que a Terra gira em torno do Sol. Use a aproximação π=. Questão 0 Numa região muito pobre e com escassez de água, uma família usa para tomar banho um chueiro manual, cujo reseratório de água tem o formato de um cilindro circular reto de 0 cm de altura e base com cm de raio, seguido de um tronco de cone reto cujas bases são círculos paralelos, de raios medindo cm e 6 cm, respectiamente, e altura, como mostrado na figura. 0 cm Por outro lado, numa praça de uma certa cidade há uma torneira com um gotejamento que prooca um desperdício de 6, litros de água por dia. Considerando a aproximação π=, determine quantos dias de gotejamento são necessários para que a quantidade de água desperdiçada seja igual à usada para 6 banhos, ou seja, encher completamente 6 ezes aquele chueiro manual. Dado: 000cm = litro. Considere a figura a seguir: 0 cm cm 6cm A elocidade média, em quilômetros por hora, com que a Terra gira em torno do Sol é dada por π km/h, usando a aproximação π=. B, A, O, cm O 6cm A V B

5 matemática Os triângulos VOA e VO B são semelhantes pelo OA caso AA, com razão de semelhança k = = O B 6 = =. Assim, os cones VAA e VBB, de olumes ev, respectiamente, são semelhantes, com razão entre olumes = (k) = V V = V. Como V = π 0 = 960π cm, temos = 960π = 0π cm. Assim o olume do tronco é 960π 0π = = 0π cm. Finalmente, o olume do chueiro é igual ao olume do cilindro de raio da base cm e altura 0 cm mais o olume do tronco, ou seja, π π = 60π cm. Adotando π=, obtemos 60 = 0 cm =,. Logo o número de dias de gotejamento necessários para se desperdiçar o olume de 6 chueiros é 6, = dias. 6, Matemática bom níel de exigência Podemos afirmar que a proa de Conhecimentos Específicos de Exatas da VUNESP deste ano primou pela elaboração de situações contextualizadas com enunciados longos. Se por um lado isso tornou o exame mais interessante, por outro exigiu, por parte dos candidatos, mais tempo e atenção na resolução de cada questão. Confirmando a tendência já anunciada, a proa não apresentou itens em suas questões. Junto com o estibular de ontem, apresentou boa distribuição dos assuntos e deerá cumprir bem com a tarefa de seleção dos melhores candidatos. Trigonometria Geometria 0% Analítica 0% Álgebra 0% Geometria 0% Aritmética 0%