Métodos Numéricos para EDOs. 2 de abril de 2012

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1 Métodos Numéricos para EDOs 2 de abril de 2012

2 Outline 1 Introdução 2 Métodos de Euler e do Trapézio 3 Métodos de Runge-Kutta 4 Métodos de Passo Variável 5 Representação em Espaço de Estados 6 Estabilidade 7 EDOs do Tipo Stiff 8 Sumário

3 Introdução Equações Diferenciais Ordinárias Queremos resolver numericamente a equação ẋ(t) = f (t, x(t)), x(t 0 ) = x 0, t t 0

4 Introdução Existência de Solução Teorema Suponha que f satisfaz a condição de Lipschitz f (t, x) f (t, y) L x y em D = {(x, t) : x x 0 < b, t t 0 < a} e que f (t, x) B em D. Então, a equação diferencial ẋ(t) = f (t, x(t)), x(t 0 ) = x 0, t t 0 possui uma única solução no intervalo t t 0 < min(a, b/b).

5 Introdução Exemplo 1 - O que pode dar errado? ẋ = x, x(0) = 0 x não é Lipschitz em x = 0. Solução não é única: x = t2 4 ou x = 0.

6 Introdução Exemplo 2 - O que pode dar errado? ẋ = x 2, x(0) = 1 x 2 não é Lipschitz em (, ). Solução não existe para todos os tempos: x(t) = 1 1 t. x quando t 1

7 Métodos de Euler e do Trapézio Método de Euler Podemos reescrever a EDO ẋ(t) = f (t, x(t)), x(t 0 ) = x 0, t t 0 como x(t) = x 0 + t t 0 f (s, x(s)) ds, t t 0

8 Métodos de Euler e do Trapézio Método de Euler Métodos de Integração: Retangular de avanço Aproximamos a integral pela área do retângulo: 3 Regra retangular de avanço f(t) T h 0.5 x(h) u(kt T ) t p.7/40 t x(t+h) = x 0 + f (s, x(s))ds+ t 0 t+h t f (s, x(s))ds x(t)+hf (t, x(t))

9 Métodos de Euler e do Trapézio Método de Euler Encrevendo x(kh) = x k e t k = kh, obtemos a iteração correspondente ao método de Euler: x k+1 = x k + hf (t k, x k )

10 Métodos de Euler e do Trapézio Método do Trapézio Métodos de Integração: Retangular trapezoidal Aproximamos a integral pela área do trapézio: 3 Regra retangular trapezoidal f(t) T h 0.5 x(h) u(kt T ) t p.20/40 t+h t f (s, x(s))ds h [f (t, x(t)) + f (t + h, x(t + h))] 2

11 Métodos de Euler e do Trapézio Método do Trapézio Obtemos a seguinte iteração: x k+1 = x k + h 2 [f (t k, x k ) + f (t k+1, x k+1 )] Note que x k+1 aparece em ambos os lados da equação. Por isso, precisamos resolver a equação não-linear impĺıcita para obter x k+1 (o que exige calcular f em diversos pontos). O método de Euler é um exemplo de método expĺıcito. O método do trapézio é um exemplo de método impĺıcito.

12 Métodos de Runge-Kutta Métodos de Runge-Kutta Método clássico: x k+1 = x k + h 6 (k 1 + 2k 2 + 2k 3 + k 4 ) k 1 = f (t k, x k ) k 2 = f (t k + h/2, x k + hk 1 /2) k 3 = f (t k + h/2, x k + hk 2 /2) k 4 = f (t k + h, x k + hk 3 )

13 Métodos de Runge-Kutta Erro de truncamento Em geral, métodos expĺıcitos podem ser escritos na forma Definimos o erro de truncamento x k+1 = x k + hφ(t k, x k ; h) T k = x(t k+1) x(t k ) h Φ(t k, x k ; h)

14 Métodos de Runge-Kutta Erro de truncamento T k = x(t k+1) x(t k ) Φ(t k, x k ; h) h Usando a série de Taylor: obtemos x(t k+1 ) = x(t k ) + hx (t k ) + h2 2 x (t k ) +... T k = x (t k ) + h 2 x (t k ) +... Φ(t k, x k ; h)

15 Métodos de Runge-Kutta Erro de truncamento T k = x (t k ) + h 2 x (t k ) +... Φ(t k, x k ; h) Para o método de Euler, como Φ = x, temos que T k = h 2 x (t k ) + h2 6 x (t k )... = O(h)

16 Métodos de Runge-Kutta Erro Global Se T k = O(h p ), então também o erro acumulado pelo método numérico é O(h p ), isto é, x(t k ) x k = O(h p ), t k t final Neste caso, dizemos que o método de integração é de ordem p.

17 Métodos de Runge-Kutta Métodos de Runge-Kutta Em geral, métodos de Runge-Kutta são quaisquer métodos que podem ser escritos na forma: x k+1 = x k + h m γ i k i i=1 i 1 k i = f t k + α i h, x k + h β j k j, i = 1,..., m j=1 Note: o método acima requer m avaliações da função f.

18 Métodos de Runge-Kutta Métodos de Runge-Kutta O método de Euler é de ordem 1 e tem m = 1. Para p 4, um método de Runge-Kutta de ordem p requer m = p. Contudo, um método de Runge-Kutta de ordem 5 requer m = 6 (ou seja, o método torna-se menos vantajoso para p > 4).

19 Métodos de Passo Variável Métodos de Passo Variável É possível que x(t) varie muito rapidamente em certos intervalos de tempo de forma que é desejável que h seja pequeno. Por outro lado, pode haver intervalos de tempo em que x(t) varie muito lentamente, sendo desejável que h seja grande. Tipicamente, desejamos que erro k = x k x(t k ) TOL Como erro k Ch p+1, o passo h ótimo será tal que Ch p+1 OPT TOL Assim, obtemos ( TOL h OPT = h erro k ) 1/p+1

20 Métodos de Passo Variável Método de Dormand-Prince (ode45) O método de Dormand-Prince é um método de Runge-Kutta de 4 a ordem com passo variável. Para ajustar o passo, usa-se um método de 5 a ordem para avaliar o erro de integração. ( ( ( ) )) 1/5 TOL h k+1 = h k min 2, max 0.5, 0.8 erro k erro k = xk ordem 4 xk ordem 5 Este método é implementado no Matlab sob o nome de ode45.

21 Representação em Espaço de Estados Equações Diferenciais de Ordem Superior Até agora, vimos como resolver equações de 1 a ordem numericamente. Mas como resolver equações de ordem superior como a que descreve o movimento de um pêndulo? θ + g l senθ = 0

22 Representação em Espaço de Estados Equações Diferenciais de Ordem Superior Até agora, vimos como resolver equações de 1 a ordem numericamente. Mas como resolver equações de ordem superior como a que descreve o movimento de um pêndulo? θ + g l senθ = 0 A chave está em converter a equação acima em uma equação de primeira ordem mas com múltiplas variáveis.

23 Representação em Espaço de Estados Equações Diferenciais de Ordem Superior De fato, nossos métodos numéricos de integração permitem resolver ẋ = f (t, x) mesmo quando x é um vetor em R n.

24 Representação em Espaço de Estados Equações Diferenciais de Ordem Superior De fato, nossos métodos numéricos de integração permitem resolver ẋ = f (t, x) mesmo quando x é um vetor em R n. A expressão para o método de Euler, por exemplo, permanece a mesma para x k R n : x k+1 = x k + hf (t k, x k ).

25 Representação em Espaço de Estados Equações Diferenciais de Ordem Superior Para o exemplo do pêndulo θ + g l senθ = 0 definimos x 1 = θ e x 2 = θ. Dessa forma, temos ẋ 1 = x 2 ẋ 2 = g l senx 1

26 Representação em Espaço de Estados Equações Diferenciais de Ordem Superior ẋ 1 = x 2 ẋ 2 = g l senx 1 Definindo x = [ x1 x 2 ] [ e f (x) = obtemos a EDO de primeira ordem ẋ = f (x) x 2 g l senx 1 ],

27 Representação em Espaço de Estados Representação em Espaço de Estados ẋ = f (x) x = [ x1 x 2 ] [ e f (x) = x 2 g l senx 1 ] Dizemos que a forma acima é uma representação em espaço de estados para a EDO do pêndulo. Dizemos que x 1, o ângulo do pêndulo, e x 2, a velocidade angular do pêndulo, são os estados do sistema dinâmico.

28 Representação em Espaço de Estados Representação em Espaço de Estados ẋ = f (x) x = [ x1 x 2 ] [ e f (x) = x 2 g l senx 1 ] Dizemos que a forma acima é uma representação em espaço de estados para a EDO do pêndulo. Dizemos que x 1, o ângulo do pêndulo, e x 2, a velocidade angular do pêndulo, são os estados do sistema dinâmico. Praticamente todo sistema dinâmico possui uma representação em espaço de estados (que não é única).

29 Representação em Espaço de Estados Exercício Obter a representação em espaço de estados para o sistema massa-mola-amortecedor. F = mẍ = cẋ kx

30 Representação em Espaço de Estados Exercício Obter a representação em espaço de estados para o sistema massa-mola-amortecedor. [ d x1 dt x 2 x 1 = x, x 2 = ẋ ] [ ] x = 2 kx 1 /m cx 2 /m F = mẍ = cẋ kx

31 Representação em Espaço de Estados Exercício Obter a representação em espaço de estados para a EDO que descreve o circuito RLC abaixo.

32 Representação em Espaço de Estados Exercício Obter a representação em espaço de estados para a EDO que descreve o circuito RLC abaixo. V = RI + Lİ + V C I = C V C

33 Representação em Espaço de Estados Exercício Obter a representação em espaço de estados para a EDO que descreve o circuito RLC abaixo. V = RI + Lİ + V C I = C V C [ d VC dt I ] [ = I /C (V V C RI )/L ]

34 Representação em Espaço de Estados Exercício Obter a representação em espaço de estados para a EDO que descreve o circuito RLC abaixo. V = RI + Lİ + V C I = C V C [ d VC dt I ] [ = 0 1/C 1/L R/L ] [ VC I ] [ + 0 V /L ]

35 Estabilidade Estabilidade Considere o problema de resolver numericamente a equação ẋ = λx, λ C. Sabemos que a solução exata é dada por x(t) = x 0 e λt e que x(t) 0 quando t se Re{λ} < 0.

36 Estabilidade Estabilidade ẋ = λx, λ C. Usando o método de Euler, obtemos a seguinte iteração x k+1 = x k + hλx k = (1 + λh)x k, o que leva a x k = (1 + λh) k x 0. Temos que x k 0 quando k se 1 + λh < 1.

37 Estabilidade Estabilidade Dizemos que a integração numérica de x(t) é estável se x(t) 0 implica x k 0. Uma consequência prática da propriedade de estabilidade é que o efeito de erros numéricos diminui à medida que o tempo passa.

38 Estabilidade Estabilidade Dizemos que a integração numérica de x(t) é estável se x(t) 0 implica x k 0. Uma consequência prática da propriedade de estabilidade é que o efeito de erros numéricos diminui à medida que o tempo passa. Definimos a região de estabilidade como o conjunto de valores λ para os quais a integração é estável. No caso do método de Euler, a região de estabilidade é dada por {λ : 1 + λh < 1} que é caracterizada pelo interior do círculo de centro 1/h e raio 1/h.

39 Another popular method: Implicit Métodos Numéricos para EDOs 1+µ/2 Euler, 1 µ/2, Estabilidade or, when µ/2 is closer to 1 than to 1, xwhich is just the entire left complex half-plane. n+1 = x n + hλx n+1 Another popular method: Implicit Euler, x n+1 ˆR(µ) = x n = 1 + hλx n+1 µ 1. Regiões de Estabilidade which means the stability region is the exterior ˆR(µ) = 1 ofµ the 1. disk of radius 1 centred at 1 i plane. These are some simple examples. All three of these are graphed in Figure 1 which means the stability region is the exterior of the disk of radius 1 centred at 1 in the com plane. These are some simple examples. All three of these are graphed in Figure a) a) b) b) c) c (a) Região de estabilidade (b) Região de estabilidade Figure 10.3: Stability Regions: (a) Euler s method, (b) trapezoidal rule, (c) implicit Eul Figure 10.3: para método Stability de Regions: Euler trapézio (a) Euler s para método method, (b) do trapezoidal rule, (c) imp For the fourth-order Runge-Kutta method (8.4), the stability function is found to be: For the fourth-order Runge-Kutta method (8.4), the stability function is found R(µ) =1+µ µ µ µ4. R(µ) =1+µ + 1 Note that as we would expect, R(hλ) agrees with2 the µ2 + 1 Taylor 6 µ3 + 1 Series24 expansion µ4. of exp(hλ) thr fourth order; the latter gives the exact flow map for dx/dt = λx. To graph R we could us Note following that as we trick. would For each expect, valuer(hλ) of µ, R is agrees a complex withnumber. the Taylor The boundary Series expansion of the stability of exr fourthisorder; the set of the all latter µ suchgives that R(µ) the is exact on theflow unitmap circle. for That dx/dt means = λx. To graph R we following trick. For each value of µ, R is a complex number. The boundary of the s R(µ) =e iθ, is the set of all µ such that R(µ) is on the unit circle. That means Para λ grande, temos que fazer h muito pequeno para manter a estabilidade do método de Euler. Por outro lado, o método do trapézio é sempre estável.

40 Another popular method: Implicit Métodos Numéricos para EDOs 1+µ/2 Euler, 1 µ/2, Estabilidade or, when µ/2 is closer to 1 than to 1, xwhich is just the entire left complex half-plane. n+1 = x n + hλx n+1 Another popular method: Implicit Euler, x n+1 ˆR(µ) = x n = 1 + hλx n+1 µ 1. Regiões de Estabilidade which means the stability region is the exterior ˆR(µ) = 1 ofµ the 1. disk of radius 1 centred at 1 i plane. These are some simple examples. All three of these are graphed in Figure 1 which means the stability region is the exterior of the disk of radius 1 centred at 1 in the com plane. These are some simple examples. All three of these are graphed in Figure a) a) b) b) c) c (c) Região de estabilidade (d) Região de estabilidade Figure 10.3: Stability Regions: (a) Euler s method, (b) trapezoidal rule, (c) implicit Eul Figure 10.3: para método Stability de Regions: Euler trapézio (a) Euler s para método method, (b) do trapezoidal rule, (c) imp For the fourth-order Runge-Kutta method (8.4), the stability function is found to be: For the fourth-order Runge-Kutta method (8.4), the stability function is found R(µ) =1+µ µ µ µ4. R(µ) =1+µ + 1 Note that as we would expect, R(hλ) agrees with2 the µ2 + 1 Taylor 6 µ3 + 1 Series24 expansion µ4. of exp(hλ) thr fourth order; the latter gives the exact flow map for dx/dt = λx. To graph R we could us Note following that as we trick. would For each expect, valuer(hλ) of µ, R is agrees a complex withnumber. the Taylor The boundary Series expansion of the stability of exr fourthisorder; the set of the all latter µ suchgives that R(µ) the is exact on theflow unitmap circle. for That dx/dt means = λx. To graph R we following trick. For each value of µ, R is a complex number. The boundary of the s R(µ) =e iθ, is the set of all µ such that R(µ) is on the unit circle. That means Para λ grande, temos que fazer h muito pequeno para manter a estabilidade do método de Euler. Por outro lado, o método do trapézio é sempre estável. Em geral, métodos impĺıcitos apresentam região de estabilidade muito maior que métodos expĺıcitos.

41 Métodos Numéricos paraanother EDOs popular method: Implicit 1+µ/2 Euler, 1 µ/2, Estabilidade or, when µ/2 is closer to 1 than to 1, xwhich is just the entire left complex half-plane. n+1 = x n + hλx n+1 Another popular method: Implicit Euler, x n+1 ˆR(µ) = x n = 1 + hλx n+1 µ 1. Regiões de Estabilidade which means the stability region is the exterior ˆR(µ) = 1 ofµ the 1. disk of radius 1 centred at 1 i plane. These are some simple examples. All three of these are graphed in Figure 1 which means the stability region is the exterior of the disk of radius 1 centred at 1 in the com plane. These are some simple examples. All three of these are graphed in Figure a) a) b) b) c) c (e) Região de estabilidade (f) Região de estabilidade Figure 10.3: Stability Regions: (a) Euler s method, (b) trapezoidal rule, (c) implicit Eul Figure 10.3: para método Stability de Regions: Euler trapézio (a) Euler s para método method, (b) do trapezoidal rule, (c) imp For the fourth-order Runge-Kutta method (8.4), the stability function is found to be: For the fourth-order Runge-Kutta method (8.4), the stability function is found R(µ) =1+µ µ µ µ4. Se tivermos um processador muito R(µ) =1+µ rápido, + qual 1 o Note that as we would expect, R(hλ) agrees with2 the µ2 + problema 1 Taylor 6 µ3 + 1 de Series24 expansion µ4. fazer h muito pequeno e assim tornar o método de Euler estável? of exp(hλ) thr fourth order; the latter gives the exact flow map for dx/dt = λx. To graph R we could us Note following that as we trick. would For each expect, valuer(hλ) of µ, R is agrees a complex withnumber. the Taylor The boundary Series expansion of the stability of exr fourthisorder; the set of the all latter µ suchgives that R(µ) the is exact on theflow unitmap circle. for That dx/dt means = λx. To graph R we following trick. For each value of µ, R is a complex number. The boundary of the s R(µ) =e iθ, is the set of all µ such that R(µ) is on the unit circle. That means

42 Métodos Numéricos paraanother EDOs popular method: Implicit 1+µ/2 Euler, 1 µ/2, Estabilidade or, when µ/2 is closer to 1 than to 1, xwhich is just the entire left complex half-plane. n+1 = x n + hλx n+1 Another popular method: Implicit Euler, x n+1 ˆR(µ) = x n = 1 + hλx n+1 µ 1. Regiões de Estabilidade which means the stability region is the exterior ˆR(µ) = 1 ofµ the 1. disk of radius 1 centred at 1 i plane. These are some simple examples. All three of these are graphed in Figure 1 which means the stability region is the exterior of the disk of radius 1 centred at 1 in the com plane. These are some simple examples. All three of these are graphed in Figure a) a) b) b) c) c (g) Região de estabilidade (h) Região de estabilidade Figure 10.3: Stability Regions: (a) Euler s method, (b) trapezoidal rule, (c) implicit Eul Figure 10.3: para método Stability de Regions: Euler trapézio (a) Euler s para método method, (b) do trapezoidal rule, (c) imp For the fourth-order Runge-Kutta method (8.4), the stability function is found to be: For the fourth-order Runge-Kutta method (8.4), the stability function is found R(µ) =1+µ µ µ µ4. Se tivermos um processador muito R(µ) =1+µ rápido, + qual 1 o Note that as we would expect, R(hλ) agrees with2 the µ2 + problema 1 Taylor 6 µ3 + 1 de Series24 expansion µ4. fazer h muito pequeno e assim tornar o método de Euler estável? of exp(hλ) thr fourth order; the latter gives the exact flow map for dx/dt = λx. To graph R we could us Note following that as we trick. would For each expect, valuer(hλ) of µ, R is agrees a complex withnumber. the Taylor The boundary Series expansion of the stability of ex maiores erros (relativos) de arredondamento; r fourthisorder; the set of the all latter µ suchgives that R(µ) the is exact on theflow unitmap circle. for That dx/dt means = λx. To graph R we maisfollowing erros de trick. arredondamento For each value of são µ, acumulados. R is a complex number. The boundary of the s R(µ) =e iθ, is the set of all µ such that R(µ) is on the unit circle. That means

43 = abs(r); Me todos para EDOs >atrhat =Nume ricos abs(r); Estabilidade >ntourplot(x,y,rhat,[1]); contourplot(x,y,rhat,[1]); gure shows stability regions for for some Runge-Kutta methods upup to to order The shadin Figure shows stability regions some Runge-Kutta methods order The sha figure indicates the magnitude R(z) within the stability region. n the figure indicates magnitude R(z) within the stability region. Regio es de the Estabilidade ERK,ERK, s=p=1 s=p=1 ERK, s=p=2 ERK, s=p= (i) Regia o de estabilidade para (j) Regia o de estabilidade para Runge-Kutta de ordem 1 Runge-Kutta de ordem 2 s=p=3 ERK,ERK, s=p=3 ERK, s=p=4 ERK, s=p=4

44 3 Me todos Nume ricos para EDOs Estabilidade Regio es de Estabilidade ERK, ERK, s=p=3 s=p=3 ERK, s=p=4 ERK, s=p= Figure Explicitpara Runge-Kutta Stability Regions (k)figure Regia o de 10.4: estabilidade (l) Regia o de estabilidade 10.4: Explicit Runge-Kutta Stability Regions para Runge-Kutta de ordem 3 Runge-Kutta de ordem 4 What is the meaning of these funny diagrams? They tell us a huge amount. Consider fir hat is the meaning of these funny diagrams? They tell us a huge amount. Consider firs

45 EDOs do Tipo Stiff EDOs do Tipo Stiff Suponha que queiramos resolver a seguinte EDO numericamente: [ ] [ ] [ ] d x1 1 0 x1 = dt x 2 A solução exata é dada por x 1 (t) = e t e x 2 (t) = e 1000t. x 2

46 EDOs do Tipo Stiff EDOs do Tipo Stiff Se usarmos o método de Euler, a integração será estável se 1 h < 1 e h < 1. A primeira condição resulta em h < 2. Já a segunda resulta em h < Para ter estabilidade, devemos escolher h <

47 EDOs do Tipo Stiff EDOs do Tipo Stiff Dizemos que uma EDO é stiff se ela apresenta modos com escalas de tempo separadas por diversas ordens de magnitude. Para esse tipo de EDO, é mais vantajoso usar métodos de integração impĺıcitos pois regiões de estabilidade são em geral muito maiores que a dos métodos expĺıcitos permitindo maiores passos de integração. No Matlab: ode15s, ode23s

48 Sumário Sumário Método Classificação Acurácia Uso ode45 expĺıcito média primeiro método a se tentar ode23 expĺıcito baixa maiores tolerâncias ou problemas moderadamente stiff ode15s impĺıcito baixa a média se ode45 é lento devido a stiffness ode23s impĺıcito baixa problemas stiff com altas tolerâncias. mais estável que ode113 expĺıcito (múltiplos passos) ode15s alta baixas tolerâncias ou problemas computacionalmente intensos