Modelagem usando EDOs EP2 - MAP3121 1o. Sem 2019

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1 Modelagem usando EDOs EP2 - MAP3121 1o. Sem 2019 O objetivo deste projeto é apresentar aos alunos exemplos de modelagem matemática de problemas aplicados utilizando equações diferenciais ordinárias (EDOs) para as quais são conhecidas as condições iniciais. O aluno deverá implementar o método Runge-Kutta clássico, descrito adiante, para a resolução numérica das EDOs. A seguir são apresentados problemas modelados por EDOs. 1 Modelos matemáticos via EDOs 1.1 Dinâmica de populações No início dos anos 80 o caramujo africano foi trazido ao Brasil para consumo humano, como uma opção ao escargot. Este molusco é consumido principalmente na África e tem suas vantagens nutricionais, como ser rico em proteínas. Em uma feira realizada no Paraná, foram comercializados kits que incluíam a matriz com um número determinado de exemplares e livretos que ensinavam como iniciar a criação. A promessa era de lucro imediato. Porém, como o brasileiro não tem hábito de consumir este tipo de alimento, a demanda não existiu e os criadores soltaram os moluscos inadvertidamente na natureza, sem imaginar o mal que estavam causando. Mais de três décadas depois de ser introduzida, hoje a espécie está presente, em 23 dos 26 estados do País, incluindo a região amazônica e reservas ambientais. Atualmente, estamos presenciando a fase mais explosiva da invasão, ou seja, a ocorrência de densas populações, constituídas por grandes exemplares desses moluscos. Apesar de ser um molusco terrestre, observamos no Brasil a presença do caramujo em margens de rios e em vegetação flutuante. O grande problema é que o caramujo africano não tem predadores na natureza. Como uma tentativa de sanar o problema, o governo poderia trazer ao país um dos poucos predadores naturais do caramujo africano: o escorpião africano (Figura 1). Este predador alimenta-se exclusivamente do caramujo e não possui predadores naturais no Brasil, de forma que o crescimento de sua população depende exclusivamente da existência de caramujos africanos para sua alimentação. A presença do escorpião africano afeta a proliferação dos caramujos da seguinte maneira: sendo x(t) a quantidade de caramujos e y(t) a quantidade de 1

2 Figura 1: Caramujo e escorpião africanos. escorpiões em um dado instante de tempo t, a taxa de crescimento dos caramujos diminui linearmente quando a população de escorpiões aumenta, ou seja, sua taxa de crescimento num dado instante é descrita como o produto entre um termo linear da forma (a by) pela quantidade de caramujos x neste instante. Por outro lado, como os escorpiões alimentam-se exclusivamente de caramujos temos que a taxa de crescimento dos escorpiões decai linearmente quando a população de caramujos diminui, ou seja, sua taxa de crescimento num dado instante é descrita como o produto entre um termo linear (dx c) pela quantidade de escorpiões y neste instante. O sistema de EDOs para este modelo é então dado por x = x(a by) y = y(dx c) Considere as quatro estimativas para as constantes a, b, c, d apresentadas na Tabela (1). Estimativa a b c d Tabela 1: Estimativas obtidas para os coeficientes do modelo 2

3 Suponha que a quantidade de caramujos nas regiões do país e a quantidade prevista de escorpiões a serem trazidos sejam dados pelos valores contidos na Tabela (2). Região Caramujos Escorpiões Norte Nordeste Centro-oeste Sudeste Sul Tabela 2: Quantidade de caramujos e de escorpiões (em milhões). Supondo que a variável tempo seja considerada em meses, o que pode-se esperar das populações de ambas as espécies em 6, 12 e 18 meses após a inserção dos escorpiões no país? É interessante que o governo traga o escorpião africano para o Brasil com a finalidade de impedir o crescimento do caramujo africano no país? 1.2 Pêndulo amortecido Considere uma pequena esfera de massa m = 1 Kg fixada na extremidade inferior de um fio inextensível (idealmente sem massa) de comprimento l = 0.8 m cuja extremidade superior encontra-se fixada (Figura 2). Supondo que o movimento do pêndulo ocorra no plano vertical, o ângulo do fio com a vertical é descrito através da equação do pêndulo sem amortecimento, que afirma que a aceleração angular pêndulo somada ao produto da constante ω 2 pelo seno do ângulo formado pelo pêndulo em relação a vertical é zero, onde a constante ω 2 é dada por g/l e g = 9.8 m/s 2 é a aceleração da gravidade. Em um experimento onde o pêndulo é deixado com uma determinada velocidade angular v 0 0 e um certo ângulo θ 0 0, observa-se que após um determinado tempo o pêndulo retorna a posição vertical θ = 0 com velocidade v = 0 e permanece imóvel. Pode-se concluir que existe uma força de amortecimento no sistema e que a aceleração angular do pêndulo somada ao produto da constante ω 2 pelo seno do ângulo e somada à força de amortecimento (dada pelo produto entre uma constante µ pela taxa de variação do ângulo θ) deve ser nula. O movimento é descrito pela equação diferencial ordinária de segunda ordem θ + ω 2 sen θ + µ θ = 0, que pode ser transformada no sistema de primeira ordem θ = v v = ω 2 sen θ µv 3

4 Figura 2: Pêndulo. Considerando o valor da constante µ = 2ω 0.5 o que ocorre com o pêndulo se deixado inicialmente em um ângulo θ 0 [ 5π 2, 5π 2 ] com velocidade v 0 = [ 3, 3]? 1.3 Modelo Econômico de Goodwin O Modelo de Goodwin é um tratamento matemático apresentado originalmente por Richard Goodwin que busca compatibilizar as idéias de ciclo econômico e crescimento econômico em um único modelo. Ele pode ser escrito como uma forma de modelo presa-predador, como na dinâmica de populações, mas com competição considerando variáveis econômicas. Uma sucinta descrição do modelo é a seguinte: Se os salários crescem; os lucros caem: se os lucros caem, a poupança e o investimento também caem, reduzindo assim a criação de novos empregos. Se assumirmos que a força de trabalho não decresce, então a quantidade de pessoas desempregadas aumenta. Seguindo um ciclo, isso gera redução salarial em relação ao crescimento da produtividade, portanto os lucros crescem e a acumulação é acelerada, retornando a um nível elevado. Isto, por sua vez, reduz o desemprego, os salários crescem e assim segue indefinidamente. O ciclo de crescimento de Goodwin estrutura-se a partir de sete premissas: 1. Progresso técnico constante, ou seja, ele se exerce exclusivamente ao nível da produtividade do trabalho. 2. Crescimento constante da força de trabalho. 3. Somente são empregados dois fatores de produção trabalho e capital. 4

5 4. Todas as quantidades são reais. 5. Todos os salários são consumidos, e todos os lucros são poupados e reinvestidos. 6. A razão capital produto é constante. 7. A taxa de salário real é crescente na vizinhança do pleno emprego. Partindo das premissas acima, considere γ o nível mínimo de salário real 1, α a taxa constante de crescimento da produtividade, β a taxa constante de crescimento da população, ρ a elasticidade dos salários em relação ao nível de emprego e k a razão capital-produto. Para um dado instante de tempo t, denotamos por x(t) a participação dos salários no produto e y(t) o nível de emprego. O modelo econômico de Goodwin afirma que, dado um instante de tempo t, a variação da participação dos salários é dada pelo produto de uma função linear do nível de emprego (do tipo a by) pelo valor da participação dos salários neste mesmo instante. Por outro lado, a variação do nível de emprego num dado instante de tempo t também é descrita pelo produto entre uma função linear da participação dos salarios (do tipo c + dx) pelo nível de emprego neste mesmo instante de tempo. O sistema de equações diferenciais ordinárias é o mesmo da Seção 1.1. As constantes de cada uma das funções lineares são dadas por a = (α + γ) b = ρ c = 1/k + (α + β) d = 1/k Suponha que os dados da Tabela (3) sejam estimativas obtidas de quatro países diferentes. γ α β ρ k País A País B País C País D Tabela 3: Estimativas do modelo. (1) Considerando o tempo t medido em meses e as condições da Tabela (4) em janeiro/2014 para cada um dos quatro países, o que pode-se esperar da evolução dos salários e emprego nestes países durante o próximo ano? E nos próximos três anos? 1 O parâmetro γ não possui uma interpretação econômica estrita. Entretanto a presença de γ assegura que, em caso de aumento do desemprego, ou seja, quando k decresce, a variação dos salários também decresce e torna-se negativa. 5

6 x y Tabela 4: Possíveis condições em janeiro de O método de Runge-Kutta clássico Vamos aqui apresentar o método de Runge-Kutta clássico para a solução de (sistemas de) equações diferenciais ordinárias de primeira ordem, a partir dos valores iniciais das soluções. Em uma equação diferencial (ou sistema de equações) procura-se determinar uma função X(t) satizfazendo uma relação do tipo: X (t) = F (t, X(t)) com X(t 0 ) = X0 No caso geral X(t) é uma função definida em algum intervalo real, tomando valores em R m (ou seja, X(t) = (X 1 (t), X 2 (t),..., X m (t)), onde cada X i (t) é uma função real). A função F (t, X(t)) é definida em R m+1 e assume valores em R m. Caso F seja só uma função de X R m (ou seja, não dependendo explicitamente de t) temos um sistema autônomo. 2.1 Introdução Começaremos explicando o Método de Euler, que em breve será apresentado em sala de aula no curso. O descrevemos aqui apenas para facilitar a compreensão de outros métodos. Considerando o polinômio de Taylor da função x(t) obtemos: x(t + h) = x(t) + x (t)h + x ( t)h 2 /2 onde t se encontra entre t e t + h. Desta expressão temos: x(t + h) x(t) h = x (t) + x ( t)h/2 Se agora impusermos que x(t) é solução da equação diferencial (1) obtemos que: x(t + h) x(t) = f(t, x(t)) + x ( t)h/2 h O método de Euler irá empregar a aproximação x(t + h) x(t) h = f(t, x(t)) 6

7 sendo o erro cometido proporcional a h. Partindo do instante inicial t 0 onde conhecemos o valor inicial x 0 da solução, calcularemos sucessivamente as aproximações x i+1 = x i + hf(t i, x i ) onde t i = t 0 + ih, e x i é a aproximação de x(t i ). Calculamos a solução até um instante final t f em n passos, onde nh = t f t 0. Por exemplo, na equação x (t) = x(t) com x(0) = 1, temos a sequência x i+1 = x i + hx i = (1 + h)x i. Se tomamos t f = 1 e h = 1/n obtemos a aproximação para o valor de x(1): x n = (1 + h)x n 1 = (1 + h) n x 0 = (1 + 1/n) n Sabemos que a solução da equação é x(t) = e t e portanto x(1) = e. Vocês já viram em cálculo que lim n (1+1/n) n = e. Assim, a aproximação obtida pelo método de Euler para o valor da solução no instante 1 converge para o valor exato se fizermos o espaçamento h = 1/n entre dois instantes consecutivos tender a zero. Resumindo, se desejamos aproximar a solução da equação diferencial (1) no intervalo de tempo [t 0, t f ], subdividimos este intervalo em n partes de comprimento h = (t f t 0 )/n e aproximamos a solução em cada instante t i = t 0 + ih, i = 0,..., n, a partir de seu valor inicial x 0, computando: x i+1 = x i + hf(t i, x i ), i = 0,..., n Um Método de Quarta Ordem O método de Euler é bastante simples e fácil de implementar, porém apresenta uma convergência lenta, com o erro da ordem de h. Há métodos para solução de equações diferenciais que convergem muito mais rapidamente. Um método clássico, muito utilizado, é o método de Runge-Kutta Clássico, que tem erro da ordem de h 4. Neste método cada passo no tempo é calculado da seguinte forma (com a mesma notação usada no método de Euler), em 4 estágios: x i+1 = x i + (k 1 + 2k 2 + 2k 3 + k 4 )/6, onde k 1 = hf(t i, x i ) k 2 = hf(t i + 0.5h, x i k 1 ) k 3 = hf(t i + 0.5h, x i k 2 ) k 4 = hf(t i + h, x i + k 3 ) Veja que cada passo no tempo requer 4 avaliações da função f, uma em cada estágio. Você encontra no livro texto do curso (e verá também em sala de aula) uma descrição mais detalhada sobre métodos de Runge-Kutta, incluindo uma dedução de um método de ordem 2. A derivação do método acima é obtida de maneira análoga, sendo porém muito mais trabalhosa (e normalmente omitida nos livros didáticos). 7

8 2.3 Depurando sua implementação Para se ter certeza que o método numérico desejado foi corretamente implementado é necessário o uso de estratégias de depuração para remover eventuais erros de lógica ou de coeficientes ou parâmetros que tenham sido introduzidos inadvertidamente. Para isto, empregam-se aproximações do erro para diferentes passos de integração e um problema com solução exata conhecida, x(t). Tal estratégia é denominada verificação por solução manufaturada. Por exemplo, para um dado passo de integração h e um instante de tempo fixado t = t, calculam-se a soluções numéricas η(t, h) e η ( t, h 2 ) no instante t, usando-se os passos h e h/2, respectivamente. Se h for suficientemente pequeno, em primeira aproximação, tem-se as expressões para os erros e(t, h) = η(t, h) x(t ) e p (t ) h p, (2) e(t, h ( 2 ) = η t, h ) ( ) p h x(t ) e p (t ), (3) 2 2 nas quais pode-se demonstrar matematicamente que o fator e p (t ) não depende do passo de integração h, sendo p a ordem prevista pela teoria do método utilizado. No caso do método de Runge-Kutta clássico, p = 4. Note que o problema escolhido deve ter solução suficientemente diferenciável, isto é, com um número de derivadas superior à ordem do método. Em (2), o erro é conhecido uma vez que se tem à mão a solução exata x(t), para t = t. Desejase então certificar-se que o método tem, de fato, a ordem prevista na teoria, p. Para tanto, determinam-se η(t, h) e η ( t, h 2 ), as aproximações numéricas do problema no instante t = t, empregando-se passos de integração h > 0 e h 2, respectivamente. O valor absoluto do quociente entre (2) e (3) fornece η( t, h) x(t ) η ( ) t, h 2 x(t ) e p (t )h p e p (t ) ( h ) p = 2 p, (4) 2 ou seja, ( ) p η( t, h) x(t ) log 2 η ( ) t, h. (5) 2 x(t ) Quando esta estratégia é executada para passos de integração progressivamente menores h, h 2, h 4, h,..., obtém-se pelo uso sucessivo de (5) uma sequência 8 p 1, p 2, p 3, p 4,..., que converge à ordem p que a teoria prevê para o método numérico, desde que este tenha sido implementado corretamente e aplicado a um problema que tem solução suficientemente diferenciável. O procedimento de verificação por solução manufaturada não pode, por motivo algum, ser negligenciado. Para o bom programador, ele precede o uso regular do método no problema que se deseja solucionar numericamente. Usualmente, o procedimento de verificação deve ser efetuado para várias soluções manufaturadas com complexidade variada. 8

9 No caso de sistemas de EDOs, podemos usar a norma euclidiana ao invés do módulo apresentado nas equação acima. 3 Sua Tarefa Todos os alunos deverão depurar as suas implementações, de acordo com o que foi descrito acima, usando os testes iniciais abaixo, para os quais conhecemos as soluções analíticas. Além disso, escolha uma das 3 aplicações descritas inicialmente (pêndulo amortecido, modelos populacional e econômico) e analise o comportamento dos modelos com base no descrito na seção de Implementação das Aplicações abaixo. 3.1 Testes iniciais Testes para serem usados como guia na validação do seu código. Teste 1 - considere a equação diferencial x = F (t, x), com F : R 2 R dada por F (t, x) = 1 + (x t) 2. Integre-a a partir do valor inicial x(1.05) = até o tempo final t f = 3 pelo método de Runge-Kutta clássico. Teste 2 - considere a equação diferencial autônoma, X = F (X), com F (X) = AX, e X R 4, onde A = Integre-a a partir de X(0) = (1, 1, 1, 1) até t f = 2. A solução exata desta equação é e t sin t + e 3t cos 3t X(t) = e t cos t + e 3t sin 3t e t sin t + e 3t cos 3t e t cos t + e 3t sin 3t Teste 3 - Considere o sistema autônomo, X = F (X), com F (X) = AX e X R n, onde A é uma matriz tridiagonal n n, tal que A i,i = 2, i = 1,.., n, A i,i+1 = A i+1,i = 1, i = 1,.., n 1 e A i,j = 0 nas posições restantes. Este exemplo permite que você teste seu código para valores diversos de n. Use como condição inicial o vetor X(0) com componentes X(0) i = sin(πy i ) + sin(nπy i ), onde y i = i/(n + 1), para i = 1,..., n. A solução exata deste sistema é dada pelo vetor X(t) cujas componentes são: X(t) i = e λ1t sin(πy i ) + e λ2t sin(nπy i ), i = 1,..., n, com λ 1 = 2(1 cos(π/(n + 1))) e λ 2 = 2(1 cos(nπ/(n + 1))). 3.2 Implementação das Aplicações Para a implementação dos modelos da Seção 1, não conhecemos a solução exata e é necessário escolhermos um h adequado. É possível implementar métodos 9

10 Runge-Kutta com controle automático do tamanho do passo, para se garantir um erro dentro de uma tolerância. Para os modelos estudados aqui, usaremos uma estatégia diferente. Tanto no modelo populacional, quanto no modelo econômico, uma solução (x(t), y(t)) do sistema de EDOs satisfaz x(t) c y(t) a = E, edx(t)+by(t) onde E é constante (determinada pelas condições iniciais). Você deve demonstrar esta afirmação. Para estes modelos, aceitaremos um valor de h como adequado se o erro relativo desta "energia"nos instantes discretos for menor do que No caso do pêndulo, se não houver amortecimento (µ = 0), a energia E = 1 2 θ 2 ω 2 cos(θ) é constante ao longo de uma trajetória. Escolha h de forma que, quando µ = 0, a variação relativa da energia seja menor do que Regras do jogo Os resultados obtidos deverão ser organizados sob a forma de um relatório de forma a explicar as soluções obtidas na simulação numérica do problema. A ideia é que os alunos sejam capazes de transmitir ao leitor quais os resultados obtidos, quais as interpretações foram feitas com base nos resultados e quais conclusões podem ser tomadas sobre o assunto. A qualidade do relatório será o principal fator considerado na nota do aluno. Desta forma, é importante que os resultados obtidos e as conclusões sejam feitas de forma clara e objetiva. Cuidado com a língua portuguesa! O relatório não precisa ser extenso, tente se expressar de forma sucinta, discutindo os resultados e experimentos mais relevantes. Sugestões para incluir no relatório: 1. breve descrição do sistema de EDOs que modela o problema escolhido, com seus parâmetros; 2. experimentos de validação do método numérico implementado, com base nos testes iniciais e análise de convergência; 3. gráficos das variáveis de estado em função do tempo; 4. retratos no plano de fase das variáveis de estado; 5. discussões dos resultados apresentados nos itens anteriores, e outros comentários que se fizerem pertinentes e as conclusões. 10

11 A entrega deverá ser uma pasta compactada (zipada) contendo os itens: 1. Código(s) fonte do(s) programa(s); 2. Relatório em pdf contendo os resultados e as análises; 3. Arquivo leiame.txt contendo informações relevantes sobre a forma de se executar o programa. Linguagem: Você deve implementar o exercício programa em C/C++ (Turmas da elétrica) ou Python3.x (Demais turmas) Python: Pode usar: Matplotlib, NumPy e bibliotecas básicas auxiliares: sys, time, datetime, os, math. Não pode usar: SciPy C, C++: Não pode usar recursos de versões além de C/C++14. Pode usar qualquer biblioteca nativa do gcc/g++ (que não exiga instalção adicional). Atenção: O exercício pode ser feito em duplas, sempre com alguém da mesma área, não necessariamente da mesma turma. Apenas um aluno deve entregar o exercício, destacando no relatório e código o nome de ambos os alunos. 11