Mecânica dos Sólidos III. Solid Mechanics III. Semestre do plano de estudos 3

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1 Nome UC Mecânica dos Sólidos III CU Name Código UC 721 Curso MEC Semestre do plano de estudos 3 Área científica Engenharia Civil Duração Semestral Horas de trabalho 130 ECTS 5 Horas de contacto TP 45 Observações n.a. Docente responsável pela UC Sérgio Bruno Martins de Oliveira

2 Objetivos de aprendizagem (conhecimentos, aptidões e competências) A UC tem por objectivo o estudo das equações fundamentais da Mecânica dos Sólidos para o caso geral de equilíbrios tridimensionais e para o caso de estruturas planas (estados planos de tensão eou de deformação) e o estudo do principal método numérico utilizado na sua resolução - o método dos elementos finitos. No âmbito desta UC os alunos desenvolvem um programa de elementos finitos, em MATLAB, para análise estática de estruturas planas (equilíbrio de placa) ou de estruturas maciças tridimensionais. Como principais competências a desenvolver destaca-se: a) O domínio da teoria da tensões e das deformações e dos fundamentos da teoria da elasticidade. b) A capacidade para desenvolver modelos numéricos de elementos finitos planos eou tridimensionais. c) O domínio das técnicas de programação (em MATLAB) necessárias para o desenvolvimento de programas de elementos finitos. d) A capacidade para efectuar a análise de estruturas com base em resultados de modelos de elementos finitos. Learning outcomes of the curricular unit The learning objectives and specific skills to be developed by the students are the development of numerical FE programs using the MATLAB environment. Before developing such programs, students need to learn the theoretical foundations of the FEM oriented towards 2D and 3D structural analysis.

3 Conteúdos programáticos 1 - ESTRUTURAS MACIÇAS. ESTADOS DE TENSÃO-DEFORMAÇÃO TRIDIMENSIONAIS E LEI DE HOOKE GENERALIZADA Tensão como grandeza tensorial. Teoria das tensões e das deformações. Equações fundamentais da análise estrutural: equilíbrio; relações deformações-deslocamentos; constitutivas. Equação de Navier. 2- O MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS NA ANÁLISE ESTRUTURAL Apresentação do M.E.F.: formulação em deslocamentos - forma forte e forma fraca. Conceitos básicos: elemento finito, ponto nodal, graus de liberdade por ponto nodal. Funções de interpolação. Coordenadas gerais e locais: matriz Jacobiana. Tipos de elementos finitos. Assemblagem da matriz de rigidez global e do vector das forças. 3 - DESENVOLVIMENTO E UTILIZAÇÃO DE PROGRAMAS DE ELEMENTOS FINITOS Utilização de elementos finitos no cálculo de placas e de estruturas maciças 3D. Syllabus 1 - MASSIVE STRUCTURES. THREE-DIMENSIONAL STATES OF STRESS -STRAIN AND GENERALIZED HOOKE'S LAW Stress as a tensorial quantity. Theory of stresses and strains. Fundamental equations of structural analysis: equilibrium and strain-displacement and constitutive relations. Navier equation. 2 - THE FINITE ELEMENT METHOD IN STRUCTURAL ANALYSIS Presentation of the FEM: formulation in displacements - strong and weak forms. Basics: finite element, nodal point, degrees of freedom per nodal point. Interpolation functions. General and local coordinates: Jacobian matrix. Types of finite elements. Assembly of global stiffness matrix and force vector. 3 - USAGE AND DEVELOPMENT OF FINITE ELEMENT PROGRAMS Using finite elements in the calculation of plates and massive 3D structures.

4 Demonstração da coerência dos conteúdos programáticos com os objectivos da UC As competências a) e são adquiridas no Capítulo 1. As competência b) e c) são desenvolvidas no Capítulo 2. A competência d) é adquirida no Capítulo 3. Demonstration of the syllabus coherence with the curricular unit's objectives The competences a) e are learned and developed in the first chapter. Competences b) and c) are developed on the second chapter. Competence d) is developed in the third chapter.

5 Metodologias de ensino (avaliação incluída): A leccionação da UC é realizada através de aulas teórico-práticas Durante as aulas são propostos diversos problemas para os alunos resolverem como trabalho de casa com apoio do professor por via electrónica ( ). A avaliação da disciplina é realizada com base em testes (dois) eou exame e num trabalho final a realizar em grupo. No cálculo da média dos testes o 2º teste tem um factor de ponderação de 23, exigindo-se um mínimo de 8 valores em qualquer um deles. A nota do trabalho tem o peso de 13 na nota final. Alunos cuja nota final seja superior a 16 valores devem prestar uma prova oral para defesa da nota. Esta prova não é obrigatória, mas a não comparência implica a nota final de 16 valores. Teaching methodologies (including evaluation) The teaching of the curricular unit is done trough theoretical-practical classes. During classes several problems are proposed to the students as homework. If there are any questions the teacher can answer them by . The evaluation of the subject is done in two ways: tests (2) andor a final examination and a last assignment to be done in groups. In the evaluation by tests, the second one weights 23 and a minimum of 8 points (0-20 points) is required in any tests. The assignment grade weights 13 of the final grade of the subject. Students whose grade is higher than 16 points should attend an oral evaluation, which is not mandatory. Students that choose not to attend it, will get 16 points as final grade.

6 Demonstração da coerência das metodologias de ensino com os objectivos da unidade curricular Os trabalhos de programação em MATLAB desenvolvidos pelos alunos durante o corrente semestre, mostram que as metodologias de ensino empregues permitem atingir os objectivos estabelecidos e permitem que os alunos adquiram as competências pretendidas. As questões formuladas durante as aulas para serem resolvidas como trabalho de casa permitem que os alunos desenvolvam gradualmente as competências pretendidas. Em geral os alunos apercebem-se que as matérias tratadas têm interesse para a sua vida profissional, nomeadamente na área do projecto de estruturas. As provas escritas são elaboradas de modo a incluir uma questão com grau de dificuldade acima da média, procurando-se na medida do possível confrontar os alunos com uma situações novas.

7 Demonstration of the coherence between the teaching methodologies and the learning outcomes MATLAB programs developed by students during the semester, show that it is possible to achieve the proposed objectives for the subject using this teaching methodology. The assignments given during the class as homework allow the students to accquire the desired skills. Students often understand that the subjects studied are of great matter to their professional activities, namely in the area of structural design. The written tests are designed to include questions with a difficulty level higher than usual, in order to confront the students with new situations.

8 Bibliografia principal Oliveira, S. (2011) Mecânica dos Sólidos III. Folhas de apoio W.-F. Chen and A. Saleeb Constitutive Equations for Engineering Materials V, Elsevier Zienkiewicz and Taylor Finite Element Method, McGrawHill