EMPREGO DE RECURSOS COMPUTACIONAIS NA RESOLUÇÃO E VISUALIZAÇÃO DE PROBLEMAS DE PROGRAMAÇÃO LINEAR

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1 EMPREGO DE RECURSOS COMPUTACIONAIS NA RESOLUÇÃO E VISUALIZAÇÃO DE PROBLEMAS DE PROGRAMAÇÃO LINEAR Luís Alberto Duncan Rangel Escola de Engenharia Industrial e Metalúrgica de Volta Redonda da Universidade Federal Fluminense Av. dos Trabalhadores 420, Vila Santa Cecília, Volta Redonda-RJ, , duncanuff@hotmail.com Geice de Almeida Moraes Escola de Engenharia Industrial e Metalúrgica de Volta Redonda da Universidade Federal Fluminense Av. dos Trabalhadores 420, Vila Santa Cecília, Volta Redonda-RJ, , geicemoraes@yahoo.com.br Resumo A disciplina de Pesquisa Operacional é oferecida aos alunos, no sexto período, do curso de Engenharia de Produção da Escola de Engenharia Industrial Metalúrgica de Volta Redonda (EEIMVR), da Universidade Federal Fluminense. Dentre os diversos assuntos que constam da emanta desta disciplina, a Programação Linear é apresentada primeiramente devido a sua importância. Um bom entendimento deste tópico capacitará os alunos nos assuntos que serão abordados posteriormente nesta, e em outras disciplinas, tais como, Auxílio Multicritério à Decisão, Análise Envoltória de Dados, Logística, entre outras. Existem diversos recursos computacionais que estão disponíveis atualmente para implementação de Problemas de Programação Linear. Entre estes, o Maple se destaca pela facilidade no tratamento das tarefas matemáticas e ainda pela sua excelente interface gráfica, que possibilita uma melhor assimilação dos conteúdos. O presente trabalho tem por objetivo enfocar a implementação de alguns Problemas de Programação Linear no Maple e apresentar os recursos disponíveis que este software possui na visualização destes problemas, confirmando a grande utilidade desta ferramenta no ensino da Programação Linear. Palavras-chave Ensino, Programação Linear, Pesquisa Operacional, Maple. Abstract The course of Operational Research is offered to 3rd. year students of Production (Industrial) Engineering at EEIMVR-UFF. Among the various subjects of the course's program, Linear Programming is given right in the beginning of the course, due to its upmost importance. A good understanding of this topic will allow students to progress smoothly on upcoming themes, such as: Multicriteria Decision Aid, Data Development Analysis, Logistics, and others. Currently, there are many computational resources available for implementing Linear Programming problems. Among them, Maple stands out due to its ability to treat mathematical tasks, as well as for its superior graphical interface, which contributes to a better understanding of the contents. The main objective of this work is to discuss the implementation of some problems on Linear Programming, using the Maple program. In addition, the resources available for problem visualization will be presented, in order to confirm the great utility of this tool in the teaching of Linear Programming. Keywords Teaching, Linear Programming, Operational Research, Maple.

2 Introdução A Escola de Engenharia Industrial Metalúrgica de Volta Redonda é uma unidade da Universidade Federal Fluminense. Foi fundada em 1961, oferecendo primeiramente o curso de graduação em Engenharia Metalúrgica. A partir de 2001, esta unidade passou a oferecer também os cursos de Engenharia Produção e de Mecânica. A Pesquisa Operacional é vista como uma metodologia para estruturar processos por meio de construção de modelos, ou ainda como uma coletânea de técnicas quantitativas de otimização, visando a determinação de um conjunto de alternativas de ação (Loesh e Hein, 1999). A maioria das suas aplicações abrangem as áreas de administração, produção, engenharia, planejamento e organização entre outras. Seus fundamentos encontram-se na matemática, na Análise de Sistemas e na Estatística. A ferramenta de resolução, por excelência, é o computador, dado que os problemas reais aos quais as técnicas normalmente se aplicam conduzem à construção de modelos matemáticos de porte médio ou grande, de solução manual muito difícil. Diversos fatos ocorreram ao longo da história visando a modelagem e estudos de sistemas reais, mas os dois fatos que marcaram a origem da Programação Linear foram as pesquisas realizadas por Kontorovich, que em 1939 apresenta o trabalho "Métodos Matemáticos de Organização e Planejamento da Produção", formulado na forma de um problema de programação linear e as pesquisas realizadas por Dantzig, que em 1947 apresenta o Método Simplex para resolver tais problemas. O Maple (Maple, 2004) é um software mundialmente reconhecido no tratamento de tarefas matemáticas, que foi criado por volta de 1980 com o objetivo preliminar de projetar um sistema algébrico que fosse acessível a um grande número investigadores na matemática, na engenharia, na ciência, e a um grande número estudantes para finalidades educacionais. Ensino da Programação Linear O curso de Engenharia de Produção da Escola de Engenharia Industrial Metalúrgica de Volta Redonda da Universidade Federal Fluminense oferece duas disciplinas com o nome de Pesquisa Operacional, a Pesquisa Operacional I e II. A Programação Linear é um dos assuntos que é visto na disciplina de Pesquisa Operacional I. A ementa desta disciplina ainda aborda os seguintes assuntos, Histórico da Pesquisa Operacional, Modelagem, Resolução Gráfica de PPL, Método Simplex, Dualidade, Análise Econômica, Análise de Sensibilidade, Problema de Transporte, Problema de Designação, Programação Inteira e Programação Não-Linear. Nestas duas disciplinas de Pesquisa Operacional são ministradas aulas teóricas e aulas práticas. Nas aulas práticas são utilizados os computadores do laboratório de informática da Escola. Nestes computadores estão instalados diversos programas. Nas aulas de Programação Linear são utilizados dois programas, o Lindo (Lindo, 2004) e o Solver do Excel (Matthews, 1993). O primeiro tema abordado dentro da Programação Linear é a Modelagem dos Problemas (Goldbarg e Luna, 2000), (Lachtermacher, 2002), onde os problemas são discutidos e as variáveis de decisão, as restrições e a função objetivo são identificadas, obtendo-se assim os modelos matemáticos dos problemas. Nesta fase do aprendizado resolvem-se problemas com duas variáveis de decisão empregando a Programação Linear (Hillier e Lieberman, 1995), (Puccini e Pizzolato, 1989). Em seguida é vista o Método de Solução Gráfica dos PPL (Taha, 1997), (Ravindran et al.,1986), onde os problemas são resolvidos graficamente. Esta dinâmica no ensino deste assunto tem sido muito 402

3 elogiada pelos alunos, mas também vem recebendo algumas críticas. Os elogios são sempre bem recebidos por nós e nos dá uma satisfação muito grande, mas e as críticas, o que fazer? Fazendo o levantamento desses pontos que alguns alunos estavam com dificuldades para assimilar o entendimento do assunto, verificou-se que era exatamente na confecção e na visualização da solução dos problemas, pois na resolução gráfica dos problemas de programação linear, os mesmos eram resolvidos elaborando-se gráficos feitos manualmente e muitos desses alunos apresentavam dificuldades. Uma consulta foi realizada com os alunos e dos recursos computacionais existentes e que a escola dispunha, o Maple (Maple, 2004) foi selecionado para ser empregado para a construção dos gráficos, devido a sua facilidade. Diversos exemplos foram elaborados visando a resolução dos PPL graficamente. A seguir, apresentam-se alguns desses exemplos elaborados. Exemplos de Problemas de Programação Linear Este exemplo de Problema de Programação Linear será modelado para a busca de sua solução ótima. Este problema será implementado no Lindo (Lindo, 2004) e no Excel (Matthews, 1993) e posteriormente através do Maple (Maple, 2004). Exemplo 1: Uma empresa metalúrgica desenvolveu dois produtos metálicos para colocar no mercado. Os produtos serão fabricados a partir das duas máquinas existentes na empresa: a Máquina A e a Máquina B. Devido ao tempo de manutenção diferenciado exigido por cada máquina, os tempos disponíveis de cada máquina para a usinagem são diferentes. O tempo de manutenção requerido pela Máquina A é de (4%) e o da Máquina B é de (2%) em relação ao tempo total disponível de utilização das máquinas. O número de horas de máquinas requerido para a fabricação de uma unidade da cada produto é dado pela Tabela I abaixo: Tabela I Produto Máquina A B I 6 5 II 4 7 Sabendo que a empresa metalúrgica dispõe de 50 horas semanais e que o lucro com a venda de uma unidade do Produto I e II é de R$ 10,00 e R$ 12,00 respectivamente, determine quantas unidades fabricar de cada produto de modo a maximizar o lucro? Para o Problema de Programação Linear descrito acima, temos: Variáveis de Decisão: X quantidade de peças a serem fabricada do Produto I Y - quantidade de peças a serem fabricada do Produto II Disponibilidades das Máquinas: Máquina A (96% do tempo total, que é de 50 horas semanais) = 48 Máquina B (98% do tempo total, que é de 50 horas semanais) = 49 Restrições devido às Máquinas: Máquina A: 6X + 4Y < 48 Máquina B: 5X + 7Y < 49 Restrições devido a não negatividade das variáveis: X > 0 e Y > 0. Função Objetivo: Maximizar o lucro: 10 X + 12 Y 403

4 Desta forma obtém-se o Modelo Matemático para o Problema de Programação Matemática: Max Z = 10 X + 12 Y Sujeito a: 6X + 4Y < 48 5X + 7Y < 49 X > 0, Y > 0 A solução ótima obtida pela implementação do PPL através do Lindo e do Excel são as mesmas. Os valores ótimos são os seguintes, Z = 93,09091; X = 6, e Y = 2, Ambos os softwares, Lindo (Lindo, 2004) e Excel (Matthews, 1993), não têm recursos para visualização da solução ótima, da região viável, o que é uma desvantagem do ponto de vista didático. O Maple (Maple, 2004) possui diversas bibliotecas que permitem determinar a solução analítica e gráfica de um PPL. Para a solução analítica, o Maple (Maple, 2004) utiliza a biblioteca interna chamada de Simplex que possui funções predefinidas, tais como, maximize e minimize. Para empregar essas funções, ainda são necessários a definição da função objetivo e do conjunto de restrições conforme apresentado no Anexo 1. A solução analítica obtida é a seguinte, Z = 1024 / 11 ( 93,09091), X = 6,3636 e Y = 2,4545. Para a solução gráfica, o Maple utiliza a biblioteca Plots que possui funções predefinidas, tais como; inequal, plot e display. Seu emprego permite traçar o gráfico da região viável fornecida pelo conjunto de restrições definidas no problema abordado, bem como a função objetivo. A solução gráfica deste PPL é apresentada na Figura I. Z* = 93,09 Z1 = 40 X* = 6,36 Y* = 2,45 X Z2 = 60 Figura I. Além dos recursos e bibliotecas já citadas, o Maple (Maple,2004) é ainda capaz de realizar animações para problema de programação linear, mostrando o crescimento ou o decrescimento da função objetivo, sendo então, mais uma das vantagens deste software. 404

5 A seguir serão implementados mais alguns modelos matemáticos com a finalidade de explorar o Maple (Maple, 2004). Exemplo 2: Função Objetivo: Max. Z= 3X + 4Y Sujetio a: 7X + 4Y 28 () Y 4 () X 0 () Y 0 () A solução analítica: Z = 148/7 (21,1428), X = 12/7 (1,7143) e Y= 4. A solução gráfica é apresentada na Figura II. Z1 = 18 X* = 12 / 7 Y* = 4 SOLUÇÕES VIÁVEIS Z* = 148/ 7 Figura II. Exemplo 3: Função Objetivo: Max. Z = 2X + 5Y Sujeito a: 6X + 2Y 12 () 4X + 6Y 24 () X 0 () Y 0 () A solução analítica: Z = 132/7 (18,8571), X = 6/7 (0,8571) e Y = 24/7 (3,4286). 405

6 A solução gráfica é apresentada na Figura III. X* = 6/7 Y* = 24/7 Z* =132/7 SOLUÇÕES VIÁVEIS Z1 = 15 X Figura III. Exemplo 4: Função Objetivo: Max. Z = 2X + 3Y Sujeito a: 6X + 2Y 12 () 4X + 6Y 24 () X 0 () Y 0 () A solução analítica: Z = 12, X = 6/7 (0,8571) e Y= 24/7 (3,4286). A solução gráfica é apresentada na Figura IV. SOLUÇÕES VIÁVEIS Figura IV. Z1 = 8 Z2 = 11 Com base no gráfico, identificamos o paralelismo das retas geradas para diferentes valores da função objetivo (Z1 = 8 e Z2 = 11) e da reta da restrição. A partir daí, podemos constatar a existência de infinitas soluções ótimas, pois a função objetivo é paralela a reta, entre os pares de pontos (6/7; 24/7) e (6; 0) gerado pelo conjunto de restrições. 406

7 Na solução analítica, o Maple (Maple, 2004) só fornece um desses pontos como resposta, ou seja, o primeiro encontrado pelo programa. Porém, através da solução gráfica podemos interpretar a resposta encontrada. Este mesmo problema ocorre na solução analítica apresentada pelo Lindo (Lindo, 2004) e pelo Excel (Matthews, 1993). Exemplo 5: Função Objetivo: Max. Z= 3X + 4Y Sujeito a: 7X + 4Y 28 () Y 4 () X 0 () Y 0 () A solução analítica: Z = 3x + 4y, X = e Y =. A solução gráfica é apresentada na Figura V. Z1 = 20 SOLUÇÕES VIÁVEIS Figura V. O Maple (Maple, 2004) não forneceu solução analítica para este problema de programação linear que apresenta um conjunto de soluções ótimas ilimitado. Graficamente é possível verificar que o conjunto de soluções viáveis não é totalmente limitado pelo conjunto das restrições, ou seja, a função objetivo pode crescer indefinidamente naquela direção. Por este motivo o Maple (Maple, 2004) simplesmente não retorna nenhum valor para as variáveis da solução analítica. Porém, graficamente é perceptível que esse é um problema de programação linear ilimitado. Exemplo 6: Função Objetivo: Max: Z = 2x + y Sujeito a: 407

8 4X + 3Y 12 () X + Y 6 () X 0 () Y 0 () A solução analítica: Z = 2x + y, X = { } e Y = { } A solução gráfica é apresentada na Figura VI. Figura VI. Como solução analítica o Maple fornece um conjunto vazio { }, o que é perceptível graficamente observando as restrições presentes e a inexistência de uma região tal que todas as restrições possam ser obedecidas. Desta forma, não há nenhuma região viável para solução do problema. Conclusão Este artigo apresentou diversos exemplos que foram implementados no Lindo (Lindo, 2004), no Excel (Matthews, 1993) e também através do Maple (Maple, 2004). Os resultados apresentados pelos dois primeiros programas foram os mesmos, enquanto que o Maple (Maple, 2004) não forneceu nenhum valor para as variáveis de decisão quando a solução era ilimitada. Quando o problema de programação de linear apresenta uma única solução ótima e infinitas soluções ótimas os três programas apresentam a mesma solução, mas no segundo caso, quando o PPL apresenta infinitas soluções ótimas, a visualização através do emprego de gráfico torna mais claro para os alunos este conjunto de soluções. O Maple (Maple, 2004) apresenta algumas limitações em se resolver PPL. Uma primeira é o de se trabalhar com problemas que possuem somente duas variáveis, pois o gráfico que o Maple (Maple, 2004) fornece para três variáveis não é de fácil interpretação, não auxiliando em nada o entendimento dos problemas. Uma segunda limitação do Maple (Maple, 2004) é não fornecer uma resposta concreta, como o Lindo (Lindo, 2004), para PPL inviáveis. 408

9 Os recursos que o Maple (Maple, 2004) oferece para confeccionar gráficos da região viável de PPL s que apresentam uma única solução ótima e infinita soluções ótimas, facilitam o aprendizado e contribui muito para entendimento de PPL. O Maple (Maple, 2004) apresenta ainda a facilidade de se plotar diversos valores para a função objetivo até atingir o valor ótimo, isto apresentado em forma de filme. O Maple (Maple, 2004) mostra-se vantajoso em relação aos outros softwares, pois associa a solução analítica à solução gráfica de PPL, identificando a região viável e traçando diversas retas para diferentes valores da função objetivo. Desta forma, este software auxilia o ensino da programação linear e capacita os alunos em problemas de ordem superior. Referências Bibliográficas Goldbarg, M. C., Luna, H. P. L. Otimização combinatória e programação linear: modelos e algoritmos. Rio de Janeiro, Ed. Campus, Hillier, F.S., Lieberman, G.J. Introduction to Operational Research. Singapure, McGraw-Hill Co. 6thed Lachtermacher, G. Pesquisa Operacional na Tomada de Decisão. Rio de Janeiro, Ed. Campus, Lindo. Lindo Systems Incorporation. Disponível em: < Acesso em: 8 junho Loesch, C., Hein, N. Pesquisa Operacional Fundamentos e Modelos. Blumenau, Ed. FURB, Maple. Waterloo Maple Incorporation. Disponível em: < Acesso em: 1 junho Matthews, M.S. Excel for Windows: Guia do usuário. São Paulo, Ed. Makron Books, Puccini, A. de L., Pizzolato, N.D. Programação Linear. Rio de Janeiro, Ed. LTC Livros Técnicos e Científicos, Ravindran, A., Phillips, D. T., Solberg, J. J. Operations Research: Principles and Practice. USA, John Wiley & Sons, Taha, H.A. Operations research: an introduction. New Jersey, Macmillan Publishing Company, 6thed, Início do Programa e Busca de Bibliotecas ANEXO I - MAPLE Luís Alberto Duncan Rangel Geice de Almeida Moraes Toda implementação realizada no Maple (Maple, 2004) deve ser iniciada utilizando o comando restart. As linhas seguintes que começam pelo comando with, são responsáveis por chamar as bibliotecas que serão utilizadas para a solução dos problemas. Neste caso, as bibliotecas que serão utilizadas Plots e Simplex constam entre os parênteses. Os comandos devem ser finalizados por ponto e vírgula ; ou dois pontos :, sendo que no caso de ponto e vírgula o programa resolve a expressão e no caso de dois pontos ele lê e armazena. restart; with ( plots ): with ( simplex ): 2. Definindo o Problema o conjunto de restrições e a função objetivo O conjunto de restrições é definido da maneira como exemplificado abaixo, ou seja, escrevendo cada restrição com os sinais das operações elementares (multiplicação, divisão, adição e subtração) 409

10 equivalentes a forma usada em Excel e separando as restrições por vírgulas. Existem outras formas de escrever e solucionar um PPL no Maple (Maple, 2004), porém a forma que aqui se encontra, que julgamos ser a de mais fácil assimilação e entendimento, deve também levar em consideração as restrições de não-negatividade das variáveis. A função objetivo também pode ser representada utilizando as mesmas considerações para as restrições. Restrições := {7*x+4*y<=28, y<=4, x>=0, y>=0}; Função objetivo := 3*x + 4*y; 3. Solução Analítica do PPL A solução é obtida quando utilizamos os comandos maximize ou minimize para o conjunto de restrições e função objetivo definidos anteriormente. sol := maximize ( função objetivo, restrições); subs ( sol, função objetivo ); 4. Solução Gráfica do Problema A solução gráfica, provavelmente a parte mais interessante do uso do Maple (Maple, 2004), pode ser obtida através da utilização dos seguintes blocos de comandos, inequal, plot e display. Primeiramente o comando inequal fornece dados ao programa de como será definida sua região viável, ou seja, quais são as restrições que a definem, em qual intervalo o gráfico será apresentado e qual a cor de preenchimento da mesma e de seus arredores. O comando plot permite que a várias retas da função objetivo sejam traçadas na medida em que se altera o valor de Z. A equação destas retas deve ser escrita explicitando o valor de y (ordenada). Um aspecto interessante é o uso dos dois pontos no final das linhas de comando. Quando estes encerram tais linhas de comando, o programa lê os dados e armazena o que daria como resposta. Neste caso as respostas individuais seriam gráficos, cada qual traçado num par de eixos diferentes. Mas, como o desejado neste caso é observar como se comporta determinada função objetivo segundo um conjunto de restrições, utilizamos o comando display que permite o traçado dos dois gráficos num mesmo par de eixos. i:= inequal(restrições, x= -1..9, y =-1..9, optionsfeasible = (color = gray), optionsexcluded = (color = white), optionsclosed = (color = black), thickness=2): p:= plot([ (18-3*x)/4, ((148/7) - 3*x)/4], x=-1..9,y=-1..9, color =[ black, black],thickness = [2,2]): plots[display](i,p); O Maple (Maple, 2004) permite ainda a implementação de PPL s utilizando animações da função objetivo na sua direção de crescimento (ou decrescimento), o que está contido no procedimento abaixo. Maximizar := proc(a,b,c,d) local solution, value, anim, area: solution:=maximize( Objetivo, Restrições): value:= subs ( solution, Objetivo): anim:= animate( solve( Objetivo=u,y ), x=a..b, u=0..subs( solution,objetivo),color=blue): area:= inequal (Restrições, x=a..b, y=c..d, optionsfeasible=(color=yellow), optionsexcluded = (color =white ), optionsclosed=(color=coral), thickness=2 ): print (À região e a função objetivo`); print ( display( anim, area )); print (Ò ponto ótimo é`); print ( solution ); print (À função objetivo tem o valor de`); print ( value ); end: 410