GSCI - GSIG. 2 Programação Linear. Prof. Ricardo Villarroel Dávalos, Dr. Eng.

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1 GSCI - GSIG 2 Programação Linear Prof. Ricardo Villarroel Dávalos, Dr. Eng. ricardo.davalos@unisul.br Fpolis, Setembro de 2012

2 2.4 Modelagem do Problema Problema MODELO: * Restrições <=; >=; = * Função custo Manual: Gráfica e Excel Solução Algoritmo: Simplex Ferramentas: Lindo e Solver (

3 2.4.1 Modelo de alocação de recursos a)problema de Alocação de Recursos: Uma fábrica produz dois tipos de produtos: Standard e Luxo. Cada modelo Standard requer 4 horas de corte e 2 horas de polimento; cada Luxo requer de 2 horas de corte e 5 horas de polimento. A fábrica possui 2 cortadoras e 3 polidoras. Sabendo-se que a semana de trabalho da fábrica é de 40 horas e que cada modelo Standard dá um lucro de R$ 3,00 e cada modelo Luxo R$ 4,00 e que não há restrições de demanda, pede-se qual deve ser a produção da fábrica que maximize o lucro.

4 2.4.1 Modelo de alocação de recursos Maximizar Z= 3X1 + 4X2 Sujeito a: Com: 4X1 + 2X2 80 2X1 + 5X2 120 X1 e X2 0 Solução: X1 = 10; X2 = 20 ; Z = R$ 110

5 2.4.1 Modelo de alocação de recursos

6 2.4.2 Modelo Aplicado a uma fazenda (2) Um fazendeiro tem 200 unidades de área de terra, onde planeja cultivar trigo, arroz e milho. A produção esperada é de 1800 Kg por unidade de área plantada de trigo, 2100 Kg por unidade de área plantada de arroz e 2900 Kg por unidade de área plantada de milho. Para atender o consumo interno de sua fazenda, ele deve plantar pelo menos 12 unidades de área de trigo, 16 unidades de área de arroz e 20 unidades de área de milho. Ele tem condições de armazenar no máximo ,0 Kg. Sabendo que o trigo dá um lucro de 0,20 R$/Kg, o arroz 0,15 R$/Kg e o milho 0,11 R$/Kg, quantas unidades de área de cada produto ele deve plantar para que seu lucro seja o maior possível?.

7 2.4.2 Modelo Aplicado a uma fazenda Maximizar Z= 360X X X3 Sujeito a: X1 + X2 + X X1 +2.1X X3 700 X1 12 X2 16 X3 20 Com: X1, X2 e X3 0 Solução: X1 = 164; X2 = 16 ; X3=20 Z = R$

8 2.4.2 Modelo Aplicado a uma fazenda (2)

9 2.4.3 Modelo aplicado a investimentos No início do quinto mês a partir da próxima semana, uma empresa precisará de maior disponibilidade de caixa que puder obter a partir de seus próprios recursos. No início dos meses 1, 2 e 3 ela estima ter disponível $R ,00; $R ,00; e $R ,00. As alternativas de investimento para esta disponibilidade financeira são as seguintes: i. No início dos meses 2, 3 e 4 : investir por um mês com retorno de 3,11% no final do período. ii. No início dos meses 1 e 3: investir por dois meses com retorno de 6,09% no final do período. iii. No início do mês 2: investir por três meses com retorno de 10,5% no final do período. iv. No início do mês 1: investir por quatro meses com retorno de 13,8% no final do período. Xij: Quantidade a investir no periodo i com início no mês j.

10 2.4.3 Modelo aplicado a investimentos Maximizar S5 = S X X X X14 Sujeito a: Mes1) X21 + X41 + S1 <= Mes2) X12 + X32 + S2 - S1 <= Mes3) X23 + X13 + S3 - S x x12 <= Mes4) X14 + S4 - S X13 <= 0 Com: Xij 0 Solução: S5 = (sem aplicar R$ 92000)

11 2.4.3 Modelo aplicado a investimentos

12 Exercício 3: itens 1, 2 e 3 22/08/2012

13 Exercício 3 Item 2

14 Exercício 3 Item 2 Quantas molduras de cada modelo a fábrica deve montar se desejar maximizar o rendimento obtido com as vendas? Solução: Z (Lucro) = R$ 412,00 X1 (modelo A) = 2,1 X2 (modelo B) = 2,7

15 Programação Inteira, Binária e Mixta Programação Inteira: Resultados inteiros (colocar no Lindo GIN X1); Programação Binária: Resultados binários 0/1 (Colocar no Lindo INT X1); Programação Mista: Resultados inteiros e binários (Lindo GIN X1 e INT X2).

16 Exercício 3 Item 5 Quantas molduras de cada modelo a fábrica deve montar se desejar maximizar o rendimento obtido com as vendas? Solução utilizando Programação Inteira (GIN X1; GIN X2) : Z (Lucro) = R$ 395,00 X1 (modelo A) = 3 X2 (modelo B) = 1

17 Modelos de Programação Linear Aplicados ao Transporte

18 2.4.4 Modelo de Transportes O transporteé responsável pela maior parcela dos custos logísticos; Objetivo logístico: produto certo, na quantidade certa, na hora certa, no lugar certo ao menor custo possível; Preocupação constantena redução dos custos; Prestadores de serviços logísticos integrados; Suporte da Tecnologia de Informação; Sistemas ERP e SCM.

19 2.4.4 Modelo de Transportes

20 2.4.4 Modelo de Transportes

21 Artigo: Sistemas de roteirização e programação de veículos

22

23 Artigo: TI e os processos de roteirização com...

24 2.4.4 Modelo de Transportes Minimizar z Sujeita a origem) m j= 1 x n m = ij i= 1 j= 1 = a j c ij x ij Destino ) n i= 1 x ij = b i Todas as var iáveis >= 0

25 2.4.4 Modelo de Transportes Simples - Equilibrado Problema de Transportes Equilibrado: Um sistema com três fontes e dois destinos apresenta os dados a seguir. Capacidades das fontes: a 1 = 50, a 2 = 100 e a 3 = 120; Demanda dos destinos: b 1 = 100 e b 2 = 170; Custos de transporte das rotas: c 11 = 10, c 12 = 12, c 21 = 20, c 22 = 8, c 31 = 6 e c 32 = 15. Pede-se: Qual é o modelo de transporte que minimiza o custo?

26 2.4.4 Modelo de Transportes Simples - Equilibrado Origem Transporte c11 =10 Destino Equilibrado 50 1 c12 =12 c21 = c22 = c31 =6 c32 =

27 2.4.4 Modelo de Transportes Simples - Equilibrado! Problema de transportes (Origem- Destino) Min 10x x x21 + 8x22 + 6x x32 Subject to Orig 1) x11 + x12 = 50 Orig 2) x21 + x22 = 100 Orig 3) x31 + x32 = 120 Dest 1) x11 + x21 + x31 = 100 Dest 2) x12 + x22 + x32 = 170 End

28 2.4.4 Modelo de Transportes Simples - Equilibrado

29 2.4.4 Modelo de Transportes Simples - Equilibrado

30 2.4.5 Modelo de Transportes Simples - Desequilibrado Problema de Transportes Desequilibrado: Um sistema com três fontes e dois destinos apresenta os dados a seguir. Capacidades das fontes: a 1 = 50, a 2 = 100 e a 3 = 120; Demanda dos destinos: b 1 = 90 e b 2 = 150; Custos de transporte das rotas: c 11 = 10, c 12 = 12, c 21 = 20, c 22 = 8, c 31 = 6 e c 32 = 15. Pede-se : Qual é o modelo de transporte que minimiza o custo?

31 2.4.5 Modelo de Transportes Simples - Desequilibrado Origem Transporte c11 =10 Destino Desequilibrado 50 1 c12 =12 c21 = c22 = c31 =6 c32 =

32 2.4.5 Modelo de Transportes Simples - Desequilibrado! Problema de transportes (Origem- Destino) Min 10x x x21 + 8x22 + 6x x32 Subject to Orig 1) x11 + x12 + x13 = 50 Orig 2) x21 + x22 + x23 = 100 Orig 3) x31 + x32 + x33 = 120 Dest 1) x11 + x21 + x31 = 90 Dest 2) x12 + x22 + x32 = 150 Dest 3) x13 + x23 + x33 = 30 End

33 2.4.5 Modelo de Transportes Simples - Desequilibrado

34 2.4.5 Modelo de Transportes Simples - Desequilibrado

35 2.4.6 Modelo de Transportes Simples Demanda Máximas e Mínimas Problema de Transportes com Demandas Máximas e Mínimas: Um sistema com três fontes e dois destinos apresenta os dados a seguir. Capacidades das fontes: a 1 = 50, a 2 = 100 e a 3 = 120 Demanda dos destinos: b 1max = 120; b 1min = 80; b 2max = 170 e b 2min = 150 Custos de transporte das rotas: c 11 = 10, c 12 = 12, c 21 = 20, c 22 = 8, c 31 = 6 e c 32 = 15 Pede-se: Qual é o modelo de transporte que minimiza o custo?

36 2.4.6 Modelo de Transportes Simples Demanda Máximas e Mínimas Origem Transporte c11 =10 Destino 50 1 Dmin = 80 c12 = c22 =8 c31 =6 c21 =20 c32 =15 2 Demandas Dmax = 120 Dmin = 150 Dmax = Dmin = 230 Dmax = 290

37 2.4.6 Modelo de Transportes Simples Demanda Máximas e Mínimas! Problema de transportes (Origem- Destino) Min 10x x x21 + 8x22 + 6x x32 Subject to Orig 1) x11 + x12 = 50 Orig 2) x21 + x22 = 100 Orig 3) x31 + x32 = 120 Dest 1) x11 + x21 + x31 >= 80 Dest 1) x11 + x21 + x31 <= 120 Dest 2) x12 + x22 + x32 >= 150 Dest 2) x12 + x22 + x32 < =170 End

38 2.4.6 Modelo de Transportes Simples Demanda Máximas e Mínimas

39 2.4.6 Modelo de Transportes Simples Demanda Máximas e Mínimas

40 2.4.5 Modelo de Transportes Avançado

41 2.4.5 Modelo de Transportes Avançado A função objetivo deve representar o somatório dos custos de transporte de todas as rotas possíveis; As restrições devem respeitar: 1) A saída de cada fábrica deve ser menor/igual à sua capacidade máxima de produção; 2) A chegada a um depósito deve ser igual à sua necessidade; 3) O balanço de massa em qualquer estação intermediária (P e Q) deve ser igual a zero.

42 2.4.5 Modelo de Transportes Avançado

43 2.4.5 Modelo de Transportes Avançado Minimizar Z = 2F1Q + 3QP +3PQ + 5PD1 Sujeito a: F1) F1Q <= 30 D1) PD1 = 25 Q) F1Q + PQ QP = 0 P) QP - PD1 PQ = 0 Com F1Q, PD1, PQ, QP >= 0

44 2.4.5 Modelo de Transportes Avançado

45 2.4.5 Modelo de Transportes Avançado

46 2.4.5 Modelo de Transportes Avançado

47 Exercício 3: Itens 3 e 4 5/09/2012

48 Exercício 3 Item 4

49

50

51

52 Exercício 3 Item 5

53 Exercício 4 Item 5

54 Exercício 4 Item 5

55 Exercício 4 Item 3

56 Acompanhamento dos Exercícios

57 Notas dos Exercícios