UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO ESCOLA DE MINAS COLEGIADO DO CURSO DE ENGENHARIA DE CONTROLE E AUTOMAÇÃO - CECAU VICTOR TEIXEIRA DE MELO MAYRINK

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO ESCOLA DE MINAS COLEGIADO DO CURSO DE ENGENHARIA DE CONTROLE E AUTOMAÇÃO - CECAU VICTOR TEIXEIRA DE MELO MAYRINK OTIMIZAÇÃO DA ALOCAÇÃO DA MÃO DE OBRA NO PLANEJAMENTO DO SISTEMA DE TRANSPORTE PÚBLICO MONOGRAFIA DE GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA DE CONTROLE E AUTOMAÇÃO Ouro Preto, 2010

2 VICTOR TEIXEIRA DE MELO MAYRINK OTIMIZAÇÃO DA ALOCAÇÃO DA MÃO DE OBRA NO PLANEJAMENTO DO SISTEMA DE TRANSPORTE PÚBLICO Monografia apresentada ao Curso de Engenharia de Controle e Automação da Universidade Federal de Ouro Preto como parte dos requisitos para a obtenção do Grau de Engenheiro de Controle e Automação. Orientador: Prof. Dr. Gustavo Peixoto Silva Ouro Preto Escola de Minas UFOP Dezembro/2010

3 ii M474o Mayrink, Victor Teixeira de Melo. Otimização da alocação da mão de obra no planejamento do sistema de transporte público [manuscrito] / Victor Teixeira de Melo Mayrink f. : il., color., graf., tab. Orientador: Prof. Dr. Gustavo Peixoto Silva. Monografia (Graduação) Universidade Federal de Ouro Preto. Escola de Minas. Colegiado do Curso de Engenharia de Controle e Automação. Área de concentração: Pesquisa Operacional. 1. Transporte urbano. 2. Política urbana. 3. Pesquisa operacional. I. Universidade Federal de Ouro Preto. II. Título. CDU: Fonte de catalogação: bibem@sisbin.ufop.br

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5 iv AGRADECIMENTOS Agradeço a Deus. Aos meus pais, Sérgio e Selma, por terem feito da educação de seus filhos uma prioridade em suas vidas. Aos meus irmãos pela amizade e conhecimento compartilhado, e todos os familiares e amigos que me apoiaram. A minha namorada Giselle pelo amor e incentivo. Ao professor e amigo Gustavo Peixoto pelos ensinamentos e orientação deste trabalho. A Escola de Minas pela excelência no ensino. A Fundação Gorceix e CNPQ pelo apoio financeiro.

6 v A imaginação é mais importante que o conhecimento (Albert Einstein)

7 vi RESUMO O Problema de Rodízio das Tripulações (PRT) compreende uma das etapas do planejamento do sistema de transporte público urbano e tem como finalidade atribuir a cada tripulação de uma empresa de transporte público uma sequência mensal de jornadas diárias de trabalho. O objetivo dessa etapa do processo de planejamento consiste em aperfeiçoar a alocação das tripulações em suas jornadas diárias de trabalho de tal forma que a carga mensal de trabalho atribuída às tripulações seja a mais equânime possível. O horizonte de planejamento usualmente corresponde a um mês e deve prever as atividades dos dias úteis, sábados, domingos e feriados, de acordo com o calendário do período planejado. Uma boa solução para o PRT proporciona um ambiente de trabalho mais justo e amigável para os funcionários e reduz os custos com mão de obra. A modelagem do problema tem como objetivo minimizar o total de tripulações assim como a quantidade de horas extras pagas pela empresa, devendo considerar uma série de restrições de ordem operacional e trabalhista. Neste trabalho o PRT foi abordado como uma sequência de problemas de designação das jornadas diárias e solucionado computacionalmente através de um algoritmo de fluxo em redes. Este modelo tem como objetivo tornar a escala mensal mais equilibrada tendo em vista a minimização da quantidade acumulada de horas extras e de ociosidade. Em seguida, é apresentado um modelo inédito de programação inteira para atribuir folgas às tripulações ainda não contempladas naturalmente na etapa anterior. Este segundo modelo tem como objetivo minimizar o número de duplas do tipo folguista contidas no sistema. O modelo proposto foi testado com dados reais de uma empresa que opera na cidade de Belo Horizonte - MG. Os resultados obtidos revelaram uma redução do total de funcionários necessários e do número de horas-extras pagas, mostrando-se consideravelmente superiores àqueles apresentados na solução realizada pela empresa. Palavras-chave: Transporte Público Urbano, Problema de Rodízio das Tripulações, Pesquisa Operacional Aplicada ao Transporte de Passageiros.

8 vii ABSTRACT The Crew Rostering Problem CRP is a step in the planning of the urban public transport system and aims to assign to each crew, from a public transport company, a monthly sequence of job journeys. The purpose of this step is to optimize the allocation of the crews in their daily job journeys so that the monthly charge of work assigned to the crews be the most equitable possible. The planning horizon usually corresponds to a month and should predict the activities of the weekdays, Saturdays, Sundays and holydays, according to the planned calendar. A good solution to the CRP provides a work environment more friendly and fair for the employees and reduces the manpower costs. The modeling of the problem aims to minimize the total number of crews as well as the amount of overtime paid by the company and must consider a set of operational and labor restrictions. In this work the CRP was approached as a sequence of daily journey assignment problems and solved computationally through a network flow algorithm. This model aims to create month job scales more balanced, in order to minimize the amount of accumulated overtime and idle. Finally, we present a novel integer programming model to assign crews slacks that was not yet covered in the previous step. This second model aims to minimize the number of slack-workers in the system. The proposed model was tested with real data from a company that operates in the city of Belo Horizonte-MG. The results revealed a reduction in the total number of employees required and the number of paid overtime, proving to be considerably greater than those found in solution held by the company. Key-words: Urban Transport System, Crew Rostering Problem, Operations Research Applied to Passenger Transport.

9 viii LISTA DE FIGURAS Figura Variação horária da demanda nos trechos críticos em dias úteis Figura Características das jornadas diárias de trabalho Figura Exemplo fictício de um conjunto de jornadas diárias de trabalho e folgas naturais nos finais de semana Figura Exemplo de alocação fixa das jornadas diárias de trabalho Figura Exemplo de alocação fixa das jornadas diárias de trabalho com tempos Figura Exemplo de aplicação do rodízio das tripulações Figura Rede genérica para designação das jornadas diárias de trabalho do segundo dia do horizonte de planejamento Figura Topologia da rede modificada para um problema de circulação Figura Estrutura da rede para designação das jornadas de um dia qualquer k Figura Exemplo fictício de uma matriz de folgas... 32

10 ix LISTA DE TABELAS Tabela 6.1 Caracterização dos dados de entrada Tabela 6.2 Comparação dos resultados obtidos com os dados da empresa Tabela Comparação do resultado do modelo com os dados fornecidos pela empresa considerando tempo mínimo de trabalhado Tabela Comparação do resultado do modelo proposto com os dados fornecidos empresa considerando um tempo mínimo trabalhado e ociosidade máxima... 39

11 x LISTA DE SIGLAS CLT Consolidação das Leis do Trabalho PPDT Problema de Programação Diária das Tripulações PPV Problema de Programação dos Veículos PRT Problema de Rodízio das Tripulações SETRABH Sindicato das empresas de transporte de passageiros de Belo Horizonte STTRBH Sindicato dos Trabalhadores em Transportes Rodoviários de Belo Horizonte VCRP Vehicle-Crew-Rostering Problem

12 SUMÁRIO 1. INTRODUÇÃO Objetivos Objetivos Gerais Objetivos Específicos Justificativa Metodologia Estrutura do Trabalho REVISÃO DE LITERATURA PLANEJAMENTO DO SISTEMA DE TRANSPORTE PÚBLICO URBANO Etapas do planejamento Definição das linhas e rotas Geração do quadro de horários Programação dos veículos Programação diária das tripulações Rodízio das tripulações CARACTERIZAÇÃO DO PROBLEMA DE RODÍZIO DAS TRIPULAÇÕES Jornadas diárias de trabalho Alocação fixa das jornadas diárias de trabalho O rodízio das tripulações Restrições do rodízio METODOLOGIA Modelo de designação das jornadas de trabalho Rodízio semanal Rodízio mensal Distribuição das folgas RESULTADOS CONCLUSÃO REFERÊNCIAS... 44

13 1. INTRODUÇÃO As empresas de transporte público que operam nos grandes centros urbanos, sob concessão das prefeituras municipais, são encarregadas de cumprir diariamente um quadro de horários de viagens para cada linha concedida a elas. Estes quadros estabelecem o horário de partida de todas as viagens que devem ser realizadas ao longo do dia; eles são estipulados pelo governo municipal visando proporcionar uma qualidade satisfatória ao serviço de transporte urbano e atender à demanda de forma eficiente. De modo geral, as empresas dividem as viagens de sua responsabilidade em jornadas diárias de trabalho que são atribuídas aos motoristas. Estas jornadas de trabalho compreendem um conjunto de diferentes viagens que deve ser executado por uma mesma tripulação, em um ou mais veículos, ao longo de um dia. Desta forma, como cada jornada de trabalho possui um conjunto diversificado de viagens, é natural que elas apresentem diferenças entre si. Essas diferenças se devem a características como o horário de início, o horário de término, o tempo de duração, o turno de trabalho, entre outras. Assim, é inevitável que surjam jornadas que apresentem características mais atrativas que outras, considerando-se o ponto de vista das tripulações que as executam. De forma geral é possível constatar que a maioria dos funcionários prefere trabalhar em jornadas do turno da manhã e que possuam horas extras de trabalho. A escala fixa é, atualmente, o método mais utilizado pelas empresas de transporte público para realizar o planejamento mensal de execução das jornadas diárias de trabalho dos funcionários. Neste modelo as tripulações realizam diariamente a mesma jornada de trabalho ao longo de todo o período de planejamento. Este é o método preferido pelas empresas, pois facilita a alocação das jornadas de trabalho aos funcionários e permite que estes se familiarizem com suas jornadas. No modelo de escala fixa o critério de seleção das jornadas de trabalho é o tempo de casa dos funcionários, isto é, os funcionários mais antigos optam por cumprir as jornadas que mais os agradam, enquanto que para os funcionários mais recentes restam as jornadas menos atrativas; esta alocação persiste ao longo de todo período de planejamento. Desta forma, a escala fixa se apresenta como uma forma bastante injusta de distribuir as atividades para os funcionários. Além disto, o modelo de alocação fixa é um método de planejamento das atividades bastante

14 2 oneroso para as empresas, visto que não permite a compensação de horas de trabalho, conforme será esclarecido mais adiante. Em contraste com o paradigma da alocação fixa encontra-se o rodízio das tripulações. O rodízio das tripulações compreende um método de planejamento das escalas mensais de trabalho onde se prevê a execução de jornadas diárias variáveis, isto é, escalas cuja sequência de jornadas diárias de trabalho varia ao longo do horizonte de planejamento, tendo em vista compensar as horas extras de uma dada tripulação cumpridas em um determinado dia com horas ociosas contidas em jornadas de dias subsequentes. Assim, a técnica de rodízio das tripulações proporciona uma carga de trabalho mais justa e equânime aos funcionários e possibilita a redução do custo da empresa com a folha de pagamento das tripulações. Diante do exposto, o Problema de Rodízio das Tripulações - PRT pode ser definido como a necessidade de se encontrar um conjunto de escalas mensais de trabalho (compostas, cada uma, por uma sequência de jornadas diárias de trabalho) que devem ser atribuídas às tripulações de uma empresa de transporte. Este problema tem como objetivo equilibrar a carga de trabalho dos funcionários e reduzir os custos fixos e variáveis com a folha de pagamento, consoante uma série de regras trabalhistas e operacionais. Neste trabalho desenvolve-se um modelo computacional para encontrar uma solução otimizada para o PRT. O modelo combina técnicas de otimização com o objetivo de reduzir os custos relacionados à mão de obra e equilibrar a carga de trabalho dos funcionários Objetivos Objetivos Gerais Embora existam poucos trabalhos sobre o PRT do sistema de transporte público urbano, a prática de manter as tripulações nas mesmas jornadas ao longo do período é obsoleta e não produz uma boa solução, devendo ser revista. Principalmente quando é adotado o sistema de banco de horas de trabalho, em que as horas extras podem ser compensadas com horas de ociosidade dentro do horizonte de planejamento. Nesse sentido torna-se de fundamental importância estudar o PRT e propor métodos para a sua resolução (TOFFOLO et al., 2005). Em suma, podem-se apontar dois principais objetivos gerais para o Problema de Rodízio das Tripulações:

15 3 1. Equilibrar a carga de trabalho mensal dos funcionários de uma empresa de transporte público urbano. 2. Reduzir custos com a folha de pagamento dos funcionários Objetivos Específicos Propor um modelo para encontrar uma solução para o PRT. Implementar um software para resolver o modelo proposto. Testar o modelo proposto utilizando dados reais de uma empresa de transporte público. Comparar os resultados obtidos pelo modelo apresentado com a solução realizada pela empresa. Avaliar a qualidade da solução obtida através do modelo proposto assim como a viabilidade prática de sua implantação. Investigar os desafios e dificuldades que devem ser superados durante uma possível implantação prática do modelo de rodízio das tripulações Justificativa O ministério das cidades, através da secretaria nacional de transportes e da mobilidade urbana, publicou no ano de 2006 uma proposta para o barateamento das tarifas do transporte público urbano. Neste relatório aponta-se o alto preço das tarifas como sendo um dos principais responsáveis pela perda de passageiros do transporte público. A causa destes preços elevados foi atribuída, entre outros fatores, ao modelo de circulação urbana que fora considerado ineficiente, ineficaz e insustentável. Apesar de terem se passado mais de quatro anos desde a publicação da proposta, o problema das altas tarifas de transporte público ainda é uma questão polêmica e muito discutida entre as empresas e o poder público. Além disto, o que se verifica atualmente é uma tendência de migração para meios de transporte privado. Este fato acarreta uma série de problemas urbanos como os congestionamentos, dificuldade para se encontrar pontos de estacionamento livres e aumento da poluição atmosférica urbana. Diante do exposto, o planejamento do sistema de transporte público urbano tem se tornado um objeto de estudo cuja importância é fundamental para se garantir um desempenho satisfatório do modelo de circulação urbana, seja no âmbito estratégico, tático ou operacional. Neste contexto, o modelo de rodízio das tripulações apresenta-se como uma alternativa de aperfeiçoamento do planejamento operacional das atividades do sistema de transportes.

16 4 Uma escala mais equilibrada proporciona benefícios a todas as partes envolvidas no sistema. Ela traz benefício para os motoristas e cobradores, pois desta forma são minimizadas as injustiças na distribuição das atividades, na alocação das folgas semanais e, principalmente, na remuneração percebida por cada operador. Com isso, pressupõe-se que motoristas e cobradores tenham um ambiente de trabalho mais amigável, e realizem suas atividades oferecendo serviços de maior qualidade. Para a empresa o rodízio das tripulações significa uma redução nos custos com folha de pagamento dos funcionários, o que em última análise alivia a pressão sobre o poder público pelo reajuste na tarifas. O usuário ganha com a melhoria na qualidade do serviço e o retardo na revisão do custo tarifário. O que se espera com a realização de novos estudos sobre o rodízio da tripulação é verificar se pequenas variações nas jornadas diárias das tripulações não possibilitam obter uma carga mais justa de trabalho, remuneração e descanso para o conjunto dos trabalhadores da empresa, assim como a redução dos custos com a mão de obra. Este é um fator de motivação para o desenvolvimento de um número maior de trabalhos sobre esta última etapa do planejamento do sistema de transporte público que compreende o rodízio das tripulações (TOFFOLO et al., 2005) Metodologia Neste trabalho o PRT é resolvido em duas etapas. Na primeira etapa cria-se uma sequência de jornadas diárias sem a preocupação de cumprir as folgas legais. A solução é obtida de forma iterativa resolvendo-se uma sequência de problemas de designação e adicionando as jornadas diárias nas escalas mensais de trabalho das tripulações. Desta forma, no primeiro dia do horizonte as jornadas são atribuídas de forma sequencial às tripulações da empresa. A partir daí as jornadas a serem atribuídas às tripulações no próximo dia são definidas resolvendo um modelo de designação, que tem como objetivo minimizar as quantidades acumuladas de horas extras considerando as diferentes possibilidades de compensação com horas ociosas. Na segunda etapa são auferidas as folgas que se fizerem necessárias. Para tanto, propõe-se um modelo de programação linear inteira para adicionar folgas às tripulações ainda não contempladas naturalmente na etapa anterior. Este segundo modelo tem como objetivo minimizar o número de duplas do tipo folguista contidas no sistema. Os modelos foram testados com dados reais fornecidos por uma empresa que opera na cidade de Belo Horizonte.

17 5 Os resultados obtidos foram comparados com o planejamento realizado pela empresa em uma situação real e se mostraram consideravelmente superiores Estrutura do trabalho O presente trabalho foi dividido em sete capítulos. O próximo capítulo traz uma revisão bibliográfica sobre o PRT. O capítulo 3 aborda o planejamento do sistema de transporte público urbano e descreve cada uma de suas etapas. O quarto capítulo traz uma descrição detalhada das características do problema em questão. Em seguida, no capítulo 5, documentase toda a metodologia desenvolvida neste trabalho para solucionar o PRT. Os resultados obtidos são demonstrados no capítulo 6. Finalmente, o capítulo 7 apresenta as conclusões do trabalho.

18 2. REVISÃO DE LITERATURA O PRT é bastante estudado e desenvolvido para a área de transporte aeroviário, devido ao seu impacto nos custos da operação. Os setores de transporte público ferroviário e metroviário também representam áreas de grande aplicação do PRT, que assim como no setor aeroviário, divide o problema nas etapas de geração e otimização das jornadas diárias, e rodízio da tripulação (ERNST et al., 2004a). Ernst et al. (2004a) destacam Bodin et al. (1983) e Carraresi e Gallo (1984) como os principais artigos que abordam o PRT no sistema de transporte público. Mas o interesse pela resolução apenas da etapa diária do problema prevalece ainda hoje, conforme observado por Ernst et al. (2004a) e Ernst et al. (2004b). O modelo de escalonamento cíclico é usado para a classe de problemas de trabalhadores com localização fixa e pode ser aplicado a determinados problemas de rodízio (BODIN et al. 1983). Tal modelo considera todas as jornadas de um dado dia com pesos iguais, o que em determinadas situações não ocorre. O objetivo típico para o rodízio no sistema de transporte público é balancear o trabalho requerido entre todas as tripulações, uma vez que cada tripulação recebe o mesmo pagamento independentemente do trabalho executado. Neste caso, o objetivo é produzir rodízios individuais resultando em um plano global de trabalho o mais equânime possível em termos do total de horas trabalhadas ao longo do período de programação (BAKER 1974, apud BODIN et al. 1983). Carraresi e Gallo (1984) apresentam um modelo no qual a cada jornada é atribuído um peso, que representa uma medida do custo da jornada para a tripulação. Tal peso pode ser dado em função de: i) duração da jornada, ii) atratividade da jornada, iii) tempo gasto pela tripulação para se deslocar da garagem até o ponto onde a jornada se inicia, entre outros. O problema de se encontrar um conjunto de jornadas balanceadas ao longo de um horizonte de planejamento é formulado por meio do seguinte problema de gargalo: minimizar a soma dos pesos das jornadas designadas à tripulação, que tem a pior configuração. Para este problema os autores apresentam uma heurística que encontra uma solução sub-ótima. É apresentado um algoritmo para o problema de designação com gargalo, o qual é utilizado como sub-rotina para resolver o PRT. É importante ressaltar que nenhuma das metodologias descritas anteriormente foi capaz de fornecer uma solução completa para o PRT. O modelo de Carraresi e Gallo (1984) mantém as folgas fixas no final de semana e, portanto, não prevê as atividades dos sábados, domingos e

19 7 feriados, enquanto que a função objetivo proposta no modelo Bodin et al. (1983) não condiz com as características reais do problema. Os modelos apresentados não são facilmente estendidos para períodos maiores, mas podem ser interessantes se combinados com procedimentos adicionais para tratar outros aspectos do problema. Bianco et al. (1992) apresentam uma formulação para o PRT através de um modelo de otimização baseado em programação linear inteira. A partir daí é descrita uma heurística que utiliza o limitante inferior proveniente da formulação matemática para reduzir as dimensões do problema. A cada iteração o algoritmo resolve um problema de designação multi-nível com gargalo, para o qual é proposto um novo procedimento que produz soluções que convergem assintoticamente para o ótimo. O PRT aplicado ao sistema de transporte ferroviário é abordado por Caprara et. al. (1998) que apresentam uma formulação para problema representando-o por meio de grafos direcionais. A cada nó do grafo é associada uma jornada de trabalho, os arcos que partem de um nó a outro representam a sequência de jornadas consecutivas pertencentes a um rodízio. As folgas das tripulações são representadas por meio de arcos em loop, isto é, arcos com ambas as extremidades no mesmo nó. Os autores fornecem um modelo de programação linear inteira que é resolvido relaxando-se algumas restrições. Finalmente é apresentada uma heurística construtiva para estabelecer os rodízios a partir dos resultados do modelo anterior. O método descrito se mostrou bastante eficiente e foi vencedor de uma competição italiana chamada FARO (Ferrovie Airo Rostering Optimization). Yunes et. al. (2000) abordou o PRT utilizando técnicas de Programação Matemática e de Programação por Restrições. Para o PRT foi desenvolvido um algoritmo híbrido de geração de colunas combinando as duas técnicas mencionadas. Foram utilizadas duas metodologias para resolver esse problema. Na primeira abordagem o PRT é modelado como um problema de programação linear inteira, e resolvido através a técnica de branch and bound. O segundo método utiliza um modelo baseado em programação por restrições. A primeira abordagem só é válida para problemas de pequeno porte, e ainda apresentou um desempenho inferior a técnica Programação por Restrições. Mais recentemente, Mesquita et. al. (2010) definem o problema integrado de rodízio de veículos e tripulações (VCRP) com o objetivo de determinar simultaneamente o conjunto de blocos de veículos, jornadas diárias das tripulações e rodízio das tripulações para um

20 8 horizonte de planejamento H. Os autores apresentam dois objetivos contrastantes: i) operar os veículos de uma dada área durante o período planejamento com o número mínimo de motoristas; e ii) minimizar o máximo de horas-extras atribuídas a um motorista. É definido um extenso conjnto de restrições, sendo o número de restrições e variáveis da ordem de O(2 n ), onde n é o número de viagens do quadro de horários. Consequentemente, a metodologia encontrada para solucionar o VCRP foi abordada através de um método heurístico. Para tanto, o problema foi decomposto resolvendo-se primeiramente a programação diária dos veículos e motoristas e em seguida o rodízio para um determinado horizonte de planejamento.

21 3. PLANEJAMENTO DO SISTEMA DE TRANSPORTE PÚBLICO URBANO O planejamento do sistema de transporte público urbano é uma tarefa bastante complexa que normalmente envolve tanto os governos municipais quanto as empresas responsáveis pela prestação do serviço de transporte coletivo. Inúmeras pesquisas têm sido desenvolvidas no sentido de aperfeiçoar o processo de planejamento do sistema de transporte público. De acordo com Ferraz e Torres (2001) o planejamento do sistema de transporte público pode ser observado sob três âmbitos ou níveis de planejamento, são eles: estratégico, tático e operacional. Esta divisão facilita a gestão das atividades envolvidas no planejamento global do sistema. O planejamento estratégico está ligado à definição dos diferentes modos de transporte público que serão utilizados em uma dada localidade. O planejamento tático contempla a escolha do tipo de veículo, a definição dos itinerários das linhas com seus pontos intermediários, a seleção dos locais onde serão implantadas as estações e os terminais, a definição do sistema de integração tarifária entre outras atribuições. (FERRAZ; TORREZ, 2001) O nível operacional está relacionado com a maneira como devem ser executadas as atividades previstas nos planejamento estratégico e tático. Isto é, o planejamento operacional compreende a programação das atividades diárias a serem realizadas. Dentre estas atividades, incluem-se a programação dos veículos da frota operacional e da mão de obra que conduzirá esta frota Etapas do Planejamento Em virtude de sua complexidade, o planejamento do sistema de transporte público urbano é geralmente dividido em cinco etapas: 1. definição das linhas e seus traçados; 2. criação do quadro de horários; 3. programação dos veículos; 4. programação das tripulações; 5. rodízio das tripulações. A definição das linhas e a determinação do quadro de horários são responsabilidades do poder público municipal, enquanto a programação dos veículos e de suas tripulações, assim como o

22 10 rodízio destas tripulações, fica a cargo das próprias empresas operadoras do sistema de transporte público. As etapas realizadas pelo poder público levam em consideração critérios de demanda e qualidade do serviço de transporte, assim como a infra-estrutura disponível das vias urbanas. Por outro lado, o planejamento das empresas prestadoras dos serviços deve minimizar o custo operacional, atendendo às normas vigentes quanto ao nível de qualidade do transporte oferecido e a satisfação dos usuários (SILVA, 2001) Definição das linhas e rotas A primeira etapa do planejamento do sistema de transporte público consiste em definir quais serão as linhas urbanas, qual deverá ser o percurso realizado por cada uma delas e ainda os pontos de parada ao longo do percurso de cada linha. O traçado, ou trajetória, de uma linha de transporte público urbano deve atender os principais pólos de demanda da cidade. Centros comerciais e industriais, hospitais, shopping centers, estádios e universidades são alguns exemplos de pólos de atração de viagens. Ao definir o traçado das linhas do transporte coletivo o governo municipal deve considerar uma série de aspectos que influenciam diretamente a qualidade do serviço. O traçado das linhas deve proporcionar uma cobertura satisfatória de todas as áreas da cidade, o percurso deve ser o mais direto possível de modo a evitar itinerários tortuosos que aumentam as distâncias percorridas e, por consequência o tempo das viagens. Em geral, as linhas são definidas com base em experiências anteriores, dados estatísticos sobre a demanda por transporte público e infra-estrutura das vias urbanas. O resultado desta fase é a criação de um conjunto de linhas de transporte coletivo, cada uma partindo de um ponto inicial com destino a um ponto final e seguindo um percurso prédeterminado. Eventualmente os pontos de partida e chegada podem ser coincidentes. Neste caso têm-se as chamadas linhas com traçado fechado ou linhas em anel Geração dos quadros de horários Definidas quais serão as linhas e suas respectivas trajetórias, a etapa seguinte consiste em determinar os quadros de horários das viagens (tabela de horários). Nesta fase estipula-se, para cada uma das linhas definidas na etapa anterior, um quadro contendo o horário de partida de cada viagem a ser realizada na linha ao longo do dia.

23 11 A geração do quadro de horário das viagens deve levar em consideração a demanda pelo serviço de transporte coletivo nos locais atendidos pela linha. Caso a oferta seja menor que a demanda a qualidade do serviço fica comprometida. Por outro lado, se a oferta for muito superior a demanda, a operação das atividades torna-se onerosa. Esta demanda varia de acordo com o horário do dia e com dia da semana, assim é importante utilizar dados estatísticos atualizados e confiáveis antes de proceder ao planejamento. Para a maior parte das linhas urbanas verifica-se uma sazonalidade diária na demanda pelo serviço de transporte urbano. Nos dias úteis, no período da manhã, ocorre um de pico de demanda pelo transporte no sentido bairro-centro, quando muitas pessoas se dirigem aos seus locais de trabalho. Nas linhas do sentido centro-bairro o período de pico ocorre no final da tarde, horário em a maioria dos usuários retornam às suas casas. A figura 3.1 representa a variação horária da demanda nos dias úteis. Figura 3.1: Variação horária da demanda nos trechos críticos em dias úteis. (Fonte: FERRAZ; TORRES, 2001) Quanto à variação semanal da demanda pode-se dizer que, para a maior parte das linhas urbanas, esta demanda é maior nos dias úteis que nos sábados, pois muitas atividades não se realizam nestes dias. Aos domingos e feriados a demanda é ainda menor que à dos sábados. Esta redução da demanda nos finais de semana é verificada de forma global, apesar de haver linhas (como aquelas que atendem shoppings, estádios, zoológicos e etc.) cuja demanda é maior nos finais de semana que nos dias úteis. Algumas cidades criam tabelas diferenciadas para dias denominados atípicos como é o caso dos pontos facultativos, dias entre feriados e finais de semana, e outros casos especiais.

24 Programação dos veículos Após a definição das linhas e traçados e a geração do quadro de horários, o restante do planejamento fica a cargo das empresas de transporte público. Nesta fase, a primeira etapa compreende a programação dos veículos. O Problema de Programação dos Veículos (PPV), também conhecido na literatura como Vehicle Scheduling Problem, consiste em criar uma rotina diária de operações para uma frota de veículos disponibilizada para uso da empresa, com a finalidade de atender o conjunto de viagens com seus respectivos horários e pontos de partida e chegada (definidos na etapa anterior). Desta forma, o objetivo desta etapa consiste em reduzir os custos fixos e variáveis da atividade, através do melhor aproveitamento da frota. Uma solução para o Problema de Programação dos Veículos consiste, portanto, em atribuir um conjunto de viagens, especificado no quadro de horários, a um certo conjunto de veículos que deve ser o menor possível. Esta atribuição deve levar em consideração um conjunto de restrições que podem variar conforme as políticas operacionais que regem o sistema de transporte público no qual a empresa atua. O objetivo do PPV é encontrar uma solução na qual todas as viagens sejam cumpridas e o custo total seja minimizado. Durante a programação dos veículos devem-se levar em consideração algumas restrições operacionais do problema tais como: tempo mínimo que o veículo deve permanecer na garagem, tempo máximo que um veículo pode ficar parado em um terminal, tempo mínimo que caracteriza uma operação do tipo dupla-pegada, entre outras que se fizerem necessárias. O custo operacional de uma solução para o Problema de Programação dos Veículos pode ser obtido utilizando-se um ou mais critérios avaliativos. Em Simões et al. (2007) considera-se por exemplo os seguintes objetivos. o diminuir o tempo ocioso dos veículos, isto é, o tempo em que os veículos ficam parados entre duas viagens; o reduzir o número de deslocamentos fora de operação (deslocamentos realizados sem passageiros, que não correspondem a nenhuma viagem); o reduzir o número de trocas de linha realizada pelos veículos da frota.

25 Programação diária das tripulações O Problema de Programação Diária das Tripulações (PPDT) consiste em, estabelecer o número mínimo necessário de tripulações (motorista e cobrador, quando for o caso) capaz de conduzir toda a frota de veículos. Além de minimizar o número de tripulações, também são minimizadas as horas extras pagas às tripulações. (SILVA et al. 2005). Nesta etapa do planejamento as viagens são agrupadas em grupos denominados tarefas. Cada tarefa corresponde a uma sequência de viagens consecutivas que devem ser executadas por um único veículo e por uma mesma tripulação, isto se deve ao fato de que entre duas viagens pertencentes à mesma tarefa não há tempo hábil para efetuar-se uma troca de tripulações. Um conjunto de tarefas atribuídas a uma mesma tripulação representa uma jornada diária de trabalho. A solução para o Problema de Programação Diária das Tripulações corresponde à seleção do melhor conjunto de jornadas diárias de trabalho para cada tipo de dia, sejam os dias úteis, os sábados e os domingos. A geração de jornadas de trabalho é, em geral, bastante complexa em virtude de uma série de restrições operacionais e trabalhistas que precisam ser atendidas e do enorme número de possibilidades combinatórias existentes no problema Rodízio das tripulações A última etapa do planejamento do sistema de transporte público é o rodízio das tripulações, o qual consiste em atribuir uma escala de trabalho mensal para cada uma das tripulações do quadro de funcionários de uma empresa de transporte coletivo. Uma escala mensal de trabalho compreende a sequência de jornadas diárias de trabalho que devem ser executadas por uma mesma tripulação ao longo de um horizonte de planejamento, que normalmente corresponde a um mês. O planejamento deve prever as atividades e as folgas das tripulações da empresa, levando-se em consideração o conjunto de jornadas diárias de trabalho (definido na programação diária das tripulações), as restrições trabalhistas e operacionais envolvidas e o calendário do período a ser planejado, isto é, os dias úteis, finais de semana e eventuais feriados. As escalas mensais de trabalho devem ser definidas tendo-se em vista uniformizar a carga total de trabalho atribuída às tripulações e reduzir os custos da empresa com a folha de

26 14 pagamento dos funcionários. A redução nos custos com a folha de pagamento é obtida através de um procedimento legal conhecido como banco de horas. O banco de horas permite que a empresa faça a compensação do excesso de horas trabalhadas em um determinado dia com a correspondente redução do tempo de trabalho em outro dia. Assim, no fim do planejamento a empresa deve pagar aos funcionários somente o saldo acumulado de horas extras. Um rodízio bem equilibrado é aquele que realiza o máximo possível de compensação das horas extras com horas ociosas dentro do período de planejamento de um mês.

27 4. CARACTERIZAÇÃO DO PROBLEMA DE RODÍZIO DAS TRIPULAÇÕES O PRT compreende a elaboração de uma sequência mensal de jornadas diárias de trabalho para um conjunto de tripulações de uma empresa de transporte. Este sequenciamento deve ser realizado tendo-se em vista equilibrar a carga total de trabalho atribuída às tripulações, isto é, deseja-se criar uma escala mensal de trabalho para cada um dos funcionários de forma que, no fim do período de planejamento, o saldo acumulado de horas-extras e ociosas pago às tripulações seja reduzido. Desta forma obtém-se uma distribuição mais justa da carga de trabalho entre os funcionários e reduz-se o custo com a folha de pagamento da empresa. Um modelo para solucionar o PRT utiliza como dados de entrada as jornadas diárias de trabalho, sejam para os dias úteis, os sábados e os domingos. Além disso, devem ser informadas as restrições devido às leis trabalhistas, as regras operacionais da empresa e o calendário referente ao horizonte de planejamento. As regras trabalhistas são estabelecidas pela Consolidação das Leis do Trabalho (CLT) e por convenções sindicais que podem apresentar variações de acordo com a região de atuação da empresa. Além disso, cada empresa adota seus próprios critérios, que, em conformidade com a CLT e convenções sindicais, são utilizados para gerar a escala mensal de trabalho. As jornadas diárias de trabalho podem ser obtidas através de um planejamento manual ou utilizando técnicas computacionais conforme descrito na seção 3.5. O período de planejamento normalmente corresponde a um mês. Há, contudo, estudos para horizontes de planejamento compostos de cinco, seis ou até sete semanas Jornadas diárias de trabalho As jornadas diárias de trabalho são constituídas de um conjunto de viagens que devem ser conduzidas por uma mesma tripulação em um determinado dia. Assim, para cada tipo de dia do horizonte de planejamento, existe um conjunto distinto de jornadas diárias de trabalho, sendo que cada uma delas deve ser executada por alguma tripulação de modo que todas as viagens atribuídas à empresa sejam rigorosamente cumpridas. Este conjunto de jornadas diárias é, em geral, considerado igual para todos os dias úteis, diferindo-se nos sábados e nos domingos. Esta característica se deve ao fato de existir um único quadro de horários para os dias úteis, outro para os sábados e um terceiro para os domingos. Na ocasião de feriados o conjunto de jornadas é idêntico ao dos domingos, pois o

28 16 quadro de horários dos feriados corresponde ao próprio quadro de horários do domingo. Estes três conjuntos distintos de jornadas de trabalho são denominados jornadas diárias. As jornadas diárias apresentam características que as diferenciam umas das outras. Estas distinções podem ser em relação às viagens, horário de trabalho, tempo de duração, entre outras. As características das jornadas diárias relevantes para o Problema de Rodízio das Tripulações seguem relacionadas abaixo: a) Número de identidade: número inteiro que está associado biunivocamente a uma determinada jornada diária de trabalho; b) Horário de início: instante em que a jornada se inicia, ou seja, o horário de partida da primeira viagem da jornada. Contudo, se o funcionário precisar se apresentar-se na empresa antes do horário de partida da primeira viagem então o horário de início corresponderá ao momento em que o funcionário se apresentou; c) Horário de término: horário em que o funcionário está liberado do expediente de trabalho, que, normalmente, corresponde ao horário de chegada da última viagem da jornada; d) Ociosidade: quando uma jornada tem duração inferior à carga normal de trabalho, então a ociosidade é o tempo da carga normal de trabalho menos a duração da jornada; e) Hora-extra: quando uma jornada tem duração superior à carga normal de trabalho dizse que a jornada é do tipo hora-extra. Neste caso, a Hora-extra corresponde à duração da jornada menos a carga normal de trabalho; f) Dupla-pegada: indica se a jornada apresenta uma interrupção durante o expediente de trabalho superior a duas horas; g) Turno: indica o turno em que a jornada se inicia; h) Noturna: indica se a jornada é do tipo noturno. Normalmente a remuneração por hora trabalhada durante o horário noturno é maior do que no horário convencional. Neste trabalho considerou-se uma carga normal de trabalho diário de seis horas e quarenta minutos, valor este que pode variar de acordo com as convenções sindicais de cada região. Jornadas diárias com duração superior a esta são ditas ser do tipo hora-extra, enquanto que as jornadas com duração inferior são chamadas de ociosas. Obviamente uma mesma jornada não pode ser do tipo ociosa e hora-extra simultaneamente.

29 17 Uma jornada diária é do tipo dupla-pegada quando há um intervalo superior a duas horas entre o término de uma viagem e o início da próxima, intervalo este que não é remunerado. Intervalos menores que duas horas devem obrigatoriamente ser remunerados, e não constitui uma dupla-pegada. Não pode haver duas ou mais interrupções não remuneradas em uma mesma jornada de trabalho. Devido ao inconveniente das jornadas do tipo dupla-pegada, as tripulações que realizam este tipo de jornada possuem um tratamento diferenciado na elaboração da escala mensal de trabalho. Neste trabalho, o dia foi dividido em quatro turnos, cada um com seis horas de duração. O primeiro turno corresponde ao intervalo de 04:00 às 09:59, o segundo de 10:00 às 15:59 e assim sucessivamente. Jornadas cujo início se dá entre às 22:00 e 05:00 são consideradas noturnas. Neste intervalo a hora trabalhada é mais valorizada em 20% em relação aos demais horários. A figura 4.1 ilustra um diagrama esquemático contendo as características utilizadas para identificar uma jornada diária de trabalho no problema PRT. É importante ressaltar que todos os parâmetros relacionados ao tempo são tratados em minutos. Figura 4.1: Características das jornadas diárias de trabalho. Para a maior parte das linhas de ônibus, o número de jornadas diárias de trabalho nos dias úteis é maior do que o número de jornadas dos sábados, que por sua vez é maior que o número de jornadas nos domingos. Desta maneira, surgem folgas nos finais de semana denominadas folgas naturais. Esta característica facilita a alocação das folgas previstas na lei,

30 18 mas não elimina completamente o problema, pois a quantidade de folgas naturais que surgem nos finais de semana, em geral, não é suficiente para contemplar todas as tripulações. A figura 4.2 ilustra um exemplo didático de um conjunto de jornadas diárias para uma semana de planejamento. As jornadas de trabalho estão representadas por pontos indicados com a letra T e as folgas naturais estão representadas por pontos com a letra F. Analisando este exemplo, pode-se observar que a soma do número de folgas naturais que surgem nos sábados e domingos não é suficiente para contemplar todas as tripulações. Neste caso têm-se apenas seis folgas para um total de oito tripulações. Figura 4.2: Exemplo fictício de um conjunto de jornadas diárias de trabalho e folgas naturais nos finais de semana. A insuficiência de folgas naturais deve ser suprida adicionando novas tripulações ao quadro de funcionários da empresa. Estas tripulações são denominadas folguistas. Os folguistas são um tipo especial de tripulação que trabalham para cobrir as jornadas de trabalho de uma tripulação regular quando esta estiver gozando de seu direito de folga.

31 Alocação fixa das jornadas diárias de trabalho O modelo convencional de alocação das jornadas diárias de trabalho sugere que as tripulações da empresa realizem as mesmas jornadas diárias de trabalho ao longo de todo o período de planejamento. Este modelo, denominado de escala fixa, é adotado na maior parte das empresas de transporte público urbano, pois facilita a tarefa de alocação das jornadas que normalmente é feita de forma manual. A alocação fixa também permite que os motoristas se familiarizem com a jornada de trabalho e com o traçado das linhas. A figura 4.3 ilustra um pequeno exemplo do modelo de escala fixa para três dias. Os nós (círculos) representam as jornadas de trabalho e os arcos (setas) a sequência de jornadas que cada tripulação deverá realizar. Figura 4.3: Exemplo de alocação fixa das jornadas diárias de trabalho. O modelo de alocação fixa apresenta, contudo, uma série de desvantagens tanto para a empresa como para os funcionários. Como as jornadas diárias de trabalho são distintas umas das outras a escala fixa tende a ser injusta com as tripulações, pois considerando a perspectiva dos funcionários, as jornadas podem ser mais ou menos atrativas. Em geral os funcionários preferem trabalhar em jornadas do turno da manhã e que possuam hora-extra, também pode haver preferência pelo local das viagens e etc. Normalmente, a seleção das jornadas de trabalho é feita usando-se o critério de tempo de casa, isto é, os funcionários mais antigos escolhem as jornadas que mais os agradam e aos funcionários mais recentes restam as jornadas menos atrativas. A princípio, as tripulações que trabalham todos os dias acima da carga normal de trabalho tendem a ficar exaustas e compreendem um gasto excessivo com pagamento de horas-extras,

32 20 enquanto as tripulações que realizam jornadas ociosas representam para a empresa um desperdício de recursos humanos. Para exemplificar este problema atribuiu-se na figura 4.4 cargas de trabalho distintas às jornadas apresentadas na figura 4.3. Os valores indicam a diferença entre a duração da jornada e o tempo normal de trabalho, ou seja, positiva para jornadas com horas-extras e negativa para jornadas com horas ociosas. Figura 4.4: Exemplo de alocação fixa das jornadas diárias de trabalho com tempos. Uma análise deste exemplo leva a concluir que a tripulação 1 tende a ficar mais cansada após cumprir sucessivamente longas jornadas de trabalho, além disso ela representa para a empresa um gasto excessivo com horas-extras. A tripulação 2 é um exemplo claro de desperdício da mão de obra. Já a tripulação 3 está notadamente injustiçada, pois da mesma forma que a tripulação 2 ela não receberá horas-extras, entretanto, sua carga de trabalho é bastante superior O rodízio das tripulações Em contraste com o paradigma de alocação fixa das jornadas de trabalho está o rodízio das tripulações. Este modelo tem como finalidade criar uma sequência mensal de jornadas diárias de tal forma que a carga total de trabalho atribuída às tripulações seja a mais equânime possível dentro do período de planejamento. Com isso reduz-se as injustiças na atribuição das atividades, nas folgas e principalmente na remuneração dos funcionários. Para a empresa, o rodízio das tripulações pode significar uma redução nos custos com a mão de obra através da utilização do banco de horas. O banco de horas é um procedimento legal que permite a compensação de horas extras trabalhadas com a liberação mais cedo, ou

33 21 jornadas com ociosidade em outro dia dentro do mês. Através dele cria-se um saldo de horas para cada funcionário que representa a quantidade de horas extras ou ociosas acumuladas durante o mês de trabalho. Este procedimento está previsto no 2º do artigo 59 da CLT (Consolidação da Lei Trabalhista). Art. 59-2º: Poderá ser dispensado o acréscimo de salário se, por força de acordo ou convenção coletiva de trabalho, o excesso de horas em um dia for compensado pela correspondente diminuição em outro dia, de maneira que não exceda, no período máximo de um ano, à soma das jornadas semanais de trabalho previstas, nem seja ultrapassado o limite máximo de dez horas diárias. 1 Conforme previsto na CLT, o banco de horas deve obedecer às convenções coletivas de trabalho. No caso específico da região metropolitana de Belo Horizonte MG (utilizada como modelo para o desenvolvimento deste trabalho) a convenção coletiva de trabalho é estabelecida periodicamente através de um acordo entre o Sindicato dos trabalhadores em transportes rodoviários de Belo Horizonte STTRBH e o Sindicato das empresas de transporte de passageiros de Belo Horizonte SETRABH. A regulamentação do sistema de banco de horas foi estabelecida na cláusula quadragésima quinta da convenção coletiva de trabalho de 2010 a 2012 em acordo com os dois sindicatos. O item 45.3, transcrito abaixo, prevê a compensação de horas de trabalho Permite-se a compensação do excesso de horas trabalhadas em um dia com a correspondente redução da jornada em outro dia, desde que a compensação se faça dentro do mesmo mês. 2 A figura 4.5 ilustra a aplicação do rodízio das tripulações para o mesmo exemplo apresentado na figura 4.4 da seção anterior. Neste novo modelo, a carga de trabalho das tripulações pode ser equilibrada alternando-se a sequência de jornadas diárias de trabalho que as tripulações devem executar. Este sequenciamento das jornadas diárias compreende o rodízio das tripulações. 1 BRASIL. Consolidação das Leis do Trabalho. Decreto-lei nº 5.452, de 1º de maio de STTRBH; SETRABH. Convenção Coletiva de Trabalho 2010/ p.

34 22 Figura 4.5: Exemplo de aplicação do rodízio das tripulações. No exemplo da figura 4.5 as tripulações encerram os três dias de trabalho com o saldo de horas zerado tornando a distribuição das tarefas mais justa. Percebe-se também, que a utilização do banco de horas permite que a empresa economize com o pagamento das horasextras pagas à tripulação 1 no modelo de alocação fixa (FIG. 4.4). Obviamente o equilíbrio exato dos saldos de horas conforme ficou ilustrado neste exemplo é praticamente impossível, entretanto, a solução do rodízio sempre se mostrará superior à do modelo de alocação fixa considerando o equilíbrio das cargas de trabalho e a economia com o pagamento de horasextras Restrições do rodízio É evidente que o sequenciamento das jornadas diárias de trabalho deve respeitar uma série de regras denominadas restrições do problema, tanto de ordem trabalhista como de ordem operacional. Estas regras estão sujeitas a variações de acordo com a convenção coletiva vigente na área de atuação da empresa e com os próprios critérios adotados pelas empresas durante o planejamento de suas atividades. Desta forma é importante esclarecer quais foram as restrições consideradas neste trabalho, as quais seguem relacionadas abaixo: 1. O horizonte de planejamento sempre se inicia em uma segunda feira. 2. O tempo mínimo de descanso entre o término de uma jornada e o início da próxima jornada deve ser maior ou igual a 11 horas. 3. Nenhuma tripulação pode trabalhar mais de seis dias consecutivos sem uma folga. 4. Dentro de uma mesma semana, as tripulações devem executar jornadas dos dias úteis pertencentes ao mesmo turno de trabalho. Exceto para duplas-pegadas ou noturnas.

35 23 5. As tripulações que cumprem jornadas do tipo dupla-pegada ou noturna têm o direito de folgar todos os domingos do horizonte de planejamento. 6. Dentro do horizonte de planejamento, considerado de cinco semanas, todas as tripulações têm direito a pelo menos uma folga no domingo. 7. No decorrer de todos os dias do horizonte de planejamento as tripulações cumprem somente um dos tipos de jornadas: i) simples ou ii) duplas-pegadas ou noturnas, podendo intercambiar entre dupla-pegada e noturna. 8. Nos finais de semana e feriados é permitido desprezar as restrições de turno de trabalho e de dupla-pegada ou noturno. 9. São gerados rodízios para uma semana que posteriormente podem ser alternados ao longo do horizonte de planejamento. 10. As horas-extras de uma tripulação podem ser compensadas com horas ociosas ocorridas no mesmo período de planejamento. No próximo capítulo é apresentada uma metodologia para representar e solucionar o PRT que fora descrito neste capítulo.

36 5. METODOLOGIA A metodologia utilizada para solucionar o PRT foi desenvolvida por meio de dois modelos de otimização distintos. Em uma primeira etapa tem-se como objetivo obter o sequenciamento das jornadas diárias de trabalho, para cada uma das tripulações ao longo de todo o horizonte de planejamento, sem considerar a restrição que impede as tripulações de trabalharem mais de seis dias consecutivos e a restrição que garante às tripulações ao menos uma folga no domingo dentro período de planejamento. Desta forma obtém-se uma solução inicial que pode apresentar incompatibilidades com as restrições exigidas pelo problema. Esta solução inicial é utilizada como referência para o segundo modelo, cujo objetivo é inserir novas tripulações ao quadro de funcionários da empresa. Estas tripulações, denominadas folguistas, devem cobrir as jornadas de trabalho das demais tripulações em alguns dias do horizonte de planejamento de modo se consiga corrigir todas as incompatibilidades existentes na primeira solução. O objetivo desta segunda fase consiste em minimizar o número de tripulações do tipo folguista requeridas Modelo de designação das jornadas de trabalho A primeira fase do PRT é tratada como um problema de designação das jornadas diárias de trabalho, tomando-se por base o modelo de fluxo em redes proposto por Carraresi e Galo (1984) e considerando as características particulares do caso abordado. Este modelo formula o PRT como um problema de fluxo em redes, no qual se gera um grafo multi-nível onde cada nó representa uma jornada diária de trabalho e os arcos as ligações entre essas jornadas. Neste modelo associa-se, a cada jornada de trabalho, um peso que representa o custo da jornada para a empresa, dado em função da hora-extra ou ociosidade. O objetivo é encontrar uma sequência de jornadas para cada tripulação, de tal forma que seja minimizada a soma dos pesos das jornadas atribuídas à tripulação que tem a pior configuração. O método proposto neste trabalho divide o planejamento dos rodízios mensais em duas fases: i) geração dos rodízios semanais e ii) criação do rodízio mensal compreendido por uma sequência otimizada de rodízios semanais. Em cada fase o grafo que representa o problema foi solucionado de forma iterativa considerando-se somente a designação das jornadas dia após dia (geração dos rodízios semanais) ou semana após semana (criação dos rodízios mensais) e não de forma global para todo o horizonte de planejamento.

37 Rodízio semanal Um rodízio semanal é uma sequência de jornadas diárias de trabalho que deve ser cumprida por uma mesma tripulação ao longo de uma semana, isto é, iniciando na segunda-feira e encerrando no domingo. Os rodízios semanais são construídos através de um método iterativo que realiza o sequenciamento das jornadas diárias de trabalho, ou seja, o método de construção dos rodízios semanais é repetido sucessivas vezes sendo que, a cada iteração, uma nova jornada diária de trabalho é adicionada aos rodízios semanais. Desta forma, é necessário caracterizar os rodízios semanais com uma série de informações referentes às jornadas atribuídas a ele até a iteração corrente. Essas informações caracterizam o tipo de jornadas presentes no rodízio e a distribuição destas jornadas. Entre essas características incluem: a) Número de identidade: número inteiro associado biunivocamente a um rodízio semanal. b) Sequência de jornadas: armazena a sequência de jornadas que foram atribuídas ao rodízio até a iteração corrente. c) Horário de início: horário de início da primeira jornada atribuída ao rodízio. d) Horário de término: horário de término da última jornada atribuída ao rodízio. e) Ociosidade Acumulada: soma dos tempos de ociosidade de todas as jornadas atribuídas ao rodízio. f) Hora-extra Acumulada: soma das horas extras de todas as jornadas atribuídas ao rodízio semanal. g) Dupla-pegada ou Noturno: indica se as jornadas de trabalho presentes no rodízio são do tipo dupla pegada ou noturno. h) Turno: indica o turno das jornadas presentes no rodízio nos dias úteis. Inicialmente, para o primeiro dia do horizonte de planejamento, atribui-se a cada rodízio i a jornada de trabalho i, com e o total de jornadas diárias de trabalho. Assim, os parâmetros supracitados são, inicialmente, definidos de acordo com as características da primeira jornada de trabalho atribuída ao rodízio. O Número de identidade e o Horário de Início já podem ser estabelecidos de antemão, visto que não irão sofrer alterações ao longo da construção do rodízio. Os parâmetros Dupla-pegada ou Noturno e Turno também permanecerão inalterados, pois as restrições do problema impedem que se combine jornadas com tipos ou turnos diferentes. As demais características devem ser atualizadas toda vez que se adiciona uma nova jornada ao rodízio semanal.

38 26 Após a inicialização dos rodízios (primeiro dia do horizonte de planejamento) constrói-se uma rede bipartida para representar o problema de designação das jornadas de trabalho para o próximo dia do horizonte de planejamento. A representação genérica desta rede é ilustrada na figura 5.1. Figura 5.1: Rede genérica para designação das jornadas diárias de trabalho do segundo dia do horizonte de planejamento. A rede bipartida que define a atribuição das jornadas a serem executadas no segundo dia a partir dos rodízios já estabelecidos para o primeiro é construída de acordo com as seguintes regras: a) os nós da coluna à esquerda representam os rodízios semanais que estão sendo construídos pelo modelo. Como esta ainda é a primeira iteração do método, a sequência de jornadas dos rodízios semanais contém, por ora, somente a jornada do primeiro dia da semana (que foi atribuída aos rodízios de forma ordenada). b) os nós da coluna à direita indicam o conjunto de jornadas que devem ser cumpridas, por alguma tripulação, no próximo dia.

39 27 c) um arco representa a possibilidade do rodízio i cumprir a jornada j no dia seguinte. Este arco só é criado se todas as restrições descritas na seção 4.4 (exceto as restrições 3 e 6) forem satisfeitas ao incluir a jornada j no rodízio i. A cada arco a(i,j) associa-se um custo c(i,j) que indica o quão vantajosa será a inclusão da jornada j no rodízio i. Este custo é dado por: Onde: = diferença entre os parâmetros Hora Extra Acumulada e Ociosidade Acumulada referentes ao rodízio i. = diferença entre o número de horas extras e de horas ociosas referentes à jornada j. A definição de e contempla tanto jornadas com ociosidade quanto jornadas com horas extras e permite: i) acumular horas extras, caso ambas as jornadas tenham horas-extras, ii) acumular ociosidade, caso ambas tenham ociosidade e, iii) compensar horas extras do rodízio i com a ociosidade da jornada j e vice-versa. Em linhas gerais, o custo de um arco será elevado caso a inserção de uma nova jornada no rodízio faça com que este acumule em seu saldo um número maior de horas extras ou ociosas. Em oposição, o custo deverá ser baixo quando a inserção da jornada permitir a compensação de horas. Portanto, encontrar a solução que minimiza a soma dos custos dos arcos da rede equivale a maximizar a compensação de horas de trabalho. O termo que aparece na equação 5.1 representa uma penalização para determinadas soluções que são indesejáveis. Neste caso o é constituído de duas parcelas. A primeira penaliza o ato de atribuir uma jornada de trabalho em um domingo a uma tripulação que cumpre jornadas do tipo dupla-pegada ou noturno durante os dias úteis. Esta característica constitui uma inviabilidade segundo as regras do PRT, porém, para muitos conjuntos de dados de entrada, esta restrição pode tornar o problema infactível, quando este for o caso deve-se reprogramar as jornadas diárias das tripulações, isto é, refazer a etapa programação diária das tripulações (seção 3.5). Uma segunda parcela penaliza as soluções nas quais uma mesma tripulação folga no sábado e no domingo da mesma semana. O problema de designação é resolvido transformando-o em um problema de circulação, conforme descrito na figura 5.2, e aplicando-se o algoritmo out-of-kilter (Ahuja et al., 1993).

40 28 Para tanto são acrescentados nós e arcos auxiliares, são eles: a) o nó 2n+1 que é a origem de n arcos ligados a nós de oferta; b) o nó 2n+2 que é o destino de n arcos proveniente de nós de demanda; c) n arcos ligando o nó 2n+1 aos n nós dos rodízios da coluna de origem, com custo zero, e limite inferior e limite superior iguais a um; d) n arcos ligando cada um dos n nós, correspondentes às jornadas representadas na coluna de destino, ao nó de destino 2n+2. Estes arcos têm custo zero, limite inferior e superior iguais a um; e) um arco de retorno ligando o nó 2n+2 ao nó 2n+1 com custo zero, limite inferior e superior iguais a n. Estes arcos são introduzidos para forçar a formação de ciclos (exigência do procedimento out-of-kilter). Figura 5.2: Topologia da rede modificada para um problema de circulação. O modelo matemático referente ao problema de circulação fica da forma que segue. Sujeito a:

41 29 Para os arcos originais, a variável de decisão se a jornada j for executada pelo rodízio que iniciou o primeiro dia do horizonte com a jornada i e caso contrário. A expressão (5.2) minimiza o custo total, a restrição (5.3) garante o equilíbrio de fluxo nos nós, enquanto (5.4) assegura que cada jornada será executada por um único rodízio. A partir da solução deste modelo é possível definir qual é o rodízio responsável por cada jornada a ser executada no segundo dia de forma que o custo total seja mínimo. Após encontrar a solução basta incluir as jornadas diárias em seus respectivos rodízios atualizando os parâmetros: Sequência de jornadas, Horário de Término, Ociosidade Acumulada e Hora Extra Acumulada. A designação das jornadas diárias de trabalho para os próximos dias da semana é realizada da mesma forma como foi descrito para o segundo dia. Basta apenas que os rodízios tenham sido atualizados com as informações referentes à última jornada adicionada a eles. Essas informações são necessárias para construir os arcos da rede na próxima iteração, pois elas são utilizadas para verificar quais são as jornadas, do próximo dia, que satisfazem as restrições para ser incluídas nos rodízios que estão em construção (considerando os parâmetros atualizados com os dados da última jornada adicionada). A figura 5.3 ilustra uma rede de designação de jornadas de trabalho para um determinado dia k+1 considerando-se toda a sequência de jornadas que foram planejadas até o dia k.

42 30 Figura 5.3: Estrutura da rede para designação das jornadas de um dia qualquer k+1. O procedimento de designação das jornadas se repete até que todas as jornadas de uma mesma semana sejam atribuídas a algum rodízio semanal (o que corresponde a seis iterações). Finalmente repete-se o procedimento de geração de rodízios semanais tantas vezes quanto for o número de semanas com diferentes características, caso ocorram feriados no período. O resultado é a obtenção de um conjunto de rodízios semanais que irão compor o rodízio mensal Rodízio mensal Um rodízio mensal compreende uma sequência de rodízios semanais que deve ser cumprida por uma mesma tripulação ao longo de um determinado período de planejamento, que, apesar de ser denominado mensal pode conter entre quatro e sete semanas. A construção do rodízio mensal é feita de forma análoga à geração dos rodízios semanais, ou seja, através do modelo de designação apresentado na seção anterior. A diferença é que nesta fase os nós da coluna de origem formam os rodízios mensais enquanto os nós da coluna de

43 31 destino representam os rodízios semanais. Assim, para a primeira semana do horizonte de planejamento, atribui-se o rodízio semanal i ao rodízio mensal i, com i = 1,... n, onde n é o número de rodízios semanais criados pelo procedimento descrito na subseção Durante a geração do rodízio mensal, o cálculo do custo nos arcos também é semelhante ao efetuado na etapa do rodízio semanal. A forma da equação se mantém a mesma alterando somente o significado dos termos. Onde: = diferença entre o número de horas-extras e horas ociosas acumuladas no rodízio mensal i. = diferença entre o número de horas-extras e horas ociosas referentes ao rodízio semanal j. = penalidade para os arcos que ligam um rodízio semanal que contém folga no domingo ao rodízio mensal de uma tripulação que não realiza jornadas do tipo dupla-pegada ou noturna e que já fora contemplada com uma folga no domingo. Este CustoExtra possui o objetivo de reduzir o número de tripulações do tipo folguista (ver capítulo 4) que devem ser adicionados ao quadro da empresa em virtude da restrição legal que impõe que toda tripulação tem direito a pelo menos uma folga no domingo a cada cinco semanas Distribuição das folgas Durante o sequenciamento das jornadas diárias de trabalho, descrito na seção 5.1, não se considerou a restrição que impede as tripulações de trabalharem mais de seis dias consecutivos e ainda a imposição de que as tripulações de têm direito a pelo menos uma folga no domingo dentro do horizonte de planejamento (restrições 3 e 6 indicadas na seção 4.4). Estas restrições são ignoradas, pois é impossível representá-las no modelo de designação. O descumprimento dessas restrições gera irregularidades que tornam a solução prática do modelo inviável e, portanto, precisam ser corrigidas. Essas irregularidades podem ser verificadas mais facilmente se utilizarmos a solução parcial do modelo de designação (tal como a ilustrada na figura 5.4) para criar uma matriz de folgas naturais com elementos binários, denominada, em que cada elemento armazena o valor 1 caso uma determinada tripulação folgue naturalmente em um dado dia e 0 caso contrário. É

44 32 evidente que, como só há folgas naturais nos finais de semana os elementos de serão sempre zero para os valores de d que representam os dias úteis. Um exemplo fictício de uma matriz está representado na figura 4.4. Figura 5.4: Exemplo fictício de uma matriz de folgas Assim, é possível verificar que a solução parcial do modelo de designação poderá apresentar dois tipos de incompatibilidade com relação às restrições exigidas pelo PRT. O primeiro caso seria o descumprimento da restrição 3 (seção 4.4) com a ocorrência de tripulações trabalhando seis ou mais dias consecutivos. Esta irregularidade é observada quando há uma sequência consecutiva com sete ou mais elementos nulos na matriz. Na figura 5.4 este tipo de irregularidade pode ser verificado pela sequência de zeros representada na cor vermelha. Um segundo tipo de irregularidade, que não está ilustrado na figura, ocorre quando uma determinada tripulação está alocada para trabalhar em todos os domingos do horizonte de planejamento, o que caracteriza o descumprimento da restrição 6 (seção 4.4). A correção destas irregularidades é obtida em uma segunda fase da metodologia proposta neste trabalho que consiste em um modelo inédito de programação inteira. A função deste modelo é inserir novas tripulações, denominadas folguistas, e alocá-las no rodízio das tripulações, de tal forma que se consiga corrigir todas as irregularidades existentes na solução inicial (obtida no modelo de designação) e, ao mesmo tempo, minimizar a quantidade de folguistas necessários. Os folguistas são tripulações que trabalham para cobrir as jornadas de trabalho de uma tripulação regular quando esta estiver gozando o seu direito a um dia de folga. É importante ressaltar que a distinção entre os termos folguista e tripulação regular são utilizados apenas para descrever a forma como essas tripulações são alocadas, na prática os contratos trabalhistas são idênticos para ambas as tripulações.