Estimação da estrutura a termo da taxa de juros por Inferência Bayesiana: uma aplicação do método de Monte Carlo Hamiltoniano

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1 Estimação da estrutura a termo da taxa de juros por Inferência Bayesiana: uma aplicação do método de Monte Carlo Hamiltoniano Rafael Lima Batista EESP-FGV Márcio Poletti Laurini FEARP-USP RESUMO O objetivo principal desse trabalho é aplicar Inferência Bayesiana, por Monte Carlo via Cadeia de Markov através do método de Monte Carlo Hamiltoniano (HMC), na estimação da estrutura a termo da taxa de juros para o modelo paramétrico de NELSON e SIEGEL (1987), e suas extensões com quatro e cinco fatores. Esses modelos, na literatura, são geralmente estimados através do Filtro de Kalman. Além disso, a aplicação da Inferência Bayesiana geralmente é feita com métodos de estimação por passeio aleatório, uma forma pouco eficiente. Para mostrar a maior eficiência do HMC, inicialmente estimou-se a curva de juros dos Estados Unidos por Amostragem de Gibbs, alcançando a convergência da distribuição posterior somente com iterações. Depois, foram estimadas por HMC a curva dos Estados Unidos e a curva de juros nominal Brasil, aplicando-se três modelos paramétricos para cada, e em todos houve convergência com apenas.000 iterações. Além disso, também foi mostrado que os modelos paramétricos com cinco fatores geram os menores erros de estimação entre os modelos abordados. Como uma aplicação, utilizou-se a diferença entre os juros nominal e real do Brasil para construir uma curva paramétrica com cinco fatores, e verificar se essa diferença constitui um bom previsor da inflação. A estimação, realizada por mínimos quadrados ordinários, indicou que a BEIR é um estimador não viesado da inflação futura para 3 e 6 meses. Códigos JEL: C11, C53, E43 Palavras-chave: Estrutura a termo da taxa de juros, Inferência Bayesiana, Monte Carlo via Cadeia de Markov, Monte Carlo Hamiltoniano, Amostragem de Gibbs Rafael Lima Batista Escola de Economia de São Paulo, Fundação Getúlio Vargas. rafael.lima.0@gmail.com. Márcio Poletti Laurini Faculdade de Economia, Administração e Contabilidade de Ribeirão Preto, Universidade de São Paulo. - mplaurini@gmail.com

2 1 1. INTRODUÇÃO A estrutura a termo da taxa de juros representa a dinâmica do rendimento de títulos, para cada maturidade, ao longo do tempo. Porém, essa estrutura a termo não é observada, precisando assim ser estimada a partir do preço de negociação no mercado de títulos ou de instrumentos financeiros derivativos, tornando essa série de pontos discretos em uma função contínua. A estimação da curva de juros possui diversas aplicações práticas. Em finanças, é utilizado como um instrumento para tomadas de decisões de investimentos, precificação de derivativos, entre outros. Também há estudos, voltados para a área macroeconômica, que utilizam a curva de juros estimada como um meio para a realização de previsões, como de crescimento do Produto Interno Bruto ou da inflação futura. Uma vantagem da utilização da curva de juros para essas aplicações é que ela fornece informações imediatas, muitas vezes intraday, pois as curvas são construídas com o preço de ativos negociados em mercado. Além disso, dadas as diferentes maturidades dos ativos, ela fornece essas informações para diferentes horizontes no tempo. Para a estimação da inflação futura, a expectativa dos agentes em relação à inflação é estimada através da diferença entre a curva de juros nominal e a curva de juros real, chamada de Break-Even Inflation Rate (BEIR). A obtenção de um bom previsor da inflação futura é de grande interesse para os agentes da economia, tanto públicos como privados, nas suas tomadas de decisões. Por exemplo, países com meta de inflação, como é o caso do Brasil, podem verificar se as expectativas do mercado estão de fato ancoradas na meta pretendida pelo governo, testando assim sua credibilidade. Existem diversos métodos para modelar a estrutura a termo da taxa de juros, e segundo LAURINI e HOTTA (010), pode-se simplificar essa literatura em três classes de modelos: modelos de equilíbrio, modelos livre de arbitragem e modelos estatísticos. O último não possui interpretação estrutural, porém utiliza estatística para descrever a dinâmica da curva de juros, e são assim mais simples, além de permitir a realização de previsões. Nesse trabalho, foi utilizada uma classe de modelos estatísticos chamados de modelos paramétricos. Os modelos paramétricos costumam ter bom ajuste para a estrutura a termos da taxa de juros, pois possuem componentes exponenciais que permitem à curva exibir comportamentos com corcovas, tanto ascendentes como descendentes, que são características observadas empiricamente nas curvas de juros. O modelo paramétrico mais conhecido é o proposto por NELSON e SIEGEL (1987), com três fatores, representando os componentes de curto, médio e longo prazo, e com uma constante determinando a taxa de decaimento exponencial da curva. A partir desse modelo, foram propostas outras extensões buscando melhorar o ajuste da curva ao comportamento empírico da taxa de juros. Nesse trabalho, além do modelo de NELSON e SIEGEL (1987), serão utilizadas duas extensões dele. A primeira é a de SVENSSON (1994), que além dos fatores utilizados na curva de NELSON e SIEGEL (1987), adiciona um quarto fator, de longo prazo, com uma constante de decaimento diferente. E a segunda é a proposta em CHRISTENSEN, DIEBOLD e RUDEBUSCH (009), adicionando um quinto fator, de médio prazo, com a mesma constante de decaimento do quarto fator. A classe de modelos paramétricos tem grande utilização na prática, devido principalmente à sua simplicidade para modelação, sua boa adequação aos dados observados, além de ter a capacidade de realizar previsões, sem que seja necessária a estimação de fatores estruturais. Diversos Bancos Centrais do mundo os utilizam para a modelagem da curva de juros. No Brasil, por exemplo, a Associação Brasileira das

3 Entidades dos Mercados Financeiro e de Capitais (ANBIMA) utiliza atualmente o modelo de SVENSSON (1994) para a construção da estrutura a termo da taxa de juros, e a divulgação de seus valores ao mercado é feita através dos fatores da curva. A contribuição desse trabalho está focada na metodologia de estimação da curva de juros. Aqui, a estrutura a termo da taxa de juros é estimada por Inferência Bayesiana, utilizando o método de Monte Carlo Hamiltoniano (HMC) para construir a distribuição posterior, que é um método mais eficiente. Na literatura, os modelos paramétricos são usualmente estimados por Filtro de Kalman, utilizando diferentes construções. Alguns fixam o parâmetro de decaimento exponencial para evitar problemas na estimação, como em DIEBOLD e LI (006). Além disso, na aplicação da Inferência Bayesiana, os métodos de estimação geralmente são baseados em passeio aleatório para a obtenção da distribuição posterior, como Amostragem de Gibbs ou Metropolis. Nesse trabalho, além de todos os parâmetros do modelo serem estimados conjuntamente através de Inferência Bayesiana, por Cadeia de Markov via Monte Carlo, o método utilizado não é baseado em passeio aleatório, mas na Dinâmica Hamiltoniana. Com isso, o processo de construção da distribuição posterior passa a ser bem mais eficiente, e faz com que geralmente a cadeia convirja para uma distribuição estacionária com um número pequeno de iterações, se comparado aos métodos que utilizam passeio aleatório. Para mostrar como isso ocorre na prática, inicialmente foi estimada a curva de juros com cinco fatores, para dados mensais de juros nominais dos Estados Unidos, pelo método de Amostragem de Gibbs. Inicialmente realizou-se.000 iterações, sem que houvesse convergência. Depois, realizou-se iterações, e nesse caso houve convergência para uma distribuição estacionária. Já com Monte Carlo Hamiltoniano, estimou-se com os mesmos dados do Estados Unidos e com juros diários nominais do Brasil, para os modelos de três, quatro e cinco fatores. Em todos os casos houve convergência da distribuição posterior para uma distribuição estacionária com.000 iterações, validando a premissa de que esse método é mais eficiente. Além disso, foi mostrado que a curva que utiliza cinco fatores possui os menores erros médios de estimação, já que um número maior de fatores naturalmente leva a um ajuste melhor da curva aos dados observados. E como uma aplicação prática do método utilizado, foi estimada a curva de spread de juros nominal e real do Brasil, para o mesmo período utilizado em MARIANI e LAURINI (014). Os resultados encontrados foram semelhantes, com a BEIR apresentando-se como um estimador não viesado da inflação futura para 3 e 6 meses. Esse trabalho está organizado da seguinte maneira. Na seção é apresentada a revisão da literatura sobre a estimação da curva de juros por modelos paramétricos e aplicações utilizando a BEIR. Na seção 3 é apresentada a metodologia utilizada de Monte Carlo Hamiltoniano e sobre o processo de convergência. Na seção 4 são apresentados os resultados da estimação, inicialmente para a curva de juros nominal mensal dos Estados Unidos, com o modelo de cinco fatores, estimada por Amostragem de Gibbs. Em seguida, são apresentados os resultados para os modelos de três, quatro e cinco fatores estimados com os mesmos dados dos Estados Unidos e para juros nominais diários do Brasil, por Monte Carlo Hamiltoniano. Além disso, foi mostrada a aplicação dos modelos estimados para a realização de previsões. Na seção 5 é apresentada a aplicação da estimação da curva de juros para a estimação da inflação futura através da BEIR e na seção 6 é apresentada a conclusão.

4 3. REVISÃO DA LITERATURA.1. Estrutura a termo da taxa de juros através de modelos paramétricos Em NELSON e SIEGEL (1987), propõe-se que um modelo parcimonioso para a taxa de juros instantânea, determinado por r(m) = β 1 + β. exp( m τ 1 ) + β 3 [(m τ 1 ). exp( m τ 1 )] (1) no qual r(m) é a taxa de juros instantânea com maturidade m e τ 1 é uma constante que determina a taxa exponencial de decaimento. β 1 apresenta-se como o componente de longo prazo da curva, já que não decai a zero quando m, enquanto exp( m τ 1 ) é o componente de curto prazo, que começa com 1 e decai monotonicamente para zero, de forma rápida com o aumento de m; e [(m τ 1 ). exp( m τ 1 )] é o componente de médio prazo, que começa com valor igual a zero, aumenta até certo ponto e decai monotonicamente para zero com o aumento da maturidade. A partir daqui, o termo 1/τ será chamado de λ, como geralmente aparece na literatura. Em DIEBOLD e LI (006), explica-se que um valor alto de λ leva a um decaimento rápido da curva, enquanto um valor baixo produz um decaimento lento e costuma se adequar melhor a maturidades maiores. Além disso, esse parâmetro também determina o ponto de máximo alcançado por β 3 [(m τ 1 ). exp( m τ 1 )]. O rendimento médio para um título de maturidade m é dado pela integral definida entre o período zero e a maturidade do título R(m) = 1 m m r(x)dx 0 () resultando no seguinte modelo paramétrico para o rendimento R(m): R t (m) = β 1 + β. [1 exp( mλ 1)] mλ 1 + β 3. [ [1 exp( mλ 1)] mλ 1 exp ( mλ 1 )] (3) Com esse modelo, é possível gerar curvas com as características descritas para a estrutura a termo da taxa de juros: monotônica, com forma de corcunda e com formato de S (NELSON; SIEGEL, 1987, p. 474, tradução própria). Os coeficientes também podem ser interpretados da maneira apresentada em DIEBOLD e LI (006): β 1 como sendo o nível da curva de juros, β a inclinação e β 3 a curvatura. Porém, podem ocorrer casos em que as curvas de juros possuem formatos mais complexos, e o modelo apresentado em (3) não consegue ajustar-se adequadamente. Para aumentar a flexibilidade da curva e melhorar sua adequação à realidade, em SVENSSON (1994) é adicionado um quarto fator a (3), sendo um segundo fator de curvatura, com β 5 como coeficiente e λ como o parâmetro que define o decaimento exponencial. No artigo, explica-se que esse modelo se adequa melhor a maturidades maiores. Essa modelo fica definido como R t (m) = β 1 + β. [1 exp( mλ 1)] mλ 1 + β 3. [ [1 exp( mλ 1)] mλ 1 exp ( mλ 1 )] +β 5. [ [1 exp( mλ )] mλ exp ( mλ )] (4)

5 4 Quanto mais fatores se adicionar ao modelo, melhor tende a ser o ajuste da curva aos valores observados. Porém, isso também aumenta a dificuldade para a estimação de todos os coeficientes, assim como a necessidade de uma amostra cada vez maior para estimá-la. Em CHRISTENSEN, DIEBOLD e RUDEBUSCH (009), os autores mostram que a extensão feita por SVENSSON (1994) não pode ser obtida em uma representação livre de arbitragem. Para contornar esse problema, foi proposto um modelo com cinco fatores: um de nível, dois de inclinação e dois de curvatura R t (m) = β 1 + β. [1 exp( mλ 1)] mλ 1 + β 3. [ [1 exp( mλ 1)] mλ 1 exp( mλ 1 )] +β 4. [ [1 exp( mλ )] mλ ] + β 5. [ [1 exp( mλ )] mλ exp( mλ )] (5) Esse modelo, como mostrado pelos autores, apresentou-se adequado à hipótese de não arbitragem, com um bom ajuste à curva de juros dos EUA. Em DIEBOLD e LI (006), é utilizada a forma funcional de NELSON e SIEGEL (1987), fixando-se o parâmetro de decaimento exponencial em um valor pré-especificado, λ 1, e assim é utilizado o método de mínimos quadrados ordinários para se estimar os outros parâmetros, já que assim a função assume uma forma linear. Os parâmetros β 1, β e β 3 são modelados como processos autorregressivos de primeira ordem, tornando-se dinâmicos nesse modelo. Encontrou-se que esse modelo ajustou-se bem à curva de juros nominal mensal dos Estados Unidos, de 1985 a 000, além de ser um modelo que gera boas previsões. No artigo de LAURINI e HOTTA (010), é proposta a modificação da forma como o modelo de DIEBOLD e LI (006) é estimado. Nesse artigo, além de ser utilizado o modelo de SVENSSON (1994), os parâmetros de decaimento exponencial são adotados como variantes ao longo do tempo, seguindo um processo autorregressivo, além da inclusão de volatilidade condicional para os erros da equação de medida. A estimação é realizada por Cadeia de Markov via Monte Carlo, com inferência Bayesiana, cuja distribuição posterior é construída pelo algoritmo de Metropolis-Hastings. Foi encontrado que essa proposição é mais adequada à estimação da curva de juros, principalmente de países que possuem uma curva instável, como países em desenvolvimento, já que a aplicação desse método para a curva de juros de derivativos DIxPré do Brasil apresentou os parâmetros de decaimento com bastante volatilidade ao longo do tempo. Em HUSE (011), é utilizado o modelo de NELSON e SIEGEL (1987) para a estimação da curva de juros nominal, porém a dinâmica de seus fatores aqui é explicada totalmente por variáveis macroeconômicas observadas, ao invés de fatores latentes. São utilizados dois modelos: no primeiro, o nível, inclinação e curvatura da curva são determinados por crescimento da inflação, política monetária e atividade econômica, respectivamente. No segundo, o nível é determinado pelo crescimento da inflação e pela atividade econômica, a inclinação pela política monetária e atividade econômica, e a curvatura pelo crescimento da política fiscal. Usando dados dos Estados Unidos, para períodos de crise, esses modelos mostraram-se superiores ao de fatores latentes para a modelação da curva. Nesse trabalho, diferentemente de DIEBOLD e LI (006), o parâmetro de decaimento exponencial é estimado junto com o modelo, porém não é assumido variante ao longo do tempo, como em LAURINI e HOTTA (010). Além disso, os parâmetros β 1, β e β 3 (e β 4 e β 5 ) são dinâmicos, seguindo um processo autorregressivo, como em DIEBOLD e LI (006), e são tratados como fatores latentes.

6 5.. Aplicações com a utilização da BEIR Na literatura, há diversos artigos que utilizam a estrutura a termo da taxa de juros para calcular a BEIR e analisar sua capacidade de previsão da inflação, assim como a estimação do prêmio de risco, de liquidez, entre outros. O artigo de CHRISTENSEN, LOPEZ e RUDEBUSCH (010) utiliza títulos dos Estados Unidos de 003 a 008 para a estimação do prêmio de risco. É utilizado um modelo afim da curva de NELSON e SIEGEL (1987) com a hipótese de não arbitragem, em que os fatores de inclinação e curvatura são os mesmos para a curva de juros real e nominal, diferindo somente no nível, cuja estimação foi feita com Filtro de Kalman. Os resultados estimados da expectativa de inflação mostraram grande correlação com as pesquisas de expectativas, e o modelo se mostrou bem ancorado às expectativas de inflação de longo prazo. Já o prêmio pelo risco da inflação teve valores próximos a zero para os horizontes de 5 e 10 anos, variando em aproximadamente ± 50 pontos base. Em D AMICO, KIM E WEI (008) é utilizado um modelo de não arbitragem com a curva de juros de SVENSSON (1994), estimado por máxima verossimilhança com Filtro de Kalman. Nele foi analisado o impacto do prêmio de liquidez na estimação da inflação esperada, através da BEIR, para títulos dos Estados Unidos entre 1997 e 007. Os resultados, comparados com pesquisas de expectativa, mostraram que um modelo que não inclui prêmio de liquidez gera erros na previsão da inflação esperada. A estimativa do prêmio de liquidez no início das negociações dos Treasury Inflation-Protected Bonds (TIPS), que são os títulos indexados à inflação dos Estados Unidos, era relativamente alta, em torno de 1% a %, valor que foi diminuindo com o tempo. Para a variância da BEIR, encontrou-se que a variação no prêmio de liquidez explica 40% de sua variação no curto prazo, diminuindo para cerca de 10% no longo prazo. CICCARELLI e GARCÍA (009) modelam a curva de juros de maneira semelhante à de D AMICO, KIM E WEI (008) para estudar quais variáveis macroeconômicas e financeiras possuem poder explicativo sobre a BEIR. Para isso, utilizam técnicas do modelo de seleção Bayesiana, com a BEIR sendo explicada por um componente autorregressivo e por variáveis macroeconômicas e financeiras. No curto prazo, a maior parte das variações na BEIR são provocadas por variações na expectativa de inflação e sobre condições cíclicas. No longo prazo, além da expectativa de inflação, indicadores de pressão sobre os preços, condições cíclicas e confiança, além de variáveis financeiras, apresentam uma importância maior. Para dados abordando o mercado brasileiro, VICENTE e GUILLEN (013), com a modelagem da curva de juros através do modelo paramétrico de SVENSSON (1994), testam a capacidade de previsão da BEIR em relação à inflação futura, com dados mensais de rendimentos reais e nominais de títulos brasileiros, de 005 a 011. Foram utilizados três métodos de estimação: mínimos quadrados ordinários, variáveis instrumentais com mínimos quadrados em dois estágios e método generalizado dos momentos. Com resultados similares para as três estimações, no horizonte de 3 e 6 meses a BEIR mostrou-se significante e apresentou-se como um estimador não viesado da inflação esperada. No horizonte de 1 e 18 meses, porém, não possui poder explicativo da inflação futura. Já para 4 e 30 meses, a BEIR, assim como no curto prazo, também mostrou-se significante, porém a relação encontrada entre seu valor e a inflação foi negativa. O artigo de CALDEIRA e FURLANI (011) constrói um modelo semelhante ao de VICENTE e GUILLEN (013), cujos resultados encontrados também foram semelhantes. A relação negativa no longo prazo implica que a BEIR não explica adequadamente a inflação futura nesse horizonte de tempo. Assim, foi flexibilizada a hipótese de prêmio pelo risco

7 6 constante ao longo do tempo, construindo-se um modelo estimado por filtro de Kalman, em que os coeficientes da relação entre a inflação implícita e a inflação realizada podem variar com o tempo. Porém, novamente foi observada uma relação negativa, mostrando que podem existir outros fatores que influenciam a relação entre a BEIR e a inflação. Também foram comparados os resultados estimados com os de modelos VAR do Banco Central, que apresentaram resultados menos precisos; e com as estimativas de inflação Top5, do relatório Focus, que apresentaram melhores resultados do que o modelo de previsão através da BEIR. Em VAL, BARBEDO E MAIA (010) estima-se a BEIR utilizando o método Clash Flow Matching e o modelo de SVENSSON (1994), considerando a existência de prêmio de risco. Os resultados foram comparados com pesquisas de expectativa e com a inflação realizada. As duas metodologias utilizadas apresentaram resultados que superestimam as variações da inflação, além de haver uma convergência ao longo do tempo entre os resultados apresentados pelos modelos e os da pesquisa de expectativas de inflação. Para mais de 1 meses, até o ano de 005 as pesquisas da Gerin apresentavam os menores erros de previsão. Entre 006 a 008, o modelo utilizando a construção de SVENSSON (1994) apresentou os melhores resultados. Em MARIANI e LAURINI (014), para a estimação da expectativa de inflação é utilizada a formulação de SVENSSON (1994) com a hipótese de não arbitragem para a construção das curvas de juros, entre janeiro de 006 e outubro de 013. A estimação é feita por Filtro de Kalman. O spread entre os títulos nominais e os reais é obtido por fatores de desconto estocástico, que decompõe essa diferença em inflação implícita e prêmio pelo risco, com a construção do modelo feita de maneira semelhante a CHRISTENSEN, LOPEZ e RUDEBUSCH (010). Encontrou-se que para o período de 6 a 1 meses a estimação a partir da BEIR e da inflação implícita mostram-se superiores às do Boletim Focus. Para a estimação com mínimos quadrados ordinários, foi encontrado que a BEIR é um estimador não viesado da inflação para os períodos de 3 e 6 meses. 3. METODOLOGIA 3.1. Método de Monte Carlo Hamiltoniano (HMC) O método de Monte Carlo Hamiltoniano (HMC - Hamiltonian Monte Carlo) é um método de Monte Carlo via Cadeia de Markov cuja implementação tem base em conceitos da área de física, para gerar a distribuição posterior de uma forma mais eficiente. Nele é utilizada a Dinâmica Hamiltoniana e o processo de aceitação do método de Metropolis. A apresentação do HMC será feita com base na teoria apresentada em NEAL (011) e HOFFMAN e GELMAN (014). A principal vantagem do HMC em relação aos métodos que realizam as simulações por passeio aleatório é que o processo de convergência, empiricamente, ocorre de maneira mais rápida, ou seja, com um número geralmente bem menor de iterações. No algoritmo de Metropolis, define-se uma distribuição auxiliar, q(. y), cuja função deve ser simétrica em y e x. Essa distribuição gera amostragens para um dado y, a partir de q(. y t ), que pode ser rejeitado, analisando-se a razão r = p(y ) p(y t ) (6) sendo p(. ) a distribuição de probabilidade alvo.

8 7 Se r 1, define-se y t+1 = y, caso contrário define-se y t+1 = y, com probabilidade r, y t+1 = y t, com probabilidade 1 r e assim realiza-se esse procedimento para um certo número de iterações. O método de Monte Carlo Hamiltoniano utiliza variáveis de momento, ρ, incluídas artificialmente no modelo, e define-se a distribuição de probabilidade conjunta p(ρ, θ) = p(ρ θ)p(θ) (7) A distribuição de ρ é independente de θ, sendo geralmente atribuído uma distribuição normal multivariada ρ~n(0, Σ), em que Σ é uma matriz de variância-covariância, simétrica, positiva-definida, e geralmente diagonal. Essa matriz usualmente é chamada de matriz de massa. A função de Hamilton é definida a partir da distribuição conjunta p(ρ, θ) H(ρ, θ) = log p(ρ, θ) (8) H(ρ, θ) = log p(ρ θ) log p(θ) (9) H(ρ, θ) = T(ρ θ) + V(θ) (10) em que T(ρ θ) = log p(ρ θ) é chamado de energia cinética e V(θ) = log p(θ) é a energia potencial. Aqui cabe o conceito de conservação de energia, de forma que a função de Hamilton permanece invariante. Iniciando a partir de um estado da variável θ, define-se um valor para ρ, independente θ, e que não apresenta persistência ao longo das iterações. A dinâmica de ρ e θ ao longo do tempo t é definida pelas derivadas parciais da equação de Hamilton θ t = H ρ = T ρ ρ t = H θ = T θ V θ (11) (1) Como o momento ρ é independente de θ, p(ρ θ) = p(ρ), e assim T θ = 0. Dessa forma, as derivadas da equação de Hamilton (11) e (1) ficam θ t = T ρ ρ t = V θ (13) (14) Para resolver as equações diferenciais para os dois estados, utiliza-se aqui o integrador Leapfrog, que é um algoritmo de integração numérica adaptado para fornecer resultados estáveis para o HMC. Esse algoritmo opera através de etapas de tempo discretas, de um pequeno intervalo ε, após definir o momento ρ inicial. A partir daí, ele alterna entre uma atualização em t + ε para ρ, e uma atualização em t + ε para θ e ρ, da seguinte forma ρ (t+ε ) ρ (t) ε V θ (t) (15)

9 8 θ (t+ε) θ (t) + εσρ (t+ε ) (16) ρ (t+ε) ρ (t+ε ) ε V θ Após L repetições das etapas (15), (16) e (17), foi realizada uma simulação para Lε períodos discretos de tempo e o estado final resultante desse processo é denotado como (ρ, θ ). Como a atualização de uma variável depende somente da outra variável, as atualizações feitas pelo método de Leapfrog mantém o volume da distribuição constante após mapear seus pontos com o integrador. A distribuição que se pretende amostrar é obtida a partir de outro conceito de física (função de energia potencial, pelo conceito de distribuição canônica da estatística mecânica, como exposto em NEAL (011), p.1-13). A função de densidade da distribuição conjunta, P(ρ, θ), fica definida como sendo Z uma constante para garantir que (t+ε) (17) P(ρ, θ) = 1 exp( H(ρ, θ)) (18) Z + P(ρ, θ) = 1. No processo de integração de Leapfrog é aplicada a condição de aceitação do método de Metropolis. A probabilidade de se aceitar a transição do estado (ρ, θ) para o estado (ρ, θ ), após as L repetições é min(1, exp(h(ρ, θ) H(ρ, θ ))) (19) Se o estado proposto não for aceito, o parâmetro retorna para seu valor anterior, e a próxima iteração é iniciada a partir dele. Para a aplicação do método, foi utilizado o pacote stan, no software R. Para executar o algoritmo de simulação é necessário definir, além das distribuições a priori dos parâmetros a serem estimados, a forma como será a divisão do tempo em períodos discretos, ε, a matriz de precisão (inverso da matriz de variância-covariância), Σ 1, e o número de repetições de cada iteração, L. Porém, pode-se otimizar a escolha dos parâmetros automaticamente através de um algoritmo chamado no-u-turn Sampling (NUTS), proposto em HOFFMAN e GELMAN (014), e incluído no pacote stan utilizado. O objetivo desse algoritmo é realizar um certo número de repetições do algoritmo de Leapfrog, até que um número maior de repetições não aumente mais a distância entre θ e o θ inicial, e na prática isso é feito até que sua trajetória volte à posição inicial. Para implementar esse processo, é construída uma árvore binária, utilizando o integrador de Leapfrog para realizar iterações para a frente e para trás. Inicialmente é realizada uma etapa para frente ou para trás, depois duas etapas para trás ou para frente, em seguida quatro etapas para frente ou para trás, e assim por diante, seguindo esse processo de dobrar o número de etapas até que os pontos mais extremos à esquerda ou à direita comecem a voltar para eles próprios (fazer o U-Turn ). Nesse ponto, a simulação é interrompida e a amostragem gerada é computada. 3.. Convergência Na prática, não é possível afirmar com certeza que, após um dado número de iterações, uma cadeia convergiu para uma distribuição estacionária. Porém, existem alguns testes que indicam que essa convergência pode ter ocorrido. Possivelmente o teste mais

10 9 utilizado para fazer essa verificação, segundo LANCASTER (004), é o diagnóstico de Gelman-Rubin. Sua aplicação ocorre após a simulação de n realizações para m cadeias paralelas, iniciando de pontos diferentes de um espaço π. Escolhendo uma função escalar ω, pertencente ao espaço π, ω ij é a i-ésima realização para a j-ésima cadeia. A variância entre as cadeias é definida por m B = n m 1 (ω j ω ) j=1 (0) em que ω é a média total para todas as mn realizações e ω j é a média das n realizações da cadeia j. A variância dentro das cadeias é definida como uma média da variância dentro de cada cadeia n 1 W = m(n 1) (ω ij ω j) m i=1 j=1 (1) Os valores de B e W, se a cadeia for ergódica, com n, serão estimações consistentes da variância de ω, σ, assim como a média ponderada deles σ ω = (1 1 n ) W + (1 ) B () n A verificação de convergência é feita a partir da estatística de Gelman-Rubin R = σ ω W (3) Se os pontos iniciais da cadeia estão mais dispersos relativamente à variância esperada para ω, a variância entre as cadeias B também ficará acima da variância de ω. E a variância dentro das cadeias W, no início, tende a ficar abaixo da variância de ω, já que ainda não explorou completamente o espaço de estado. Dessa forma, a estatística de Gelman-Rubin, R, tende a ser maior do que 1 no início da cadeia, mas se aproxima desse valor conforme aumenta o comprimento da cadeia. Uma prática comum para a verificação de convergência é calcular R para alguns elementos selecionados de π, e verificar se a estatística converge para 1. Porém, como dito anteriormente, a estatística convergir para 1 é apenas um indicativo de convergência da cadeia, porém essa convergência não é provada por esse teste Descrição do modelo Nesse trabalho serão utilizadas as curvas de juros apresentadas em NELSON e SIEGEL (1987), SVENSSON (1994) e CHRISTENSEN, DIEBOLD e RUDEBUSCH (009), expostas em (3), (4) e (5), respectivamente, na seção.1. Para os três modelos, os parâmetros possuem a seguinte relação

11 10 α 1 φ 1 β 1t [ ] = [ ] + [ ] β it α i φ i β 1t 1 [ ] (4) β it 1 com i referente ao número de fatores do modelo. A variância da curva de juros é definida por σ e a variância para cada parâmetro β i estimado é definida por σ i. Também foram atribuídas as distribuições a priori para todos os parâmetros a serem estimados. Os parâmetros α 1,, α i e φ 1,, φ i possuem distribuição normal. Para os parâmetros β, β it ~ N(β it 1, σ i ). Os parâmetros de variância σ ; σ 1,, σ i têm distribuição gama, e os parâmetros de decaimento λ 1 e λ têm distribuição lognormal. Diferentemente de outros artigos que utilizam uma das curvas de juros paramétricas utilizadas nesse trabalho, como DIEBOLD e LI (006), aqui os parâmetros λ 1 e λ foram estimados juntos com o modelo, e não definidos previamente. Assim, todos esses parâmetros apresentados são estimados conjuntamente através da Inferência Bayesiana por MCMC. 4. ESTIMAÇÃO DA ESTRUTURA A TERMO DA TAXA DE JUROS 4.1. Descrição dos dados Maturidade Média Desv. Padrão Mínimo Máximo ρ (1) ρ (1) ρ (30) 3 6,851,699,73 16,00 0,970 0,700 0, ,079,706,891 16,481 0,97 0,719 0, ,01,683,984 16,394 0,97 0,76 0, ,30,606 3,107 15,8 0,971 0,79 0, ,408,55 3,88 16,043 0,973 0,737 0, ,481,536 3,48 16,9 0,974 0,743 0, ,544,54 3,638 16,177 0,975 0,747 0,44 4 7,558,478 3,777 15,650 0,975 0,745 0, ,647,400 4,043 15,397 0,975 0,755 0, ,74,378 4,04 15,765 0,977 0,761 0, ,861,319 4,308 15,81 0,977 0,765 0, ,933,85 4,347 15,005 0,980 0,779 0, ,047,6 4,384 14,979 0,980 0,786 0, ,079,18 4,35 14,975 0,980 0,768 0, ,14,04 4,433 14,936 0,98 0,793 0, ,176,1 4,49 15,018 0,98 0,794 0, ,143,167 4,443 14,95 0,98 0,771 0,53 Tabela 1. Estatísticas descritivas dos dados mensais de juros nominal dos U.S. Treasuries Bonds, por maturidade, para o período de janeiro/197 a dezembro/000 Para a estimação da curva de juros dos Estados Unidos, foram utilizados dados semelhantes aos de DIEBOLD e LI (006), com a taxa de juros do final do mês dos títulos U.S. Treasuries Bonds, que são títulos com rendimento nominal, porém para um período maior, de janeiro de 197 a dezembro de 000. Também foram usadas as mesmas maturidades de títulos, 3, 6, 9, 1, 15, 18, 1, 4, 30, 36, 48, 60, 7, 84, 96, 108, e 10 meses. Há um total de 348 observações para cada maturidade.pelos valores apresentados

12 11 na Tabela 1, pode-se notar que nesse período, os dados de juros nominal nos Estados Unidos eram positivamente inclinados, aumentando, em média, com o aumento da maturidade. Além disso, há uma volatilidade maior para os valores de curto prazo, que diminui para títulos de maturidade maiores. Também há uma persistência maior para os títulos de prazos mais longos, relativamente aos de prazos mais curtos, para as autocorrelações estimadas de 1, 1 e 30 períodos. Nesse período, porém, não foi observada autocorrelação negativa para 30 períodos nos títulos de maturidade de 3, 6 e 9 meses, como foram encontradas no período utilizado em DIEBOLD e LI (006). Para a curva de juros nominal do Brasil, foram utilizados dados diários de contratos futuros de DI. O período selecionado foi de de janeiro de 01 até 7 de março de 015, e as maturidades utilizadas são de 1, 3, 6, 9, 1, 15, 18, 1, 4, 6, 30, 36, 4, 48 e 60 meses, com um total de 801 observações para cada maturidade. Maturidade Média Desv. Padrão Mínimo Máximo ρ (1) ρ (60) ρ (10) 1 9,341 1,685 6,98 1,64 0,997 0,770 0, ,43 1,754 6,973 13,083 0,997 0,77 0,50 6 9,560 1,831 6,906 13,65 0,997 0,775 0, ,681 1,876 6,849 13,855 0,997 0,780 0,50 1 9,8 1,888 6,868 13,91 0,997 0,787 0, ,980 1,867 6,909 13,951 0,997 0,790 0, ,141 1,88 7,08 13,919 0,996 0,794 0, ,77 1,781 7,18 13,847 0,996 0,798 0, ,400 1,736 7,394 13,798 0,996 0,798 0, ,471 1,709 7,50 13,71 0,996 0,796 0, ,588 1,654 7,709 13,648 0,996 0,794 0, ,7 1,581 7,986 13,563 0,996 0,791 0, ,841 1,58 8,191 13,53 0,996 0,790 0, ,914 1,479 8,36 13,430 0,995 0,787 0, ,015 1,398 8,589 13,334 0,995 0,781 0,471 Tabela. Estatísticas descritivas dos dados diários de juros nominal de contratos futuros de DI, por maturidade, para o período de de janeiro de 01 a 7 de março de 015 Com os dados da Tabela, é possível ver que também há uma inclinação positiva dos juros nominal no Brasil, com os valores aumentando junto com a maturidade, e assim como os dados dos Estados Unidos, a volatilidade também diminui para títulos com maturidade de prazo maior. Para a análise de persistência, foram calculadas aqui as autocorrelações para 1, 60 e 10 períodos anteriores. Para esses três cálculos de autocorrelação, não houve um padrão claro de mudança de acordo com as maturidades, já que os valores de autocorrelação permanecem bem próximos entre si, independente da maturidade, possivelmente devido ao fato de não ser uma amostra muito extensa, e assim não estar sujeita a muitas oscilações.

13 1 4.. Curva de juros nominal dos Estados Unidos por Amostragem de Gibbs Nessa seção são apresentados os resultados da estimação da curva de juros, pelo modelo de cinco fatores, para dados mensais de juros nominais dos Estados Unidos, estimada por Amostragem de Gibbs. Inicialmente foram realizadas.000 iterações, sendo que desse total, as primeiras iterações foram descartadas, e as restantes foram utilizadas para a construção da distribuição posterior. Porém, de acordo com o diagnóstico de convergência de Gelman- Rubin, os parâmetros do modelo não convergiram para uma distribuição estacionária, como apresentado a seguir. Assim, foi testado para um número de iterações maior, , novamente com a primeira metade sendo descartada, e dessa forma o diagnóstico de Gelman-Rubin indicou que houve convergência para uma distribuição estacionária, com as valores da estatística para os parâmetros convergindo para 1. Os valores dos parâmetros β, ao longo do tempo, foram obtidos pelo cálculo da média dos valores estimados para cada período do tempo. Figura 1. Evolução do parâmetro β 1 no tempo, da curva de juros mensal dos EUA com cinco fatores, estimada pelo método de Amostragem de Gibbs com.000 iterações (acima) e iterações (abaixo) Os parâmetros β, no geral, tiveram estimações semelhantes entre as simulações com.000 e iterações. Para β 1, apresentado na Figura 1, as duas estimações resultaram em uma evolução do parâmetro praticamente semelhante no tempo, com ele tendo um comportamento próximo ao da taxa de juros ao longo desse período, que é o esperado para o nível da curva de juros. Figura. Evolução do parâmetro β no tempo, da curva de juros mensal dos EUA com cinco fatores, estimada pelo método de Amostragem de Gibbs com.000 iterações (acima) e iterações (abaixo)

14 13 Figura 3. Evolução do parâmetro β 4 no tempo, da curva de juros mensal dos EUA com cinco fatores, estimada pelo método de Amostragem de Gibbs com.000 iterações (acima) e iterações (abaixo) Os parâmetros de inclinação, β e β 4, nas Figuras e 3, respectivamente, também tiveram estimações próximas entre as duas simulações, e com ambos os fatores oscilando entre valores positivos e negativos ao longo do tempo, que representa as mudanças ocorridas na curva de juros nesse período. Figura 4. Evolução do parâmetro β 3 no tempo, da curva de juros mensal dos EUA com cinco fatores, estimada pelo método de Amostragem de Gibbs com.000 iterações (acima) e iterações (abaixo) Figura 5. Evolução do parâmetro β 5 no tempo, da curva de juros mensal dos EUA com cinco fatores, estimada pelo método de Amostragem de Gibbs com.000 iterações (acima) e iterações (abaixo)

15 14 Já para os parâmetros de curvatura, β 3 e β 5, apresentados nas Figuras 4 e 5, respectivamente, há uma diferença maior entre as estimações feitas com.000 iterações e iterações. Enquanto o β 3 na primeira estimação mostra-se muito mais volátil do que na segunda, o β 5 não capta todas as variações ocorridas ao longo do tempo, não apresentando grandes variações a partir do ano de 1990, apesar das mudanças ocorridas na curva de juros. Na segunda estimação há maiores oscilações da curvatura desse parâmetros no tempo. Figura 6. Histogramas dos valores estimados dos parâmetros λ 1 e λ, da curva de juros mensal dos EUA com cinco fatores, pelo método de Amostragem de Gibbs com.000 iterações Figura 7. Histogramas dos valores estimados dos parâmetros λ 1 e λ, da curva de juros mensal dos EUA com cinco fatores, pelo método de Amostragem de Gibbs com iterações Para os parâmetros de decaimento exponencial λ 1 e λ, apresentados nos histogramas da Figura 6, é simples notar que não houve convergência para a estimação

16 197M01 197M M M M M M M M M M M03 198M01 198M M M M M M M M M M M03 199M01 199M M M M M M M M M07 000M05 15 realizada com.000 iterações. Para λ 1, há uma frequência relevante de valores próximos de 3 e 4, apesar da grande concentração de valores próximos de 0. E para λ, além de não haver uma concentração visível em torno de algum valor, os valores para λ encontram-se muito altos. Para a estimação com iterações, apresentadas na Figura 7, há uma concentração mais visível próxima de valores específicos, 0,031 para λ 1 e 0,37 para λ. Os resultados são valores pequenos, menores que 1, que está de acordo com os valores geralmente estimados para esses parâmetros na literatura β1 β β3 β4 β5 Figura 8. Estatística Gelman-Rubin, em cada ponto do tempo, para os parâmetros β 1, β, β 3, β 4 e β 5 estimados da curva de juros com cinco fatores, por Amostragem de Gibbs com.000 iterações Na Figura 8 são apresentados os valores da estatística de Gelman-Rubin para os parâmetros de nível, inclinação e curvatura do modelo estimado com.000 iterações. É visível que os valores divergem bastante de 1, e somente em alguns poucos meses os parâmetros β 1 e β 5 têm valores próximos de 1. Dessa forma, é simples concluir que a cadeia não convergiu para uma distribuição estacionária. Na Tabela 3 são apresentados os valores da estatística de Gelman-Rubin para os parâmetros restantes estimados juntos com o modelo. Apesar de haver alguns valores próximos a 1, no geral eles divergem disso. Para os parâmetros estimados no modelo com iterações, porém, houve convergência da estatística de Gelman-Rubin para 1. Mas, apesar de haver indícios da ocorrência de convergência, realizar uma estimação com iterações torna-se ineficiente, com uso desnecessário de recursos computacionais, já que existem outros métodos que chegam à convergência com um número bem menor de iterações, como o Monte Carlo Hamiltoniano, aplicado nas próximas seções.

17 16 Parâmetros Estatística Gelman-Rubin λ λ 6.8 α φ α 5.5 φ α φ 3.04 α 4.5 φ α φ σ σ σ.45 σ σ σ Tabela 3. Estatística Gelman-Rubin para os parâmetros λ 1, λ, α 1, φ 1, α, φ, α 3, φ 3, α 4, φ 4, α 5, φ 5, σ, σ 1, σ, σ 3, σ 4 e σ 5 estimados da curva de juros com cinco fatores, por Amostragem de Gibbs com.000 iterações 4.3. Curva de juros nominal dos Estados Unidos por HMC Figura 9. Taxa de juros nominal mensal dos Estados Unidos, por maturidade, para o período de janeiro de 197 a dezembro de 000

18 17 Nessa seção, para os mesmos dados mensais de juros nominais dos Estados Unidos, foram estimadas as curvas de juros apresentadas em NELSON e SIEGEL (1987), SVENSSON (1994) e CHRISTENSEN, DIEBOLD e RUDEBUSCH (009). Para todas, o diagnóstico de Gelman-Rubin indicou convergência para uma distribuição estacionária com a realização de apenas.000 iterações, evidenciando a maior eficiência da estimação através de Monte Carlo Hamiltoniano. Em seguida, são apresentados os resultados dos parâmetros estimados para os três modelos e os valores calculados de erros médios, que permite a comparação entre o ajuste dos modelos aos dados observados, que tende a melhorar com um número maior de fatores. Os parâmetros estimados apresentam o comportamento esperado, como pode-se observar na Figura 10. O β 1 acompanha, no geral, as tendências dos valores dos juros, apresentados na Figura 9, e os parâmetros de inclinação, β, e curvatura, β 3, apresentam variações entre valores positivos e negativos, o que permite descrever as variações ocorridas ao longo do tempo na curva de juros. Figura 10. Evolução no tempo dos parâmetros β 1, β e β 3 da curva de juros mensal dos EUA com três fatores, estimada por Monte Carlo Hamiltoniano, com.000 iterações No histograma apresentado na Figura 11, para o parâmetro λ 1, é possível observar a configuração de convergência, com uma maior concentração de valores próximos de 0,086, e com a distribuição apresentando um desvio padrão pequeno, em valores absolutos. Além disso, esse valor estimado é próximo ao utilizado em DIEBOLD e LI (006), 0,0609. Figura 11. Histograma dos valores estimados do parâmetro λ 1, da curva de juros mensal dos EUA com três fatores, estimada por Monte Carlo Hamiltoniano com.000 iterações

19 18 Pelos valores estimados dos parâmetros apresentados na Tabela 4, é possível notar que há uma alta persistência dos β estimados, de acordo com os valores médios de φ. Nesse modelo de três fatores, a maior persistência é verifica em β 1, com φ 1 = 0,98, e a menor em β 3, com φ 3 = 0,88. Além disso, também foram verificados valores muito baixos tanto para a variância dos parâmetros β estimados, como a variância total do modelo. Parâmetros,5% Média 97,5% Desvio Padrão α 1 0,0001 0,0013 0,0061 0,0006 α -0, ,0009-0, ,0004 α 3-0, , , ,00054 φ 1 0, , , ,00719 φ 0, , , ,01561 φ 3 0,847 0, ,9173 0,01961 σ 1 0,003 0,0034 0, ,00014 σ 0, ,006 0, ,0006 σ 3 0,0089 0,0097 0,0106 0,00044 σ 0,0011 0,0011 0, ,00001 Tabela 4. Parâmetros α 1, α, α 3, φ 1, φ, φ 3, σ 1, σ, σ 3 e σ, estimados para o modelo de três fatores, com dados mensais dos Estados Unidos, por Monte Carlo Hamiltoniano, com.000 iterações Figura 1. Evolução no tempo dos parâmetros β 1, β, β 3 e β 5 da curva de juros mensal dos EUA com quatro fatores, estimada por Monte Carlo Hamiltoniano, com.000 iterações Para os parâmetros estimados no modelo com quatro fatores, apresentados na Figura 1, o nível na curva de juros, β 1, segue o mesmo comportamento da estimação anterior. Também não há mudanças significativas na evolução do parâmetro de inclinação,

20 19 β, ao longo do tempo, ainda ocorrendo variações de inclinação durante o período. Já o parâmetro de curvatura, β 3, apresenta mudanças significativas em relação ao modelo de três fatores. Com a inclusão de um segundo fator, β 5, as variações das duas curvas mostram que ainda havia uma parte das mudanças na curvatura da curva de juros que não estavam sendo capturadas apenas por um fator. Figura 13. Histogramas dos valores estimados dos parâmetros λ 1 e λ, da curva de juros mensal dos EUA com quatro fatores, estimada por Monte Carlo Hamiltoniano com.000 iterações Os histogramas apresentados na Figura 13 para os parâmetros de decaimento estimados mostram que para λ 1 há uma frequência concentrada de valores próximos a 0,055 e para λ, próximos de 0,95. Novamente, há uma pequena variância na distribuição, em termos absolutos. Parâmetros,5% Média 97,5% Desvio Padrão α 1 0, ,0013 0,0064 0,00064 α -0,0014-0,0006 0, ,0004 α 3-0,0017-0, ,0003 0,0004 α 5-0, , , ,0008 φ 1 0, , ,9977 0,00736 φ 0, , , ,01508 φ 3 0, ,8956 0,9366 0,01987 φ 5 0, , , ,0089 σ 1 0,009 0, , ,00013 σ 0, , ,0077 0,0008 σ 3 0,0067 0, , ,00047 σ 5 0, , , ,00081 σ 0, , , ,00001 Tabela 5. Parâmetros α 1, α, α 3, α 5, φ 1, φ, φ 3, φ 5, σ 1, σ, σ 3, σ 5 e σ, estimados para o modelo de quatro fatores, com dados mensais dos Estados Unidos, por Monte Carlo Hamiltoniano, com.000 iterações Para o modelo de quatro fatores, como apresentado na Tabela 5, há uma alta persistência para os parâmetros estimados de nível e inclinação, com φ 1 = 0,98 e φ = 0,94,

21 0 enquanto que para os parâmetros de curvatura, a persistência observada é um pouco menor, com φ 3 = 0,89 e φ 5 = 0,88. Para esse modelo, também são verificados valores baixos para as variâncias estimadas. Figura 14. Evolução no tempo dos parâmetros β 1, β, β 3, β 4 e β 5 da curva de juros mensal dos EUA com cinco fatores, estimada por Monte Carlo Hamiltoniano, com.000 iterações Na Figura 14 são apresentados os parâmetros estimados para o modelo com cinco fatores. Além de β 1 apresentar a mesma evolução que nos outros modelos, os parâmetros de curvatura, β 3 e β 5, também o fazem, mas com uma suavização maior nas suas variações no tempo. Também é possível notar que não há mudança grande na evolução do parâmetro de inclinação β, com o segundo fator β 4 capturando algumas variações que não eram identificadas nos modelos anteriores. Os parâmetros estimados para λ 1 e λ também claramente apresentam convergência, como mostrado nos histogramas da Figura 15. Para o parâmetro λ 1, há uma frequência maior de valores próximos a 0,035, e para λ, próximos de 0,38.

22 1 Figura 15. Histogramas dos valores estimados dos parâmetros λ 1 e λ, da curva de juros mensal dos EUA com cinco fatores, estimada por Monte Carlo Hamiltoniano com.000 iterações Os valores apresentados na Tabela 6 mostram que para o modelo de cinco fatores novamente há uma grande persistência, cujos valores estimados de β 1 têm φ 1 bem próximo a 1. Para os parâmetros de inclinação e curvatura, também há uma persistência grande, com valores de φ próximos de 0,90. E os valores estimados de variância também foram pequenos para esse modelo. Parâmetros,5% Média 97,5% Desvio Padrão α 1 0, ,0013 0,0053 0,00063 α -0, , , ,00041 α 3-0, , ,0007 0,00036 α 4-0, , , ,00043 α 5-0, ,0001 0, ,00047 φ 1 0, ,9844 0,9976 0,0071 φ 0, ,975 0, ,01558 φ 3 0, , , ,01644 φ 4 0, , , ,0198 φ 5 0,88 0, , ,0189 σ 1 0,008 0,0031 0, ,00015 σ 0, , ,007 0,0003 σ 3 0, , , ,00049 σ 4 0, ,0076 0,008 0,00036 σ 5 0, , , ,00075 σ 0, , ,0009 0,00001 Tabela 6. Parâmetros α 1, α, α 3, α 4, α 5, φ 1, φ, φ 3, φ 4, φ 5, σ 1, σ, σ 3, σ 4, σ 5 e σ, estimados para o modelo de cinco fatores, com dados mensais dos Estados Unidos, por Monte Carlo Hamiltoniano, com.000 iterações

23 3 Fatores 4 Fatores 5 Fatores Mat. ME RMSE MAE ME RMSE MAE ME RMSE MAE 3 6,388 13,464 9,51 0,011 6,006 3,974 0,047 4,386,85 6 -,744 8,091 5,488-0,665 7,377 5,75-0,56 5,47 3, ,905 11,53 7,85 1,54 8,855 6,194 1,4 7,103 4,81 1 -,448 10,639 7,936 1,479 8,595 6,56 1,67 8,569 6, ,903 9,07 7,395-1,333 8,456 6,197-1,399 7,511 5, ,079 7,909 6,003-1,978 7,791 5,601-1,931 6,81 4,68 1 -,19 7,419 5,139 -,444 7,755 5,369 -,35 7,04 4,47 4,758 7,491 5,1 1,43 7,78 5,1 1,591 7,38 5, ,366 8,7 5,43 1,534 6,694 4,96 1,706 6,67 4,9 36 5,09 8,764 6,707 1,474 6,65 4,609 1,61 6,711 4,6 48 3,367 10,997 7,903-0,18 8,811 5,64-0,106 8,36 5,3 60 4,355 10,33 8,88 1,905 8,09 6,039 1,838 6,863 4, ,341 10,436 7,45 -,45 9,98 6,667 -,56 9,04 6, ,436 10,016 7,0-0, 9,985 6,959-0,39 10,057 7, ,539 9,965 7,041 -,18 9,909 6,454 -,07 9,905 6, ,499 1,84 8,547 -,047 11,09 6,43 -,085 10,714 5, ,796 14,11 10,143 4,136 1,453 7,935 4,146 11,886 7,654 Tabela 7. Medidas de erro médio (ME), erro quadrático médio (RMSE) e erro médio absoluto (MAE), por maturidade, para os parâmetros estimados da curva de juros mensal dos EUA com três, quatro e cinco fatores por Monte Carlo Hamiltoniano, em pontos-base Na Tabela 7 são apresentadas algumas medidas de erros calculadas para os três modelos, que são o erro médio (ED mean error), erro quadrático médio (RMSE rootmean-squared error) e erro médio absoluto (MAE mean absolute error). Esses valores, apresentados em pontos-base. Os erros calculados para o modelo de três fatores, no geral, mostraram-se relativamente grandes. O erro médio aponta que o modelo tende a subestimar as estimações para maturidades menores, de 6 a 1 meses, e para as maiores, de 7 a 108 meses. Já o erro quadrático médio e o erro médio absoluto apontam que os menores erros da estimação se encontram nas maturidades intermediárias, notadamente entre 18 e 36 meses, com um aumento nos erros para maturidades mais extremas. Uma exceção são os resultados da estimação para a maturidade de 6 meses, que apresenta erro quadrático médio e erro médio absoluto próximos aos das maturidades intermediárias citadas. Os valores para o modelo com quatro fatores deixam claro que ele possui um ajuste superior à estimação com três fatores. Houve diminuição em praticamente todas as medidas de erros. O erro médio apresenta alguns valores próximos a zero, como para as maturidades de 3, 48 e 84 meses. O erro quadrático médio, assim como o erro médio absoluto, apresenta a mesma configuração do modelo de três fatores, com os menores erros para maturidades intermediárias, entre 18 e 36 meses, além de apresentar valores menores para 3 e 6 meses, e o maior para 10 meses. Analisando comparativamente os modelos de quatro e de cinco fatores, percebe-se que há uma pequena diminuição para o último nos valores dos erros. Porém, relativamente à melhora que ocorreu com a inclusão do quarto fator, a variação ocorrida com a inclusão do quinto fator foi pequena, com alguns valores de erro permanecendo praticamente estáveis.

24 3 Isso ocorreu provavelmente pelo fato da curva de juros dos Estados Unidos possuir uma relativa estabilidade, não havendo muitas variações entre os períodos, o que diminui a necessidade da inclusão de muitos fatores para um bom ajuste do modelo Curva de juros nominal do Brasil por HMC Os mesmos modelos foram aplicados para a curva de juros nominal do Brasil, representada por contratos futuros de DI. Também foi realizada a estimação por Monte Carlo Hamiltoniano com.000 iterações, e o diagnóstico de Gelman-Rubin indicou a ocorrência de convergência em todos os casos. Em seguida, são apresentados os resultados obtidos. A Figura 17 apresenta os resultados estimados para o modelo de três fatores. O parâmetro β 1 apresentou um bom ajuste, além de apresentar configuração semelhante à da taxa futura de DI, apresentada na Figura 16, que no período inicialmente apresenta uma tendência de baixa, revertendo para uma alta em meados de 013, e oscilando entre altas e baixas a partir do segundo semestre de 014. Figura 16. Taxa de juros nominal diária de contratos futuros de DI do Brasil, por maturidade, para o período de janeiro de 01 até 7 de março de 015 Porém, durante a maior parte do período analisado, os valores dos parâmetros de inclinação, β, e curvatura, β 3, apresentaram valores negativos, alcançando valores positivos somente no período de oscilação do segundo semestre de 014. Mas a curva de juros nominal não apresentou esse comportamento no período, o que mostra que os parâmetros desse modelo podem não ter capturado bem os movimentos ocorridos nos juros.