Teoria dos Números e Aplicações

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1 Teoria dos Números e Aplicações Paulo J. Almeida Departamento de Matemática da Universidade de Aveiro

2 Conteúdo 1 Introdução 3 2 Os Inteiros Conceitos básicos Divisibilidade Algoritmo de Euclides Teorema Fundamental da Aritmética Equações Diofantinas Lineares Factorização de Fermat Congruências Introdução Testes de Divisibilidade Congruências Lineares Sistemas de Congruências Método ró de Pollard Armazenamento de ficheiros Detecção de erros Função de Euler Sistema Reduzido de Resíduos Pequeno teorema de Fermat e Teorema de Euler pseudoprimos Sistema criptográfico RSA Congruências polinomiais Resíduos quadráticos Congruências Polinomiais gerais

3 5.3 Atirar moedas ao ar electronicamente Prova de conhecimento nulo Raízes Primitivas Funções Aritméticas A função de Möbius, µ(n) As funções d(n) e σ(n) Números perfeitos Equações Diofantinas Introdução Congruências Método descendente de Fermat Soma de dois quadrados Fracções Continuadas Introdução Fracções Continuadas finitas Fracções continuadas simples Fracções continuadas periódicas Equações de Pell

4 Capítulo 1 Introdução A teoria dos números é das áreas mais antigas da matemática, tendo sido estudada pelo ser humano há vários milénios. Nesta introdução iremos dar uma breve descrição da razão pela qual esta área é tão fascinante e importante. De uma forma geral, em teoria dos números estudamos números e suas propriedades. Neste curso, lidaremos especialmente com os inteiros 0, ±1, ±2,,..., e iremos discutir várias propriedades e relações entre estes números. Iremos também ver variadas aplicações da teoria dos números, nomeadamente à ciência da computação e à criptologia. Desde há 5000 anos que se desenvolvem métodos para representar os inteiros, tendo, as que utilizam sistemas com bases, permitido algoritmos 1 muito mais eficientes de fazer aritmética. Os Babilónios criaram a base 60, que actualmente ainda utilizamos nas nossas medições de tempo. Os Maias utilizaram a base 20, tendo introduzido um símbolo para representar o zero. A base 10 foi pela primeira vez utilizada na India há aproximadamente seis séculos. Actualmente, os computadores utilizam a base 2. O desenvolvimento de algoritmos eficientes para efectuar aritmética tem sido extremamente importante, devido, por exemplo, ao facto de a criptologia necessitar de inteiros com centenas ou milhares de algarismos. Durante este curso iremos mencionar alguns destes algoritmos e a sua importância. Os gregos, da escola de Pitágoras (séc VI a.c.), fizeram pela primeira vez a distinção entre números primos e números compostos. Questões sobre primos têm interessado os matemáticos desde a antiguidade: Após termos visto alguns primos, uma das primeiras questões que surge 1 O termo algoritmo, que agora se aplica a qualquer procedimento para resolver um problema, originalmente referia-se a procedimentos aritméticos. 3

5 é sobre se existe um número infinito deles. Esta questão foi resolvida de uma forma muito elegante por Euclides (séc IV a.c.). Iremos ver este resultado mais tarde. Outra questão que surge com naturalidade é se existem fórmulas que nos forneçam todos os primos. O polinómio n 2 + n + 41 dá valores primos para n {0, 1,..., 39} mas quando n é 40 ou 41, o valor de n 2 + n + 41 já não é primo. Iremos ver que não há polinómios que dêem sempre números primos. Pierre de Fermat ( ), um grande matemático do século XVII, conjecturou que os números da forma F n = 2 2n + 1 são primos para qualquer n 0. Fermat verificou que os primeiros valores, F 0 = 3, F 1 = 5, F 2 = 17, F 3 = 257 e F 4 = 65537, são realmente primos. O seguinte valor é F 5 = , um número demasiado grande para ser testado á mão. Em 1732, Leonard Euler ( ) provou que 641 divide F 5, e, portanto, F 5 é composto. Desde então, foi provado que muitos outros F n são compostos, e, até agora, não foi encontrado nenhum primo da forma F n, para n > 4. Qual é o n-ésimo primo? Para qualquer n, esta questão pode ser respondida ao fim de um limitado período de tempo. Por exemplo, o primeiro primo é 2, o quinto é 11 e o primo que está na posição é Mas até agora nunca foi encontrada uma maneira de saber o n-ésimo primo, sem se saber todos os primos anteriores. Quantos primos são menores que n? Legendre ( ) e Gauss ( ) conjecturaram que há aproximadamente n log n primos menores que n. Se dividirmos o número de primos menores que n, por aquela fracção, verificamos que quanto maior for n mais este cociente se aproxima de 1. Este resultado é conhecido como o Teorema dos Números Primos, e foi pela primeira vez provado em 1896, por Hadamard ( ) e por de la Vallée Poussin ( ). 4

6 Uma problema que é agora de importância capital na criptologia é a distinção entre números primos e compostos. O grego Eratostenes desenvolveu um método, a que actualmente chamamos crivo de Eratostenes que encontra todos os primos menores que um determinado limite. Os detalhes deste processo e a sua validade serão estudados neste texto. Por vezes, é necessário determinar se um número específico é primo. O matemático iraquiano Ibn al-haytham (c. 1000) verificou que um número n é primo quando n divide (n 1)! + 1. Por exemplo, 4! + 1 = 25, portanto 5 é primo, enquanto que 6 (5! + 1), ou seja, 6 é composto. Este é um resultado muito interessante (conhecido por Teorema de Wilson), no entanto, parece ser impraticável usá-lo para determinar se números muito grandes são primos ou não. Na China antiga, os matemáticos pensavam que os números primos eram precisamente os inteiros positivos n que dividissem 2 n 2. Porém há números compostos que verificam esta propriedade, nomeadamente 341. A estes compostos chamamos pseudoprimos. Mas se n não dividir 2 n 2 então n é de certeza composto. Esta propriedade e suas generalizações permitem-nos desenvolver vários testes de primalidade. Uma outra grande área da Teoria dos Números consiste em resolver questões aditivas: Quando é que um quadrado perfeito se pode escrever como soma de dois quadrados perfeitos? Devido ao teorema de Pitágoras, este problema é equivalente ao problema de encontrar triangulos rectangulos com lados inteiros. Todos conhecemos o triplo (3, 4, 5) (i.e = 5 2 ). Quantos mais haverá? O problema anterior consiste em encontrar todas as soluções inteiras da equação x 2 + y 2 = z 2. A este tipo de equações chamamos equações diofantinas, em honra ao matemático grego Diofanto (200?-284?), que foi o primeiro a tentar descobrir as soluções inteiras de diversas equações. Fermat generalizou a equação de Pitágoras, x 2 + y 2 = z 2, e considerou a equação x n + y n = z n, onde n 3. Na margem da sua cópia de um livro sobre os resultados de Diofanto, Fermat escreveu que tinha uma magnífica demonstração de que a 5

7 equação não tem quaisquer soluções inteiras com x, y e z não nulos. Infelizmente, Fermat também escreveu que a margem do livro era demasiado pequena para reproduzir essa demonstração. Este resultado é conhecido como o o último teorema de Fermat, e foi finalmente provado em 1995 por Andrew Wiles (1953-). Uma outra questão aditiva famosa é a Conjectura de Goldbach ( ). Esta conjectura afirma que todos os números pares são soma de dois primos. Em 2000, foi publicado um romance cujo tema é esta conjectura intitulado O tio Petros e a Conjectura de Goldbach e uma editora inglesa ofereceu um milhão de libras a quem a provasse. O Teorema fundamental da aritmética diz-nos que qualquer inteiro positivo (maior que um) pode ser escrito de forma única, como produto de primos. Fermat, Euler, Pollard e muitos outros matemáticos, desenvolveram técnicas de factorização imaginativas, no entanto, utilizando a técnica mais eficiente até agora descoberta, ainda seriam precisos biliões de anos de tempo computacional para factorizar um número com 200 algarismos. O matemático alemão Carl Friedrich Gauss, considerado um dos maiores matemáticos de sempre, desenvolveu a teoria das congruências, no início do século XIX. As congruências consistem essencialmente em substituir inteiros pelos restos da sua divisão por um outro inteiro. Muitas questões de teoria dos números podem ser expressas utilizando congruências, sendo muitas vezes facilitada a sua resolução. Usando congruências, obtêm-se testes de divisibilidade, muito simples. Há muitas aplicações das congruências à ciência da computação, incluindo aplicações ao armazenamento de dados, ou geração de números pseudo-aleatórios. Uma das mais importantes aplicações da teoria dos números à ciência da computação é a área da criptografia. Vários sistemas criptográficos utilizam congruências. O sistema RSA, é baseado num teorema de Euler que envolve congruências e na disparidade de tempos entre multiplicar dois números e factorizar o resultado desse produto. Outros sistemas importantes tem como base outra questão de teoria dos números chamada problema do logaritmo discreto. Iremos descrever em pormenor estes sistemas durante o curso. 6

8 Capítulo 2 Os Inteiros 2.1 Conceitos básicos Em teoria dos números iremos estudar propriedades dos números inteiros, em particular, propriedades aditivas e multiplicativas. O conjunto dos inteiros, com as operações adição, +, e multiplicação,, forma um domínio de integridade, i. e são válidas as seguintes propriedades, para quaisquer inteiros a, b e c: a + b e a b são inteiros; a + b = b + a e a b = b a; (a + b) + c = a + (b + c) e (a b) c = a (b c); (a + b) c = a c + b c; a + 0 = a e a 1 = a; a equação a + x = 0 tem uma solução inteira. Representamos a solução desta equação por a; Se c 0 e a c = b c então a = b. Por convenção, escrevemos ab, em vez de a b e b a em vez de b + ( a). Os inteiros podem ser ordenados usando o conjunto dos inteiros positivos {1, 2, 3,... }. Temos a seguinte definição: 7

9 Definição. Se a e b são inteiros, escrevemos a < b (lê-se a menor que b) ou b > a (b maior que a), se b a for um inteiro positivo. Temos as seguintes propriedades a + b e ab são positivos sempre que a e b o forem; para qualquer inteiro a, a > 0, a = 0 ou a < 0; Se a < b e c > 0 então ac < bc. Precisamos de só mais uma propriedade para completar o nosso conjunto de axiomas: Princípio da Boa ordenação. Qualquer conjunto não vazio de inteiros positivos tem um elemento mínimo (ou primeiro elemento). Por esta propriedade obtemos a existência de um elemento máximo do conjunto dos inteiros menores ou iguais que um certo número e permite-nos fazer a seguinte definição: Definição. A parte inteira de um número real x é o maior inteiro menor ou igual a x. Denotamos este inteiro por [x]. Exemplo. Temos [ 5] = 2, [ 5 ] = 3, [π] = 3, [ 2] = 2 e [0] = Recordemos que um número x real é racional se e só se existem inteiros a e b, com b 0, tais que x = a. Um número real que não seja rational é b irracional. Vamos agora ver uma aplicação do Princípio da Boa Ordenação: Teorema é irracional Demonstração: Suponhamos que 2 é racional. Então existem inteiros positivos a e b tais que 2 = a. Como b 2 é um inteiro positivo, o conjunto b S = {k 2 k, k 2 são inteiros positivos} é não vazio, logo tem primeiro elemento. Seja s = t 2 esse elemento. Então s 2 = 2t é um inteiro positivo. Temos então que u = s 2 s = (s t) 2 pertence a S, pois u = s( 2 1) > 0 e s > t. Mas como s u = s(2 2) e 2 < 2, obtemos u < s, o que contradiz o facto de s ser o primeiro elemento de S. Portanto, 2 é irracional. 8

10 Ao longo deste texto vamos assumir que o leitor está familiarizado com os princípios da indução matemática, assim como com as notações ( ) m,, n e as suas propriedades. Exercícios 1. Seja k um inteiro. Mostre que [x + k] = [x] + k, para qualquer número real x. 2. Seja x um número real e n um inteiro positivo. Mostre que [ [x] n ] = [ x n ]. 3. Mostre que o conjunto dos números racionais positivos não tem elemento mínimo. 4. * Utilizando o Princípio da Boa Ordenação prove que 3 é irracional. 5. ** Sejam a e b números irracionais tais que = 1. Mostre que a b qualquer inteiro positivo pode ser escrito de maneira única da forma [ka] ou [kb], para algum inteiro k. 6. Determine o valor das seguintes somas: n i=1 1 i(i + 1) n i=1 1 i Mostre que, para todo o inteiro positivo n, a) b) c) n i = i=1 i=1 n(n + 1) ; 2 n i 2 n(n + 1)(2n + 1) = ; 6 ( n n 2 i 3 = i). i=1 i=1 9

11 8. ** Encontre uma fórmula de recorrência para inteiros positivos n e p. n i p, para quaisquer i=1 9. Mostre que, para quaisquer inteiros a e b e qualquer inteiro positivo n, n 1 a) a n b n = (a b) a i b n 1 i ; i=0 n 1 b) Se n for ímpar então a n + b n = (a + b) ( 1) i a n 1 i b i ; c) (a + b) n = por n i=0 i=0 ( ) n a i b n i, sendo o coeficiente binomial ( n i i) definido ( ) n = i n! i!(n i)!. 10. * O coeficiente multinomial ( ) n i 1 i 2 c...i k é definido por ( ) n n! = i 1 i 2 i k i 1!i 2! i k! com i 1 + i i k = n a) Mostre que os coeficientes multinomiais são números inteiros; b) Mostre que, para quaisquer inteiros positivos n e k e quaisquer inteiros a 1, a 2,..., a k, ( k ) n a i = i=1 11. Calcule os seguintes produtos n j=2 ( 1 1 j i 1 +i 2 + +i k =n ( n i 1 i 2 i k ) n (1 1j ) 2 j=2 ) a i 1 1 a i 2 2 a i k k. 10

12 12. A sequência de Fibonacci é definida por recorrência por f 0 = 0 f 1 = 1 f n+1 = f n 1 + f n, para n 1 Determine f i para 2 i 15 e mostre que a) b) n f i = f n+2 1, para n 1. i=1 n fi 2 = f n f n+1, para n 1. i=1 13. Sejam α = 1 + 5, β = e seja f n o n-ésimo número de Fibonacci. Prove que a) as soluções da equação x 2 = x + 1, são α e β (α é o famoso número de ouro); b) para qualquer n 0, c) f n α n 2, para n 1. f n = αn β n 5 ; 14. Mostre que todos os números inteiros, excepto as potências de 2 são somas de inteiros consecutivos. 2.2 Divisibilidade Uma das noções fundamentais para o estudo dos números é a de divisibilidade: Definição. Sejam a e b dois inteiros. Se a 0 e existir um inteiro c tal que b = ac, dizemos que a divide b, e escrevemos a b. Se a não divide b, escrevemos a b. 11

13 Por exemplo , , , 5 (7 8 1), 101 ( ), Alguns inteiros positivos, como 1, 2, 3, 13 e , só são divisíveis por eles próprios e por 1. Estes números eram chamados números primos pelos antigos, mas verificou-se, por razões que veremos mais tarde, que era preferível excluir 1 desta lista. Assim, a definição moderna de um número primo é a seguinte: Definição. A qualquer inteiro maior que 1 cujos únicos divisores positivos sejam ele próprio e 1, chamamos número primo. Um inteiro maior que 1 que não seja primo é um número composto O seguinte resultado é conhecido como o algoritmo da divisão e afirma que se a e b forem dois inteiros positivos então existem dois únicos inteiros q e r, tais que a = bq + r, 0 r < b Teorema 2.2. Se a, b, d, r e s são inteiros tais que d 0, d a e d b então d (ra + sb). Em particular d (a + b), d a b e d ra. Demonstração: Por hipótese, existem inteiros u e v tais que a = du e b = dv. Donde ra + sb = rdu + sdv = d(ru + sv). Como d 0, temos d (ra + sb). Teorema 2.3. Se a, b e c são inteiros, a 0, b 0, a b e b c, então a c. Demonstração: Por hipótese, existem inteiros u e v tais que b = au e c = bv. Portanto, c = auv. Como a 0, a c. Como aplicação do resultado anterior obtemos: Corolário 2.4. Se n é um inteiro maior que 1, então o menor divisor de n maior que 1 é primo 12

14 Demonstração: Seja m o menor divisor de n maior que 1 (se n é primo, m = n). Se m não fosse primo então existia 1 < u < m tal que u m. Mas então u n o que contradiz o facto de m ser o menor divisor de n maior que 1. Portanto m é primo. Teorema 2.5. Se a, b e k são inteiros, a 0 e k 0, então a b se e só se ak bk. Demonstração: Se a b então existe um inteiro u tal que b = au. Donde bk = aku. Como ak 0, temos ak bk. Se ak bk então existe um inteiro v tal que bk = (ak)v. Como k 0 temos b = av. Como a 0, obtemos a b. Teorema 2.6. Se n é um inteiro maior que 1 então n é primo ou n é um produto finito de primos. Demonstração: Suponhamos que existem inteiros maiores que 1 que não são primos, nem são um produto finito de primos. Seja N o menor destes inteiros. Como N não é primo, tem de ser composto. Seja 1 < u < N um inteiro que divide N. Então N = uv para algum inteiro v. Note que 1 < v < N. Portanto, por definição de N, u e v são primos ou um produto finito de primos. Logo, também uv é um produto finito de primos. Teorema 2.7. Se n é um número composto então existe um primo p n tal que p n. Demonstração: Se n é composto então existem inteiros positivos a, b > 1 tais que n = ab. Claramente, não podemos ter a, b > n. Sem perda de generalidade podemos assumir que a b. Então a n. Se a é primo obtemos o resultado. Se a não é primo, seja p o menor divisor de a. Então p a n e p n. 13

15 O resultado anterior permite-nos obter o Crivo de Eratóstenes (séc. III a.c.) que separa os números primos dos compostos. Comecemos por escrever todos os números entre 2 e um limite desejado n (por exemplo 100). O 2 é o primeiro elemento, portanto não lhe fazemos nada e marcamos os números de dois em dois. Marcamos assim os números 4, 6, 8, 10,.... O primeiro elemento que ainda não foi marcado é o 3. Deixamo-lo ficar e marcamos os números 6, 9, 12, 15,.... Este processo termina quando o primeiro elemento que ainda não está marcado for maior que n. Todos os números que não foram marcados são primos. Teorema 2.8 (Euclides). Há um número infinito de primos Demonstração: Suponhamos que há um número finito de primos, que denotamos por p 1, p 2,..., p k. Seja N = p 1 p 2 p k + 1. Pelo teorema anterior, N tem um divisor primo, digamos p. Então p = p i para algum 1 i k. Claramente, p i (p 1 p 2 p k ). Usando teorema 2.2, p i (N p 1 p 2 p k ). Mas N p 1 p 2 p k = 1 e obtemos uma contradição. Portanto, há um número infinito de primos. Exercícios 1. Prove as seguintes afirmações: a) se a 0 então a 0 e a a; b) se d 0 e d a, então d ( a) e ( d) a; c) se a b e b a, então a = b ou a = b; d) d a se e só se d a. 2. Seja x um número real positivo e d um inteiro positivo. Mostre que o número de inteiros positivos menores ou iguais a x que são divisíveis por d é igual a [ x d ]. 3. Determine o número de inteiros positivos menores ou iguais a 1000 que são divisíveis por 5, por 7, por 25 e por

16 4. Determine o número de inteiros positivos menores ou iguais a 1000 que não são divisíveis por 3, 5 ou Mostre que 3 (a 3 a), para qualquer inteiro a. 6. Mostre que o produto de dois inteiros da forma 4k + 1 é ainda desta forma. 7. Mostre que o quadrado de qualquer inteiro ímpar é da forma 8k Utilize a indução matemática para mostrar que a soma dos cubos de três inteiros consecutivos é divisível por Seja f n o n-ésimo número de Fibonacci. Mostre que a) f n é par se e só se 3 n; b) 3 f n se e só se 4 n. 10. * Mostre que f m+n = f m f n+1 +f m 1 f n, para quaisquer inteiros positivos m e n, com m > 1. Conclua que se m n então f m f n. 11. * Mostre que (2 + 3) n + (2 3) n é um inteiro par, para qualquer inteiro n 0. Conclua que [(2 + 3) n ] é sempre ímpar. 12. Utilize o crivo de Eratostenes para encontrar todos os primos menores que Verifique se os números 323, 343 e 899 são primos. 14. Mostre que, se p n para qualquer primo p n 1 3, então ou n é primo ou n é produto de dois primos. 15. Números de Fermat. Aos números da forma F k = 2 2k + 1, k 0, chamamos números de Fermat. a) Mostre que, se 2 n + 1 é primo então n é uma potência de 2; b) Mostre que F n = F 0 F 1 F n e deduza que quaisquer dois números de Fermat são primos entre si; c) Deduza da alínea anterior que há uma infinidade de primos. 15

17 16. Números de Mersenne. Aos números da forma M k = 2 p 1, com p primo, chamamos números de Mersenne. M 2, M 3, M 5 e M 7 são primos mas M 11 = 2047 = já não é primo. Até agora foram encontrados 44 primos de Mersenne, o último dos quais é , encontrado em Setembro de 2006 e que tem algarismos. Mostre que se a, n > 1 e a n 1 é primo então a = 2 e n é primo. 17. * Seja n > 1 inteiro e sejam p 1,..., p t, os primos menores que n. Mostre que t p i < 4 n i=1 18. * Sejam n > 3 inteiro e p um primo tal que 2n 3 p ( ) 2n n. < p n. Mostre que 19. ** A conjectura de Bertrand diz que, para qualquer inteiro n > 1, existe um primo p tal que n < p < 2n. Prove esta conjectura. 20. Se p n é o n-ésimo primo, mostre que p n 2 n. 2.3 Algoritmo de Euclides Definição. Sejam a e b dois inteiros tais que pelo menos um deles é não nulo. Chamamos máximo divisor comum ao maior elemento do conjunto dos divisores comuns de a e b e denotamos este elemento por (a, b). Sejam a e b dois inteiros positivos. Pelo algoritmo da divisão, existem dois inteiros q 0 e r 0, tais que a = q 0 b + r 0, com 0 r 0 < b Se r 0 0 podemos utilizar o algoritmo da divisão para os inteiros b e r 0. Então existem q 1 e r 1 tais que b = q 1 r 0 + r 1, com 0 r 1 < r 0 Procedendo desta forma obtemos uma sequência de inteiros não negativos r 0, r 1,..., r n, tais que r 0 > r 1 > > r n 0. Note que este processo tem de terminar ao fim de um número finito de passos e que o último resto, que denotamos por r k+1, é nulo. 16

18 Teorema 2.9. Se a e b são dois inteiros positivos e r k é o último resto não nulo obtido pelo algoritmo de Euclides, então r k = (a, b). Mais, o algoritmo de Euclides permite encontrar inteiros u e v tais que au + bv = (a, b) Demonstração: O algoritmo de Euclides pode ser esquematizado pelo seguinte sistema de equações: a = bq 0 + r 0 b = r 0 q 1 + r 1 r 0 = r 1 q 2 + r 2. r k 2 = r k 1 q k + r k r k 1 = r k q k+1 (2.1) Seja d = (a, b). Vamos provar por indução que d r i e d r i+1, para qualquer 0 i k 1. Como d a e d b, temos d (a bq 0 ), i.e., d r 0. Como d b e d r 0 então d (b r 0 q 1 ) = r 1. Agora, suponhamos que d r i e d r i+1, queremos provar que d r i+1 e d r i+2. Usando a hipótese de indução, obtemos que d (r i r i+1 q i+2 ). Mas r i r i+1 q i+2 = r i+2. Portanto d r i+2. Acabámos de provar que d r i para todo 0 i k. Em particular, d r k. Como d, r k > 0, temos d r k. Reciprocamente, a última equação em (2.1) e o facto de r k 0, diz-nos que r k r k 1. Usando a penúltima equação, obtemos r k r k 2. Por indução, concluímos que r k r i, para qualquer 0 i k. Usando a segunda equação, temos r k b e usando a primeira, r k a. Logo, r k d. Portanto, r k = d. Agora, provamos a segunda parte do teorema. Seja r 2 = a e r 1 = b. Sabemos que r i = r i 2 r i 1 q i, (2.2) para qualquer 0 i k. Vamos provar por indução que, para qualquer 0 i k, existem inteiros u i e v i tais que r i = u i a + v i b. Como r 0 = a bq 0, o resultado é válido para i = 0. Suponhamos, por hipótese de indução que o resultado é verdadeiro para i e para i 1. Então r i+1 = r i 1 r i q i+1 = u i 1 a + v i 1 b (u i a + v i b)q i+1 = (u i 1 u i q i+1 )a + (v i 1 v i q i+1 )b = u i+1 a + v i+1 b 17

19 Portanto, para qualquer 0 i k, r i = u i a + v i b. Em particular, existem inteiros u e v, tais que r k = ua + vb. Definição. Sejam a e b inteiros e pelo menos um deles é não nulo. (a, b) = 1 então dizemos que a e b são primos entre si. Se Teorema Seja d = (a, b). Um inteiro n divide a e b se e só se n d. Demonstração: Suponhamos que n d. Como d a, temos n a. Como d b, temos n b. Reciprocamente, suponhamos que n a e n b. Então existem inteiros u e v, tais que a = nu e b = nv. Por hipótese (a, b) = d, o que implica que existem inteiros s e t, tais que d = as + bt. Mas então d = nus + nvt = n(us + vt), i.e. n d. Teorema Seja d = (a, b) e k um inteiro arbitrário. Então (a) (a, b + ka) = (a, b); (b) (ak, bk) = k (a, b); ( a (c) d, b ) = 1. d Demonstração: Seja e = (a, b + ka). Como e a, temos e ka. Também temos e (b + ka), logo e (b + ka ka) = b. Pelo teorema anterior, e d. Claramente, d (b + ka) e d a, donde d e. Como ambos e e f são positivos, temos e = d. Seja f = (ak, bk). Queremos provar que f = k d. Como d a e d b, temos k d ka e k d kb. Donde, k d f, i.e. existe um inteiro u tal que f = k du e u > 0, porque d, f > 0. Então k du ak. Pelo teorema 2.5, du a. Analogamente, du b. Pelo teorema anterior, du d, i.e. existe um inteiro v, tal que d = duv. Portanto, u = 1 e f = k d. 18

20 ( a Pelo resultado anterior, d d, b ) = (a, b) = d. Portanto, d ( a d, b ) = 1. d Definição. Sejam a 1, a 2,..., a n inteiros não nulos. Dizemos que estes números são primos entre si dois a dois, se o maior divisor comum entre cada par destes inteiros for 1. Exercícios 1. Mostre que dois números de Fibonacci consecutivos são primos entre si. 2. Mostre que, se a, b e c são primos entre si dois a dois então (a, b, c) = Use o algoritmo de Euclides para encontrar o maior divisor comum entre a) 77 e 91; b) 182 e 442; c) 2311 e Escreva (17, 37) como combinação linear de 17 e Escreva (399, 703) como combinação linear de 399 e Mostre que, se a c, b c e (a, b) = 1 então ab c. 7. Encontre inteiros r e s tais que a) 547r + 632s = 1; b) 398r + 600s = 2; c) 922r s = 7. 19

21 8. Averigue se há inteiros r e s tais que 1841r s = 1. Justifique. 9. Mostre que, se não existem primos p tais que p a e p b, então (a, b) = Mostre que, se p é primo e a é um inteiro, então ou (a, p) = 1 ou (a, p) = p. 11. Sejam a, b, c e d inteiros tais que b 0, d 0, (a, b) = 1, (c, d) = 1 e é um inteiro. Mostre que b = d. a b + c d 12. Considere o algoritmo de Euclides e seja r k = (a, b). a) Mostre que (i) a 2r 0 e b 2r 1 ; (ii) r i r i+2, para qualquer 0 i k 2; (iii) a 2 k 2. b) Qual é o maior número de passos de a 10 n? 13. Teorema de Lamé. Sejam a e b inteiros positivos tais que a > b e k o comprimento do algoritmo de Euclides para a e b. Seja α = Mostre que k log b log α 1. Sugestão: Prove primeiro que a) r k i f i+2, para 0 i k; b) b α k+1 ; 14. O mínimo múltiplo comum de dois inteiros positivos a e b é o inteiro [a, b] que satisfaz as seguintes condições: [a, b] 1; a [a, b] e b [a, b]; Se a c e b c então [a, b] c; Mostre que [a, b] existe e é único. De facto ab = (a, b)[a, b]. 15. * A Série de Farey de ordem n consiste das fracções h ordenadas por k ordem crescente, onde h e k são inteiros, 0 h k n e (h, k) = 1. 20

22 a) Encontre a série de Farey de ordem 7; b) Mostre que se a, c e e são termos sucessivos de uma série de Farey b d f então c d = a + e b + f ; c) Mostre que se a e c são termos sucessivos de uma série de Farey b d então ad bc = 1; d) Mostre que se a e c são termos sucessivos de uma série de Farey b d então b + d > n. 2.4 Teorema Fundamental da Aritmética O teorema fundamental da aritmética, também conhecido como o teorema da factorização única, afirma que se duas pessoas escreverem um inteiro n > 1 como produto de primos, obterão o mesmo resultado, com a possível excepção da ordem pela qual os primos são escritos nos dois produtos. Ao longo deste curso iremos constantemente usar este teorema que bem merece o seu nome. Comecemos por provar um resultado, que utilizaremos posteriormente para provar o teorema fundamental da aritmética. Teorema Se p (ab), então p a ou p b. Demonstração: Suponhamos que p a. Então (a, p) = 1. Pelo teorema 2.9, existem inteiros u e v, tais que au + pv = 1. Multiplicando ambos os membros da última equação por b, obtemos abu+pbv = b. Como p ab, temos p b. A seguir generalizamos o resultado anterior de duas maneiras diferentes. Teorema Se p é um primo e p (a 1 a 2 a k ) então p a j, para algum 1 j k. Em particular, se p a k então p a. Demonstração: Vamos provar o resultado pretendido usando indução em k. Se k = 1 é trivial que o resultado é verdadeiro. Suponhamos, por hipótese de indução que o resultado é válido para k, i. e., se p divide o produto de k inteiros então divide um desses inteiros. Suponhamos agora que p (b 1 b 2 b k b k+1 ). 21

23 Se p (b 1 b 2 b k ) então, usando a hipótese de indução, p b j, para algum 1 j k. Se p (b 1 b 2 b k ), então (p, b 1 b 2 b k ) = 1, donde existem inteiros u e v, tais que pu + b 1 b 2 b k v = 1. Multiplicando por b k+1, obtemos pub k+1 + b 1 b 2 b k b k+1 v = b k+1. Portanto, p b k+1. Portanto o resultado é válido para k + 1. Usando indução, o teorema está provado, para qualquer inteiro k. Teorema Se (n, a) = 1 e n ab, então n b. Demonstração: Pelo teorema 2.9, se (n, a) = 1 então existem inteiros u e v, tais que nu + av = 1, donde nbu + abv = b. Como n ab, obtemos n b. Teorema 2.15 (Teorema Fundamental da Aritmética). Seja n > 1 e suponhamos que n = p 1 p 2 p r = q 1 q 2 q s, onde p 1, p 2,..., p r, q 1, q 2,..., q s são primos. Então r = s e as duas factorizações de n são iguais, com a possível excepção da ordem dos factores. Demonstração: Suponhamos que o teorema é falso e seja N o menor inteiro para o qual o teorema é falso. Então o teorema é verdadeiro para qualquer inteiro 1 < n < N. Suponhamos que N = p 1 p 2 p r = q 1 q 2 q s, onde p 1, p 2,..., p r, q 1, q 2,..., q s são primos. Como o teorema é certamente verdadeiro para números primos, N é composto. Portanto, r, s 2. Como a ordem dos factores não é importante, podemos assumir que p r p i, 1 i r 1 e q s q j, 1 j s 1 22

24 Primeiro provamos que não podemos ter p r > q s. Se p r > q s então p r > q j, para qualquer 1 j s. Portanto, p r q j, para qualquer 1 j s. Mas p r (q 1 q 2 q s ), pelo teorema anterior, temos uma contradição. Assim, p r q s. Se p r < q s, obteríamos também uma contradição usando um processo análogo. Portanto, p r = q s. Agora N p r = p 1 p 2 p r 1 = q 1 q 2 q s 1 e 1 < N p r < N, porque r, s 2. Então o teorema é válido para N p r, i. e. r 1 = s 1 e as factorizações p 1 p 2 p r 1 e q 1 q 2 q s 1 são iguais, com a possível excepção da ordem dos factores. Portanto, r = s e, como p r = q s, as factorizações de N em primos são iguais, com a possível excepção da ordem dos factores. Assim, o teorema é válido para N, o que contradiz a definição de N. Portanto, o teorema é válido para todo o n > 1. Note que o teorema seria falso se considerássemos 1 como primo. Por exemplo, 2 = 1 2 = Como, por vezes, na factorização de um inteiro, temos primos repetidos, usaremos a notação n = p a 1 1 p a 2 2 p ar r. Teorema Suponhamos que o primo p divide n e a factorização de n em primos é dada por n = p a 1 1 p a 2 2 p ar r. Então p = p j, para algum 1 j r. Demonstração: Pelo teorema 2.13, p p j para algum 1 j r. Como p > 1 e os únicos divisores de p j são 1 e p j, temos p = p j. 23

25 Teorema Suponhamos que n = p 1 p 2 p k q 1 q 2 q s m = p 1 p 2 p k r 1 r 2 r t onde p 1, p 2,..., p k, q 1, q 2,..., q s, r 1, r 2,..., r t são primos e nenhum dos q s é igual a algum dos r s (se k = 0 interpretamos o produto p 1 p 2 p k como sendo igual a 1, analogamente para s = 0 e t = 0). Então (n, m) = p 1 p 2 p k. Demonstração: Seja e = p 1 p 2 p k. Como e m e e n, temos e (m, n). Portanto, existe um inteiro a, tal que (m, n) = ea. Logo, ea eq 1 q 2 q s, o que implica que a q 1 q 2 q s. Analogamente, a r 1 r 2 r t. Queremos provar que a = 1, com vista a obtermos uma contradição, suponhamos que a > 1. Então existe um primo p que divide a, donde p q 1 q 2 q s e p r 1 r 2 r t. Pelo teorema anterior, existem 1 i s e 1 j t, tais que p = q i e p = r j. Contradição! Portanto, a = 1 e (n, m) = p 1 p 2 p k. Terminamos esta secção com dois resultados que dependem da factorização única. Começamos com um teorema que será muito importante mais tarde. Teorema Suponhamos que a e b são dois inteiros positivos tais que (a, b) = 1 e ab = c n. Então existem inteiros positivos d e f tais que a = d n e b = f n. Demonstração: Se a = 1 então basta tomar d = 1 e f = c. Se b = 1, então d = c e f = 1. Portanto, podemos assumir que a > 1 e b > 1. Como (a, b) = 1, podemos escrever a = p a 1 1 p a 2 2 p a r r e b = p a r+1 r+1 p a r+2 r+2 p a r+s r+s onde p i é primo, para 1 i r + s, e p i p j, para i j. Suponhamos que a decomposição de c em primos é dada por Então c = q b 1 1 q b 2 2 q b k k. p a 1 1 p a r r p a r+1 r+1 p a r+s r+s = q nb 1 1 q nb k k. 24

26 Pelo teorema fundamental da aritmética, r + s = k e os primos p i são os mesmos que os primos q j (talvez ordenados de maneira diferente), e os correspondentes expoentes são os mesmos. Podemos, portanto, numerar os q s tal que q j = p j, para 1 j r + s. Então a j = nb j, para 1 j r + s. Logo, ) n a = ( p b 1 1 p b 2 2 p b r r ( b == p b r+1 r+1 p b r+2 r+2 p b r+s r+s ) n O próximo teorema generaliza o famoso resultado, demonstrado por Pitágoras, de que 2 é irracional. Teorema Sejam a e n inteiros positivos. Se n a é racional então n a é inteiro. Demonstração: Suponhamos que n a é racional. Então existem inteiros positivos r e s, tais que (r, s) = 1 e n a = r s. Suponhamos que s > 1. Então existe um primo p tal que p s. Mas as n = r n, o que implica que p r. Contradição, pois (r, s) = 1. Portanto, s = 1 e n a = r, um inteiro. Por exemplo, 1 < 2 < 2, logo 2 não é inteiro. Portanto, 2 é irracional. Como 2 < 3 10 < 3, temos que 3 10 é irracional. Exercícios 1. Sejam p e q dois primos ímpares consecutivos. Mostre que qualquer factorização de p + q em primos necessita de pelo menos três primos não necessariamente distintos. Por exemplo =

27 2. Suponha que n = p a 1 1 p a 2 2 p a r r e m = p b 1 1 p b 2 2 p b r r onde expoentes nulos são permitidos. Mostre que a) (n, m) = p min(a 1,b 1 ) 1 p min(a 2,b 2 ) 2 p min(ar,br) r ; b) [n, m] = p max(a 1,b 1 ) 1 p max(a 2,b 2 ) 2 p max(ar,br) r ; c) n m se e só se a i b i, para qualquer 1 i r. 3. Considere a equação a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 = 0 onde a i é inteiro, para 0 i n. Mostre que, se a equação tem uma solução racional, digamos x = r s com (r, s) = 1, então s a n e r a 0. Em particular, se a n = 1 e x é rational então x é um inteiro. 4. Mostre que, se p é primo e p a n, então p n a n. 5. Quantos zeros há no fim de 100!? 6. * Mostre que só a primeira soma parcial da série harmónica é inteira. 7. Mostre que a) 3 3 e 5 5 são irracionais. b) n n é irracional, para qualquer n Mostre que é irracional. 9. Mostre que log 2 3 é irracional. 10. Mostre que há infinitos primos da forma 4n Mostre que há infinitos primos da forma 6n * Se a e b são inteiros, então a progressão aritmética a, a + b, a + 2b,... contém um número tão grande quanto se queira de compostos consecutivos. 13. Factorize em primos cada um dos seguintes inteiros: , , , ,

28 2.5 Equações Diofantinas Lineares O algoritmo de Euclides permite-nos encontrar uma solução da equação ax + by = (a, b). Nesta secção vamos mostrar como resolver completamente uma equação a duas incógnitas, ax + by = c e como generalizar para n incógnitas. Teorema Sejam a e b inteiros não nulos e d = (a, b). Se d c então a equação ax + by = c (2.3) não tem soluções integrais. Se d c, a equação tem uma infinidade de soluções inteiras. Se x = x 0, y = y 0 é uma solução de (2.3), então todas as soluções de (2.3) são dadas por x = x 0 + t b d onde t é um inteiro. y = y 0 t a d Demonstração: Como d a e d b, temos d (ax + by) para quaisquer inteiros x e y. Portanto, se c = ax + by, então d c. Donde, se d c, (2.3) não tem soluções inteiras. Agora, se d c, existe um inteiro e tal que c = de. Pelo teorema 2.9, existem inteiros u e v, tais que au + bv = d. Multiplicando por e, obtemos a(ue) + b(ve) = de = c. Portanto, a equação (2.3) tem pelo menos uma solução. Seja (x 0, y 0 ) uma solução de (2.3) e t um inteiro qualquer. Então a ( x 0 + t b ) d ( + b y 0 t a ) = ax 0 + by 0 = c. d O que prova que a equação (2.3) tem uma infinidade de soluções. Falta-nos ainda provar que qualquer solução de ax + by = c é da forma descrita no teorema. Suponhamos que (x 1, y 1 ) é outra solução. Então a(x 1 x 0 ) + b(y 1 y 0 ) = c c = 0. 27

29 Donde a d (x 1 x 0 ) = b d (y 1 y 0 ), (2.4) o que implica que b d a d (x 1 x 0 ). ( a Como d, b ) = 1, temos b d d (x 1 x 0 ) (ver teoremas 2.11 e 2.14). Portanto, existe um inteiro t, tal que x 1 = x 0 + t b d. Substituindo em (2.4), obtemos ( a t b ) = b d d d (y 1 y 0 ), donde y 1 = y 0 t a d. Portanto, qualquer solução de (2.3) é forma descrita acima. Exemplo. Como exemplo, vamos resolver a equação 12x + 25y = 331. Pelo algoritmo de Euclides ou por tentativa, obtemos 12 ( 2) = 1. Multiplicando por 331, obtemos 12 ( 662) = 331. Portanto, ( 662, 331) é uma solução da equação. A solução geral é dada por x = t, y = t, para t inteiro. Suponhamos que desejávamos encontrar as soluções não negativas. Então x 0 e y 0, i. e. 25t 662 e 12t 331. Donde, t [26.48, 27.58(3)]. Como t é inteiro, t = 27. Assim, obtemos uma única solução não negativa: x = 13 e y = 7. Este método permite-nos resolver problemas como o seguinte: Na véspera de fim de ano, o Hermenegildo foi comprar Champagne e vinho tinto e gastou 331 euros. Sabendo que cada garrafa de Champagne custou 25 euros e cada garrafa de vinho custou 12 euros, quantas garrafas comprou o Hermenegildo? 28

30 Exercícios 1. Para cada uma das seguintes equações, encontre todas as soluções em inteiros ou prove que não há nenhuma a) 3x + 2y = 1; b) 3x 2y = 1; c) 17x + 14y = 4; d) 33x 12y = 9; e) 91x + 221y = 15; f) 401x + 503y = Para cada uma das seguintes equações, encontre todas as soluções em inteiros positivos ou prove que não há nenhuma a) 23x 7y = 1; b) 9x + 11y = 79; c) 39x + 47y = Mostre que (a, b, c) = ((a, b), c). 4. Mostre que se há soluções inteiras da equação ax + by + cz = e, então (a, b, c) e. Suponha que (a, b, c) e e mostre que há inteiros w e z tais que (a, b)w + cz = e. Finalmente, mostre que há inteiros x e y tais que ax + by = (a, b)w. Esta técnica pode ser generalizada para resolver uma equação com n incógnitas. 5. Encontre todas as soluções em inteiros da equação 6. Resolva as equações diofantinas a) 2x + 3y + 5z = 7; 323x + 391y + 437z =

31 b) 1521x y + 455z = Determine duas fracções cujos denominadores sejam 12 e 16 e cuja soma seja Numa papelaria vendem-se dois tipos de canetas por 55 e 35 cêntimos respectivamente. Ao fim de um dia a importância total recebida pela venda dessas canetas foi 32 euros e 85 cêntimos. Qual é o menor número possível de canetas vendidas? E qual o maior? 2.6 Factorização de Fermat Suponhamos que n é o produto de dois primos p e q próximos um do outro. Então n é a diferença de dois quadrados, um dos quais é pequeno. Neste caso, há um processo eficiente de factorizar n chamado factorização de Fermat. Teorema Seja n um inteiro positivo ímpar. Há uma correspondência bijectiva entre factorizações de n da forma n = ab, com a b > 0, e representações de n na forma t 2 s 2, onde t e s são inteiros não negativos. A correspondência é dada pelas equações t = a + b 2, s = a b 2 Demonstração: Se n = ab então a = t + s b = t s ( ) 2 ( a + b a b n = 2 2 donde n pode ser escrito como a diferença de dois quadrados. Se n = t 2 s 2 então n = (t s)(t + s). Obtemos assim a correspondência bijectiva. 2 ) 2 Se n = ab e a e b estão próximos um do outro, então s é pequeno e t é ligeiramente maior que n. Neste caso, podemos factorizar n, experimentando valores para t, começando por [ n] + 1, até que se encontre um para o qual t 2 n é um quadrado perfeito. 30

32 Exemplo. Seja n = Começamos com [ n] + 1 = 449. Agora, = 782 que não é um quadrado perfeito. Em seguida, tentamos t = 450. Temos = 1681 = 41 2, donde n = ( )(450 41) = Note que se a e b não estiverem próximos, este método ainda serve para factorizar n, mas só após termos usado imensos valores para t, o que o pode tornar tão moroso. Há uma generalização do método de Fermat que funciona melhor nesta situação. Começamos por escolher um multiplicador k pequeno e tomamos t = [ kn] + 1, t = [ kn] + 2,... até que obtenhamos um t para o qual t 2 kn = s 2 é um quadrado perfeito. Então d = (t + s, n) é um factor não trivial de n. Exemplo. Seja n = Se usarmos a factorização de Fermat directamente, precisamos de experimentar 38 t s até encontrar um factor de n. Mas se tomarmos k = 3 e começarmos com t = [ 3n] + 1 = 652, rapidamente vemos que n = Como ( , n) = 241, concluímos que n = Portanto, com k = 3 só precisamos de experimentar 4 t s. Mas como sabemos que devíamos usar k = 3 no exemplo anterior? Uma maneira de resolver este problema é utilizando o método de Lehman (que é uma generalização do método de Fermat). Exercícios 1. Factorize os inteiros 11413, 8051, 11021, , e Método de Euler: Seja n ímpar. Sejam a, c > 0 ímpares e b, d > 0 pares tais que n = a 2 + b 2 = c 2 + d 2. a) Seja u = (a c, b d). Mostre que u é par e que se r = a c e u s = d b, então (r, s) = 1, r(a + c) = s(d + b) e s (a + c); u b) Seja v tal que sv = a + c. Mostre que rv = d + b, v = (a + c, d + b) e v é par; ( ) u c) Mostre que n = 2 +v 2 (r 2 + s 2 ). 4 31

33 d) Sabendo que 221 = = , 2501 = = e = = , factorize 221, 2501 e Mostre qualquer inteiro da forma 2 4n+2 +1 pode ser factorizado usando a identidade 4x = (2x 2 + 2x + 1)(2x 2 2x + 1). Factorize e encontre factores não triviais de

34 Capítulo 3 Congruências 3.1 Introdução Embora muitos resultados já fossem conhecidos, a teoria sistemática das congruências foi desenvolvida por Gauss. Neste capítulo, iremos estudar diversos teoremas famosos, nomeadamente os de Fermat, Euler, Wilson e Gauss, assim como a função de Euler e o símbolo de Legendre. Definição. Sejam a e b inteiros e n um inteiro positivo. dizemos que a é congruente com b e escrevemos Se n (a b), a b mod n Pela definição de divisibilidade, se a b mod n então existe um inteiro k tal que a = b + kn. Por exemplo mod mod mod 1000 Na vida diária usamos congruências em imensas situações: Os relógios de ponteiros medem as horas mod 12; os dias da semana medem os dias mod 7; o odómetro mede a kilometragem mod Teorema 3.1. Seja n um inteiro positivo. A relação congruente uma relação de equivalência. mod n é 33

35 Demonstração: Exercício Teorema 3.2. Se a b mod n e c d mod n então (a) a + c b + d mod n; (b) a c b d mod n; (c) ac bd mod n. Demonstração: Exercício Teorema 3.3. Se (a, n) = 1 e ab ac mod n, então b c mod n. Em geral, se (a, n) = d e ab ac mod n então b c mod n d. Demonstração: Suponhamos que (a, n) = d e ab ac mod n. Então existe um inteiro k tal que ab = ac + kn. Sejam a 1 = a d, n 1 = n d. Claramente, a 1 e n 1 são inteiros e (a 1, n 1 ) = 1. Dividindo ambos os membros de ab = ac + kn por d, obtém-se a 1 (b c) = kn 1. Donde, a 1 kn 1. Como (a 1, n 1 ) = 1, temos a 1 k. Portanto, k = a 1 k 1, para algum inteiro k 1. Assim, b c = k 1 n 1, ou seja n 1 (b c). Portanto, b c mod n. d Definição. Um conjunto de inteiros a 1, a 2,..., a n diz-se um sistema completo de resíduos mod n, se qualquer inteiro é congruente, mod n com um e um só a j. Seja n um inteiro positivo. Vamos provar que os inteiros 0, 1, 2,..., n 1 formam um sistema completo resíduos. Se a é um inteiro, pelo algoritmo de Euclides, existem inteiros q e r, tais que 0 r < n e a = qn + r. Portanto, 34

36 a r mod n. Mais, o resto r é único, porque se a r 1 mod n e a r 2 mod n com 0 r 1 r 2 < n, então r 1 r 2 mod n, donde n (r 2 r 1 ). Mas 0 r 2 r 1 n 1 < n. Logo r 1 = r 2. Portanto, 0, 1, 2,..., n 1 formam um sistema completo resíduos. Como qualquer inteiro é congruente mod n com algum dos números 0, 1, 2,..., n 1, então para calcular ab mod n ou a + b mod n é suficiente saber as tabelas de multiplicação e adição de 0, 1, 2,..., n 1. Por exemplo, como os números 0, 1, 2, 3, 4 formam um sistema completo de resíduos e 0 2, 1 2, 2 2, 3 2 e 4 2 são todos congruentes mod 5 com 0, 1 ou 4, então nenhum quadrado perfeito dividido por 5 dá resto 2 ou 3. Mais, se tomarmos os quadrados dos números anteriores, verificamos que 1 4, 2 4, 3 4, mod 5. Podemos então dizer que para qualquer inteiro n, temos 5 n ou 5 (n 4 1). O próximo teorema tem imensas aplicações: Teorema 3.4. Seja f(x) um polinómio com coeficientes inteiros. Se a b mod n, então f(a) f(b) mod n. Demonstração: Seja f(x) = a k x k + a k 1 x k a 1 x + a 0, onde a i são inteiros para 0 i k. Então, pelo teorema 3.2 a k a k + a k 1 a k a 1 a + a 0 a k b k + a k 1 b k a 1 b + a 0 mod n. Portanto, f(a) f(b) mod n. Como primeira aplicação do teorema anterior vamos mostrar que não há polinómios (não constantes) que dêem sempre primos. Corolário 3.5. Para qualquer polinómio de grau maior ou igual a 1 existe um inteiro a tal que f(a) é um número composto. 35

37 Demonstração: Seja f(x) = a k x k + a k 1 x k a 1 x + a 0, onde a i são inteiros para 0 i k. Sabemos que se a k > 0, então e se a k < 0 então lim f(x) = x lim f(x) =. x Como, por definição, os primos são todos positivos, consideremos a k > 0. Assim, lim f(x) =, x o que implica que podemos tomar b suficientemente grande tal que f(b) > 1. Seja n = f(b) e j um inteiro suficientemente grande tal que f(b + jn) > n. Note-se que b + jn b mod n, donde f(b + jn) f(b) = n 0 mod n, i. e. n f(b + jn). Como 1 < n < f(b + jn), temos que f(b + jn) é um número composto. Para terminar a demonstração basta tomar a = b + jn. Se a k < 0, uma demonstração semelhante, prova que existe um inteiro a tal que f(a) = c para algum composto c. Exercícios 1. Prove que qualquer conjunto de n inteiros consecutivos forma um sistema completo resíduos. 2. Determine os menores resíduos positivos de 2 32, 2 47 e mod Mostre que se n é ímpar então 8 n Mostre que n 3 n mod Será que a b mod n implica c a c b mod n? Justifique indicando uma demonstração ou um contra-exemplo. 36

38 6. Mostre que se n é ímpar então (n 1) 0 mod n. Determine o que acontece se n for par. 7. Mostre que se n é ímpar ou divisível por 4, então (n 1) 3 0 mod n. Este resultado é verdadeiro se n for par mas não divisível por 4? 8. Para que inteiros n temos (n 1) 2 0 mod n? 9. Mostre que qualquer número da forma 4 14 k + 1 com k 1, é composto. Sugestão: Use congruências ímpar e congruências mod 5 para k par. mod 3 para k 10. Mostre que se n for primo, então 3 n. 11. No calendário Gregoriano (calendário actual) cada ano divisível por 4 anos é um ano bisexto, excepto para os anos centenários que só são bissextos se forem divisíveis por 400. Por exemplo, 1800, 1900 e 2100 não são bissextos mas 2000 é. O dia 1 de Janeiro de 1900 calhou a uma segunda-feira. Mostre que, embora qualquer semana comece a um domingo, nenhum século começa a um domingo. 12. Mostre que qualquer pessoa nascida entre 1901 e 2071 celebra o seu aniversário de 28 anos no dia de semana igual ao dia de semana em que nasceu. 13. Mostre que 43 (n 2 + n + 41) para uma infinidade de inteiros n. 14. Sabendo que a mod 26, encontre (a, 26). 15. Em 1825, Gauss fez a seguinte construção para escrever um primo congruente com 1 mod 4 como a soma de dois quadrados perfeitos: Seja p = 4k + 1 um primo. Primeiro determina-se x tal que depois determina-se y tal que x (2k)! 2(k!) 2 mod p, com x < p 2 y x(2k)! mod p, com y < p 2. 37

39 Gauss mostrou que x 2 +y 2 = p. Verifique este resultado de Gauss, para p = 5, p = 13 e p = Há razões para acreditar (embora nunca tenha sido provado) que há infinitos primos que podem ser escritos como soma dos quadrados de 3 diferentes primos (o exemplo mais pequeno é 83 = Suponha que p = p p p 2 3 onde p, p 1, p 2 e p 3 são primos. Use congruências mod 3 para mostrar que um dos primos p 1, p 2 ou p 3 é igual a Suponha que m 0. Mostre que 17 (3 5 2m m+1 ). Sugestão: Use congruências mod Suponha que m 0. Mostre que 49 (5 3 4m m ). 19. Mostre que se k for ímpar, então 241 (11 2k k ). 20. Suponha que p é primo. a) Mostre ( que) p é o máximo divisor comum entre o coeficientes binomiais, onde 1 i p 1; p i b) Seja p um primo. Mostre que (a + b) p a p + b p mod p c) Mostre que para quaisquer inteiros a e b, (a p b p, p) = 1 ou p 2 (a p b p ). 3.2 Testes de Divisibilidade O teorema anterior permite-nos obter diversos testes de divisibilidade, os quais iremos descrever nesta secção. Teorema 3.6. Qualquer inteiro positivo é congruente com a soma dos seus algarismos mod 9 e mod 3. 38

40 Demonstração: Seja n > 0 um inteiro cuja representação decimal é dada por n = a k 10 k + a k 1 10 k a 1 + a 0, onde 0 a j 9, para qualquer 0 j k. Os inteiros a j são, portanto, os algarismos de n. Seja f(x) = a k x k + a k 1 x k a 1 x + a 0. Como 10 1 mod 9, temos f(10) f(1) mod 9. Portanto, n a k + a k a 1 + a 0 mod 9. Como 3 9, n a k + a k a 1 + a 0 mod 3. Este resultado é a base teórica da prova dos nove, ensinada na escola primária alguns anos atrás. Esta prova serve para verificar se um produto está certo ou não. Suponhamos que queremos calcular 147 2, e que o resultado nos dá Como temos mod 9, mas mod mod 9, portanto, o resultado está errado. Note que mod 9, mas , porque o último algarismo de é um 9. A prova dos nove só descobre 8 em cada 9 erros, i. e. só resulta 88.8% das vezes. Nos exercícios, será descrita outra prova que resulta mais de 90% das vezes. Teorema 3.7. Seja n > 0 um inteiro cuja representação decimal é dada por n = a k 10 k + a k 1 10 k a 1 + a 0, onde 0 a j 9, para qualquer 0 j k. Seja r k um inteiro positivo. Então n (a r 1 a r 2 a 1 a 0 ) 10 mod 2 r e n (a r 1 a r 2 a 1 a 0 ) 10 mod 5 r 39