Lista 4: Cinemática em duas Dimensões

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1 Lista 4: Cinemática em duas Dimensões Importante: 1. Ler os enunciados com atenção. 2. Responder a questão de forma organizada, mostrando o seu raciocínio de forma coerente. 3. Siga a estratégia para resolução de problemas do livro, dividindo a sua solução nas partes: modelo, visuaização, resolução e avaliação. 4. Analisar a resposta respondendo: ela faz sentido? Isso lhe ajudará a encontrar erros! Questões 1. Um disco é lançado acima do nível do solo; de um penhasco por exemplo. O ângulo que produzirá o maior alcance é menor, maior ou igual a 45 graus? Explique sua resposta. 2. A figura mostra as trajetórias de três bolas de futebol que foram chutadas. Indique a trajetória para a qual (a) o tempo de vôo é menor, (b) a componente vertical da velocidade no lançamento é a maior, (c) a componente horizontal da velocidade no lançamento é a maior, e (d) o módulo da velocidade no lançamento é o menor. Ignore a resistência do ar. 3. É possível estar acelerando se você viaja com velocidade escalar constante? É possível fazer uma curva com aceleração nula? E com aceleração constante? 4. Um carro que está se movendo a velocidade constante dispara, a partir de um canhão, uma bola para cima. Quando a bola retorna, ela irá cair a frente do canhão, atrás dele, ou diretamente dentro do canhão? Explique. Sua resposta muda se o carro estiver acelerando na direçaõ do movimento? Se sim, como? 1

2 Exercícios e Problemas 1. (E4) Considere um pêndulo balançando de uma lado para o outro por uma corda. Use uma análise de diagrama de movimento e redija uma explicação para responder a cada uma das seguintes questões. a) No ponto mais baixo do movimento, a velocidade é nula ou não nula? A aceleração é nula ou não nula? Se estes vetores não são nulos, para onde eles apontam? b) No fim do arco que o pêndulo descreve, quando ele se encontra no ponto mais alto de uma lado ou do outro, a velocidade é nula ou não nula? E quanto à aceleração? Se estes vetores são não nulos, para onde eles apontam? 2. (E5) Um veleiro está viajando para leste a 5,0 m/s. Uma forte rajada de vento imprime ao barco um vetor aceleração com magnitude de 0,80 m/s 2 e apontando a 40 graus nordeste. Qual será a rapidez do barco e sua orientação 6,0 s mais tarde, quando a rajada some? 3. A posição de uma partícula que se move em um plano xy é dada por r=(2t 3-5t) i + (6-7t 4 ) j, com r em metros e t em segundos. Calcule: a) r b) v c) a quando t = 2 s. Gabarito: (a) r=6i-106j; (b) v=19i-224j; (c) a=24i-336j 4. Uma partícula que deixa a origem em t=0 com velocidade inicial v 0 =3,6 i, em m/s, está submetida a uma aceleração constante a = -1,2 i - 1,4 j, em m/s 2. a) Esboce um gráfico de cada componente da velocidade em função do tempo. b) Esboce um gráfico de cada componente do vetor posição da partícula em função do tempo. c) Esboce um gráfico da trajetória da partícula: y(x). d) Em que instante a partícula alcança sua coordenada x máxima? e) Qual a velocidade da partícula nesse instante? f) Onde está a partícula nesse instante? Indique esta posição nos esboço feitos nos items b) e c) Gabarito: (a) t=3s; (b) v = - 4,2j; r=5,4i-6,3j. 5. Uma bola é largada de uma altura de 39,0m. O vento está soprando horizontalmente e imprime à bola a aceleração horizontal constante de 1,20 m/s 2. a) Mostre que a trajetória da bola é uma linha reta e encontre os valores de R e θ na figura. b) Quanto tempo leva a bola para atingir o solo? c) Com que velocidade a bola atinge o chão? Gabarito: (a) R=4,8m; θ=83º; (b) t=2,8s; (c) v=27,9m/s 6. Um avião mergulhando com velocidade constante num ângulo de 53,0º com a vertical libera um projétil a uma altitude de 730m. O projétil bate no chão 5,00s após ter sido liberado. a) Esboce a trajetória do projétil, visto por um observador em 2

3 repouso no solo. b) Qual é a velocidade do avião? c) Que distância o projétil percorre horizontalmente durante o seu voo? d) Quais são as componentes horizontal e vertical de sua velocidade imediatamente antes de bater no solo? e) Refaça o problema considerando um referencial que se move com a mesma velocidade horizontal do avião. Gabarito: (a) v 0 =202m/s; (b) x=806m; (c) v x =161m/s; v y =171m/s. 7. Um canhão antitanque está localizado na borda de um platô 60,0m acima de uma planície, conforme a figura. A equipe do canhão avista um tanque inimigo parado na planície `a distancia de 2,20km do canhão. No mesmo instante a equipe do tanque avista o canhão e começa a se mover em linha reta para longe deste, com aceleração de 0,900m/s 2. Se o canhão antitanque dispara um obus com velocidade de disparo de 240 m/s e com elevação de 10,0º acima da horizontal, quanto tempo a equipe do canhão teria de esperar antes de atirar, se quiser acertar o tanque? Gabarito: t=5,7s 8. Um canhão lança um projétil por cima de uma montanha de altura h, de forma a passar quase tangenciando o cume no ponto mais alto de sua trajetória. A distância horizontal entre o canhão e o cume é R. Atrás da montanha há uma depressão de profundidade d. Determine a distância horizontal entre o ponto de lançamento e o ponto onde o projétil atinge o solo, em função de R, d e h. Gabarito: x=r(1+(1+d/h) 1/2 ) 9. O trem bala francês conhecido como TGV Atlantique, que faz o percurso do Sul de Paris a Le Mans, tem velocidade escalar máxima de 310 km/h. a) Se o trem faz uma curva com esta velocidade escalar e a aceleração experimentada pelos passageiros tem de ser limitada a 0,05g, qual deve ser o menor raio da curvatura dos trilhos? b) Se há uma curva com 0,94 km de raio, para que valor deve ser reduzida a velocidade escalar do trem? Gabarito: (a) R=15,1km; (b) v=77km/h. 10. A hélice de um ventilador elétrico está girando a 500 rpm quando é desligado. Supondo que a hélice atinja o repouso uniformemente em 10 s: a) Esboce o gráfico da posição, velocidade e aceleração angular da ponta da hélice em função do tempo. b) Calcule o número de rotações realizadas pela hélice até parar c) Calcule no instante 9,5 s após o desligamento, a aceleração de um ponto da hélice situado a 10,0 cm do eixo do ventilador. Resposta: b) 42 rotações; c) 0,99 m/s2 3

4 11. Uma criança gira uma pedra em um círculo horizontal a 1,9 m acima do chão, por meio de uma corda de 1,4m de comprimento. Corda arrebenta e a pedra sai horizontalmente, caindo no chão a 11 m de distância. a) Esboce o gráfico da posição, velocidade e aceleração angular da pedra em função do tempo até o momento onde corda arrebenta. b) Qual era a aceleração centrípeta da pedra enquanto estava em movimento circular? Gabarito: a=223m/s Um homem suspeito corre o mais rápido que ele pode ao longo de uma esteira rolante, levando 2,5 s para ir de uma extremidade à outra. Então um agente de segurança aparece e o homem volta correndo o mais rápido possível ao seu ponto de partida, levando 10,0 s. Qual é a razão entre a velocidade do homem em relação à esteira e a velocidade da esteira em relação à Terra? Gabarito: 5/3 13. Uma caixa esta sendo elevada a 10 m/s por um guindaste. Você tem um canhão inclinado a 30 graus e a 10 m da caixa. Se o canhão é disparado no momento que a caixa deixa qual deve ser o módulo da velocidade do projétil disparado para acertar a caixa? 14. Um rio de um 1 km de largura tem uma correnteza de velocidade 1,5 Km/h. Um homem atravessa o rio de barco, remando a uma velocidade de 2,5 Km/h em relação à água. a) Qual é o tempo mínimo que leva para atravessar o rio? b) Nas condições do item anterior, onde o homem desembarca? c) Suponha agora que o homem quer chegar a um ponto diametralmente oposto na outra margem, e tem duas opções: remar de forma a atingi-lo diretamente, ou remar numa direção perpendicular à margem, sendo arrastado pela correnteza até além do ponto onde quer chegar, e depois caminhar de volta até lá. Se ele caminha a 6 km/h, qual das duas opções é mais vantajosa quanto ao tempo de percurso, e quanto tempo leva? Gabarito: (a) t=24min; (b) x=600m; (c) igual, t=30min 4

5 Exercícios Complementares (Para aqueles mais curiosos. Não servem de base para os testes) 15. Um barco leva 3,0 horas para percorrer 30 km rio abaixo, e 5,0 horas para retornar ao ponto de partida. Qual a velocidade do rio? 16. (E12) Um rifle é apontado horizontalmente para um alvo a 40 m. A bala atinge o alvo 1,9cm abaixo do ponto visado. a) Qual o tempo de voo da bala? b) Com que velocidade escalar a bala sai do cano da arma? Gabarito: (a) t=62ms; (b) v 0 =640m/s. 17. (P46) Um jogador de tênis rebate a bola 2,0 m acima do piso. A bola sai da raquete com rapidez de 20,0 m/s, formando um ângulo de 5,0º acima da horizontal. A rede está a uma distância de 7,0 m, e a sua parte superior tem 1,0 m de altura. A bola ultrapassará a rede? Em caso afirmativo, em quanto? Em caso negativo, quanto faltou para isso? Resposta: A bola passará a 1,0 m acima da rede. 18. Um projétil é disparado verticalmente para cima com velocidade de módulo v 0 = 10 m/s. Um vento forte imprime ao projétil uma aceleração horizontal constante de magnitude 2,0 m/s2. a) Determine a distância do projétil ao ponto de lançamento no instante em que ele alcança a altura máxima. b) Determine o vetor velocidade de projétil no instante em que ele retorna ao nível original de lançamento. c) Obtenha a equação da trajetória do projétil Resposta: a) 5,2 m b) v = (4,1 m/s) i (10 m/s) j c) x= 10x 1/2 4,9x 19. A hélice de um ventilador elétrico está girando a 500 rpm quando é desligado. Supondo que a hélice atinja o repouso uniformemente em 10 s, calcule: a) o número de rotações realizadas pela hélice até parar; b) no instante 9,5 s após o desligamento, a aceleração de um ponto da hélice situado a 10,0 cm do eixo do ventilador. Resposta: a) 42 rotações; b) 0,99 m/s2 20. Um bombeiro segura a mangueira a um ângulo Ɵ = 30º com a horizontal, e a água é lançada da mangueira em A com uma rapidez V A = 12 m/s. Se a corrente de água atinge o prédio em B, determine as duas distâncias possíveis s medidas a partir do prédio. Resposta: 2,62 m e 10,09 m 21. Um trem vai mais devagar quando faz uma curva horizontal aguda, indo de 90,0 km/h para 50,0 km/h nos 15,0 s que leva para fazê-la. O raio da curva é de 150 m. Calcule a aceleração no momento em que a rapidez do trem chega a 50,0 km/h. Suponha que o trem continue reduzindo sua rapidez na mesma proporção durante este intervalo de tempo. 5

6 Resposta: 1,48 m/s² e direção de 29,9 graus a sudoeste 22. Roberto e Beatriz estão fazendo compras em uma loja de departamentos. Roberto deixa Beatriz embaixo da escada rolante e caminha para o leste com uma velocidade de 2,4 m/s. Beatriz toma a escada rolante, que está inclinada de um ângulo de 37 acima da horizontal e viaja para o leste e para cima com uma velocidade de 2,0 m/s. (a) Qual é a velocidade de Roberto em relação a Beatriz? (b) Com que velocidade Beatriz deve caminhar na escada para estar sempre exatamente acima de Roberto (até chegar no topo da escada)?resposta: (a) v = (0,80 m/s)i (1,2 m/s)j, (b) 1,0 m/s 23. A polia de um motor parte do repouso com a velocidade angular aumentando uniformemente. Após um tempo T observa-se que a polia executou 90 revoluções em 15 s e sua velocidade angular no final do período de 15 s é de 10 rev/s. Calcule o tempo T. Resposta: 15s 24. Num dado instante, a locomotiva em E tem uma velocidade de 20 m/s e uma aceleração de 14 m/s² orientada como indicado na figura. Determine a taxa de aumento da rapidez do trem nesse instante e o raio de curvatura da trajetória. Resposta; 3,62 m/s 2 29,60m 25. Uma partícula está se movendo em uma trajetória circular de raio 4,00 m. Num certo instante sua rapidez (módulo da velocidade) é 5,40 m/s e sua aceleração faz um ângulo θ = 30,0º com a direção radial, como mostra a figura. a) O que acontece com a rapidez da partícula? b) Calcule as componentes tangencial e centrípeta da aceleração da partícula no instante dado. Resposta a) está diminuindo b) 7,29 m/s 2 e - 4,21 m/s A distância entre as cidades A e B é l. Um avião faz uma viagem de ida e volta entre A e B, voando em linha reta, com velocidade V em relação ao ar. a) calcule o tempo total de voo se o vento sopra com velocidade v numa direção que forma um ângulo θ com 6

7 a direção AB. Este tempo depende do sentido em que o vento sopra? b) Mostre que a viagem de ida e volta só é possível se v < V, e calcule a relação entre o tempo de voo t quando o vento sopra na direção AB e o tempo t quando sopra na direção perpendicular (este resultado é relevante na discussão da experiência de Michelson e Morley); c) Mostre que, qualquer que seja sua direção, o vento sempre prolonga a duração da viagem de ida e volta. v 2 Gabarito: (a) T= 2l 1 V 2 sen2 θ V 1 v2 V 2 ; (b) ( 1 v 2 V )