aula Vetores no plano e no espaço tridimensional Geometria Analítica e Números Complexos Autores Cláudio Carlos Dias Neuza Maria Dantas

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1 D I S C I P L I N A Geometria Analítica e Números Compleos Vetores no plano e no espaço tridimensional Autores Cláudio Carlos Dias Neuza Maria Dantas aula 10

2 Goerno Federal Presidente da República Luiz Inácio Lula da Sila Ministro da Educação Fernando Haddad Secretário de Educação a Distância SEED Ronaldo Motta Uniersidade Federal do Rio Grande do Norte Reitor José Ionildo do Rêgo Vice-Reitor Nilsen Caralho Fernandes de Olieira Filho Secretária de Educação a Distância Vera Lúcia do Amaral Secretaria de Educação a Distância- SEDIS Coordenadora da Produção dos Materiais Célia Maria de Araújo Coordenador de Edição Ar Sergio Braga Olinisk Projeto Gráfico Iana Lima Reisores de Estrutura e Linguagem Eugenio Taares Borges Marcos Aurélio Felipe Reisora das Normas da ABNT Verônica Pinheiro da Sila Reisoras de Língua Portuguesa Janaina Tomaz Capistrano Sandra Cristinne Xaier da Câmara Reisora Tipográfica Nouraide Queiroz Ilustradora Carolina Costa Editoração de Imagens Adauto Harle Carolina Costa Diagramadores Bruno de Souza Melo Adaptação para Módulo Matemático Thaisa Maria Simplício Lemos Pedro Gustao Dias Diógenes Imagens Utilizadas Banco de Imagens Sedis (Secretaria de Educação a Distância) - UFRN Fotografias - Adauto Harle MasterClips IMSI MasterClips Collection, 1895 Francisco Bld, East, San Rafael, CA 94901,USA. MasterFile MorgueFile Piel Perfect Digital FreeImages FreeFoto.com Free Pictures Photos BigFoto FreeStockPhotos.com OneOddDude.net Stock.XCHG - Diisão de Seriços Técnicos Catalogação da publicação na Fonte. UFRN/Biblioteca Central Zila Mamede Dias, Cláudio Carlos. Geometria analítica e números compleos / Cláudio Carlos Dias, Neuza Maria Dantas. Natal, RN : EDUFRN, p. : il 1. Geometria analítica plana. 2. Geometria analítica espacial. 3. Números compleos. I. Dantas, Neuza Maria. II. Título. ISBN CDU RN/UF/BCZM 2006/88 CDD Todos os direitos reserados. Nenhuma parte deste material pode ser utilizada ou reproduzida sem a autorização epressa da UFRN - Uniersidade Federal do Rio Grande do Norte.

3 Apresentação Nesta aula, ocê ai estudar o conceito de etor, o qual é muito útil em ários campos da aplicação da Matemática. Por eemplo, em Física, esse conceito é usado para representar uma força que atua sobre um objeto, como também para representar um campo eletromagnético, dentre outros fenômenos. Faremos, inicialmente, uma apresentação intuitia desse conceito de etor, eplorando seus aspectos geométricos, em seguida, faremos uso de coordenadas para identificá-lo. Objetios Ao término desta aula, esperamos que ocê saiba fazer uso de etores nos diferentes contetos em que eles aparecem, bem como saiba manipulá-los geométrica e algebricamente na resolução de problemas. Aula 10 Geometria Analítica e Números Compleos 1

4 Vetores geométricos Quando um objeto é largado de uma torre a partir de uma posição de repouso, ele cai no solo deido à atuação da força graitacional (G) eercida pela Terra. Essa força é comumente representada por um segmento de reta orientado (seta) cujo comprimento representa a intensidade da força. Veja a ilustração a seguir. G Terra Figura 1 Um corpo em queda lire Um outro eemplo é o deslocamento de um corpo em linha reta sobre um plano deido à ação de uma força F, ilustrado na figura seguinte. Plano F Figura 2 Deslocamento de um corpo sob a ação de uma força F Mais um eemplo é quando um atleta chuta uma bola parada e esta, antes de cair ao solo, descree uma parábola. Seu moimento, desprezando-se a resistência do ar, ocorre em função da soma (resultante) da força F, imprimida pelo chute, com a força G, eercida pela graidade, conforme ilustrado na Figura 3. Aula 10 Geometria Analítica e Números Compleos

5 F G F G Terra Figura 3 Moimento de uma bola deido à ação de uma força F Obsere que no primeiro caso a direção da força é ertical e seu sentido é de cima para baio. Enquanto no segundo caso, a direção é horizontal e o sentido é da esquerda para a direita. Em ambos os casos, o comprimento da seta representa a intensidade da força num sistema de medida coneniente. As situações anteriores são casos particulares de uma entidade chamada etor, que é definida como um segmento de reta orientado, localizado no plano ou no espaço tridimensional, conforme ilustrado a seguir. B C E F H A D J I G Figura 4 Vetores geométricos Obsere que um etor é determinado por um ponto inicial, que é a sua origem; por um ponto final, a sua etremidade; por uma direção, que é a direção da reta que passa pela sua origem e sua etremidade; por um sentido de percurso (da origem para a etremidade) e por um comprimento. Um etor de origem A e etremidade B é denotado por AB. Obseração 1 O que distingue um etor AB de um segmento de reta AB é que AB = BA, enquanto AB = BA. Negligenciando a origem e a etremidade, um etor fica completamente determinado, permitindo conhecer sua direção, seu sentido e seu comprimento. Por isso, dizemos que dois etores são equialentes se eles têm a mesma direção (isto é, são paralelos), o mesmo sentido e o mesmo comprimento. Em outras palaras, eles diferem, possielmente, apenas pelos lugares onde se localizam. Dessa forma, não amos distingui-los já que eles são, na realidade, iguais. Veja a ilustração a seguir. Aula 10 Geometria Analítica e Números Compleos

6 B B B C C C C F E A A F E D D A D A B = A B = A B =... F E D C D = = C D C D = C D =... E F = = E F E =... F Figura 5 Vetores equialentes Nota Dois etores no plano são paralelos quando as retas que os contém são paralelas; enquanto os etores no espaço são paralelos, se estão em um mesmo plano e, nesse plano, são paralelos. O que torna o uso de etores importantes em muitos problemas das Ciências e da Matemática é a eistência de duas operações algébricas, a saber: a soma de etores e a multiplicação de um etor por um número real (escalar). Por medida de simplificação, denotaremos, daqui por diante, os etores por letras minúsculas, tais como u,, w etc. Dados os etores u e, posicionando-se o etor de modo que sua origem coincida com a etremidade de u (isso é possíel deido à definição de equialência de etores), então o etor com origem igual a de u e etremidade igual a de é definido como sendo a soma de u +, de u com, conforme mostrado na seguinte figura: u u Figura 6 Soma de dois etores Na Figura 7, estão representados os etores u + e + u. 4 Aula 10 Geometria Analítica e Números Compleos

7 u u u u Figura 7 Comutatiidade da soma de etores Obsera-se que u + = + u, ou seja, a soma de etores é comutatia. Obseração 2 A figura anterior sugere que, para somar dois etores u e, posiciona-se os dois com a mesma origem (isso é possíel pela definição de equialência de etores) e, em seguida, constrói-se o paralelogramo com lados representados pelos etores u e. O que se obsera é que a diagonal do paralelogramo que parte da origem comum dos etores representa a soma u +. Atiidade 1 Na figura a seguir erifique que o etor em negrito tanto representa (u + ) +w quanto u + ( + w), logo (u + ) + w = u + ( + w), ou seja, a soma dos etores é associatia. u u w w Figura 8 Associatiidade da soma de etores Aula 10 Geometria Analítica e Números Compleos 5

8 Atiidade 2 Um arqueiro deseja atingir um alo frontal com flechas. No momento do disparo, corre um ento transersal de 5 km/h e a flecha iaja a 15 km/h. Utilize a figura a seguir para encontrar a direção, dada pelo ângulo α, na qual ele dee posicionar a flecha para atingir o alo. Despreze a força da graidade. Km/h5 Km/h 15 α Terra Figura 9 Disparo de uma flecha contra um alo Quando trabalhamos com a soma de números reais, sabemos que + 0 = 0 + para todo número real. Será que eiste uma propriedade análoga para etores? Eiste e é o que faremos a seguir. Grosso modo, o etor nulo pode ser definido como tendo a mesma origem e mesma etremidade, o que sugere que podemos defini-lo como um etor de comprimento nulo sem direção e sem sentido. Esse etor será denotado por 0. Com essa definição fica claro que + 0 = 0 + para todo etor. Aqui temos que admitir que todos os etores nulos são iguais ou equialentes. Atiidade 3 Sabemos que, se num objeto em repouso atuam forças F e F' de mesma direção, de mesma intensidade e de sentidos contrários, o objeto permanece em repouso. Ilustre essa situação e eplique esse fenômeno em linguagem etorial. Outra operação com etores consiste em multiplicar um etor por um número real, o qual chamamos de escalar. É natural esperar que se é um etor não nulo, então 2, 3, 4 6 Aula 10 Geometria Analítica e Números Compleos

9 etc. sejam etores com mesma direção e sentido de e com o dobro, o triplo, o quádruplo etc., de comprimento de, respectiamente. Enquanto 2, 3, 4 etc. manteriam os comprimentos anteriores, mas com sentido contrário ao de. Veja a figura seguinte Figura 10 Multiplicação de um etor por um número inteiro Atiidade 4 Se é um etor não-nulo, descrea o que seria natural esperar que sejam os etores 1 2, 1 3, 1 4 etc.; como também 1 2, 1 3, 1 etc. Em seguida, 4 ilustre com uma figura. A digressão anterior nos conduz ao seguinte: se k é um escalar (número real) e é um etor não-nulo, define-se k como um etor com mesma direção, com comprimento k ezes o comprimento de, e com o mesmo sentido de, se k > 0, e com sentido contrário ao de, se k < 0. Caso k = 0, então k = 0 é definido como o etor nulo. É coneniente definir também (-1) =, k. 0 = 0. Obsere que se k = 1, então k = 1 é um etor de mesma direção, mesmo comprimento, e mesmo sentido de. Logo, 1. =. Eemplo 1 Mostre que para todo etor, + = + ( ) = 0. Solução O etor + ( ) pode ser representado pela Figura 11. Aula 10 Geometria Analítica e Números Compleos 7

10 - Figura 11 O etor nulo como resultado de uma soma Obsere na Figura 11 que o etor + ( ) tem a mesma origem e a mesma etremidade, logo, + ( ) é o etor nulo. Pela comutatiidade da soma, + = + ( ) = 0. Agora, podemos definir uma outra operação entre etores: a diferença. Se u e são etores define-se a diferença entre u e por u = u + ( ). Eemplo 2 Mostre que se u e são etores, então + (u ) = u. Isto é, u é o etor que somado a é igual a u. Solução Pela definição de diferença, u = u + ( ); pela comutatiidade, u + ( ) = ( ) + u, logo, u = ( ) + u. Desse modo, somando a ambos os membros, obtém-se + (u ) = + (( )) + u). Pela associatiidade, o segundo membro da igualdade acima fica, + (( ) + u) = ( + ( )) + u, 8 Aula 10 Geometria Analítica e Números Compleos

11 mas + ( ) = 0 e 0 + u = u. Portanto, + (( ) + u) = u, ou seja, + (u ) = u. Vamos ilustrar na figura seguinte o etor u, leando-se em conta que ele é o etor que somado com reproduz u, conforme estabelecido no eemplo anterior. u u Figura 12 A diferença entre dois etores Nota Coném destacar que para somar ou subtrair dois etores u e posicionados com a mesma origem, basta construir o paralelogramo de lados representados pelos etores u e. A diagonal que parte da origem comum dos etores representa o etor u +, enquanto a outra diagonal, que parte da etremidade de, representa o etor u, conforme ilustração a seguir. u u u Figura 13 A regra do paralelogramo para a soma e diferença de etores Aula 10 Geometria Analítica e Números Compleos 9

12 Eercícios 1 A figura a seguir representa quatro etores no plano u 1, u 2, u 3, u 4. u u u u Figura 14 Quatro etores no plano Desenhe: a) u = u 1 + u 2 + u 3 + u 4 b) u = u 1 u 2 u 3 u 4 c) = u 1 + u 2 + u 3 u 4 d) = u 1 u 2 u 3 + u 4 2 Dada a Figura 15 Q P R T S Figura 15 Seis etores no plano pede-se a) P R + RS b) P R + RS + ST c) QR RT d) P Q + QR + RS 10 Aula 10 Geometria Analítica e Números Compleos

13 3 Dados os etores desenhados a seguir u Figura 16 Dois etores no plano desenhe os etores a) 2u + b) 2u + 3 c) 3 u d) u e) u f) u 4 Sejam etores u e no plano, não nulos e não colineares. Se w é um etor qualquer no plano, mostre geometricamente que é possíel encontrar escalares a e b tais que w = au + b. Vetores coordenados no plano Até este momento, eploramos os etores no plano sem fazer referência alguma a um sistema de coordenadas. O que faremos a partir de agora é introduzir coordenadas cartesianas de modo que cada etor possa ser identificado atraés de um par ordenado de números reais. Consideremos, portanto, o plano com um sistema de coordenadas retangulares. Se é um etor nesse plano, o único etor com ponto inicial na origem do plano, paralelo a e com mesmo sentido e comprimento de, é, como sabemos, equialente a, por isso ele ainda será representado por. Veja a figura seguinte. Aula 10 Geometria Analítica e Números Compleos 11

14 Figura 17 O etor equialente a com ponto inicial na origem Daqui por diante, a não ser que seja dito o contrário, todos os etores são tomados com ponto inicial na origem do plano. Nessas condições, se é um etor ele fica completamente determinado pelas coordenadas, ( 1, 1 ), de sua etremidade, caso em que escreemos = ( 1, 1 ), conforme mostrado na Figura 18. Figura 18 As coordenadas 1 e 1 de um etor Obseração 3 Veja que um ponto P de coordenadas ( 1, 1 ) é denotado por P( 1, 1 ), enquanto um etor com essas coordenadas é denotado por = ( 1, 1 ). Agora, cabe a seguinte pergunta: se u = ( 1, 1 ) e = ( 2, 2 ), quais são as coordenadas (, ) do etor u +? A resposta decorre da análise da Figura 19. u u u u Figura 19 A abcissa da soma de dois etores Os dois triângulos retângulos da figura anterior, onde estão assinalados os ângulos retos, são congruentes (por quê?). Disso decorre que 2 = 1, logo a abcissa do etor u + é = Analisaremos agora a Figura 20, análoga à anterior, dando ênfase às ordenadas. 12 Aula 10 Geometria Analítica e Números Compleos

15 u u u Figura 20 A ordenada da soma de dois etores De maneira análoga, a congruência entre os triângulos retângulos, onde os ângulos retos estão destacados, nos permite concluir que a ordenada de u + é = Em resumo, u + = ( 1 + 2, ). Conenhamos que era de se esperar! A pergunta se mantém para o caso da multiplicação de um etor por um escalar. Ou seja, se = ( 1, 1 ) e k é um escalar, quais as coordenadas (, ) do etor k? Considerando o caso k > 0, 1 > 0, 1 > 0 e analisemos as figuras a seguir. k kl l Figura 21 A abicissa do etor k k l kl Figura 22 A ordenada do etor k Aula 10 Geometria Analítica e Números Compleos 13

16 Seja l o comprimento do etor, então kl é o comprimento do etor k. Da semelhança dos dois triângulos da Figura 21 com os ângulos retos assinalados, como também dos dois triângulos da Figura 22 também com os ângulos retos assinalados, resulta que: = kl 1 l, ou seja, = k ; 1 = kl 1 l, ou seja, = k. 1 Concluindo, k = (k 1, k 1 ), como não poderia deiar de ser. Atiidade 5 Determine as coordenadas de k no caso em que k < 0 e = (, ) têm < 0 e < 0. Aqui, cabe a seguinte pergunta: se P 0 ( 0, 0 ), quais as coordenadas do etor u com etremidade inicial na origem e tal que u = P 0 P, sendo P(, )? A resposta está ilustrada na figura a seguir. P P u O Figura 23 As coordenadas de um etor P 0 P Obsere a figura anterior e eja que de acordo com a soma geométrica de etores OP = OP 0 + P 0 P, donde P 0 P = 0P OP 0 = (, ) ( 0, 0 ) 14 Aula 10 Geometria Analítica e Números Compleos

17 Como u é equialente a P 0 P e tem etremidade inicial na origem, segue-se que u = ( 0, 0 ). Seja um etor, o comprimento de será denotado por, que se lê: norma de. Se = (, ) usando o Teorema de Pitágoras no triângulo da Figura 24, de catetos, e hipotenusa, temos que 2 = 2 + 2, ou seja, = Figura 24 A norma de um etor no plano Eemplo 3 Que figura no plano representa o conjunto S = {, = 1}? Solução Seja = (, ). Então, = 1 significa que = 1, ou seja, = 1, que é a equação do círculo com centro na origem e raio 1, dito o círculo unitário. Obsere que se θ é o ângulo que um etor unitário faz com o eio positio, então = cos θ e = cos θ, isto é, = (cos θ, sen θ), conforme ilustrado na figura a seguir. Aula 10 Geometria Analítica e Números Compleos 15

18 sen θ θ cos θ Figura 25 O círculo unitário Eemplo 4 Verifique a lei do paralelogramo: a soma dos quadrados das diagonais de um paralelogramo é igual à soma dos quadrados de seus lados. Solução Adaptaremos um sistema de coordenadas em que a origem coincide com um értice do paralelogramo. Representamos os lados do paralelogramo adjacentes a esse értice pelos etores u = ( 1, 1 ) e = ( 2, 2 ). Veja a figura a seguir. u u- u+ u u Figura 26 A lei do paralelogramo A soma dos quadrados das diagonais é dada por u u 2 = ( ) 2 + ( ) 2 + ( 1 2 ) 2 + ( 1 2 ) 2 = ( ) + ( ) + ( )+ +( ). 16 Aula 10 Geometria Analítica e Números Compleos

19 Somando os termos iguais e cancelando os de sinais opostos, obtemos 2( ) + 2( ) = 2 u e o segundo membro representa a soma dos quadrados dos lados do paralelogramo. Em resumo, u u 2 = 2 u que é a equação que representa a lei do paralelogramo. Continuando os eercícios 5 Determine as coordenados do etor P Q, em que a) P( 1, 2) e Q(3, 1) b) P 0, 1 e Q 1 2 3, Determine as coordenadas do ponto médio do segmento PQ, se P(1, 2) e Q(3, 2). Ache um etor não nulo P Q, sendo Q(1, 1) e tal que a) P Q tem a mesma direção e sentido do etor u = ( 2, 3); b) P Q tem a mesma direção e sentido oposto ao do etor = (4, 1). Aula 10 Geometria Analítica e Números Compleos 17

20 Equações paramétricas de uma reta no plano Dada uma reta r no plano, (assunto isto na aula 2 Estudando a reta no plano) ela fica determinada quando se conhece um ponto P 0 ( 0, 0 ), por onde ela passa e sua inclinação θ, que é o ângulo que essa reta faz com o eio positio. Se um etor = (a, b) faz também um ângulo θ com o semi-eio positio, então é paralelo a essa reta. Desse modo, um ponto P(, ) está sobre a reta se, e somente se, o etor P 0 P é paralelo a, ou seja, se, e somente se, eiste t tal que P 0 P = t. Mas, P 0 P = ( 0, 0 ) e t = (ta, tb). Donde ( 0, 0 ) = (ta, tb), o que dá 0 = ta, 0 = tb, ou seja, = 0 + ta, = 0 + tb, t, que são as equações paramétricas da reta. Essa discussão está sintetizada na figura a seguir. r - - P P Figura 27 P r P 0 P // t ; P 0 P = t Continuando os eercícios Encontre as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto P 0 (1,2) e tem inclinação de 30. Encontre as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto P 0 (1,1) e é perpendicular à reta da questão 8 anterior. Determine o ponto onde essas duas retas se interceptam. Descubra as equações paramétricas das duas retas que passam por P 0 (0,2) e faz um ângulo de 30 com a reta da questão 8 anterior. 18 Aula 10 Geometria Analítica e Números Compleos

21 Vetores coordenados no espaço Analogamente ao caso do plano, fiado um sistema de coordenadas z para o espaço, amos considerar (a não ser que seja dito o contrário) todos os etores com ponto inicial na origem do sistema de coordenadas. Desse modo, um etor fica perfeitamente determinado pelas coordenadas do ponto ( 1, 1, z 1 ) da sua etremidade, como mostra a ilustração a seguir. z z Figura 28 Um etor coordenado no espaço Atiidade Repetindo o procedimento usado para o plano, mostre que se u = ( 1, 1, z 1 ) e = ( 2, 2, z 2 ) são etores do espaço, então u + = ( z 1 + z ). Se k é um escalar, então k = (k 2, k 2, kz 2 ). Procedendo de modo análogo ao que foi feito para o plano, mostre que se = P 0 P onde P(,,z), então = ( 0, 0, z z 0 ). Eemplo 5 Dado um etor = (,, z), mostremos que o comprimento de é dado por = z 2. Aula 10 Geometria Analítica e Números Compleos 19

22 Solução Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo do plano, de hipotenusa u e de catetos e, apresentado na fi gura a seguir, obtém-se u 2 = z z u z u Figura 29 O comprimento do etor Já com o mesmo teorema aplicado ao triângulo retângulo da Figura 29 anterior, de hipotenusa e de catetos u e z, obtém-se 2 = u 2 + z 2, donde 2 = z 2, ou seja, = z 2. Continuando os eercícios 11 Dados os etores u = (4, 1, 4), = ( 3, 2, 4) e w = 1, 1 2, 1, 3 determine os etores e calcule seus comprimentos. u u, O que eles têm de comum? e w w 0 Aula 10 Geometria Analítica e Números Compleos

23 1 Mostre que para todo etor não nulo, o etor comprimento 1. é unitário, isto é, tem 1 14 Determine as coordenadas do etor P Q, onde a. P(2, 2, 3) e Q(3, 0, 4); b. P 3 1 2, 1, 5 e Q 2, 1, 4. Ache um etor P Q com Q( 1, 2, 3) tal que a. P Q tem a mesma direção do etor u = (1, 0, 2); b. P Q tem a mesma direção e sentido oposto ao do etor u = (4, 1, 2). 15 Encontre as coordenadas do ponto sobre o segmento PQ cuja distância a Q é 1 3 da distância de P(1, 1, 2) a Q(4, 2, 5). 16 Use etores para encontrar o comprimento da diagonal de um cubo de aresta 1. Resumo Nesta aula, introduzimos o conceito de etor a partir dos pontos de ista geométrico e algébrico, bem como estabelecemos suas principais propriedades aritméticas.mostramos ainda a utilidade dos etores na resolução de problemas. Aula 10 Geometria Analítica e Números Compleos 1

24 Auto-aaliação Estabeleça o conceito de retas paralelas e de retas perpendiculares no plano do ponto de ista de etores. Dadas as equações paramétricas de uma reta no plano, determine as correspondentes equações para uma reta que lhe é perpendicular. Fazendo analogia ao que foi feito no plano, encontre no espaço as equações paramétricas de uma reta. Sugestões para a resolução dos eercícios 1. Opere os etores dois a dois, por eemplo em (d), desenhe w = u 1 u 2 e w' = (u 3 u 4 ) e obsere que ' = w w'. 2. Aplique diretamente a definição de soma de etores. 3. Aplicações diretas da soma de etores e multiplicação por escalares. 4. Da etremidade de w trace paralelas a u e a. Em seguida, prolongue esses etores até que o prolongamento de u, denominado au, encontre a paralela a, e até que o prolongamento b de encontre a paralela a u. Conclua que w = au + b. 5. Obsere que 0P + P Q = 0Q, onde 0 = (0, 0). 6. Note que as coordenadas do ponto médio de P Q são dadas pelas coordenadas do etor 0P + 1 P Q, onde 0 = (0, 0) (a) Se P Q e u têm a mesma direção, então P Q = tu. Tome, por eemplo, t = 1, para que eles tenham o mesmo sentido. (b) Nesse caso, P Q e s têm a mesma direção ( P Q = s ), tomando s = Obsere que = (cos30 o, sen30 o ) é um etor na direção da reta. 9. O etor = (cos120 o, sen120 o ) é um etor na direção da reta perpendicular. 22 Aula 10 Geometria Analítica e Números Compleos

25 10. Faça um desenho para concluir que os etores = (cos60 o, sen60 o ) e = (1, 0) são os possíeis etores na direção dessas retas. 11. Faça os cálculos e conclua que todos são etores unitários. 12. Fazer = (a, b, c) e calcular. 13. Obsere a sugestão dada no eercício Obsere a sugestão dada no eercício Repita a sugestão dada no eercício Desenhe o cubo com um értice na origem. Represente as arestas do cubo que concorrem nesse értice como etores u,, w. Obsere que a diagonal do cubo é representada por u + + w. Faça uso do Teorema de Pitágoras. Referências ANTON, Howard; RORRES, Chris. Álgebra linear com aplicações. Porto Alegre: Bookman, LIMA, Elon Lages et al. A matemática do ensino médio. Rio de janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, Aula 10 Geometria Analítica e Números Compleos 23

26 Anotações 24 Aula 10 Geometria Analítica e Números Compleos

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