Betão Armado LAJES VIGADAS. joão guerra martins 2.ª edição / 2009 (Provisório) série ESTRUTURAS

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1 Betão Armado LAJES VIGADAS série ESTRUTURAS joão guerra martins 2.ª edição / 2009 (Provisório)

2 Prefácio Este texto resulta do trabalho de aplicação realizado pelos alunos de sucessivos cursos de Engenharia Civil da Universidade Fernando Pessoa, vindo a ser gradualmente melhorado e actualizado. Apresenta-se, deste modo, aquilo que se poderá designar de um texto bastante compacto, completo e claro, entendido não só como suficiente para a aprendizagem elementar do aluno de engenharia civil, quer para a prática do projecto de estruturas correntes. Certo é ainda que pretende o seu teor evoluir permanentemente, no sentido de responder quer à especificidade dos cursos da UFP, como contrair-se ao que se julga pertinente e alargar-se ao que se pensa omitido. Para tanto conta-se não só com uma crítica atenta, como com todos os contributos técnicos que possam ser endereçados. Ambos se aceitam e agradecem. João Guerra Martins

3 Introdução Lajes Tipos e classificações A classificação das lajes pode ser apresentada de diferentes formas. Uma sistematização possível é indicada de seguida: 1. Quanto ao tipo de apoio: a) Lajes vigadas - apoiadas em vigas; b) Lajes fungiformes - apoiadas directamente em pilares - sem ou com capitel; c) Apoiadas numa superfície deformável - lajes de pavimento apoiadas no solo de fundação. 2. Quanto à constituição: a) Lajes só em betão armado: Maciças - com uma espessura constante ou de variação contínua; Aligeiradas ou nervuradas - com um peso inferior ao de uma laje maciça com a mesma espessura. A redução de peso é obtida através da introdução de blocos de cofragem recuperáveis ou perdidos, que formam nervuras dispostas numa só direcção ou em duas direcções perpendiculares, solidarizadas por uma lajeta de compressão. Quando recuperáveis são, em geral, de plástico colocando-se junto à face inferior da laje e dando origem a uma superfície inferior descontínua. Os blocos perdidos (de argamassa de cimento, cerâmicos, de poliestireno expandido ou de cartão) se forem colocados no interior da laje produzem uma superfície inferior contínua em betão. Durante a betonagem são requeridos cuidados especiais na execução da laje, de modo a impedir que a posição dos blocos e das 1

4 armaduras não se modifique, bem como a garantir que só espaço entre os blocos e a cofragem seja completamente preenchido pelo betão. Os blocos de argamassa de cimento, ou cerâmicos, podem também ser colocados junto da face inferior, dando origem a uma superfície inferior lisa mas não homogénea; b) Lajes de vigotas pré-esforçadas - a laje é constituída por vigotas pré-esforçadas nas quais se apoiam blocos de cofragem (abobadilhas ou "tijoleiras") cerâmicos ou de argamassa de cimento, os quais são solidarizados por uma lajeta de betão; c) Lajes mistas - constituídas por perfis metálicos, em geral de secção I, que suportam as forças de tracção, ligados através de conectores metálicos a uma lajeta de betão que absorve as forças de compressão. 3. Quanto ao modo de flexão dominante: a) Lajes armadas numa direcção - os esforços nessa direcção são bastante superiores aos da direcção perpendicular; b) Lajes armadas em duas direcções ou em cruz - os esforços existentes nas duas direcções principais de flexão são da mesma ordem de grandeza. 4. Quanto à caracterização do comportamento: a) Lajes finas - quando a espessura é inferior a 1 /10 do vão. No cálculo deste tipo de lajes, que correspondem às situações correntes, é possível desprezar a contribuição do esforço transverso para a deformação da laje e admitir a hipótese de as fibras perpendiculares ao plano médio se manterem rectas e perpendiculares à superfície média deformada; b) Lajes espessas - não são válidas as simplificações atrás apresentadas; 2

5 c) Lajes isotrópicas - formadas por material homogéneo e de comportamento elástico linear. Devido à sua geometria apresentam um comportamento ortotrópico. Por ex: lajes nervuradas. 5. Quanto ao modo de fabrico: a) Betonadas no local; b) Pré-fabricação total: a laje é colocada sobre vigas sendo solidarizada localmente; c) Pré-fabricação parcial: só uma parte da laje é pré-fabricada (normalmente a inferior e já com armaduras), sendo o volume restante betonado localmente e constituindo a pré-fabricada a cofragem de oportunidade. 3

6 CAPÍTULO 1 ANÁLISE DO REBAP 1. Disposições Gerais 1.1. Critérios Gerais de Segurança Verificação da segurança A verificação da segurança das estruturas de betão armado e pré-esforçado deve ser efectuada de acordo com os critérios gerais estabelecidos no RSA e tendo em conta as disposições do REBAP. O RSA quantifica as acções e estabelece os critérios gerais a ter em conta na verificação da segurança das estruturas, independentemente dos materiais que as constituem. Para as estruturas de betão armado e pré-esforçado será, portanto, necessário objectivar os diversos parâmetros específicos destes materiais, que interessam ao dimensionamento. Haverá, assim, que definir os estados limites, os coeficientes de segurança, certas acções específicas e ainda as propriedades dos materiais, as teorias de comportamento estrutural, as disposições construtivas e as regras de execução. Note-se que as teorias de comportamento podem ser complementadas, em certos casos, substituídas por ensaios de modelos ou de protótipos. No caso da aplicação de tais processos experimentais se limitar à determinação dos esforços em regime linear, não se levantam em geral dificuldades quanto à sua interpretação no quadro dos critérios de segurança adoptados. No caso, porém, de esses processos serem conduzidos com vista à determinação directa de capacidades resistentes dos elementos ou das estruturas, o problema da sua interpretação é delicado, pois os valores assim determinados não podem ser considerados como valores de cálculo. Neste caso há a necessidade de quantificar devidamente os coeficientes de segurança a adoptar, de modo a conseguir neste dimensionamento segurança equivalente à que se obteria utilizando os processos analíticos. 4

7 Estados limites Um estado limite é um estado a partir do qual se considera que a estrutura fica total ou parcialmente prejudicada na sua capacidade para desempenhar as funções que lhe são atribuídas. O REBAP classificam os estados limites em 2 tipos: Estados limites últimos; Estados limites de utilização. Os Estados Limites Últimos são os de cuja ocorrência resultam prejuízos à estrutura. Podem classificar-se em: Estados limites últimos de resistência Rotura, ou deformação excessiva, em secções dos elementos da estrutura, envolvendo ou não fadiga; Estados limites últimos de encurvadura Instabilidade de elementos da estrutura ou do seu conjunto; Estados limites últimos de equilíbrio Perda de equilíbrio de parte da estrutura ou do seu conjunto (corpo rígido). Os Estados Limites de Utilização são os de cuja ocorrência resultam prejuízos pouco severos. Podem classificar-se quanto ao tipo em: Estados limites de fendilhação: - Estado limite de descompressão - anulamento da tensão normal de compressão devida ao pré-esforço, e a outros, esforços normais de compressão, numa fibra especificada da secção, sendo em geral, que a fibra em causa é a extrema que, sem considerar a actuação do pré-esforço, ficaria mais traccionada (ou menos comprimida) por acção dos restantes esforços; - Estado limite de largura de fendas - ocorrência de fendas cujas larguras, a um dado nível da secção, têm valor característico igual a um valor especificado. Em geral, o nível tomado para referência é o das armaduras que, para a combinação de acções em consideração, ficam mais traccionadas. 5

8 Estados limites de deformação a considerar são: - Estado limite de deformação - correspondem à ocorrência de deformações na estrutura que prejudiquem o desempenho das funções que lhe são atribuídas. As verificações dos estados limites de utilização são necessárias por razões distintas das regras de verificação dos estados limites últimos. Para estes, há que garantir à estrutura uma dada capacidade resistente, com determinados coeficientes de segurança, em relação a possíveis situações de rotura ou danos excessivos. Pelo contrário, para os estados limites de utilização o objectivo é a garantia de um funcionamento adequado para as funções previstas e durante o período de vida da estrutura. A definição do que é entendido por bom ou aceitável como comportamento nas condições normais de serviço é, em muitas situações, muito subjectiva Acções As acções que actuam sobre uma estrutura podem ser classificadas em: Permanentes praticamente de valor constante durante toda a vida da estrutura. Como exemplo temos o peso próprio da estrutura, equipamentos fixos, impulsos de terras, retracção, fluência e pré-esforço; Variáveis variam durante a vida da estrutura. Como exemplo temos as sobrecargas, vento, sismos e variações de temperatura; Acidentais muita fraca probabilidade de ocorrência durante a vida da estrutura. Como exemplo temos as explosões, os choques e os incêndios (em alguns regulamentos o sismo é considerado uma acção de acidente). A quantificação das acções faz-se pelos seguintes valores: F k Valores característicos das acções ΨF k Valores reduzidos para efeitos de combinações: Ψ 0 Valor de combinação; Ψ 1 Valor frequente; Ψ 2 Valor quase permanente. 6

9 F m Valores médios F n Valores nominais F serv Valor de serviço Combinações de Acções Para a verificação da segurança em relação aos diferentes estados limites devem ser consideradas as combinações das acções cuja actuação simultânea seja plausível e que produzam na estrutura os efeitos mais desfavoráveis. Não se considera plausível a actuação simultânea no mesmo elemento das sobrecargas que sejam fundamentalmente devidas à concentração de pessoas (ou das sobrecargas em coberturas ordinárias) com as acções da neve ou do vento. As acções permanentes devem figurar em todas as combinações e ser tomadas com os seus valores característicos superiores ou inferiores, conforme for mais desfavorável; as acções variáveis apenas devem figurar nas combinações quando os seus efeitos forem desfavoráveis para a estrutura. Em relação às combinações de acções, o REBAP, para efeitos de verificação da segurança, definem as seguintes combinações: a) Estados limites últimos Combinações Fundamentais onde intervêm: Acções Permanentes Acções Variáveis Combinações Acidentais onde intervêm: Acções Permanentes Acções Variáveis 7

10 Acção Acidental b) Estados limites de utilização Combinações Raras onde intervêm: Os estados limites de muita curta duração; Combinações Frequentes onde intervêm: Os estados limites de curta duração; Combinações Quase Permanentes onde intervêm: Os estados limites de longa duração Verificação da Segurança aos Estados Limites Últimos Resistência Regras de Verificação da Segurança em termos de esforços Segundo o REBAP, a verificação da segurança em relação aos estados limites últimos de resistência que não envolvem fadiga deve, em geral, ser feita em termos de esforços. No caso das lajes, quando seja utilizada a análise plástica (teoria das linhas de rotura), a verificação da segurança deve, em princípio, ser formulada em termos de acções. A verificação da segurança em termos de esforços consiste em satisfazer a seguinte condição: S d R d em que : S d - é o valor de cálculo do esforço actuante ; R d - é o valor de cálculo do esforço resistente. A verificação de segurança aos Estados limites últimos deve ser feita para dois tipos de combinações: 8

11 Combinações Fundamentais Em geral : Sd = Σ γ gi S Gik + γ q [S Q1k + Σ ψ 0j S Qjk ] No caso de a acção variável de base ser a acção sísmica: Sd = Σ S Gik + γ q S Ek + Σ ψ 2j S Qjk, se Q 1 é acção sísmica Combinações Acidentais Sd = Σ S Gik + S Fa + Σ ψ 2j S Qjk em que: S Gik esforço resultante de uma acção permanente, tomada com o seu valor característico; S Q1k esforço resultante de uma acção variável considerada como acção de base da combinação, tomada com o seu valor característico (S Ek no caso da acção sísmica); S Qjk esforço resultante de uma acção variável distinta da acção de base, tomada com o seu valor característico; S Fa esforço resultante de uma acção acidente, tomada com o seu valor nominal; γ gi coeficiente de segurança relativo às acções permanentes; γ q coeficiente de segurança relativo às acções variáveis; ψ 0j, ψ 2j coeficientes ψ correspondentes à acção variável de ordem j; γ g = 1,5 ou 1,2 no caso da acção permanente em causa ter efeito desfavorável ou γ g = 1,35 para as acções permanentes cujos valores possam ser previstas com muito rigor; γ q = 1,5 para acções variáveis; Nota: Se uma acção variável é favorável, ela não figura na combinação. 9

12 Para o cálculo do esforço resistente R d adoptam-se coeficientes minorativos das propriedades dos materiais com os seguintes valores: γ c = 1,58 ( betão) γ s = 1,15 (aço) Os coeficientes minorativos das propriedades dos materiais, γ m, pretendem ter em consideração: Possibilidade de desvio desfavorável das propriedades dos materiais em relação ao valor característico; Diferença de resistência do material na estrutura comparada com a resistência nos provetes de ensaio; Redução da resistência do material resultante do processo construtivo; Imperfeições na construção. Se para o cálculo dos esforços resistentes e relações constitutivas for utilizada uma análise não linear deverão adoptar-se coeficientes minorativos γ m = 1,0. Só na secção crítica o valor dos esforços últimos deverá ser obtido com os valores de γ c = 1,5 e γ s = 1,15. No caso das lajes, quando seja utilizada análise plástica, a verificação da segurança [2] consiste em satisfazer a condição de o valor de cálculo das acções ser inferior ao valor de cálculo da resistência expressa em termos de acções. Contudo, segundo o REBAP, devem ser respeitadas as condições seguintes: a) Em qualquer ponto e em qualquer direcção, a percentagem de armadura de tracção da laje não deve exceder a que conduz a um valor de x/d igual a 0,25, sendo x a profundidade da linha neutra e d a altura útil da secção; b) Se a determinação for feita por um método estático, a distribuição de momentos considerada não deve diferir sensivelmente da distribuição de momentos elástica; os momentos nos apoios devem ser, pelo menos, metade dos valores dos momentos elásticos, não podendo também ultrapassá-los em mais de 25%; c) Se a determinação for feita por um método cinemático, a relação entre os momentos no apoio e no vão de lajes encastradas ou contínuas deve apresentar, em módulo, um valor compreendido entre 0,5 e 2,0. 10

13 Esforços Actuantes O REBAP, através do artigo 50º, estabelece que a determinação dos esforços actuantes nas lajes deve ser feita tendo em conta as condições de equilíbrio e as de compatibilidade das deformações, podendo, em geral, admitir-se que estas se produzem em regime de elasticidade perfeita e sem ter em conta a presença das armaduras. No caso de lajes contínuas pode proceder-se a uma redistribuição dos esforços obtidos, na hipótese de comportamento elástico perfeito, aumentando ou diminuindo, no máximo de 25%, os momentos nos apoios e numa largura apropriada, desde que os momentos médios no vão, interessando essa mesma largura, sejam ajustados de modo a satisfazer as condições de equilíbrio. Este artigo visa fundamentalmente as lajes maciças; o critérios expostos podem no entanto ser também aplicados às lajes aligeiradas, desde que o seu comportamento global seja sensivelmente análogo ao daquelas lajes Esforços Resistentes Esforços Normais e de Flexão Segundo o REBAP, a determinação do valor de cálculo dos esforços resistentes das secções de elementos sujeitos a tracção, compressão e flexão simples ou, ainda, a flexão composta ou desviada deve ser feita admitindo as seguintes hipóteses: As secções mantêm-se planas na deformação; O betão não resiste à tracção; As relações tensões - extensões de cálculo a adoptar para o betão e para as armaduras ordinárias são as indicadas nas figuras 1.1 e 1.2, respectivamente; A extensão máxima de encurtamento no betão é limitada a 3,5X10-3, excepto quando toda a secção estiver sujeita a tensões de compressão, situação em que tal valor limite variará gradualmente entre 3,5X10-3 e 2X10-3, correspondendo este 11

14 último valor ao caso em que as extensões, logo as supressões, são uniformes em toda a secção; A extensão máxima de alongamento das armaduras é limitada a 10X10-3. BETÃO Tensões σc 0,85 fcd Classe de Betão 0,85 fcd MPa s Extensões εc Fig. 1.1 Relação Tensão Extensão do Betão AÇO 12

15 Tensões σs Áços fsyd MPa α α Extensões εs Fig. 1.2 Relação Tensão Extensão do aço Esforço Transverso Com base no artigo 53º do REBAP, a determinação do valor de cálculo do esforço transverso resistente de elementos sujeitos a flexão simples ou composta (também aplicável a lajes) deve ser efectuada com base na teoria da treliça de Morsch, convenientemente corrigida. Esta teoria pressupõe a possibilidade de formação de, pelo menos, uma treliça de banzos paralelos e com bielas comprimidas de betão inclinadas a 45º, o que obriga a que o espaçamento das armaduras de esforço transverso seja, no máximo, 0,9 d (1 + cotg α), condição esta que corresponde a que qualquer possível fenda a 45º seja atravessada por armadura. Daqui resulta que, para estribos verticais, deverá ser s<0,9 d e para varões inclinados a 45º surge s<1,8 d. Assim, o valor de cálculo do esforço transverso resistente V Rd é obtido pela expressão: V Rd = Vcd + Vwd 13

16 em que : Vcd - é o termo corrector da teoria de Morsch : Vwd - traduz a resistência das armaduras de esforço transverso segundo a mesma teoria. O valor Vcd deve ser determinado do modo seguinte: a) Em geral: Vcd = τ 1 b w d em que: τ 1 - é a tensão cujo valor é dado no quadro 1.1; b w - é a largura da alma da secção; no caso de esta não ser constante, dever-se-á tomar para valor de b w a menor largura existente numa altura de ¾ da altura útil da secção, contada a partir da armadura longitudinal de tracção; d - é altura útil da secção. Nas zonas junto dos apoios e numa distância igual a 2 d, contada a partir do eixo do apoio, o valor de Vcd a considerar pode obter-se a partir do valor definido anteriormente, multiplicando-o pelo factor: Vsd Vsd, red em que: Vsd - é o valor de cálculo do esforço transverso actuante; Vsd,red - é o valor de cálculo do esforço transverso reduzido, considerando que, na zona em causa, as cargas são minoradas na proporção de a/2d, sendo a a distância de cada carga ao eixo de apoio. 14

17 τ 1 0,50 0,60 0,65 0,75 0,85 0,90 1,00 1,10 1,15 LAJES VIGADAS QUADRO 1.1 Esforço transverso Valores da tensão τ 1 (MPa) Classe do Betão B15 B20 B25 B30 B35 B40 B45 B50 B55 Esta correcção, que tem interesse no caso da existência de fortes cargas concentradas, só pode ser utilizada se as cargas são aplicadas de modo a formar biela de compressão diagonal com a reacção de apoio. Além disso, no caso de apoios extremos com liberdade de rotação (ou fraco grau de encastramento), a armadura longitudinal de tracção necessária na secção de aplicação das cargas deve ser prolongada até ao apoio e convenientemente amarrada. No caso de apoios intermédios de elementos contínuos, a armadura de tracção necessária na secção do apoio deve ser prolongada até à secção de aplicação das cargas e amarrada para além dessa secção. b) No caso de lajes sem armadura de esforço transverso, os valores de Vcd devem ser obtidos multiplicando os valores determinados segundo a alínea a) pelo factor: 0,6 (1,6-d) em que d representa a altura útil, expressa em metros, não devendo, em qualquer caso, este factor ser considerado com valor inferior a 0,6. c) No caso de elementos sujeitos a esforços de tracção significativos o termo Vcd deve ser tomado igual a 0, já que não há garantias do contributo das faces de fissura de betão para a absorção desse esforço. O valor de Vwd deve ser determinado pela expressão: 15

18 τ 2 2,4 3,2 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 10,0 LAJES VIGADAS Asw Vwd = 0,9 d ( ) f syd ( 1+ cotgα) sinα S em que : d - é a altura útil da secção; A sw - é a área da secção da armadura de esforço transverso (no caso de estribos, compreende os vários ramos do estribo); S - é o espaçamento das armaduras de esforço transverso; f syd - é o valor de cálculo da tensão de cedência ou da tensão limite convencional de proporcionalidade a 0,2% do aço das armaduras de esforço transverso; α- é o ângulo formado pelas armaduras de esforço transverso com o eixo do elemento (45º α 90º). O valor de cálculo do esforço transverso resistente, determinado de acordo com o descrito anteriormente, deve satisfazer a seguinte condição: V Rd τ 2 b w d em que τ 2 é uma tensão cujo valor é indicado no quadro 1.2 QUADRO 1.2 Esforço transverso Valores da tensão τ 2 (MPa) Classe do Betão B15 B20 B25 B30 B35 B40 B45 B50 B55 16

19 Para o cômputo do valor de b w, o caso da alma da secção conter, a dado nível, varões ou cabos com diâmetro superior a um oitavo da largura da secção a esse nível, deve considerar-se a largura, a esse nível, reduzida de metade da soma dos diâmetros de tais armaduras. Os resultados experimentais [2] mostram que a utilização de estribos (verticais ou inclinados) confere aos elementos melhor comportamento, quer em serviço quer na rotura, do que o emprego de varões inclinados. Tal facto é principalmente devido a que os estribos permitem melhor distribuição da armadura de esforço transverso e asseguram a cintagem e a ligação eficaz da zona comprimida e da zona traccionada do elemento, que constituem os banzos da treliça de Morsch. Devem, portanto, utilizar-se preferencialmente estribos e, se for necessário empregar varões inclinados, é sempre conveniente absorver por estribos uma fracção apreciável do esforço transverso atribuído às armaduras Punçoamento O punçoamento é especialmente relevante nas lajes em que actuem cargas concentradas de valor elevado. O estado último de punçoamento está associado à formação de um tronco de cone [8] que tem tendência para desligar-se do resto da laje (figura 1.3) e resulta da interacção de efeitos de corte e flexão na zona da laje próxima do pilar. Trata-se de um mecanismo de colapso local associado a uma rotura frágil (sem aviso prévio notório) e que pode gerar um colapso progressivo da estrutura, pois a rotura junto a um pilar implica um incremento da carga em pilares vizinhos. Este tipo de rotura tem-se verificado em algumas construções, em especial devido à acção sísmica, tendo como origem cálculos incorrectos ou inexistentes, má betonagem e realização de aberturas não consideradas em projecto. 17

20 PILAR Fendas de flexão que surgem para um nivel de carga baixa LAJE Superficie de LAJE Fig. 1.3 Mecanismo de rotura por punçoamento de um pavimento de laje O artigo 54º do REBAP estabelece que a determinação do valor de cálculo do esforço resistente de punçoamento de lajes sujeitas a forças concentradas pode ser efectuada de acordo com as regras a seguir enunciadas, desde que: 1) as forças não actuem em zonas da laje em que o esforço transverso, devido a outras acções tenha valor importante; 2) nem actuem na proximidade de outras forças concentradas; 3) desde que a área carregada não diste menos de 5 d de um bordo livre (ou do bordo de uma abertura), sendo d a altura útil da laje. O valor de cálculo do esforço resistente de punçoamento, V Rd, no caso de não existirem armaduras específicas para resistir a este esforço, é dado por: em que: V Rd = vrd μ vrd = η σ 1 d sendo: vrd- o valor de cálculo do esforço resistente de punçoamento por unidade de comprimento do contorno crítico de punçoamento; 18

21 μ- é o perímetro do contorno crítico de punçoamento, definido por uma linha fechada envolvendo a área carregada a uma distância não inferior a d/2 e cujo o perímetro é mínimo; η -é o coeficiente cujo o valor é dado por 1,6 d, com d expresso em metros, e que não deve ser tomado inferior à unidade; σ 1 - é a tensão cujo valor é indicado no quadro 1.1. No caso da existência de armaduras específicas de punçoamento, o valor de cálculo do esforço resistente poderá considerar-se igual a quatro terços da componente, normal ao plano da laje, da força resistente de cálculo da armadura (correspondente à tensão f syd, mas não excedendo 350 MPa). Porém, em caso algum, o valor do esforço resistente assim obtido poderá exceder 1,6 vezes o valor obtido pelas expressões anteriores. A verificação da segurança ao punçoamento consistirá em satisfazer, ao longo do contorno crítico, a condição V Rd Vsd, em que Vsd valor de cálculo do esforço actuante de punçoamento por unidade de comprimento do contorno crítico deve ser determinado atendendo às indicações que se seguem. No caso da força de punçoamento vsd actuar sem excentricidade relativamente ao baricentro da área carregada, vsd pode ser considerado constante ao longo do contorno crítico com o valor: Vsd vsd = μ em que μ é o perímetro daquele contorno. Se, porém, a força vsd actuar excentricamente, o valor de vsd é variável ao longo do contorno crítico de punçoamento, podendo considerar-se os seguintes valores para a verificação da segurança: Área carregada de contorno circular (ou assimilável): vsd = Vsd 2 e (1+ ) μ d0 19

22 Área carregada de contorno rectangular: vsd = Vsd ex + ey (1+1,5 ( )) μ (bxby) y); Nestas expressões os símbolos têm o seguinte significado: e excentricidade de vsd (e x e e y são as componentes segundo as direcções x e d 0 diâmetro do contorno crítico (soma da altura útil com o diâmetro da área carregada); b x, b y dimensões do contorno critico medidas segundo as direcções x e y paralelas aos lados da área carregada. Chama-se ainda a atenção para que só haverá em geral que considerar o problema do punçoamento nos seguintes casos: Se a área carregada é circular, o seu diâmetro não excede 3,5 d; Se a área carregada é rectangular, o seu perímetro não excede 11 d, nem excede 2 vezes a relação entre o seu comprimento e a sua largura; Se a área carregada tem outras formas, as suas dimensões não excedem limites obtidos por analogia com os casos anteriores. Fora dos limites indicados haverá em geral que considerar, ao longo do contorno crítico, zonas em que a verificação da segurança deve ser feita pelas regras correspondentes ao punçoamento e zonas em que tal verificação deve seguir as regras especificadas para o esforço transverso. Assim, por exemplo, no caso da área carregada ter forma rectangular muito alongada, pode considerar-se que as zonas de punçoamento se situam apenas junto aos cantos, interessando troços de contorno crítico com um comprimento total que não deverá ser superior a 11 d nem a 6 a + 3 d, sendo a a menor dimensão da área carregada. 20

23 d/2 d/2 d/2 Areas carregadas correntes a Punçoamento d/2 y b x 2 a ; b; 1,4 d b 14d x Esforço transverso simples Areas rectangulares alongadas Fig. 1.4 Contornos críticos de áreas carregadas correntes e de áreas rectangulares alongadas Por outro lado, a actuação de forças concentradas em zonas próximas de bordos livres ou de aberturas deve ser cuidadosamente analisada, considerando contornos críticos de punçoamento. O método utilizado é o método da superfície crítica sendo a verificação da segurança estabelecida por Vsd V Rd, com os esforços actuantes e os esforços resistentes definidos na superfície crítica de punçoamento. As diferenças mais salientes que se verificam em relação às disposições do REBAP surgem na definição da superfície crítica, à distância de 1,5 d das faces do pilar, e também nos valores da tensão de referência para a determinação dos esforços resistentes. Quanto ao problema do punçoamento excêntrico, de difícil abordagem, verifica-se que a aplicação do articulado do REBAP aponta para resultados conservadores sendo, no entanto, omisso nas disposições de armadura para as situações de pilares de canto ou de bordo. 21

24 1.4 - Verificação da Segurança aos Estados Limites de Utilização Segundo o REBAP (artigo 65º), para verificação aos estados limites de utilização (fendilhação e deformação) interessa considerar, de acordo com o RSA [1], estados limites de muita curta duração, de curta duração e de longa duração. A estes tipos de estados limites correspondem, respectivamente, os seguintes tipos de combinações de acções: combinações raras, combinações frequentes e combinações quase-permanentes. A verificação da segurança em relação aos estados limites de utilização deve em geral, ser efectuada em termos dos parâmetros que definem esses estados limites, devendo os valores atribuídos a tais parâmetros ser iguais ou superiores aos valores que eles assumem devido às acções, combinadas e quantificadas. Observe-se que, de acordo com o RSA [1], para os estados limites de utilização os coeficientes de segurança γ f, relativos às acções (permanentes e variáveis), e os coeficientes de segurança γ m, relativos às propriedades dos materiais, devem ser considerados iguais à unidade Estados Limites de Fendilhação Para a escolha dos estados limites de fendilhação, em relação aos quais há que verificar a segurança, interessa considerar a agressividade do ambiente e a sensibilidade das armaduras à corrosão. O REBAP, em relação à agressividade, dá-nos três classificações possíveis: Ambientes pouco agressivos: ambientes em que a humidade relativa é habitualmente baixa e em que não é de esperar a presença de agentes corrosivos (interiores de edifícios de habitação, de escritórios, etc); Ambientes moderadamente agressivos: ambientes interiores em que a humidade relativa é habitualmente elevada ou em que é de esperar a presença temporária de agentes corrosivos; ambientes exteriores sem concentração especial de agentes corrosivos; águas e solos não especialmente agressivos; 22

25 Ambientes muito agressivos: ambientes com forte concentração habitual de agentes corrosivos; líquidos agressivos (águas muito puras, águas salinas, etc); solos especialmente agressivos. Do ponto de vista da sensibilidade das armaduras à corrosão [2], consideram-se, geralmente, como muito sensíveis à corrosão as armaduras com diâmetro inferior a 3 mm e, independentemente do diâmetro, as armaduras de aço endurecido a frio quando submetido permanentemente a tensões de tracção de valor superior a 400 Mpa. De uma maneira geral, podemos considerar como muito sensíveis as armaduras de pré-esforço e como pouco sensíveis as armaduras ordinárias. O artigo 68º do REBAP define os estados limites de fendilhação a considerar para assegurar a conveniente durabilidade das estruturas. Para tal, devem ser escolhidos em relação a cada tipo de combinações de acções (raras, frequentes ou quase-permanentes), tendo em conta a agressividade do ambiente e a sensibilidade das armaduras à corrosão. Os estados limites de fendilhação a considerar podem ser o estado limite de descompressão e o estado limite de largura de fendas. O estado limite de descompressão é o anulamento da tensão normal de compressão devida ao pré-esforço e a outros esforços normais de compressão numa fibra especificada da secção. Em geral, a fibra em causa é a fibra extrema, que, sem considerar a actuação do préesforço, ficaria mais traccionada (ou menos comprimida) por acção dos restantes esforços. O estado limite de largura de fendas é a ocorrência de fendas cujas larguras, a um dado nível da secção, têm valor característico igual a um valor especificado. Em geral, o nível tomado para referência é o das armaduras que, para a combinação de acções em consideração, ficam mais traccionadas. No nosso caso, na análise de armaduras ordinárias, o estado limite a considerar é o de largura de fendas, nas condições indicadas no quadro 1.3. A verificação da segurança em relação à fendilhação em estruturas de betão armado destina-se, fundamentalmente, a garantir que, durante a vida da obra, as armaduras não sofram corrosão que comprometa significativamente a sua resistência. Trata-se, portanto, basicamente, de um problema de durabilidade. Compreende-se por isso a dependência entre os estados limites de fendilhação a considerar e a agressividade do ambiente, a sensibilidade das armaduras à corrosão e a permanência das acções que provocam a fendilhação. 23

26 Além da quantificação dos estados limites, outras exigências devem ser respeitadas, tais como a espessura dos recobrimentos e a composição do betão. O problema da fendilhação pode estar ligado apenas ao tipo de utilização que vai ser dada à estrutura. Note-se que os estados limites de fendilhação considerados dizem fundamentalmente respeito a fendilhação transversal às armaduras de elementos sujeitos a esforços normais e de flexão. A limitação da fendilhação de outros tipos, como, por exemplo, a devida a esforços transversos e de torção, e a que se desenvolve paralelamente às armaduras longitudinais, é assegurada por disposições construtivas apropriadas. As exigências estipuladas relativamente aos estados limites de fendilhação devem, obviamente, ser consideradas como mínimas, podendo justificar-se em muitos casos, até por razões de ordem económica, a imposição de exigências mais severas. QUADRO 1.3 Estados limites de fendilhação Armaduras ordinárias Ambiente Combinações de acções Estado limite Pouco agressivo Frequentes Largura de fendas, w = 0,3 mm Moderadamente Agressivo Frequentes Largura de fendas, w = 0,2 mm Muito agressivo Raras Largura de fendas, w = 0,1 mm A segurança em relação ao estado limite de largura de fendas considera-se satisfeita se o valor característico da largura das fendas, ao nível das armaduras mais traccionadas, não exceder o valor de w. 24

27 A determinação daquele valor característico, w k, pode ser efectuada pelas expressões seguintes: w k = 1,7 w m w m = S r m E s m em que: w m -é o valor médio da largura das fendas; S r m - é a distância média entre fendas; E sm - é extensão média da armadura. No caso de elementos sujeitos a tracção ou a flexão, simples ou composta, a distância média entre fendas e a extensão média da armadura podem ser calculadas do modo a seguir indicado: a) Distância média entre fendas: S rm = 2 (c + 10 s ) + η1 η 2 φ ρr em que: c - é o recobrimento da armadura; s - é o espaçamento dos varões da armadura e deve ser considerado a 15φ quando o espaçamento exceder este limite; η 1 - é o coeficiente dependente das características de aderência dos varões, que deve ser tomado igual a 0,4 para varões de alta aderência e igual 0,8 para varões de aderência normal. Contudo, para este efeito, os varões de aço A 400 EL e as redes electrossoldadas de aço A 500 EL podem ser considerados como de alta aderência; η 2 - é o coeficiente dependente da distribuição de tensões de tracção na secção, dado por: ε1 + ε η 2 = 0,25 ( 2ε1 em que: ε 1 e ε 2 - são, respectivamente, as extensões aos níveis inferior e superior da área do betão envolvente da armadura, calculadas em secção fendilhada; 2 ) 25

28 φ - é o diâmetro dos varões da armadura; ρ r - é a relação As, em que As é a área da secção da armadura (excluindo as Ac, r armaduras pós-tensionadas); A c,r - é a área da secção do betão traccionado envolvente da armadura, sendo a área A c,r definida como o somatório das áreas de influência de cada varão e com lado igual, no máximo, a 15φ e deve ser limitada pelo contorno da secção, não devendo sobrepor-se às áreas de influência de varões contíguos e, além disso, as áreas de influência devem situar-se totalmente na zona traccionada da secção (figura 1.5). Ac,r = Σ Aci,r 7,5 Ø Ac1,r Ac2,r Ac3,r ε h-x ε 7,5 Ø 15 Ø 7,5 Ø h - altura da secção x - profundidade da linha neutra calculada em secção fendilhada Fig. 1.5 Área A c,r b) Extensão média das armaduras traccionadas: σ s σ sr ε sm = ( ) [1 - β1 β 2 ( ) 2 ] Es σs em que: σ s - é a tensão de tracção na armadura, correspondente ao esforço resultante da combinação de acções em causa, devendo esta tensão ser calculada em secção fendilhada; 26

29 E s - é o módulo de elasticidade do aço; σ sr - é a tensão de tracção na armadura, calculada em secção fendilhada, correspondente ao esforço que provoca o início da fendilhação e este esforço é o que, em secção não fendilhada, conduz a uma tensão de tracção máxima no betão de valor f ctm ; β 1 - é o coeficiente dependente das características de aderência dos varões da armadura, que deve ser tomado igual à unidade para varões de alta aderência e igual a 0,5 para varões de aderência normal, contudo, para este efeito, os varões de aço A 400 EL e as redes electrossoldadas de aço A 500 EL podem ser considerados como de alta aderência; β 2- é o coeficiente dependente da permanência ou da repetição das acções, que deve ser tomado igual a 0,5 no caso de combinações frequentes ou quase permanentes e igual a 1,0 no caso de combinações raras de acções. Considera-se satisfeita a verificação da segurança em relação ao estado limite de largura de fendas, quando se trate de armaduras ordinárias e de ambientes pouco agressivos ou moderadamente agressivos, desde que se cumpra o espaçamento máximo dos varões, conforme tabela do REBAP. Uma análise mais profunda das formulações apresentadas, encontra-se desenvolvido na sebenta de vigas, sendo a sua aplicação ao caso de lajes legitima Estados Limites de Deformação Com base no artigo 72º do REBAP, conseguimos definir os estados limites de deformação a considerar. Estes valores limites dependem do tipo de estrutura e das condições da sua utilização, devendo, portanto, ser convenientemente estabelecidos em cada caso. 27

30 Nos casos correntes de lajes de edifícios, a verificação da segurança poderá limitar-se à consideração de um estado limite definido por uma flecha igual a 1/400 do vão para combinações frequentes. Porém, se a deformação do elemento afectar paredes divisórias, e a menos que a fendilhação dessas paredes seja contrariada por medidas adequadas, aquela flecha não deve ser tomada com valor superior a 1,5 cm. Esta verificação encontra-se satisfeita, de uma maneira geral, se se cumprir a seguinte condição: li h 30η em que : h a espessura da laje; li como o vão equivalente da laje, sendo li=α.l em que o l é o vão teórico (no caso de lajes armadas em duas direcções deverá tomar-se para l o menor vão) e α um coeficiente cujos valores se apresentam no quadro 1.5 para os casos mais frequentes; e η como um coeficiente que depende do aço utilizado e cujos valores se apresentam no quadro 1.4. No caso de lajes cuja deformação afecte paredes divisórias, a menos que a fendilhação dessas paredes seja contrariada por outras medidas adequadas, além da condição dada pela expressão anterior, deverá ser respeitada a relação: li h 180 ( ).η li em que li e h são expressos em metros. QUADRO 1.4 Valores do coeficiente η Tipo de Aço Valor de η 28

31 A235 1,4 A400 1,0 A500 0,8 QUADRO 1.5 Espessura mínima das lajes Valores do coeficiente α Tipo de Laje α Simplesmente apoiada, armada numa só direcção 1,0 Duplamente encastrada, armada numa só direcção 0,6 Apoiada num bordo e encastrada no outro, armada numa só direcção 0,8 Em consola (sem rotação no apoio), armada numa só direcção 2,4 Simplesmente apoiada, armada em duas direcções 0,7 Duplamente encastrada, armada em duas direcções 0,5 No Quadro 1.5 indicam-se os valores máximos de l/h para lajes armadas numa direcção e em cruz. Verifica-se que estes valores são excessivos, não garantindo em algumas 29

32 situações correntes a limitação da deformação a l/400 para as combinações frequentes de acções [2]. Alguma bibliografia [6] indica que na fórmula apresentado o valor de 30 deverá ser substituído por 21, para se assegurar uma limitação de deformação. Fig. 1.6 Laje armada numa e em duas direcções: representação esquemática No caso de lajes que estão sujeitas à actuação de cargas concentradas intensas, a espessura destas é por vezes condicionada por problemas de punçoamento. Na determinação das curvaturas necessárias ao cálculo das rotações e das flechas de lajes sujeitas a flexão simples ou composta, devem ser devidamente considerados os comportamentos em fase fendilhada e não fendilhada. 30

33 A fase fendilhada pode, convencionalmente, considerar-se como tendo início para um valor da tensão de tracção no betão igual ao valor médio da tensão de rotura por tracção, f ctm, definidos no artigo 16º do REBAP e quadro 1.6 que se apresenta. Na fase fendilhada deve ser tida em conta a contribuição do betão entre fendas através da consideração de uma extensão média das armaduras calculada através da seguinte expressão: σ s σ sr ε sm = ( ) [1 - β1 β 2 ( ) 2 ] Es σs QUADRO 1.6 Valores médios da tensão de rotura do betão à tracção simples, f ctm (Mpa) Classe do Betão B15 B20 B25 B30 B35 B40 B45 B50 B55 f ctm 1,6 1,9 2,2 2,5 2,8 3,1 3,4 3,7 4,0 Na determinação das curvaturas correspondentes a acções que se exercem durante intervalos de tempo relativamente longos, devem considerar-se devidamente os efeitos da fluência e da retracção do betão. As curvaturas 1/r são definidas pela expressão: em que : εc εs 1 = r d 31

34 εc e εs- são, respectivamente, a extensão no betão ao nível da fibra mais comprimida da secção e a extensão na armadura mais traccionada (ou menos comprimida), consideradas com os respectivos sinais. Nas zonas não fendilhadas, aquelas extensões são determinadas admitindo que o comportamento dos materiais é elástico perfeito e que o betão resiste à tracção. Nas zonas fendilhadas, admitir-se-á também comportamento elástico perfeito dos materiais, desprezarse-á a resistência à tracção do betão e a extensão εs será tomada com o valor εsm. A curvatura total ao fim do tempo t, devida a acções permanentes e variáveis, pode ser calculada pela soma da curvatura elástica (correspondente ao instante em que são aplicadas as acções) e das curvaturas devidas à fluência e à retracção do betão. A determinação da curvatura devida à fluência apresenta, contudo, dificuldades decorrentes não só do deficiente conhecimento dos efeitos dos numerosos parâmetros que condicionam a fluência do betão simples mas também devido aos efeitos resultantes da presença de armaduras. Porém, nos casos correntes, esta parcela da curvatura pode ser determinada, de modo simplificado, pela diferença entre a curvatura ao fim do tempo t devida apenas à parte permanente das acções e à curvatura elástica correspondente a esta mesma parte das acções. No que respeita à curvatura devida à retracção, a considerar nos casos em que tal seja pertinente, deve ter-se em conta não só a retracção livre do betão mas também os efeitos devidos à presença de armaduras aderentes (traccionadas e comprimidas). É interessante chamar ainda a atenção para o facto de os valores calculados das deformações poderem diferir sensivelmente dos valores reais, particularmente nos casos em que os valores dos momentos actuantes são vizinhos dos momentos de fendilhação. O desvio entre o valor calculado e o valor real depende, entre outros factores, da dispersão das características dos materiais, do meio ambiente e das condições e história da aplicação das acções. 32

35 Também aqui, um estudo mais completo sobre a problemática da deformação em peças de betão poderá ser encontrada na sebenta de vigas. Contudo, neste caso dever-se-á aplicar as devidas alterações para lajes, sobretudo quando estas forem armaduras em mais do que uma direcção. De facto, não será propriamente da laje ser armada em mais do que uma direcção o factor importante, a relevância esta na situação do tipo de apoio ser em mais de dois bordos, perdendo-se a aproximação ao efeito de viga. De qualquer modo, assemelhar comportamento de uma laje de uma viga resulta sempre em valores conservativos, do lado da segurança, portanto. 33

36 CAPITULO 2 LAJES MACIÇAS 2.1-Generalidades Consideram-se como lajes os elementos laminares planos sujeitos a acção dirigidas principalmente na normal ao plano médio, causando flexão transversal, e com largura b excedendo 5 vezes a sua espessura (b > 5h). Neste capítulo irá se referir as regras referentes fundamentalmente a lajes rectangulares de espessura constante, armadas numa só direcção ou em duas direcções ortogonais, e sujeitas predominantemente a cargas distribuídas; mediante adequadas adaptações, poderão também estas regras ser aplicadas a lajes com outras características. A conveniência da armação (numa ou em duas direcções) das lajes está directamente relacionada com a proporção entre os vãos, as condições de apoio e o tipo de carga aplicada. Contudo, em condições correntes, é recomendável que as lajes cujo vão maior não exceda duas vezes o vão menor (apoiadas em 4, 3 ou 2 bordos adjacentes) sejam armadas em duas direcções Condições de Apoio e Simbologia de Cálculo As condições de apoio correntes são habitualmente representadas esquematicamente (figura 2.1). Refira-se que o bordo com continuidade não é rigorosamente encastrado, obviamente, apresentando uma relativa rigidez à flexão. 7

37 Fig. 2.1 Representação esquemática das condições de apoio (representação de cálculo) 8

38 Relativamente à simbologia de cálculo é usual, nas lajes, designar-se por momento m x o esforço que produz tensões normais de flexão segundo o eixo x (figura 2.2) e não aquele cujo vector tem a orientação desse eixo (convenção adoptada pela resistência de materiais). Fig. 2.2 Convenção para o momento flector numa laje As lajes podem estar sujeitas a cargas concentradas, a cargas de faca e a cargas distribuídas (figura 2.3), sendo os esforços internos, momentos e esforços transversos, medidos por unidade de largura. Pelo facto de serem esforços distribuídos por unidade de comprimento são, em geral, representados por letras minúsculas (por exemplo, m x e v x ). A diferença fundamental de comportamento entre uma peça linear e uma laje devese ao efeito bidimensional que as segundas apresentam, conforme se ilustra na figura 2.4 para uma laje rectangular simplesmente apoiada em todo o contorno. Enquanto na viga as 9

39 cargas são transmitidas aos apoios apenas numa direcção, na laje essa transmissão pode ser feita em duas direcções. Fig. 2.3 Carga concentrada de faca e distribuída Fig. 2.4 Ilustração dos comportamentos uni e bidimensional de uma viga e de uma laje 10

40 1. Laje apoiada numa direcção e com bordos livres na outra A laje fica sujeita a um estado de flexão cilíndrico (curvatura nula segundo a direcção y, figura 2.5) sendo o seu comportamento semelhante ao de uma viga com o mesmo vão. Fig. 2.5 Laje apoiada numa direcção e com bordos livres na outra 11

41 Na figura 2.6 está representada a deformação da secção transversal de uma viga submetida a um momento flector positivo. Podendo a laje ser entendida como um conjunto de vigas ou faixas justapostas lateralmente. A deformação transversal, ε t, de cada faixa é impedida pelas faixas adjacentes, figura 2.7, dando origem a tensões σ t segundo a direcção ao vão; isto é : ε a t - ε a t = 0 - ν ε l σ t / E = 0 σ t = ν σ l Deformação longitudinal de uma viga flectida Encurtamento Deformação transversal de uma viga flectida Alongamento Encurtamento Alongamento Fig. 2.6 Deformação transversal da secção de uma viga sujeita a um momento 12

42 Fig. 2.7 Ilustração do efeito dos esforços na direcção principal e na direcção transversal Estas tensões produzem um momento flector na direcção perpendicular ao vão M y = ν M x fazendo com que a laje tenha uma rigidez maior do que um conjunto equivalente de vigas justapostas de igual altura, bem como, a possibilidade de distribuir esforços lateralmente. 2. Laje apoiada nos quatro bordos com um lado muito maior que o outro A zona central fica sujeita a um estado de flexão cilíndrico, existindo uma perturbação, que, em geral, não é significativa, nas extremidades A e C, devido à influência dos apoios, como podemos verificar na figura

43 Flexão proporcional na direcção de X e Y da laje Momento em X (vão menor) é mais elevado do que o momento em Y (vão maior) Fig. 2.8 Laje apoiada em todo o contorno com um vão muito maior que o outro 3. Laje apoiada nos quatro bordos com lados de comprimento semelhante O comportamento qualitativo deste tipo de laje pode ser compreendido a partir da analogia com uma grelha (figura 2.9). A compatibilização dos deslocamentos verticais no ponto de intersecção das vigas (E), implica que a parcela da carga P absorvida pela viga de menor vão AB, seja superior à absorvida pela viga CD, uma vez que a rigidez vertical desta é inferior à da viga AB. Esta conclusão pode também ser obtida tendo em conta que, sendo as curvaturas da barra AB maiores, também o serão os momentos (M = EI.1/R). De facto, numa laje rectangular apoiada em todo o contorno, os maiores esforços surgem segundo a direcção do menor vão. Esta circunstância está na base do método das bandas, que efectua uma distribuição da carga para cada direcção da laje, em função da relação entre vãos e condições dos seus apoios. 14

44 ly ly aje lx < ly lx Grelha secção das Vigas ocamentos Verticais Fig. 2.9 Analogia do comportamento de uma laje com uma grelha A observação experimental constitui a melhor forma de verificação do comportamento dos elementos estruturais de betão armado, permitindo a aferição e determinação dos limites de validade dos modelos analíticos utilizados. Na figura 2.10 indica-se, esquematicamente, o comportamento de uma laje até à rotura, podendo distinguir-se várias fases: a) Fase elástica Estado I o modelo elástico linear do comportamento da laje é exacto; 15

45 b) Fase fendilhada Estado II o modelo elástico é válido, embora não exacto, para o cálculo dos esforços, devendo ter-se em conta o efeito da fendilhação na deformação; c) Fase de plastificação as fendas concentram-se em bandas (charneiras plásticas), podendo a distribuição de esforços afastar-se significativamente da distribuição elástica; d) Fase de rotura deformação por rotação em torno das charneiras plásticas (ou linhas de rotura) e esmagamento do betão válida a Teoria da Plasticidade. Laje Zona em serviço mais utilizada Início da fendilhação Cedência das armaduras Fase fendilhada - (Estado II) Fase de rotura Fase de plastificação Fase elástica - (Estado I) (t=0) P - Variação das cargas aplicadas à laje (t=0) - Variação da tensão provocada pela laje Fig Comportamento de uma laje até à rotura 16

46 Comportamento resistente de lajes armadas numa direcção O comportamento resistente da lajes como amostra a figura 2.11 pretende ilustrar o comportamento resistente e esquema de rotura de lajes, que em geral não têm armaduras de esforço transverso. Surgem no início do estado II as primeiras fendas de flexão perpendiculares ao plano da laje. Com o aumento das cargas estas fendas de flexão na zona onde existe esforço transverso de corte começam-se a inclinar e a rotura atinge-se com a formação de uma fenda muito inclinada (quase horizontal) que partindo de próximo do apoio vai reduzir acentuadamente o banzo comprimido (figura 2.11 a). Vemos assim que aquando da rotura o esforço tracção no banzo traccionado aumenta muito até à proximidade do apoio (figura 2.11 b). Compreende-se a vantagem de no caso de lajes sem armaduras de corte prolongar até aos apoios uma parte considerável das armaduras no vão ( ver esquema de rotura, tipo arco atirantado, figura 2.1 c). A translação do diagrama de momentos é tomada neste caso (artº 106 do REBAP) igual a 1,5 vezes a altura útil: a) b) 17

47 c) ZA,U d) Fig Comportamento resistente e esquema de rotura de lajes sem armadura de corte Comportamento resistente de lajes rectangulares armadas em duas direcções As lajes apoiadas em duas direcções transmitem as cargas aos apoios pelo caminho mais curto, através da flexão em duas direcções. O comportamento resistente depende muito da relação entre os lados da laje e das condições de apoio como é ilustrado na figura 2.10 para lajes rectangulares apoiadas no contorno. As linhas de direcção dos momentos principais (para o estado não fendilhado), representados na figura determinam muito aproximadamente o desenvolvimento das fendas nas lajes. Nas regiões dos cantos, estas linhas desenvolvem-se ao longo das bissectrizes dos ângulos (45º - momentos negativos) e na direcção perpendicular (135º - momentos positivos). 18

48 Momentos Principais positivos (tracção na face inferior da laje) Momentos Principais negativos (tracção na face superior da laje) _. _. _. _. _. _. Mudança de sinal dos momentos principais Figura 2.12 Direcções dos momentos principais de lajes rectangulares com cargas distribuídas: a) apoiada no contorno b) encastrada no contorno 19