CONCEPÇÕES DE MATEMÁTICA E IMPLICAÇÕES PARA O ENSINO Z A Q U E U V I E I R A O L I V E I R A

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1 CONCEPÇÕES DE MATEMÁTICA E IMPLICAÇÕES PARA O ENSINO Z A Q U E U V I E I R A O L I V E I R A

2 CONCEPÇÕES DE MATEMÁTICA AO LONGO DA HISTÓRIA... Ciência o matemático das quantidades estuda noções obtidas por abstração (de fato, Platão: estuda diferencia suprimindo as grandezas todos percebidas os aspectos pelos sensíveis, sentidos como das o peso ideais e a leveza, a dureza e seu contrário, o calor e o frio, Aristóteles: e as demais mundo sensível contrariedades e mundo inteligível sensíveis. Enquanto que deixa Kant: na somente matemática, o quantitativo a construção e de o contínuo, conceitos só seja é em uma possível ou em por duas meio ou da em intuição três dimensões, a priori do espaço, assim ou como seja, o as conhecimento das quantidades propriedades que possuem enquanto são quantidades e magnitudes continuas, e não as estuda segundo nenhum outro aspecto. Em alguns casos estuda as posições recíprocas e as propriedades que lhes correspondem, e em outros casos estuda as comensurabilidades e as incomensurabilidades, e em outros as proporções...) Aristóteles

3 CONCEPÇÕES DE MATEMÁTICA AO LONGO DA HISTÓRIA Ciência das relações Matemática ligada à lógica Raízes dessa concepção em Renè Descartes Essa concepção se propaga quando a lógica utiliza-se do cálculo numérico Henri Poincarè afirma que a ciência é um sistema de relações e que seria vão buscar a objetividade nas ciências isoladas Logicismo: Deve-se construir uma lógica exata, para em seguida extrair a matemática. Primeiro, defini-se todos os conceitos da matemática (aritmética, álgebra e da análise) em termos de conceitos de lógica e, em seguida, deduz-se todos os teoremas da matemática a partir dessas definições e por meio dos princípios da própria lógica

4 CONCEPÇÕES DE MATEMÁTICA AO LONGO DA HISTÓRIA Todas essas ciências particulares chamadas comumente matemáticas;... embora seus objetos sejam diferentes todas coincidem em só considerarem as diversas relações e proporções que neles se encontram. Renè Descartes

5 CONCEPÇÕES DE MATEMÁTICA AO LONGO DA HISTÓRIA A matemática é um método lógico...a proposição matemática não exprime pensamento algum. De fato, nunca precisamos de proposições matemáticas na vida, mas as empregamos apenas com o fim de, a partir de proposições que não pertencem á matemática tirar conclusões que se expressam em proposições que tampouco lhe pertencem. Ludwig Wittgenstein

6 CONCEPÇÕES DE MATEMÁTICA AO LONGO DA HISTÓRIA Ciência do possível Possível: buscar aquilo que não é contraditório Essa concepção não relaciona a matemática à lógica David Hilbert e a axiomatização da matemática Kurt Gödel pôs em dúvida a não-contradição da matemática, afirmando que só conseguimos fazer isso em partes

7 CONCEPÇÕES DE MATEMÁTICA AO LONGO DA HISTÓRIA A matemática pode ser construída como simples cálculo, sem exigir interpretação alguma. Torna-se, então, um sistema axiomático no qual: 1º todos os conceitos básicos e todas as relações básicas devem ser completamente enumerados, integrando-se neles, por meio de definição, quaisquer conceitos ulteriores; 2º os axiomas devem ser completamente enumerados e destes deduzidos todos os outros enunciados em conformidade com as relações básicas... A matemática constitui, então, um sistema perfeitamente autônomo... e desenvolve-se em todas as direções possíveis... e que não levem a contradições. (ABBAGNANNO, 2007, p. 644)

8 MATEMÁTICA X REALIDADE A matemática supera o real? A matemática é somente uma linguagem para descrever a realidade ou a ela está associado a algum conteúdo intrínseco? Toda a realidade é matematizável ou haverá partes da realidade que a matemática não atinge?

9 ABSTRATO X CONCRETO TEORIA X PRÁTICA O que é o concreto na matemática? As abstrações matemáticas são mais ricas que a realidade? Seria possível à atividade teórica desvincular-se intencionalmente da atividade prática na matemática? O que uma distinção entre matemática pura e matemática aplicada implica?

10 COMO RESPONDER A ESSAS QUESTÕES? Respostas do tipo sim ou não podem levar a respostas triviais Respostas definitivas implica num modo de pensar que se fundamenta numa estreita lógica formal. Isso pode conduzir a nada ou, dependendo do modo como se argumenta, pode-se concluir qualquer coisa.

11 A MATEMÁTICA É INDEPENDENTE DO EMPÍRICO Como pode a matemática, sendo acima de tudo um produto do pensamento humano, independente da experiência, se adaptar tão admiravelmente à realidade objetiva? Albert Einstein Final do século XIX matemática vista com independente do empírico

12 A MATEMÁTICA É INDEPENDENTE DO EMPÍRICO O matemático é o criador do próprio universo matemático Somos de raça divina e possuímos o poder de criar Richard Dedekind Deus fez os inteiros, todo o resto é trabalho do homem Leopold Kronecker

13 DEPENDÊNCIA X INDEPENDÊNCIA DO MUNDO EMPÍRICO Exemplos históricos de descobertas de teoremas sugeridos anteriormente pelo empírico: Teorema de Pitágoras Newton, Kepler, Tycho Brahe e Galileu Limite estabelecidos para as raízes empíricas e a esforço de novidade Física de Newton Física de Einstein

14 O ESFORÇO DE NOVIDADE DE BACHELARD E A CONCEPÇÃO IDEALISTA DE MATEMÁTICA O esforço de novidade surge colocando-se em dúvida e rompendo com o significado inicial dos conceitos Idealismo: a razão determina o real, ou seja, o real passa a ser um caso particular do possível "Denomina-se idealista quem admite que os corpos têm somente existência ideal em nosso espírito, negando assim a existência real dos próprios corpos e do mundo Christina Wolff

15 O ESFORÇO DE NOVIDADE DE BACHELARD E A CONCEPÇÃO IDEALISTA DE MATEMÁTICA Aquele que admite neste mundo somente espíritos é um idealista Alexander Gottlieb Baumgarten Idealismo é a teoria que declara que os objetos existem fora do espaço ou simplesmente que sua existência é duvidosa e indemonstrável, ou falsa e impossível Immanuel Kant

16 A MATEMÁTICA É OU NÃO É INDEPENDENTE DO EMPÍRICO? Platão Mundo real e mundo ideal Kant Matemática como construção de conceitos Aristóteles Coisas sensíveis e coisas inteligíveis Bachelard Matemática, história e obstáculos epistemológicos

17 PENSAMENTO MATEMÁTICO E EXPERIÊNCIA As abstrações matemáticas possuem uma raiz empírica, mesmo que aqueles que as manipulam não tenham total consciência Vulgarização da geometria e as tentativas de se afastar do empírico Real como subproduto da imaginação e o distanciamento do concreto A atividade do matemático é livre e desinteressada Em toda construção abstrata há um resíduo intuitivo (da experiência concreta) que é impossível eliminar Ferdinand Gonseth

18 A MATEMÁTICA É O ESTUDO DAS ESTRUTURAS ABSTRATAS A abstração constitui-se matéria-prima para a matemática pura O maior equívoco, segundo Machado (2013), é a desvinculação entre abstrato e concreto Empírico Teórico Concreto Abstrato

19 Empírico Teórico Sensorial Racional O pensamento, através do sensório-material, busca o racional O conhecimento proveniente das coisas sensíveis gera o senso comum O conhecimento científico provém do sensível, mas também da interpretação e da análise do que se observa

20 Empírico Teórico Sensorial Racional No empírico, o objeto é representado somente através de suas manifestações mais significativas O conhecimento teórico se origina à partir de uma elaboração racional dos dados do empírico Existem situações em que o teórico é que passa a originar o empírico

21 Empírico Teórico O real sincrético não pode ser confundido com o real produzido pelo teórico Real Sincrético Real Teórico O real teórico também não pode reger o real

22 Abstrato Concreto Pensamento Teórico Experiência Sensorial Pensar que o concreto conduz ao abstrato leva a um beco sem saída : as abstrações são cada vez mais distantes do real Há o caminho de ida e de volta do abstrato ao concreto, porém é preciso discernir o concretoponto de partida (multifacetado) do concretoponto de chegada (reduzido a uma representação do real) O pensamento se afasta do concreto para que, em seguida, aproxime-se dele novamente

23 Grande parte das dificuldades especiais que são atribuídas ao conhecimento matemático decorre justamente do fato de a matemática ser considerada o lugar das abstrações, é consequência disso. Entretanto, não são suas características intrínsecas que a empurram para o terreno das abstrações, mas sim as características, digamos, impostas, ou que nos acostumamos a associar-lhes. Quando considerada de um ponto de vista epistemológico mais consistente, a matemática é o lugar das abstrações tanto quanto o são a Música, ou a Literatura, por exemplo. (MACHADO, 2013, p )

24 A MATEMÁTICA ENSINA A PENSAR Pensar (v. trans. e intrans.): pensa-se em alguma coisa ou alguma coisa, e de alguma forma Pensamento Latu Sensu Processo autônomo em relação á linguagem Relações entre conceitos decorrem de suas identidades Pensamento Matemático-Formal Linguagem como condição de legitimidade Relações determinam os conceitos

25 "Do mesmo modo que todo mundo há de aprender a linguagem e a escrita antes de poder servir-se livremente delas para a expressão de seus sentimentos, aqui só há urna maneira de eludir o peso das fórmulas. E esta consiste em adquirir tal domínio do instrumento [...] que, sem trava alguma da técnica formal, possamos encarar os verdadeiros problemas... Hermann Weyl

26 PENSAMENTO E LINGUAGEM O pensamento se processa através de operações que podem ser inexprimíveis Mas, o pensamento não pode estar desligado da linguagem, de modo que, um pensamento mal comunicado acaba sendo perdido O pensamento matemático caracteriza-se pelas relações; o todo dá significado às partes Concluindo, podemos dizer que a matemática ajuda a pensar assim como a física, a história, a biologia, assim como pensar ensina a pensar (MACHADO, 2013, p. 99).

27 CONCEPÇÕES DE MATEMÁTICA E IMPLICAÇÕES PARA O ENSINO A matemática é independente do empírico A matemática é o estudo das estruturas abstratas A matemática ensina a pensar A matemática é estática, a-histórica e dogmática O professor de matemática é o portador do verdadeiro matemático A matemática é um conhecimento para gênios

28 CONCEPÇÕES DE MATEMÁTICA E IMPLICAÇÕES PARA O ENSINO Particular Geral Conhecido Desconhecido Concreto Abstrato

29 CONCEPÇÕES DE MATEMÁTICA E IMPLICAÇÕES PARA O ENSINO A resolução de problemas enfatiza a manipulação de material concreto ou manipulativo como precedentes às operações formais da matemática, buscando a significação do conteúdo A matemática sendo concebida como um sistema de conceitos/ideias inter-relacionadas deve ser organizada de modo que os alunos sempre tenham conhecimento dos conteúdos pré-requisitos

30 CONCEPÇÕES DE MATEMÁTICA E IMPLICAÇÕES PARA O ENSINO Há uma estreita relação entre a concepção de matemática do professor e a prática pedagógica Contudo, não é frutífero limitar a concepção de matemática do professor, mas deve-se permitir que ele possa atuar em práticas diferentes, de acordo com a necessidade

31 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ABBAGNANNO, Nicolá. Dicionário de Filosofia. São Paulo: Martins Fontes, BARALDI, Ivete Maria. Refletindo sobre as Concepções de Matemática e suas Implicações para o Ensino diante do ponto de vista dos alunos. Mimesis. v. 20, n. 1, p. 7-18, MACHADO, Nilson José. Alguns lugares-comuns: crítica. In: Matemática e Realidade: das concepções às ações docentes. 8ª ed. São Paulo: Cortez, 2013.