Seminário de Dinâmica Orbital I

Transcrição

1 Seminário de Dinâmica Orbital I Métodos de Monte Carlo Alunos Carlos H. G. Hassmann Álvaro de A Arraes Prof. - Mário C. Ricci

2 Sumário -Introdução -Breve Histórico -Definição -Utilização -O método -Componentes -Comparação com métodos numéricos -Conforme - Aerospace Vehicle Control (desvantagens)

3 Introdução Breve histórico: - Técnica que vem sendo usada há séculos. - Somente, porém, nas últimas décadas ganhou maior importância. - Teve grande importância durante a Segunda Guerra Mundial - Pesquisas relacionadas com a difusão aleatória de nêutrons, tendo em vista a impossibilidade de reproduzir situações reais. - Tem seu nome inspirado em jogos de azar - Um dos pesquisadores do Projeto Manhattan gostava de poker. A simulação estatística tem similaridade com jogos de azar e Monte Carlo é uma cidade com muitos cassinos, logo chegou-se a esse nome.

4 Introdução Breve histórico: - A invenção do método como uma disciplina da matemática tem sues créditos a Enrico Fermi, von Neumann e Ulam. - A partir de 1950 é dado início ao MCNP :A General Monte Carlo Code for N-Particle Transport

5 Introdução Definição: - De forma bastante ampla, podemos definir as Técnicas de Monte Carlo como sendo estudos de simulação para obtenção de aproximações de variáveis de interesse, visando reproduzir, em um ambiente controlado, o que se passa no mundo real. Utilização: - As técnicas de Monte Carlo são amplamente utilizadas na Engenharia de Avaliações, notadamente na geração de cenários probabilísticos, quando da avaliação de empreendimentos de base imobiliária e de base industrial. Outra aplicação é na geração de amostras do mercado imobiliário, para validação dos modelos probabilísticos

6 Introdução Utilização: - Usado para simulação de sistemas físicos complexos e para sistemas de jogos eletrônicos também. -A analogia a jogos é muito boa, mas na verdade o jogo costuma ser um sistema físico onde o prêmio é a solução e a ciência o ganhador. -Projeto de reações nucleares. -Radioterapia para tratamento de câncer. -Fluxo de tráfego. -Economia. -Projetos de circuitos VLSI.

7 Introdução Exemplo: valor de pi. - O exemplo mais simples do uso consiste na técnica de contagem de acertos (hit and miss). Um exemplo interessante é o cálculo de pi. A estimativa do valor de pi seria, então: Área do quadrado = r 2 Área do quadrante do circulo = 0,25. pi. r 2 Considerando que tomemos aleatoriamente (distribuição uniforme) pontos dentro do quadrado, a relação entre os pontos dentro do quadrante e o total de pontos será dado pela relação das áreas. estimativa (pi) = 4. número de pontos no quadrante / número total de pontos.

8 Introdução Exemplo: valor de pi A contagem de acertos no quadrante poderia ser feita da seguinte forma:

9 Introdução Exemplo: Agulhas de Buffon (Buffon s Needles) Buffon ( ) descobriu que se tivermos uma grade uniforme de linhas paralelas, distantes uma da outra de d, e, se jogarmos uma agulha de comprimento l < d sobre a grade, a probabilidade de que a agulha cruze uma linha é dada por:

10 Introdução Exemplo: Agulhas de Buffon (Buffon s Needles)

11 Componentes -Função de distribuição de probabilidade -Gerador de números aleatórios -Regra de amostragem -Faixa de saídas -Técnicas de redução de variância (erro) -Paralelização e vetorização

12 Ilustração da simulação de um sistema físico:

13 Função de distribuição de probabilidade -Para haver a simulação necessitamos da função de densidade de probabilidade (pdf probability density function). - A pdf descreve o comportamento do sistema físico ou matemático. -Se busca a pdf com base em dados experimentais e teóricos Exemplo de uma pdf : -Uma pdf que descreva o transporte de 2 nêutrons de MeV em um tanque de água necessitará amostrar a distância que o nêutron atinge antes de colidir com uma molécula de água.

14 Variáveis Aleatórias Funções de Probabilidade Definição - Número real x i - Está ligado a uma evento E i - É aleatório, pois E i é aleatório - É dito variável, pois seu valor varia sobre o eixo real Utilidade: - Permitem a quantificação do processo aleatório - Podemos relacionar valores numéricos a eventos não numéricos. -x i está relacionada a E i que tem uma probabilidade p i

15 Variáveis Aleatórias Funções de Probabilidade Geração - Necessidade de uma fonte geradora - A fonte segue um algoritmo de geração - Os números devem estar dentro de um intervalo que contemple a pdf - A geração deve ser rápida para dar versatilidade ao método

16 Regra de amostragem -A regra de amostragem nada mais é do que uma orientação à geração dos números aleatórios. -Essa regra está relacionada diretamente à pdf -Garante que a geração de números aleatórios seja feita dentro de um intervalo correto e coerente com relação à pdf

17 Fontes de números aleatórios Usualmente três métodos são usados para obtenção de números aleatórios: -Tabelas de números aleatórios publicadas. -Geradores de números aleatórios. -Geradores de números pseudo aleatórios

18 Tabelas de números aleatórios - Geradas a partir de experimentos reais (tirar números de uma cesta, roleta, etc). É necessário testar as seqüências geradas.

19 Geradores de números aleatórios -Acoplar a um computador uma roleta eletrônica. -Medir o nível de ruído de uma válvula a vácuo. Muitas válvulas em paralelo poderiam gerar uma seqüência a cada período T, medindo o número de vezes que o ruído ultrapassa algum limiar. Se a contagem for par, escolher 0, se a contagem for ímpar, escolher 1. -É difícil testar a qualidade da seqüência. -Impossível repetir um experimento, a não ser pela gravação de uma enorme massa de dados. -Imperfeições podem gerar drifts.

20 Geradores de números pseudo-aleatórios -Considerando que a qualidade dos números é testada, pode-se ignorar sua origem, desde que os testes sejam satisfeitos. Tais números são simulados, no sentido em que satisfazem um conjunto de testes como se fossem números aleatórios, apesar de serem determinísticos. -Apresenta as seguintes vantagens: -Velocidade. -Reprodutibilidade. -Espaço ocupado. -A qualidade da seqüência só precisa ser testada uma única vez. -Pode seu utilizada muitas vezes.

21 Geradores de números pseudo-aleatórios -Apresenta as seguintes desvantagen: Como a seqüência é gerada por uma função do tipo: ela certamente é periódica. Isso significa que deve-se tomar o cuidado de utilizar seqüências de números pseudo-aleatórios cujo comprimento seja muito menor que o período da seqüência gerada.

22 Características de uma boa seqüência - Imprevisibilidade da seqüência com base apenas nos números anteriores. - Possível de implementação. - Função de autocorrelação triangular tendo um alta relação de pico / lobo lateral. - Estatística balanceada nas k-tuplas geradas. - Para cada segmento de seqüência, uma correlação cruzada uniformemente baixa.

23 Testes estatísticos Os testes mais simples (e mais importantes) são dados pelas seguintes medições: Dada uma tabela contendo de N dígitos: e 1,..., e N, o número de zeros na tabela dado por v 0 ; o número de 1 s, v 1 ; de 2 s, v 2 ; etc. Dada a soma -A teoria da probabilidade permite prever em que intervalo de valores essa soma deve estar. Não deve ser muito grande, pois o valor esperado para v i é N/10. Não deve ser muito pequeno, pois indicaria uma distribuição excessivamente regular.

24 Testes estatísticos Considerando as duplas (e 1, e 2 ), (e 3, e 4 ),...(e N-1, e N ): Chamando de v i,j ao número de pares iguais a (i,j) Também é possível prever o intervalo onde a seguinte soma deverá estar, se a seqüência tiver características de uma seqüência aleatória. É possível fazer testes semelhantes para triplas, quadruplas, etc

25 Características de um bom gerador - Distribuicão dos r é uniforme ) testes - Período muito maior do que o comprimento da seqüência usada na simulação - É possível armazenar a cada momento a semente associada a um número da seqüência - Seqüência produzida a partir de uma semente é a mesma em computadores diferentes - Tempo para geração dos r é o menor possível

26 Geradores congruenciais lineares: onde a, c, m são inteiros e x 0 é a semente. aproximadamente uniforme no intervalo (0, 1).

27 Faixas de saídas: -Cada saída é colocada em um espaço (S) de amostragem. -Cada espaço S será avaliado, concluindo-se o comportamento do fenômeno. Ex.: Jogo de dados. Rolar um dado n vezes. - Espaços escolhidos: E 1 (par), E 2 (maior que 4) e E 3 (dois). -E 2 e E 3 são eventos disjuntos. -E 1 e E 3 ou E 1 e E 2 podem ocorrer ao mesmo tempo - Uma possível conclusão sobre os resultados de simulação seria que o evento E 3 tem probabilidade de ocorrência 1/6.

28 Redução de variância - Os modelos de Monte Carlo com métodos de redução de variância melhoraram a acurácia e reduziram os desvios-padrões das estimativas.

29 Aplicação - Resolução de integral: Probabilidade de que um ponto aleatório caia dentro da área de interesse: Pode ser expandido para integrais de n dimensões

30 Aplicação - Comparação de erro para resolução de integrais de ordem d: É vantajoso usar Monte Carlo para d >> 3

31 Paralelização e Vetorização -Técnicas de paralelização e vetorização podem ser aplicadas ao método. -Têm o objetivo de acelerar o método, pois pode-se, via paralelização por ex., distribuir processamento em mais de uma CPU -Permite que Monte Carlo seja implementado em computadores de arquiteturas avançadas, ficando mais eficiente

32 Comparação com métodos numéricos -Métodos numéricos, normalmente, descrevem sistemas na forma de equações diferenciais parciais ou ordinárias. -Método de Monte Carlo: O sistema é simulado diretamente sem necessitar do desenvolvimento de equações diferenciais.

33 O Fermiac - Equipamento mecânico usado para a simulação via método de Monte Carlo. Idealizado por Érico Fermi e construído por Percy King (1947) - Suas simulações determinavam modificações na quantidade de nêutrons em sistemas nucleares (genealogias de nêutrons em duas dimensões - O equipamento tinha 3 dispositivos de ajuste que geravam, aleatoriamente, informações sobre o material radioativo, direção de movimento e distância percorrida pelo nêutron antes de uma próxima colisão - Foi utilizado durante 2 anos

34 O Fermiac Método de Monte Carlo

35 Aspectos práticos sobre o método - Utilizado na análise estatística inicial, quando os métodos analíticos são inadequados - É o método mais poderoso e comumente usado na análise de problemas complexos - Há muitos campos de utilização para esse método na indústria aeroespacial.

36 Aspectos práticos sobre o método Porém: - É uma técnica de simulação pouco precisa - Apresenta, somente, estimativas estatísticas e não soluções exatas - O estudo do problema físico é muito custoso - A simulação é demorada - Requer grande poder computacional - A simulação nos dá, somente, dados numéricos sobre o desempenho do sistema, dificultando, as vezes, a análise do sistema

37 Aspectos práticos sobre o método - Como regra o método de Monte Carlos não é competitivo em relação a métodos numéricos para solução de sistema de equações lineares ou diferenciais - É, no entanto, um laço externo as rotinas clássicas para a solução de sistemas de equações lineares com entradas aleatórias (ver figura)

38 Diagrama de blocos do método de Monte Carlo

39 Simulações: - O propósito das simulações é avaliar a eficiência do sistema - Independente, porém, do tipo de simulação algumas estatísticas são comuns: - Contagem número de vezes que um evento ocorre - Período tempo que o evento leva para iniciar e acabar ou intervalo de tempo que ocorre - Distribuições distribuições das variáveis, tais como: tempo de processamento, tempo de resposta seus valores médios e desvios padrões

40 Simulações Exemplo de diagrama com todos os módulos simulados

41 Simulações Exemplo de diagrama onde somente o veículo é simulado

42 Bibliografia - Aerospace Vehicle Control Waldemar C. Leite Filho, Tiago S. Ribeiro - Estatística Aplicada John E. Freus, gary A. Simon - The beginning of the Monte Carlo Method N. Metropolis Los Alamos Science Special Issue 1987 Sites consultados: