Método Monte-Carlo. Alexandre Rosas. 23 de Março de Departamento de Física Universidade Federal da Paraíba
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1 Departamento de Física Universidade Federal da Paraíba 23 de Março de 2009
2 O que são os métodos de Monte-Carlo? Métodos numéricos que utilizam amostragem estatística (em contraposição a métodos determinísticos) Amostragem aleatória a partir de uma função distribuição de probabilidades. números pseudo-aleatórios Várias amostras Média Alguns problemas determinísticos podem ser reescritos em função de uma distribuição de probabilidades integração
3 O que são os métodos de Monte-Carlo? Métodos numéricos que utilizam amostragem estatística (em contraposição a métodos determinísticos) Amostragem aleatória a partir de uma função distribuição de probabilidades. números pseudo-aleatórios Várias amostras Média Alguns problemas determinísticos podem ser reescritos em função de uma distribuição de probabilidades integração
4 O que são os métodos de Monte-Carlo? Métodos numéricos que utilizam amostragem estatística (em contraposição a métodos determinísticos) Amostragem aleatória a partir de uma função distribuição de probabilidades. números pseudo-aleatórios Várias amostras Média Alguns problemas determinísticos podem ser reescritos em função de uma distribuição de probabilidades integração
5 O que são os métodos de Monte-Carlo? Métodos numéricos que utilizam amostragem estatística (em contraposição a métodos determinísticos) Amostragem aleatória a partir de uma função distribuição de probabilidades. números pseudo-aleatórios Várias amostras Média Alguns problemas determinísticos podem ser reescritos em função de uma distribuição de probabilidades integração
6 O que são os métodos de Monte-Carlo? Métodos numéricos que utilizam amostragem estatística (em contraposição a métodos determinísticos) Amostragem aleatória a partir de uma função distribuição de probabilidades. números pseudo-aleatórios Várias amostras Média Alguns problemas determinísticos podem ser reescritos em função de uma distribuição de probabilidades integração
7 O que são os métodos de Monte-Carlo? Métodos numéricos que utilizam amostragem estatística (em contraposição a métodos determinísticos) Amostragem aleatória a partir de uma função distribuição de probabilidades. números pseudo-aleatórios Várias amostras Média Alguns problemas determinísticos podem ser reescritos em função de uma distribuição de probabilidades integração
8 O que são os métodos de Monte-Carlo? Métodos numéricos que utilizam amostragem estatística (em contraposição a métodos determinísticos) Amostragem aleatória a partir de uma função distribuição de probabilidades. números pseudo-aleatórios Várias amostras Média Alguns problemas determinísticos podem ser reescritos em função de uma distribuição de probabilidades integração
9 O que são os métodos de Monte-Carlo? Métodos numéricos que utilizam amostragem estatística (em contraposição a métodos determinísticos) Amostragem aleatória a partir de uma função distribuição de probabilidades. números pseudo-aleatórios Várias amostras Média Alguns problemas determinísticos podem ser reescritos em função de uma distribuição de probabilidades integração
10 Histórico Introdução Origem do nome: Cassino de Monte-Carlo, Mônaco Roleta números aleatórios Nome e sistematização em torno de 1944 Precussores 1873 A. Hall Determinação de π jogando uma agulha 1899 Lord Rayleigh caminhada aleatória unidimensional 1931 Kolmogorov processos markovianos 1908 W. S. Gosset distribuição t de Student 2 a guerra Primeiros usos na pesquisa bomba atômica 1948 Harris e Herman Kanh desenvolvimento sistemático 1948 Fermi, Metropolis e Ulam estimativas de autovalores da equação de Schrodinger
11 Histórico Introdução Origem do nome: Cassino de Monte-Carlo, Mônaco Roleta números aleatórios Nome e sistematização em torno de 1944 Precussores 1873 A. Hall Determinação de π jogando uma agulha 1899 Lord Rayleigh caminhada aleatória unidimensional 1931 Kolmogorov processos markovianos 1908 W. S. Gosset distribuição t de Student 2 a guerra Primeiros usos na pesquisa bomba atômica 1948 Harris e Herman Kanh desenvolvimento sistemático 1948 Fermi, Metropolis e Ulam estimativas de autovalores da equação de Schrodinger
12 Histórico Introdução Origem do nome: Cassino de Monte-Carlo, Mônaco Roleta números aleatórios Nome e sistematização em torno de 1944 Precussores 1873 A. Hall Determinação de π jogando uma agulha 1899 Lord Rayleigh caminhada aleatória unidimensional 1931 Kolmogorov processos markovianos 1908 W. S. Gosset distribuição t de Student 2 a guerra Primeiros usos na pesquisa bomba atômica 1948 Harris e Herman Kanh desenvolvimento sistemático 1948 Fermi, Metropolis e Ulam estimativas de autovalores da equação de Schrodinger
13 Histórico Introdução Origem do nome: Cassino de Monte-Carlo, Mônaco Roleta números aleatórios Nome e sistematização em torno de 1944 Precussores 1873 A. Hall Determinação de π jogando uma agulha 1899 Lord Rayleigh caminhada aleatória unidimensional 1931 Kolmogorov processos markovianos 1908 W. S. Gosset distribuição t de Student 2 a guerra Primeiros usos na pesquisa bomba atômica 1948 Harris e Herman Kanh desenvolvimento sistemático 1948 Fermi, Metropolis e Ulam estimativas de autovalores da equação de Schrodinger
14 Histórico Introdução Origem do nome: Cassino de Monte-Carlo, Mônaco Roleta números aleatórios Nome e sistematização em torno de 1944 Precussores 1873 A. Hall Determinação de π jogando uma agulha 1899 Lord Rayleigh caminhada aleatória unidimensional sem barreira dá solução aproximada para equação diferencial parabólica (difusão) 1931 Kolmogorov processos markovianos 1908 W. S. Gosset distribuição t de Student 2 a guerra Primeiros usos na pesquisa bomba atômica 1948 Harris e Herman Kanh desenvolvimento sistemático 1948 Fermi, Metropolis e Ulam estimativas de autovalores da equação de Schrodinger
15 Histórico Introdução Origem do nome: Cassino de Monte-Carlo, Mônaco Roleta números aleatórios Nome e sistematização em torno de 1944 Precussores 1873 A. Hall Determinação de π jogando uma agulha 1899 Lord Rayleigh caminhada aleatória unidimensional 1931 Kolmogorov relação entre processos markovianos e equações integro-diferenciais 1908 W. S. Gosset distribuição t de Student 2 a guerra Primeiros usos na pesquisa bomba atômica 1948 Harris e Herman Kanh desenvolvimento sistemático 1948 Fermi, Metropolis e Ulam estimativas de autovalores da equação de Schrodinger
16 Histórico Introdução Origem do nome: Cassino de Monte-Carlo, Mônaco Roleta números aleatórios Nome e sistematização em torno de 1944 Precussores 1873 A. Hall Determinação de π jogando uma agulha 1899 Lord Rayleigh caminhada aleatória unidimensional 1931 Kolmogorov processos markovianos 1908 W. S. Gosset amostragem experimental usada para criar a distribuição t de Student 2 a guerra Primeiros usos na pesquisa bomba atômica 1948 Harris e Herman Kanh desenvolvimento sistemático 1948 Fermi, Metropolis e Ulam estimativas de autovalores da equação de Schrodinger
17 Histórico Introdução Origem do nome: Cassino de Monte-Carlo, Mônaco Roleta números aleatórios Nome e sistematização em torno de 1944 Precussores 1873 A. Hall Determinação de π jogando uma agulha 1899 Lord Rayleigh caminhada aleatória unidimensional 1931 Kolmogorov processos markovianos 1908 W. S. Gosset distribuição t de Student 2 a guerra Primeiros usos na pesquisa bomba atômica Problemas probabilísticos associados à difusão de nêutrons no material físsil 1948 Harris e Herman Kanh desenvolvimento sistemático 1948 Fermi, Metropolis e Ulam estimativas de autovalores da equação de Schrodinger
18 Histórico Introdução Origem do nome: Cassino de Monte-Carlo, Mônaco Roleta números aleatórios Nome e sistematização em torno de 1944 Precussores 1873 A. Hall Determinação de π jogando uma agulha 1899 Lord Rayleigh caminhada aleatória unidimensional 1931 Kolmogorov processos markovianos 1908 W. S. Gosset distribuição t de Student 2 a guerra Primeiros usos na pesquisa bomba atômica 1948 Harris e Herman Kanh desenvolvimento sistemático 1948 Fermi, Metropolis e Ulam estimativas de autovalores da equação de Schrodinger
19 Histórico Introdução Origem do nome: Cassino de Monte-Carlo, Mônaco Roleta números aleatórios Nome e sistematização em torno de 1944 Precussores 1873 A. Hall Determinação de π jogando uma agulha 1899 Lord Rayleigh caminhada aleatória unidimensional 1931 Kolmogorov processos markovianos 1908 W. S. Gosset distribuição t de Student 2 a guerra Primeiros usos na pesquisa bomba atômica 1948 Harris e Herman Kanh desenvolvimento sistemático 1948 Fermi, Metropolis e Ulam estimativas de autovalores da equação de Schrodinger
20 Introdução ao método Integração de Monte-Carlo Evolução para o equilíbrio Decaimento radioativo Na aula sobre integração numérica vimos que I = 1 0 f (x)dx N f (x k )ω k k=1 Tomando todos os ω k iguais e lembrando que h = 1/N N f (x k )ω k = 1 N k=1 N f (x k ) = f N k=1 distribuição uniforme Repetindo a medida M vezes, I = 1 M M f N k=1
21 Introdução ao método Integração de Monte-Carlo Evolução para o equilíbrio Decaimento radioativo Na aula sobre integração numérica vimos que I = 1 0 f (x)dx N f (x k )ω k k=1 Tomando todos os ω k iguais e lembrando que h = 1/N N f (x k )ω k = 1 N k=1 N f (x k ) = f N k=1 distribuição uniforme Repetindo a medida M vezes, I = 1 M M f N k=1
22 Introdução ao método Integração de Monte-Carlo Evolução para o equilíbrio Decaimento radioativo Na aula sobre integração numérica vimos que I = 1 0 f (x)dx N f (x k )ω k k=1 Tomando todos os ω k iguais e lembrando que h = 1/N N f (x k )ω k = 1 N k=1 N f (x k ) = f N k=1 distribuição uniforme Repetindo a medida M vezes, I = 1 M M f N k=1
23 Variância Introdução Integração de Monte-Carlo Evolução para o equilíbrio Decaimento radioativo Variância em uma amostra medida do desvio de f da sua média = f 2 M f 2 M σ 2 f Variância da série de medidas σ 2 M 1 M ( ) f 2 M f 2 N = σ2 f M σ M 1/ M é uma medida do erro
24 Variância Introdução Integração de Monte-Carlo Evolução para o equilíbrio Decaimento radioativo Variância em uma amostra medida do desvio de f da sua média = f 2 M f 2 M σ 2 f Variância da série de medidas σ 2 M 1 M ( ) f 2 M f 2 N = σ2 f M σ M 1/ M é uma medida do erro
25 Variância Introdução Integração de Monte-Carlo Evolução para o equilíbrio Decaimento radioativo Variância em uma amostra medida do desvio de f da sua média = f 2 M f 2 M σ 2 f Variância da série de medidas σ 2 M 1 M ( ) f 2 M f 2 N = σ2 f M σ M 1/ M é uma medida do erro
26 Integração de Monte-Carlo Evolução para o equilíbrio Decaimento radioativo Comparação com outros métodos Método Erro Monte Carlo N 1/2 Trapézio h N 1/d Simpson h N 4/d
27 Integração de Monte-Carlo Evolução para o equilíbrio Decaimento radioativo Comparação com outros métodos Método Erro Monte Carlo N 1/2 Trapézio h N 1/d Simpson h N 4/d
28 Integração de Monte-Carlo Evolução para o equilíbrio Decaimento radioativo Comparação com outros métodos Método Erro Monte Carlo N 1/2 Trapézio h N 1/d Simpson h N 4/d
29 Integração de Monte-Carlo Evolução para o equilíbrio Decaimento radioativo Comparação com outros métodos Método Erro Monte Carlo N 1/2 Trapézio h N 1/d Simpson h N 4/d Por que usar Monte-Carlo?
30 Integração de Monte-Carlo Evolução para o equilíbrio Decaimento radioativo Comparação com outros métodos Método Erro Monte Carlo N 1/2 Trapézio h N 1/d Simpson h N 4/d Integrais multidimensionais Monte-Carlo não depende da dimensão
31 Implementação Introdução Integração de Monte-Carlo Evolução para o equilíbrio Decaimento radioativo Algoritmo 1 Escolha o número de amostras 2 Para cada amostra escolha um número aleatório x k e calcule f (x k ) 3 Calcule a média de f (x k ) e a variância
32 Implementação Introdução Integração de Monte-Carlo Evolução para o equilíbrio Decaimento radioativo Algoritmo 1 Escolha o número de amostras 2 Para cada amostra escolha um número aleatório x k e calcule f (x k ) 3 Calcule a média de f (x k ) e a variância
33 Implementação Introdução Integração de Monte-Carlo Evolução para o equilíbrio Decaimento radioativo Algoritmo 1 Escolha o número de amostras 2 Para cada amostra escolha um número aleatório x k e calcule f (x k ) 3 Calcule a média de f (x k ) e a variância
34 Exemplo Introdução Integração de Monte-Carlo Evolução para o equilíbrio Decaimento radioativo x x dx = π N I σ N I π π variância oscila em torno do valor exato integral correta até quarta casa
35 Partículas em uma caixa Integração de Monte-Carlo Evolução para o equilíbrio Decaimento radioativo Caixa dividida em duas metades iguais Inicialmente, todas as partículas no lado esquerdo Pequeno buraco é feito na parede Ao invés de descrever o estado inicial das N partículas, fazemos um modelo estatístico Cada partícula tem mesma probabilidade de ir para a direita ou voltar para a esquerda Algoritmo 1 Repetir para muitos passos de tempo N t > N 2 Para cada passo de tempo, a probalilidade de uma partícula ir para a direita é p = N l /N 3 Sortear um número aleatório r 4 Se p < r, N l N l 1, caso contrário N l N l + 1
36 Partículas em uma caixa Integração de Monte-Carlo Evolução para o equilíbrio Decaimento radioativo Caixa dividida em duas metades iguais Inicialmente, todas as partículas no lado esquerdo Pequeno buraco é feito na parede Ao invés de descrever o estado inicial das N partículas, fazemos um modelo estatístico Cada partícula tem mesma probabilidade de ir para a direita ou voltar para a esquerda Algoritmo 1 Repetir para muitos passos de tempo N t > N 2 Para cada passo de tempo, a probalilidade de uma partícula ir para a direita é p = N l /N 3 Sortear um número aleatório r 4 Se p < r, N l N l 1, caso contrário N l N l + 1
37 Partículas em uma caixa Integração de Monte-Carlo Evolução para o equilíbrio Decaimento radioativo Caixa dividida em duas metades iguais Inicialmente, todas as partículas no lado esquerdo Pequeno buraco é feito na parede Ao invés de descrever o estado inicial das N partículas, fazemos um modelo estatístico Cada partícula tem mesma probabilidade de ir para a direita ou voltar para a esquerda Algoritmo 1 Repetir para muitos passos de tempo N t > N 2 Para cada passo de tempo, a probalilidade de uma partícula ir para a direita é p = N l /N 3 Sortear um número aleatório r 4 Se p < r, N l N l 1, caso contrário N l N l + 1
38 Partículas em uma caixa Integração de Monte-Carlo Evolução para o equilíbrio Decaimento radioativo Caixa dividida em duas metades iguais Inicialmente, todas as partículas no lado esquerdo Pequeno buraco é feito na parede Ao invés de descrever o estado inicial das N partículas, fazemos um modelo estatístico Cada partícula tem mesma probabilidade de ir para a direita ou voltar para a esquerda Algoritmo 1 Repetir para muitos passos de tempo N t > N 2 Para cada passo de tempo, a probalilidade de uma partícula ir para a direita é p = N l /N 3 Sortear um número aleatório r 4 Se p < r, N l N l 1, caso contrário N l N l + 1
39 Partículas em uma caixa Integração de Monte-Carlo Evolução para o equilíbrio Decaimento radioativo Caixa dividida em duas metades iguais Inicialmente, todas as partículas no lado esquerdo Pequeno buraco é feito na parede Ao invés de descrever o estado inicial das N partículas, fazemos um modelo estatístico Cada partícula tem mesma probabilidade de ir para a direita ou voltar para a esquerda Algoritmo 1 Repetir para muitos passos de tempo N t > N 2 Para cada passo de tempo, a probalilidade de uma partícula ir para a direita é p = N l /N 3 Sortear um número aleatório r 4 Se p < r, N l N l 1, caso contrário N l N l + 1
40 Partículas em uma caixa Integração de Monte-Carlo Evolução para o equilíbrio Decaimento radioativo Caixa dividida em duas metades iguais Inicialmente, todas as partículas no lado esquerdo Pequeno buraco é feito na parede Ao invés de descrever o estado inicial das N partículas, fazemos um modelo estatístico Cada partícula tem mesma probabilidade de ir para a direita ou voltar para a esquerda Algoritmo 1 Repetir para muitos passos de tempo N t > N 2 Para cada passo de tempo, a probalilidade de uma partícula ir para a direita é p = N l /N 3 Sortear um número aleatório r 4 Se p < r, N l N l 1, caso contrário N l N l + 1
41 Partículas em uma caixa Integração de Monte-Carlo Evolução para o equilíbrio Decaimento radioativo Caixa dividida em duas metades iguais Inicialmente, todas as partículas no lado esquerdo Pequeno buraco é feito na parede Ao invés de descrever o estado inicial das N partículas, fazemos um modelo estatístico Cada partícula tem mesma probabilidade de ir para a direita ou voltar para a esquerda Algoritmo 1 Repetir para muitos passos de tempo N t > N 2 Para cada passo de tempo, a probalilidade de uma partícula ir para a direita é p = N l /N 3 Sortear um número aleatório r 4 Se p < r, N l N l 1, caso contrário N l N l + 1
42 Partículas em uma caixa Integração de Monte-Carlo Evolução para o equilíbrio Decaimento radioativo Caixa dividida em duas metades iguais Inicialmente, todas as partículas no lado esquerdo Pequeno buraco é feito na parede Ao invés de descrever o estado inicial das N partículas, fazemos um modelo estatístico Cada partícula tem mesma probabilidade de ir para a direita ou voltar para a esquerda Algoritmo 1 Repetir para muitos passos de tempo N t > N 2 Para cada passo de tempo, a probalilidade de uma partícula ir para a direita é p = N l /N 3 Sortear um número aleatório r 4 Se p < r, N l N l 1, caso contrário N l N l + 1
43 Resultado Introdução Integração de Monte-Carlo Evolução para o equilíbrio Decaimento radioativo N l (t) t
44 O problema Introdução Integração de Monte-Carlo Evolução para o equilíbrio Decaimento radioativo Núcleo radioativo X pode decair para núcleo Y Por sua vez, o núcleo Y pode decair para Z A meia-vida do núcleo X é τ X, e a do núcleo Y é τ Y Definindo a probabilidade de decaimento de um núcleo por unidade de tempo ω = 1/τ, o sistema pode ser descrito pelas equações dx dt dy dt = ω X X(t) = ω X X(t) ω Y Y (t)
45 O problema Introdução Integração de Monte-Carlo Evolução para o equilíbrio Decaimento radioativo Núcleo radioativo X pode decair para núcleo Y Por sua vez, o núcleo Y pode decair para Z A meia-vida do núcleo X é τ X, e a do núcleo Y é τ Y Definindo a probabilidade de decaimento de um núcleo por unidade de tempo ω = 1/τ, o sistema pode ser descrito pelas equações dx dt dy dt = ω X X(t) = ω X X(t) ω Y Y (t)
46 O problema Introdução Integração de Monte-Carlo Evolução para o equilíbrio Decaimento radioativo Núcleo radioativo X pode decair para núcleo Y Por sua vez, o núcleo Y pode decair para Z A meia-vida do núcleo X é τ X, e a do núcleo Y é τ Y Definindo a probabilidade de decaimento de um núcleo por unidade de tempo ω = 1/τ, o sistema pode ser descrito pelas equações dx dt dy dt = ω X X(t) = ω X X(t) ω Y Y (t)
47 O problema Introdução Integração de Monte-Carlo Evolução para o equilíbrio Decaimento radioativo Núcleo radioativo X pode decair para núcleo Y Por sua vez, o núcleo Y pode decair para Z A meia-vida do núcleo X é τ X, e a do núcleo Y é τ Y Definindo a probabilidade de decaimento de um núcleo por unidade de tempo ω = 1/τ, o sistema pode ser descrito pelas equações dx dt dy dt = ω X X(t) = ω X X(t) ω Y Y (t)
48 O problema Introdução Integração de Monte-Carlo Evolução para o equilíbrio Decaimento radioativo Núcleo radioativo X pode decair para núcleo Y Por sua vez, o núcleo Y pode decair para Z A meia-vida do núcleo X é τ X, e a do núcleo Y é τ Y Definindo a probabilidade de decaimento de um núcleo por unidade de tempo ω = 1/τ, o sistema pode ser descrito pelas equações dx dt dy dt = ω X X(t) = ω X X(t) ω Y Y (t)
49 Do ponto de vista simulacional Integração de Monte-Carlo Evolução para o equilíbrio Decaimento radioativo A cada passo de tempo: Cada um dos N X átomos pode decair com probabilidade ω X Cada um dos N Y átomos pode decair com probabilidade ω Y Portanto, se N (d) X,Y (t) é o número de atómos (X, Y ) que decaem no tempo t, N X (t + 1) N X (t) N (d) X (t) N Y (t + 1) N Y (t) + N (d) (t) N(d) X Y
50 Do ponto de vista simulacional Integração de Monte-Carlo Evolução para o equilíbrio Decaimento radioativo A cada passo de tempo: Cada um dos N X átomos pode decair com probabilidade ω X Cada um dos N Y átomos pode decair com probabilidade ω Y Portanto, se N (d) X,Y (t) é o número de atómos (X, Y ) que decaem no tempo t, N X (t + 1) N X (t) N (d) X (t) N Y (t + 1) N Y (t) + N (d) (t) N(d) X Y
51 Do ponto de vista simulacional Integração de Monte-Carlo Evolução para o equilíbrio Decaimento radioativo A cada passo de tempo: Cada um dos N X átomos pode decair com probabilidade ω X Cada um dos N Y átomos pode decair com probabilidade ω Y Portanto, se N (d) X,Y (t) é o número de atómos (X, Y ) que decaem no tempo t, N X (t + 1) N X (t) N (d) X (t) N Y (t + 1) N Y (t) + N (d) (t) N(d) X Y
52 Do ponto de vista simulacional Integração de Monte-Carlo Evolução para o equilíbrio Decaimento radioativo A cada passo de tempo: Cada um dos N X átomos pode decair com probabilidade ω X Cada um dos N Y átomos pode decair com probabilidade ω Y Portanto, se N (d) X,Y (t) é o número de atómos (X, Y ) que decaem no tempo t, N X (t + 1) N X (t) N (d) X (t) N Y (t + 1) N Y (t) + N (d) (t) N(d) X Y
53 Decaimento de 210 Bi e 210 Po Integração de Monte-Carlo Evolução para o equilíbrio Decaimento radioativo O 210 Bi decai em 210 Po (decaimento β) O 210 Po decai em 206 Pb (decaimento α) Meia vida do 210 Bi: τ Bi = 7.2 dias Meia vida do 210 Po: τ Po = 200 dias Suponha que inicialmente tenhamos 1000 átomos de 210 Bi, como será a evolução do sistema? É importante escolher bem a escala de tempo Se ela for muito grande, não veremos a evolução do sistema Se ela for muito pequena, o programa será muito lento 1 passo Monte-Carlo = 1 hora é razoável
54 Decaimento de 210 Bi e 210 Po Integração de Monte-Carlo Evolução para o equilíbrio Decaimento radioativo O 210 Bi decai em 210 Po (decaimento β) O 210 Po decai em 206 Pb (decaimento α) Meia vida do 210 Bi: τ Bi = 7.2 dias Meia vida do 210 Po: τ Po = 200 dias Suponha que inicialmente tenhamos 1000 átomos de 210 Bi, como será a evolução do sistema? É importante escolher bem a escala de tempo Se ela for muito grande, não veremos a evolução do sistema Se ela for muito pequena, o programa será muito lento 1 passo Monte-Carlo = 1 hora é razoável
55 Decaimento de 210 Bi e 210 Po Integração de Monte-Carlo Evolução para o equilíbrio Decaimento radioativo O 210 Bi decai em 210 Po (decaimento β) O 210 Po decai em 206 Pb (decaimento α) Meia vida do 210 Bi: τ Bi = 7.2 dias Meia vida do 210 Po: τ Po = 200 dias Suponha que inicialmente tenhamos 1000 átomos de 210 Bi, como será a evolução do sistema? É importante escolher bem a escala de tempo Se ela for muito grande, não veremos a evolução do sistema Se ela for muito pequena, o programa será muito lento 1 passo Monte-Carlo = 1 hora é razoável
56 Decaimento de 210 Bi e 210 Po Integração de Monte-Carlo Evolução para o equilíbrio Decaimento radioativo O 210 Bi decai em 210 Po (decaimento β) O 210 Po decai em 206 Pb (decaimento α) Meia vida do 210 Bi: τ Bi = 7.2 dias Meia vida do 210 Po: τ Po = 200 dias Suponha que inicialmente tenhamos 1000 átomos de 210 Bi, como será a evolução do sistema? É importante escolher bem a escala de tempo Se ela for muito grande, não veremos a evolução do sistema Se ela for muito pequena, o programa será muito lento 1 passo Monte-Carlo = 1 hora é razoável
57 Decaimento de 210 Bi e 210 Po Integração de Monte-Carlo Evolução para o equilíbrio Decaimento radioativo O 210 Bi decai em 210 Po (decaimento β) O 210 Po decai em 206 Pb (decaimento α) Meia vida do 210 Bi: τ Bi = 7.2 dias Meia vida do 210 Po: τ Po = 200 dias Suponha que inicialmente tenhamos 1000 átomos de 210 Bi, como será a evolução do sistema? É importante escolher bem a escala de tempo Se ela for muito grande, não veremos a evolução do sistema Se ela for muito pequena, o programa será muito lento 1 passo Monte-Carlo = 1 hora é razoável
58 Decaimento de 210 Bi e 210 Po Integração de Monte-Carlo Evolução para o equilíbrio Decaimento radioativo O 210 Bi decai em 210 Po (decaimento β) O 210 Po decai em 206 Pb (decaimento α) Meia vida do 210 Bi: τ Bi = 7.2 dias Meia vida do 210 Po: τ Po = 200 dias Suponha que inicialmente tenhamos 1000 átomos de 210 Bi, como será a evolução do sistema? É importante escolher bem a escala de tempo Se ela for muito grande, não veremos a evolução do sistema Se ela for muito pequena, o programa será muito lento 1 passo Monte-Carlo = 1 hora é razoável
59 Decaimento de 210 Bi e 210 Po Integração de Monte-Carlo Evolução para o equilíbrio Decaimento radioativo O 210 Bi decai em 210 Po (decaimento β) O 210 Po decai em 206 Pb (decaimento α) Meia vida do 210 Bi: τ Bi = 7.2 dias Meia vida do 210 Po: τ Po = 200 dias Suponha que inicialmente tenhamos 1000 átomos de 210 Bi, como será a evolução do sistema? É importante escolher bem a escala de tempo Se ela for muito grande, não veremos a evolução do sistema Se ela for muito pequena, o programa será muito lento 1 passo Monte-Carlo = 1 hora é razoável
60 Decaimento de 210 Bi e 210 Po Integração de Monte-Carlo Evolução para o equilíbrio Decaimento radioativo O 210 Bi decai em 210 Po (decaimento β) O 210 Po decai em 206 Pb (decaimento α) Meia vida do 210 Bi: τ Bi = 7.2 dias Meia vida do 210 Po: τ Po = 200 dias Suponha que inicialmente tenhamos 1000 átomos de 210 Bi, como será a evolução do sistema? É importante escolher bem a escala de tempo Se ela for muito grande, não veremos a evolução do sistema Se ela for muito pequena, o programa será muito lento 1 passo Monte-Carlo = 1 hora é razoável
61 210 Bi Introdução Integração de Monte-Carlo Evolução para o equilíbrio Decaimento radioativo N Bi (t) tempo (horas)
62 210 Po Introdução Integração de Monte-Carlo Evolução para o equilíbrio Decaimento radioativo N Po (t) tempo (horas)
63 Geradores de números aleatórios uniformes Outras distribuições de probabilidades Distribuições não inversíveis Geradores de números aleatórios são fundamentais para o método Monte-Carlo O computador não tem como gerar números puramente aleatórios, ele gera números que parecem aleatórios, os números pseudo-aleatórios Os números pseudo-aleatórios obedecem a uma regra determinística com as seguintes propriedades 1 Correlação entre números é pequena 2 O período para que a sequência se repita é grande 3 O algoritmo deve ser rápido 4 Obedecem a uma certa distribuição de probabilidades A distribuição de probabilidades mais simples é a uniforme Cada número em um intervalo tipicamente [0, 1) tem mesma probabilidade de ocorrer Outras distribuições de probabilidades são obtidas a partir da distribuição uniforme
64 Geradores de números aleatórios uniformes Outras distribuições de probabilidades Distribuições não inversíveis Geradores de números aleatórios são fundamentais para o método Monte-Carlo O computador não tem como gerar números puramente aleatórios, ele gera números que parecem aleatórios, os números pseudo-aleatórios Os números pseudo-aleatórios obedecem a uma regra determinística com as seguintes propriedades 1 Correlação entre números é pequena 2 O período para que a sequência se repita é grande 3 O algoritmo deve ser rápido 4 Obedecem a uma certa distribuição de probabilidades A distribuição de probabilidades mais simples é a uniforme Cada número em um intervalo tipicamente [0, 1) tem mesma probabilidade de ocorrer Outras distribuições de probabilidades são obtidas a partir da distribuição uniforme
65 Geradores de números aleatórios uniformes Outras distribuições de probabilidades Distribuições não inversíveis Geradores de números aleatórios são fundamentais para o método Monte-Carlo O computador não tem como gerar números puramente aleatórios, ele gera números que parecem aleatórios, os números pseudo-aleatórios Os números pseudo-aleatórios obedecem a uma regra determinística com as seguintes propriedades 1 Correlação entre números é pequena 2 O período para que a sequência se repita é grande 3 O algoritmo deve ser rápido 4 Obedecem a uma certa distribuição de probabilidades A distribuição de probabilidades mais simples é a uniforme Cada número em um intervalo tipicamente [0, 1) tem mesma probabilidade de ocorrer Outras distribuições de probabilidades são obtidas a partir da distribuição uniforme
66 Geradores de números aleatórios uniformes Outras distribuições de probabilidades Distribuições não inversíveis Geradores de números aleatórios são fundamentais para o método Monte-Carlo O computador não tem como gerar números puramente aleatórios, ele gera números que parecem aleatórios, os números pseudo-aleatórios Os números pseudo-aleatórios obedecem a uma regra determinística com as seguintes propriedades 1 Correlação entre números é pequena 2 O período para que a sequência se repita é grande 3 O algoritmo deve ser rápido 4 Obedecem a uma certa distribuição de probabilidades A distribuição de probabilidades mais simples é a uniforme Cada número em um intervalo tipicamente [0, 1) tem mesma probabilidade de ocorrer Outras distribuições de probabilidades são obtidas a partir da distribuição uniforme
67 Geradores de números aleatórios uniformes Outras distribuições de probabilidades Distribuições não inversíveis Geradores de números aleatórios são fundamentais para o método Monte-Carlo O computador não tem como gerar números puramente aleatórios, ele gera números que parecem aleatórios, os números pseudo-aleatórios Os números pseudo-aleatórios obedecem a uma regra determinística com as seguintes propriedades 1 Correlação entre números é pequena 2 O período para que a sequência se repita é grande 3 O algoritmo deve ser rápido 4 Obedecem a uma certa distribuição de probabilidades A distribuição de probabilidades mais simples é a uniforme Cada número em um intervalo tipicamente [0, 1) tem mesma probabilidade de ocorrer Outras distribuições de probabilidades são obtidas a partir da distribuição uniforme
68 Geradores de números aleatórios uniformes Outras distribuições de probabilidades Distribuições não inversíveis Geradores de números aleatórios são fundamentais para o método Monte-Carlo O computador não tem como gerar números puramente aleatórios, ele gera números que parecem aleatórios, os números pseudo-aleatórios Os números pseudo-aleatórios obedecem a uma regra determinística com as seguintes propriedades 1 Correlação entre números é pequena 2 O período para que a sequência se repita é grande 3 O algoritmo deve ser rápido 4 Obedecem a uma certa distribuição de probabilidades A distribuição de probabilidades mais simples é a uniforme Cada número em um intervalo tipicamente [0, 1) tem mesma probabilidade de ocorrer Outras distribuições de probabilidades são obtidas a partir da distribuição uniforme
69 Geradores de números aleatórios uniformes Outras distribuições de probabilidades Distribuições não inversíveis Geradores de números aleatórios são fundamentais para o método Monte-Carlo O computador não tem como gerar números puramente aleatórios, ele gera números que parecem aleatórios, os números pseudo-aleatórios Os números pseudo-aleatórios obedecem a uma regra determinística com as seguintes propriedades 1 Correlação entre números é pequena 2 O período para que a sequência se repita é grande 3 O algoritmo deve ser rápido 4 Obedecem a uma certa distribuição de probabilidades A distribuição de probabilidades mais simples é a uniforme Cada número em um intervalo tipicamente [0, 1) tem mesma probabilidade de ocorrer Outras distribuições de probabilidades são obtidas a partir da distribuição uniforme
70 Geradores de números aleatórios uniformes Outras distribuições de probabilidades Distribuições não inversíveis Geradores de números aleatórios são fundamentais para o método Monte-Carlo O computador não tem como gerar números puramente aleatórios, ele gera números que parecem aleatórios, os números pseudo-aleatórios Os números pseudo-aleatórios obedecem a uma regra determinística com as seguintes propriedades 1 Correlação entre números é pequena 2 O período para que a sequência se repita é grande 3 O algoritmo deve ser rápido 4 Obedecem a uma certa distribuição de probabilidades A distribuição de probabilidades mais simples é a uniforme Cada número em um intervalo tipicamente [0, 1) tem mesma probabilidade de ocorrer Outras distribuições de probabilidades são obtidas a partir da distribuição uniforme
71 Geradores de números aleatórios uniformes Outras distribuições de probabilidades Distribuições não inversíveis Geradores de números aleatórios são fundamentais para o método Monte-Carlo O computador não tem como gerar números puramente aleatórios, ele gera números que parecem aleatórios, os números pseudo-aleatórios Os números pseudo-aleatórios obedecem a uma regra determinística com as seguintes propriedades 1 Correlação entre números é pequena 2 O período para que a sequência se repita é grande 3 O algoritmo deve ser rápido 4 Obedecem a uma certa distribuição de probabilidades A distribuição de probabilidades mais simples é a uniforme Cada número em um intervalo tipicamente [0, 1) tem mesma probabilidade de ocorrer Outras distribuições de probabilidades são obtidas a partir da distribuição uniforme
72 Geradores de números aleatórios uniformes Outras distribuições de probabilidades Distribuições não inversíveis Geradores de números aleatórios são fundamentais para o método Monte-Carlo O computador não tem como gerar números puramente aleatórios, ele gera números que parecem aleatórios, os números pseudo-aleatórios Os números pseudo-aleatórios obedecem a uma regra determinística com as seguintes propriedades 1 Correlação entre números é pequena 2 O período para que a sequência se repita é grande 3 O algoritmo deve ser rápido 4 Obedecem a uma certa distribuição de probabilidades A distribuição de probabilidades mais simples é a uniforme Cada número em um intervalo tipicamente [0, 1) tem mesma probabilidade de ocorrer Outras distribuições de probabilidades são obtidas a partir da distribuição uniforme
73 Geradores congruenciais lineares N k = (an k 1 + c)mod(m) {N k, a, c, M} ℵ Gera os números x k = N k /M N 0 é a semente, M é o período máximo Geradores de números aleatórios uniformes Outras distribuições de probabilidades Distribuições não inversíveis MOD retorna o resto da divisão A escolha de N 0, a e c é fundamental para a qualidade do gerador Exemplo: tomando N 0 = 2, N k = (27N k )MOD(54) {11, 38, 11, 38,...} Estes são os geradores mais usados muito rápidos
74 Geradores congruenciais lineares N k = (an k 1 + c)mod(m) {N k, a, c, M} ℵ Gera os números x k = N k /M N 0 é a semente, M é o período máximo Geradores de números aleatórios uniformes Outras distribuições de probabilidades Distribuições não inversíveis MOD retorna o resto da divisão A escolha de N 0, a e c é fundamental para a qualidade do gerador Exemplo: tomando N 0 = 2, N k = (27N k )MOD(54) {11, 38, 11, 38,...} Estes são os geradores mais usados muito rápidos
75 Geradores congruenciais lineares N k = (an k 1 + c)mod(m) {N k, a, c, M} ℵ Gera os números x k = N k /M N 0 é a semente, M é o período máximo Geradores de números aleatórios uniformes Outras distribuições de probabilidades Distribuições não inversíveis MOD retorna o resto da divisão A escolha de N 0, a e c é fundamental para a qualidade do gerador Exemplo: tomando N 0 = 2, N k = (27N k )MOD(54) {11, 38, 11, 38,...} Estes são os geradores mais usados muito rápidos
76 Geradores congruenciais lineares N k = (an k 1 + c)mod(m) {N k, a, c, M} ℵ Gera os números x k = N k /M N 0 é a semente, M é o período máximo Geradores de números aleatórios uniformes Outras distribuições de probabilidades Distribuições não inversíveis MOD retorna o resto da divisão A escolha de N 0, a e c é fundamental para a qualidade do gerador Exemplo: tomando N 0 = 2, N k = (27N k )MOD(54) {11, 38, 11, 38,...} Estes são os geradores mais usados muito rápidos
77 Geradores congruenciais lineares N k = (an k 1 + c)mod(m) {N k, a, c, M} ℵ Gera os números x k = N k /M N 0 é a semente, M é o período máximo Geradores de números aleatórios uniformes Outras distribuições de probabilidades Distribuições não inversíveis MOD retorna o resto da divisão A escolha de N 0, a e c é fundamental para a qualidade do gerador Exemplo: tomando N 0 = 2, N k = (27N k )MOD(54) {11, 38, 11, 38,...} Estes são os geradores mais usados muito rápidos
78 Geradores congruenciais lineares N k = (an k 1 + c)mod(m) {N k, a, c, M} ℵ Gera os números x k = N k /M N 0 é a semente, M é o período máximo Geradores de números aleatórios uniformes Outras distribuições de probabilidades Distribuições não inversíveis MOD retorna o resto da divisão A escolha de N 0, a e c é fundamental para a qualidade do gerador Exemplo: tomando N 0 = 2, N k = (27N k )MOD(54) {11, 38, 11, 38,...} Estes são os geradores mais usados muito rápidos
79 Geradores congruenciais lineares N k = (an k 1 + c)mod(m) {N k, a, c, M} ℵ Gera os números x k = N k /M N 0 é a semente, M é o período máximo Geradores de números aleatórios uniformes Outras distribuições de probabilidades Distribuições não inversíveis MOD retorna o resto da divisão A escolha de N 0, a e c é fundamental para a qualidade do gerador Exemplo: tomando N 0 = 2, N k = (27N k )MOD(54) {11, 38, 11, 38,...} Estes são os geradores mais usados muito rápidos
80 Deslocamento de registro Geradores de números aleatórios uniformes Outras distribuições de probabilidades Distribuições não inversíveis Gerador depende de mais de um valor precedente Por exemplo, N k = (an k l + cn k j )MOD(M) Desta forma pode-se obter períodos muito maiores que M
81 Deslocamento de registro Geradores de números aleatórios uniformes Outras distribuições de probabilidades Distribuições não inversíveis Gerador depende de mais de um valor precedente Por exemplo, N k = (an k l + cn k j )MOD(M) Desta forma pode-se obter períodos muito maiores que M
82 Deslocamento de registro Geradores de números aleatórios uniformes Outras distribuições de probabilidades Distribuições não inversíveis Gerador depende de mais de um valor precedente Por exemplo, N k = (an k l + cn k j )MOD(M) Desta forma pode-se obter períodos muito maiores que M
83 Mersenne Twister Geradores de números aleatórios uniformes Outras distribuições de probabilidades Distribuições não inversíveis Criado para corrigir deficiências de outros geradores Propicia a geração de números pseudo-aleatórios de alta qualidade Vantagens 1 Período de recorrência muito grande Tem alta ordem de equidistribuição dimensional (geradores congruenciais lineares são particularmente ineficientes) 3 É rápido 4 Passa em diversos testes estatísticos como o die hard Baseado em primos de Mersenne (se p é um número primo e M p = 2 p 1 também, M p é dito primo de Mersenne) É um gerador de deslocamente o registro associado a uma operação (twist) para assegurar a equidistribuição Implementado na GSL Gnu Scientific Library
84 Mersenne Twister Geradores de números aleatórios uniformes Outras distribuições de probabilidades Distribuições não inversíveis Criado para corrigir deficiências de outros geradores Propicia a geração de números pseudo-aleatórios de alta qualidade Vantagens 1 Período de recorrência muito grande Tem alta ordem de equidistribuição dimensional (geradores congruenciais lineares são particularmente ineficientes) 3 É rápido 4 Passa em diversos testes estatísticos como o die hard Baseado em primos de Mersenne (se p é um número primo e M p = 2 p 1 também, M p é dito primo de Mersenne) É um gerador de deslocamente o registro associado a uma operação (twist) para assegurar a equidistribuição Implementado na GSL Gnu Scientific Library
85 Mersenne Twister Geradores de números aleatórios uniformes Outras distribuições de probabilidades Distribuições não inversíveis Criado para corrigir deficiências de outros geradores Propicia a geração de números pseudo-aleatórios de alta qualidade Vantagens 1 Período de recorrência muito grande Tem alta ordem de equidistribuição dimensional (geradores congruenciais lineares são particularmente ineficientes) 3 É rápido 4 Passa em diversos testes estatísticos como o die hard Baseado em primos de Mersenne (se p é um número primo e M p = 2 p 1 também, M p é dito primo de Mersenne) É um gerador de deslocamente o registro associado a uma operação (twist) para assegurar a equidistribuição Implementado na GSL Gnu Scientific Library
86 Mersenne Twister Geradores de números aleatórios uniformes Outras distribuições de probabilidades Distribuições não inversíveis Criado para corrigir deficiências de outros geradores Propicia a geração de números pseudo-aleatórios de alta qualidade Vantagens 1 Período de recorrência muito grande Tem alta ordem de equidistribuição dimensional (geradores congruenciais lineares são particularmente ineficientes) 3 É rápido 4 Passa em diversos testes estatísticos como o die hard Baseado em primos de Mersenne (se p é um número primo e M p = 2 p 1 também, M p é dito primo de Mersenne) É um gerador de deslocamente o registro associado a uma operação (twist) para assegurar a equidistribuição Implementado na GSL Gnu Scientific Library
87 Mersenne Twister Geradores de números aleatórios uniformes Outras distribuições de probabilidades Distribuições não inversíveis Criado para corrigir deficiências de outros geradores Propicia a geração de números pseudo-aleatórios de alta qualidade Vantagens 1 Período de recorrência muito grande Tem alta ordem de equidistribuição dimensional (geradores congruenciais lineares são particularmente ineficientes) 3 É rápido 4 Passa em diversos testes estatísticos como o die hard Baseado em primos de Mersenne (se p é um número primo e M p = 2 p 1 também, M p é dito primo de Mersenne) É um gerador de deslocamente o registro associado a uma operação (twist) para assegurar a equidistribuição Implementado na GSL Gnu Scientific Library
88 Mersenne Twister Geradores de números aleatórios uniformes Outras distribuições de probabilidades Distribuições não inversíveis Criado para corrigir deficiências de outros geradores Propicia a geração de números pseudo-aleatórios de alta qualidade Vantagens 1 Período de recorrência muito grande Tem alta ordem de equidistribuição dimensional (geradores congruenciais lineares são particularmente ineficientes) 3 É rápido 4 Passa em diversos testes estatísticos como o die hard Baseado em primos de Mersenne (se p é um número primo e M p = 2 p 1 também, M p é dito primo de Mersenne) É um gerador de deslocamente o registro associado a uma operação (twist) para assegurar a equidistribuição Implementado na GSL Gnu Scientific Library
89 Mersenne Twister Geradores de números aleatórios uniformes Outras distribuições de probabilidades Distribuições não inversíveis Criado para corrigir deficiências de outros geradores Propicia a geração de números pseudo-aleatórios de alta qualidade Vantagens 1 Período de recorrência muito grande Tem alta ordem de equidistribuição dimensional (geradores congruenciais lineares são particularmente ineficientes) 3 É rápido 4 Passa em diversos testes estatísticos como o die hard Baseado em primos de Mersenne (se p é um número primo e M p = 2 p 1 também, M p é dito primo de Mersenne) É um gerador de deslocamente o registro associado a uma operação (twist) para assegurar a equidistribuição Implementado na GSL Gnu Scientific Library
90 Mersenne Twister Geradores de números aleatórios uniformes Outras distribuições de probabilidades Distribuições não inversíveis Criado para corrigir deficiências de outros geradores Propicia a geração de números pseudo-aleatórios de alta qualidade Vantagens 1 Período de recorrência muito grande Tem alta ordem de equidistribuição dimensional (geradores congruenciais lineares são particularmente ineficientes) 3 É rápido 4 Passa em diversos testes estatísticos como o die hard Baseado em primos de Mersenne (se p é um número primo e M p = 2 p 1 também, M p é dito primo de Mersenne) É um gerador de deslocamente o registro associado a uma operação (twist) para assegurar a equidistribuição Implementado na GSL Gnu Scientific Library
91 Mersenne Twister Geradores de números aleatórios uniformes Outras distribuições de probabilidades Distribuições não inversíveis Criado para corrigir deficiências de outros geradores Propicia a geração de números pseudo-aleatórios de alta qualidade Vantagens 1 Período de recorrência muito grande Tem alta ordem de equidistribuição dimensional (geradores congruenciais lineares são particularmente ineficientes) 3 É rápido 4 Passa em diversos testes estatísticos como o die hard Baseado em primos de Mersenne (se p é um número primo e M p = 2 p 1 também, M p é dito primo de Mersenne) É um gerador de deslocamente o registro associado a uma operação (twist) para assegurar a equidistribuição Implementado na GSL Gnu Scientific Library
92 Mudança de variáveis Geradores de números aleatórios uniformes Outras distribuições de probabilidades Distribuições não inversíveis Suponha que uma variável aleatória X obedeça a uma distribuição de probabilidades p X (x) Devido à conservação da probabilidade, uma mudança de variáveis deve obedecer à relação: p Y (y)dy = p X (x)dx Portanto, se p(x) = 1 no intervalo [0, 1) e é nula fora dele (distribuição uniforme), y p Y (y)dy = x 0 dx = x Invertendo esta relação, podemos obter y = y(x) Assim obtemos números pseudo-aleatórios que obedecem a uma distribuição p Y (y) a partir da distribuição uniforme
93 Mudança de variáveis Geradores de números aleatórios uniformes Outras distribuições de probabilidades Distribuições não inversíveis Suponha que uma variável aleatória X obedeça a uma distribuição de probabilidades p X (x) Devido à conservação da probabilidade, uma mudança de variáveis deve obedecer à relação: p Y (y)dy = p X (x)dx Portanto, se p(x) = 1 no intervalo [0, 1) e é nula fora dele (distribuição uniforme), y p Y (y)dy = x 0 dx = x Invertendo esta relação, podemos obter y = y(x) Assim obtemos números pseudo-aleatórios que obedecem a uma distribuição p Y (y) a partir da distribuição uniforme
94 Mudança de variáveis Geradores de números aleatórios uniformes Outras distribuições de probabilidades Distribuições não inversíveis Suponha que uma variável aleatória X obedeça a uma distribuição de probabilidades p X (x) Devido à conservação da probabilidade, uma mudança de variáveis deve obedecer à relação: p Y (y)dy = p X (x)dx Portanto, se p(x) = 1 no intervalo [0, 1) e é nula fora dele (distribuição uniforme), y p Y (y)dy = x 0 dx = x Invertendo esta relação, podemos obter y = y(x) Assim obtemos números pseudo-aleatórios que obedecem a uma distribuição p Y (y) a partir da distribuição uniforme
95 Mudança de variáveis Geradores de números aleatórios uniformes Outras distribuições de probabilidades Distribuições não inversíveis Suponha que uma variável aleatória X obedeça a uma distribuição de probabilidades p X (x) Devido à conservação da probabilidade, uma mudança de variáveis deve obedecer à relação: p Y (y)dy = p X (x)dx Portanto, se p(x) = 1 no intervalo [0, 1) e é nula fora dele (distribuição uniforme), y p Y (y)dy = x 0 dx = x Invertendo esta relação, podemos obter y = y(x) Assim obtemos números pseudo-aleatórios que obedecem a uma distribuição p Y (y) a partir da distribuição uniforme
96 Mudança de variáveis Geradores de números aleatórios uniformes Outras distribuições de probabilidades Distribuições não inversíveis Suponha que uma variável aleatória X obedeça a uma distribuição de probabilidades p X (x) Devido à conservação da probabilidade, uma mudança de variáveis deve obedecer à relação: p Y (y)dy = p X (x)dx Portanto, se p(x) = 1 no intervalo [0, 1) e é nula fora dele (distribuição uniforme), y p Y (y)dy = x 0 dx = x Invertendo esta relação, podemos obter y = y(x) Assim obtemos números pseudo-aleatórios que obedecem a uma distribuição p Y (y) a partir da distribuição uniforme
97 Distribuição exponencial Geradores de números aleatórios uniformes Outras distribuições de probabilidades Distribuições não inversíveis p Y (y) = e y x = y 0 y(x) = ln(1 x) e y dy = 1 e y
98 Distribuição exponencial Geradores de números aleatórios uniformes Outras distribuições de probabilidades Distribuições não inversíveis p Y (y) = e y x = y 0 y(x) = ln(1 x) e y dy = 1 e y
99 Distribuição gaussiana Geradores de números aleatórios uniformes Outras distribuições de probabilidades Distribuições não inversíveis Aplicando o mesmo procedimento, temos p Y (y) = 1 2π e y 2 /2 x = 1 2 Contudo, não podemos inverter a função erro. Alternativa ( 1 + erf ( y 2 ) Analisemos a distribuição conjunta de 2 números aleatórios independentes p(y 1, y 2 )dy 1 dy 2 = 1 2π e (y 2 1 +y 2 2 )/2 dy 1 dy 2 )
100 Distribuição gaussiana Geradores de números aleatórios uniformes Outras distribuições de probabilidades Distribuições não inversíveis Aplicando o mesmo procedimento, temos p Y (y) = 1 2π e y 2 /2 x = 1 2 Contudo, não podemos inverter a função erro. Alternativa ( 1 + erf ( y 2 ) Analisemos a distribuição conjunta de 2 números aleatórios independentes p(y 1, y 2 )dy 1 dy 2 = 1 2π e (y 2 1 +y 2 2 )/2 dy 1 dy 2 )
101 Distribuição gaussiana Geradores de números aleatórios uniformes Outras distribuições de probabilidades Distribuições não inversíveis Aplicando o mesmo procedimento, temos p Y (y) = 1 2π e y 2 /2 x = 1 2 Contudo, não podemos inverter a função erro. Alternativa ( 1 + erf ( y 2 ) Analisemos a distribuição conjunta de 2 números aleatórios independentes p(y 1, y 2 )dy 1 dy 2 = 1 2π e (y 2 1 +y 2 2 )/2 dy 1 dy 2 )
102 Distribuição gaussiana Geradores de números aleatórios uniformes Outras distribuições de probabilidades Distribuições não inversíveis Alternativa Mudando para coordenada polares, r = y1 2 + y 2 2 e θ = tan 1 y 1 y 2
103 Distribuição gaussiana Geradores de números aleatórios uniformes Outras distribuições de probabilidades Distribuições não inversíveis Alternativa Mudando para coordenada polares, r = y1 2 + y 2 2 e θ = tan 1 y 1 y 2 Temos 1 2π e (y 1 2+y 2 2)/2 dy 1 dy 2 = 1 2π e r 2 /2 rdrdθ
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