Método Monte-Carlo. Alexandre Rosas. 23 de Março de Departamento de Física Universidade Federal da Paraíba

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1 Departamento de Física Universidade Federal da Paraíba 23 de Março de 2009

2 O que são os métodos de Monte-Carlo? Métodos numéricos que utilizam amostragem estatística (em contraposição a métodos determinísticos) Amostragem aleatória a partir de uma função distribuição de probabilidades. números pseudo-aleatórios Várias amostras Média Alguns problemas determinísticos podem ser reescritos em função de uma distribuição de probabilidades integração

3 O que são os métodos de Monte-Carlo? Métodos numéricos que utilizam amostragem estatística (em contraposição a métodos determinísticos) Amostragem aleatória a partir de uma função distribuição de probabilidades. números pseudo-aleatórios Várias amostras Média Alguns problemas determinísticos podem ser reescritos em função de uma distribuição de probabilidades integração

4 O que são os métodos de Monte-Carlo? Métodos numéricos que utilizam amostragem estatística (em contraposição a métodos determinísticos) Amostragem aleatória a partir de uma função distribuição de probabilidades. números pseudo-aleatórios Várias amostras Média Alguns problemas determinísticos podem ser reescritos em função de uma distribuição de probabilidades integração

5 O que são os métodos de Monte-Carlo? Métodos numéricos que utilizam amostragem estatística (em contraposição a métodos determinísticos) Amostragem aleatória a partir de uma função distribuição de probabilidades. números pseudo-aleatórios Várias amostras Média Alguns problemas determinísticos podem ser reescritos em função de uma distribuição de probabilidades integração

6 O que são os métodos de Monte-Carlo? Métodos numéricos que utilizam amostragem estatística (em contraposição a métodos determinísticos) Amostragem aleatória a partir de uma função distribuição de probabilidades. números pseudo-aleatórios Várias amostras Média Alguns problemas determinísticos podem ser reescritos em função de uma distribuição de probabilidades integração

7 O que são os métodos de Monte-Carlo? Métodos numéricos que utilizam amostragem estatística (em contraposição a métodos determinísticos) Amostragem aleatória a partir de uma função distribuição de probabilidades. números pseudo-aleatórios Várias amostras Média Alguns problemas determinísticos podem ser reescritos em função de uma distribuição de probabilidades integração

8 O que são os métodos de Monte-Carlo? Métodos numéricos que utilizam amostragem estatística (em contraposição a métodos determinísticos) Amostragem aleatória a partir de uma função distribuição de probabilidades. números pseudo-aleatórios Várias amostras Média Alguns problemas determinísticos podem ser reescritos em função de uma distribuição de probabilidades integração

9 O que são os métodos de Monte-Carlo? Métodos numéricos que utilizam amostragem estatística (em contraposição a métodos determinísticos) Amostragem aleatória a partir de uma função distribuição de probabilidades. números pseudo-aleatórios Várias amostras Média Alguns problemas determinísticos podem ser reescritos em função de uma distribuição de probabilidades integração

10 Histórico Introdução Origem do nome: Cassino de Monte-Carlo, Mônaco Roleta números aleatórios Nome e sistematização em torno de 1944 Precussores 1873 A. Hall Determinação de π jogando uma agulha 1899 Lord Rayleigh caminhada aleatória unidimensional 1931 Kolmogorov processos markovianos 1908 W. S. Gosset distribuição t de Student 2 a guerra Primeiros usos na pesquisa bomba atômica 1948 Harris e Herman Kanh desenvolvimento sistemático 1948 Fermi, Metropolis e Ulam estimativas de autovalores da equação de Schrodinger

11 Histórico Introdução Origem do nome: Cassino de Monte-Carlo, Mônaco Roleta números aleatórios Nome e sistematização em torno de 1944 Precussores 1873 A. Hall Determinação de π jogando uma agulha 1899 Lord Rayleigh caminhada aleatória unidimensional 1931 Kolmogorov processos markovianos 1908 W. S. Gosset distribuição t de Student 2 a guerra Primeiros usos na pesquisa bomba atômica 1948 Harris e Herman Kanh desenvolvimento sistemático 1948 Fermi, Metropolis e Ulam estimativas de autovalores da equação de Schrodinger

12 Histórico Introdução Origem do nome: Cassino de Monte-Carlo, Mônaco Roleta números aleatórios Nome e sistematização em torno de 1944 Precussores 1873 A. Hall Determinação de π jogando uma agulha 1899 Lord Rayleigh caminhada aleatória unidimensional 1931 Kolmogorov processos markovianos 1908 W. S. Gosset distribuição t de Student 2 a guerra Primeiros usos na pesquisa bomba atômica 1948 Harris e Herman Kanh desenvolvimento sistemático 1948 Fermi, Metropolis e Ulam estimativas de autovalores da equação de Schrodinger

13 Histórico Introdução Origem do nome: Cassino de Monte-Carlo, Mônaco Roleta números aleatórios Nome e sistematização em torno de 1944 Precussores 1873 A. Hall Determinação de π jogando uma agulha 1899 Lord Rayleigh caminhada aleatória unidimensional 1931 Kolmogorov processos markovianos 1908 W. S. Gosset distribuição t de Student 2 a guerra Primeiros usos na pesquisa bomba atômica 1948 Harris e Herman Kanh desenvolvimento sistemático 1948 Fermi, Metropolis e Ulam estimativas de autovalores da equação de Schrodinger

14 Histórico Introdução Origem do nome: Cassino de Monte-Carlo, Mônaco Roleta números aleatórios Nome e sistematização em torno de 1944 Precussores 1873 A. Hall Determinação de π jogando uma agulha 1899 Lord Rayleigh caminhada aleatória unidimensional sem barreira dá solução aproximada para equação diferencial parabólica (difusão) 1931 Kolmogorov processos markovianos 1908 W. S. Gosset distribuição t de Student 2 a guerra Primeiros usos na pesquisa bomba atômica 1948 Harris e Herman Kanh desenvolvimento sistemático 1948 Fermi, Metropolis e Ulam estimativas de autovalores da equação de Schrodinger

15 Histórico Introdução Origem do nome: Cassino de Monte-Carlo, Mônaco Roleta números aleatórios Nome e sistematização em torno de 1944 Precussores 1873 A. Hall Determinação de π jogando uma agulha 1899 Lord Rayleigh caminhada aleatória unidimensional 1931 Kolmogorov relação entre processos markovianos e equações integro-diferenciais 1908 W. S. Gosset distribuição t de Student 2 a guerra Primeiros usos na pesquisa bomba atômica 1948 Harris e Herman Kanh desenvolvimento sistemático 1948 Fermi, Metropolis e Ulam estimativas de autovalores da equação de Schrodinger

16 Histórico Introdução Origem do nome: Cassino de Monte-Carlo, Mônaco Roleta números aleatórios Nome e sistematização em torno de 1944 Precussores 1873 A. Hall Determinação de π jogando uma agulha 1899 Lord Rayleigh caminhada aleatória unidimensional 1931 Kolmogorov processos markovianos 1908 W. S. Gosset amostragem experimental usada para criar a distribuição t de Student 2 a guerra Primeiros usos na pesquisa bomba atômica 1948 Harris e Herman Kanh desenvolvimento sistemático 1948 Fermi, Metropolis e Ulam estimativas de autovalores da equação de Schrodinger

17 Histórico Introdução Origem do nome: Cassino de Monte-Carlo, Mônaco Roleta números aleatórios Nome e sistematização em torno de 1944 Precussores 1873 A. Hall Determinação de π jogando uma agulha 1899 Lord Rayleigh caminhada aleatória unidimensional 1931 Kolmogorov processos markovianos 1908 W. S. Gosset distribuição t de Student 2 a guerra Primeiros usos na pesquisa bomba atômica Problemas probabilísticos associados à difusão de nêutrons no material físsil 1948 Harris e Herman Kanh desenvolvimento sistemático 1948 Fermi, Metropolis e Ulam estimativas de autovalores da equação de Schrodinger

18 Histórico Introdução Origem do nome: Cassino de Monte-Carlo, Mônaco Roleta números aleatórios Nome e sistematização em torno de 1944 Precussores 1873 A. Hall Determinação de π jogando uma agulha 1899 Lord Rayleigh caminhada aleatória unidimensional 1931 Kolmogorov processos markovianos 1908 W. S. Gosset distribuição t de Student 2 a guerra Primeiros usos na pesquisa bomba atômica 1948 Harris e Herman Kanh desenvolvimento sistemático 1948 Fermi, Metropolis e Ulam estimativas de autovalores da equação de Schrodinger

19 Histórico Introdução Origem do nome: Cassino de Monte-Carlo, Mônaco Roleta números aleatórios Nome e sistematização em torno de 1944 Precussores 1873 A. Hall Determinação de π jogando uma agulha 1899 Lord Rayleigh caminhada aleatória unidimensional 1931 Kolmogorov processos markovianos 1908 W. S. Gosset distribuição t de Student 2 a guerra Primeiros usos na pesquisa bomba atômica 1948 Harris e Herman Kanh desenvolvimento sistemático 1948 Fermi, Metropolis e Ulam estimativas de autovalores da equação de Schrodinger

20 Introdução ao método Integração de Monte-Carlo Evolução para o equilíbrio Decaimento radioativo Na aula sobre integração numérica vimos que I = 1 0 f (x)dx N f (x k )ω k k=1 Tomando todos os ω k iguais e lembrando que h = 1/N N f (x k )ω k = 1 N k=1 N f (x k ) = f N k=1 distribuição uniforme Repetindo a medida M vezes, I = 1 M M f N k=1

21 Introdução ao método Integração de Monte-Carlo Evolução para o equilíbrio Decaimento radioativo Na aula sobre integração numérica vimos que I = 1 0 f (x)dx N f (x k )ω k k=1 Tomando todos os ω k iguais e lembrando que h = 1/N N f (x k )ω k = 1 N k=1 N f (x k ) = f N k=1 distribuição uniforme Repetindo a medida M vezes, I = 1 M M f N k=1

22 Introdução ao método Integração de Monte-Carlo Evolução para o equilíbrio Decaimento radioativo Na aula sobre integração numérica vimos que I = 1 0 f (x)dx N f (x k )ω k k=1 Tomando todos os ω k iguais e lembrando que h = 1/N N f (x k )ω k = 1 N k=1 N f (x k ) = f N k=1 distribuição uniforme Repetindo a medida M vezes, I = 1 M M f N k=1

23 Variância Introdução Integração de Monte-Carlo Evolução para o equilíbrio Decaimento radioativo Variância em uma amostra medida do desvio de f da sua média = f 2 M f 2 M σ 2 f Variância da série de medidas σ 2 M 1 M ( ) f 2 M f 2 N = σ2 f M σ M 1/ M é uma medida do erro

24 Variância Introdução Integração de Monte-Carlo Evolução para o equilíbrio Decaimento radioativo Variância em uma amostra medida do desvio de f da sua média = f 2 M f 2 M σ 2 f Variância da série de medidas σ 2 M 1 M ( ) f 2 M f 2 N = σ2 f M σ M 1/ M é uma medida do erro

25 Variância Introdução Integração de Monte-Carlo Evolução para o equilíbrio Decaimento radioativo Variância em uma amostra medida do desvio de f da sua média = f 2 M f 2 M σ 2 f Variância da série de medidas σ 2 M 1 M ( ) f 2 M f 2 N = σ2 f M σ M 1/ M é uma medida do erro

26 Integração de Monte-Carlo Evolução para o equilíbrio Decaimento radioativo Comparação com outros métodos Método Erro Monte Carlo N 1/2 Trapézio h N 1/d Simpson h N 4/d

27 Integração de Monte-Carlo Evolução para o equilíbrio Decaimento radioativo Comparação com outros métodos Método Erro Monte Carlo N 1/2 Trapézio h N 1/d Simpson h N 4/d

28 Integração de Monte-Carlo Evolução para o equilíbrio Decaimento radioativo Comparação com outros métodos Método Erro Monte Carlo N 1/2 Trapézio h N 1/d Simpson h N 4/d

29 Integração de Monte-Carlo Evolução para o equilíbrio Decaimento radioativo Comparação com outros métodos Método Erro Monte Carlo N 1/2 Trapézio h N 1/d Simpson h N 4/d Por que usar Monte-Carlo?

30 Integração de Monte-Carlo Evolução para o equilíbrio Decaimento radioativo Comparação com outros métodos Método Erro Monte Carlo N 1/2 Trapézio h N 1/d Simpson h N 4/d Integrais multidimensionais Monte-Carlo não depende da dimensão

31 Implementação Introdução Integração de Monte-Carlo Evolução para o equilíbrio Decaimento radioativo Algoritmo 1 Escolha o número de amostras 2 Para cada amostra escolha um número aleatório x k e calcule f (x k ) 3 Calcule a média de f (x k ) e a variância

32 Implementação Introdução Integração de Monte-Carlo Evolução para o equilíbrio Decaimento radioativo Algoritmo 1 Escolha o número de amostras 2 Para cada amostra escolha um número aleatório x k e calcule f (x k ) 3 Calcule a média de f (x k ) e a variância

33 Implementação Introdução Integração de Monte-Carlo Evolução para o equilíbrio Decaimento radioativo Algoritmo 1 Escolha o número de amostras 2 Para cada amostra escolha um número aleatório x k e calcule f (x k ) 3 Calcule a média de f (x k ) e a variância

34 Exemplo Introdução Integração de Monte-Carlo Evolução para o equilíbrio Decaimento radioativo x x dx = π N I σ N I π π variância oscila em torno do valor exato integral correta até quarta casa

35 Partículas em uma caixa Integração de Monte-Carlo Evolução para o equilíbrio Decaimento radioativo Caixa dividida em duas metades iguais Inicialmente, todas as partículas no lado esquerdo Pequeno buraco é feito na parede Ao invés de descrever o estado inicial das N partículas, fazemos um modelo estatístico Cada partícula tem mesma probabilidade de ir para a direita ou voltar para a esquerda Algoritmo 1 Repetir para muitos passos de tempo N t > N 2 Para cada passo de tempo, a probalilidade de uma partícula ir para a direita é p = N l /N 3 Sortear um número aleatório r 4 Se p < r, N l N l 1, caso contrário N l N l + 1

36 Partículas em uma caixa Integração de Monte-Carlo Evolução para o equilíbrio Decaimento radioativo Caixa dividida em duas metades iguais Inicialmente, todas as partículas no lado esquerdo Pequeno buraco é feito na parede Ao invés de descrever o estado inicial das N partículas, fazemos um modelo estatístico Cada partícula tem mesma probabilidade de ir para a direita ou voltar para a esquerda Algoritmo 1 Repetir para muitos passos de tempo N t > N 2 Para cada passo de tempo, a probalilidade de uma partícula ir para a direita é p = N l /N 3 Sortear um número aleatório r 4 Se p < r, N l N l 1, caso contrário N l N l + 1

37 Partículas em uma caixa Integração de Monte-Carlo Evolução para o equilíbrio Decaimento radioativo Caixa dividida em duas metades iguais Inicialmente, todas as partículas no lado esquerdo Pequeno buraco é feito na parede Ao invés de descrever o estado inicial das N partículas, fazemos um modelo estatístico Cada partícula tem mesma probabilidade de ir para a direita ou voltar para a esquerda Algoritmo 1 Repetir para muitos passos de tempo N t > N 2 Para cada passo de tempo, a probalilidade de uma partícula ir para a direita é p = N l /N 3 Sortear um número aleatório r 4 Se p < r, N l N l 1, caso contrário N l N l + 1

38 Partículas em uma caixa Integração de Monte-Carlo Evolução para o equilíbrio Decaimento radioativo Caixa dividida em duas metades iguais Inicialmente, todas as partículas no lado esquerdo Pequeno buraco é feito na parede Ao invés de descrever o estado inicial das N partículas, fazemos um modelo estatístico Cada partícula tem mesma probabilidade de ir para a direita ou voltar para a esquerda Algoritmo 1 Repetir para muitos passos de tempo N t > N 2 Para cada passo de tempo, a probalilidade de uma partícula ir para a direita é p = N l /N 3 Sortear um número aleatório r 4 Se p < r, N l N l 1, caso contrário N l N l + 1

39 Partículas em uma caixa Integração de Monte-Carlo Evolução para o equilíbrio Decaimento radioativo Caixa dividida em duas metades iguais Inicialmente, todas as partículas no lado esquerdo Pequeno buraco é feito na parede Ao invés de descrever o estado inicial das N partículas, fazemos um modelo estatístico Cada partícula tem mesma probabilidade de ir para a direita ou voltar para a esquerda Algoritmo 1 Repetir para muitos passos de tempo N t > N 2 Para cada passo de tempo, a probalilidade de uma partícula ir para a direita é p = N l /N 3 Sortear um número aleatório r 4 Se p < r, N l N l 1, caso contrário N l N l + 1

40 Partículas em uma caixa Integração de Monte-Carlo Evolução para o equilíbrio Decaimento radioativo Caixa dividida em duas metades iguais Inicialmente, todas as partículas no lado esquerdo Pequeno buraco é feito na parede Ao invés de descrever o estado inicial das N partículas, fazemos um modelo estatístico Cada partícula tem mesma probabilidade de ir para a direita ou voltar para a esquerda Algoritmo 1 Repetir para muitos passos de tempo N t > N 2 Para cada passo de tempo, a probalilidade de uma partícula ir para a direita é p = N l /N 3 Sortear um número aleatório r 4 Se p < r, N l N l 1, caso contrário N l N l + 1

41 Partículas em uma caixa Integração de Monte-Carlo Evolução para o equilíbrio Decaimento radioativo Caixa dividida em duas metades iguais Inicialmente, todas as partículas no lado esquerdo Pequeno buraco é feito na parede Ao invés de descrever o estado inicial das N partículas, fazemos um modelo estatístico Cada partícula tem mesma probabilidade de ir para a direita ou voltar para a esquerda Algoritmo 1 Repetir para muitos passos de tempo N t > N 2 Para cada passo de tempo, a probalilidade de uma partícula ir para a direita é p = N l /N 3 Sortear um número aleatório r 4 Se p < r, N l N l 1, caso contrário N l N l + 1

42 Partículas em uma caixa Integração de Monte-Carlo Evolução para o equilíbrio Decaimento radioativo Caixa dividida em duas metades iguais Inicialmente, todas as partículas no lado esquerdo Pequeno buraco é feito na parede Ao invés de descrever o estado inicial das N partículas, fazemos um modelo estatístico Cada partícula tem mesma probabilidade de ir para a direita ou voltar para a esquerda Algoritmo 1 Repetir para muitos passos de tempo N t > N 2 Para cada passo de tempo, a probalilidade de uma partícula ir para a direita é p = N l /N 3 Sortear um número aleatório r 4 Se p < r, N l N l 1, caso contrário N l N l + 1

43 Resultado Introdução Integração de Monte-Carlo Evolução para o equilíbrio Decaimento radioativo N l (t) t

44 O problema Introdução Integração de Monte-Carlo Evolução para o equilíbrio Decaimento radioativo Núcleo radioativo X pode decair para núcleo Y Por sua vez, o núcleo Y pode decair para Z A meia-vida do núcleo X é τ X, e a do núcleo Y é τ Y Definindo a probabilidade de decaimento de um núcleo por unidade de tempo ω = 1/τ, o sistema pode ser descrito pelas equações dx dt dy dt = ω X X(t) = ω X X(t) ω Y Y (t)

45 O problema Introdução Integração de Monte-Carlo Evolução para o equilíbrio Decaimento radioativo Núcleo radioativo X pode decair para núcleo Y Por sua vez, o núcleo Y pode decair para Z A meia-vida do núcleo X é τ X, e a do núcleo Y é τ Y Definindo a probabilidade de decaimento de um núcleo por unidade de tempo ω = 1/τ, o sistema pode ser descrito pelas equações dx dt dy dt = ω X X(t) = ω X X(t) ω Y Y (t)

46 O problema Introdução Integração de Monte-Carlo Evolução para o equilíbrio Decaimento radioativo Núcleo radioativo X pode decair para núcleo Y Por sua vez, o núcleo Y pode decair para Z A meia-vida do núcleo X é τ X, e a do núcleo Y é τ Y Definindo a probabilidade de decaimento de um núcleo por unidade de tempo ω = 1/τ, o sistema pode ser descrito pelas equações dx dt dy dt = ω X X(t) = ω X X(t) ω Y Y (t)

47 O problema Introdução Integração de Monte-Carlo Evolução para o equilíbrio Decaimento radioativo Núcleo radioativo X pode decair para núcleo Y Por sua vez, o núcleo Y pode decair para Z A meia-vida do núcleo X é τ X, e a do núcleo Y é τ Y Definindo a probabilidade de decaimento de um núcleo por unidade de tempo ω = 1/τ, o sistema pode ser descrito pelas equações dx dt dy dt = ω X X(t) = ω X X(t) ω Y Y (t)

48 O problema Introdução Integração de Monte-Carlo Evolução para o equilíbrio Decaimento radioativo Núcleo radioativo X pode decair para núcleo Y Por sua vez, o núcleo Y pode decair para Z A meia-vida do núcleo X é τ X, e a do núcleo Y é τ Y Definindo a probabilidade de decaimento de um núcleo por unidade de tempo ω = 1/τ, o sistema pode ser descrito pelas equações dx dt dy dt = ω X X(t) = ω X X(t) ω Y Y (t)

49 Do ponto de vista simulacional Integração de Monte-Carlo Evolução para o equilíbrio Decaimento radioativo A cada passo de tempo: Cada um dos N X átomos pode decair com probabilidade ω X Cada um dos N Y átomos pode decair com probabilidade ω Y Portanto, se N (d) X,Y (t) é o número de atómos (X, Y ) que decaem no tempo t, N X (t + 1) N X (t) N (d) X (t) N Y (t + 1) N Y (t) + N (d) (t) N(d) X Y

50 Do ponto de vista simulacional Integração de Monte-Carlo Evolução para o equilíbrio Decaimento radioativo A cada passo de tempo: Cada um dos N X átomos pode decair com probabilidade ω X Cada um dos N Y átomos pode decair com probabilidade ω Y Portanto, se N (d) X,Y (t) é o número de atómos (X, Y ) que decaem no tempo t, N X (t + 1) N X (t) N (d) X (t) N Y (t + 1) N Y (t) + N (d) (t) N(d) X Y

51 Do ponto de vista simulacional Integração de Monte-Carlo Evolução para o equilíbrio Decaimento radioativo A cada passo de tempo: Cada um dos N X átomos pode decair com probabilidade ω X Cada um dos N Y átomos pode decair com probabilidade ω Y Portanto, se N (d) X,Y (t) é o número de atómos (X, Y ) que decaem no tempo t, N X (t + 1) N X (t) N (d) X (t) N Y (t + 1) N Y (t) + N (d) (t) N(d) X Y

52 Do ponto de vista simulacional Integração de Monte-Carlo Evolução para o equilíbrio Decaimento radioativo A cada passo de tempo: Cada um dos N X átomos pode decair com probabilidade ω X Cada um dos N Y átomos pode decair com probabilidade ω Y Portanto, se N (d) X,Y (t) é o número de atómos (X, Y ) que decaem no tempo t, N X (t + 1) N X (t) N (d) X (t) N Y (t + 1) N Y (t) + N (d) (t) N(d) X Y

53 Decaimento de 210 Bi e 210 Po Integração de Monte-Carlo Evolução para o equilíbrio Decaimento radioativo O 210 Bi decai em 210 Po (decaimento β) O 210 Po decai em 206 Pb (decaimento α) Meia vida do 210 Bi: τ Bi = 7.2 dias Meia vida do 210 Po: τ Po = 200 dias Suponha que inicialmente tenhamos 1000 átomos de 210 Bi, como será a evolução do sistema? É importante escolher bem a escala de tempo Se ela for muito grande, não veremos a evolução do sistema Se ela for muito pequena, o programa será muito lento 1 passo Monte-Carlo = 1 hora é razoável

54 Decaimento de 210 Bi e 210 Po Integração de Monte-Carlo Evolução para o equilíbrio Decaimento radioativo O 210 Bi decai em 210 Po (decaimento β) O 210 Po decai em 206 Pb (decaimento α) Meia vida do 210 Bi: τ Bi = 7.2 dias Meia vida do 210 Po: τ Po = 200 dias Suponha que inicialmente tenhamos 1000 átomos de 210 Bi, como será a evolução do sistema? É importante escolher bem a escala de tempo Se ela for muito grande, não veremos a evolução do sistema Se ela for muito pequena, o programa será muito lento 1 passo Monte-Carlo = 1 hora é razoável

55 Decaimento de 210 Bi e 210 Po Integração de Monte-Carlo Evolução para o equilíbrio Decaimento radioativo O 210 Bi decai em 210 Po (decaimento β) O 210 Po decai em 206 Pb (decaimento α) Meia vida do 210 Bi: τ Bi = 7.2 dias Meia vida do 210 Po: τ Po = 200 dias Suponha que inicialmente tenhamos 1000 átomos de 210 Bi, como será a evolução do sistema? É importante escolher bem a escala de tempo Se ela for muito grande, não veremos a evolução do sistema Se ela for muito pequena, o programa será muito lento 1 passo Monte-Carlo = 1 hora é razoável

56 Decaimento de 210 Bi e 210 Po Integração de Monte-Carlo Evolução para o equilíbrio Decaimento radioativo O 210 Bi decai em 210 Po (decaimento β) O 210 Po decai em 206 Pb (decaimento α) Meia vida do 210 Bi: τ Bi = 7.2 dias Meia vida do 210 Po: τ Po = 200 dias Suponha que inicialmente tenhamos 1000 átomos de 210 Bi, como será a evolução do sistema? É importante escolher bem a escala de tempo Se ela for muito grande, não veremos a evolução do sistema Se ela for muito pequena, o programa será muito lento 1 passo Monte-Carlo = 1 hora é razoável

57 Decaimento de 210 Bi e 210 Po Integração de Monte-Carlo Evolução para o equilíbrio Decaimento radioativo O 210 Bi decai em 210 Po (decaimento β) O 210 Po decai em 206 Pb (decaimento α) Meia vida do 210 Bi: τ Bi = 7.2 dias Meia vida do 210 Po: τ Po = 200 dias Suponha que inicialmente tenhamos 1000 átomos de 210 Bi, como será a evolução do sistema? É importante escolher bem a escala de tempo Se ela for muito grande, não veremos a evolução do sistema Se ela for muito pequena, o programa será muito lento 1 passo Monte-Carlo = 1 hora é razoável

58 Decaimento de 210 Bi e 210 Po Integração de Monte-Carlo Evolução para o equilíbrio Decaimento radioativo O 210 Bi decai em 210 Po (decaimento β) O 210 Po decai em 206 Pb (decaimento α) Meia vida do 210 Bi: τ Bi = 7.2 dias Meia vida do 210 Po: τ Po = 200 dias Suponha que inicialmente tenhamos 1000 átomos de 210 Bi, como será a evolução do sistema? É importante escolher bem a escala de tempo Se ela for muito grande, não veremos a evolução do sistema Se ela for muito pequena, o programa será muito lento 1 passo Monte-Carlo = 1 hora é razoável

59 Decaimento de 210 Bi e 210 Po Integração de Monte-Carlo Evolução para o equilíbrio Decaimento radioativo O 210 Bi decai em 210 Po (decaimento β) O 210 Po decai em 206 Pb (decaimento α) Meia vida do 210 Bi: τ Bi = 7.2 dias Meia vida do 210 Po: τ Po = 200 dias Suponha que inicialmente tenhamos 1000 átomos de 210 Bi, como será a evolução do sistema? É importante escolher bem a escala de tempo Se ela for muito grande, não veremos a evolução do sistema Se ela for muito pequena, o programa será muito lento 1 passo Monte-Carlo = 1 hora é razoável

60 Decaimento de 210 Bi e 210 Po Integração de Monte-Carlo Evolução para o equilíbrio Decaimento radioativo O 210 Bi decai em 210 Po (decaimento β) O 210 Po decai em 206 Pb (decaimento α) Meia vida do 210 Bi: τ Bi = 7.2 dias Meia vida do 210 Po: τ Po = 200 dias Suponha que inicialmente tenhamos 1000 átomos de 210 Bi, como será a evolução do sistema? É importante escolher bem a escala de tempo Se ela for muito grande, não veremos a evolução do sistema Se ela for muito pequena, o programa será muito lento 1 passo Monte-Carlo = 1 hora é razoável

61 210 Bi Introdução Integração de Monte-Carlo Evolução para o equilíbrio Decaimento radioativo N Bi (t) tempo (horas)

62 210 Po Introdução Integração de Monte-Carlo Evolução para o equilíbrio Decaimento radioativo N Po (t) tempo (horas)

63 Geradores de números aleatórios uniformes Outras distribuições de probabilidades Distribuições não inversíveis Geradores de números aleatórios são fundamentais para o método Monte-Carlo O computador não tem como gerar números puramente aleatórios, ele gera números que parecem aleatórios, os números pseudo-aleatórios Os números pseudo-aleatórios obedecem a uma regra determinística com as seguintes propriedades 1 Correlação entre números é pequena 2 O período para que a sequência se repita é grande 3 O algoritmo deve ser rápido 4 Obedecem a uma certa distribuição de probabilidades A distribuição de probabilidades mais simples é a uniforme Cada número em um intervalo tipicamente [0, 1) tem mesma probabilidade de ocorrer Outras distribuições de probabilidades são obtidas a partir da distribuição uniforme

64 Geradores de números aleatórios uniformes Outras distribuições de probabilidades Distribuições não inversíveis Geradores de números aleatórios são fundamentais para o método Monte-Carlo O computador não tem como gerar números puramente aleatórios, ele gera números que parecem aleatórios, os números pseudo-aleatórios Os números pseudo-aleatórios obedecem a uma regra determinística com as seguintes propriedades 1 Correlação entre números é pequena 2 O período para que a sequência se repita é grande 3 O algoritmo deve ser rápido 4 Obedecem a uma certa distribuição de probabilidades A distribuição de probabilidades mais simples é a uniforme Cada número em um intervalo tipicamente [0, 1) tem mesma probabilidade de ocorrer Outras distribuições de probabilidades são obtidas a partir da distribuição uniforme

65 Geradores de números aleatórios uniformes Outras distribuições de probabilidades Distribuições não inversíveis Geradores de números aleatórios são fundamentais para o método Monte-Carlo O computador não tem como gerar números puramente aleatórios, ele gera números que parecem aleatórios, os números pseudo-aleatórios Os números pseudo-aleatórios obedecem a uma regra determinística com as seguintes propriedades 1 Correlação entre números é pequena 2 O período para que a sequência se repita é grande 3 O algoritmo deve ser rápido 4 Obedecem a uma certa distribuição de probabilidades A distribuição de probabilidades mais simples é a uniforme Cada número em um intervalo tipicamente [0, 1) tem mesma probabilidade de ocorrer Outras distribuições de probabilidades são obtidas a partir da distribuição uniforme

66 Geradores de números aleatórios uniformes Outras distribuições de probabilidades Distribuições não inversíveis Geradores de números aleatórios são fundamentais para o método Monte-Carlo O computador não tem como gerar números puramente aleatórios, ele gera números que parecem aleatórios, os números pseudo-aleatórios Os números pseudo-aleatórios obedecem a uma regra determinística com as seguintes propriedades 1 Correlação entre números é pequena 2 O período para que a sequência se repita é grande 3 O algoritmo deve ser rápido 4 Obedecem a uma certa distribuição de probabilidades A distribuição de probabilidades mais simples é a uniforme Cada número em um intervalo tipicamente [0, 1) tem mesma probabilidade de ocorrer Outras distribuições de probabilidades são obtidas a partir da distribuição uniforme

67 Geradores de números aleatórios uniformes Outras distribuições de probabilidades Distribuições não inversíveis Geradores de números aleatórios são fundamentais para o método Monte-Carlo O computador não tem como gerar números puramente aleatórios, ele gera números que parecem aleatórios, os números pseudo-aleatórios Os números pseudo-aleatórios obedecem a uma regra determinística com as seguintes propriedades 1 Correlação entre números é pequena 2 O período para que a sequência se repita é grande 3 O algoritmo deve ser rápido 4 Obedecem a uma certa distribuição de probabilidades A distribuição de probabilidades mais simples é a uniforme Cada número em um intervalo tipicamente [0, 1) tem mesma probabilidade de ocorrer Outras distribuições de probabilidades são obtidas a partir da distribuição uniforme

68 Geradores de números aleatórios uniformes Outras distribuições de probabilidades Distribuições não inversíveis Geradores de números aleatórios são fundamentais para o método Monte-Carlo O computador não tem como gerar números puramente aleatórios, ele gera números que parecem aleatórios, os números pseudo-aleatórios Os números pseudo-aleatórios obedecem a uma regra determinística com as seguintes propriedades 1 Correlação entre números é pequena 2 O período para que a sequência se repita é grande 3 O algoritmo deve ser rápido 4 Obedecem a uma certa distribuição de probabilidades A distribuição de probabilidades mais simples é a uniforme Cada número em um intervalo tipicamente [0, 1) tem mesma probabilidade de ocorrer Outras distribuições de probabilidades são obtidas a partir da distribuição uniforme

69 Geradores de números aleatórios uniformes Outras distribuições de probabilidades Distribuições não inversíveis Geradores de números aleatórios são fundamentais para o método Monte-Carlo O computador não tem como gerar números puramente aleatórios, ele gera números que parecem aleatórios, os números pseudo-aleatórios Os números pseudo-aleatórios obedecem a uma regra determinística com as seguintes propriedades 1 Correlação entre números é pequena 2 O período para que a sequência se repita é grande 3 O algoritmo deve ser rápido 4 Obedecem a uma certa distribuição de probabilidades A distribuição de probabilidades mais simples é a uniforme Cada número em um intervalo tipicamente [0, 1) tem mesma probabilidade de ocorrer Outras distribuições de probabilidades são obtidas a partir da distribuição uniforme

70 Geradores de números aleatórios uniformes Outras distribuições de probabilidades Distribuições não inversíveis Geradores de números aleatórios são fundamentais para o método Monte-Carlo O computador não tem como gerar números puramente aleatórios, ele gera números que parecem aleatórios, os números pseudo-aleatórios Os números pseudo-aleatórios obedecem a uma regra determinística com as seguintes propriedades 1 Correlação entre números é pequena 2 O período para que a sequência se repita é grande 3 O algoritmo deve ser rápido 4 Obedecem a uma certa distribuição de probabilidades A distribuição de probabilidades mais simples é a uniforme Cada número em um intervalo tipicamente [0, 1) tem mesma probabilidade de ocorrer Outras distribuições de probabilidades são obtidas a partir da distribuição uniforme

71 Geradores de números aleatórios uniformes Outras distribuições de probabilidades Distribuições não inversíveis Geradores de números aleatórios são fundamentais para o método Monte-Carlo O computador não tem como gerar números puramente aleatórios, ele gera números que parecem aleatórios, os números pseudo-aleatórios Os números pseudo-aleatórios obedecem a uma regra determinística com as seguintes propriedades 1 Correlação entre números é pequena 2 O período para que a sequência se repita é grande 3 O algoritmo deve ser rápido 4 Obedecem a uma certa distribuição de probabilidades A distribuição de probabilidades mais simples é a uniforme Cada número em um intervalo tipicamente [0, 1) tem mesma probabilidade de ocorrer Outras distribuições de probabilidades são obtidas a partir da distribuição uniforme

72 Geradores de números aleatórios uniformes Outras distribuições de probabilidades Distribuições não inversíveis Geradores de números aleatórios são fundamentais para o método Monte-Carlo O computador não tem como gerar números puramente aleatórios, ele gera números que parecem aleatórios, os números pseudo-aleatórios Os números pseudo-aleatórios obedecem a uma regra determinística com as seguintes propriedades 1 Correlação entre números é pequena 2 O período para que a sequência se repita é grande 3 O algoritmo deve ser rápido 4 Obedecem a uma certa distribuição de probabilidades A distribuição de probabilidades mais simples é a uniforme Cada número em um intervalo tipicamente [0, 1) tem mesma probabilidade de ocorrer Outras distribuições de probabilidades são obtidas a partir da distribuição uniforme

73 Geradores congruenciais lineares N k = (an k 1 + c)mod(m) {N k, a, c, M} ℵ Gera os números x k = N k /M N 0 é a semente, M é o período máximo Geradores de números aleatórios uniformes Outras distribuições de probabilidades Distribuições não inversíveis MOD retorna o resto da divisão A escolha de N 0, a e c é fundamental para a qualidade do gerador Exemplo: tomando N 0 = 2, N k = (27N k )MOD(54) {11, 38, 11, 38,...} Estes são os geradores mais usados muito rápidos

74 Geradores congruenciais lineares N k = (an k 1 + c)mod(m) {N k, a, c, M} ℵ Gera os números x k = N k /M N 0 é a semente, M é o período máximo Geradores de números aleatórios uniformes Outras distribuições de probabilidades Distribuições não inversíveis MOD retorna o resto da divisão A escolha de N 0, a e c é fundamental para a qualidade do gerador Exemplo: tomando N 0 = 2, N k = (27N k )MOD(54) {11, 38, 11, 38,...} Estes são os geradores mais usados muito rápidos

75 Geradores congruenciais lineares N k = (an k 1 + c)mod(m) {N k, a, c, M} ℵ Gera os números x k = N k /M N 0 é a semente, M é o período máximo Geradores de números aleatórios uniformes Outras distribuições de probabilidades Distribuições não inversíveis MOD retorna o resto da divisão A escolha de N 0, a e c é fundamental para a qualidade do gerador Exemplo: tomando N 0 = 2, N k = (27N k )MOD(54) {11, 38, 11, 38,...} Estes são os geradores mais usados muito rápidos

76 Geradores congruenciais lineares N k = (an k 1 + c)mod(m) {N k, a, c, M} ℵ Gera os números x k = N k /M N 0 é a semente, M é o período máximo Geradores de números aleatórios uniformes Outras distribuições de probabilidades Distribuições não inversíveis MOD retorna o resto da divisão A escolha de N 0, a e c é fundamental para a qualidade do gerador Exemplo: tomando N 0 = 2, N k = (27N k )MOD(54) {11, 38, 11, 38,...} Estes são os geradores mais usados muito rápidos

77 Geradores congruenciais lineares N k = (an k 1 + c)mod(m) {N k, a, c, M} ℵ Gera os números x k = N k /M N 0 é a semente, M é o período máximo Geradores de números aleatórios uniformes Outras distribuições de probabilidades Distribuições não inversíveis MOD retorna o resto da divisão A escolha de N 0, a e c é fundamental para a qualidade do gerador Exemplo: tomando N 0 = 2, N k = (27N k )MOD(54) {11, 38, 11, 38,...} Estes são os geradores mais usados muito rápidos

78 Geradores congruenciais lineares N k = (an k 1 + c)mod(m) {N k, a, c, M} ℵ Gera os números x k = N k /M N 0 é a semente, M é o período máximo Geradores de números aleatórios uniformes Outras distribuições de probabilidades Distribuições não inversíveis MOD retorna o resto da divisão A escolha de N 0, a e c é fundamental para a qualidade do gerador Exemplo: tomando N 0 = 2, N k = (27N k )MOD(54) {11, 38, 11, 38,...} Estes são os geradores mais usados muito rápidos

79 Geradores congruenciais lineares N k = (an k 1 + c)mod(m) {N k, a, c, M} ℵ Gera os números x k = N k /M N 0 é a semente, M é o período máximo Geradores de números aleatórios uniformes Outras distribuições de probabilidades Distribuições não inversíveis MOD retorna o resto da divisão A escolha de N 0, a e c é fundamental para a qualidade do gerador Exemplo: tomando N 0 = 2, N k = (27N k )MOD(54) {11, 38, 11, 38,...} Estes são os geradores mais usados muito rápidos

80 Deslocamento de registro Geradores de números aleatórios uniformes Outras distribuições de probabilidades Distribuições não inversíveis Gerador depende de mais de um valor precedente Por exemplo, N k = (an k l + cn k j )MOD(M) Desta forma pode-se obter períodos muito maiores que M

81 Deslocamento de registro Geradores de números aleatórios uniformes Outras distribuições de probabilidades Distribuições não inversíveis Gerador depende de mais de um valor precedente Por exemplo, N k = (an k l + cn k j )MOD(M) Desta forma pode-se obter períodos muito maiores que M

82 Deslocamento de registro Geradores de números aleatórios uniformes Outras distribuições de probabilidades Distribuições não inversíveis Gerador depende de mais de um valor precedente Por exemplo, N k = (an k l + cn k j )MOD(M) Desta forma pode-se obter períodos muito maiores que M

83 Mersenne Twister Geradores de números aleatórios uniformes Outras distribuições de probabilidades Distribuições não inversíveis Criado para corrigir deficiências de outros geradores Propicia a geração de números pseudo-aleatórios de alta qualidade Vantagens 1 Período de recorrência muito grande Tem alta ordem de equidistribuição dimensional (geradores congruenciais lineares são particularmente ineficientes) 3 É rápido 4 Passa em diversos testes estatísticos como o die hard Baseado em primos de Mersenne (se p é um número primo e M p = 2 p 1 também, M p é dito primo de Mersenne) É um gerador de deslocamente o registro associado a uma operação (twist) para assegurar a equidistribuição Implementado na GSL Gnu Scientific Library

84 Mersenne Twister Geradores de números aleatórios uniformes Outras distribuições de probabilidades Distribuições não inversíveis Criado para corrigir deficiências de outros geradores Propicia a geração de números pseudo-aleatórios de alta qualidade Vantagens 1 Período de recorrência muito grande Tem alta ordem de equidistribuição dimensional (geradores congruenciais lineares são particularmente ineficientes) 3 É rápido 4 Passa em diversos testes estatísticos como o die hard Baseado em primos de Mersenne (se p é um número primo e M p = 2 p 1 também, M p é dito primo de Mersenne) É um gerador de deslocamente o registro associado a uma operação (twist) para assegurar a equidistribuição Implementado na GSL Gnu Scientific Library

85 Mersenne Twister Geradores de números aleatórios uniformes Outras distribuições de probabilidades Distribuições não inversíveis Criado para corrigir deficiências de outros geradores Propicia a geração de números pseudo-aleatórios de alta qualidade Vantagens 1 Período de recorrência muito grande Tem alta ordem de equidistribuição dimensional (geradores congruenciais lineares são particularmente ineficientes) 3 É rápido 4 Passa em diversos testes estatísticos como o die hard Baseado em primos de Mersenne (se p é um número primo e M p = 2 p 1 também, M p é dito primo de Mersenne) É um gerador de deslocamente o registro associado a uma operação (twist) para assegurar a equidistribuição Implementado na GSL Gnu Scientific Library

86 Mersenne Twister Geradores de números aleatórios uniformes Outras distribuições de probabilidades Distribuições não inversíveis Criado para corrigir deficiências de outros geradores Propicia a geração de números pseudo-aleatórios de alta qualidade Vantagens 1 Período de recorrência muito grande Tem alta ordem de equidistribuição dimensional (geradores congruenciais lineares são particularmente ineficientes) 3 É rápido 4 Passa em diversos testes estatísticos como o die hard Baseado em primos de Mersenne (se p é um número primo e M p = 2 p 1 também, M p é dito primo de Mersenne) É um gerador de deslocamente o registro associado a uma operação (twist) para assegurar a equidistribuição Implementado na GSL Gnu Scientific Library

87 Mersenne Twister Geradores de números aleatórios uniformes Outras distribuições de probabilidades Distribuições não inversíveis Criado para corrigir deficiências de outros geradores Propicia a geração de números pseudo-aleatórios de alta qualidade Vantagens 1 Período de recorrência muito grande Tem alta ordem de equidistribuição dimensional (geradores congruenciais lineares são particularmente ineficientes) 3 É rápido 4 Passa em diversos testes estatísticos como o die hard Baseado em primos de Mersenne (se p é um número primo e M p = 2 p 1 também, M p é dito primo de Mersenne) É um gerador de deslocamente o registro associado a uma operação (twist) para assegurar a equidistribuição Implementado na GSL Gnu Scientific Library

88 Mersenne Twister Geradores de números aleatórios uniformes Outras distribuições de probabilidades Distribuições não inversíveis Criado para corrigir deficiências de outros geradores Propicia a geração de números pseudo-aleatórios de alta qualidade Vantagens 1 Período de recorrência muito grande Tem alta ordem de equidistribuição dimensional (geradores congruenciais lineares são particularmente ineficientes) 3 É rápido 4 Passa em diversos testes estatísticos como o die hard Baseado em primos de Mersenne (se p é um número primo e M p = 2 p 1 também, M p é dito primo de Mersenne) É um gerador de deslocamente o registro associado a uma operação (twist) para assegurar a equidistribuição Implementado na GSL Gnu Scientific Library

89 Mersenne Twister Geradores de números aleatórios uniformes Outras distribuições de probabilidades Distribuições não inversíveis Criado para corrigir deficiências de outros geradores Propicia a geração de números pseudo-aleatórios de alta qualidade Vantagens 1 Período de recorrência muito grande Tem alta ordem de equidistribuição dimensional (geradores congruenciais lineares são particularmente ineficientes) 3 É rápido 4 Passa em diversos testes estatísticos como o die hard Baseado em primos de Mersenne (se p é um número primo e M p = 2 p 1 também, M p é dito primo de Mersenne) É um gerador de deslocamente o registro associado a uma operação (twist) para assegurar a equidistribuição Implementado na GSL Gnu Scientific Library

90 Mersenne Twister Geradores de números aleatórios uniformes Outras distribuições de probabilidades Distribuições não inversíveis Criado para corrigir deficiências de outros geradores Propicia a geração de números pseudo-aleatórios de alta qualidade Vantagens 1 Período de recorrência muito grande Tem alta ordem de equidistribuição dimensional (geradores congruenciais lineares são particularmente ineficientes) 3 É rápido 4 Passa em diversos testes estatísticos como o die hard Baseado em primos de Mersenne (se p é um número primo e M p = 2 p 1 também, M p é dito primo de Mersenne) É um gerador de deslocamente o registro associado a uma operação (twist) para assegurar a equidistribuição Implementado na GSL Gnu Scientific Library

91 Mersenne Twister Geradores de números aleatórios uniformes Outras distribuições de probabilidades Distribuições não inversíveis Criado para corrigir deficiências de outros geradores Propicia a geração de números pseudo-aleatórios de alta qualidade Vantagens 1 Período de recorrência muito grande Tem alta ordem de equidistribuição dimensional (geradores congruenciais lineares são particularmente ineficientes) 3 É rápido 4 Passa em diversos testes estatísticos como o die hard Baseado em primos de Mersenne (se p é um número primo e M p = 2 p 1 também, M p é dito primo de Mersenne) É um gerador de deslocamente o registro associado a uma operação (twist) para assegurar a equidistribuição Implementado na GSL Gnu Scientific Library

92 Mudança de variáveis Geradores de números aleatórios uniformes Outras distribuições de probabilidades Distribuições não inversíveis Suponha que uma variável aleatória X obedeça a uma distribuição de probabilidades p X (x) Devido à conservação da probabilidade, uma mudança de variáveis deve obedecer à relação: p Y (y)dy = p X (x)dx Portanto, se p(x) = 1 no intervalo [0, 1) e é nula fora dele (distribuição uniforme), y p Y (y)dy = x 0 dx = x Invertendo esta relação, podemos obter y = y(x) Assim obtemos números pseudo-aleatórios que obedecem a uma distribuição p Y (y) a partir da distribuição uniforme

93 Mudança de variáveis Geradores de números aleatórios uniformes Outras distribuições de probabilidades Distribuições não inversíveis Suponha que uma variável aleatória X obedeça a uma distribuição de probabilidades p X (x) Devido à conservação da probabilidade, uma mudança de variáveis deve obedecer à relação: p Y (y)dy = p X (x)dx Portanto, se p(x) = 1 no intervalo [0, 1) e é nula fora dele (distribuição uniforme), y p Y (y)dy = x 0 dx = x Invertendo esta relação, podemos obter y = y(x) Assim obtemos números pseudo-aleatórios que obedecem a uma distribuição p Y (y) a partir da distribuição uniforme

94 Mudança de variáveis Geradores de números aleatórios uniformes Outras distribuições de probabilidades Distribuições não inversíveis Suponha que uma variável aleatória X obedeça a uma distribuição de probabilidades p X (x) Devido à conservação da probabilidade, uma mudança de variáveis deve obedecer à relação: p Y (y)dy = p X (x)dx Portanto, se p(x) = 1 no intervalo [0, 1) e é nula fora dele (distribuição uniforme), y p Y (y)dy = x 0 dx = x Invertendo esta relação, podemos obter y = y(x) Assim obtemos números pseudo-aleatórios que obedecem a uma distribuição p Y (y) a partir da distribuição uniforme

95 Mudança de variáveis Geradores de números aleatórios uniformes Outras distribuições de probabilidades Distribuições não inversíveis Suponha que uma variável aleatória X obedeça a uma distribuição de probabilidades p X (x) Devido à conservação da probabilidade, uma mudança de variáveis deve obedecer à relação: p Y (y)dy = p X (x)dx Portanto, se p(x) = 1 no intervalo [0, 1) e é nula fora dele (distribuição uniforme), y p Y (y)dy = x 0 dx = x Invertendo esta relação, podemos obter y = y(x) Assim obtemos números pseudo-aleatórios que obedecem a uma distribuição p Y (y) a partir da distribuição uniforme

96 Mudança de variáveis Geradores de números aleatórios uniformes Outras distribuições de probabilidades Distribuições não inversíveis Suponha que uma variável aleatória X obedeça a uma distribuição de probabilidades p X (x) Devido à conservação da probabilidade, uma mudança de variáveis deve obedecer à relação: p Y (y)dy = p X (x)dx Portanto, se p(x) = 1 no intervalo [0, 1) e é nula fora dele (distribuição uniforme), y p Y (y)dy = x 0 dx = x Invertendo esta relação, podemos obter y = y(x) Assim obtemos números pseudo-aleatórios que obedecem a uma distribuição p Y (y) a partir da distribuição uniforme

97 Distribuição exponencial Geradores de números aleatórios uniformes Outras distribuições de probabilidades Distribuições não inversíveis p Y (y) = e y x = y 0 y(x) = ln(1 x) e y dy = 1 e y

98 Distribuição exponencial Geradores de números aleatórios uniformes Outras distribuições de probabilidades Distribuições não inversíveis p Y (y) = e y x = y 0 y(x) = ln(1 x) e y dy = 1 e y

99 Distribuição gaussiana Geradores de números aleatórios uniformes Outras distribuições de probabilidades Distribuições não inversíveis Aplicando o mesmo procedimento, temos p Y (y) = 1 2π e y 2 /2 x = 1 2 Contudo, não podemos inverter a função erro. Alternativa ( 1 + erf ( y 2 ) Analisemos a distribuição conjunta de 2 números aleatórios independentes p(y 1, y 2 )dy 1 dy 2 = 1 2π e (y 2 1 +y 2 2 )/2 dy 1 dy 2 )

100 Distribuição gaussiana Geradores de números aleatórios uniformes Outras distribuições de probabilidades Distribuições não inversíveis Aplicando o mesmo procedimento, temos p Y (y) = 1 2π e y 2 /2 x = 1 2 Contudo, não podemos inverter a função erro. Alternativa ( 1 + erf ( y 2 ) Analisemos a distribuição conjunta de 2 números aleatórios independentes p(y 1, y 2 )dy 1 dy 2 = 1 2π e (y 2 1 +y 2 2 )/2 dy 1 dy 2 )

101 Distribuição gaussiana Geradores de números aleatórios uniformes Outras distribuições de probabilidades Distribuições não inversíveis Aplicando o mesmo procedimento, temos p Y (y) = 1 2π e y 2 /2 x = 1 2 Contudo, não podemos inverter a função erro. Alternativa ( 1 + erf ( y 2 ) Analisemos a distribuição conjunta de 2 números aleatórios independentes p(y 1, y 2 )dy 1 dy 2 = 1 2π e (y 2 1 +y 2 2 )/2 dy 1 dy 2 )

102 Distribuição gaussiana Geradores de números aleatórios uniformes Outras distribuições de probabilidades Distribuições não inversíveis Alternativa Mudando para coordenada polares, r = y1 2 + y 2 2 e θ = tan 1 y 1 y 2

103 Distribuição gaussiana Geradores de números aleatórios uniformes Outras distribuições de probabilidades Distribuições não inversíveis Alternativa Mudando para coordenada polares, r = y1 2 + y 2 2 e θ = tan 1 y 1 y 2 Temos 1 2π e (y 1 2+y 2 2)/2 dy 1 dy 2 = 1 2π e r 2 /2 rdrdθ

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