UMA LINHA DE DESENVOLVIMENTO DO CÁLCULO MENTAL: COMEÇANDO NO 1. O ANO E CONTINUANDO ATÉ AO 12. O ANO

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1 UMA LINHA DE DESENVOLVIMENTO DO CÁLCULO MENTAL: COMEÇANDO NO 1. O ANO E CONTINUANDO ATÉ AO 12. O ANO Joana Brocardo Escola Superior de Educação do Instituto Politécnico de Setúbal, Unidade de Investigação do Instituto de Educação da Universidade de Lisboa Resumo. A indicação curricular de focar particular atenção no desenvolvimento do cálculo mental não é recente. No entanto, ao nível da prática escolar, parece ainda difuso o modo como pode ser planeado o desenvolvimento do cálculo mental desde o 1.o ano até ao12.o ano. Nesta conferência começo por, a partir de situações concretas, clarificar os vários aspectos que estão ligados ao cálculo mental, distinguindo compreensão instrumental de compreensão relacional e analisando, em detalhe, os passos envolvidos na resolução de uma situação com recurso ao cálculo mental. Numa segunda parte, explicito o modo como o professor pode focar o cálculo mental e perspectivo uma sistematização que especifica, em cada nível de ensino, o que cada aluno deve saber calcular mentalmente. Proponho, finalmente, uma linha de desenvolvimento para o cálculo mental, especificando conteúdos e aspectos metodológicos associados ao desenvolvimento continuado do cálculo mental ao longo dos ensinos básico e secundário. Analisando um exemplo: O número de horas de trabalho dos portugueses Recentemente, esteve na ordem do dia uma discussão focada na ideia de que os portugueses trabalhavam pouco, o que originou um debate sobre o número real de horas de trabalho: Portugueses trabalham muito ou pouco? Portugueses trabalham mais horas por semana do que alemães, holandeses franceses ou espanhóis. O problema é a produtividade. Dê-nos a sua opinião, participe no debate. Abílio Ferreira ( 9:00 Terça feira, 19 de julho de 2011) Respondendo ao desafio deste jornalista um leitor (português) afirmou que trabalhava 200 horas por semana. O que pensas desta afirmação? Esta questão pode ser resolvida usando o cálculo de uma forma prática, como faz Bernardo (19 anos): B: Mas isso é ridículo, parece absurdo! E: Mas porquê? B: Parece demais. E: Porquê? B: Pensando em 6 dias de trabalho por semana, não, em 5 dias úteis. Faço 200/5=40 h por dia (escreve isto no papel) Logo é impossível pois o dia tem 24 h. E: Como fizeste 200/5=40? B: Porque sei que 4x5 são 20! Frederico (10 anos) começa por tentar manipular mentalmente os números, procurando calcular o número de horas que tem uma semana: F: São 7 dias vezes 24 horas. 24 mais 24, 48 mais 24, 62. E: Tens a certeza? F: Não, 52 1

2 Inseguro com os resultados que obtém, Frederico decide usar o papel e lápis. Regista 7 24 e efectua o algoritmo da multiplicação, obtendo 168. No entanto, analisa este resultado de uma forma inesperada. Não duvida que o trabalhador possa de facto trabalhar 200 horas e considera que é um abuso. Mas nunca se sabe «se calhar tem mulher e filhos para sustentar e precisa de ganhar dinheiro. Tem de ganhar a vida e pode não ter um curso muito bom». Para Frederico, parece ser possível trabalhar mais do que 24 horas por dia e chega mesmo a calcular (mentalmente) o valor do que considera ser um abuso: 32 horas extraordinárias. Mesmo quando é directamente questionado, continua a fazer este raciocínio: E: Frederico, se eu te disser que trabalho 27 horas por dia, o que é que tu dizes? F: Digo que fazes 3 horas extraordinárias. 1 dia mais 3. Rita (10 anos), parece não perceber, igualmente, que não é possível trabalhar mais do que 24 horas por dia e faz vários cálculos, com o objectivo de obter 200: Pedro (11 anos) opta por usar a calculadora para dividir 200 por 7 e escreve: 2 Bernardo (19 anos) explica ainda outra forma de pensar em que usa valores mais cómodos tomando 25 como uma aproximação de 24: B: Posso pensar de várias maneiras, que é sempre impossível (...) também posso pensar que um dia tem 24 h, vá, arredondo para 25 ora 25 7 é inferior a 200, é impossível. Logo é um absurdo, é impossível trabalhar 200 h por semana. Miguel (57 anos), também arredonda, mas opta por tomar 30 como valor aproximado do número que multiplicado por 7 é aproximadamente igual a 200: M: Uma semana tem 7 dias, 200 a dividir por 7 é aproximadamente 30 h por dia, logo é impossível. E: Como sabes que 200 a dividir por 7 são, aproximadamente, 30 h? M: Porque 3 7 são 21. Um outro aluno, André (17 anos), indica a seguinte resposta:

3 André percebe a situação colocada e parece decidir responder com alguma ironia, dando uma resposta na linha do tom jornalístico da notícia que contextualizava a pergunta que lhe era feita. Não explicita qualquer cálculo, pelo que a sua resposta poderá ser considerada como não aritmética, apesar de se poder conjecturar que André pode ter pensado que 200 é mais próximo de 8 24 que de A resposta de Inês (11 anos), igualmente não aritmética, parece espelhar melhor o modo como alguns alunos podem responder: De facto, para vários alunos, nem sempre é evidente a necessidade de focar a atenção no conteúdo aritmético da questão colocada e optam por fazer comentários sobre a situação, mas não respondendo ao que era perguntado. Formas de cálculo e uso da calculadora As respostas aritméticas que analisei anteriormente podem ser organizadas de acordo com o que propõem Van den Heuvel-Panhuizen e Buys (2001), por exemplo, que distinguem três {1} formas de cálculo: cálculo mental, cálculo por estimação e cálculo algorítmico. Se a distinção entre cálculo algorítmico e cálculo mental ou cálculo por estimação é clara, nem sempre tal acontece quando se pretende distinguir estimação de cálculo mental. Na estimação não se tem em conta os detalhes dos números, ou seja, usam-se arredondamentos para obter valores facilmente manejáveis. Pelo contrário, no cálculo mental usam-se os valores exactos e tem-se como objectivo obter um valor exacto. Trata-se ainda de uma forma de calcular flexível caracterizada por trabalhar com os números e não com os dígitos, como acontece com os algoritmos, usar as relações e propriedades numéricas e, embora a maior parte dos cálculos seja feita de cabeça, considera-se a possibilidade de realizar registos intermédios. Quando se fala de cálculo é incontornável pensar no uso da calculadora. O esquema seguinte, operacionaliza e relaciona o uso da calculadora com cada um dos três tipos de cálculo referidos anteriormente, a partir da resolução de um problema. 3 {1} Referem quatro formas distintas, que designam por quatro formas de aritmética, uma vez que distinguem cálculo em coluna de cálculo algorítmico. Por uma questão de simplificação e porque não considero esta distinção relevante no contexto desta discussão, refiro apenas três formas de cálculo.

4 Este esquema inclui a ideia de que a estimação deve estar fortemente associada uso da calculadora. Ter uma ideia global da ordem de grandeza do resultado, quando se usa a calculadora, é fundamental para garantir que não se obtém uma resposta desadequada, provocada pela introdução incorrecta de valores ou símbolos. A estimação deve estar, igualmente, associada ao uso de algoritmos, permitindo a crítica de erros comuns, como o que se exemplifica na figura ao dividir 3179 por 3: O autor do cálculo esquece-se de colocar o algarismo 0 no quociente, correspondente ao número que multiplicado por 3 fica mais próximo de 1. Por isso, obtém-se um valor incorrecto que deve poder ser identificado com base numa análise crítica global global da ordem de grandeza do resultado a obter: 3179 a dividir por 3 tem de dar um valor próximo de 1000 ou não pode dar este valor pois 159 a multiplicar por 3 vai dar um valor muito inferior a Poderia, ainda, considerar-se que a calculadora está, igualmente, ligada ao cálculo mental e ao cálculo algorítmico via a verificação da correcção das respostas {2}. Opto, no entanto, não assinalar esta relação, mesmo que de modo mais ténue, pois prefiro salientar que o cálculo mental e o uso da calculadora constituem dois pólos opostos no que respeita a formas de calcular: quando se calcula mentalmente não se usa a calculadora e se se usa a calculadora não faz sentido recorrer, também, ao cálculo mental. Compreensão instrumental e compreensão relacional 4 Alguns autores distinguem orientação conceptual de procedimental em relação à Matemática para caracterizar formas diferentes de abordar a resolução de tarefas matemáticas por parte dos alunos e a sua exploração na aula por parte dos professores (Thompson & Thompson, 1996). Um professor que segue uma abordagem conceptual tem uma imagem global do sistema de ideias e relações que quer que os seus alunos desenvolvam, assim como uma ideia global de como podem ser desenvolvidas. Valoriza, igualmente, o envolvimento activo dos alunos na exploração das tarefas. Um professor que privilegia uma abordagem procedimental relativamente à Matemática foca a atenção na aplicação de procedimentos de cálculo para obter um resultado (resposta) numérico. Concretizando as diferenças entre estes dois conceitos, identifico, no quadro seguinte, algumas tendências que podiam orientar estes dois tipos de abordagem na discussão da resolução da questão relativa à possibilidade de trabalhar 200 horas por semana. {2} Adaptado de Moor & Brink (2001) Esta ligação é assinalada a tracejado em Moor e Brink (2001).

5 Tal como os professores, os alunos podem focar a sua atenção na descrição de procedimentos (multipliquei 24 por 7; dividi 200 por 5) e nos seus resultados (deu 164; deu 40) ou dar mais atenção ao significado do que pode estar envolvido nesta questão (200 horas em 10 dias representa 20 horas por dia, o que é demasiado. Numa semana ainda ficariam mais horas por dia). No primeiro caso usam um raciocínio baseado numa compreensão instrumental e no segundo usam um raciocínio baseado numa compreensão relacional. Callimghan (2005) considera que as designações compreensão instrumental e compreensão relacional dizem respeito à natureza da abordagem à resolução de um cálculo. As abordagens instrumentais assentam na aplicação de procedimentos, ao passo que as relacionais assentam no «conhecimento conceptual de como funcionam os números e estão próximas de sentido de número». Nas soluções ao problema inicial Rita, que recorre ao algoritmo da adição procurando obter 200, usa uma abordagem procedimental. Pelo contrário, Bernardo parece dar sentido aos números envolvidos no contexto da situação apresentada e, quer usando valores exactos, quer usando valores aproximados, parece operar numa teia de relações, predominando uma abordagem relacional ao problema: B: Mas isso é ridículo, parece absurdo! E: Mas porquê? B: Parece demais E: Porquê? B: Pensando em 6 dias de trabalho por semana, não, em 5 dias úteis Faço 200/5=40 h por dia. Logo é impossível pois o dia tem 24 h. E: como fizeste 200/5=40? B: Porque sei que 4x5 são 20! B: Posso pensar de várias maneiras (...) também posso pensar que um dia tem 24 h, vá, arredondo para 25 ora 25x7 é inferior a 200, é impossível. Logo é um absurdo, é impossível trabalhar 200 h por semana No desenvolvimento do cálculo mental é importante promover um conhecimento sólido sobre o modo de usar procedimentos tais como os lineares, de decomposição ou de dedução. {3} Progressivamente, pensar nesses procedimentos vai deixando de ser preponderante e um raciocínio relacional vai adquirindo um papel de destaque, baseado nas relações entre os números, nas relações entre as operações, nas relações entre as propriedades e, finalmente nas relações entre as relações e as propriedades das operações. Note-se que a predominância do uso de uma abordagem relacional não significa não precisar de dominar procedimentos. Significa que estes já estão suficientemente interiorizados e que, por isso, podem deixar de ser o foco da atenção, que pode passar a centrar-se nas relações. Por isso, no desenvolvimento do cálculo mental, é muito importante um trabalho sistemático baseado no conhecimento progressivo e na interiorização de procedimentos, propriedades e relações entre os números e as operações. Calcular mentalmente é trabalhar com os números e as relações. Desenvolver o cálculo mental é, ao fim ao cabo, desenvolver um sistema de relações e aprender a raciocinar nesse sistema. 5 {3} Uso a designação de dedução para me referir à expressão derived facts que autores como Verschaffel, Greer e De Corte (2007) usam e que consiste no uso de relação deduzidas de factos conhecidos.

6 O cálculo mental: um caminho dos procedimentos para o raciocínio sobre as relações Vejamos as respostas de três crianças à questão «Tinha 45 euros e a minha tia deu-me 36 euros. Com quanto dinheiro fiquei?» As duas primeiras respostas reflectem o uso de um procedimento linear, em que é registada a operação realizada. A segunda resposta corresponde a uma evolução relativamente à primeira, pois o segundo aluno consegue adicionar 30 de uma só vez (ao passo que na primeira resposta se adiciona 10, mais 10, mais 10). Na terceira resposta não se registam operações e evidenciam-se relações. As operações parecem ter passado para segundo plano e evidenciam-se relações como a decomposição de 81 em 75 e 6 ou em 45, 30 e 6. Esta forma de registo pode estar associada a um maior desenvolvimento do cálculo mental pois prescinde-se de uma anotação presa às operações e registam-se as ligações que se fazem para calcular mentalmente. No entanto, pode igualmente não reflectir um maior domínio do cálculo mental, sobretudo se esta forma de registo corresponder a uma espécie de algoritmo de registo, ensinado explicitamente pelo professor. As três respostas anteriores podem ser vistas como reflectindo marcos no caminho do desenvolvimento do cálculo mental. Neste caminho é fundamental passar por uma fase em que os números são vistos como incluindo várias relações. Por exemplo: Progressivamente, a operação a realizar deixa de ter um papel preponderante uma vez que os valores envolvidos são vistos como integrando teias de relações numéricas e de relações entre as operações. Por exemplo, como 1.9 pode ser visto como 2 0.1, calcular a diferença entre e 1.9 pode ser feito calculando a diferença entre e 2 e depois adicionar 0,1. Neste caminho é, também, uma etapa importante o uso de relações baseadas nas propriedades das operações: 5 é visto como (propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição); é visto como (propriedades comutativa e associativa da multiplicação); é visto como (propriedade comutativa e associativa da multiplicação) 6 O trabalho de Fátima Mendes (Mendes, Brocardo & Oliveira, 2011) evidencia bem o que é igualmente referido por outros autores: no desenvolvimento do cálculo mental a exploração de contextos apropriados apoia o desenvolvimento de procedimentos mais sofisticados. Por exemplo, a escolha de contextos como o de pilhas de caixas, favorece o uso da propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição e leva a que sejam menos usados os procedimentos aditivos.

7 Para além disto, os contextos são, ainda, fundamentais para que os alunos possam dar sentido aos números e relacionem diferentes representações dos números: 1/60 tem sentido pois é visto como sendo 1 minuto em 60 minutos; 0.33 pode ser pensado como 1/3 por associação com a capacidade de algumas garrafas de água; como metade de por associação com o peso das embalagens de manteiga. Os contextos são também importantes para ancorar um conjunto de factos numéricos conhecidos e que constituem importantes bases de suporte para o desenvolvimento do cálculo mental: é 15 por associação com o relógio; 2 24 é igual a 48 por associação com o número de horas que têm 2 dias, é igual a 100 por associação com as notas de 10 euros que preciso ter para obter 1000 euros. No entanto, ao longo do caminho de desenvolvimento do cálculo mental, a importância dos contextos é relegada para segundo plano pois os números e as operações passam a ter sentido em si: 3 4, 0.125, 75%, têm sentido enquanto objectos matemáticos. Desenvolver o cálculo mental é um processo que passa por: inicialmente, dar relevo aos contextos, ancorando neles o sentido de números, operações e propriedades; inicialmente, dar importância aos procedimentos e à sua articulação com os contextos; evoluir na articulação contextos/procedimentos favorecendo um uso progressivo de procedimentos mais sofisticados. Quando se está numa fase mais avançada de desenvolvimento do cálculo mental opera-se sobre objectos e relações matemáticas, e tende-se a abordar as questões de uma forma relacional. Trabalhar o cálculo mental na aula de Matemática Subjacente ao percurso do caminho descrito anteriormente, tem de estar um trabalho sistemático e intencional de desenvolvimento do cálculo mental. Para isso é fundamental (i) prever tarefas focadas, intencionalmente, no desenvolvimento do cálculo mental e (ii) estar alerta, garantindo que os alunos usam o cálculo mental sempre que tal é adequado. Vários autores sugerem o uso de cadeias numéricas, que considero particularmente adequadas para desenvolver o cálculo mental no 1.o e no 2.o ciclos. Brocardo, Mendes e Delgado (2010) especificam os objectivos de uma cadeia e o modo como ela pode ser trabalhada na aula: O modo como o(a) professor(a) trabalha na sala de aula cada cadeia, é determinante para que todas as suas potencialidades sejam exploradas com sucesso. Destacamos três elementos fundamentais: o tempo, a organização da sala e a condução da exploração da tarefa com os alunos. Cada cadeia é uma proposta de actividade que deve ter um ritmo vivo, em que se privilegia a oralidade (e não o registo escrito no caderno) e que não deve demorar muito tempo. Pode, por exemplo, começar-se o dia de trabalho, propondo uma cadeia numérica e procurando que ela seja explorada em não mais do que 15 minutos. A organização da sala deve ser pensada de modo a manter os alunos «presos» ao cálculo que se está a analisar/propor. Nos casos em que na sala se usa um espaço com tapete/almofadas, a 7

8 exploração das cadeias pode ser feita nele. Os alunos sentam-se próximos uns dos outros e do(a) professor(a), que vai registando as respostas dos alunos e ilustrando o modo como cada um explica o que pensou. Caso não exista este tipo de espaço na sala de aula, os alunos podem estar sentados na sua mesa de trabalho, mas focados no que o(a) professor(a) pede e escreve, não devendo registar no seu caderno o que vai sendo escrito no quadro. Podem ter uma folha ou bloco de notas para fazer registos. No entanto, devem ser registos que servem para não se «perderem» a fazer um determinado cálculo ou para conseguir recordar o que pensaram. Registos mais cuidados podem ser efectuados em casos esporádicos, em que se considera que devem ser assinalados desta forma, mas não durante a realização da cadeia. Cálculos em cadeia são um tipo de tarefa que visa o desenvolvimento do cálculo mental e que, por isso, não se deve basear no registo escrito. Na condução da exploração da tarefa é importante que os exercícios da cadeia sejam apresentados um a um, que cada aluno pense na solução sozinho e que o(a) professor(a) registe no quadro os resultados e explicações que evidenciem como se pode pensar para os obter (p. 92). Cada cadeia tem como objectivo desenvolver o uso de relações e propriedades das operações. Por exemplo, a cadeia seguinte, foi pensada para trabalhar o cálculo de algumas percentagens e faz apelo à relação entre a representação na forma decimal e na forma de percentagem de um mesmo número racional e ao uso da propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição: 10% de 360 = 0,10 de 360 = 5 % de 360 = 15% de 360 = 2% de 360 = 7% de 360 = Ainda no 1.o e 2.o ciclo, é bastante usual começar o dia com uma proposta de warming up focada no desenvolvimento do cálculo mental e que pode ser uma cadeia numérica, um concurso de respostas rápidas a questões numéricas colocadas pelo professor ou outro qualquer tipo de tarefa que se centre o cálculo mental. Embora se deva dar mais relevo ao desenvolvimento do cálculo mental nos dois primeiros ciclos do ensino básico, no 3.o ciclo e no ensino secundário, à medida que se introduzem novos números, operações e propriedades, continua a fazer sentido organizar alguns espaços destinados ao seu desenvolvimento, usando, por exemplo cadeias numéricas como as seguintes: ( = = 8 Em todos os níveis de ensino, faz também sentido propor a descoberta de padrões e regularidades numéricas interessantes e que conduzem a técnicas de cálculo mental que os alunos podem passar a usar. Pode propor-se uma actividade de investigação cuja conclusão permite conhecer uma determinada regra/relação importante para manipular mentalmente um determinado tipo de números e operações. Por exemplo, para determinar mentalmente o quadrado de um número de dois dígitos, podem começar a investigar-se algumas relações interessantes. Se quisermos calcular o quadrado de 13, ou seja 13 13, pensemos em todos os números cuja soma é 26 (13+13) e observemos a seguinte tabela:

9 13 13 = Experimentemos com outro exemplo. Para calcular 77 2 subtraímos e adicionamos 7 a 77: A justificação de que este procedimento é sempre válido, é um desafio adicional e relativamente acessível pois envolve apenas a multiplicação de binómios. Com um pouco mais de prática, calcula-se mentalmente o quadrado de qualquer número com dois algarismos. Embora sem que esta relação seja o foco de discussão desta conferência, é importante salientar a íntima relação entre desenvolver o cálculo metal e desenvolver o sentido de número. Calcular mentalmente é desenvolver uma abordagem relacional em relação às situações aritméticas, e esta abordagem relacional é um aspecto intrínseco do sentido de número. Quando se tem sentido de número e, consequentemente, desenvolvido um bom cálculo mental, consegue-se olhar para situações com que nos deparamos de um modo interrogativo. O exemplo do que se passou recentemente com uma minha amiga ilustra bem isto: No decurso de uma viagem, observou que, no país que visitava, existiam várias embalagens de água que nunca tinha visto: 9

10 A par desta curiosidade surgiu logo a interrogação: Qual a capacidade de cada embalagem? Porque é que terão decidido escolher estes valores para as embalagens de água? Quererá o leitor aproveitar esta oportunidade de manipulação mental de números e relações e pensar em possíveis respostas a estas questões? Uma linha de desenvolvimento do cálculo mental: traços gerais de uma proposta O papel do professor é fundamental no desenvolvimento do cálculo mental. Ele deve ser capaz de propor tarefas que cativem os alunos e os estimulem a desenvolver o cálculo mental. Deve também ser capaz de distinguir as situações em que é adequado usar a calculadora daquelas em que tal não faz o menor sentido. Deve, finalmente, ter presente que desenvolver o cálculo mental é uma tarefa continuada, a ser levada a cabo em todos os níveis de ensino e de forma sistemática. Penso que já existem no nosso país um número significativo de tarefas, artigos e materiais de diversa ordem que constituem bons suportes para o trabalho do professor de Matemática em geral e, em particular, para o focado no desenvolvimento do cálculo mental. Considero, no entanto, que subsistem dois aspectos que dificultam, neste campo do cálculo mental, a acção do professor. Um primeiro diz respeito às decisões que o professor deve tomar quando os alunos, mesmo para fazer cálculos elementares, recorrem à calculadora. Se, por exemplo, um aluno de 10.º ano usa a calculadora para calcular 75 3, deverá o professor dizer alguma coisa? O quê? Embora reconheça que não se pode estar sempre a ocupar tempo com aspectos que, ao nível do 10.o ano, já deveriam estar ultrapassados, penso que vale a penas interromper e dedicar algum tempo a pensar mentalmente na situação. Uma atitude sistemática deste tipo não irá significar que todos os alunos passem a usar mais o cálculo mental. No entanto, estou convencida, que levará a que muitos deles o façam. O segundo aspecto diz respeito à definição de marcos claros de desenvolvimento para o cálculo mental. O que deve ser capaz de calcular mentalmente um aluno do 2.º ano? E do 6.º? Do ponto de vista geral, a nossa tendência de desenvolvimento curricular é marcada por uma grande especificação de conteúdos, a par de uma formulação muito global e geral de grandes eixos de desenvolvimento curricular. Progressivamente, temos vindo a mudar esta tendência, precisando melhor em que se traduzem orientações curriculares globais, como a de desenvolver o sentido de número ou a capacidade de resolver problemas. Termino esta conferência avançando numa proposta, ainda difusa, não testada e avaliada, de linha de desenvolvimento do cálculo mental. O conhecimento que fui desenvolvendo sobre o modo de calcular de alunos de diferentes níveis de ensino apoia, em grande parte, esta proposta. Ela resulta de uma tentativa de integração deste conhecimento empírico com orientações curriculares que conheço, de outros países, sobre esta matéria e integra três aspectos: (i) proposta de que se considerem três categorias de cálculo mental; (ii) definição dos objectivos a atingir ao nível do cálculo mental no final de cada ciclo; (iii) numerosos exemplos da evolução das relações que devem suportar o desenvolvimento do cálculo mental. A distinção de três níveis de cálculo mental, proposta por Buys (2001), parece-me importante, uma vez que desmistifica a ideia de que o cálculo mental não pode incluir registos escritos chamando a atenção que cálculo mental não é só cálculo automático. Este autor considera uma primeira categoria, em que a resposta é praticamente imediata uma vez que decorre da aplicação de factos memorizados ou de um insight nas regras e propriedades das operações. Por exemplo, ela inclui, para alunos do final do 4.o ano, saber calcular: 10 Numa segunda categoria, inclui exemplos como os seguintes, que são trabalhados rapidamente de cabeça:

11 Finalmente, numa terceira categoria, integra os cálculos que podem ser feitos de uma forma relativamente rápida e em que pode ser necessário recorrer a registos intermédio, como os exemplos: Quanto ao aspecto (ii), definição dos objectivos a atingir ao nível do cálculo mental no final de cada ciclo, proponho, com estatuto muito provisório, as seguintes ideias: Final do 2.º ano Adicionar e subtrair até 100. Calcular o dobro de números naturais com 2 algarismos. Calcular a metade de números pares até 100. Final do 4.º ano Adicionar e subtrair números inteiros e representados na forma decimal com 2 algarismos. Multiplicar dois números de 2 algarismos; Multiplicar um número de 1 algarismo por um de 3 ou mais algarismos. Multiplicar e dividir por 10, 100 e Relacionar a multiplicação e divisão por 10, 100 e 100 com a multiplicação e divisão por 0.1, 0.01 e Calcular a metade de números até 100. Relacionar multiplicar por 0, 5 com dividir por 2. Determinar 1 2 e 1 4 de números múltiplos de 4. Final do 2.º ciclo Multiplicar dois números de 2 algarismos; Multiplicar um número de 1 algarismo por um de 3 ou mais algarismos (uma das parcelas está representada na forma decimal). Relacionar multiplicar por 0, 25 com dividir por 4 e usar este facto na resolução de situações como de divisão de um múltiplo de quatro por 4; Idem para multiplicar por 0,2 e dividir por 5 (ou multiplicar por 1/5); Final do 3.º ciclo Adicionar e subtrair 2 números racionais (inteiros e decimais) até 100. Adicionar, subtrair, multiplicar e dividir números 2 números reais, em casos como ou ; Secundário Determinar o termo geral de uma progressão aritmética. Determinar os zeros de uma função quadrática em casos que as raízes são números inteiros não superiores a 10. Calcular o valor de expressões do tipo 30!/28! Finalmente, quanto ao aspecto (iii), as relações que devem suportar o desenvolvimento do cálculo mental, penso que elas são fundamentais para percorrer o caminho que tenho vindo definir para suportar o desenvolvimento do cálculo 11

12 mental e em que os factos e relações exploradas a um nível elementar, são continuamente ampliados e consolidados. Nos dois esquemas seguintes {4}, ilustra-se esta ideia de progressão a partir do cálculo de 5+7 (com base na decomposição de 7 em 5+2) e do conhecimento de que 4 5 é {4} Kraemer, J.M. (2011). Como identificar níveis intermédios de pensar, simbolizar e de cálculo mental nas respostas dos alunos do ensino primário? Apresentação realizado no quadro da formação interna de consultores de avaliação. Cito (Holanda).

13 Bibliografia Brocardo, J., Mendes, F., & Delgado, C. (2010). Números e operações 1.º ano. Materiais de apoio ao Programa de Matemática do Ensino Básico. Lisboa: Ministério da Educação. Buys, K. (2001). Mental Arithmetic. Children Learn Mathematics (pp ). Utrecht, The Netherlands: Freudenthal Institute (FI), Utrecht University & National Institute for Curriculum Callingham, R. (2005). Primary students mental computation: Strategies and achievement. In P. Clarkson, A. Downton, D. Gronn, M. Horne, A. McDonough, R. Pierce, & A. Roche (Eds.), Building connections: Research, theory and practice (Proceedings of 28th annual conference of the Mathematics Education Research Group of Australasia, pp ). Melbourne: MERGA. Heuvel-Panhuizen, M. & e Buys, K. (2001). Big Lines. Children Learn Mathematics (pp ). Utrecht, The Netherlands: Freudenthal Institute (FI), Utrecht University & National Institute for Curriculum Development (SLO). Moor, E. & Brink, J. (2001). Calculator. Children Learn Mathematics (pp ). Utrecht, The Netherlands: Freudenthal Institute (FI), Utrecht University & National Institute for Curriculum Development (SLO). Thompson, A. G., & Thompson, P. W. (1996). Talking about rates conceptually, Part II: Mathematical knowledge for teaching. Journal for Research in Mathematics Education, 27(1), Verschaffel, L., Greer, B., & De Corte, E. (2007). Whole number concepts and operations. In F. Lester (Ed.), Second handbook of research on mathematics teaching and learning: A project of the National Council of Teachers of Mathematics (Vol. II, pp ). Charlotte: Information Age Publishing. Nota. Agradeço à Fátima Mendes, cuja crítica atenta, foi muito importante para a construção deste texto. 13