b : nas representações gráficas de funções do tipo

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1 do as suas escolhas a partir daí. Nesta situação, tendem a identificar as assímptotas verticais, as assímptotas horizontais e a associar as representações analítica e gráfica que têm estas características em comum: No entanto, podem ter a necessidade de recorrer ao estudo de outras propriedades para decidir qual a correspondência que devem estabelecer, uma vez que, nas representações dadas, existem algumas que apresentam as mesmas assímptotas. No exemplo seguinte, os alunos identificam correctamente a assímptota vertical, não indicam qual a assímptota horizontal mas, implicitamente, comparam o comportamento das duas funções (definidas analítica e graficamente) que admitem a recta x = 2 como assímptota vertical. A fundamentação da escolha que fizeram é baseada no estudo do sinal da função: Noutros casos, os alunos podem identificar pelo menos uma das assímptotas do gráfico da função e fundamentar as suas opções com base na influência do parâmetro b, nas representações gráficas de funções do tipo y = a + x b + d : 99

2 Pode ainda acontecer que os alunos recorram a uma análise cuidada das várias representações analíticas que são fornecidas, identifiquem algumas propriedades comuns (como, por exemplo, a existência das mesmas assímptotas dos gráficos das funções) e procedam ao agrupamento das respectivas representações analíticas. Deste modo, conseguem reduzir o número de funções a estudar. A decisão da expressão correspondente é tomada a partir da identificação de um ponto que pertence ao gráfico da função, depois de terem obtido as imagens, por cada uma das funções do grupo seleccionado, para um objecto que escolheram: Com a resolução da segunda questão desta tarefa, pretende-se que os alunos identifiquem, a partir da análise de uma representação gráfica de uma função racional, os valores a atribuir aos parâmetros a, b e c, de modo a escrever a função na forma ( ) f x = a + b x c. 100

3 É de prever que os alunos adoptem o mesmo tipo de argumentos usados na questão anterior para fundamentar a escolha dos valores a atribuir aos parâmetros a e c. Deste modo, podem recorrer aos efeitos provocados pelas translações horizontais e verticais na representação gráfica da função e nas respectivas assímptotas, tomando como referência a função y = : 1 x Podem também reconhecer qual o sinal do valor a atribuir a b, por observação da localização dos ramos da hipérbole, em relação às assímptotas, e identificar a simetria (em relação ao eixo Ox ): Por outro lado, os alunos podem invocar argumentos de carácter mais analítico, tendo por base o tipo de expressão que se pretende obter para a função e as propriedades verificadas nas funções racionais da família ( ) f x = a + b. Assim, podem relaci- x c onar os valores a atribuir a a e c com os valores que definem as assímptotas horizontais e verticais, respectivamente: 101

4 Para a determinação do valor de b os alunos devem recorrer à identificação de um ponto que pertence ao gráfico da função e, reconhecendo a relação entre objecto e imagem, usar a expressão analítica da função: É de esperar que a maioria dos alunos recorra ao zero da função e determine o valor de b usando o ponto de coordenadas ( 1; 0 ) : No entanto, pode haver alunos que identifiquem, na representação gráfica, outros pontos de coordenadas inteiras, como é o caso da seguinte resolução: 102

5 Com a exploração do terceiro conjunto de questões desta tarefa pretende-se que os alunos estabeleçam relações entre a representação analítica de uma função racional [definida por g ( x ) = 3 x + 1 x + 1 ] e a correspondente representação gráfica, identificando algumas propriedades que lhes permitirão esboçar a representação gráfica da função. Para escrever a função dada na forma ( ) g x = a + b, os alunos podem re- x + 1 cordar procedimentos abordados no ano curricular anterior referentes à divisão inteira de polinómios: Já na questão 3.2. pretende-se que os alunos recorram a uma imagem mental da representação gráfica da função para indicar o comportamento desta nos ramos infinitos. Nesta fase, o professor deve ter uma atenção especial ao trabalho dos alunos pois, de um modo natural, podem pretender esboçar a representação gráfica (pedida, apenas, na questão 3.3.). É importante que o professor realce a necessidade de fundamentar as respostas apresentadas. 103

6 Nalguns casos, os alunos podem relacionar os seus conhecimentos e evidenciar alguma compreensão quanto ao comportamento da função, baseando os argumentos utilizados nas transformações ocorridas no gráfico da função, tomando como referência b funções do tipo y = : x Neste caso, os alunos não consideraram correctamente o sinal do valor de b, e referem a localização dos ramos da hipérbole no 1.º e 3.º quadrantes (em vez de indicarem que se situam no 2.º e 4.º quadrantes, já que estariam a referir-se à função 2 y = ). Ainda assim, ao apresentarem os valores de cada um dos limites e ao x complementarem as respostas com a indicação do comportamento da função junto da assímptota horizontal, os alunos respondem em conformidade com os argumentos apresentados: No entanto, pode acontecer que os alunos, apesar de identificarem os limites pedidos com o estudo do comportamento da função junto das assímptotas, apresentem algumas dificuldades na justificação dos seus raciocínios. No exemplo que se segue, 104

7 parece existir alguma confusão entre a análise da variação dos objectos e a consequente influência nas respectivas imagens: Sendo este um tópico em que os alunos podem evidenciar muitas dificuldades, o professor deve promover a discussão com o grupo turma dos aspectos menos conseguidos nas suas explorações. Na resolução da questão 3.3. é de esperar que os alunos esbocem uma representação gráfica da função, dando significado às conclusões retiradas nas questões anteriores: Considerações finais sobre a exploração da tarefa Com a realização desta tarefa os alunos podem estabelecer conexões entre representações gráficas e analíticas de várias funções racionais, sem recorrer à calculadora 105

8 gráfica. Deste modo, devem identificar várias propriedades das funções dadas (como, por exemplo, o domínio, o contradomínio, a localização dos ramos das hipérboles representadas, as assímptotas horizontais e verticais dos gráficos das funções, a existência de zeros, a relação imagem/objecto e a maior ou menor abertura dos ramos das hipérboles) ou reconhecer as transformações geométricas produzidas nas representações gráficas das funções, tomando como referência algumas classes de funções conhecidas. Os argumentos apresentados pelos alunos ao longo da exploração da tarefa podem reflectir várias perspectivas de abordagens entre as possíveis relações existentes entre as várias representações de uma função. De facto, os alunos podem usar preferencialmente argumentos de natureza geométrica, reconhecendo a influência de cada um dos parâmetros nas representações gráficas das funções do tipo y = a + x b + d ou podem optar por fundamentações de carácter mais analítico no estabelecimento de relações entre as representações da mesma função. Será importante o professor atender aos diferentes argumentos que podem surgir e promover a discussão destes com todos os alunos. Deste modo, os alunos terão a oportunidade de confrontar estratégias diversificadas e poderão desenvolver mais a sua capacidade de relacionar as várias representações de uma mesma função e fortalecer a criação de imagens mentais que favorecem a compreensão do comportamento das funções da família em estudo. 106

9 OPERAÇÕES COM FUNÇÕES I 1 1. As funções f e g estão definidas, respectivamente, por f ( x ) g ( x ) = 1 x + 1. = 1 x 1 e 1.1. Determine, analiticamente, o domínio das funções f e g Represente graficamente, no mesmo referencial, as funções dadas Determine as expressões analíticas de ( f + g ), ( f g ) e ( f g ). Represente estas funções graficamente e determine os respectivos domínios Considere outras funções de domínios diferentes. Investigue uma relação entre o domínio das funções que escolheu e os domínios das funções soma, diferença e produto. Organize as suas respostas com clareza e correcção, indicando todos os raciocínios, os cálculos que tiver de efectuar e as justificações que julgar conveniente. 1 Tarefa adaptada de Brochura de Funções: Matemática 11º ano de escolaridade, ME, DES, Lisboa, 1998, p

10 Conhecimentos prévios dos alunos Com o trabalho desenvolvido no 10.º ano de escolaridade e no 11.º ano, nas aulas anteriores relativas a este conteúdo, os alunos devem ser capazes de: Definir, analiticamente, o domínio de uma função; Recorrer à calculadora e representar graficamente funções; Identificar propriedades das funções e dos seus gráficos; Efectuar operações que envolvam expressões algébricas. Aprendizagens visadas Com o trabalho a desenvolver nesta tarefa, os alunos devem ser capazes de reforçar a sua capacidade de analisar representações gráficas de funções e identificar algumas das suas propriedades, nomeadamente o domínio e a existência de assímptotas do gráfico de uma função. Devem, ainda, ser capazes de relacionar os seus conhecimentos de modo a caracterizar as funções soma, diferença e produto de funções racionais e a estabelecer relações entre os respectivos domínios. Em particular os alunos devem ser capazes de: Identificar, por via analítica e graficamente, o domínio de uma função racional; Estabelecer que a expressão analítica da função soma pode ser obtida pela soma das expressões analíticas das funções dadas, a expressão analítica da função diferença pode ser obtida pela diferença das expressão analítica das funções dadas e que a expressão analítica da função produto pode ser obtida pelo produto das expressões analíticas das funções dadas, na intersecção dos domínios; Definir, analiticamente, as funções soma, diferença e produto de duas funções racionais; Identificar o domínio da soma, da diferença e do produto de duas funções racionais. Conjecturar quanto a uma relação entre o domínio das funções soma, diferença e produto com os domínios das funções de partida. 108

11 A realização desta tarefa pode, também, contribuir para o desenvolvimento da capacidade de o aluno comunicar matematicamente, oralmente e por escrito, fundamentar raciocínios, discutir processos e comentá-los com outros. Orientações para o professor 1. Indicações gerais Com a exploração desta tarefa, pretende-se que, de um modo intuitivo, os alunos caracterizem as funções soma, diferença e produto de duas funções racionais. Assim, as actividades a desenvolver ao longo de uma aula de 90 minutos poderão envolver a exploração desta tarefa (30 minutos), a apresentação e validação de resultados (30 minutos) e, na fase final da aula, realizar outras propostas que envolvam a soma, a diferença e o produto de funções racionais. Operações com funções I Duração prevista Exploração Apresentação e validação de resultados 1 bloco (90 min) 30 min 30 min Outras tarefas propostas Resolução de propostas que envolvam operações com funções (30 min) Durante a exploração da tarefa, os alunos deverão trabalhar em pares ou em pequenos grupos. É aconselhável que, em cada grupo, seja elaborado um pequeno relatório com o registo das respectivas explorações, dos raciocínios realizados e das justificações que os fundamentam. Os exemplos apresentados pelos alunos nas respostas à questão 1.4. podem servir de ponto de partida para o trabalho a desenvolver com a turma, na fase final da aula. No entanto, devem também ser propostas outras tarefas com aspectos referentes às operações com funções racionais que aqui não são contemplados. Para além do trabalho de natureza algébrica que se pretende que os alunos desenvolvam na determinação da expressão analítica das funções pedidas, deve ser dedicada especial atenção à relação entre os domínios das funções de partida e o domínio das funções soma, diferença e produto. 109

12 2. Algumas explorações Na resolução desta tarefa, os alunos são remetidos para um conjunto de noções e procedimentos algébricos abordados anteriormente (validade de uma expressão algébrica; operações entre fracções racionais) que, de modo intuitivo, irão dar significado às funções soma, diferença e produto. Deste modo, tem-se: 1.1. Pretende-se que os alunos identifiquem o domínio das funções dadas, de modo analítico (tendo em conta o modo como as funções aparecem definidas e o conjunto de valores que dão significados às respectivas expressões). Assim: : D = x x = \ f { R 1 0} R { 1} g { R 1 0} R { 1} D = x : x + = \ 1.2. Para representar graficamente as duas funções no mesmo referencial, é importante ajustar a janela de visualização, de modo a permitir observar as características de cada uma das representações gráficas. Poderá ser: A partir da análise das tabelas das respectivas funções pode observar-se que, tal como as representações gráficas sugerem, a função f não se encontra definida para x = 1 e a função g não se encontra definida para x = 1. As expressões analíticas das funções ( f + g ), ( f g ) e ( f g ) podem ser obtidas, respectivamente, a partir da soma, diferença e produto das expressões analíticas das duas funções dadas. Deste modo, os alunos poderão recordar os procedimentos necessários para a adição, subtracção e multiplicação de fracções racionais. De modo intuitivo, os alunos devem conjecturar que: 110

13 a função soma obtém-se a partir da soma das funções dadas; a função diferença obtém-se a partir da diferença das funções dadas; a função produto obtém-se a partir do produto das funções dadas; No entanto, será importante que o professor, quer na interacção com os diferentes grupos quer na fase de discussão de resultados, promova a reflexão quanto ao domínio de validade das equivalências estabelecidas. Deste modo, os alunos poderão dar significado à relação existente entre o domínio de cada uma das novas funções com o das funções que lhes eram fornecidas Com a exploração desta questão pretende-se que os alunos, ao escolherem outros exemplos para funções f e g, sistematizem as noções de função soma, função diferença e função produto, realizem algum trabalho algébrico inerente e identifiquem os domínios das funções obtidas, relacionando-os com os domínios das funções de partida. No final, espera-se que sintetizem os resultados obtidos, o que os poderá conduzir à sua formalização ao estabelecer que: ( f + g )( x ) = f ( x ) + g ( x ), x D f D g ( f g )( x ) = f ( x ) g ( x ), x D f D g ( f g )( x ) = f ( x ) g ( x ), x D f D g Explorações de alunos Nas duas primeiras questões desta tarefa, é de esperar que os alunos utilizem procedimentos analíticos para determinar o domínio de funções definidas por expressões racionais e recorram à calculadora para visualizar as representações gráficas das funções dadas, de modo a orientar o esboço pretendido. Assim, na resolução da questão 1.1., os alunos podem identificar o domínio de cada uma das funções dadas com o domínio de validade das expressões algébricas que as definem, considerando, deste modo, o maior subconjunto dos números reais que lhes dá significado: 111

14 Para o esboço das representações gráficas das funções, num mesmo referencial, os alunos podem recorrer à calculadora gráfica, mas devem apresentar todos os elementos recolhidos na utilização da calculadora. Podem, ainda, complementar as representações de cada uma das funções com o traçado das respectivas assímptotas: Nas questões 1.3 e 1.4. é pedido aos alunos que analisem características das funções dadas, caracterizem as funções ( f + g ), ( f g ) e ( f g ), recorrendo quer a processos algébricos para a determinação das expressões analíticas, quer à construção e análise das representações gráficas, para indicar os respectivos domínios de validade. Em seguida, é-lhes solicitado que analisem outras funções e que observem os domínios das funções soma, diferença e produto, com o intuito de estabelecer uma relação entre eles. Para a resolução destas questões, os alunos podem recorrer a processos analíticos para determinar as expressões analíticas das funções pedidas. De modo intuitivo, depois de identificarem correctamente o domínio das funções f e g, podem estabelecer que o domínio das funções soma, diferença e produto corresponde à intersecção dos domínios das funções dadas no enunciado: 112

15 Em situações desta natureza, será importante o professor questionar os alunos sobre os raciocínios que realizaram para estabelecer esta relação entre os domínios das funções pois, pela resposta apresentada, não se torna evidente se usaram raciocínios algébricos ou se recorreram à análise das representações gráficas das novas funções. Por vezes, tanto na resolução da questão 1.3. como na questão 1.4., pode suceder que os alunos determinem correctamente a expressão analítica de cada uma das funções pedidas (função soma, função diferença e função produto), analisem as respectivas representações gráficas, assinalem devidamente as assímptotas verticais (bilaterais) do gráfico da função, mas determinem o domínio da nova função a partir do domínio de validade da expressão analítica obtida, sem o relacionar com o das funções de partida: Sendo esta uma incorrecção que se regista com bastante frequência sempre que os alunos trabalham com operações com funções, é importante que, na fase de discussão com a turma, o professor apresente exemplos em que não se verifique a igualdade entre 113

16 a intersecção dos domínios das funções de partida e o domínio da expressão analítica da função resultante, recorrendo a funções iniciais cujas expressões analíticas da soma, da diferença ou do produto permitam simplificações. É de salientar que, ao seguirem este raciocínio, os alunos podem não conseguir estabelecer uma relação entre o domínio das funções de partida e o das funções resultantes, pois tendem a focar a sua atenção nos domínios que obtiveram para as funções soma, diferença e produto: Na exploração da questão 1.4. é dada a liberdade aos alunos para escolherem novos pares de funções e operarem com elas. Numa primeira fase, é de esperar que os alunos apresentem exemplos de funções definidas por expressões analíticas que se assemelhem às dadas no enunciado: No entanto, o professor deve incentivar os alunos a procurar outros tipos de exemplos de funções racionais, de modo a permitir um trabalho mais rico na sistematização dos procedimentos algébricos necessários para obter as funções soma, diferença e produto de duas funções. De facto, ao explorarem o que acontece com outras funções de domínios diferentes, as opções feitas pelos diferentes grupos podem ser confrontadas e exploradas pelo grupo turma, na fase de discussão de resultados: 114

17 O tipo limitado de exemplos com que os alunos trabalham pode vir a condicionar as conjecturas que elaboram e as generalizações que possam estabelecer: Na discussão com a turma, o professor deve conduzir os alunos a reflectir sobre o grau escolhido para o polinómio que figura em cada um dos numeradores e dos denominadores das funções racionais com que se pretende trabalhar, e qual a influência deste na determinação do domínio de cada uma das funções. Deve, também ser dada especial atenção à formalização dos resultados pretendidos, uma vez que esta pode ser uma das dificuldades apresentadas pelos alunos. Para além dos aspectos algébricos trabalhados ao longo da exploração desta tarefa, os alunos podem estabelecer conexões entre conhecimentos já apreendidos e utilizálos como argumentos para justificar as suas conclusões, como se ilustra na seguinte resolução: 115

18 Tendo como referência a representação gráfica da função obtida, estes alunos assinalam a existência de assímptotas verticais do gráfico da função e, em seguida, estabelecem uma relação entre estas e o domínio da função soma: A conjectura que elaboram não foi testada e não verificam se as soluções da condição que indicam para a determinação do domínio da função soma (denominador da expressão analítica diferente do valor numérico que define cada uma das assímptotas verticais) dá origem ao conjunto R \ { 3; 2 }. Ainda assim, depois de analisar, de modo análogo, as funções diferença e produto de f e h, os alunos apresentam dificuldades em formalizar as suas conjecturas ao concluir: Escolhemos inicialmente duas funções que têm um determinado domínio. Quando fazemos a soma, a subtracção ou a multiplicação dessas duas funções, o domínio da função resultante vai ser sempre a junção dos domínios das funções iniciais. 116

19 A partir da resposta apresentada, surge a necessidade de o professor clarificar o conceito de junção de domínios, fazendo uma abordagem a noções de lógica e teoria de conjuntos, com o intuito de reforçar a compreensão das operações entre conjuntos e de estabelecer as diferenças entre a união e intersecção de conjuntos, em termos formais e na linguagem verbal. Considerações finais sobre a exploração da tarefa Na exploração da primeira parte desta tarefa, os alunos podem mostrar facilidade em estabelecer, de modo intuitivo, como se determinam as funções soma, diferença e produto de duas funções dadas. Com recurso às representações gráficas visualizadas, podem identificar o domínio das novas funções e relacionar conhecimentos relativos a conteúdos abordados nas aulas anteriores (operações entre fracções algébricas, análise das representações gráficas de funções e identificação de algumas propriedades das funções). Com a exploração da questão 1.4., os alunos têm a oportunidade de trabalhar com novas funções, escolhidas por eles, e sistematizar os procedimentos algébricos inerentes à obtenção das expressões analíticas das respectivas funções soma, diferença e produto. No entanto, os alunos podem mostrar dificuldades em estabelecer claramente as relações existentes entre os domínios das funções de partida e os domínios das respectivas funções soma, diferença e produto. Na fase de discussão, o professor deve dedicar uma atenção especial aos processos seguidos pelos alunos na determinação do domínio das funções soma, diferença e produto, e deve apresentar à turma alguns exemplos que evidenciem a necessidade de recorrer à intersecção dos domínios das funções iniciais. A formalização dos conceitos envolvidos na caracterização das funções soma, diferença e produto de duas funções racionais devem ser o foco da reflexão realizada pelo grupo turma. A exploração desta tarefa pode, ainda, criar a necessidade de explorar, oportunamente, alguns temas transversais ao programa (como é o caso das noções de lógica), partindo das dificuldades evidenciadas pelos alunos. 117

20 OPERAÇÕES COM FUNÇÕES II 1. Na figura estão representadas as funções m e n, respectivamente de 2.º grau e 3.º grau. m n 1.1. Por observação da figura: indique o valor de ( m n )(-1) e de ( m n ) estude, quanto ao sinal, a função m n ; (3); indique a condição que define o domínio da função m n ; 1.2. Determine as expressões analíticas das funções m, n e m n ; 1.3. Caracterize, agora, a função n m (apresente a expressão analítica simplificada tanto quanto possível) Considere outras funções de domínios diferentes. O que se pode observar relativamente ao domínio da função quociente? Organize as suas respostas com clareza e correcção, indicando todos os raciocínios, os cálculos que tiver de efectuar e as justificações que julgar conveniente. 118

21 Conhecimentos prévios dos alunos Com o trabalho desenvolvido no 10.º ano de escolaridade e no 11.º ano, nas aulas anteriores relativas a este conteúdo, os alunos devem ser capazes de: Definir, analiticamente, o domínio de uma função; Identificar propriedades das funções e dos seus gráficos; Relacionar as representações analíticas e gráficas de funções polinomiais de 2.º e 3.º graus; Efectuar operações que envolvam expressões algébricas. Recorrer à calculadora e representar graficamente funções. Aprendizagens visadas Com o trabalho a desenvolver nesta tarefa, os alunos devem ser capazes de reforçar a sua capacidade de analisar representações gráficas de funções e identificar algumas das suas propriedades, nomeadamente o valor das imagens para objectos concretos, o sinal de funções representadas graficamente e os zeros de uma dada função. Devem, ainda, ser capazes de relacionar os seus conhecimentos de modo a: estabelecer relações entre a variação de sinal de cada uma das funções dadas com o sinal da função produto; determinar as expressões analíticas de funções polinomiais, a partir das suas representações gráficas; e caracterizar a função quociente a partir do quociente de duas funções polinomiais. Em particular os alunos devem ser capazes de: Determinar o valor das imagens de objectos concretos, recorrendo quer às representações gráficas fornecidas quer à noção de função produto; Estabelecer o sinal da função produto, a partir do estudo do sinal de cada uma das funções factor ; Identificar a condição do domínio da função quociente, a partir da observação das representações gráficas das funções polinomiais que a definem; Determinar expressões analíticas de funções polinomiais do 2.º e 3.º graus, a partir das suas representações gráficas; 119

22 Simplificar fracções racionais e determinar o domínio em que a simplificação é válida; Conjecturar quanto a uma relação entre os domínios das funções de partida e o domínio da função quociente correspondente. A realização desta tarefa pode, ainda, contribuir para o desenvolvimento da capacidade de o aluno comunicar matematicamente, oralmente e por escrito, fundamentar raciocínios, discutir processos e comentá-los com outros. Orientações para o professor 1. Indicações gerais Com a exploração desta tarefa, pretende-se que os alunos, a partir da observação das representações gráficas de funções polinomiais, identifiquem algumas propriedades das funções, de modo a determinar o valor numérico das imagens, pela função produto, de dois objectos concretos, estabelecer o sinal da função produto e indicar uma condição que defina o domínio de uma função quociente. Numa segunda fase, pretende-se que estabeleçam conexões entre as representações gráficas e as expressões analíticas das funções polinomiais dadas, com vista à caracterização da função produto e da função quociente. Por último, a partir de novos exemplos propostos pelos alunos, pretende-se que conjecturem quanto a uma relação entre os domínios das funções escolhidas e o domínio da função quociente. Para a realização desta tarefa, prevê-se a duração de uma aula de 90 minutos, destinando-se cerca de 60 minutos para a exploração desta tarefa, em pares ou em pequenos grupos, e 30 minutos para a apresentação e validação de resultados. Operações com funções II Duração prevista Exploração Apresentação e validação de resultados 1 bloco (90 min) 60 min 30 min Tal como é indicado no enunciado, ao longo da exploração da tarefa, os alunos devem elaborar um pequeno relatório, procedendo ao registo dos raciocínios realizados, dos cálculos e das justificações julgadas convenientes. 120

23 2. Algumas explorações No primeiro conjunto de questões desta tarefa, é proposto aos alunos a análise das representações gráficas de duas funções polinomiais, com o intuito de remeter a sua atenção para a recolha de imagens de objectos concretos, para a análise do sinal de cada uma das funções e para a identificação dos zeros das funções, articulando os dados recolhidos com as noções de imagem e de sinal da função produto, bem como com o domínio de validade de uma expressão racional. Deste modo, tem-se: Observando atentamente as representações gráficas das funções m e n, temos: m (-1) = 3 e n (-1) = 12. Logo, de acordo com a noção de função produto: ( m n )(-1) m( ) n( ) ( ) = 36 = 1 1 = 3 12 De modo análogo, como m (3) = 5 e n (3) = 12, vem: ( m n )(3) m( ) n( ) = 3 3 = 5 12 = 60 n m Pretende-se que os alunos efectuem o estudo do sinal de m n a partir da análise do sinal das funções m e n. Esta poderá ser uma situação de partida para, um pouco mais tarde, dar significado à resolução analítica de inequações fraccionárias. função m Deste modo, atendendo às regras de sinais da multiplicação (e ao modo como a n se define), os dados recolhidos podem ser organizados numa tabela, para permitir estudar o sinal do produto das duas funções. m m n n

24 Na resolução desta questão, pretende-se que os alunos recordem as condições que têm de existir para que uma expressão racional tenha significado a garantia que o denominador tem de ser diferente de zero, para os diferentes valores da variável. Como, neste caso, o denominador da expressão é dado pela função n, basta verificar quando é que esta função se anula para saber os valores que não podem pertencer ao domínio. Por observação da representação gráfica da função, vem: n( x ) = 0 x = 3 x = 1 x = 2 m Assim, atendendo a que não há restrições a acrescentar quanto às funções que figuram tanto no numerador como no denominador, tem-se: m n { R ( ) 0} D = x :n x { x R : x 3 x 1 x 2 } R\ { 3; 1; 2 } = = n Na resolução das questões 1.2. e 1.3. pretende-se que os alunos estabeleçam conexões entre as informações dadas a partir das representações gráficas das funções m e n e os procedimentos algébricos inerentes às funções que resultam dos seus produto e quociente. A análise e a identificação das propriedades das funções estão, também, subjacentes à resolução da questão Nesta fase será importante que os alunos recordem as conexões entre as representações gráficas e algébricas das funções polinomiais de 2.º e 3.º graus, abordadas no 10.º ano. Assim, tem-se: Para determinar as expressões analíticas das funções m e n (só depois será possível determinar uma expressão analítica da função produto m n ), os alunos deverão observar as características dos gráficos das respectivas funções e ter em conta os conteúdos do 10.º ano, relativos ao estudo das funções polinomiais. Atendendo a que m é uma função polinomial de grau 2, com zeros em x = 2 e x = 2, pode escrever-se na forma m( x ) = a ( x + 2 ) ( x 2 ) e, a partir da condição 2 m ( 0) = 4, pode estabelecer-se que m( x ) x =

25 De modo análogo, como n é uma função polinomial de grau 3, com zeros em x = 3, x = 1 e x = 2, pode escrever-se na forma: 3 e como n ( 0 ) = 6, vem ( ) ( ) = ( + 3 ) ( 1 ) ( 2 ) n x a x x x n x = x 7 x + 6. ou seja, Por último, m n pode ser definida a partir de n e de m, sendo: ( m n )( x) = m( x ) n( x ) = ( x 2 4 )( x 3 7 x + 6) ( )( ) m n x = x 11x + 6 x + 28 x 24 Tendo em conta os resultados obtidos anteriormente, vem: Domínio: ( ) n m { : 0} { 2;2 } D = x R m x = R \ ; Expressão analítica: ( x ) ( ) ( ) 2 m m x x 4 = = 3 n n x x 7 x + 6 Como é pedida uma expressão simplificada, pode recorrer-se à decomposição em factores de cada uma das funções que figuram no numerador e no denominador obtidas na resolução da questão anterior. No entanto, alguns alunos poderão usar, por exemplo, a regra de Ruffini para obter a decomposição dos polinómios. Usando o primeiro processo: ( x 2 )( x + 2 ) ( )( )( ) ( )( ) 2 m x 4 x + 2 ( x ) 3 n x x x x x x x = = = x Com a exploração da questão 1.4. os alunos devem escolher novos pares de funções, identificar uma função quociente que lhes esteja associada e estabelecer as condições subjacentes à determinação do domínio desta nova função. A formalização destas condições, relacionando-as com as funções de partida, deve ser um aspecto central na discussão das conclusões relativas a esta questão. 123

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