Mestrado Profissional em Administração. Disciplina: Análise Multivariada Professor: Hedibert Freitas Lopes 1º trimestre de 2015

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1 Mestrado Profissional em Administração Disciplina: Análise Multivariada Professor: Hedibert Freitas Lopes 1º trimestre de 2015

2 Análise de Correlação Canônica MANLY, Cap. 10 HAIR et al., Cap. 8 2

3 Objetivos da técnica Medir a associação existente entre dois conjuntos de variáveis. Contexto Y 1,..., Y p : primeiro conjunto de variáveis X 1,..., X m : segundo conjunto de variáveis 3

4 Exemplo: vendedores 50 vendedores avaliados Análise do desempenho Y 1 : índice de crescimento de vendas, Y 2 : índice de lucratividade e Y 3 : índice de captação de novas vendas. Análise de habilidades X 1 : criatividade, X 2 : raciocínio mecânico X 3 : raciocínio abstrato e X 4 : habilidade matemática. 4

5 cres.venda Corr: Corr: lucrat Corr: novas.venda cres.venda lucrat novas.venda

6 15 criativ 10 Corr: Corr: Corr: mecan Corr: Corr: abstr Corr: matem criativ mecan abstr matem

7 Objetivo Estudar a associação entre desempenho e habilidade. Determinar um índice que expresse o quanto o desempenho é influenciado pela habilidade. 7

8 Matriz de correlação 8

9 Solução 1! Realizar uma análise de componentes principais (ACP) envolvendo Y 1, Y 2 e Y 3. Reservar a primeira componente (V 1 ).! Realizar uma ACP para X 1, X 2, X 3 e X 4. Reservar a primeira componente (W 1 ).! Correlacionar V 1 e W 1. 9

10 Problemas com a Solução 1 " Será útil apenas se as primeiras componentes apresentarem um alto grau de explicação das variáveis originais. " Não é uma solução ótima, no sentido de potencializar a identificação de associação entre os conjuntos de variáveis. 10

11 Aspectos teóricos 11

12 Contexto # Y 1,..., Y p : primeiro conjunto de variáveis (eventualmente dependentes). # X 1,..., X m : segundo conjunto de variáveis (eventualmente independentes). # Amostra de tamanho n. 12

13 Objetivo Encontrar uma combinação de Y 1,..., Y p e uma combinação linear de X 1,..., X m que possuam correlação linear máxima. A 1 = a 11 Y a 1p Y p B 1 = b 11 X b 1p X m Corr(A 1, B 1 ) = maior possível 13

14 Matriz de Correlação yy yx = xy xx 14

15 Exemplo Y1 Y2 Y3 X1 X2 X3 X4 Y1 1,00 0,93 0,88 0,57 0,71 0,67 0,93 Y1 0,93 1,00 0,84 0,54 0,75 0,47 0,94 Y3 0,88 0,84 1,00 0,70 0,64 0,64 0,85 X1 0,57 0,54 0,70 1,00 0,59 0,15 0,41 X2 0,71 0,75 0,64 0,59 1,00 0,39 0,57 X3 0,67 0,47 0,64 0,15 0,39 1,00 0,57 X4 0,93 0,94 0,85 0,41 0,57 0,57 1,00 15

16 Matriz de Correlação yy = Y1 Y2 Y3 Y1 1,00 0,93 0,88 Y1 0,93 1,00 0,84 Y3 0,88 0,84 1,00 xy = Y1 Y2 Y3 X1 0,57 0,54 0,70 X2 0,71 0,75 0,64 X3 0,67 0,47 0,64 X4 0,93 0,94 0,85 xx = X1 X2 X3 X4 X1 1,00 0,59 0,15 0,41 X2 0,59 1,00 0,39 0,57 X3 0,15 0,39 1,00 0,57 X4 0,41 0,57 0,57 1,00 16

17 Teoria A 1 = a 11 Y a 1p Y p = a 1 T y B 1 = b 11 X b 1m X m = b 1 T x Var(A1) T = a1yya Var(B ) = b T b xx 1 Cov(A 1,B1) = a T 1 yx b 1 1 a correlação canônica: Corr(A 1,B1) = a T 1 a yy T 1 a 1 yx b b 1 T 1 xx b 1 Objetivo: Encontrar a 1 e b 1 que maximizem Corr(A 1, B 1 ) 17

18 Solução Corr(A,B ) 1 1 = ρ 1 e ρ 2 1 é o maior autovalor de 1 yy yx -1 xx xy que é o mesmo de 1 xx xy -1 yy yx a 1 é o respectivo autovetor de 1 yy yx -1 xx xy b 1 é o respectivo autovetor de 1 xx xy -1 yy yx 18

19 Solução A técnica pode gerar até q (q = min(p,m)) pares de variáveis canônicas, sendo que o primeiro par é o que possui a maior correlação e a correlação dos demais é decrescente. As correlações são obtidas através das raízes quadradas dos autovalores da matriz apresentada no slide anterior e os coeficientes através dos autovalores das matrizes apresentadas. 19

20 Esquema Variáveis Canônicas Y 1 ρ 1 X 1 Y 2 A 1 ρ q B 1 X 2 Y p A q q = min(p,m) B q X m Correlações canônicas: ρ 1 ρ2! ρq 20

21 Esquema Y 1 ρ 1 X 1 Y 2 A 1 ρ q B 1 X 2 Y p A q B q X m A j = a j1 Y a jp Y p = a jt y B j = b j1 X b jm X m =b jt x 21

22 Características da Análise $ Se p = 1 temos um problema de regressão linear. $ Mede associação linear. Se a associação não for linear deve-se utilizar transformação. $ É desejável que os dados sigam uma distribuição normal. $ Recomenda-se que se tenha pelo menos 10 observações por variável. 22

23 Características da Análise $ Na aplicação são gerados q (q = min(p,m)) pares de variáveis canônicas (A i, B i ), i=1,...,q. $ O primeiro par corresponde às combinações lineares (A 1 e B 1 ) com maior correlação entre si. $ Os pares seguintes terão correlações decrescentes. $ A 1,..., A q e B 1,..., B q são não correlacionadas 23 entre si.

24 Pesos Canônicos Denominamos de pesos canônicos aos vetores a j e b j utilizados na definição das variáveis canônicas. A j = a jt y e B j = b j T x, j= 1,, m 24

25 Dados vendedores # Ajustando modelo de correlacoes canonicas fit = cc(x,y) # correlacoes canonicas fit$cor

26 Pesos canônicos fit$ycoef fit$xcoef A1 A2 A3 cres.venda lucrat novas.venda B1 B2 B3 criativ mecan abstr matem

27 Variaveis canônicas A1 = *Y *Y *Y3 A2 = *Y *Y *Y3 A3 = *Y *Y *Y3 B1 = *X *X *X *X4 B2 = *X *X *X *X4 B3 = *X *X *X *X4

28 1a correlacao canonica= a variavel canonica (Y) a variavel canonica (X)

29 2a correlacao canonica= a variavel canonica (Y) a variavel canonica (X)

30 3a correlacao canonica= a variavel canonica (Y) a variavel canonica (X)

31 Cargas Canônicas São as correlações entre as variáveis originais e as respectivas variáveis canônicas. Analogia com Cargas fatoriais 31

32 Cargas Canônicas A1 A2 A3 Criativ mecan abstr matem B1 B2 B3 cres.venda lucrat novas.venda

33 Proporção da variância explicada Representam o quanto da explicação das variáveis y e das variáveis x são explicadas pelas variáveis canônicas. São determinadas a partir da média das cargas canônicas ao quadrado. Analogia: % de explicação em análise fatorial. 33

34 Proporção da variância explicada A 1 explica 92,1% da variabilidade de y A 2 explica 4,6% da variabilidade de y A 3 explica 3,3% da variabilidade de y B 1 explica 55,9% da variabilidade de x B 2 explica 9,8% da variabilidade de x B 3 explica 19,2% da variabilidade de x 34

35 Cargas Cruzadas São as correlações entre: % as variáveis canônicas de y e as variáveis x; % as correlações entre as variáveis canônicas de x e as variáveis y. 35

36 Cargas Cruzadas 36