Mestrado Profissional em Administração. Disciplina: Análise Multivariada Professor: Hedibert Freitas Lopes 1º trimestre de 2015

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1 Mestrado Profissional em Administração Disciplina: Análise Multivariada Professor: Hedibert Freitas Lopes 1º trimestre de 015

2 Decomposição Espectral Autovalores e autovetores MANLY, Cap.

3 Objetivo e Definição Seja A uma matriz de ordem pxp (matriz de covariância ou correlação em Multivariada). Os autovalores de A são os escalares que satisfazem a seguinte equação A - λ I p = 0 (função característica). Propriedade: para todo autovalor i, existe um vetor i (diferente de zero) tal que A i = λ i i. O vetor i é denominado autovetor de A, associado ao autovalor λ i. 3

4 Decomposição Espectral Qualquer matriz simétrica A (pxp) pode ser escrita como A = Λ T, onde Λ (pxp) é a matriz diagonal dos autovalores de A e (pxp) é uma matriz ortogonal cujas colunas são os autovetores padronizados de A. λ Λ = : : : : : : 0... λp Autovetores padronizados de A: e i = i / i 4

5 Exemplo: Encontrar os auto-valores e auto-vetores da matriz de correlações > R = matrix(c(1,0.8,0.8,1),,) > R [,1] [,] [1,] [,] R = 1 0,8 0,8 1 > eigen(r) $values [1] $vectors [,1] [,] [1,] [,]

6 Análise de Componentes Principais MANLY, Cap. 6 HAIR et al., Cap. 3 6

7 Análise de Componentes Principais Objetivos:! Facilitar a análise de um grande conjunto de variáveis: reduzindo a dimensionalidade do problema (número de variáveis), com um controle da perda de informação;! Criação de índices. 7

8 Análise de Componentes Principais Interpretação: " Algebricamente: transformação ou combinação linear de p variáveis aleatórias X 1, X,..., X p. " Geometricamente: seleção de um novo conjunto de eixos obtido pela rotação do sistema original que tem X 1, X,..., X p como coordenadas. Esse novo sistema tem direção com variabilidade máxima. 8

9 Análise de Componentes Principais Método: A partir de um banco de dados, no qual foram medidas p variáveis, criar outras p variáveis (componentes principais) que contenham toda a informação da amostra original. As componentes são combinações lineares das variáveis originais e são formadas uma a uma de tal modo que as primeiras resumam o maior grau de explicação possível do conjunto de variáveis originais. 9

10 Situação hipotética Variáveis originais X 1 X ACP Componentes principais CP 1 CP : As q primeiras componentes resumem, por exemplo, 80% do comportamento : X p CP q : geral das p variáveis originais CP p 10

11 Obtenção das CP Decomposição espectral da matriz de covariâncias ou correlações: # autovalores: λ 1, λ,..., λ p # autovetores padronizados: e 1, e,..., e p e i = (e i1, e i,, e ip ) T X = (X 1, X,, X p ) T CP i = e i T X 11

12 Esquema CP 1 = e 11 X 1 + e 1 X + + e 1p X p CP = e 1 X 1 + e X + + e p X p CP p = e p1 X 1 + e p X + + e pp X p 1

13 Propriedade - Matriz de covariâncias Variável Variância Comp. Variância X 1 σ 1 X σ CP 1 λ 1 CP λ X p σ p σ T p i = 1 σ CP p i σ T λ T = p i= 1 λ p λ = i p i= 1 σ i λ T T σ = 13

14 Características das componentes Componentes Variância % de explicação CP 1 λ λ 1 / σ T CP λ 100 λ / σ T CP p Total σ = λ 100 λ p p / T λt σ T As componentes são não-correlacionadas 14

15 Propriedade - Matriz de correlações Variável Variância Comp. Variância X 1 1 CP 1 λ 1 X 1 CP λ X p 1 CP p λ p σ T p σ T p p λ i = σ i = i= 1 i= 1 p 15

16 Escolha do número de componentes principais Se o nº de CP usado foi muito pequeno, pode haver uma redução exagerada da dimensionalidade e muita informação pode ser perdida. Se o nº de CP usado foi muito grande, pode-se não atender aos objetivos de redução de dimensionalidade. Na literatura existem vários critérios que auxiliam na escolha do nº de CP e basicamente 3 deles serão citados: 16

17 $ Reter o nº de CP que acumulem pelo menos certa porcentagem da variabilidade total dos dados, na prática 70%; $ Reter as CP que acumulem pelo menos uma certa porcentagem da variabilidade de cada uma das variáveis originais, na prática 50%; $ Critério de Kaiser: manter na análise as CP correspondentes aos autovalores maiores do que a média dos autovalores, no caso da matriz de covariâncias; ou as CP correspondentes aos autovalores maiores do que 1, no caso da matriz de correlação. Escolha do número de componentes principais 17

18 Correlação entre as componentes e variáveis aleatórias originais As componentes principais são não correlacionadas, ou seja, Corr (CP i, CP j ) = 0 pois os autovetores são ortogonais. A correlação entre as componentes e cada uma das variáveis aleatórias originais é dada por Corr (CP i, X k ) = e ik (λ i ) 0.5 / s k 18

19 Interpretação das componentes principais A interpretação da CP é feita com base nas correlações entre as variáveis originais e as CP e nos coeficientes dados pelas combinações lineares das CP. As correlações medem as contribuições individuais de cada variável e não consideram a contribuição multivariada das demais. Já os coeficientes são medidas das contribuições multivariadas. Desta forma, a interpretação deve ser feita baseando-se tanto nas correlações como nos coeficientes das CP. 19

20 Exemplo: Bebidas - Atributos 1. A marca tem um sabor refrescante.. A prefiro essa marca por ter menos calorias. 3. A marca elimina minha sede imediatamente. 4. Gosto do sabor adocicado da marca. 5. Prefiro consumir a marca após atividade física, pois me dá energia. 6. Prefiro a marca pois vem numa embalagem que não agride o meio ambiente. 7. A marca tem minerais e vitaminas que mantêm baixa a necessidade de água de meu corpo. 8. A marca tem um sabor único. 9. A marca possui uma mistura de minerais e vitaminas que é saudável para o meu corpo. 10. Eu prefiro a marca quando realmente estou com sede. 0

21 Matriz de Correlações

22 ACP a partir das matrize de covariancia e correlações

23 Scree plot pca.cov pca.cor Variances Variances Comp.1 Comp.3 Comp.5 Comp.7 Comp.9 Comp.1 Comp.3 Comp.5 Comp.7 Comp.9 3

24 Loadings

25 Biplot Comp X3 X10 X X4 X1X X X9 X X Comp.1

26 Correlações entre X e componentes principais 6

27 Composicao das CP X: A prefiro essa marca por ter menos calorias. X3: A marca elimina minha sede imediatamente. X5: Prefiro consumir a marca após atividade física, pois me dá energia X7: A marca tem minerais e vitaminas que mantêm baixa a necessidade de água de meu corpo. X9: A marca possui uma mistura de minerais e vitaminas que é saudável para o meu corpo. X10: Eu prefiro a marca quando realmente estou com sede. X1: A marca tem um sabor refrescante. X4: Gosto do sabor adocicado da marca. X8: A marca tem um sabor único. X6: Prefiro a marca pois vem numa embalagem que não agride o meio ambiente. CP1: Elimina a sede e é saudável para o corpo CP: Não preocupação com sabor da bebida CP3: Não agressão ao meio-ambiente

28 Caso: Construção de índice Deseja-se construir um índice de desenvolvimento de países. Conta-se com uma amostra de 85 países, para os quais levantou-se uma série de indicadores socioeconômicos. (arquivo mundo.xls). Como utilizar ACP para construir tal índice? Como devem ser os indicadores? 8

29 Índice de desenvolvimento X 1 : população em milhares de habitantes X : densidade populacional X 3 : % de população urbana X 4 : expectativa de vida feminina X 5 : expectativa de vida masculina X 6 : crescimento populacional X 7 : mortalidade infantil X 8 : PIB per capita X 9 : % de homens alfabetizados X 10 : % de mulheres alfabetizadas Arquivo: mundo.xls 9

30 Construção de Índices Utilizando a matriz de correlação, construa um índice de desenvolvimento dos países, usando todas as variáveis do arquivo de dados (X 1 a X 10 ). Explique os resultados. Qual a porcentagem de explicação do índice? Dê um nome para o índice criado. Quais são as variáveis mais importantes e menos importantes no índice? O sinal do peso de cada uma das variáveis do índice era esperado? Justifique com base no problema. 30