Estatística Aplicada à Administração II. Tópico. Análise de Componentes Principais

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1 Estatística Aplicada à Administração II Tópico Análise de Componentes Principais Bibliografia: R.A. Johnson, Applied Multivariate Statistical Analysis, Prentice Hall, 99

2 Análise de Componentes Principais Tem a finalidade de substituir um conjunto de variáveis correlacionadas por um conjunto de novas variáveis não-correlacionadas, sendo essas, combinações lineares das variáveis iniciais e colocadas em ordem decrescente de suas variâncias. Por exemplo, para p variáveis: CP e X +e X +e X +...+e p X p CP e X +e X +e X +...+e p X p M CP p e p X +e p X +e p X +...+e pp X p

3 Análise de Componentes Principais Um exemplo simples: pesquisa com clientes de banco 7 x x Cliente SSE OC 7 c Tabela : Resultado da pesquisa aplicada aos clientesde umbanco. Foramatribuídas notasde a 7 para: SSE - Serviços Sem Erros; e OC - Operações Confidenciais. X 7 Operações Confidenciais (Nota atribuída) 0 7 Serviços Sem Erros (Nota atribuída) Cálculo de covariâncias e correlações:

4 Análise de Componentes Principais Determinaçãodacovariância(S) e dacorrelação(r) entre as variáveis x e x (SSE e OC, respectivamente) 7 X x 7 X desv X desv X desv S 0,8,8,8,8 S / / SD D R 0,99 0,99 R X desv

5 Componentes Principais exemplo Covariânciasno SPSS: Analyze > Correlate > Bivariate > options: Statistics [x]... covariances S,8,8,8 0,8 R 0,99 0,99

6 Analisando a variância total (Exemplo clientes banco) Variância total:soma das variâncias, ou seja, Variância Total Tr (S) S +S +S +...+S pp,8,8 Para o nosso exemplo: S,8 0,8 Variância Total Tr(S) S +S,8 + 0,8, Se usarmos variáveis padronizadas, a variância total é o traço da matriz de correlação, que é igual ao número de variáveis, ou seja, p. Para o nosso exemplo: 0,99 R 0,99 Variância Total

7 Componentes Principais Queremos encontrar uma combinação linear (componentes principais) das variáveis originais, de forma que estas combinações não estejam correlacionadas, mas tenham alta variância. CP e X +e X X X CP e X +e X CP CP X R λ e CP... S... X p CP p p variáveis p componentes principais 7

8 Componentes Principais CP e X +e X CP e X +e X Os autovalores de S, (λ, λ,..., λ p ) correspondem a variância associada a cada componente principal (CP, CP, CP... F p ). Oscoeficientese ij correspondemaoselementosdos auto-vetores normalizados e ortogonais e, e, e,..., e p dos respectivos autovalores da matriz de covariância(ou de correlação). 8

9 Componentes Principais - CP Para duas variáveis, x e x, espera-se que os dados estejam correlacionados, os dados num diagrama de dispersão são representados pela elipse na figura abaixo. CP tem maior variância, corresponde ao maior eixo da elipse. CP tem menor variância e é perpendicular ao eixo maior. As variâncias são proporcionais aos autovalores. 9

10 Componentes Principais Variância Explicada A contribuição de cada componente principal CP i é medida em termos da proporção da variância total explicada, que é dada por: p Var( CP i ) Var( CP i i ).00 p λ i i λ i.00 λi.00 Tr( S) Se usarmos variáveis padronizadas: Σλ i Tr(R) p 0

11 Número de Componentes Principais O número de componentes principais é igual ao número de variáveis. Na análise fatorial o interesse será ter menos componentes principais do que variáveis originais. ()Podemos estipular o número de componentes (k) com base na variância acumulada, por exemplo: Variância acumulada k i p i λ λ 70% sendo k < p ()Uma maneiravisualéatravésdográficodedeclive (scree plot). Gráfico dos autovalores ordenados do maiorparaomenor. (scree: declive do fundo de um precipício) i i 00%

12 Nro de Componentes Principais Scree Plot Num caso com autovalores teremos componentes principais. Critérios para considerar componentes: (a) Critério de Kaiser. Autovalores maiores que um. Por este critério: componentes. (b) Autovalores até o declive(cotovelo). Por este critério: componentes Componentes

13 Voltando ao exemplo - Clientes Banco A matriz de covariância obtida foi Autovalores são calculados por: Como s s,osautovalores são dados por: λ det,8,8,8 0,8 Variância total λ + λ,9 + 0,09, Tr(S) S s s λ ( ) ( ) ( s + s s + s s s ) s ± E os autovetores de S? Se λ s s λ 0 λ,9 λ 0,09 λ e Se e

14 Autovetores Considerando a matriz de covariância, os autovetores sãoobtidossupondovetores v i quesatisfaçam Sv ou seja: i λivi,8,8 v i vi λi,8 0,8 vi vi No caso mais geral supomos v i e encontramos s no nosso exemplo: + s λi vi λ i s s v v 0,87 -,09 Estes vetores não estão normalizados

15 Autovetores e Componentes Principais Os vetores normalizados são obtidos dividindo v i pelo módulode v i. Nonossoexemploosmódulossão: v,07 v,79 Os autovetores normalizados são: e 0,9 e 0,8 e e e 0,8 e - 0,9 As componentes dos auto-vetores correspondem aos coeficientes dos componentes principais. CP e X +e X CP e X +e X CP 0,9X +0,8X CP 0,8X -0,9X

16 Componentes principais e variância explicada Porcentagem da variação total dos dados explicada por CP : λ, ,0 % λ + λ, Porcentagem da variação total dos dados explicada por CP : λ 0, ,9 % λ + λ, Cada componente principal sintetiza a máxima proporção de variância contida nos dados

17 Componentes principais O próximo passo é calcular o valor de cada componente principal para os dados originais: Variáveis originais Variáveis geradas para as CP's Cliente SSE OC CP CP 7 8,8 -,09,7 -,7, -,0,9 -,9 7,7 -,, -, CP 0,9SSE+0,8OC CP 0,8SSE-0,9OC 7

18 λ,9 λ 0,09 Componentes principais - Correlações e 0,9 0,8 e 0,8-0,9 Correlações entre as componentes principais e a variáveis originais podem ser calculadas por: Correlações entre CP e x corr (CP, x ) i j e ij s λ jj i SSE,8,8,8 0,8 A primeira componente possui maior correlação com as variáveis, ela tem maior importância. S OC CP 0,998 0,987 CP 0,00-0, 8

19 Análise de Componentes Principais - resumo A tabela mostra os componentes principais encontrados na análise, os autovalores, os autovetores (em linha), a correlação existente entre as componentes a as variáveis, a percentagem de explicação de cada componente e a percentagem total de variância acumulada pelas componentes principais. Comp. Autovalor Coeficiente de ponderação Correlação entre % da variância % acumulada princ. associado às variáveis CP e x de CP i da variância x x x x CP,9 0,9 0,8 0,998 0,987 98,0 98,0 CP 0,09 0,8-0,9 0,00-0,,9 00,00 9

20 Operações Confidenciais (Nota atribuída) 7 Componentes Principais - ilustração Na figura abaixo os autovetores foram inseridos no ponto médio dos valores das variáveis originais e e 0 7 Serviços Sem Erros (Nota atribuída) As notas para Operações Confidenciais e Serviços Sem Erros estão correlacionadas. Podemos encontrar um componente principal que explica 98,0% da variação total dos dados. O exemplo indica que estas variáveis podem formar um único fator: Confiança, por exemplo. Esta será a tarefa da Análise Fatorial 0